ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μελετώντας το παρελθόν και παρατηρώντας την σταδιακή εξέλιξη των μαθηματικών από τούς προελληνικούς χρόνους έως σήμερα, διαπιστώνουμε ότι τα μαθηματικά αποτέλεσαν έναν από τους κύριους μοχλούς ανάπτυξης του πολιτισμού, ενώ ταυτόχρονα και το πολιτιστικό περιβάλλον έδινε ερεθίσματα για την ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης. Στην πορεία αυτή της εξέλιξης των μαθηματικών αντανακλάται τόσο η πρόοδος των πολιτισμών στους οποίους αναπτύχθηκαν όσο και οι οπισθοδρομήσεις του ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Το χρόνο της ιστορίας των μαθηματικών μπορούμε να τον διαιρέσουμε ως εξής : Προελληνικά Μαθηματικά (έως το 600 π.χ.), Ελληνικά Μαθηματικά (600 π.χ. έως 300 π.χ.) Ελληνιστικά Μαθηματικά (300 π.χ. έως 500 μ.χ.), Μεσαιωνικά και Αναγεννησιακά Μαθηματικά (1200 μ.χ. έως 1700 μ.χ.), Σύγχρονα Μαθηματικά ( 1700 μ.χ. έως σήμερα). Προελληνικά Μαθηματικά 1

2 Οι πρωτόγονοι λαοί σύμφωνα με κάποιες σύγχρονες μελέτες (Wilder, Clawson) έχει αποδειχθεί ότι είχαν αναπτύξει την έννοια της μέτρησης (με κλαδιά) και της αντιστοιχίας, ενώ χρόνια πριν είχαν χρησιμοποιήσει κάποιες μαθηματικές λέξεις. Οι κυνηγοί τροφοσυλλέκτες ( χρόνια πριν ενδεχομένως να καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση, ενώ το μοίρασμα της τροφής δείχνει ότι μπορεί να κατανοούσαν και τη διαίρεση. Οι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που ασχολήθηκε με την μαθηματική επιστήμη. Αναζητώντας λοιπον τις ρίζες των μαθηματικών και κυρίως πότε εμφανίστηκαν οι πρώτες συλλογές προβλημάτων οδηγούμαστε εκει. Οι γνώσεις που κατείχαν ήταν απόρροια της αναγκαιότητας επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονταν με τις γεωργικές τους καλλιέργειες κατά μήκος του ποταμού Νείλου. Οι περισσότερες γνώσεις μας σε ότι αφορά τα Αιγυπτιακά 2

3 μαθηματικά, προέρχονται από δυο διάσημους παπύρους, τον πάπυρο του Rhind που χρονολογείται περίπου το 1650 π.χ. και του παπύρου της Μόσχας που χρονολογείται μεταξύ 2000π.Χ και 1800 π.χ. Συγκεκριμένα, η πρώτη πηγή προβλημάτων στην Αίγυπτο είναι ο πάπυρος Rhind που είναι ένα αντίγραφο του 1650 πχ ενω το αυθεντικό χειρόγραφο υπολογίζεται να έχει γραφεί γυρω στο 2000 πχ. Ο πάπυρος αυτός φυλάσσεται μέχρι σήμερα στο Βρετανικό μουσείο και περιλαμβάνει 80 περίπου αριθμητικά και γεωμετρικά προβλήματα που έχουν να κάνουν με την καθημερινότητα (πχ υπολογισμός εμβαδού χωραφιού). Από αυτούς τους παπύρους λοιπόν φαίνεται ότι οι Αιγύπτιοι κατείχαν αξιόλογες γνώσεις καθώς ασχολούνταν με συγκεκριμένες περιπτώσεις αριθμητικών προβλημάτων (υπολογισμός όγκων, επίλυση εξισώσεων κ.ά.) χωρίς ωστόσο να φαίνεται ότι είχαν αναπτύξει γενικές μεθόδους επίλυσης προβλημάτων. Εκτός αυτών όμως συναντάμε στο πάπυρο Rhind και προβλήματα τα οποία έχουν εκτός απο πρακτικό και ψυχαγωγικό χαρακτήρα. Πχ ένα πρόβλημα δίνεται ως εξής: 3

4 Έχουμε 7 σπίτια. Σε κάθε σπίτι ζουν 7 γάτες. Κάθε γάτα τρώει 7 ποντίκια. Κάθε ποντίκι τρώει 7 σπόρους απο σιτάρι οπου κάθε σπόρος θα παρήγαγε 7 εκάτ δημητριακών Ποιό είναι το άθροισμα όλων αυτών; Τα ίδια περίπου ισχύουν και για τους αρχαίους Βαβυλώνιους, γνωστούς για τις μεγάλες μηχανικές κατασκευές τους, που ανέπτυξαν τα μαθηματικά λόγω αναγκών που προέκυψαν από τη συγκεκριμένη ενασχόλησή τους. Στους Βαβυλώνιους αποδίδεται και το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης το οποίο μέχρι και σήμερα χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς, όπως η μέτρηση του χρόνου. Επίσης είχαν συντάξει πολλούς πίνακες για πολλαπλασιασμό, εύρεση τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών, ενώ είχαν και γνώση ειδικών περιπτώσεων του Πυθαγορείου θεωρήματος, και γενικότερα έφτασαν σε μεγαλύτερο μαθηματικό επίπεδο από τους σύγχρονούς τους Αιγυπτίους. 4

5 Ο Κινέζικος πολιτισμός είναι ένας απο τους παλαιότερους και σημαντικότερους πολιτισμούς. Οι Κινέζοι ανέπτυξαν ιδιαίτερα τη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία, τις τέχνες και έκαναν πολλές εφευρέσεις. Η εμφάνιση των μαθηματικών είναι παλαιότερη απο αυτη στην αρχαία Ελλάδα αλλα δεν έχει αποσαφηνιστεί με ακρίβεια η πρώτη τους εμφάνιση χρονολογικά. Αυτό συμβαίνει γιατί οι Κινέζοι αποδίδουν στους προγόνους τους μεταγενέστερες ανακαλύψεις καθώς αποδίδουν σε αυτούς και ανακαλύψεις άλλων λαών. Ωστόσο τα πρώτα μαθηματικά τα συναντάμε σε θρησκευτικά τους κείμενα. Στην εικόνα βλέπουμε ένα σχήμα απο το ιερό βιβλίο την Αριθμητικής των Κινέζων και σύμφωνα με το μύθο βρέθηκε χαραγμένο στη πλάτη μιας χελώνας κοντά στον Κίτρινο ποταμο το 2200 πχ 5

6 To Chiu-chang-shu (Αριθμητικη σε 9 Κεφραλαια) είναι το σπουδαιότερο κείμενο της αρχαίας Κίνας. Το κείμενο αυτό αποτελείται από 9 κεφάλαια. Περιλαμβάνει κανόνες για τη μέτρηση εμβαδού διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων, ποσοστά αναλογίες, απλή μέθοδο των τριών, υπολογισμό τετραγωνικών και κυβικών ριζών, όγκους στερεών κ.ά. Τους κανόνες αυτούς εφαρμόζει σε 246 αριθμητικά και γεωμετρικά προβλήματα. Ανάμεσα τους βρίσκονται δύο πολύ γνωστά προβλήματα, των δεξαμενών και του ταχυδρόμο. Προβλήματα δεξαμενών Απο τους τέσσερις κρουνούς ο πρώτος γέμισε όλη τη δεξαμενή σε μία μέρα. Ο δεύτερος σε δύο, ο τρίτος σε τρείς και ο τέταρτος σε τέσσερις μέρες. Σε πόσο χρόνο θα τη γεμίσουν όλοι μαζί; ΛΥΣΗ Έστω χ τα λίτρα που χωράει η δεξαμενή. Σύμφωνα με την εκφώνηση έχουμε: Α κρούνος: Ρίχνει χ λίτρα σε 1 ημέρα. Β κρούνος: Ρίχνει χ λίτρα σε 2 μέρες. Γ κρούνος: Ρίχνει χ λίτρα σε 3 μέρες. Δ κρούνος: Ρίχνει χ λίτρα σε 4 μέρες. 6

7 Οπότε σε μία μέρα οι κρούνοι Α, Β, Γ και Δ ρίχνουν χ, χ/2, χ/3, χ/4 λίτρα αντίστοιχα. Επομένως όλοι μαζί μέσα σε μία μέρα ρίχνουν χ+χ/2+χ/3+χ/4= 25χ/12 λίτρα. Άρα για να γεμίσουν τη δεξαμενή, για να ρίξουν δηλαδή όλοι μαζι χ λίτρα χρειάζονται 12/25 της μέρας Ένας άλλος πολύ σημαντικός πολιτισμός είναι αυτός της Ινδίας, που είναι και ένας απο τους αρχαιότερους της ανθρωπότητας. Οι Ινδοί είχαν αναπτύξει υψυλού επιπέδου αρχαία φιλολογία και φιλοσοφία σε αντίθεση με τα μαθηματικά τους που δεν ήταν πολύ ανεπτυγμένα ή ιδιαίτερα αξιόλογα. Ωστόσο ξεχώρισαν για την επινόηση του δεκαδικού συστήματος. Τα πρώτα Ινδικά μαθηματικά τα συναντάμε σε θρησκευτικά κέιμενα όπως το Sulvasutra (περίπου το 500πχ) που περιλαμβάνει κανόνες για την κατασκευή βωμών με συγκεκτιμένες διαστάσεις, σχήμα ή γεωμετρικές ιδίοτητες. Ξεχωρίζουν κυρίως τρεις αξιόλογοι Ινδοί μαθηματικοί Ο Aryabhata (476 μχ) ο οποίος έγραψε το Arybhatiyam, το πρώτο μαθηματικό κείμενο που περιλαμβάνει Ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης και είναι ένα κείμενο γραμμένο σε ποιητική μορφή και αποτελείται απο 4 κεφάλαια. Ο Brahmagypta ( μχ) ο οποίος έγραψε το κείμενο Brahma-Sphuta- Siddhanta που είναι κείμενο που αποτελείται απο κεφάλαια έργων που είχαν ως θέμα την αστρονομία. Σε ένα απο τα κέιμενα του γενικεύεο τον τ θπο του 7

8 Ήρωνα στην περίπτωση τετραπλεύρων.δυστυχώε όμως ο τύπος αυτός είναι σωστός μόνο για εγγράψιμα τετράπλκευρα κάτι που δεν γνώριζε τότε ο Brahmagupta. Υπάρχει η άποψη οτι τον τύπο τον αντέγραψε απο χαμένο σήμερα έργο του Αρχιμήδη που ήταν σχετικό με εγγράψιμα τετράπλευρα. Απο την άλλη, ο Brahmagypta ήταν ο πρώτος που βρήκε τη γενική λύση της Διοφαντικής εξίσωσης ax+βy=c. O Βhaskara( μχ), του οποίου σήμερα σώζονται δύο έργα η Lilavanti και το Vija-Ganita. Και τα δύο περιλαμβάνουν σειρά προβλημάτων αρκετά απο τα οποία οφείλονται σε προγενέστερους του. Ωστόσο έχει κάνει σημαντικές βελτιώσεις. Πρόκειται για προβλήματα τα οποία ανάγονται στη λύση πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Άλλοι λαοί που ασχολήθηκαν την προελληνική περίοδο με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τα μαθηματικά ήταν οι Φοίνικες, και οι Κρήτες της Μινωικής περιόδου.οι μαθηματικές γνώσεις όλων αυτών των λαών κατά την προελληνική περίοδο ήταν συνυφασμένες με τη γενικότερη κοινωνική, πολιτικοοικονομική και πολιτιστική ανάπτυξή τους, και ουσιαστικά πρόκειται για συλλογή εμπειρικών 8

9 μεθόδων αναγκαίων για την εκτέλεση έργων και διαδικασιών που θα βοηθούσαν σε αυτήν την ανάπτυξη. Το γεγονός ότι οι μέθοδοι αυτές που ανέπτυξαν έμειναν σε πρακτικό επίπεδο και δεν απέκτησαν μορφή κανόνων, δηλαδή θεωρητική βάση, οφείλεται κατά κύριο λόγο στη δομή της κοινωνίας τους, καθώς οι βαθιές θεοκρατικές δομές που ίσχυαν, είχαν ως αποτέλεσμα την μη περαιτέρω εξέλιξη της κατεχόμενης γνώσης. Στην εικόνα απεικονίζεται το λεγομενο μαγικό τετράγωνο.με τα μαγικά τετρλαγωνα ασχολήθηκαν πολλοί λαοι τόσο στη Δύση όσο και στην Ανατολή και είναι πάρα πολλές οι συλλογές διασκεδαστικών μαθηματικών που αναφέρονται σε αυτά ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Οι πρώτες πυραμίδες εμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια του Αρχαίου Βασιλείου ( π.χ.) ανάμεσα σε αυτές και η Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα, ένα από τα επτά θαύματα του κόσμου. Οι πρώτοι τάφοι των Αιγυπτίων ήταν τύμβοι που φτιάχνονταν όταν κάλυπταν έναν απλό τάφο με χαλίκια. Αργότερα, οι αξιωματούχοι και οι Φαραώ θάβονταν σε στενόμακρα κτήρια από τούβλα λάσπης, τους μασταμπάδες. Μερικοί μασταμπάδες 9

10 καλύπτονταν, επίσης με τούβλα. Ωστόσο η πρώτη πυραμίδα και ο πρώτος πέτρινος τάφος ήταν η Βαθμιδωτή πυραμίδα του Φαραώ Ζονέρ. Σιγά σιγά όμως η μορφή άρχισε αλλάζει. Οι βαθμιδωτές πυραμίδες συμβόλιζαν την σκάλα με την οποία ο νεκρός θα έφτανε στα αστέρια μαζί με τους άλλους θεούς. Κατά την διάρκεια του χρόνου, όμως, ο ήλιος πήρε μεγαλύτερη σημασία από τα αστέρια, κι έτσι χτίστηκαν οι πραγματικές πυραμίδες που οι πλευρές τους συμβόλιζαν τις ακτίνες του ήλιου. ΠΩΣ ΧΤΙΖΟΤΑΝ ΜΙΑ ΠΥΡΑΜΙΔΑ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για το χτίσιμο της πυραμίδας χρειαζόταν βασικά σκληρή πέτρα. Έτσι οι Αιγύπτιοι έφτιαχναν τις πυραμίδες με κομμάτια δολερίτη, ένα είδος πολύ σκληρής πέτρας. Οι «οικοδόμοι» δούλευαν την πέτρα με τα σκαρπέλα. Τα άκρα των σκαρπέλων τα θέρμαιναν για να είναι πιο κοφτερά. Οι οικοδόμοι χτυπούσαν τα σκαρπέλα με σφυριά. Οι εργάτες χρησιμοποιούσαν σφήνες για να σταθεροποιήσουν τους ογκόλιθους μεταξύ τους, κολλώντας τα άκρα τους σε εσοχές των λίθων. 10

11 ΤΟ ΧΤΙΣΙΜΟ ΤΗΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ Η μόνη περιγραφή χτισίματος μιας πυραμίδας ήταν του Ηρόδοτου αλλά οι αρχαιολόγοι δεν το υπολογίζουν πάρα πολύ. Ο Ηρόδοτος είπε ότι για να χτιστεί η Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα χρειάστηκαν εργάτες, για 20 χρόνια. Ο Ηρόδοτος γράφει ότι χρησιμοποιούσαν ανυψωτικές μηχανές, αλλά δεν υπάρχουν αποδείξεις γι αυτό. Σήμερα πιστεύουμε ότι δούλευαν ειδικευμένοι εργάτες όλο τον χρόνο και κατά την ετήσια πλημμύρα γίνονταν περισσότεροι. Όσο για τους ογκόλιθους, είναι πιθανότερο να τους έσερναν πάνω σε ράμπα. Νέα δεδομένα όσον αφορά στον τρόπο μεταφοράς των ογκολίθων που χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή των πυραμίδων της Αιγύπτου αποκαλύπτει έρευνα επιστημόνων του FOM Foundation και του Πανεπιστημίου του Άμστερνταμ. Σύμφωνα με τη μελέτη, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν ένα ιδιαίτερο «τέχνασμα» για να κάνουν ευκολότερη τη μεταφορά των τεραστίων λίθων μέσω ελκήθρων: έβρεχαν την άμμο πάνω στην οποίο κινούνταν το «όχημα», με αποτέλεσμα, εφόσον χρησιμοποιούνταν η κατάλληλη ποσότητα νερού, να υποδιπλασιάζεται ο αριθμός των εργατών που απαιτούνταν. Η έρευνα δημοσιεύθηκε online στο Physical Review Letters. Για την κατασκευή των πυραμίδων, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι έπρεπε να μεταφέρουν τεράστιους ογκόλιθους και μεγάλα αγάλματα στην έρημο, τα οποία τοποθετούσαν σε έλκηθρα που σέρνονταν στην άμμο- την οποία, όπως φαίνεται, έβρεχαν. 11

12 Όπως έδειξαν πειράματα, το σωστό επίπεδο υγρασίας στην άμμο μειώνει κατά το ήμισυ τη δύναμη που χρειάζεται για να συρθεί ένα αντικείμενο. Ειδικότερα, οι ερευνητές τοποθέτησαν ένα τέτοιου είδους έλκηθρο σε μία έκταση άμμου και υπολόγισαν τη δύναμη που χρειάζεται, καθώς και την ακαμψία/ σταθερότητα της άμμου σε σχέση με το νερό που χρησιμοποιείται για την ύγρανσή της, μέσω της χρήσης ρεόμετρου. Η σωστή ποσότητα νερού ήταν «κλειδί» για τη διαδικασία, διευκολύνοντας τη μεταφορά, εφόσον η βρεγμένη άμμος δεν συσσωρευόταν μπροστά από το έλκηθρο όπως όταν ήταν στεγνή. Οι Αιγύπτιοι φαίνεται ότι χρησιμοποιούσαν τη συγκεκριμένη τεχνική, καθώς σε τοιχογραφία στον τάφο του Τζεχουτιχοτέπ απεικονίζεται ένα άτομο μπροστά από ένα έλκηθρο να ρίχνει νερό στην άμμο. Πέρα από την αρχαιολογική αξία της ανακάλυψης, η έρευνα ίσως να οδηγήσει και σε μοντέρνες εφαρμογές όσον αφορά στη μεταφορά και την επεξεργασία κοκκωδών υλικών. Η θεωρία της εσωτερικής ράμπας Μια ριζοσπαστική νέα ιδέα έχει πρόσφατα παρουσιάστηκε από τον Jean-Pierre Houdin, ένα Γάλλο αρχιτέκτονα ο οποίος έχει αφιερώσει τα τελευταία επτά χρόνια της ζωής του για να κάνει λεπτομερή μοντέλα υπολογιστών της Μεγάλης Πυραμίδας. Χρησιμοποιώντας start-of-the-art λογισμικό 3-D που αναπτύχθηκε 12

13 από την Dassault Systemes, σε συνδυασμό με την αρχική πρόταση του Henri Houdin, μηχανικός πατέρας του, ο αρχιτέκτονας έχει καταλήξει στο συμπέρασμα ότι μια ράμπα χρησιμοποιήθηκε πράγματι για να αυξήσει τα μπλοκ στην κορυφή, και ότι η ράμπα εξακολουθεί να υπάρχει - στο εσωτερικό της πυραμίδας! Η θεωρία προτείνει ότι για το τρίτο κάτω μέρος της πυραμίδας, τα μπλοκ σύρθηκαν μια ευθεία, εξωτερική ράμπα. Αυτή η ράμπα ήταν πολύ μικρότερη από εκείνη που απαιτείται για να φτάσουν στην κορυφή, και ήταν κατασκευασμένο από πωρόλιθους, ελαφρώς μικρότερα από εκείνα που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή του κάτω τρίτου της πυραμίδας Δεδομένου ότι η βάση της πυραμίδας χτιζόταν μέσω της εξωτερικής ράμπας, μια δεύτερη ράμπα χτιζόταν, στο εσωτερικό της πυραμίδας, την οποία θα πρέπει να ανασύρονται τα στοιχεία για τα κορυφαία δύο-τρίτα της πυραμίδας. Η εσωτερική ράμπα, σύμφωνα με Houdin, αρχίζει στο κάτω μέρος, είναι περίπου 6 πόδια ευρύ, και έχει ένα βαθμό από περίπου 7 τοις εκατό. Αυτή η ράμπα τέθηκε σε χρήση μετά από το κατώτερο τρίτο της πυραμίδας ολοκληρώθηκε και η εξωτερική ράμπα είχε υπηρετήσει τον σκοπό του. 13

14 ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΠΟΥ ΘΑ ΕΠΡΕΠΕ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΚΑΙ ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΟΥΣ 1. Η Πυραμίδα του Χέοπα έχει μέγεθος όσο 7 ή 8 γήπεδα ποδοσφαίρου μαζί (230 * 230 μέτρα). 2. Οι πυραμίδες βρίσκονται στις ακτές του Νείλου γιατί μερικοί ογκόλιθοι χρειάζονταν να μεταφερθούν από τα λατομεία με πλοία. 3. Όλες οι πυραμίδες βρίσκονται στην δυτική όχθη του Νείλου, όπου δύει ο ήλιος, προφανώς για θρησκευτικούς λόγους. 4. Ο νεκρός Φαραώ θαβόταν με ένα κείμενο το λεγόμενο «βιβλίο των Νεκρών» που του έδινε συμβουλές για το πώς να φτάσει στον Κάτω Κόσμο. 5. Ο Φαραώ θαβόταν μαζί με το ζωάκι του (αν είχε) και τα αγαπημένα του αντικείμενα. V. ΔΙΑΣΗΜΕΣ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Οι Πυραμίδες της Γκίζας ü Η Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα ένα από τα εφτά θαύματα του κόσμου και η μεγαλύτερη από τις τρεις πυραμίδες της Γκίζας. Χρονολογείται γύρω στο 2550 π. Χ. Παρόλο το μεγαλείο της πυραμίδας, η μούμια του Φαραώ Χέοπα δεν βρέθηκε ποτέ ενώ μερικοί από τους θησαυρούς του βρέθηκαν εκεί. Υπάρχουν τρεις γνωστοί θάλαμοι μέσα στην Μεγάλη 14

15 Πυραμίδα. Αυτός που βρίσκεται πιο χαμηλά, είναι σκαμμένος στο βραχώδες υπόστρωμα κάτω από την πυραμίδα, και είναι ημιτελής. Οι λεγόμενοι θάλαμοι της Βασίλισσας και του Βασιλιά, είναι ψηλότερα, χτισμένοι μέσα στο εσωτερικό της πυραμίδας. Η Μεγάλη Πυραμίδα είναι η μόνη γνωστή στη Αίγυπτο που έχει διαδρόμους που και κατεβαίνουν και ανεβαίνουν. Το συγκρότημα της πυραμίδας περιλαμβάνει δύο ναούς νεκρικής λατρείας προς τιμήν του Χέοπα (έναν δίπλα στην πυραμίδα και τον άλλον κοντά στον Νείλο), τρεις μικρότερες πυραμίδες για τις γυναίκες του, καθώς και μία μικρότερη πυραμίδα "δορυφόρο", έναν στεγασμένο διάδρομο που ένωνε τους δύο ναούς, και μικρότερους τάφους μασταμπάδες οι οποίοι ανήκουν σε ευγενείς και βρίσκονται γύρω από την πυραμίδα Το σχημα της πυραμιδας αλλα και οι διαστασεις της κρυβουν πολλες ιδιοτητες και πολλα αστρονομικα στοιχεια. ας τα μελετησουμε εναενα. 1)το ύψος της πυραμίδας είναι 147,649 μέτρα και το μήκος κάθε πλευράς.είναι 231,927 μέτρα, διαιρόντας το τετραπλάσιο της πλευράς δηλαδή την περιφέρεια προκύπτει το γνωστό μας π δηλαδή το σταθερό νούμερο που πολλαπλασιάζουμε με την διάμετρο ενός κύκλου για να βρούμε την περιφέρεια του. 2)το βάρος της πυραμίδας το οποίο είναι τόνοι με την προσθήκη 15 μηδενικών μας δίνει το βάρος της γής. 15

16 3)ο λόγος της περιμέτρου δηλαδή (4*231,927=927,708) πρός το ύψος της πυραμίδας 147,649 μας δίνει 6,283 δηλαδή 2π, οσο και ο λόγος της ακτίνας των πόλων της γής πρός την περιφέρεια της. 4)αν πολλαπλασιάσουμε το ύψος της πυραμίδας με το δέκα και υψώσουμε το γινόμενο στήν 9η δύναμη θα βρούμε την απόσταση γήςήλιου,δηλαδή το σχήμα επίσης θεωρείται οτι δεν είναι τυχαίο σύμφωνα με έρευνες που έχουν γίνει εχει διαπιστωθεί οτι σε αυτό το σχήμα υπάρχει μια βιοκοσμική ενέργεια η οποία ευθύνεται για παράδειγμα στην πιο γρήγορη ανάπτυξη ενός φυτού που βρίσκεται μέσα σε αυτή, εν αντιθέση με ένα άλλο ίδιο που βρίσκεται εκτός. επίσης έχει αποδειχθεί οτι συντελεί στήν αφυδάτωση τών κρεάτων ü Η δεύτερη πυραμίδα, χτισμένη από το Φαραώ Χεφρήνα, (Χαφρέ) χρονολογείται γύρω στο 2520 π. Χ. Είναι μόλις 3 μέτρα πιο κοντή από την πυραμίδα του Χέοπα. ü Η τρίτη πυραμίδα, χτισμένη από τον Φαραώ Μενκαουρέ χρονολογείται γύρω στο 2490 π. Χ. Είναι η πιο μικρή από τις τρεις, καθώς φτάνει μόλις τα 66 μέτρα. 16

Οι πυραμίδες είναι τάφοι για τους βασιλιάδες της Αιγύπτου, τους Φαραώ. Σκοπός της πυραμίδας ήταν να «στεγάσει» το νεκρό Φαραώ κατά τη διάρκεια της

Οι πυραμίδες είναι τάφοι για τους βασιλιάδες της Αιγύπτου, τους Φαραώ. Σκοπός της πυραμίδας ήταν να «στεγάσει» το νεκρό Φαραώ κατά τη διάρκεια της ΑΙΓΥΠΤΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Οι πυραμίδες είναι τάφοι για τους βασιλιάδες της Αιγύπτου, τους Φαραώ. Σκοπός της πυραμίδας ήταν να «στεγάσει» το νεκρό Φαραώ κατά τη διάρκεια της μεταθανάτιας ζωής του. Οι αρχαιολόγοι

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ Χτισμένες στη Νεκρόπολη της Γκίζας, μία ανάσα από την πρωτεύουσα της Αιγύπτου, το Κάιρο, αποτελούν το αρχαιότερο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

2. Η ΑΙΓΥΠΤΟΣ (Σελ )

2. Η ΑΙΓΥΠΤΟΣ (Σελ ) 2. Η ΑΙΓΥΠΤΟΣ (Σελ. 20-23) 2.1. Η Χώρα. Νείλος : Πηγές από Αιθιοπία και δέλτα. Δυτικά : Η Λιβυκή έρημος. Ανατολικά : Η έρημος του Σινά έως Ερυθρά Θάλασσα. Λάσπη Ευφορία. Άνω Αίγυπτος-Κάτω Αίγυπτος. 2.2.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας.

Πρόλογος. 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5. ιαµωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη

Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη Θέμα: Η Γεωμετρία εκτός της Ελλάδας, μέχρι τον 3 ο αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα Oι πυραμίδες που έχουν εντοπιστεί στην Ελλάδα, αποτελούν μοναδικά δείγματα πυραμιδικής αρχιτεκτονικής στον ευρωπαϊκό χώρο. Η μορφή τους, η αρχιτεκτονική τους, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα 8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα υπεύθυνου τµήµατος : Γλαρού Άννα ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορική αναδρομή!!!

Ιστορική αναδρομή!!! Ιστορική αναδρομή!!! Προϊστορικά χρόνια τροφοσυλλέκτης αρχικά για να βρίσκει την τροφή του να φτιάχνει τα καταφύγιά του σημαντικότεροι σταθμοί στην ιστορία του ανθρώπου μυϊκή ενέργεια αργότερα φτιάχνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια Οι ρίζες του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκονται στη Γεωμετρία. Το θεώρημα διαδραματίζει κεντρικό ρόλο σε πολυάριθμους επιστημονικούς κλάδους,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Τα Μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

3-10-2012 : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ. Τάνγκραµ

3-10-2012 : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ. Τάνγκραµ 3-10-2012 ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ Τάνγκραµ Το τάνγκραµ είναι ένα παλιό κινέζικο παιχνίδι που χρονολογείται πριν το 18 ο αιώνα. Οι πρώτες δηµοσιεύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ Τμήμα Α1 Ομάδα 1 Γούλα Χρυσούλα Δέλλιου Ευγενία Γκλατκίχ Γιάννης Μακράκης Παναγιώτης Εμίν Ογλού Εμίν ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-500 π.χ.) Ιπποκράτης ο Χίος

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 28.03.12 Χ. Χαραλάμπους Τι είναι αριθμητική? Τι είναι Άλγεβρα? Είναι Άλγεβρα η «Γεωμετρική Άλγεβρα»? Έκανε ο Διόφαντος Άλγεβρα? Ασχολήθηκαν με Άλγεβρα οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι? Πολυωνυμικές

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Διήμερη εκδρομή στην Αθήνα

Διήμερη εκδρομή στην Αθήνα Διήμερη εκδρομή στην Αθήνα Την Πέμπτη 16 Ιανουαρίου ξεκινήσαμε το πρωί από τα Τρίκαλα για την διήμερη εκδρομή που είχε οργανώσει το σχολείο μας με προορισμό την Αθήνα. Όλοι ανυπομονούσαμε γι αυτήν την

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Τα Μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Τα 7 θαύματα του αρχαίου κόσμου Χαρίδης Φίλιππος

Τα 7 θαύματα του αρχαίου κόσμου Χαρίδης Φίλιππος Τα 7 θαύματα του αρχαίου κόσμου Χαρίδης Φίλιππος 1. Η μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας Η τεράστια αυτή πυραμίδα είναι το αρχαιότερο από τα εφτά θαύματα του Αρχαίου Κόσμου, αλλά είναι το μόνο που διασώζετε 4.000χ.Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα ilias ili Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα Αριθμοί μέχρι το 1000 - Οι τέσσερις πράξεις Γεωμετρικά σχήματα Πηγή: e-selides 1) Γράφω τους

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εχοντας εμφανιστεί στη Γη πριν από τέσσερα

Εχοντας εμφανιστεί στη Γη πριν από τέσσερα Στην αυγή της ιστορίας Μισοί άνθρωποι, μισοί ζώα, οι θεοί των Αιγυπτίων είναι χιλιάδες. Ο Θεός του Ήλιου, ο Ρα, είναι επίσης και ο πατέρας του φαραώ που κυβερνάει. Εχοντας εμφανιστεί στη Γη πριν από τέσσερα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: ΣΤ Η γάτα και το ποντίκι 1. Ένα ποντίκι βρίσκεται πάνω σε έναν τοίχο ύψους 2 μέτρων και κάτω στο έδαφος, περιμένοντας το, βρίσκεται μια γάτα. Κατά τη διάρκεια της

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Μιχάλης Λάµπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Αν όπου είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, τότε ο αριθµός αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπεύουμε να επιδιορθώσουμε έναν παλιό φράχτη σε ένα αγρόκτημα και για την καταγραφή των υλικών μετράμε τις αποστάσεις ανάμεσα στους πασσάλους.

Σκοπεύουμε να επιδιορθώσουμε έναν παλιό φράχτη σε ένα αγρόκτημα και για την καταγραφή των υλικών μετράμε τις αποστάσεις ανάμεσα στους πασσάλους. ΜΑΘΗΜΑ 6Ο Σκοπεύουμε να επιδιορθώσουμε έναν παλιό φράχτη σε ένα αγρόκτημα και για την καταγραφή των υλικών μετράμε τις αποστάσεις ανάμεσα στους πασσάλους. Αυτές οι μετρήσεις αποκαλύπτουν ότι οι πάσσαλοι

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΓΥΠΤΟΣ. Κάτω Αίγυπτος: είναι το βόρειο τμήμα που βρέχεται από την Μεσόγειο. Αποτελεί το εύφορο τμήμα- δέλτα του Νείλου Πρωτεύουσα η Μέμφιδα

ΑΙΓΥΠΤΟΣ. Κάτω Αίγυπτος: είναι το βόρειο τμήμα που βρέχεται από την Μεσόγειο. Αποτελεί το εύφορο τμήμα- δέλτα του Νείλου Πρωτεύουσα η Μέμφιδα ΑΙΓΥΠΤΟΣ Κάτω Αίγυπτος: είναι το βόρειο τμήμα που βρέχεται από την Μεσόγειο. Αποτελεί το εύφορο τμήμα- δέλτα του Νείλου Πρωτεύουσα η Μέμφιδα Άνω Αίγυπτος: είναι το νότιο τμήμα και ορεινό τμήμα υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α.

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου 013 στο 17 ο ΓΕΛ από τους καθηγητές Ν.Κ, Κ.Μ, Δ.Α. Παρακάτω παρατίθενται τα θέματα και οι λύσεις ανεπτυγμένες σε κάποια σημεία, με σχόλια καθώς

Διαβάστε περισσότερα

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μελετώντας το παρελθόν και παρατηρώντας την σταδιακή εξέλιξη των μαθηματικών από τούς προελληνικούς χρόνους έως σήμερα, διαπιστώνουμε ότι τα μαθηματικά αποτέλεσαν έναν από

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα 1 Εξισώσεις 1. Η Αντωνία διάβασε τις πρώτες 78 σελίδες ενός βιβλίου, που έχει συνολικά 130 σελίδες. Ποια μαθηματική πρόταση μπορεί να χρησιμοποιήσει η Αντωνία,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ 1 Επίλυση προβλημάτων με αριθμητικά και αλγεβρικά εργαλεία Από τους Βαβυλώνιους έως τον Euler Παρουσίαση : Ασημάκης Παναγιώτης Αθήνα, Ιούνιος 2012 Ορφανάκης Σπύρος Αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ακολούθησέ με... στην ακρόπολη των Μυκηνών

Ακολούθησέ με... στην ακρόπολη των Μυκηνών ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΟΥΣΕΙΩΝ TMHMA ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ακολούθησέ με... στην ακρόπολη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

7. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του (δεκαδικού) αριθμού ; Α: 4 Β: 6 Γ: 7 Δ: 10

7. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του (δεκαδικού) αριθμού ; Α: 4 Β: 6 Γ: 7 Δ: 10 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Σ ένα ημερολόγιο διαγράφουμε τις ημερομηνίες του μηνός Ιουλίου 2004 οι οποίες περιέχουν ένα τουλάχιστον περιττό ψηφίο. Ποιος είναι ο αριθμός των ημερών που μένουν; Α: 9 Β: 10 Γ:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2012 6.05.14 Χ. Χαραλάμπους François Viète (επάγγελμα: δικηγόρος) (1540 1603) Γάλλος Σύμβουλος του Ερρίκου ΙΙΙ και του Ερρίκου IV. H πιο παραγωγική μαθηματικά περίοδος της ζωής του ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων IP Fragmentation. Ασκήσεις στο IP Fragmentation

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων IP Fragmentation. Ασκήσεις στο IP Fragmentation Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων IP Fragmentation Οι σημειώσεις που ακολουθούν περιγράφουν τις ασκήσεις IP Fragmentation που θα συναντήσετε στο κεφάλαιο 3. Η πιο συνηθισμένη και βασική άσκηση αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Με τον Αιγυπτιακό

Με τον Αιγυπτιακό Με ποιον πολιτισμό θα ασχοληθούμε; Με τον Αιγυπτιακό Η θέση της Αιγύπτου Τι βλέπετε; Αίγυπτος και Νείλος Η Αίγυπτος οφείλει την ύπαρξη της στον Νείλο. Το άγονο έδαφος κατέστη εύφορο χάρη στις πλημμύρες,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Όψεις Βυζαντίου... στο Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας. Εφορεία Αρχαιοτήτων Θεσπρωτίας

Όψεις Βυζαντίου... στο Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας. Εφορεία Αρχαιοτήτων Θεσπρωτίας Εφορεία Αρχαιοτήτων Θεσπρωτίας... στο Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας Το φυλλάδιο αυτό είναι του/της... που επισκέφθηκε το Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας στις... Το φυλλάδιο που κρατάς στα χέρια σου

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δάσκαλοι και μαθητές Παίζουμε και μαθαίνουμε!

Δάσκαλοι και μαθητές Παίζουμε και μαθαίνουμε! Δάσκαλοι και μαθητές Παίζουμε και μαθαίνουμε! Συντελεστές: Γιάννης Π. Κρόκος - Μαθηματικός Βασίλης Τσιλιβής Μαθηματικός Φιλίππια Γαλιατσάτου - Δασκάλα Πολιτικός Μηχανικός «Η επίλυση των προβλημάτων & των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

(αριθµός καρβελιών ή ποτηριών προς αριθµό των χεκάτ σπυριών σιταριού = πεσού µπύρας ή ψωµιού)

(αριθµός καρβελιών ή ποτηριών προς αριθµό των χεκάτ σπυριών σιταριού = πεσού µπύρας ή ψωµιού) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΕΣΟΥ [ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΤΟΥ GILLINGS R. 1971 Το πεσού είναι ένα µέτρο της πυκνότητας της µπύρας ή του ψωµιού, αφού έχουν ήδη παρασκευαστεί. Δεν είναι ένα µέτρο της ποιότητας του κριθαριού, του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα