HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

Transcript

1 HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 5 Εκτίμηση φάσματος ισχύος Συνάφεια Παραδείγματα

2 Στοχαστικά Διανύσματα Autoregressive model with exogenous inputs (ARX y( t + a y( t a y( t n = bu( t b u( t m n ϕ ( t = [ y( t... y( t n u( t... u( t m] T N N Ν T V (, ( ( ˆ N θ Ζ = y t y( t θ = ( y( t ϕ ( t θ Ν t= Ν t= ˆ Ν θ = arg min V ( θ, Ζ Ν θ N N N ˆ T θν = ϕ( t ϕ ( t ϕ( t y( t t= t= Ντετερμινιστικά / Τυχαία Σήματα στο πεδίο της συχνότητας Σειρές/Μετασχηματισμός Fourier, Discrete Fourier Transform άσμα ισχύος / Διάφασμα Ισχύος jωτ ( ω = ϕ ( τ e dτ ( ( = m jωτ e d ω ϕ τ τ j ( ω = ϕ ( τ e ωτ ( ω = ϕ ( τ τ = j e ωτ τ =

3 Στοχαστικά Σήματα και Γραμμικά Συστήματα Χρόνος Συχνότητα μ = μ H (0 y x ϕ ( τ = h( τ* ϕ ( τ ( ω =Η( ω ( ω ϕ ( τ = h( τ* ϕ ( τ yy = * yy ( ω ( ω H ( ω ϕ ( τ = h ( τ * ϕ ( τ * h ( τ ( ω = Η ( ω ( ω yy yy h(t Εκτίμηση φάσματος ισχύος Περιοδόγραμμα ˆ ( ( ω = Χ Ν ω Ν lim ˆ N E{ ( ω } = ( ω Var ˆ ω ω { ( } N (

4 Power spectral density estimation Πως μπορούμε να βελτιώσουμε τη διακύμανση της εκτίμησης του φάσματος ισχύος? Μέθοδος Bartlett Διαχωρισμός του σήματος σε Μ τμήματα μήκους Κ, DFT σε κάθε τμήμα, μέση τιμή: M ( i ( i jωn M ( ω = ( M n= 0 U x n e = K ˆ ( i ( ω U M ( ω Αμερόληπτη εκτίμηση (γιατί? Μείωση διακύμανσης: ˆ Var K { ( ω } ( ω Μέθοδος Welch: Παρόμοια διαδικασία μετά από πολλαπλασιασμό με συνάρτηση παραθύρου, επικαλυπτόμενα τμήματα Βελτίωση στη διακύμανση, μειωμένη ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας

5 Πολλαπλασιασμός με παράθυρο: Μείωση φασματικής διαρροής (spectral leakage x(t=u(tυ(t X(f=U(f*V(f sin( π ft U = T e π ft jπ ft

6 xt ( = cos(π00 t + ε(, t fs = KHz ε ( t N(0, Matlab: randn: normal random number generation periodogram pwelch: Welch, Bartlett methods Παράδειγμα

7 Power spectral density estimation Παραμετρική εκτίμηση φάσματος: Μοντελοποίηση του σήματος με μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης (AR model y( t = ay( t... an y( t n +ε ( t Μετά τον υπολογισμό των συντελεστών a n το φάσμα ισχύος δίνεται από: ˆ ˆ σ ( ω = = Az ( ˆ σ e e p jω z= e + ˆ k k = ae jωk Βελτίωση ανάλυσης συχνότητας Πρόβλημα: επιλογή κατάλληλου μοντέλου

8 xt ( = cos(π00 t + ε(, t fs = KHz ε ( t N(0, Matlab: Matlab: pyulear(x,order Παράδειγμα

9 Για τη συνάρτηση ετεροσυσχέτισης ισχύει: ϕ ( τ ϕ (0 ϕyy (0 Για το διάφασμα ισχύος ισχύει: Συνάφεια Coherence yy Πιο ισχυρή σχέση (ισχύει για όλες τις συχνότητες Η συνάρτηση συνάφειας (coherence function/ coherency squared function ορίζεται ως: ( f γ = yy Λόγω της (, ισχύει πάντα: 0 γ C( τ Αναλογία με το συντελεστή ετεροσυσχέτισης r ( τ = C (0 Cyy (0 Για ένα γραμμικό σύστημα χωρίς θόρυβο γ H = = H Αν τα x,y είναι ασυσχέτιστα: γ = 0 Εάν η συνάρτηση συνάφειας είναι μεταξύ 0 και τότε: Υπάρχει θόρυβος στις μετρήσεις Ησχέσημεταξύx,y είναι μη γραμμική Η τιμή της εξόδου y καθορίζεται και από άλλες εισόδους Η συνάφεια αντιστοιχεί στο κλάσμα της μέσης τετραγωνικής τιμής της εξόδου το οποίο συνεισφέρει η είσοδος στη συχνότητα f Η(f

10 Παράδειγμα: Διαταραχές στον αέρα Συνάφεια Coherence

11 Συνάφεια Coherence Η συνάφεια είναι ένα μέτρο του πόσο γραμμικά συσχετισμένα είναι δύο σήματα x(t και y(t. Η συνάφεια δεν υπονοεί αναγκαία την ύπαρξη αιτιατής σχέσης Άρα έχουμε τα εξής μέτρα για τον υπολογισμό του (τετραγωνικού κέρδους ενός συστήματος: yy yy ( ω = Η( ω ( ω Η = ( ( ω =Η( ω ( ω Η = ( ( Η f ( γ = = yy Η ( Η πρώτη εκτίμηση είναι μεροληπτική (biased εκτός και αν η συνάφεια είναι. Η δεύτερη εκτίμηση είναι μεροληπτική όταν υπάρχει θόρυβος στην είσοδο, αλλά όχι όταν υπάρχει θόρυβος στην έξοδο. Η συνάφεια διατηρείται κάτω από γραμμικούς μετασχηματισμούς. Αν δεν μπορούμε να μετρήσουμε τα σήματα x,y αλλά μπορούμε να μετρήσουμε τα σήματα x,y τα οποία συσχετίζονται γραμμικά με τα x,y τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάφεια μεταξύ x,y από τα σήματα x,y

12 Συστήματα με θόρυβο xt ( = mt ( + ut ( yt ( = zt ( + et ( u(t Στη γενική περίπτωση = uu mm um mu = yy zz ee ze ez = zu eu um em m(t x(t + H(f z(t + e(t y(t = Η ( ω zz =Η ( ω zu uu uu Στην περίπτωση που δεν έχουμε θόρυβο στην είσοδο και έχουμε ασυσχέτιστο θόρυβο στην έξοδο: xt ( = ut ( = yt ( = zt ( + et ( = 0 nz uu = + yy zz ee = = H zu zz = H =

13 Συστήματα με θόρυβο Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε τα zz (f και ee (f χωρίς μετρήσεις των z(t και e(t! zz = ee =zz yy Συνάφεια zu γ = = ( + γιατί yy zz ee = + / ee zz u(t m(t + x(t H(f z(t + e(t y(t Άρα για ee (f>0 γ < zu γ zu = = uu zz Επίσης: = γ zz yy ee = [ γ ] yy Η συνάφεια «σπάει» το φάσμα που μετράμε μ στην έξοδο σε δύο ασυσχέτιστες συνιστώσες: Μια που εξαρτάται από το σήμα εισόδου και μια από το θόρυβο στην έξοδο