Principi pozicioniranja u radio sistemima. Doc. dr Mirjana Simić

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Principi pozicioniranja u radio sistemima. Doc. dr Mirjana Simić"

Transcript

1 Principi pozicioniranja u radio sistemima 8 Doc. dr Mirjana Simić

2 LTE pozicioniranje

3 LTE pozicioniranje Procena je da danas (podatak sa početka god) postoji oko 5.8 milijardi mobilnih pretplatnika u svetu. Udeo LTE korisnika u ovom broju svakodnevno raste, tako da npr. u SAD njihov broj premašuje 50% od svih mobilnih korisnika. Pojava LTE sistema daje novi fokus E911 i komercijalnim LBS servisima u okviru 4G mreža, dok istovremeno omogućava postepeni prelaz između LTE i 2G/3G servisa pozicioniranja.

4 LTE LCS arhitektura LTE LCS mreža podržava i user plane (U-plane, gde je tok podataka na slici označeno plavom bojom) i control plane (C-plane, gde je tok podataka na slici označeno crvenom bojom) tip LCS arhitekture.

5 LTE LCS arhitektura Pistupna mreža u LTE (RAN - radio access network), Evolved-UTRAN (E-UTRAN): sastoji se samo od enodeb. LMU komponente se po potrebi mogu instalirati, ali ne kao posebne komponente već su integrisane u enodeb. Core mreža u LTE: MME (Mobility Management Entity) S-GW (Serving GateWay) P-GW (Packet Data Network GateWay) SLP (SUPL (Secure User Plane Location) Location Platform): koristi se u U-plane LCS opciji E-SMLC (Evolved Serving Mobile Location Center): koristi se u C- plane LCS opciji GMLC (Gateway Mobile Location Center)

6 LTE LCS arhitektura protokoli Razmena LCS informacija između UE (MS) i LTE mreže omogućena je uvođenjem dva protokola: 1. novog LTE protokola za pozicioniranje, tj. LPP protokola (LTE Positioning Protocol), namenjen prvenstveno za C-plane, ali se po potrebi koristi i u U-plane LCS opciji (plava boja sa slike) 2. SUPL (Secure User Plane Location) protokola (namenjen U-plane LCS opciji, postojao i u 2G/3G LCS mrežama u okviru U-plane opcije) (crvena boja sa slike) Osnovne funkcije LPP protokola su: da obezbedi informacije za E-SMLC o LCS mogućnostima UE (npr. koje metode podržava mobilni terminal) da prenese pomoćne podatke od E-SMLC do UE (za metode pozicioniranja koje to zahtevaju, npr. OTDOA) da obezbedi E-SMLC rezultatima merenja koje vrši UE (u slučaju npr. mobileassisted ili network-assisted metoda) da obaveštava o greškama u toku postupka pozicioniranja. Postoji i LPPa varijanta LPP protokola (slika) koja se koristi u slučaju kada E-SMLC zahteva podatke sa enodeb (npr. za merenje timing advance parametra koji se, kao što će biti reči, koristi za pozicioniranje i u LTE,...)

7 LTE LCS arhitektura C-plane pozicioniranje U LTE mrežama C-plane LCS arhitektura se u najvećoj meri koristi za hitne servise (E-911, E-112). Ovu vrstu LCS arhitekture omogućava novi LPP protokol, a LCS poruke se između terminala (UE) i mreže razmenjuju preko signalizacionih veza. U LTE mrežama, C-plane pozicioniranje je omogućeno preko MME elementa, koji rutira LPP poruke od E-SMLC ka UE (plave linije na slici sa slajda 4). C-plane pozicioniranje je brzo, pouzdano i sigurno.

8 LTE LCS arhitektura U-plane pozicioniranje U U-plane vrsti LCS arhitekture, LCS poruke se između terminala (UE) i mreže razmenjuju kao korisnički podaci. Ovu vrstu LCS arhitekture omogućava SUPL protokol. On podržava pozicioniranje preko LTE kao i 2G i 3G mreža, i obezbeđuje zajedničku platformu za sve radio interfejse. U-plane pozicioniranje osim SUPL protokola, može korstiti i LPP protokol (koji je C- plane protokol), što je npr. slučaj sa prenosom pomoćnih podataka za metode pozicioniranja koje to zahtevaju (npr. OTDOA). U LTE mrežama, U-plane pozicioniranje je omogućeno preko SLP elementa koji prenosi SUPL poruke, dok je istovremeno u vezi i sa E-SMLC od kojeg dobija pomoćne podatke. SUPL poruke se kao korisnički podaci rutiraju preko P-GW i S-GW elemenata core mreže LTE (crvene linije na slici sa slajda 4).

9 LTE LCS arhitektura U-plane pozicioniranje U-plane pozicioniranje omogućava složeni skup LCS karakteristika bitnih za mobilne aplikacije kao što su prostorno trigerovanje (spatial triggering), periodično izveštavanje o lokaciji (periodic reporting), kao i grupno izveštavanje. Takođe, ovaj vid pozicioniranja omogućava i automatsko prebacivanje LCS funkcije sa ćelijskih mreža na WiFi (WLAN) mreže kada npr. korisnik iz outdoor uslova uđe u neki objekat (indoor uslove) tzv. opcija multi-location tehnologije.

10 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE U LTE standardizovane su tri/četiri metode pozicioniranja (Release 9, god): 1. Enhanced Cell-ID (E-CID) 2. OTDOA (Observed Time Difference Of Arrival) 3. A-GNSS (Assisted Global Navigation Satellite System). 4. U-TDOA (Uplink Time Difference Of Arrival), standardizovana je počev od Release 11 (kraj god).

11 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE E-CID E-CID metoda pozicioniranja bazira se na blizinskom lociranju, tj. Cell- ID metodi (kao i u svim sistemima do sada, poziciji terminala MS, prodružuje se pozicija najbliže bazne stanice). Obzirom na nedovoljnu tačnost Cell-ID metode koja zavisi od veličine ćelije, u LTE je standardizovana verzija koja koristi dodatne parametre u cilju povećanja tačnosti izvorne Cell-ID metode. Ta naprednija verzija Cell-ID u LTE zove se Enhanced Cell-ID tj, E-CID. Dodatni parametri koji se u LTE mreži koriste u cilju povećanja tačnosti Cell-ID metode su: 1. RTT (Round Trip Time, tj. Timing Advance) 2. AOA (Angle Of Arrival)

12 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE E-CID RTT parametar je povratno vreme propagacije signala između UE i enodeb i dobija se na osnovu merenja Timing Advance (TA) parametra. U LTE mrežama, postoje dve vrste TA parametra: 1. TA tip 1 2. TA tip 2 TA tip 1 je vreme definisano kao zbir vremenske razlike prijema-slanja signala na baznoj stanici, enodeb (povratno vreme propagacije signala od BS ka MS, dakle BS-MS-BS) i vremenske razlike prijema-slanja signala na terminalu, UE (povratno vreme propagacije signala od MS ka BS, dakle MS-BS-MS) (Ovo je donekle slično povećanju tačnosti merenja RTT u UMTS kada se uvodi parametar UE Rx-Tx time difference) TA tip 2 se definiše standardno, tj. kao vremenska razlika prijema-slanja signala na baznoj stanici (round trip time od BS ka MS, tj. BS-MS-BS).

13 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE E-CID Tačnost merenja parametra TA tip 1 u LTE iznosi oko 0.3μs, što odgovara rastojanju od 45m, dok tačnost merenja parametra TA tip 2 u LTE iznosi oko 1-2μs, što odgovara rastojanju od oko min. 300m, što znači da se veća tačnost postiže primenom TA tip 1. Kao što je rečeno, osim RTT, za povećanje tačnosti Cell-ID u LTE se koristi i parametar AOA. LTE je prvi od ćelijskih sistema koji koristi ugao prispeća signala za povećanje tačnosti pozicioniranja, a što je omogućeno primenom antenskih nizova na strani enodeb u LTE mrežama. Time je omogućna dobra rezolucija merenja ugla prispeća signala od MS ka enodeb, a time i tačnije pozicioniranje. Merenja AOA parametra se vrše isključivo na uplinku, obzirom da su antenski nizovi instalirani na strani enodebs.

14 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE E-CID Princip merenja AOA parametra zasniva se na tome da je signal koji dolazi sa MS fazno pomeren za neku vrednost između sukcesivnih antenskih elemenata. Stepen tog faznog pomeraja zavisi od ugla prispeća signala AOA, razmaka između antenskih elemenata kao i radne učestanosti. Merenjem faznog pomeraja a znajući karakteristike antenskih sistema baznih stanica kao i radnu učestanost, moguće je dobiti paramnetar AOA. AOA parametar se obično meri na uplink LTE signalu na kanalu koji enodeb koristi za procenu propagacionih uslova na uplink smeru za svakog korisnika kako bi sprovela optimalni uplink scheduling (raspodela raspoloživih fizičkih resursa u cilju maksimizacije ukupnog kapaciteta u mreži). Ova vrsta signala u LTE poznata je kao Sounding Reference Signals (SRS).

15 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE E-CID Primenom parametara RTT i AOA, tačnost Cell-ID se može povećati, tako da E- CID metoda ima tačnost između 50m - 150m. Ovo je alternativna metoda pozicioniranja u LTE kada one tačnije, iz nekog razloga, ne mogu dati rezultat. ECID

16 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE OTDOA OTDOA metoda pozicioniranja u LTE je slična kao istoimena metode u UMTS ili E-OTD u GSM. Kao i ove metode, OTDOA u LTE se bazira na: merenjima na downlinku; merenju vremenskih razlika prispeća signala sa enodebs do UE (MS); primeni postupka hiperboličke lateracije u cilju proračuna nepoznate lokacije MS. U slučaju GSM E-OTD merenja vrši na BCCH kanalima, u UMTS OTDOA vrši merenja na pilot signalima, dok u LTE OTDOA merenja vrše na tzv. cell Reference Signals (RS) (ćelijski referentni signali).

17 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE OTDOA U OTDOA u LTE se dakle mere vremenske razlike prispeća RS signala od nekoliko baznih stanica (enodebs) do UE. To su tzv. Reference Signal Time Difference (RSTD) vremenske razlike, gde se zatim kada se one izmere standardno primenjuje hiperbolička lateracija. Tačnost merenja RSTD vremena iznosi oko 160ns što je ekvivalentno rastojanju od oko 48m.

18 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE OTDOA Kao i u slučaju OTDOA u UMTS, i OTDOA metoda pozicioniranja pati od problema hearability, koji kao što je poznato može dovesti do toga da usled dominacije jedne bazne stanice (enodeb) bude onemogućen prijem RS signala sa ostalih enodebs neophodnih za lateraciju (hearability problem smo zvali problemom blizu-daleko na downlinku). U OTDOA u UMTS ovaj problem je rešavan na više načina (npr. prekidima transmisije baznih stanica IPDL (OTDOA-IPDL), ubacivanjem novih elemenata PE (positioning elements) OTDOA-PE,...) U OTDOA u LTE se za rešavanje ovog problema uvode specijalni signali namenjeni isključivo za potrebe pozicioniranja. To su tzv. Positioning Reference Signals (PRS) (referentni signali za pozicioniranje). Primetimo da je ovo prva pojava signala namenjenih samo za pozicioniranje, koja nije postojala u sistemima pominjanim do sada (GSM, UMTS).

19 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE OTDOA PRS signali se periodično emituju zajedno sa RS signalima u grupama uzastopnih downlink podfrejmova. Učestanost emitovanja mora biti dovoljno velika kako bi se izvršila neophodna merenja vremena. Umetanje PRS signala u Resource block u LTE Povećanje hearability referentnih tačaka (enodebs) usled ubacivanja PRS signala

20 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE OTDOA Ova metoda može takođe zahtevati da UE mora imati informaciju u kojim podfrejmovima su PRS signali kako bi znala kada da ih očekuje a u cilju neophodnih merenja vremena. To su tzv. pomoćni podaci koji se dostavljaju UE u OTDOA metodi. Red veličine tačnosti pozicioniranja OTDOA u LTE sa 4 referntne tačke (enodebs); U svakom od scenarija u 90% slučajeva greška je manja od 150m, a u 67% ispod 100m.

21 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE A-GNSS i U-TDOA A-GNSS u LTE ima iste karakteristike kao i istoimena metoda u GSM i UMTS obzirom da koriste satelitsku infratsukturu i imaju isti princip rada. Što se tiče U-TDOA performanse su slične kao kod istoimene metode u UMTS, stim što se merenja vrše takođe na uplinku ali se kao signali čija se vremena prispeća od UE do enodebs mere koriste već pominjani Sounding reference signals (SRS). I U-TDOA se mogu koristiti LMU jedinice za potrebe sinhronizacije, i one su u slučaju LTE mreža gotovo uvek integrisane u okviru enodebs (troškovi znatno smanjeni).

22 Standardizovane metode pozicioniranja u LTE hibridna metoda Konačno, postoji ideja o integraciji svih downlink metoda pozicioniranja u LTE u hibridnu metodu: E-CID+OTDOA+A-GNSS. Smatra se da bi ovakva metoda omogućila najveću tačnost pozicioniranja u svim vrstama okruženja i u potpunosti zadovoljiti FCC E911 zahteve! hibridno pozicioniranje u LTE: E-CID+OTDOA+A-GPS

23 LCS Evolucija Multi-RAT pozicioniranje Kao što se moglo videti, evolucija različitih RAT (Radio Access Technology) tehnologija tokom godina (GSM, UMTS, LTE) imala je za posledicu i različite LCS arhitekture pripadajuće i standarde. Veći broj različitih LCS standarda generalno predstavlja problem što je dovelo do ideje o tzv. multi-rat rešenjima pozicioniranja. U današnjim ćelijskim sistemima, servisna RAT tehnologija diktira koje metode pozicioniranja su na raspolaganju korisniku. To znači da bi mogao koristiti metode pozicioniranja druge RAT, korisnik bi najpre morao da se prebaci na tu drugu tehnologiju.

24 LCS Evolucija Multi-RAT pozicioniranje Imajući u vidu sadašnji trend harmonizacije standarda od strane 3GPP, kao što je tzv. multi-standard radio (MSR), neizbežna je i integracija funkcionalnosti pozicioniranja, tj. multi-rat pozicioniranje. U takvom multi-rat sistemu za pozicioniranje, element pozicioniranja (tzv. positioning node) mora imati sposobnost operativnosti sa različitim RAT tehnologijama kao i mogućnost izbora optimalne metode pozicioniranja, U-plane ili C-plane varijante,... Takođe, element pozicioniranja mora imati mogućnost merenja kako unutar jedne tako i između različitih tehnologija, a u cilju postizanja optimalnog kvaliteta servisa (QoS). U takvom sistemu, integracija i harmonizacija standarda će smanjiti i broj elemenata LCS mreže a istovremeno omogućiti maksimalnu kompatibilnost. Ovo će posledično omogućiti ekonomičnija i efikasnija rešenja pozicioniranja, fleksibilniji razvoj standarda i lakši razvoj i migraciju mreže.

25 LCS Evolucija Multi-RAT pozicioniranje Multi-RAT arhitektura pozicioniranja

26 Indoor pozicioniranje

27 Indoor pozicioniranje Poznavanje informacije o lokaciji korisnika u radio mrežama gde se podrazumeva mobilnost korisnika upotpunila je cilj o dostupnosti servisa ne samo u pravom trenutku već i na pravom mestu. Veliki broj aplikacija u radio mrežama na osnovu poznate informacije o lokaciji korisnika u outdoor uslovima inicirao je ideju o određivanju lokacije korisnika i u unutrašnjosti objekata, u indoor uslovima. Iako se pod indoor pozicioniranjem podrazumeva pozicioniranje u raznim short-range tehnologijama kao što su: bluetooth, RFID (Radio Frequency IDentification), infracrvene (IrDA Infrared Data Association) i ultrazvučne tehnologije, ova vrsta pozicioniranja najčešće se odnosi na pozicioniranje u bežičnim lokalnim mrežama (WLAN).

28 Indoor pozicioniranje, WLAN WLAN sistem je specificiran od strane IEEE kao serija, i dostupan je u više varijanti. WLAN instalacija unutra zgrade u osnovi je ćelijska mreža koja se sastoji od nekoliko ćelija, gde svaku opslužuje po 1 bazna stanica. U terminologiji: bazna stanica se zove access point (AP), dok se zona pokrivanja jednog AP naziva se osnovna servisna zona (Basic Service Area, BSA) a skup svih terminala koje opslužuje AP zove se osnovni servisni skup (Basic Service Set, BSS). Nekoliko BSS može biti povezano (preko žičane infrastrukture) tako da formira tzv. prošireni servisni skup (Extended Service Set, ESS)

29 Indoor pozicioniranje, WLAN Opisana infrastruktura sa BSS i ESS predstavlja tzv. infrastrukturni mod IEEE Takođe, postoji i mod IEEE u kojem je moguća i direktna veza između terminala (bez ikakve posredne infrastrukture, tj. AP), što je poznato kao ad hoc mod. Za pozicioniranje u WLAN mrežama od interesa je samo infrastrukturni mod IEEE tako da se priča u nastavku odnosi samo na ovaj WLAN mod infrastrukturni mod (jer su AP referentne tačke!). referentna tačka infrastrukturni mod ad hoc mod

30 Indoor pozicioniranje, WLAN Kao što je rešeno za outdoor pozicioniranje, i za bilo koji tip indoor tehnologije, pa tako i WLAN, postoje četiri parametra signala koji se mogu koristiti u postupku pozicioniranja. To su: 1. nivo signala na prijemu, Rxlev, u terminilogiji indoor pozicioniranja često označavan kao RSS (Received Signal Strength), 2. vreme prispeća signala, TOA (Time Of Arrival), 3. vremenska razlika prispeća signala, TDOA (Time Difference Of Arrival) i 4. ugao prispeća signala, AOA (Angle Of Arrival).

31 Indoor pozicioniranje, WLAN Parametar AOA je vrlo osetljiv na NLOS uslove prostiranja i višestruku propagaciju, koje upravo odlikuju indoor okruženje, a zahteva i prilične hardverske modifikacije na predajniku/prijemniku, pa stoga nije pogodan za indoor pozicioniranje. Vreme kao parametar (bilo TOA ili TDOA) je generalno vrlo pouzdano za pozicioniranje, ali, kao i AOA, nije pogodan za indoor uslove. Razlozi su drugačiji nego u slučaju AOA: glavni problem predstavlja zahtev za vrlo velikom rezolucijom merenja vremena, što je posledica propagacije brzinom svetlosti na malim rastojanjima (unutrašnjost objekata); dodatno, sinhronizacija koje zahtevaju metode bazirane na vremenu je vrlo teško ostvarivo u WLAN mreži.

32 Indoor pozicioniranje, WLAN Jedini preostali parametar na raspolaganju je nivo signala na prijemu, RSS, koji zahteva procenu signala na određenom rastojanju od predajnika, odnosno, modelovanje propagacije. Prostiranje signala u indoor okruženju je izuzetno složen proces, pa samo modelovanje propagacije zahteva veliki broj ulaznih parametara. Veliki uticaj na propagaciju signala ima sam tip zgrade, konstruktivna infrastruktura, debljina zidova, raspored prozora i površina prostorija. Čak ni poznavanje svih ovih parametara ne može garantovati dobru procenu signala u zatvorenom prostoru, jer i brojnost i položaj ljudi koji se kreću unutar zgrade takođe utiču na varijaciju signala. Ipak, bez obzira na brojne nedostatke, parametar RSS je najčešći izbor za pozicioniranje u indoor uslovima, uglavnom zbog nepostojanja alternative.

33 Indoor pozicioniranje, WLAN Procene RSS parametra u WLAN zasnivaju se na merenjima na tzv. beacon signalima, koji se broadcast-uju bilo na uplinku bilo na downlinku (tj. bilo da ih emituje AP ili terminal). Nakon prijema beacona, prijemnik meri nivo signala, tj. parametar RSS, i čini ga dostupnim na nivou korisničkih aplikacija, što je inače standardna karakteristika većine WLAN opreme. Za merenja na uplinku, mobilni terminali moraju generisati ove beacon signale, koje primaju svi AP koji su u dometu. Ovo je varijanta networkbased WLAN pozicioniranja.

34 Indoor pozicioniranje, WLAN Za merenja na downlinku, koristi se standardna karakteristika WLAN-a poznata kao pasivno skeniranje (passive scanning). U tom slučaju, mobilni terminali kontinualno vrše pasivno skeniranje u cilju detekcije najbližih AP i selekcije najboljeg za transmisiju. U tom cilju, svaki AP periodično emituje beacon signale, koji sadrže nekoliko parametara kao što su vreme, podržani protok podataka, i AP identifikator ćelije, tzv. Basic Service Set Identifier (BSSI) identifikator osnovnog servisnog skupa. Vremenski interval između dva beacona može se dinamički podešavati i obično se kreće u opsegu između nekoliko desetina do nekoliko stotina milisekundi.

35 Indoor pozicioniranje, WLAN Terminal neprekidno osluškuje moguće kanale za prijem beacon signala sa najbližih AP i pri tome beleži njihove parametre kao i izmerenu vrednost parametra RSS. Zatim selektuje AP sa najboljim kvalitetom signala (RSS) za svoju transmisiju. Ovaj postupak je inače veoma sličan procesu selekcije najpogodnije bazne stanice/ćelije (cell selection) od strane mobilnog terminala u GSM. Ukoliko se desi da terminal tokom pasivnog skeniranja u toku nekog određenog vremenskog perioda ne prima beacon signale (npr. ako je konfigurisani vremenski interval suviše dug), on šalje tzv. probni zahtev (probe request) na koji svi AP koji su u dometu odgovaraju slanjem beacon signala. Ovo je poznato kao aktivno skeniranje (active scanning). U svakom slučaju, bilo pasivno ili aktivno, ova dva moda rada predstavljaju osnovu za realizaciju terminal-based ili terminal-assisted pozicioniranja u WLAN.

36 Indoor pozicioniranje, WLAN Nakon pribavljanja podataka o parametru RSS, primenjuje se neka od sledećih tehnika pozicioniranja: 1. Blizinsko lociranje (Proximity sensing), poznatije i kao Cell- ID (u WLAN bi to bilo AP-ID). 2. Lateracione metode (cirkularna ili hiperbolička) 3. Fingerprinting

37 Indoor pozicioniranje, WLAN, Cell-ID Cell-ID (AP-ID) je najjednostavnija tehnika pozicioniranja koja se zasniva na tome da se nepoznatoj lokaciji korisnika/terminala dodeljuje lokacija AP sa najboljim kvalitetom signala (najveća vrednost parametra RSS). Kao i su slučaju ćelijskih sistema, ova metoda ima lošu tačnost ali je najjednostavnija za implementaciju. U slučaju Cell-ID u WLAN postoji i varijanta da se identifikatori AP (BSSI) mapiraju u brojeve soba iznad kojih se nalaze, ili, u naprednijoj verziji, AP mogu i broadcastovati brojeve soba iznad kojih su postavljeni (slično kao što se u ćelijskim sistemima mogu broadcastovati koordinate baznih stanica).

38 Indoor pozicioniranje, WLAN, Cell-ID Tačnost Cell-ID u WLAN je od nekoliko desetina do nekoliko stotina metara, u zavisnosti od jačine signala na predaji kao i gustine AP u samoj zgradi (objektu). U najgorem slučaju, ova metoda može samo detektovati da li je neka osoba/terminal prisutna u zgradi, ili npr. u nekom delu zgrade. Ukoliko zgrada ima više spratova, Cell-ID ne bi mogla razlikovati na kojem je spratu određeni terminal. U najboljem slučaju, tačnost Cell-ID zavisi od broja AP (tzv. granularnosti) na način da maksimalna greška pozicioniranja iznosi oko polovine rastojanja između AP-a.

39 Indoor pozicioniranje, WLAN, lateracije Lateracione metode: u ovom slučaju pozicija terminala dobija se rešavanjem lateracionih algoritama (cirkularna i hiperbolička), gde se nepoznata rastojanja ili razlike rastojanja dobijaju na osnovu merenog parametra RSS i primenom nekog modela propagacije u indoor uslovima. U ovom slučaju najpre je potrebno odrediti tačnu lokaciju referentnih tačaka, što se često radi na osnovu plana zgrade i prebacicanjem u Dekartov sistem. ETF

40 Indoor pozicioniranje, WLAN, lateracije U poređenju sa lateracionim metodama u ćelijskim sistemima (tj. sa outdoor pozicioniranjem), lateracione metode u indoor uslovima generalno imaju problem sa višestrukom propagacijom i NLOS propagacijom, koja je u ovakvom okruženju dosta izražena. Signali od predajnika ka prijemniku u indoor uslovima izloženi su višestrukim refleksijama i rajesanju kako na zidovima tako i na podu, pa je signal na prijemu vrlo teško predikovati. Samim tim, teško je i proceniti potrebna rastojanja ili razlike rastojanja za lateracione metode. Imajuću u vidu sve što je rečeno za prethodne dve tehnike pozicioniranja u WLAN, tehnika izbora u indoor okruženju je fingerprinting.

41 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Osnovna ideja kod metoda baziranih na fingerprinting-u zasniva se na detekciji lokacije mobilnog korisnika/terminala na osnovu propagacionih karakteristika radio signala koje taj terminal meri na određenom mestu u mreži. Iako se pod pojmom pozicioniranja primenom fingerprinting-a podrazumevaju različiti algoritmi, izvornom obliku fingerprinting pozicioniranje se izvodi u dve faze: 1. pripremnoj (off-line ili training) i 2. izvršnoj (on-line ili positioning). Cilj off-line faze je generisanje baze podataka koja će biti korišćena tokom procesa pozicioniranja. Kako bi se sakupili potrebni podaci moraju se pažljivo izabrati referentne tačke, RPs (Reference Points), tj. tačke u kojima se meri parametar RSS u pripremnoj fazi i koje će biti u bazi podataka.

42 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Referentne tačke treba da budu što je moguće ravnomernije raspoređene u oblasti od interesa, tj. u oblasti u kojoj će se određivati lokacija mobilnog korisnika.

43 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting U svakoj od referentih tačaka se vrši merenje nivoa snage signala (RSS) od svih AP koji pripadaju datom WLAN i na taj način se dobija vektor RSS vrednosti za svaku od tačaka. Tom vektoru se dodaju koordinate referentne tačke u kojoj je dobijen i rezultujući vektor se smešta u bazu podataka (DB data base). Taj vektor za k-tu referentnu tačku je oblika: RSS = DBk [ xdbk, y DBk RSS DB, k, RSS DB 2, k,..., RSS DBn, 1 k ] gde su x DBk i y DBk Dekartove koordinate k-te RP, a n je broj Access Point-a u okviru posmatrane infrastrukture.

44 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Ponavljanjem ovog postupka za sve referentne tačke kompletira se off-line, tj. training faza fingerprinting metode. Kreirana baza podataka se često naziva i radio mapa (radio map). Proces stvarnog pozicioniranja započinje u drugoj fazi, on-line fazi. Mobilni terminal koji se nalazi na nekoj poziciji unutar zone u kojoj se vrši pozicioniranje meri u toj tački snage signala od svih AP-ova i formira fingerprint (vektor snage signala RSS sa svih AP u toj tački): RSS = [ RSS, RSS 2,..., RSS 1 n ] Taj fingerpint se zatim poredi sa onima iz baze (formiranih u off-line fazi) i na osnovu nekog od algoritama nalazi lokacija mobilne stanice, tj. terminala. Najčešće korišćeni algoritam u ove svrhe je traženje rastojanja u prostoru signala (SSD-Signal Space Distance) između dobijenog fingerprint-a i onih iz baze podataka (radio mape).

45 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Dve faze fingerprinting-a: a) off-line faza b) on-line faza

46 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting, NN Veći broj algoritama se može koristiti za estimaciju pozicije mobilnog korisnika, i oni se dele na determinističke i probabilističke.. Osnovni determinsitički predstavnik je algoritam najbližeg suseda, Nearest Neighbour in Signal Space (NNSS) ili samo Nearest Neighbour (NN). Rastojanje u prostoru signala između izmerenog vektora snage signala i m-tog fingerprint-a u bazi podataka se računa po formuli: L n q 1 q q,m = ( RSS DBi,m RSSi ) i= 1 Vrednost parametra q je najčešće 1 ili 2. Za q=1 dobijamo Manhattan rastojanje, a za q=2 Euklidsko rastojanje. L 2 ( RSS RSS ) + ( RSS RSS ) ( RSS ) 2, = RSS 2 m DB1 1 DB2 2 DBn n

47 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting, NN Kod NN algoritma, procenjene koordinate mobilne stanice su koordinate one referentne tačke čiji fingerprint ima najmanje rastojanje u prostoru signala sa izmerenim vektorom snage signala u tački u kojoj se pozicioniranje vrši tj. L q mms = min L, q, m 1 m M gde je M ukupan broj referentnih tačaka (podataka u bazi, tj. radio mapi), a procenjene koordinate terminala su (x mms,y mms ).

48 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting, knn Umesto da uzmemo samo RP sa najmanjim rastojanjem u prostoru signala, mogu se dobijena rastojanja poređati u neopadajućem redosledu i uzeti prvih K tačaka sa najmanjim rastojanjima. Procenjena lokacija mobilnog korisnika (x MS,y MS ), se onda nalazi usrednjavanjem koordinata, tih K referentnih tačaka: x MS K xi y i= = 1 i= yms = 1 K K K i Ovo je način realizacije KNN (K Nearest Neighbours) algoritma. Kao i prethodni (NN), pripada grupi determinstičkih algoritama procene pozicije.

49 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Kao što je rečeno, algoritmi procene pozicije u fingerprintingu mogu biti i probabilistički. Naime, u slučaju determinističkih algoritama posmatra se samo jedna RSS vrednost, i obično je to neka vrednost parametra RSS usrednjena u toku određenog vremenskog intervala. Ipak, zbog velikih varijacija signala u ovom tipu okruženja, često srednja vrednost nije dobar izbor jer može dovesti do velikih grešaka. Sofisticiranije rešenje bi bilo ne uzimati srednju vrednost parametra RSS, već njegove varijacije tokom off-line faze opisati nekom funkcijom gustine verovatnoće. U on-line fazi se u tom slučaju uzimaju u obzir funkcije gustine verovatnoće od svih AP-a koje se primenjuju na merni RSS parametar kako bi se pronašla najverovatnija pozicija. Na ovaj način, moguće je povećati tačnost pozicioniranja u odnosu na determinističke algoritme procene pozicije.

50 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting scenario pozicioniranja Fingerprinting u WLAN se može realizovati u sva tri oblika pozicioniranja: a) terminal-assisted b) terminal-based c) network-based.

51 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting scenario pozicioniranja U slučaju terminal-assisted fingerprintinga, u toku on-line faze terminal rezultate merenja koja se rade na downlinku (measurement report kao i kod GSM) šalje serveru u mreži. Server održava radio mapu i vrši poređenje merenog RSS fingerprinta i onog u bazi i pomoći nekog od prethodno opisanih algoritama nalazi procenjenu lokaciju terminala.

52 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting scenario pozicioniranja U slučaju terminal-based fingerprintinga u toku on-line faze, radio mapu održava sam terminal, pa se poređenje merenog RSS fingerprinta i onog u bazi vrši lokalno, tj. sam terminal procenjuje sopstvenu lokaciju.

53 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting scenario pozicioniranja U slučaju network-based fingerprintinga, radio mapa se kreira na osnovu RSS merenja na uplinku. U toku off-line faze, terminal periodično emituje beacon signale, koje primaju okolni AP-i i beleže RSS parametre. Ti rezultati se šalju ka serveru koji od istih formira radio mapu. U toku on-line faze, scenario je isti, terminal povremeno šalje beacon signale, koje mere okolni AP-i, koji zatim te rezultate šalju serveru koji traži najsličniji fingerprint u radio mapi sa onim pristiglim tokom on-line faze i tako procenjuje lokaciju terminala.

54 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Ozbiljan nedostatak fingerpinting metode jeste priprema podataka i merenja u off-line fazi. Naime, u ovoj fazi radi pripreme baze podataka tj. radio mape, neophodno je vršiti prilično obimna merenja RSS parametara u objektu od interesa. Ovo može biti dugotrajan, složen i skup proces. Dodatno, izbor broja referentnih tačaka za formiranje radio mape mora biti oprezan, kako bi se izbegla neodređenost pozicioniranja, tj. situacija u kojoj više pozicija u objektu daje isti fingerprint! Situacija je dodatno pogoršana time da je čitav postupak neophodno ponoviti svaki put kada se u postojećoj WLAN infrastrukturi bilo šta promeni! (npr. postavi se novi AP, neki se sklone, promeni se snaga predajnika,...).

55 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Alternativna varijanta je da se potrebna baza podataka, tj. radio mapa, formira ne na osnovu merenja, već na osnovu odgovarajućeg modela propagacije sa ulaznim parametrima kao što su: snage predajnika AP-a, path-loss, sve prepreke na putu signala, npr. zidovi, nameštaj,... U ovom slučaju, radio mape se jednostavno i brzo formiraju bez ikakvih merenja i jednostavno ih je izmeniti i ažurirati u slučaju da se bilo šta u WLAN infrastrukturi izmeni. U literaturi, ovakav pristup je poznat kao pristup modelovanjem (modeling approach) dok se prethodni koji uključuje merenja naziva empirijski pristup (empirical approach).

56 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Do danas je razvijen veći broj WLAN fingerprinting sistema za pozicioniranje. Za razliku od ćelijskih sistema, ovi sistemi kao i ostali indoor sistemi za pozicioniranje nisu podložni standardizaciji. Neki od najpoznatijih sistema su: RADAR (razvijen od strane Microsofta) prvi razvijen WLAN fingerprinting sistem Ekahau komercijalni sistem koji se može i kupiti (primenjuje probabilistički pristup) Horus Nibble (posmatra odnos signal-šum, SNR, umesto snage signala na prijemu, RSS) WhereMops,...

57 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting ta: terminal-assisted, tb: terminal-based, nb: network-based emp: empirijski pristup formiranja radio mape, mod: pristup modelovanjem tj. primenom modela propagacijeu formiranjuradio mape det: deterministički pristup proceni pozicije, prob: probabilistički pristup proceni pozicije

58 Indoor pozicioniranje, WLAN, fingerprinting Kao što se vidi iz tabele, tačnost pozicioniranja pomenutih sistema je reda veličine nekoliko metara što je najčešće dovoljno za većinu indoor LBS aplikacija. Takođe, u zaključku je moguće reći da je, osim tačnosti, velika prednost WLAN fingeprintinga i to što se zasniva na postojećim WLAN instalacijama, kojima je opremljena većina javnih objekata danas, kao i postojećim laptopovima, mobilnim telefonima, PDA od kojih mnogi podržavaju WLAN. Ovo pozicioniranje ne zahteva nikakve modifikacije u hardveru, ali zahteva softverske modifikacije neophodne radi formiranja radio mapa i merenja RSS parametra tokom on-line faze.

59 Primer...zadatak U objektu sa slike instalirana su 3 access pointa (AP). Radio mapa formirana je merenjem parametra RSS sa svakog od tri AP u 12 tačaka (Tabela 1). Odrediti nepoznatu lokaciju terminala T primenom k-nn algoritma (gde je k=3) ako je tokom on-line faze izmereni fingerprint PT od strane ovog terminala: PT = ( RSS RSS ) 1 2 RSS3 ( 94dBm 96dBm dbm) PT = 95 T(x T, y T )=? Tabela 1. Radio mapa (DB-data base) *10m

60 Primer...zadatak Korak 1: 1 radi lakšeg računa, normalizovati vektor sa terminala čija se lokacija određuje (normalizacija vrši uodnosu na jedan AP, u ovom primeru u odnosu na AP1): = ( 94dBm 96dBm dbm) PTN = ( 0 2 1) PT 95 RSS sa AP1 RSS sa AP2 RSS sa AP3 ( RSS RSS RSS ) PTN = 1N 2N 3N Korak 2: 2 po istom principu normalizovati sve vektore iz radio mape (DB): Tabela 1. Radio mapa (DB-data base) *10m Tabela 2. Normalizovana radio mapa

61 Primer...zadatak Korak 3: 3 pronaći Euklidsko rastojanje između izmerenog normalizovanog fingerprinta PTN i svakog normalizovanog fingeprinta iz radio mape (i=12), koristeći poznatu formulu: L i = D i = 2 2 ( RSS RSS ) + ( RSS RSS ) + ( RSS RSS ) 2 AP1,i 1N AP2,i 2N AP3,i 3N Tabela 3. Proračunata Euklidska ratsojanja između merenog fingerprinta PTN i svih u radio mapi Korak 4: 4 Obzirom da se primenjuje k-nn algoritam sa k=3, pronaći tri najmanje vrednosti razlike fingerprinta iz baze i merenog fingerprinta. Iz tabele se vidi da su to oni na poziciji: 2, 3 i 6. Njihove vrednosti razlika su 6, 8 i 6, respektivno.

62 Primer Korak 5: 5 Najzad, uvidom u tabelu 1 očitavaju se njihove pozicije (x i, y i ) i računa konačna tražena pozicija terminala T: x K x 1 = K i i = ( ) * 10 ( ) i MS = = y K y 1 * 10 = K 3 i= MS = = iz Tabele 1: pozicija 2: (x 2, y 2 )=(2, 1) pozicija 3: (x 3, y 3 )=(3, 1) pozicija 6: (x 6, y 6 )=(2, 2) T(x T, y T )=(23.3, 13.3)

63 Hvala na pažnji!

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Principi pozicioniranja u radio sistemima. Doc. dr Mirjana Simić

Principi pozicioniranja u radio sistemima. Doc. dr Mirjana Simić Principi pozicioniranja u radio sistemima 7 Doc. dr Mirjana Simić Standardizovane metode pozicioniranja u GSM i UMTS Prema GSM LCS standardu, za GERAN su standardizovane četiri metode pozicioniranja: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Principi pozicioniranja u radio sistemima. Doc. dr Mirjana Simić

Principi pozicioniranja u radio sistemima. Doc. dr Mirjana Simić Principi pozicioniranja u radio sistemima 4 Doc. dr Mirjana Simić (probabilistički vs. deterministički pristup) Deterministički pristup određivanju lokacije MS: angulacija, lateracija (cirkularna, hiperbolička).

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Ικανότητες UE. UE classmark: βασικό σύνολο πληροφοριών για τις ικανότητες/δυνατότητες του UE

Ικανότητες UE. UE classmark: βασικό σύνολο πληροφοριών για τις ικανότητες/δυνατότητες του UE Ικανότητες UE UE classmark: βασικό σύνολο πληροφοριών για τις ικανότητες/δυνατότητες του UE Π.χ. βασικές δυνατότητες UE classmark 3 ιαθέσιµοι τρόποι λειτουργίας UMTS FDD ή TDD ιπλός τρόπος λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Ικανότητες UE - ικτύου

Ικανότητες UE - ικτύου Ικανότητες UE - ικτύου Θα υπάρξουν αρκετά είδη τερµατικών και δικτύων UMTS στις επόµενες δεκαετίες. Ένα τυχαίο UE και ένα τυχαίο δίκτυο θα πρέπει να µπορούν να διαπραγµατεύονται ποιες βασικές δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα