Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 13.07

Transcript

1 Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ - 4 M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά.7 [Μαθηματικά] Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2 7

3 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ C. Να γράψετε σε «κανονική» µορφή τους µιγαδικούς,,, όταν + i i, i i. Να βρεθούν οι α,β όταν: ισχύει ότι ισχύει ότι (α+ β) + (α β ) i 5+ 5i. + 5i (α+ βi) i. Να α οδείξετε ότι + i i + i i i + i i + i.4 Έστω οι αριθµοί κ,λ,µ,ν Ν οι ο οίοι αν διαιρεθούν µε το 4 αφήνουν το ίδιο υ όλοι ο. Να α οδείξετε ότι: i) κ λ µ ν i i i i ii) κ+ λ + µ + ν i. ν.9 Έστω ένας µιγαδικός και f( ν) i C, * ν Ν, τότε A) να α οδείξετε: f + f( 8) + f + f( 8) να υ ολογίσετε την αράσταση f( 8κ) + f( 8κ+ ) + f( 8κ ) + f( 8κ+ 4), ν. Αν f( ν) i ( i),, * κ Ν * ν N να α οδείξετε ότι f( 4ν) + f( 4ν+ ) + f( 4ν+ ) + f( 4ν+ ) και f + f + f( ) f( ) + i.. Να α οδείξετε ότι : 4ν 4ν + 4i + 4+ i για κάθε ν Ν.. Ο µιγαδικός + i να αναλυθεί σε ά- θροισµα δύο µιγαδικών u,w ου οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες y και y αντίστοιχα..5 Να δείξετε ότι για κάθε ν Ν * ισχύει ν ν+ ν+ ν+ i + i + i + i + i i i i ν ν+ ν+ ν+.6 Να α οδείξετε ότι (α+ βi) + (β αi), α,β.7 Aν ν Ν *, να βρείτε τα αθροίσµατα: ( ) i+ i i i και i+ + i i ν + ν i. Να λύσετε στο C τις εξισώσεις: + 4+ ( i) + i Γ) λ 4 λ( i 4λ) + για κάθε λ C.4 Αν,w C µατα:,, y να λύσετε τα συστή- 5i 8w 7 ( + i) + 6iw 5 4i + i + iw 5+ 6i + + i w 6 i.8 Να βρείτε τις τιµές του ν IN για τις ο- οίες ισχύει κάθε µια α ό τις ισότητες: ν i + ν (+ i) ( i) ν.5 Αν C και + +, να α οδείξετε 4 ότι: + 4

4 4 ο ΓΛΧ 4.6 Για το µιγαδικό ισχύει ότι Να α οδείξετε ότι Στο µιγαδικό ε ί εδο να σηµειώσετε το σύνολο των σηµείων ου είναι εικόνες των µιγαδικών όταν: κ + 5(+ κ)i, κ, B) + α + 4α+ i, α. Γ) + iσυνθ, θ [, ), ) Ε) ηµθ+ λ i για κάθε θ, λ ηµ θ ηµθ συνθ i, θ Στ) κ + 5(+ λ)i, αν κ λ Ζ) κ + + iεφθ, θ συνθ, κ Ζ.8 'Έστω M,M οι εικόνες των µιγαδικών + ηµθ+ iσυνθ, ηµθ+ iσυνθ, θ, Να δείξετε ότι τα M,M ανήκουν στον ίδιο κύκλο να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο του µέσου M, του ευθύγραµµου τµήµατος MM,.9 Για τους, w C ισχύει ότι w+. Να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο της εικόνας Μ του όταν οι εικόνες,, w είναι σηµεία συνευθειακά. Αν οι εικόνες των µιγαδικών,, i βρίσκονται στην ίδια ευθεία, να α οδείξετε ότι ο γεωµετρικός τό ος των σηµείων M() είναι κύκλος. Αν η εικόνα του µιγαδικού α+ β i, α,β ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το O(,) και ακτίνα, να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής στην ο οία κινούνται ότι οι εικόνες των µιγαδικών α- ριθµών w µε w +. Αν η εικόνα του w είναι στην ευθεία, να βρεθεί ο γεωµετρικός τό ος των εικόνων w του w+ i.4 Να βρείτε το γεωµετρικό τό ο των σηµείων (, y ) αν ισχύει, y,λ λ y i λ i,.5 Έστω ο + yi, y και η ισότητα ( ) + (4 y )i α + (α 7)i, η ο οία είναι αληθής για κάθε α. Να δείξετε ότι για κάθε α τα σηµεία Μ() ανήκουν σε κύκλο.6 Να ροσδιορίσετε γεωµετρικά το σύνολο ln( λ) i των εικόνων των µιγαδικών λ, λ (, + ).7 Για τους ραγµατικούς αριθµούς α, β, ισχύει ότι α + β 6. Αν 5 α+ βi, να α ο- 4 4 δείξετε ότι ο γεωµετρικός τό ος των εικόνων του είναι έλλειψη.. Να βρείτε τη γραµµή Cστην ο οία ανήκει η εικόνα του µιγαδικού σε κάθε µια α ό τις ερι τώσεις εφθ i, θ κ +, κ Ζ συνθ σφθ+ i, θ κ, κ Ζ ηµθ.8 Έστω οι µιγαδικοί λ + (λ+ )i, λ και w ( i) Να βρείτε τους γεωµετρικούς τό ους των, wκαθώς και τη σχέση τους Να βρείτε τον µιγαδικό ου έχει την λησιέστερη εικόνα στην αρχή O(,) Γ) Να βρείτε την ελάχιστη α όσταση των εικόνων των και w για κάθε λ Μ. Πα αγρηγοράκης

5 5 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.9 Να βρεθούν οι α,β,γ ώστε να είναι συζυγείς οι µιγαδικοί,w όταν: α+ + γ 4 + β i και w + γ i. Αν, C να δείξετε ότι ( )( ) e( ) e( ). Aν,w C να α οδείξετε ότι Α. είναι ραγµατικοί οι αριθµοί οι: + i +i και ( ) + B. είναι φανταστικοί οι αριθµοί οι: ( +i) ( i) ( +i) + ( i) και u u w u w u. Έστω οι,w µε C, w C {,}. Να α οδείξετε ότι w w. w w +. Αν w + µε, C, και. Να α οδείξετε ότι w I..4 Να λύσετε την εξίσωση + i( ).5 Να λύσετε το σύσηµα + ( + i) w + i ( + i) + ( + i) w.6 Αν,w C, w, να δείξετε ότι: w+ w w w e και Im w ww w iww.7 Αν,, C να δείξετε ότι: Im( ) + Im( ) + Im( ).8 Για κάθε µιγαδικό να α οδείξετε ότι: A) (+ ) B) ( )..9 Έστω ο µιγαδικός µε. Αν w +, να α οδείξετε ότι ο w είναι ραγµατικός w Γ) Αν w τότε ) Αν w τότε I.4 Να α οδείξετε ότι: 4ν Γ) + 4i + 4+ i, ν Ν ν ν 4ν (+ i) + ( i), ν Ν 4ν ν ( + i) ( 4) και να υ ολογίσετε την αράσταση Α ) για κάθε ν Ν *.4 Να α οδείξετε ότι i i + i + i ν.4 Αν f( ν) i ( i), f + f + f( ) f( ) + i.4 Έστω + yi,,y και * ν N, να δείξετε ότι 4 w, 4 4. Να βρείτε το γεωµετρικό τό ο των σηµείων M() του µιγαδικού ε ι έδου, όταν w..44 Να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο των εικόνων του, όταν ισχύει ( α)(+ α) (+ α)(α ), * α Να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο των ση- µείων ου είναι εικόνες των ριζών κάθε µιας α ό τις εξισώσεις:

6 4 ο ΓΛΧ Έστω + yi,,y και M( ) εικόνα του στο µιγαδικό ε ί εδο. Αν είναι w, να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο του M, όταν e( w ).5 Να α οδείξετε ότι ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ηµ θ ηµθ + 5 4ηµ θ θ (, ) ανήκουν σε υ ερβολή για κάθε θ (, ).47 Αν C {}, να α οδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών, και είναι σηµεία συνευθειακά. στο µιγαδικό ε ί εδο.54 Στην ισότητα: + i α, ο είναι φανταστικός ενώ ο α ραγµατικός. Να βρεθεί το διάστηµα στο ο οίο αίρνει τιµές ο α, και να βρεθεί ο (συναρτήσει του α ).48 Αν οι ( α β) + ( γ α) i και w γ+ β α i ικανο οιούν τη συνθήκη w, να α οδείξετε ότι οι α,β,γ α οτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής ροόδου..49 Έστω, w C, µε w+. Αν η εικόνα w του w ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το O(, ) και ακτίνα ρ τότε να α οδείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού ανήκει σε έλλειψη, της ο οίας να βρείτε τις εστίες..5 Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού κινείται στον κύκλο + y 4, να α οδείξετε ότι 4i η εικόνα του µιγαδικού αριθµού w + κινείται σε κύκλο..5 Να λύσετε την εξίσωση (+ i) + ( i) και να α οδείξετε ότι ο γεωµετρικός τό ος των εικόνων των ριζών της είναι µια ευθεία κάθετη στη διανυσµατική ακτίνα του w + i..55 Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των α- ριθµών 4 i Γ) 4i.56 Έστω ότι (+ ) f() ν + ν * ν Ν Να α οδείξετε ότι f f(). Αν είναι, να α οδείξετε ότι f(). Γ) Να βρείτε για οιά ν ορίζεται το f(i). ) Να α οδείξετε ότι το f(i) είναι ραγµατικός για κάθε ε ιτρε τό ν..57 Αν ότι A) Γ) ) Ε) Στ) + i, w +, να α οδείξετε + +, B), w ν ν για κάθε φυσικό ν, w και w Η εξίσωση + α+ β, α,β έχει ρίζα τον µιγαδικό i. Να βρείτε την άλλη ρίζα και τα α, β. Μ. Πα αγρηγοράκης

7 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ. Να βρείτε το µέτρο του, όταν: 4 (+ i) ( i) 7 + 6i Γ) + ( ) 8 6 i + i 5. Αν,y C να α οδείξετε ότι ο αριθµός y y y+ y είναι φανταστικός. Αν,y C να α οδείξετε την συνε αγωγή +y y +y.4 Αν,w C µε ( + w) ( w) είναι φανταστικός 4 4 ενώ ο ( + w ) ( w) w, να α οδείξετε ότι 9.9 Nα α οδείξετε ότι e ln + e + ln + lg + + lg +. Αν, Cκαι ισχύει, να δείξετε ότι Αν C µε να α οδείξετε ότι: > ( C ). Αν,w C µε w α οδείξτε ότι αν w τότε ή w w. Αν,w C και + w w, Να α- οδείξετε ότι w..5 είξτε ότι +, C { }.6 Για κάθε C, να α οδείξετε ότι + i i Για κάθε,w C, να δείξετε ότι + w + w ( + w ) +u w + u+w uw Γ) Αν, C και ισχύει e( ) Im( ) e( ) Im( ), να α οδείξετε ότι e( ).4 Αν, C µε και ισχύει να α οδείξετε ότι ή.5 Αν, C {} και ισχύει +, να α οδείξετε ότι +.6 Αν για κάθε, C {} να α οδείξετε ότι: + I και I

8 4 ο ΓΛΧ Έστω +.8 Αν,,,, + + Να α οδείξετε ότι * C ώστε να ισχύει να δείξετε ότι C µε, τότε: να βρείτε το µέτρο του Έστω, w C,λ µε w, να δείξετε ότι: A) w w + w + w Γ) + w+ λw- + w w+ λ. ίνεται ο C µε. Να α οδείξετε ότι: Να α οδείξετε ότι αν +u+w και u+uw+w τότε u w. Να α οδείξετε ότι + +, C. Aν, + + και, να α οδείξετε ότι και να βρείτε τους,,..4 Αν,, + + C, και οι εικόνες των,, στο ε ί εδο είναι κορυφές ισο λεύρου τριγώνου, να α οδείξετε ότι οι εικόνες των,, είναι κορυφές ισο λεύρου τριγώνου..5 **Αν,, C διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει ότι, να δείξετε ότι ** Aν + + και + +, να α οδείξετε ότι και ότι Να α οδείξετε ότι u + u w + w u u w w.7 Αν,, και + +, µε C, να α οδείξετε ότι Αν οι εικόνες των,, C στο ε ί- + + εδο σχηµατίζουν ισό λευρο τρίγωνο, να α οδείξετε ότι.9 Έστω ο θετικός αριθµός ρ και οι µιγαδικοί,, τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: ρ, + + ρ και + +. Να α οδείξετε ότι: Έστω οι,, ισχύει + +, C για τους ο οίους να βρεθεί το ( + )( )( + + ). Αν + w w, να δείξετε ότι + + w w. Αν, Γ) w C να α οδείξετε ότι: + i Μ. Πα αγρηγοράκης

9 9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση. Για κάθε,w C να δείξετε ότι ( w+ w) w w Γ) w w+ w w.4 Για τους α,β,γ, w C να δείξετε ότι α + β α+ β + α β α β + β γ + γ α w α + w β + w γ.4 Για τους, w C ισχύουν ότι w + i και (+ i)w+. Να α οδείξετε ότι w.4 Αν για τους, C ισχύει ότι: < και < να α οδείξετε ότι: <.4 Για τους µιγαδικούς και w ισχύει ότι w +. είξτε ότι Im > Im w <..5 Να α οδείξετε ότι : Αν w τότε w+ w.6 Να α οδείξετε ότι: w ( + )( + w ).44 Να α οδείξετε ότι + + +w + + w+ +w i + i +, * C Γ) ηµ w + +w, συν < < + i i.7 Αν είναι w +, να α οδείξετε i + i ότι w και ότι w..8 Για κάθε,u,w C να δείξετε ότι: Γ) Για κάθε C να α οδείξετε ότι Αν - *** Αν > τότε + τότε e < + 5, C.4 Έστω C Να α οδείξετε ότι Αν i 5 τότε 8 4 6i 8 Αν τότε ηµθ+, θ Γ) Αν και τότε *.45 Αν w να α οδείξετε ότι + + w+ + w Για κάθε, C, µε να α ο- δείξετε ότι + i + i +.47 * ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,w µε w.να α οδειχθεί ότι ( w) w.48 **Αν, w,+ w C { i}, να α οδείξετε ότι ι i w + i < + i w+ i + w i < + w+ i.49 Για κάθε C, να λύσετε τις ανισώσεις 4> 4+ <

10 4 ο ΓΛΧ 4.5 Για κάθε C να α οδείξετε ότι.5 Aν ( ++4i) ( ++i) 5 5 τότε να ροσδιορίσετε γεωµετρικά τις εικόνες του.5 Να βρείτε το σύνολο των σηµείων του ε ι- έδου ου είναι εικόνες του C αν lg 5 lg.5 ίνονται οι µιγαδικοί και w ου συν- α δέονται µε τη σχέση w, α *. Αν ισχύει ότι, να α οδείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε αραβολή..54 Αν α+ β α β µε α,βε C, να δείξετε ότι: α β.59 ίνονται οι *, w C ώστε + w. Να α οδείξετε ότι οι εικόνες των, w και η αρχή των αξόνων σχηµατίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο..6 Να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο των εικόνων των µιγαδικών αν οι εικόνες των,, + στο ε ί εδο είναι συνευθειακά σηµεία..6 Έστω, C µε e. Να α οδείξετε ότι οι εικόνες των, στο µιγαδικό ε ί εδο και η αρχή των αξόνων είναι σηµεία συνευθειακά..6 Έστω ο µιγαδικός για τον ο οίο ισχύει Να α οδείξετε ότι ο γεωµετρικός τό ος της εικόνας M του είναι υ ερβολή.55 Αν η εικόνα του µιγαδικού ανήκει σε κύκλο µε κέντρο O(, ) και ακτίνα ρ, να α- οδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του λ-i w, i+ λ λ..56 Αν +, να βρείτε τη γραµµή ου διαγράφει η εικόνα του Αν 6 + +, να α οδείξετε ότι.57 Να α οδείξετε ότι: οι εικόνες των µιγαδι- λ+ i κών, λ ανήκουν σε ένα ορισµένο + λi κύκλο..58 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο + 4i 5 να α οδεί ξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε ένα κύκλο..6 Να βρείτε το γεωµετρικό τό ο C των εικόνων του C στο ε ί εδο, αν + i + i + 9 Αν οι εικόνες των µιγαδικών, ανήκουν στη C και είναι συµµετρικές ως ρος την αρχή των αξόνων, να βρείτε το µέγιστο και το ε- λάχιστο του.64 Αν οι µιγαδικοί αριθµοί, έχουν εικόνες στο µιγαδικό ε ί εδο τα σηµεία A,B αντίστοιχα, ου δεν ανήκουν στον κύκλο ( C ) : + y, να α οδείξετε ότι ισχύει + > + αν και µόνο αν ένα µόνο α ό τα σηµεία A, B είναι εσωτερικό σηµείο του ( C ).65 Αν για τον µιγαδικό αριθµό ισχύει, και ± i, να βρείτε την τιµή της αράστασης Α ερµηνεία της i + + i. Να δοθεί γεωµετρική Μ. Πα αγρηγοράκης

11 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση.66 Να ροσδιορίσετε στο µιγαδικό ε ί εδο το τα σύνολα των εικόνων των µιγαδικών ου α- οτελούν τις γραφικές λύσεις των συστηµάτων: Γ) < 4i 5 ) < -+ i <.67 Nα βρείτε το γεωµετρικό τό ο των εικόνων του µιγαδικού σε κάθε µια α ό τις ε όµενες ερι τώσεις + + i + + i 6 Γ) i + i 6.74 Έστω οι διαφορετικοί µιγαδικοί και + ώστε ο w να είναι φανταστικός, να δείξετε ότι: 4 w.75 ίνεται η εξίσωση ό ου η διακρίνουσά της. Να βρείτε τις ρίζες της καθώς και το είδος του τριγώνου ου σχηµατίζουν οι εικόνες των ριζών της και η αρχή των αξόνων.76 Έστω, C και το ολυώνυµο P() ,. Να α οδείξετε ότι P() για κάθε.68 Για το µιγαδικό ισχύει ότι +. είξτε ότι Να βρεθεί ο γεωµετρικός τό ος των εικόνων του µιγαδικού για τον ο οίο ισχύει κάθε µια α ό τις σχέσεις: - lg < lg.7 Να δείξετε ότι οι εικόνες των ( + ) ν, w ( - ) ν w, *, * ν N µε C,,, ορίζουν ευθεία ου διέρχεται α ό το(, ).77 Να λύσετε στο C τα συστήµατα i i i i 4 8 και Γ) w και + w+ w..78 Να λύσετε στο C τις εξισώσεις: Γ) i ) Να δείξετε ότι οι ρίζες των εξισώσεων +, και ισοσκελούς τρα εζίου + +ορίζουν κορυφές.7 Να α οδείξετε ότι η εξίσωση + e έχει ραγµατικές ρίζες για κάθε, C.7 Να α οδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης + λ+ 4 µε 4< λ< 4 βρίσκονται σε κύκλο..7 Αν για τον µιγαδικό αριθµό ισχύει ( + )( ) να δειχθεί ότι οι εικόνες των,,, είναι οµοκυκλικά σηµεία..8 ίνονται οι, w C µε Να α οδείξετε ότι w + 9i w i Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του w.8 Να α οδείξετε ότι αν η εξίσωση ( i ) ν w( i) ν + µε άγνωστο το C έχει ραγµατική ρίζα τότε w. και * ν Ν,

12 4 ο ΓΛΧ 4.8 Να εξετάσετε αν η εξίσωση ν + + i i, έχει ραγµατική ρίζα. i.8 Για τον C ισχύει ότι: i 4. Nα βρείτε τις τιµές του για τις ο οίες η αράσταση 7i γίνεται µέγιστη ή ελάχιστη..84 Να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο των εικόνων των µιγαδικών, αν ισχύει ότι + 5+ i. Α ό τους αρα άνω µιγαδικούς, οιος έχει το µικρότερο µέτρο;.85 ίνονται οι µιγαδικοί,w µε + i w. H εικόνα του ανήκει στον κύκλο i + 6 O(, ) και ρ να α οδείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε οµόκεντρο κύκλο ακτίνας r B) Nα α οδείξετε ότι οι εικόνες των, w και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σηµεία. Να υ ολογίσετε την ελάχιστο και τη µέγιστη τιµή του w.86 Έστω ο µιγαδικός µε + 4i και ο w µε w 4+ 7i. Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του w.89 Έστω,w µη µηδενικοί µιγαδικοί τέτοιοι w w ώστε + w + w +. Να α οδειχθεί ότι w ή + w w.9 Για τον C ισχύει η σχέση + ( ) Να α οδείξετε ότι η εικόνα του είναι σηµείο κύκλου µε κέντρο το O(, ) Αν,, ικανο οιούν την ( ) να δείξετε ότι.9 Έστω ο µιγαδικός για τον ο οίο ι- σχύει + 4. Nα δείξετε ότι + Γ) αριθµός w είναι φανταστικός..9 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α, β, γ µε α β γ και α+β+γ Να δείξετε ότι ( α+β)( β+γ)( γ+α) Να βρεθεί η τιµή της αράστασης + + α β γ Γ) Να α οδειχθεί ότι α+ β + β+ γ + γ+ α.87 ίνονταί οι µιγαδικοί και w για τους ο οίους ισχύουν (+ i) 4i 8και w + 5i. Να βρείτε: Το γεωµετρικό τό ο των εικόνων του Την µέγιστη και ελάχιστη τιµή του Γ) Την εξίσωση της καµ ύλης ου βρίσκονται οι εικόνες του µιγαδικού w ) Τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή του w.88 Να βρείτε το γεωµετρικό τό ο των εικόνων των µιγαδικών αν ισχύει ότι ( i)( + i) i 4.9 Έστω οι µιγαδικοί,,w µε, Να δείξετε ότι + και w Να δείξετε ότι ο w είναι ραγµατικός Γ) Να δείξετε ότι ισχύει + ) Αν w, να δείξετε ότι α) β) το τρίγωνο ου έχει κορυφές τις εικόνες των µιγαδικών O,, είναι ισό λευρο Μ. Πα αγρηγοράκης

13 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝ ΙΑΣΤΙΚΕΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΕΩΣ ΣΥΝΕΧΕΙ. ίνεται η συνάρτηση Να ορίσετε την f f ln Να α οδείξετε ότι f + 7 Γ) Αν, w είναι µιγαδικοί τέτοιοι ώστε να ισχύει ότι f ( ln ) f ( ln w) α) + w β) e( ) + e( w) + + να α οδείξετε ότι 6. Έστω ο µιγαδικός 4 w 4 +, C Να λυθεί στο C η εξίσωση 4 + Αν ο w είναι φανταστικός, να βρείτε το γεωµετρικό τό ο C των εικόνων του Γ) Αν οι εικόνες των µη µηδενικών µιγαδικών,, w, w είναι εσωτερικά σηµεία του γεωµτρικού τό ου C, να α οδείξετε ότι υ άρχει (,) ώστε να ισχύει + w w. Έστω α+ βi, f, να α οδείξετε ότι * α,β + i και + i και η συνάρτηση f + i i + +. Αν 5 Γ) αβ 8.4 4i w + 6i + Για τους µιγαδικούς,w ισχύει Να βρεθεί ο γεωµετρικός τό ος των εικόνων του. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τό ος των εικόνων του w. Γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του w..5 Αν για τον µιγαδικό αριθµό + i f ισχύει για κάθε f, να α οδείξετε ότι: Το εδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της f είναι υ οσύνολο του διαστήµατος [,], Αν η f είναι συνεχής τότε διατηρεί σταθερό ρόσηµο στο (,)..6 Έστω f :[ α,β] ισχύει ( ) 4i 4i e( ) συνεχής συνάρτηση και οι µιγαδικοί, να α οδείξετε ότι η f α+ βi, α if( α) +, β if( β) +. Αν C έχει ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο µε τον.

14 4 ο ΓΛΧ ίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] και αραγωγίσιµη στο ( α,β ) µε β+ if(β) ίνεται και ο µιγαδικός α if(α) τουλάχιστον λύση στο ( α,β ).. Αν ο είναι φανταστικός να α οδείξετε ότι η εξίσωση f f α > α>. έχει µια.8 ίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [, ] και οι µιγαδικοί f( ) + i και Αν ισχύει ότι + f i. +, να α οδείξετε ότι η εξίσωση f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [ ],..9 ίνονται οι µιγαδικοί, w C και η συνάρτηση f : µε f + w + w. Να α οδείξετε ότι η εξίσωση f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο [,].. Έστω συνάρτηση f + ό ου µιγαδικός µε αν e( ) >, τότε η εξίσωση f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο και. Να α οδείξετε ότι,.. Έστω f : συνάρτηση συνεχής στο για την ο οία ισχύει ότι 5 4 f + f + f +,, ό ου, 4 εσωτερικά σηµεία του κύκλου y µιγαδικοί ου οι εικόνες τους είναι +. είξτε ότι η εξίσωση f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Α. Να δείξετε ότι για τους µιγαδικούς, w ισχύει w + w e( w) Β. Θεωρούµε συνάρτηση f : η ο οία είναι γνησίως µονότονη και οι µιγαδικοί αριθµοί + f() iκαι + για τους ο οίους ισχύει η σχέση e( ) f () i οι f, g ό ου g() f( f() ), είναι γνησίως φθίνουσες +. Να δείξετε ότι γ) αν η f είναι συνεχής, µε σύνολο τιµών το, τότε η εξίσωση η ο οία βρίσκεται στο διάστηµα (, ) f() f () έχει µοναδική ρίζα α. Έστω ο µιγαδικός αριθµός ( α). α + α i Α Να βρείτε τον γεωµετρικό τό ο των εικόνων Μ του ( α) Β Βρείτε τους µιγαδικούς ου α έχουν την ελάχιστη και τη µέγιστη α όσταση α ό το O(, ) Γ Αν οι εικόνες Μ του ( α) ανήκουν σε κύκλο κέντρου εικόνες των µιγαδικών ( α) α είναι αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου αυτού. K O, και ακτίνας ρ, να δείξετε ότι οι Να δείξετε ότι το τρίγωνο ου έχει ως κορυφές τις εικόνες των µιγαδικών, ( ), ( ) είναι ορθογώνιο ( Μ. Πα αγρηγοράκης

15 5 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση f() l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση f + Γ) Λύστε την ανίσωση f < ) Να δείξετε ότι f + f( ) f συν συν 4. Αν f + +. Να α οδείξετε ότι f f( ) 4.4 Στο δι λανό σχήµα να βρείτε συναρτήσει του, τη συνάρτηση ου εριγράφει το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης εριοχής ου δηµιουργείται α ό τη Ε και τις λευρές του τριγώνου ΑΒΓ για τις διάφορες θέσεις του E άνω στη BΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισό- λευρο µε µήκος λευράς η BE και Ε ΒΕ 4. ίνεται η συνάρτηση f ( α α ) +. Να α οδείξετε ότι f( + y) + f( y) f f( y),, y 4.5 ίνεται η συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το µε f Γραφική Παράσταση f + f( ) και το : 4. Να υ ολογίσετε το 4 + f + f +...f + f Nα σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ln και να βρείτε το λήθος f των ριζών της εξίσωσης Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων f g h m + k n Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: f( ) Γ) e, g() ln, < e ( ), > e f() συν 4.8 Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f() ln( ), < g() ln( ), < k() ln m() ln t() ln

16 4 ο ΓΛΧ 4 6 Πεδίο ορισµου 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτή- σεων f ln( ) + g() t() -+ h() k() ( - ) + 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων f φ() e + ηµ+ e g t εφ ηµ ηµ συν + 5συν+ 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων f g() ( ) e e ln t ln e ln k ln( ) 4. Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων f h() συν g() f() (e ) ln( ) ln Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων f g ln( ) h 4 k ln 4.5 Να βρείτε τα εδία ορισµού των συναρτήσεων r() k() e + + e, t, k + ln Να βρείτε το εδίο ορισµού κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις: f() e ln m ln( ) 4.7 Να βρείτε το εδίο ορισµού κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις: f 4 + g lg Κοινά Σηµεία 4.8 Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι f f,. Να δείξετε ότι η C f δεν τέµνει τον άξονα 4.9 Έστω οι συναρτήσεις f, g : για τις ο οίες ισχύει f + 9 g + για κάθε. Να βρεθεί η σχετική θέση των C f, C g 4. Έστω η συνάρτηση f : για την ο- οία ισχύει ότι. Να δείξετε ότι η δύο τουλάχιστον σηµεία f + + f για κάθε C f τέµνει τον άξονα σε 4. Έστω οι συναρτήσεις f, g :, ώστε να ισχύει f() g() + κ κάθε, κ. Να βρεθεί ο κ ώστε οι γραφικές αραστάσεις τους, να τέµνονται στην ευθεία καθώς και τα διαστήµατα στα ο οία η C f είναι άνω α ό την 4. Να βρεθούν τα διαστήµατα ό ου η C f είναι άνω α ό τη C g όταν: f και αν f() αν < καθώς και η α όστασή τους. g 8 C g και g() + Μ. Πα αγρηγοράκης

17 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Ισότητα Συναρτήσεων 4. ίνεται η συνάρτηση f() +. Να εξετάσετε οιες α ό τις αρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες µε τη συνάρτηση f. - f () - + f () - + f () + f 4() + 5 f ln e + f () e 6 ln(+ ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υ οσύνολο του στο ο οίο οι αρα άνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 4.4 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις + συν ηµ f() και g() ηµ συν 4.6 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f() + και g() Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις στις αρακάτω ερι τώσεις. f() + και f() ln g() + + g ln ln και 4.8 Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις g() λ λ + 4 f() και λ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f + και g 4.9 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f() ln g ln ln και Πράξεις Συναρτήσεων 4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f+ g,και g f όταν f() 4 ] και g() 4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f+ g,και g f +, αν f(), > και g ln, < < -+, 4. Για τις συναρτήσεις f, g : ισχύει ότι g f f + +,. Να δείξετε ότι η C g τέµνει τον θετικό ηµιάξονα Oy 4. Να βρείτε τις συναρτήσεις f, g : αν για κάθε ισχύει ότι + + ( ) f g ηµ f συν g 4.4 Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : ου ικανο οιούν την σχέση: f +, 4.5 Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : ου ικανο οιούν την σχέση: f 4e f e, 4.6 Να ροσδιορίσετε όλες τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις f : για τις ο οίες ισχύει ότι f () ( ) για κάθε 4.7 Να βρείτε τις συναρτήσεις τις συναρτήσεις f : αν για κάθε ισχύει ότι ( )( ) f f 4.8 Nα α οδείξετε ότι f g, αν ισχύει ότι f + g () f+ g () για κάθε

18 4 ο ΓΛΧ 4 8 Άρτιες Περιττές 4.9 Nα εξετάσετε αν είναι άρτιες ή εριττές οι συναρτήσεις g() ln + +, + < f() > 4.4 Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι [ f() + f( ) + ] + f( ),. Να α οδείξετε ότι η f είναι εριττή και να βρείτε τον τύ ο της. 4.4 ** ίνεται η συνάρτηση f : για την ο οία ισχύει f(+ y) + f( y) f() + f(y) για κάθε,y. Να α οδείξετε ότι: Η C f διέρχεται α ό το (, ) η f είναι άρτια Γ) f f() για κάθε 4.4 Αν ισχύει f(+ y) f() + f(y),, y να δείξετ ε ότι η f είναι εριττή 4.4 Αν ισχύει f() + f(y) f(+ y), για κάθε f()f(y),y να δείξετε ότι η f είναι εριττή 4.44 Έστω συνάρτηση f : η ο οία είναι εριττή και για την ο οία ισχύει ότι f + για κάθε. Να βρείτε τον τύ ο της 4.45 ύο συναρτήσεις f, g : έχουν τις ιδιότητες: f f f και g g g για κάθε. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g εριττή 4.46 ίνονται οι συναρτήσεις f,g µε A A Να α οδείξετε ότι: Αν οι f,g είναι f g εριττές τότε η f+ g είναι εριττή ενώ οι f g, f /g, ( g() ) είναι άρτιες Σύνολο Τιµών 4.47 Να βρείτε τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων: + [, ] f e f ln( ), [, /] Να βρείτε τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων: f [, 5] f 6 4+ (, ] 4.5 Στο σχήµα φαίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης y f. Να βρείτε το λήθος των ριζών των εξισώσεων: f f Γ) f ) f Ε) f α, α [,] 4.49 Να βρείτε τα σύνολα τιµών των + < αν f() αν < 5, g() Να βρείτε τα σύνολα τιµών των f() lg, 5+ e g 5 e + f() 4 Μ. Πα αγρηγοράκης

19 9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Σύνθεση Συναρτήσεων 4.5 Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή ερισσοτέρων (µη ταυτοτικών) συναρτήσεων, αν: f() g() ln( + ) ln( + ) k() ( ln(+ ) ln ) 4.5 Να οριστεί η συνάρτηση f g αν f() και g() ln αν (,) f() + αν [, 4) 4.54 Αν f, g να ορίσετε τις συναρτήσεις f g και g f 4.55 Αν f() g() ( e e ) ln(+ + ), να α οδείξετε ότι (f g)() (g f)(),, g() 4.56 Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης h, αν h f :[,5) και h() f( 4) + f(+ ) 4.59 Να α οδειχτεί ότι δεν υ άρχει συνάρτηση ου να ικανο οιεί τη σχέση f() + f( ), 4.6 Αν f + + και Ah g + να α οδείξετε ότι δεν υ άρχει συνάρτηση h µε, ώστε να ισχύει h( f() ) + h( g() ) g( f() ) 4.6 Να βρείτε τη συνάρτησης f :(, ) για την ο οία ισχύει ότι κάθε >. 4.6 Αν f( f() ) e ότι η f αίρνει την τιµή Αν ισχύει ότι τότε να υ ολογίσετε το f( ) + f ln f για e για κάθε, να δείξετε f f () για κάθε 4.64 Να ροσδιορισθεί ο τύ ος της f : Αν ( )f( ) + f( ) +, Αν ισχύει f() + f, * 4.57 Να βρεθεί ο τύ ος µιας συνάρτησης f σε κάθε µια α ό τις ερι τώσεις: Αν f( ln() ) +, > e, Αν (f g)() + + και g() + Γ) Αν (g f)() συν και g() 4.58 Έστω οι συναρτήσεις f : Af, g : Ag µε f( Af) Ag. Να α οδειχτούν οι ροτάσεις: A) Αν η f είναι άρτια, τότε και η gf είναι άρτια. B) Αν η f είναι εριοδική, τότε και η g f είναι εριοδική µε την ίδια ερίοδο. * 4.65 Για τησυνάρτηση f : ισχύει ότι f(y) f(+ y) f() e, y.να α οδείξετε ότι f() f e f() e και f() για κάθε και να βρείτε την f 4.66 Αν f() α + να βρεθεί ο α, αν ισχύει: ( f f )(), 4.67 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f : αν για κάθε, y ισχύει ότι f + f( y) + f( y) + y+ y

20 4 ο ΓΛΧ 4 5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 5. Εξεταστε τη µονοτονία των συναρτήσεων f() 5 5 Γ) f ( ) ) Ε) f() + f ln e e + 4 f e 4+ αν < Ζ) f() αν 5. ίνονται οι συναρτήσεις f και g µε 5 f e και g ln. Να λυθούν οι ανισώσεις f >, g > 5. Αν 4 f +, τότε 5 5 να α οδειχθεί ότι η f είναι γν. φθίνουσα. Να λυθεί η ανίσωση 5.4 Nα λύσετε τις ανισώσεις: ln > + 4 > 5. e > Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι: 5 f () + f για κάθε. Να α οδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα Να λυθεί η ανίσωση f + < 5.6 Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση f -f y f y 5.8 Η συνάρτηση f : (, + ) έχει την ιδιότητα ισχύει ότι «αν α για κάθε, y>. Ε ι λέον > τότε η f είναι γν. αύξουσα στο (,+ ) f α >». Να δείξετε ότι 5.9 Έστω συναρτήσεις f,g µε κοινό σύνολο ορισµού το [ α,β ], σύνολο τιµών το [ α,β ] ώστε > f, [ α,β] g και η f είναι γνήσια φθίνουσα. είξτε ότι f( g() ) < g( f() ) [ α,β] 5. Αν f : εριττή και γνησίως φθίνουσα στο µε f(f()) για κάθε, να δείξετε ότι f(), 5. Να α οδειχθεί ότι δεν υ άρχει συνάρτηση f :, γνήσια φθίνουσα µε την ιδιότητα f f(6 8) 4, 5. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και + f() για κάθε ισχύει ότι: f 5, να α οδείξετε ότι f(), για κάθε 5. Αν f : είναι η συνάρτηση του σχή- µατος, να βρείτε την µονοτονία της συνάρτησης f( f() ) στο [,] g f +. είναι γνησίως αύξουσα και να λύσετε την ανίσωση ίνεται ότι η συνάρτηση f ορισµένη και είναι γνήσια αύξουσα στο (,+ ). Να λύσετε την εξίσωση f + f( ) f + f( ) Μ. Πα αγρηγοράκης

21 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 5.4 Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι f f + e + για κάθε Να α οδειχτεί ότι η f είναι γνήσια αύξουσα Να µελετηθεί ως ρος τη µονοτονία η συ- νάρτηση g + e Γ) Να υ ολογίσετε το f( ) Γ) Να βρείτε το ρόσηµο της f 5.5 Έστω συνάρτηση f, ορισµένη στο, ου είναι γνήσια µονότονη και η γραφική της αράσταση διέρχεται α ό τα σηµεία (, ) και (, ) Να α οδείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα Να λύσετε τις ανισώσεις f( ) > και f( ) < ) Να λύσετε την εξίσωση f( ) Ε) Πόσες ρίζες µ ορεί να έχει η εξίσωση f Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση 5 h + +, είναι γνήσια αύξουσα. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο ώστε 5 να ισχύει f + f + f για κάθε. Να α οδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα Γ) Να λύσετε την εξίσωση h και να υ ολογίσετε το f( ) 5.7 Έστω η συνάρτηση f :(, ) f + f ώστε + τέτοια για κάθε >. Θεωρούµε τη συνάρτηση g f( h() ) ό ου h. Τό- + τε: Να α οδείξετε ότι η g είναι εριττή. Nα α οδείξετε ότι η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (,) Γ) Να λύσετε την εξίσωση h e h e h e h e + + στο (,) Ακρότατα 5.8 Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις ν + g() 4 4 t() 4 4 f :[, 4) µε f() + αν φ αν > r Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις f ln( ), [, ] f :[, 4) µε f() 5. Να δείξετε ότι + αν > Β. Έστω f() ( 9 8) ( 9 8) + +. Nα α οδείξετε ότι f() για κάθε και ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο 5. Έστω f : συνάρτηση µε f() Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση f() g() έχει µέγιστη τιµή το. + f () Να βρείτε την µέγιστη τιµή της συνάρτη- e σης Φ() + + e 5. Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε µιας α ό τις αρακάτω συναρτήσεις f 4+ 5 f e e + 5. Να βρεθεί ο λ, ώστε η συνάρτηση f() (λ+ )+ να έχει ελάχιστο το

22 4 ο ΓΛΧ 4 Συνάρτηση : 5.4 Να εξεταστεί οιες α ό τις αρακάτω συναρτήσεις, είναι και οιες όχι: f ln f e + Γ) f ( )( 4) ίνεται η f ln( ) Α Β + +, > Να µελετήσετε τη µονοτονία της f Να λύσετε την εξίσωση: ( - + ) ln στο [,+ ) 5.5 ίνεται η συνάρτηση f :[, + ) για την ο οία ισχύει f(f()) +, για κάθε [, + ). Να δείξετε ότι η f είναι 5.4 Να βρεθεί ο λ ώστε να είναι η 4 αν < συνάρτηση f() + λ 8 αν 5.6 ίνεται ότι η συνάρτηση f : είναι. Να α οδείξετε ότι η η F f + f είναι. 5.5 Θεωρούµε τις συναρτήσεις f : Α και g :Β, να α οδείξετε ότι αν B f(a) και η g f είναι τότε η g είναι f f + f, να δείξετε ότι 5.7 Αν η συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα είναι Να α οδειχτεί ότι δεν είναι η συνάρτηση f αν ισχύει 6f f () ίνεται η συνάρτηση f ln Nα µελετήσετε τη µονοτονία της f Να λύσετε την εξίσωση f f Γ) Να λύσετε την ανίσωση + ln > 5.6 Έστω συνάρτηση f : µε σύνολο τι- µών το και f () + f(), Να α οδείξετε η f αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά σηµεία των C και C f y 5.7 Αν είναι + e y+ e,, y τότε Να α οδείξετε ότι y. Να λυθεί η εξίσωση + e e Να α οδείξετε ότι αν ισχύει α β e e β α τότε α β µε α,β f 5. Να λύσετε τις εξισώσεις. e + ln 5. Nα λύσετε την εξίσωση ( 4 + ) ( ) ( + ) 4 lg λ lg 5λ 5 5λ 5 λ 5. ίνονται οι συναρτήσεις f, g : µε ( f f )() 5+ 9 και g f +,. Nα α οδείξετε ότι f και ότι η g δεν είναι Αν f() + τότε: Να δείξετε ότι η f είναι Να λύσετε την εξίσωση 5.4 Αν f e τότε Nα δείξετε ότι είναι Να λύσετε την εξίσωση: e +( - ) + - e +( + ) + Μ. Πα αγρηγοράκης

23 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Αντίστροφη 5.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() ln Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f + ( ), < 5.5 Να βρείτε τα κοινά σηµεία των C f f(), [,] C f αν 5.4 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() lg 5.45 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() + e e 5.54 Έστω συνάρτης f ώστε να ισχύει f(f(f())) 7για κάθε. ίνεται ακόµη ότι f(), f() 9. Να α οδείξετε ότι η f είναι ' και να λύσετε την εξίσωση f () Για τη συνάρτηση f : µε f ισχύει ότι f () + f(), για κάθε. Να α οδείξετε η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f 5.46 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() Αν για τις συναρτήσεις f, g ορισµένες 5.47 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() lg 5.48 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() ln(+ e ) 5.49 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης, < f() 9, στο, υ άρχουν οι συναρτήσεις ( f g) και ( g f), να α οδείξετε ότι υ άρχουν και οι f αντίστοιχα Έστω η f µε f() +. Να α οδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Να λύσετε την εξίσωση f() f (). Γ) Να λύσετε την ανίσωση f (5+ 6) < Έστω η συνάρτηση f() + + Να α οδείξετε ότι αντιστρέφεται Να λύσετε τις εξισώσεις f(), g, f () Γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της C f µε τους ά- ξονες και µε την ευθεία y ) Να λύσετε την την εξίσωση 5.5 Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f() + ( ηµ ) ηµ + ηµ + ηµ και τις ανισώσεις: f () <, και f (+ ) + 5

24 4 ο ΓΛΧ ΓΕΝΙΚΕΣ ( ( )) 6. Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι f f f ν όροι να βρείτε το f( ) 6. Θεωρούµε τις συναρτήσεις f, g : ότι: fg g f f g g f ου είναι αντιστρέψιµες και ισχύει fg g f να α οδείξετε 6. ίνεται η συνάρτηση f : (, + ) για την ο οία ισχύει ότι f(+ y) f() f(y) για κάθε, y. Να α οδείξετε ότι: f (y) f () + f (y),, y f() 6.4 Έστω η συνάρτηση f : µε σύνολο τιµών το f () f() e. Να βρείτε την f,+ και για κάθε ισχύει Να δείξετε ότι η f είναι "-" και να βρείτε την αντίστροφη της. f -f y f y 6.5 Έστω συνάρτηση f : (, + ) µε την ιδιότητα: f έχει µοναδική ρίζα, τότε Να α οδείξετε ότι η f είναι Να λύσετε την εξίσωση f + f( + ) f( + ) + f( + ) για κάθε, y> Αν η εξίσωση 6.6 Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι f( y) f f( y) >, να α οδείξετε ότι: η f είναι εριττή και γνήσια αύξουσα + +, για κάθε, y Να λύσετε την εξίσωση: f( 4 + 5) + f( 4 5) f( 8 4). Αν f > για κάθε 6.7 H συνάρτηση f : είναι γνήσια µονότονη και η τότε: Να α οδείξετε ότι η f είναι γν. αύξουσα Να λυθεί η εξίσωση C f διέρχεται α ό τα σηµεία A( 5,9 ) και B(, ) f + f ( + ) Για την συνάρτηση f : είναι γνωστό ότι f e + f για κάθε Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη. Να βρείτε το f( ). Γ) Nα λύσετε την εξίσωση 4 + e e Να α οδείξετε ότι η C f της f 5+, έχει άξονα συµµετρίας την y 5 Μ. Πα αγρηγοράκης

25 5 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 6. Έστω ένα ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒΑΓ ) εγγεγραµµένο σε κύκλο µε ακτίνα και έστω ότι ΒΑΓ ˆ Θ (rad). A) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του ABΓ είναι Ε( θ) 4( ) + συνθ ηµθ, < θ< Αν η γωνία θ µεταβάλλεται στο χρόνο, σύµφωνα µε τη συνάρτηση θ f( t) t, < t<, να 4 εκφράσετε το εµβαδόν Ε σε συνάρτηση µε το χρόνο, να βρείτε σε οια χρονική στιγµή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισό λευρο καθώς και το εµβαδόν του τη στιγµή εκείνη. 6. Αν f γν. αύξουσα στο και B) Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση f σηµεία των C και C. f f, τότε f( f f( ) 4 αντιστρέφεται, να βρείτε την f καθώς και τα κοινά 6. Για τη συνάρτηση f : ισχύει ότι f(+ y) f()f(y) για κάθε, y και υ άρχει ξ, ώστε f(ξ). Να α οδείξετε ότι: f() > για κάθε και f() f( ) f() και f() f( y), f(y) Γ) ν f(ν) f () για κάθε ν Ν και 6. * ίνεται η συνάρτηση f : για την ο οία ισχύει: Α. Να δείξετε ότι f() > για κάθε. Β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να λύσετε την ανίσωση: ln f() >. e f(), για κάθε + f () 6.4 * ίνεται η συνάρτηση f : για την ο οία ισχύει ότι f( f() ) Να α οδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη Να α οδείξετε ότι f( ) f Γ) Αν είναι f( 8) 7 να α οδείξετε ότι f ) Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα να λύσετε την εξίσωση f Ε) Να α οδείξετε ότι f ( ) + f f( ) για κάθε Έστω η συνάρτηση f :(, + ) (, + ) µε γνησίως φθίνουσα. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. B) Nα λύσετε την εξίσωση f ln( e ) Γ) Να λυθεί η εξίσωση f + f( 7 ) f( 5 ) + f( 9 ) f και η συνάρτηση g f η ο οία είναι

26 4 ο ΓΛΧ 4 6 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 ΟΡΙΟ ΣΤΟ XΟ 7.8 ηµ συν Να υ ολογίσετε τα όρια ν+ ν (ν+ )+ µε ν Ν* 7.9 Να υ ολογίσετε τα όρια ηµ ηµ 7. Να υ ολογίσετε τα όρια Γ) Να υ ολογίσετε τα όρια Να υ ολογίσετε τα όρια: ηµ + ηµ συν συν 7. Να υ ολογίσετε τα όρια: Γ) ( + ) ηµ ηµ( ) ηµ ηµ ( ) συν συν 7.4 Να υ ολογίσετε τα όρια +, Να υ ολογίσετε το f() αν + + αν f() 4 αν 6 ηµ 7.6 Να υ ολογίσετε το + ηµ 7.7 Να βρείτε το εφθ συνθ θ 7. Να βρείτε (αν υ άρχουν) τα όρια ηµ ηµ ( + ) ηµ 7. Να βρεθεί ο ν N αν ηµ + ηµ+ ηµ ηµν Αν f() να βρείτε το f()-f(-) ηµ ηµ Μ. Πα αγρηγοράκης

27 7 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 7.5 Αν 4 g() 7, να βρείτε το f() g() g() Αν f() 5 f() 5 + να α οδείξετε ότι f() 7.7 Να βρεθεί το [ f()g() ] g() [ f()( ) ] 7.8 Έστω συνάρτηση f µε Να δείξετε ότι Αν αν f() f(v) v, v f (v) + ηµ f(v) ηµ για κάθε να δείξετε ότι v 7.9 Να α οδείξετε ότι αν α f. f, τότε α 7. Η συνάρτηση f είναι άρτια στο και f() Να βρείτε το ισχύει ότι f() 7. Αν ( ) f() 7. Αν f() 4f () 9, να βρεθεί το f f( ), f() + 4 και ισχύει - βρείτε το f() 7. Να βρεθούν τα [ f() ] και [ g() ] [ ] και [ ] f() g() 5 f() + g() 4, αν 7.4 Αν για τη συνάρτηση f : είναι f() +, να βρείτε τα όρια - f() + f () 7.5 Aν f () f() και f () + f f + συν για κάθε να α οδείξτε ότι f(). 7.6 Η συνάρτηση f έχει ραγµατικό όριο στο και ισχύει ( ) f 7+ για κάθε. Να βρεθεί το f(). 7.7 Για τη συνάρτηση f : ισχύει + f f + ηµ f + ηµ για κάθε, να α οδείξετε ότι: f f( ). 7.8 Αν η f: είναι εριττιή µε f() να βρεθεί το [f(-)-f(-)] 7.9 Αν f() +, να βρεθεί το f() - 7. Έστω συνάρτηση f για την ο οία ισχύει f( + y) f + f( y),, y. Να α οδείξετε ότι η f είναι εριττή Αν ισχύει ότι f α f( α) f, να α οδείξτε ότι για κάθε α f Γ) Αν ισχύει ότι να α οδείξετε ότι ( ) f και ότι ηµ ( f() ) f ηµ()

28 4 ο ΓΛΧ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΧΟ 8. Να βρεθούν(αν υ άρχουν)τα όρια Γ) ) Ε) ηµ Στ) h() 8. Αν να βρεθεί το g() 8.4 Αν ( 4)f() + + να βρεθεί το f() 8. Να βρεθούν(αν υ άρχουν)τα όρια Γ) ) + συν Ε) Ζ) συν Αν f() 8.6 Αν + + να βρεθεί το f() g() να βρεθεί το g() + + g() Όρια Παραµετρικών Συναρτήσεων στο Χο ηµ(α) αν < 8.7 Αν f() αν > + να βρείτε το f() για κάθε α αν < λ 8.8 Αν f() + λ αν λ βρείτε το f() για κάθε λ Να βρείτε τουςλ,µ ώστε : να (λ µ) (λ µ + )+ µ l + 8. Να βρείτε τα λ,µ αν λ µ Να α οδειχτεί ότι για κάθε λ η συ- -λ+ νάρτηση f() δεν έχει ραγµατικό όριο στο. Nα βρεθούν για κάθε α τα όρια: A) + 6 α B) α 4 ( 4)( ) 8. Να βρείτε το λ ώστε 5λ 9 ( λ ) Μ. Πα αγρηγοράκης

29 9 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Όριο συναρτησης στο α ειρο 8. Να υ ολογίσετε τα όρια ( + ) + ( ) + + Γ) ( ) Να υ ολογίσετε τα όρια Γ) ) e + e lg + lg 8.5 Να υ ολογίσετε τα όρια ηµ συν ηµ Να υ ολογίσετε το ln(+ ) + ln( + ) 8.7 Να βρείτε το ηµ ( ) + + Παραµετρικά όρια στο α ειρο 8. Αν βρεθεί το f() + 8. Αν (λ ) (λ µ) + µ f() + για κάθε λ,µ + + f() -α-β + α,β ώστε f() β+ + να να βρεθούν οι 8. Αν f() λ να βρεθεί το f() για κάθε λ 8. Αν f() 4+ ηµφ συνω µε < φ,ω<. Να βρείτε τα φ,ω ώστε f() 8.4 Να βρεθούν οι α,β ώστε: α+ β 8.5 Για κάθε α>, να υ ολογίσετε το - α +, α Για κάθε α>, να υ ολογίσετε το + + α + + α Να βρείτε το ln(t+ t + ) ln t t Να βρεθεί το όριο f() + Αν α+ β+ γ µε α,β,γ και f() α + + β + + γ Για την συνάρτηση f :(, ) + f l (, + ) Να βρεθεί το + ισχύει + ( ) ln f ln 8.8 Έστω η f κ> Να βρείτε τα όρια f + κ ln, f ( ) + + f() ln().

30 4 ο ΓΛΧ Έστω συνάρτηση f για την ο οία ισχύει: f() +, για κάθε. Να βρείτε τα A) Γ) f()-4 B) f ()-6 ) f()-4 + f() Να βρείτε τα f, g αν f + g + f 4g + 5, για κάθε. 8. Αν ισχύει ότι f + g, τότε να α οδείξετε ότι f 8. Aν g f f + συν για κάθε, να α οδειχθεί ότι f() 8. Αν ( ) f() f() 4f () 9 να βρείτε το 8.7 ίνονται οι συναρτήσεις f, g, h ώστε να g() 4 ισχύουν ηµ( ) g() f() + + h() + και ( ) h() και για κάθε { } τα g() h(), 8.8 Α οδείξτε ότι και f() συν + ηµ Βρείτε το ( ) + ηµ Να βρεθεί το + + ηµ ηµ ηµ συν 8.4 Να βρεθεί το Να βρεθεί το ηµ Να βρείτε 8.4 Η συνάρτηση f έχει ραγµατικό όριο στο και για κάθε ισχύει f 7 +.Βρείτε το f() 8.4 Να βρεθεί το συν ηµ Να υ ολογίσετε το ηµ **Έστω η συνάρτηση f για την ο οία ι- σχύει f + ηµf για κάθε. Nα α οδείξετε ότι f Να βρεθεί το ηµ + συν 4ηµ 8.45 Να βρείτε το + + συν 8.46 Να βρείτε το ηµ+ συν Μ. Πα αγρηγοράκης

31 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 9 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9. Να βρεθεί ο τύ ος της συνεχούς συνάρτησης f αν ισχύει ότι f() ηµ + ( )( ), f()- 9. Αν - f()- + f()-6 βρείτε το - και η f είναι συνεχής, 9. Να α οδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει ότι f(y) f() + f(y) για κάθε, y τότε είναι συνεχής στο 9.4 Αν για κάθε ισχύει ότι ηµ + f() f () ηµ + + f().να α οδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. 9.5 Για τις συναρτήσεις f, g : ισχύει ότι f + g + f + 5 4g + συν,. Να α οδείξετε ότι οι f, g είναι συνεχείς στο. 9.6 Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότη- 5 τα f + f. Να α οδείξετε ότι είναι συνεχής στο. 9.7 ** Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει f() e για κάθε, να βρείτε το f() 9.8 Αν f ln και η f να δείξετε ότι + f f είναι συνεχής, 9.9 Έστω f ηµ, αν α +, αν α Να α οδείξετε ότι αν α τότε η f είναι α- συνεχής στο α. Να εξετάσετε τη συνέχεια της f στο α 9. Έστω f : µε f + f e, για κάθε Να δείξετε ότι f() e, Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο µηδεν 9. Έστω η συνάρτηση f :, για την ο- οία ισχύει f() f() + συν, Να α οδείξετε ότι f() Να α οδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Γ) Να βρείτε το όριο f 9. ίνεται η f +, + α, Να υ ολογίσετε τα όρια: f ( ) +, f, f, f - + Υ άρχει τιµή του α ώστε η f να είναι συνεχής; 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει ότι f(y) f() + f(y) για κάθε, y. Να α οδείξετε ότι είναι συνεχής στο 9.4 Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε : f( + y) f + f( y),, y. Να α οδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο σηµείο α, τότε είναι συνεχής στο.

32 4 ο ΓΛΧ 4 Βασικά Θεωρήµατα 9.5 Να α οδείξετε ότι η εξίσωση εφ έχει στο διάστηµα, τουλάχιστον µια ρίζα 9. Eστω f :[ α,β], συνεχής και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση µε f(α) f(β), κ,λ,µ N * και γ ( α,β) (α, β), ώστε κ+ λ + µ f κf(α) + λf γ + µf(β) ο. Να δείξετε ότι υ άρχει 9.6 Να α οδείξετε ότι η εξίσωση κ λ µ δύο ρίζες, τις ρ, ρ (,) µ -λ + ρ ρ κ 9.7 Έστω η εξίσωση µε κ,λ,µ έχει ακριβώς και ισχύει ότι + α + β, µε α,β, β>, α+ β+ <. Να α οδειχτεί ότι έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (,) 9. ίνονται οι συναρτήσεις µε τύ ους f() α e, g() β (ηµ+ συν). Αν το (α, β) είναι σηµείο της ευθείας y (α,β) (, ), να α οδείξετε ότι οι C f,, µε ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο µε τετµηµένη, C g έχουν 9.4 Αν α,β>, να α οδείξετε ότι η εξίσωση αηµ+ β έχει (µία τουλάχιστον ) ρίζα της ο- οίας η α όλυτη τιµή δεν υ ερβαίνει τον α+ β. 9.8 'Εστω f :[ α,β] ώστε υ άρχει, συνεχής συνάρτηση, f(α) α και f(β) β. Να α οδείξετε ότι [α,β], ώστε f. 9.9 Εστω f :[, ] συνεχής συνάρτηση, ώστε f() f( ). Να α οδείξετε ότι υ άρχει [, ], ώστε f( ) f Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε είναι f() + f(+ ) Να α οδείξετε ότι: A) Η f είναι εριοδική B) Υ άρχουν ά ειροι α ώστε f(α) f(α+ ) 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] µε f( ) f, δείξτε ότι υ άρχει (, ) στε f( ) + 4f() 7f( ) ώ- 9.5 Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει ότι f + f( ) για κάθε, να α οδείξετε ότι η εξίσωση f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. 9.6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] µε f 6, και ακόµη α οδείξετε ότι υ άρχει, (, ) f +. f + f 8, να ώστε 9.7 Η συνάρτηση f :(, + ) (, + ) είναι συνεχής και υ άρχουν < α< β< γώστε α β γ f f f β γ α. Να δείξετε ότι υ άρχει f ώστε 9.8 Να βρείτε τη συνάρτηση f, συνεχή στο f f αν ισχύει e 4 4e για κάθε και f( ) ln Μ. Πα αγρηγοράκης

33 Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση 9.9 Αν α,α,...,α [,] 994 ότι υ άρχει, ένα τουλάχιστον [,]. Να α οδείξετε ώστε α + α α Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : αν ισχύει ότι f f ηµ, 9. * ίνεται συνάρτηση f : συνεχής µε f 9 για κάθε ότι f > για κάθε και f( ) >. Να αποδείξετε 9. N βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f 4 + και να λύσετε την ανίσωση f < 9. Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την ο- οία ισχύει ότι [ ] (,) f() 6 για κάθε Να βρείτε τον τύ ο της αν f( ) 9.4 Να βρείτε τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων f, < f συν, [, /] 9.5 Μια συνεχής συνάρτηση f : ικανο- οιεί τη σχέση: f + f f + f( 4). Θα µ ορούσε η f να είναι αντιστρέψιµη; 9.6 Αν α,β,γ, να α οδείξετε ότι υ άρ- χει, ώστε ηµ ( + α) + ηµ ( + α) + ηµ ( + α) 9.7 Να α οδείξετε ότι οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και g συν τέµνονται σε ένα µόνο σηµείο του διαστήµατος, Οι συναρτήσεις f,g :[,] [,] είναι συνεχείς και ισχύει fg g f για κάθε [,]. Έστω ακόµα ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Να α οδειχθεί ότι υ άρχει (τε) [,] ωστε f( ) και g( ) 9.9 Να βρείτε το ρόσηµο της συνάρτησης f αν f ηµ, 9.4 Έστω συνεχής συνάρτηση f : Z και f, να α οδείξετε ότι f,. 9.4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) µε f ( ) f + + γ και δ, να α οδείξετε ότι υ άρχει µόνο ένας αριθµός ο > ώστε + f + e + ln. 9.4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει f( f() ) ότι υ άρχει α για κάθε. Να α οδείξετε ώστε f α α 9.4 Έστω f : συνεχής µε f( ) 9 και για κάθε ισχύει ότι f( ) f f. Να βρείτε το f( 5 ) 9.44 'Εστω f :[,] [,] συνεχής συνάρτηση. είξτε ότι υ άρχει [,] τέτοιο ώστε f( ) (S. Banach)

34 4 ο ΓΛΧ 4 4 Γενικές Ασκήσεις 9.45 Να α οδείξετε ότι η εξίσωση ln + ( ) έχει µοναδική ρίζα ίνεται η συνάρτηση + < α αν f lnα αν µε α. Αν η f είναι συνεχής στο, να βρείτε την τιµή του α 9.46 Για τη συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ότι: f() ηµ +, 4. 6 Να υ ολογίσετε το f() και να α οδείξετε ότι υ- άρχει, ένα τουλάχιστον κ (,] ώστε κ 6 f( κ) ηµ + κ Έστω g + ηµ και συν, αν g() f g() Να βρείτε το α αν g() α αν η f είναι συνεχής 9.48 Έστω f : συνάρτηση, ώστε f + ηµ,. Να α οδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει f( α) f( β) < να δείξετε ότι αβ< Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [, 4 ] για την ο οία ισχύουν: f για κάθε [, 4] f >, f f f f( 4) f > για κάθε [, 4], Να α οδείξετε ότι:, Η συνάρτηση g f f f τουλάχιστον ρίζα στο [, ]. Γ) Η f δεν είναι αντιστρέψιµη. έχει µια β -α 9.5 Έστω η συνάρτηση g() + ορισµέ- 5 νη στο [ α,β ]. Αν ισχύει 4α+ β f g f(α) 5 ό ου f είναι µία συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο, να δείξετε ότι υ άρχει ο f f(g) ο ο [α,β] ώστε 9.5 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g :, [ + ) µε g και [ f() g() ] [ f() + g() ] Να βρείτε το f( ) Αν f για κάθε [, 4] ότι: α) Η εξίσωση να δείξετε ( ) f + f( + ) ( ) έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). β) g > για κάθε [, 4]. 9.5 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (, ) για την ο οία ισχύουν f() και ηµ( ) ( )f() για κάθε (,) Να βρείτε το σύνολο τιµών της h() f() ln Να δείξετε ότι η γραφική αράσταση της f() συνάρτησης g() e τέµνει την ευθεία y σε ένα µόνο σηµείο µε τετµηµένη (, ) 9.5 A) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και σε διάστηµα. Αν α,β,γ µε α< β< γ, να α οδείξετε ότι θα είναι είτε f(α) < f(β) < f(γ) είτε f(γ) < f(β) < f(α) B) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και στ, να α οδείξετε ότι είναι γνησίως µονότονη στο. Μ. Πα αγρηγοράκης

35 9.54 Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο και ισχύει η σχέση f + 4f + 6f + 6 για κάθε. Να α οδείξετε ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο (, ) 9.55 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και ισχύει f( f() ) + 4 f για κάθε. Να δείξετε ότι: Α. η f είναι Β. Aν η f είναι γνήσια µονότονη τότε είναι γνήσια φθίνουσα Γ. υ άρχει. f ώστε f( ) 9.56 Η ανάβαση - ό ως και η κατάβαση - στην ψηλότερη κορυφή του Ολύµ ου διαρκεί 6 ώρες. Ένας ορειβάτης ξεκινάει την ανάβαση στις 6 το ρωί και χωρίς να σταµατήσει βρίσκεται σε 6 ώρες στην κορυφή. Την άλλη µέρα ξεκινάει στις 6 το ρωί την κατάβαση, σε 6 ώρες, ακολουθώντας την ίδια διαδροµή, ε ιστρέφει στη βάση. Να δείξετε ότι υ άρχει ένα τουλάχιστον σηµείο της διαδρο- µής ό ου βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δύο ηµέρες 9.57 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α,β ] να α οδείξετε ότι υ άρ- µε f, [ α,β],,,...,v [ α,β] χουν ξ,ξ [ α,β] f ξ. Για κάθε ώστε f f f... f v v ν f ξ f f f... f v 9.58 Έστω η συνάρτηση f : I I ώστε f + f f() 4 για κάθε I και f A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ση- µείο, να υ ολογίσετε το όριο ( f() ) ηµ B) Να α οδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [, ] 9.59 ίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε f ln ln( ) Να α οδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να ορίσετε την f Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης g f e Γ) Να α οδείξετε ότι η εξίσωση f e του ένα έχει µοναδική λύση µεγαλύτερη 9.6 ίνεται η συνεχής συνάρτηση f :, + I για την ο οία ισχύει + + για κάθε (, ) f f Να α οδείξετε ότι +. < f < Να µελετηθεί ως ρος τη συνέχεια η συνάρτηση f f ηµ +, > g, f( ), < 9.6 ίνεται η f +, + α, Να υ ολογίσετε τα f ( ), + f, f, f - + Υ άρχει τιµή τουαώστε η f να είναι συνεχής;