Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ"

Transcript

1 ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας Kuo [5]: Chapter 3, Sections Lapsley []: Chapter 3 Σηµειώσεις διδάσκοντα

2 Εισαγωγή Τα ψηφιακά συστήµατα, φίλτρα, αλγόριθµοι κλπ υλοποιούνται σε υλικό στο οποίο τα δεδοµένα (τιµές δειγµάτων, συντελεστές) αποθηκεύονται ως δυαδικοί αριθµοί µε πεπερασµένο µήκος λέξης. Η αναπαράσταση δεδοµένων (αριθµών) µπορεί να γίνει είτε µε κινητή υποδιαστολή (floating point) είτε µε σταθερή υποδιαστολή (fixed point) Ο τρόπος αναπαράστασης επηρεάζει: (α) το εύρος των αριθµών που µπορούν να αναπαρασταθούν, (β) την ακρίβεια της αναπαράστασης, και (γ) τον τρόπο µε τον οποίο πραγµατοποιούνται οι πράξεις µεταξύ δυαδικών αριθµών (αριθµητική) Το πεπερασµένο µήκος λέξης πρέπει να λαµβάνεται υπόψη δεδοµένου ότι: Επηρεάζει την αναπαράσταση των δειγµάτων Επηρεάζει την αναπαράσταση των συντελεστών των ψηφιακών συστηµάτων επηρεάζοντας την απόδοση τους. ηµιουργεί προβλήµατα υπερχείλισης η/και υποχείλισης µεαποτέλεσµατη δηµιουργία ανακριβών ή και εσφαλµένων αποτελεσµάτων Στους επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ η αναπαράσταση αριθµών γίνεται (όπως σε κάθε ψηφιακό σύστηµα) από µια σειρά από δυαδικά ψηφία (bits). Το πλήθος των bits που χρησιµοποιείται για την αναπαράσταση των αριθµών σε ένα επεξεργαστή ονοµάζεται µέγεθος λέξης αναπαράστασης δεδοµένων ή µήκος λέξης (data width ή word length) Συνήθως οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ έχουν µήκος λέξης πολλαπλάσιο του 8. Οι σύγχρονοι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ έχουν µήκος λέξης που φτάνει τα 64 bits αν και το σύνηθες είναι 3 bits. Με δεδοµένο το µήκος λέξης η αναπαράσταση αριθµών µπορεί να γίνει είτε µε σταθερήείτεµε κινητήυποδιαστολή. Οπότε αντίστοιχα έχουµε: επεξεργαστές κινητής υποδιαστολής (floating point processors) επεξεργαστές σταθερής υποδιαστολής (fixed point processors) Οι επεξεργαστές κινητής υποδιαστολής παρέχουν µεγαλύτερη ακρίβεια αποτελεσµάτων, δεν παρουσιάζουν εύκολα φαινόµενα υπερχείλισης, και προγραµµατίζονται ευκολότερα. Από την άλλη πλευρά απαιτούν πιο σύνθετα κυκλώµατα και κατά συνέπεια είναι πιο ακριβοί. Αριθµοί και Αριθµητική Σταθερής Συνήθως σε µαζική παραγωγή απλών προϊόντων στα οποία οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ εκτελούν συγκεκριµένους αλγορίθµους (π.χ. Modems, mp3 players, κλπ) χρησιµοποιούνται επεξεργαστές σταθερής υποδιαστολής

3 Τρόποι αναπαράστασης αριθµών σταθερής υποδιαστολής Υπάρχουν τρεις βασικές µορφές αναπαράστασης αριθµών σταθερής υποδιαστολής: Μορφή πρόσηµο-µέτρο (sign-magnitude) Για παράδειγµα µε µήκος λέξης 4bits oιαριθµοί 7, -6 θα αναπαραστασθούν ως (MSB =>θετικός αριθµός), και (MSB =>θετικός αριθµός) αντίστοιχα MSB = Most Significant Bit και είναι το αριστερότερο δυαδικό ψηφίο στη δυαδική συµβολοσειρά αναπαράστασης του αριθµού Για την αναπαράσταση ενός αριθµού µε τη µορφή πρόσηµο-µέτρο πρώτα µετατρέπουµε το µέτρο του αριθµού σε δυαδικό και στη συνέχεια προσθέτουµε τοmsb ανάλογα µε τοπρόσηµο του. Μορφή συµπλήρωµα ωςπρος (one s complement) Στο παραπάνω παράδειγµα οιαριθµοί 7, -6 θα αναπαραστασθούν ως και (το οποίο είναι το συµπλήρωµα του που αντιστοιχεί στο 6) Για την αναπαράσταση ενός αρνητικού αριθµού µε τη µορφή συµπλήρωµα ως προς, πρώτα µετατρέπουµε τον αντίστοιχο θετικό αριθµό σεδυαδικό και στη συνέχεια παίρνουµε τοσυµπλήρωµα του αποτελέσµατος. Για τους θετικούς αριθµούς η αναπαράσταση είναι ίδια µε αυτήντης µορφής πρόσηµο-µέτρο Τρόποι αναπαράστασης αριθµών σταθερής υποδιαστολής (ΙΙ) Μορφή συµπλήρωµα ωςπρος (two s complement) Στη µορφή πρόσηµο-µέτρο και συµπλήρωµα ωςπρος έχουµε διπλή αναπαράσταση του (µηδέν), είτε ως - είτε ως +. Το συµπλήρωµα ωςπρος αποφεύγει αυτή την περίπτωση. Στο προηγούµενο παράδειγµα οιαριθµοί 7, -6 θα αναπαραστασθούν ως και (το οποίο είναι το συµπλήρωµα ωςπροςένατου που αντιστοιχεί στο 6 +) Για την αναπαράσταση ενός αρνητικού αριθµού µε τηµορφή συµπλήρωµα ωςπρος προχωράµε ωςεξής: Πρώτα µετατρέπουµε τον αντίστοιχο θετικό αριθµό σεδυαδικό Παίρνουµε τοσυµπλήρωµα του αποτελέσµατος. Προσθέτουµε τοδυαδικό στο αποτέλεσµα Σηµειώνεται ότι για τους θετικούς αριθµούς η αναπαράσταση είναι ίδια µε αυτήντηςµορφής πρόσηµο-µέτρο, και συµπλήρωµα ωςπρος. Η µορφή αναπαράστασης συµπλήρωµα ωςπροςδύοείναιηµορφή που χρησιµοποιείται στην πράξη στους επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ 3

4 Ακέραιοι και κλασµατικοί αριθµοί σταθερής υποδιαστολής Για την αναπαράσταση κλασµατικών αριθµών µε τη µορφή συµπλήρωµα ως προς δύο χρησιµοποιούνται διάφορα formats τα οποία δηλώνονται µε τη µορφή Qm.n Ισχύει N = m+n+ (όπου Ν το µήκος λέξης, m το πλήθος των bits για την αναπαράσταση του ακέραιου µέρους, n το πλήθος των bits για την αναπαράσταση του κλασµατικού µέρους και bit για το πρόσηµο) Για παράδειγµα τοformat Q3.4 αναπαριστά αριθµούς χρησιµοποιώντας 8 bits, 3 από τα οποία διατίθενται για το ακέραιο µέρος και 4 για το κλασµατικό. Το format Q.5 τις περισσότερες φορές συµβολίζεται απλά µε Q.4 όπως και κάθε format που δεν αποθηκεύει το κλασµατικό µέρος ενός αριθµού. Για να αποφεύγονται προβλήµατα υπερχείλισης στον πολλαπλασιασµό οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ χρησιµοποιούν format της µορφής Q.x (π.χ Q.5, Q.3 κλπ). Αυτό όµως πρέπει να λαµβάνεται υπόψη από τον προγραµµατιστή ώστε τα δεδοµένα να κανονικοποιούνται (µετατρέπονται έτσι ώστε να παίρνουν τιµές στο διάστηµα [- ]) πριν την επεξεργασία τους. Η τιµή ενόςκλασµατικού αριθµού σε Qm.n δίνεται από τη σχέση: N m k n + k όπου b N- είναι η τιµή τουmsb bit και b είναι η k= τιµή τουlsb x = b N b Παράδειγµα Για το format Q3.4 να βρεθούν: Ο µέγιστος αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => Ο ελάχιστος θετικός αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: =>.65 Ο ελάχιστος αρνητικός αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => -8 Ο µέγιστος αρνητικός αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => -.65 Το διάστηµα κβαντισµού (για το κλασµατικό µέρος) ΑΠ.: =/(^4) =.65 Το µέγιστο σφάλµα κβαντισµού ΑΠ.: e max = / =.65/ Η αναπαράσταση του αριθµού 3.67 (ΑΠ.: ) Η αναπαράσταση του αριθµού (ΑΠ.: ) Η αναπαράσταση του αριθµού 8 (ΑΠ.: υπερχείλιση) Η αναπαράσταση του αριθµού -.3 (ΑΠ.: σφάλµα κβαντισµού) 4

5 υναµικό Εύρος και Ακρίβεια Αναπαράστασης Το δυναµικό εύρος (dynamic range) της αναπαράστασης αριθµών σε ένα δεδοµένο format ορίζεται ως ο λόγος του µέγιστου (σε µέτρο) αριθµού που µπορεί να αναπαρασταθεί προς τον ελάχιστο (σε µέτρο), µη µηδενικό αριθµό. Ο παραπάνω λόγος συνήθως εκφράζεται στη λογαριθµική κλίµακα ως: Max DR( db) = log Min Το δυναµικό εύρος της αναπαράστασης αριθµών στο format Qm.n είναι: Max = m, Min = -n, εποµένως: m DR( db) = log = ( m + n) log = ( N n ( ) )* 6 Παρατηρούµε ότι το δυναµικό εύρος είναι ανεξάρτητο των παραµέτρων m, n και εξαρτάται αποκλειστικά από το µήκος λέξης Ν που χρησιµοποιείται για την αναπαράσταση των δεδοµένων. υναµικό Εύρος και Ακρίβεια Αναπαράστασης (ΙΙ) Η ακρίβεια (precision) της αναπαράστασης αριθµών σε ένα δεδοµένο format ορίζεται ως η (κατά απόλυτη τιµή) διαφορά δύο διαδοχικών αριθµών. Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτειότιστοformat Qm.n η ακρίβεια εξαρτάται αποκλειστικά από τον αριθµό n και ισούται µε -n ισούται Η ακρίβεια ισούται µε τοδιάστηµα κβαντισµού ( ). Εποµένως το µέγιστο σφάλµα προσέγγισης ή σφάλµα κβαντισµού είναι ίσο µε τοµισό της ακρίβειας, e = / = -(n+) Παράδειγµα: Για το format Q3.4 να βρεθούν Το δυναµικό εύρος DR = (N-)*6 = 4 db. Το εύρος τιµών [ ] =[ ] Η ακρίβεια p = -n = /6 Το σφάλµα προσέγγισης e = -(n+) = /3 5

6 Η πρόσθεση δύο αριθµών οι οποίοι λαµβάνουν τιµές στο διάστηµα [-α b] παίρνει τιµές στο διάστηµα [-α b]. Αυτό σηµαίνει ότι το εύρος τιµών του αποτελέσµατος της άθροισης διπλασιάζεται (από b+a γίνεται (b+a)). Εποµένως για την αναπαράσταση του αθροίσµατος δύο δυαδικών αριθµών χρειαζόµαστε ένα επιπλέον bit (Ν+ αντί για Ν) για να µην έχουµε φαινόµενο υπερχείλισης Ο πολλαπλασιασµός δύο αριθµών οι οποίοι λαµβάνουν τιµές στο διάστηµα [-α α] παίρνει τιµές στο διάστηµα [-α α ]. Αν το α το εύρος τιµών του γινοµένου δεν αλλάζει. Αντίθετα αν α > για την αναπαράσταση του γινοµένου δύο δυαδικών αριθµών χρειαζόµαστε επιπλέον bits για να µην έχουµε φαινόµενο υπερχείλισης. Παράδειγµα: Πρόσθεση και πολλαπλασιασµός αριθµών σταθερής υποδιαστολής ύο αριθµοί σε format Qm.n (a) προστίθενται, (β) πολλαπλασιάζονται. Να βρεθεί το µήκος λέξης που απαιτείται για την αποθήκευση του (α) αθροίσµατος και (β) γινοµένου Η µέγιστη (κατά µέτρο) τιµή πουµπορεί να αποθηκευτεί µε βάσητοformat Qm.n είναι Max = m. Η µέγιστη τιµή τουαθροίσµατος θα είναι * m = m+. Εποµένως για το άθροισµα χρειαζόµαστε Μ = (m+)+n+ = N+ bits Η µέγιστη τιµή τουγινοµένου θα είναι m * m = m. Εποµένως για το γινόµενο χρειαζόµαστε Μ = (m)+n+ = N+m bits για να µην έχουµε υπερχείλιση. Αφαίρεση και διαίρεση αριθµών σταθερής υποδιαστολής Για format της µορφής Q.x το γινόµενο δεν δηµιουργεί φαινόµενα υπερχείλισης (εξαίρεση η περίπτωση πολλαπλασιασµού -x-). Αυτός είναι και ο λόγος που οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σχρησιµοποιούν format αυτής της µορφής. Στην πράξη οι συσσωρευτές στους επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ έχουν µήκος *Ν γιανα αντιµετωπίζουν προβλήµατα υπερχείλισης λόγω διαδοχικών αθροίσεων. Επειδή και οι συσσωρευτές αναπαριστούν τα δεδοµένα σε Q.x κάποια από τα Ν bits κρατούνται ως φρουροί (guard bits) για την αποθήκευση του ακέραιου µέρους του αποτελέσµατος Για format της µορφής Qx. το γινόµενο απαιτεί Ν- bits για την αποθήκευση του γινοµένου. Η αφαίρεση δυαδικών αριθµών δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαιτερότητα γιατί είναι παρόµοιας λογικής µε τηνπρόσθεση Η διαίρεση δυαδικών σε επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ υλοποιείται µεδιαδοχικές αφαιρέσεις. Σε αντίθεση µε τον πολλαπλασιασµό δεν υλοποιείται κατευθείαν σε υλικό. 6

7 Αριθµοί και Αριθµητική Κινητής Οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ αναπαριστούναριθµούς κινητής υποδιαστολής στη µορφή: πρόσηµο εκθέτης - δεκαδικό µέρος (sign-exponentmantissa(fraction)). Σύµφωνα µε τοπρότυποieee-754 οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής απλής ακρίβειας (single) αναπαριστώνται µε bit για το πρόσηµο, 8 bit για τον εκθέτη, και 3 bit για το δεκαδικό µέρος. Εποµένως η τιµή x ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής δίνεται από τη σχέση: x= - sign x (exp-7) x.man Μορφές Αναπαράστασης Αριθµοί κινητής υποδιαστολής διπλής ακρίβειας (double) 7

8 Παράδειγµα Ένας επεξεργαστής Ψ.Ε.Σ κινητής υποδιαστολής έχει µήκος λέξης Ν=8 bits και αναπαριστά τους αριθµούς µε bit για το πρόσηµο, 3 bit για τον εκθέτη, και 4 bit για το δεκαδικό µέρος. Να βρεθούν: Ποια τιµή αναπαρίσταται µε τησυµβολοσειρά sign= => αρνητικός, exp = =-3=-, mantissa= => - - x.375 = Η δυαδική αναπαράσταση του αριθµού -.38 δεκαδική αναπαράσταση (πρόσηµο )., µετακίνηση προς τα αριστερά κατά 3 θέσεις => exp =3+3 =6 =>, mantissa =. Τελικά -.38 => Ο µέγιστος αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => 5.5 Ο ελάχιστος θετικός αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => exp = -, fraction =. =>.56 Ο ελάχιστος αρνητικός αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => exp = -, fraction =. =>-.56 Ο µέγιστος αρνητικός αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί ΑΠ.: => -5.5 Παράδειγµα (ΙΙ) Ένας επεξεργαστής Ψ.Ε.Σ κινητής υποδιαστολής έχει µήκος λέξης Ν=8 bits και αναπαριστά τους αριθµούς µε bit για το πρόσηµο, 3 bit για τον εκθέτη, και 4 bit για το δεκαδικό µέρος. Να βρεθούν: Το δυναµικό εύρος τιµών σε db Η ακρίβεια της αναπαράστασης των τιµών Το µέγιστο σφάλµα προσέγγισης 8

9 Η πρόσθεση δύο αριθµών κινητής υποδιαστολής, απλής ακρίβειας x και y x = y = δίνεται από τη σχέση: z = x + y = Πρόσθεση και πολλαπλασιασµός αριθµών κινητής υποδιαστολής sign x (expx 7). sign y (exp y 7). signx signy. man x. man y + + man man y x signy (expx exp y ) (. man y ) sign (expy expx ) x (. manx ) Η πολλαπλασιασµός των αριθµών x και y δίνεται από τη σχέση: (expx 7) (expy 7) if x y if y > x sign sign (exp + exp 54) x y x (. man ) (. man ) y z = x y = x y Παράδειγµα Ένας επεξεργαστής Ψ.Ε.Σ κινητής υποδιαστολής έχει µήκος λέξης Ν=8 bits και αναπαριστά τους αριθµούς µε bit για το πρόσηµο, 3 bit για τον εκθέτη, και 4 bit για το δεκαδικό µέρος. Να βρεθούν το άθροισµα και το γινόµενο των αριθµών x=.44 και y =-.6 Οι αριθµοί x και y αναπαρίστανται ως ακολούθως: x =, y = Ισχύει y > x exp x =4, man x =.5, exp y =6, man y =.5 Άθροισµα: {-.5+(.5* - )}* 3 =-9.5 Γινόµενο:.875* 4 = -3 9

10 Οι Συνέπειες του Πεπερασµένου Το πεπερασµένο µήκος λέξης για την αναπαράσταση των δεδοµένων (αριθµητικών τιµών) στους επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ επηρεάζει την ακρίβεια των αποτελεσµάτων της επεξεργασίας εξαιτίας: Της µειωµένης ακρίβειας στην αναπαράσταση των τιµών του αναλογικού σήµατος που έχει ψηφιοποιηθεί και κβαντισθεί. Το σφάλµα αναπαράστασης των τιµών λόγω χρήσης πεπερασµένου αριθµού από bits για την αναπαράσταση των δειγµάτων στον αναλογικο-ψηφιακό µετατροπέα (ADC) είναι γνωστό ως σφάλµα κβαντισµού. Της µειωµένης ακρίβειας στην αναπαράσταση των συντελεστών των ψηφιακών συστηµάτων (π.χ. ψηφιακών φίλτρων) που υλοποιούνται στους επεξεργαστές. Των φαινοµένων υπερχείλισης που παρουσιάζονται λόγω του πεπερασµένου δυναµικού εύρους σε ενδιάµεσα αποτελέσµατα πράξεων όπωςηπρόσθεσηκαιοπολλαπλασιασµός Της αποκοπής των LSB bits για την αποθήκευση ενδιάµεσων και τελικών αποτελεσµάτων στη µνήµη των επεξεργαστών Ψ.Ε.Σ µετά την µεταφορά τουςαπότοσυσσωρευτή. Σε πολλές περιπτώσεις οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σσυµπεριλαµβάνουν και αναλογικό-ψηφιακούς µετατροπείς (ADC Analog to Digital Converters) έτσι ώστε να µπορούν να χειρίζονται απευθείας και αναλογικά σήµατα. Η διαδικασία της ψηφιοποίησης εισάγει ένα σφάλµα προσέγγισης της πραγµατικής τιµής τιµής του αναλογικού σήµατος από την ψηφιακή αναπαράσταση του (δυαδική σειρά από bits) εξαιτίας του πεπερασµένου αριθµού από bits που διατίθενται για την αναπαράσταση των ψηφιοποιηµένων δειγµάτων. Σφάλµα Κβαντισµού Το ανωτέρω σφάλµα (δηλαδή η διαφορά της πραγµατικής τιµής από την ψηφιοποιηµένη) ονοµάζεται σφάλµακβαντισµού. Το σφάλµακβαντισµού είναι µια στοχαστική ποσότητα και εποµένως η ισχύς του χαρακτηρίζεται από τη µέση τιµή και τη διασπορά του: P e =(m e ) + (σ e ) Αν V FS είναι το εύρος διακύµανσης του αναλογικού σήµατος τότε το διάστηµα κβαντισµού δίνεται από τη σχέση: V = FS N όπου Ν οαριθµός των bits που διατίθενται για την αναπαράσταση των ψηφιοποιηµένων δειγµάτων

11 Σφάλµα Κβαντισµού Quantization of inpu signal Amplitude (volts) = V FS N Time (sec) Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές µεθοδολογίες προσέγγισης της πραγµατικής τιµής του σήµατος από την ψηφιοποιηµένη: Προς την πλησιέστερη στάθµη (round toward nearest - round) Προςτο µηδέν (round toward zero - fix) Προς µικρότερες τιµές (round toward floor - floor) Προς µεγαλύτερες τιµές (round toward ceil - ceil) Από τις παραπάνω µεθοδολογίες οι δύο πρώτες δίνουν σφάλµα κβαντισµού µε µέση τιµή m e = ενώ οι άλλες δύο δηµιουργούν τάση (bias) προς αρνητικές ή θετικές τιµές καθώς η µέση τιµή τουσφάλµατος κβαντισµού είναι διάφορη του µηδέν και αρνητική ή θετική αντίστοιχα. Σφάλµα Κβαντισµού (ΙΙ) Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι η ισχύς του σφάλµατος κβαντισµού είναι µικρότερη όταν χρησιµοποιείται η πρώτη µεθοδολογία πράγµα πουσυµβαίνει στη πράξη στους επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Αποδεικνύεται ότι η ισχύς του σφάλµατος κβαντισµού για την προσέγγιση προς την πλησιέστερη στάθµη είναι: P e = σ e =

12 Σφάλµα Κβαντισµού (ΙΙ) Quantization of input signal using ROUND TOWARD NEAREST Quantization of input signal using ROUND TOWARD ZERO Σφάλµα Κβαντισµού (ΙΙ) Quantization of input signal using ROUND TOWARD CEIL Quantization of input signal using ROUND TOWARD FLOOR

13 Σφάλµα Κβαντισµού (ΙΙΙ) Για ηµιτονοειδή αναλογικά σήµατα εισόδου η ισχύς τους δίνεται από τη σχέση: V FS Ν VFS Ps = = = 8 8 Ένα µέτρο της ποιότητας κβαντισµού του αναλογικού σήµατος είναι ο λόγος σήµατος προς σφάλµα κβαντισµού (SQNR Signal to Noise Quantization Ratio) το οποίο δίνεται από τη σχέση: SQNR = log Ν Ps 8 3 log Ν = log = (6.N.76) db + P = e + Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι µε κάθεέναbit έχουµε αύξησητουsqnr κατά 6 περίπου db. Κβαντισµός Συντελεστών Ψηφιακών Συστηµάτων Εκτός από τα δεδοµένα (δείγµατα) µε πεπερασµένο αριθµό απόbits αναπαριστώνται και οι συντελεστές των ψηφιακών συστηµάτων (π.χ οι συντελεστές των ψηφιακών φίλτρων). Αυτό έχει ως αποτέλεσµα ορισµένες φορές να αλλοιώνονται οι προδιαγραφές και η επίδοση των ψηφιακών συστηµάτων. Είναι πιθανόν επίσης να παρουσιαστούν φαινόµενα αστάθειας (ταλαντώσεις της εξόδου) 3

14 Υπερχείλιση (overflow) συµβαίνει όταν µετά από αριθµητικές πράξεις όπως άθροιση και πολλαπλασιασµός τα ενδιάµεσα αποτελέσµατα δεν µπορούν να αποθηκευτούν (υπερβαίνουν τη µέγιστη τιµή κατά µέτρο- που µπορεί να αναπαρασταθεί µεδεδοµένο αριθµό απόbits) χωρίς σφάλµα. Υποχείλιση (underflow) συµβαίνει όταν τα ενδιάµεσα αποτελέσµατα λαµβάνουν τιµές µικρότερες από την ελάχιστη κατά µέτρο τιµήπου µπορεί να αποθηκευτεί. Επειδή υπερχείλιση και υποχείλιση συµβαίνουν συνήθως στον συσσωρευτή λαµβάνονται τα εξής µέτρα: Υπερχείλιση Ο συσσωρευτής έχει µήκος λέξης τουλάχιστον διπλάσιο από τον αριθµό τωνbits που χρησιµοποιούνται για τα δεδοµένα Κάποια από τα bits του συσσωρευτή κρατούνται ως φρουροί (guard bits). Αυτό βέβαια έχεις ως συνέπεια µικρότερη ακρίβεια όσον αφορά τα ενδιάµεσα αποτελέσµατα των πράξεων: Αν π.χ ο συσσωρευτής έχει µήκος λέξης 3 bits και τα 4 κρατούνται ως φρουροί τότε η ακρίβεια αναπαράστασης των ενδιάµεσα αποτελέσµατα µειώνεται σε αυτή που αντιστοιχεί στα 8 bits αντί για 3. Επειδή υπερχείλιση είναι πιθανότερο να συµβεί κατά τον πολλαπλασιασµό είναι σύνηθες η αναπαράσταση των δεδοµένων και συντελεστών σε επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ ναγίνεταιµε format κλασµατικής µορφής (π.χ Q.3, Q.5 κλπ). Αυτό συνεπάγεται βέβαια κανονικοποίηση των σηµάτων εισόδου (διαίρεση µε την µέγιστη τιµήπου µπορούν να πάρουν) Επιπλέον δηµιουργεί φαινόµενο υπερχείλισης στην περίπτωση του πολλαπλασιασµού - x - Οι επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ αντιµετωπίζουν την υπερχείλιση µε τη µέθοδο του κορεσµού σε αντίθεση µε τους µικροεπεξεργαστές γενικού σκοπού που δεν λαµβάνουν καµία πρόνοια για την υπερχείλιση µε αποτέλεσµα να έχουµε τοφαινόµενο περιτυλίγµατος (wrap around) Υπερχείλιση (ΙΙ) Το επόµενο σχήµα επιδεικνύει το πλεονέκτηµα της µεθόδου saturation όσον αφορά την αντιµετώπιση της υπερχείλισης 4

15 Υπερχείλιση (ΙΙΙ) Signal x(t) Signal x(t) Saturated signal x(t)+x(t) in blue Υπερχείλιση (ΙV) Signal x(t) Signal x(t) Wrapped signal x(t)+x(t) in blue

16 Signals x(t) (red) and x(t)(blue) Υπερχείλιση σε πολλαπλασιασµό Wrapped signal x(t)*x(t) in blue Όπως ήδη αναφέρθηκε το µήκος λέξης του συσσωρευτή είναι πολύ µεγαλύτερο (συνήθως διπλάσιο) από το µήκος λέξης για την αποθήκευση αποτελεσµάτων στη µνήµη Για παράδειγµα έναςεπεξεργαστήςψ.ε.σ µήκους λέξης Ν = 6bits µπορεί να έχει συσσωρευτές µε µήκος λέξης Ν = 3. Εποµένως κατά την µεταφορά αποτελεσµάτων από το συσσωρευτή στη µνήµη χρειάζεται η µείωση της ακρίβειας αναπαράστασης τους από N σε Ν. Ο συνήθης τρόπος για την αντιµετώπιση του παραπάνω προβλήµατος είναι η προσέγγιση προς τον πλησιέστερο ακέραιο (χρησιµοποιώντας προφανώς τα N bits αντί τα Ν). Ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης είναι η αποκοπή των LSB bits. Η µεθοδολογία αυτή είναι γνωστή ως truncation. Στρογγυλοποίηση και Αποκοπή υστυχώς για αναπαράσταση αριθµών µε βάση το συµπλήρωµα ως προς δύο (δηλαδή η συνηθισµένη µορφή αναπαράστασης σε επεξεργαστές σταθερής υποδιαστολής) η αποκοπή δηµιουργεί εσφαλµένα αποτελέσµατα (εξαιτίας και των guard bits που χρησιµοποιούνται στο συσσωρευτή) όπως φαίνεται στο επόµενο παράδειγµα: 6

17 Παράδειγµα Αποκοπής Έστω ότι σε κάποιο στάδιο της επεξεργασίας του σήµατος x(n) χρειάζεται να εκτελεστεί η πράξη MAC (Multiply Add Computation) y = a*x(k)+b*x(k-) Όπου a =.667, b=.333, x(k)=-.9, x(k-)=-.7 O επεξεργαστής έχει µήκος λέξης 4 bits και ο συσσωρευτής έχει µέγεθος 8 bits. Η συντελεστές a, b θα αναπαρασταθούν ως a = (δηλαδή a =.65), b = (δηλαδή b =.375) Οι τιµές x(k) και x(k-) θα αναπαρασταθούν ως x(k) = (δηλαδή x(k) = -.875), και x(k-) = (δηλαδή x(k-) = -.75) Το αποτέλεσµα της πράξης θα είναι y = -.56, το οποίο σε συσσωρευτή 8bits µε έναguard bit θα αναπαρασταθεί ως y = (δηλαδή y = -.56) Εφαρµόζοντας αποκοπή στα τελευταία 4 bits θα έχουµε y = το οποίο ισοδυναµεί µε τιµή y = -.65 όταν χρησιµοποιήσουµε τοformat Q.3 στο οποίο µε το οποίο αποθηκεύονται οι τιµές στη µνήµη του επεξεργαστή. Προφανώς αν χρησιµοποιούσαµε προσέγγισηστηπλησιέστερητιµή θαείχαµε y =- (y = ) τοοποίοείναιπολύπιοκοντάστοπραγµατικό αποτέλεσµα. 7

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος

Εισαγωγή στα Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σημάτων Εισαγωγή στα Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος Κλήμης Νταλιάνης Λέκτορας Π.Δ.407/80 Τμήμα Επιστήμη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Β Παράσταση Προσημασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Σχεδιασµός και Σχεδιασµός Η/Υ. ΗΜΥ-210: Εαρινό Εξάµηνο Σκοπός του µαθήµατος. Ψηφιακά Συστήµατα. Περίληψη. Εύρος Τάσης (Voltage(

Λογικός Σχεδιασµός και Σχεδιασµός Η/Υ. ΗΜΥ-210: Εαρινό Εξάµηνο Σκοπός του µαθήµατος. Ψηφιακά Συστήµατα. Περίληψη. Εύρος Τάσης (Voltage( ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Σκοπός του µαθήµατος Λογικός Σχεδιασµός και Σχεδιασµός Η/Υ Κεφάλαιο 1: Υπολογιστές και Πληροφορία (1.1-1.2) Βασικές έννοιες & εργαλεία που χρησιµοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής

Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 1 Είναι μια άλλη μια μορφή αναπαράστασης για αποθήκευση θετικών και αρνητικών ακεραίων σε έναν

Διαβάστε περισσότερα

3.1 εκαδικό και υαδικό

3.1 εκαδικό και υαδικό Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα Πλεονάσματος. Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών. Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής

Σύστημα Πλεονάσματος. Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών. Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 1 Είναι μια άλλη μια μορφή αναπαράστασης για αποθήκευση

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής ΗΥ 134 Εισαγωγή στην Οργάνωση και στον Σχεδιασμό Υπολογιστών Ι Διάλεξη 11 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση δεδομένων Κατάλληλη συμβολική αναπαράσταση δεδομένων, για απλοποίηση βασικών πράξεων, όπως πρόσθεση Πόσο εύκολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα

1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Γ. Γεωργίου, Αριθμητική Ανάλυση 1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Στην παράγραφο αυτή καλύπτουμε πρώτα γενικά το θέμα της αριθμητικής υπολογιστών και στην συνέχεια διαπραγματευόμαστε την έννοια του

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Αναπαράσταση εδοµένων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unipi.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Aναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 1 εδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος είναι το 10 αναπτύχθηκε τον 8

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 9: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ.

ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. VLSI REAL ARITHMETIC Floating- Point Numbers ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΙΑΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 2 Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη µορφή συµπληρώµατος ως προς δύο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ.   url: στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 5 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Συστήματα. 1. Συστήματα Αριθμών

Ψηφιακά Συστήματα. 1. Συστήματα Αριθμών Ψηφιακά Συστήματα 1. Συστήματα Αριθμών Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L.,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. α i. (α i β i ) (1.3) όπου: η= το πλήθος ακεραίων ψηφίων του αριθμού Ν. n-1

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. α i. (α i β i ) (1.3) όπου: η= το πλήθος ακεραίων ψηφίων του αριθμού Ν. n-1 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 Εισαγωγή Το δεκαδικό σύστημα (Decimal System) αρίθμησης χρησιμοποιείται από τον άνθρωπο και είναι κατάλληλο βέβαια γι αυτόν, είναι όμως εντελώς ακατάλληλο για τις ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική «Λογικές» πράξεις, μάσκες Πώς βρίσκουμε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με το 4; διαίρεση με 4 = δεξιά ολίσθηση 2 bits Το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. Όγδοη (8 η ) δίωρη διάλεξη. Η διασύνδεση Υλικού και λογισμικού David A. Patterson και John L.

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. Όγδοη (8 η ) δίωρη διάλεξη. Η διασύνδεση Υλικού και λογισμικού David A. Patterson και John L. Η διασύνδεση Υλικού και λογισμικού David A. Patterson και John L. Hennessy Chapter 3 Αριθμητική Υπολογιστών Όγδοη (8 η ) δίωρη διάλεξη. Διαφάνειες διδασκαλίας από το πρωτότυπο αγγλικό βιβλίο (4 η έκδοση),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχιτεκτονική-Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΧΑΣΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 11

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 11 ΗΜΥ Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 11 13 Οκτωβρίου, 6 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 6 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 6 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ.   url: στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 6 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Συστήματα αρίθμησης Δυαδικό αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης ΤΛ2002 Ψηφιακά Κυκλώματα Ι Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες Λευτέρης Καπετανάκης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Άνοιξη 2011 ΤΛ-2002: L1 Slide 1 Ψηφιακά Συστήματα ΤΛ-2002:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 2 Σκοπός Μέθοδοι παράστασης και ερµηνείας των ψηφιακών δεδοµένων στα υπολογιστικά συστήµατα ιάφορα αριθµητικά συστήµατα που χρησιµοποιούνται στους υπολογιστές και επεξήγηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Αριθμητική του Υπολογιστή, Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπές, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια)

Chapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια) Chapter 3 Αριθμητική Υπολογιστών (συνέχεια) Διαφάνειες διδασκαλίας από το πρωτότυπο αγγλικό βιβλίο (4 η έκδοση), μετάφραση: Καθ. Εφαρμογών Νικόλαος Πετράκης, Τμήματος Ηλεκτρονικών Μηχανικών του Τ.Ε.Ι.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0 Δεκαδικό Όταν αναφερόμαστε σε μία αριθμητική τιμή, απεικονίζουμε μία ποσότητα με ένα σύμβολο ή έναν συνδυασμό από σύμβολα. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό. Αποτελείται από δέκα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική υπολογιστών

Αριθµητική υπολογιστών Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 10. 10 ψηφία: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές http://courseware.mech.ntua.gr/ml23021/ 6 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E-mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo 1 Στα προηγούμενα μaθήματα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών)

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέρος Β (Οργάνωση Υπολογιστών)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη μορφή συμπληρώματος ως προς δύο

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών

Προγραμματισμός Υπολογιστών Προγραμματισμός Υπολογιστών Αναπαράσταση Πληροφορίας Κ. Βασιλάκης, ΣΤΕΦ, ΤΕΙ Κρήτης Δεδομένα και πληροφορία Δεδομένα είναι ένα σύνολο διακριτών στοιχείων σχετικά με ένα συμβάν ή μια διαδικασία χωρίς κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές http://courseware.mech.ntua.gr/ml23021/ 3 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E-mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo 1 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Η/Υ. Γιώργος ηµητρίου. Μάθηµα 3 ο. Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας - Τµήµα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων

Οργάνωση Η/Υ. Γιώργος ηµητρίου. Μάθηµα 3 ο. Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας - Τµήµα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Γιώργος ηµητρίου Μάθηµα 3 ο Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας - Τµήµα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Μονάδα Επεξεργασίας εδοµένων Υποµονάδες πράξεων n Αριθµητική/Λογική Μονάδα (ΑΛΜ - ALU): Βασικές αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Πληροφορικής Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Σταμούλης Γεώργιος georges@uth.gr Δαδαλιάρης Αντώνιος dadaliaris@uth.gr Δυαδικοί Αριθμοί Η γενική αναπαράσταση ενός οποιουδήποτε

Διαβάστε περισσότερα