4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ"

Στυλιανός Φραγκούδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f T f T f ραγματικός αριθμός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f Η συνάρτηση f = ημ 3 Τ 3 Μελέτη της f = ημ Πεδίο ορισμού: A f A, Σύνολο τιμών: Περιοδικότητα : Η συνάρτηση f = ημ έχει ερίοδο T Ισχύει ημ ημ ημ Συμμετρίες: Η συνάρτηση f = ημ είναι εριττή και συνεώς έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0,0 του συστήματος Ισχύει: ημ ημ για κάθε Μονοτονία : Εξετάζουμε τη μονοτονία σε διάστημα μιας εριόδου, δηλαδή στο f = ημ είναι: 0, Η συνάρτηση Ακρότατα: Η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στα διαστήματα 0, και 3, 3 γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, f = ημ αρουσιάζει : μέγιστο το για ( γενικά για κ κ ) ελάχιστο το για 3 ( γενικά για κ κ )

2 3 Η συνάρτηση f = συν 3 Τ 3 Μελέτη της f = συν Πεδίο ορισμού: A Σύνολο τιμών: f A, Περιοδικότητα : Η συνάρτηση f = συν έχει ερίοδο T Ισχύει συν συν συν Συμμετρίες: Η συνάρτηση f = συν είναι άρτια και συνεώς έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα του συστήματος Ισχύει: συν συν για κάθε Μονοτονία : Εξετάζουμε τη μονοτονία σε διάστημα μιας εριόδου, δηλαδή στο 0, Η συνάρτηση f = συν είναι: γνησίως φθίνουσα στο διαστήματα 0, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Ακρότατα: Η συνάρτηση f = συν αρουσιάζει : μέγιστο το για 0 ( γενικά για κ κ ) ελάχιστο το για ( γενικά για κ κ )

3 Η συνάρτηση f = εφ Μελέτη της f = εφ A / συν 0 / κ, κ Πεδίο ορισμού: Σύνολο τιμών: f A Περιοδικότητα : Η συνάρτηση f = εφ έχει ερίοδο T Ισχύει εφ εφ εφ Συμμετρίες: Η συνάρτηση f = εφ είναι εριττή και συνεώς έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0,0 του συστήματος Ισχύει: εφ εφ για κάθε Α Μονοτονία : Εξετάζουμε τη μονοτονία στο ανοικτό διάστημα μιας εριόδου, (βολεύει), το, Η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα f = εφ είναι:, Ακρότατα: Η συνάρτηση f = εφ δεν έχει ακρότατα, δηλαδή δεν αρου- σιάζει μέγιστη κα ελάχιστη τιμή: 3 O 3 Τ 3

4 Ασύμτωτες: Κάθε ευθεία της μορφής κ, κ είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της συνάρτησης f = εφ 5 Η συνάρτηση f = σφ Μελέτη της f = σφ Πεδίο ορισμού: A / ημ 0 / κ, κ Σύνολο τιμών: f A Περιοδικότητα : Η συνάρτηση f = σφ έχει ερίοδο T Ισχύει σφ σφ σφ Συμμετρίες: Η συνάρτηση f = σφ είναι εριττή και συνεώς έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0,0 του συστήματος Ισχύει: Μονοτονία : σφ σφ για κάθε Α Εξετάζουμε τη μονοτονία στο ανοικτό διάστημα μιας εριόδου, (βολεύει) το 0, Η συνάρτηση f = εφ είναι: γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, Ακρότατα: Η συνάρτηση f = σφ δεν έχει ακρότατα, δηλαδή δεν αρου- σιάζει μέγιστη κα ελάχιστη τιμή: 3 O 3 Τ Ασύμτωτες: Κάθε ευθεία της μορφής κ, κ είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της συνάρτησης f = σφ

5 6 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f f είναι συμμετρικές ως ρος τον άξονα Στα αρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f ημ και f ημ f η μ 3 3 f η μ 6 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f + c και f ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f + c και f c, c > 0 ροκύτουν αό την κατακόρυφη μετατόιση της συνάρτησης c, c > 0 f κατά c μονά- δες ρος τα «άνω» ή ρος τα «κάτω», αντίστοιχα Στα αρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f συν, f συν και f συν 3 f σ υ ν 3 f σ υ ν 3 f σ υ ν 5

6 7 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ρ ημ και g = ρ συν ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ρ ημ και g = ρ συν έχουν: ερίοδο Τ μέγιστη τιμή ελάχιστη μέγιστη τιμή ρ ρ Στο αρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ημ και g = συν f η μ 3 3 g σ υ ν 8 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ρ ημ ω και g = ρ συν ω, ω > 0 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ρ ημ ω και g = ρ συν ω έχουν: ερίοδο Τ ω μέγιστη τιμή ρ ελάχιστη τιμή ρ Στα αρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ημ και f = 3 ημ στο διάστημα 0, 6

7 3 f η μ 3 3 f 3η μ και των συναρτήσεων g συν και g συν, στο διάστημα 0, g σ υ ν g σ υ ν 3 9 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων c c g = ρ συν ω, ω > 0 και c > 0 ι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ρ ημ ω g = ρσυν ω c έχουν: ερίοδο Τ ω μέγιστη τιμή ρ c f = ρ ημ ω και c και 7

8 ελάχιστη τιμή ρ c Στα αρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f = ημ και f = 3 ημ στο διάστημα 0, f η μ 3 f 3η μ Εφαρμογή Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f = ημ + 3 Λύση Η f έχει ερίοδο Τ Εομένως θα μελετήσουμε τη συνάρτηση f σε ω λάτος μιας εριόδου Τ Έχουμε: 0 7 Η γραφική αράσταση θα έχει μία «λήρη» ημιτονοειδή συμεριφορά στο διάστημα 7, Για την κατασκευή της συμληρώνουμε τον αρακάτω ίνακα 8

9 ημ ημ ημ 3 3 μέγιστο 3 ελάχιστο Τ 3 5 9

Σχετικά έγγραφα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A