Problems In Mathematical Analysis 1,2. Authors: Hassan Jolany A.Sadighi (Assistant Professor In Islamic Azad University of Tabriz)

Transcript

1 Plems I Mthemtcl Alyss, Auths: Hss Jly A.Sdgh (Assstt Pess I Islmc Azd Uvesty Tz)

2

3 فصل شمارايی ناشمارايی فصل شمارايی ناشمارايی. I سال ) ثابت کنيد مجمعه اعداد حقيقی (R) ناشماراست. (از رش کانتر استفاده نشد). R {,,... } اثبات: فرض کنيدR شمارا باشد. مثال فرض کنيم. (, + ) I, +, I, I بطر کلی برای ھر I فرض می کنيم طل بازه بازه I ھا برابر است با: برابر است پس مجمع طل ھمه { } + + پس I I اما ھر R U U I خط نمايش اعدادحقيقی (که طل اش بی نھايت است) با اجتماع بازه ھايی که مجمع طلشان است پشيده شد. اين يک تناقض است. سال ) نشان دھيد مجمعه مکعب مستطيل ھايی که ابعادشان اعداد گيا ھستند مجمعه ای شمارا نامتناھی است. اثبات: فرض کنيد A مجمعه ھمه مکعب مستطيل ھايی مانند M باشد که ابعادشان گيا ھستند. در اين صرت نگاشت : A Q Q Q را با ضابطه زير در نظر بگيريد. ( M ) (, c) M A, که در آن c,, به ترتيب به طل عرض ارتفاع مکعب مستطيل M است. اضح است که نگاشتی د سيی است. لذا خاھيم داشت:. A ~ Q Q Q اما ھمانگنه که می دانيم مجمعه Q Q Q مجمعه شمارای نامتناھی است لذا A R ~ شمارای نامتناھی خاھد بد. سال 3 ),) ( نشان دھيد اثبات: اثبات را به استقراء انجام می دھيم. اال به ازای (مفھم N ~ يعنی تناظر يک به يک) حکم درست است. ~ (,) R ~ داريم(, ( ثانيا به مجب فرض استقراء قرار می دھيم را بصرت زير تعريف می کنيم: + g بدين جھت تابع. R ~ ( در اين صرت بايد نشان دھيم(, R (, ) (,) (,) :, ε (, ) 5 g :,,, g /..., /... /... آشکارا پيدا است که تابع g تعريف شده در باال ھر د يک به يک اند لذا به مجب قضيه شر در برنشتاين می تان نشت R + R R ~. اکنن قرارمی دھيم: (,) (, ) ~ (, ) + (,) (,) ~ (,) R ~ (,) N

4 (قضيه شردربرنشتاين: ھرگاه B زيرمجمعه ای از A بده در صرتی که : A B B در تناظر يک به يک اند). نگاشتی يک به يک باشد آنگاه A فصل مسائل بخش نامسای ھا بخش نامسای ھا. > >... > > e,..., سال ) عددھايی حقيقی اند ھا منتھا به رديفي ديگرند. ثابت کنيد:,..., ھمان > اثبات: اگر درستی حکم مساله معلم است زيرا > L L. فرض کنيد > +. تجه کنيد که به ازای ای فرض کنيد > L m +... m + + چن m < L m m + < + چن N N + N + N > بنابراين اگر اين نحه استدالل را چندين بار تکرار کنيم معلم می شد که حکم مساله درست است.,...,, سال ) فرض کنيد عددھای حقيقی داده شده اند. A A m π π,,...,,.s θ, θ, > در اين صرت اثبات: فرض کنيد در اين صرت A sθ csθ s θ + j + j s ( θ + θ ) j

5 π θ ھا برابر باشند يعنی از اينجا معلم می شد که بيشترين مقدار A قتی به دست میآيد که ھمه 4 A m ω,..., ω عددھايي, ω,,...,, s θ ( sθ) ( csθ) ( tgθ) ( tgθ ) csθ s θ > cs θ ( tgθ ) π سال 3 ) اگر < θ < ثابت كنيد براي اثبات از نابرابري ميانگين حسابي - ميانگين ھندسي زندار استفاده ميكنيم (اگر cs حقيقي غيرمنفي باشند آنگاه w w w cs θ ( tgθ) ( tgθ) w / / s θ cs θ s θ. + cs θ. s θ cs θ s θ cs θ sθ csθ sθcsθ sθ θ cs θ s θ sθ cs θ ( s θ ) < ( csθ ) s θ π < θ < 4 سال 4 ) اگر اثبات: چن ثابت كنيد: < tgθ از نابرابري ميانگين حسابي ميانگين ھندسي زندار نتيجه مي شد: < tgθ tgθ ( + tg θ ) ( tg θ ) < ( tgθ )( + tg θ ) ( s ) tgθ θ < + tg θ tgθ < cs θ sθ cs θ ( s θ ) < ( csθ ) ( θ ) tgθ s < cs θ + tgθ tg θ در نتيجه بنابراين سال 5 ) عددي غيرمنفي است > ثابت كنيد عددھايي مثبت مانند C,C C + C ( 4 + ( ) ( چن < پس ) ) جد دارند به طري كه اثبات: فرض كنيد

6 ( + )( + )...( + )... ( ( ) ( ) ( ) ( ) بنابراين در نتيجه يا + < ( ),...,, سال 6 ) عددھاي حقيقي مثبت اند ثابت كنيد ( ) ( + )! اثبات : از نابرابري ميانگين حسابي ھندسي نتيجه مي شد: , ( ) ( ) +...! + +!,...,, سال 7 ) ال ثابت كنيد براي عددھاي مثبت دلخاه اين نابرابري برقرار است j j ( + ), ( )...( ) j... e اثبات: قرار مي دھيم (,,...,) با تجه به نابرابري e ھمچنين قضيه مربط به اسطه ھا داريم: ( + + )... + سپس

7 ... j j j j j + ( jj ) + j + jj e j j j j j j j > سال 8 ) اگر c,, عددھايي حقيقي بزرگتر باشند به ازاي ھر ثابت كنيد c c ( lg ) + ( lg ) + ( lg ) 3 S c y e l lg y y lg L y L اثبات: پيش از ھر چيز تجه كنيد (اگر فرض كنيم آنگاه در نتيجه L y L بنابراين Lc L + L c L lg c L L L + L c L اينك بنابر نابرابري ميانگين حسابي ميانگين ھندسي L L lg c + Lc L L.L c ( L) ( L L c) L / / در نتيجه كه از آن نتيجه ميشد c ( lg ) ( Lc. L) ( L) / ( L.Lc) ( L ) c ( L.L c) lg ( L.L) lg c ( L c) / ( L ) / به ھمين ترتيب بنابراين / ( L c.l) ( L) S + + S 3 / ( L.L) ( Lc) باالخره با استفاده از ميانگين حسابي ھندسي در طرف راست به دست آريم ( L.Lc) ( L ) /. ( Lc.L) ( L) / S 3 ( L L) ( Lc) / 3 ( L L Lc) ( L.L.Lc) 3 S حكم ثابت مي شد / 3 در نتيجه 3 يعني

8 اين برھان را مي تانيى در مرد عدد كه ھمگي از بزرگترند تعميم دھيد ( lg ) s u سال 9 ) به كمك استقرا رياضي ثابت كنيد براي ھر > lg < lg! < + lg + lg, V + lg + () اثبات: قرار مي دھيم را ثابت مي كنيم اين نامساي براي برقرار است فرض كنيد كه اين نامساي ابتدا نامساي! lg ( ( u < برقرار باشد يعني! lg u ( ) < آنگاه ( ) + lg ( + ) < lg! + lg( + ) lg ( )! u + ( + ) lg( + ) ( + ) < lg + lg( + ) u( + ) < lg( + )! براي اگر نشان دھيم () آنگاه ثابت كردهايم كه () براي يك مقدار برقرار نباشد يعني اين ھمان نامساي مرد نظر است فرض كنيد ( + ) lg( + ) ( + ) lg + lg( + ) + + در اين صرت lg در نتيجه lg بنابراين + e كه اين خد تناقض است بنابراين () برقرار بده نامساي براي + درست است lg! < + lg + V حال نامساي زير را در نظر بگيريد (5) رابطه (5) براي درست است اگر اين رابطه براي برقرار باشد يعني lg! < V ( ) آنگاه داريم كه lg! + lg + ( + ) < + lg + + lg 3 + lg + + lg اگر نشان دھيم كه ( + ) < + lg ( + ) ( + ) + آنگاه ديده مي شد كه (5) براي + برقرار است نامساي (6) را چنين مي تان نشت: (6) + lg + < + يا

9 براي > ; lg > + قرار مي دھيم lg + < (7) به راحتي ثابت مي شد كه براي > تابع صعدي اگر نگاه پس < ( e + e ) c e حكم از اينجا ثابت مي شد سال ) به ازاي كدام عدد حقيقي c نامساي حل: اگر نامساي به ازاي ھر برقرار باشد آنگاه به ازاي ھر عدد حقيقي برقرار مي شد c باشد e e + e c c.!! c c!! د طرف را بر c براي آنكه ببينيد چرا تقسيم كنيد قرار دھيد از طرف ديگر اگر c آنگاه ( e + e ) ( )!! e e c از اينجا نتيجه مي شد كه نامساي مرد نظر به ازاي ھر برقرار است اگر فقط اگر فصل 3 مسائل بخش اعداد گيا گنگ (در كمترين عبارت) نمايش يك عدد گيا در فاصله باز ) ) باشد ثابت كنيد (, ) فصل 3 بخش اعداد گيا گنگ سال ( فرض كنيد > 4 اثبات: اضح است كه يك عدد صحيح است لذا يك عدد صحيح است چن در نتيجه پس اما. +

10 > 4 + < ھر د در(, ( قرار دارند لذا در نتيجه اما سال ) فاصله باز به طل كسرھاي تحيل ناپذير را ري محر عددھاي حقيقي در نظر مي گيريم ( عددي است درست مثبت) ثابت كنيد تعداد,,..., u v + در اين فاصله حداكثر برابر است با p ( q ) q حل: ھمه نقطه ھاي گيا در بازه + α, α را به د زير مجمعه تقسيم مي كنيم مخرج V در فاصله اقع است در بازه كه در آن < y قرار دارد.. cv y,...,, كه در آن مخرج S y ھمه اين كسرھا تحيل ناپذيراند. تعريف مي كنيم c جد دارد. به نحي كه داشته باشيم V عدد درستي مانند براي ھر { y s}. ھيچ د عضي از مجمعه + جد ندارد. كه با ھم s+ cu y y j y s+ cv برابر باشند. زيرا از برابري نتيجه اين با اين فرض كه طل بازه برابر است تناقض دارد. بنابراين تعداد نقطه ھاي متمايز < α m < y y مي شد y + + s گيا برابر است با سال 3 ) ثابت كنيد. متناظر با ھر عدد گنگ α عدد صحيح يكتايي چن m جد دارد به طري كه α cs π ثابت كنيد α عددي گنگ است. 3 حل: به عنان تمرين به دانشج اگذار مي شد. سال 4 ) α عددي حقيقي است اثبات: فرض كنيد α كه در آن s عددھايي درست اند > s در اين صرت عددھاي متمايز از ھم در ميان عددھاي s cs θ به استقرا مي از دستر θ cs cs π α 3 حداكثر s است. چن cs ( m t π α ) m ( π α ) cs, z 3 تان نتيجه گرفت كه در ميان عددھاي كه در آن t عددي درست است مضرب 3 نيست. بنابراين تعداد عددھاي متمايز cs كه...,, m نامتناھي است پس α عددي گنگ است. كه در آن عددي طبيعي ثابت است. در مجمعه ھمه عددھاي طبيعي 3,,,... تغيير مي به دنبال ھم عددھاي اعشاري y را مي سازيم. y. ( m πα ) سال 5 ) فرض كند با قرار دادن رقمھاي ( (, ( (..., () () ()... 3 y y بعنان مثال ثابت كنيد ھا ھماره گنگ اند.

11 y اثبات: تانھاي مجب مي شد كه ھر شامل رشته ھاي به اندازه دلخاه طيلي از ھا باشد. ( ),..., اگر لي ھيچ عدد گياي اعشاري شامل رشته ھاي به اندازه دلخاه طيلي از ھا نيست. مگر اينكه عدد اعشاري مختم باشد. پس y گيا باشد. الزاما مختم است لي ھر بار كه اي را به رشته اضافه مي كنيم رقم غيرصفري در ابتدايش جد دارد در نتيجه y مختم نيست. مقدار سال 6 ) اثبات: چن به ازاي ھر عدد گياي ناصفر cs عددي اصم است. ( ) cs cs كافي است كه حكم را در حالتي كه < ثابت مي كنيم. پس فرض مي كنيم عدد گياي c d cs گيا باشد (برھان خلف) ( >, > ) مثبت باشد. نمايش استانده آن يك نمايش استانده آن. ذيال به استخراج تناقضي از فرض خلف مي پردازيم. به ازاي عدد فرد ال دلخاه p (كه بعدا آن را به شرايطي مقيد خاھيم كرد) بسجمله اي( ( را چنين تعريف مي كنيم J d 3 p { } p p ( ) p! p 3 p p ( ) ( ) ( p )! () اضح است كه p () (اختيار كردن ضريب 3 p بدين صرت است كه صرت كسر اخير بسجمله اي صحيح الضرايب باشد.) < < 3 p! ( p ) 4 p 3 p p d d c c p ( p )! ( p )! c c ( ). I نتيجه ال فرض خلف. بنابر () به ازاي p 4 p 3 p! ( p ) J d s d < < پس اگر 3 كه در آن آنگاه مثبت مستقل از p اند ھمچنين به آساني ثابت مي شد كه پس عددي فرد ال مانند 'p ھست كه به ازاي ھر عدد c چن اعداد 4 3 c d حد كسر اخير قتي كه عدد ال p به سمت ميل مي كند صفر است. p cc. < ( p )! ال p كه ' p p > يكي از اين اعداد ال بزرگتر از 'p اختيار مي كنيم. اين عدد فرد ال كه آن را p مي ناميم از اين به بعد ثابت p در تعريف را كه از d نيز بزرگتر باشد. ھمين p خاھد بد. پس بنابر p j j ( j ( ) ) را چنين تعريف مي كنيم ( ( (4) F اضح است كه آنچه گذشت < j يا < j <.(3) ( ( نتيجه دم فرض خلف. بسجمله اي. II D { F' s F cs } { F" + F } s { F' s F cs } s پس F" F + اما از (4) به آساني معلم مي شد كه D پس s d F' s F cs بالنتيجه

12 (اگر( ( () s d F' () s F() cs F() + ( ) الف) پس بنابر () بسجملهاي است برحسب پس بنابر (4) لم بسجمله اي برحسب g ( به () ( j ) ( ) ( ) ب) بنابر باشد به ازاي ھر عدد طبيعي فرد. j در فصل مشتق ثابت مي شد) 'F. () بصرت با شرايط بسجمله اي( )h با شرايط p لم (فرض كنيم كه عددي طبيعي باشد g( ) h h ( j ) h g! بسجمله اي صحيح الضرايب ازاي ھر عدد صحيح نامنفي آنگاه در اين صرت (مقدار مشتق j ام به ازاي j عددي است صحيح جز احيانا بازاي j بر + قابل قسمت است. باالخص اگر P به ازای ھر عدد صحيح نامنفیj عددی صحيح قابل قسمت بر است جز احيانا به ازای مالحظه میکنيم که بنابر () جمله کمترين درجه () عبارتست از يک جمله ای مسای با مقدار مشتق -p ام يک جمله ای مذکر در فق p > پس چن. ( p ) p p p p ( p ) p p + است. h ( j ) ( لھذا ( p. j برای تعيين p 3 p p p! p! ( p ) درجه ساير جمالت () از -p بيشتر است. پس ( ( p 3 p است. بازاء آن برابر با می باشد. بالنتيجه. بنابر آنچه گذشت به مجب (4) عدد F L عددی صحيح غيرقابل قسمت بر P ( p ) p, p است. پ) باالخره به F() می پردازيم. بنابر () p+ p ( ). p ( p )! پس بسجملهای h در شرايط لم پرانتز دم با p- صدق می کند. لھذا به ازای ھر عدد صحيح نامنفیj ( j ) j ( j j j j ( j ) h h ) لھذا() h بالنتيجه ( ( بر P قابل قسمت است. اما. پس J عدد صحيحی ناصفر است. P dl ) F( که LP. پس بنابر بر (4) L عددی است صحيح. p > d چن. P L P 3 p ( j ) () PL' J که خالصه با تجه به (5) dl c + نتيجه اخير با (3) در تناقض است حکم برقرار است. s اگر سال 7 ) عددی گيا باشد آنگاه s گنگ اند. cs s گيا باشند از تسای الزم می آيد که cs گيا اثبات: اگر s يا s باشد اين با مساله 6 در تناقض است. Accs Ac s سال 8 ) ثابت کنيد اگر عددی گيا مخالف صفر باشد آنگاه اثبات: زيرا اگر مثال گنگ اند. Ac cs s Q آنگاه cs s اين در صرتی که s با قضيه قبل متناقض است. سال 9 ) ثابت کنيد πعددی گنگ است.

13 عددی گنگ خاھد بد چن Ac cs( ( π پس π p Accs( ) اثبات: - عدد گيا است پس بنابر مساله 8 عددی گنگ خاھد بد. سال ) p q را د عدد طبيعی دلخاه می گيريم. ثابت کنيد چند جملهای ازای ھمه مقدارھای بازهای مثل با ضرايب درست جد دارد به نحی که به q I R نابرابری زير برقرار است: q >. p p بازه به طل p P < q q اثبات: برای q فرض کنيد 3 را به صرت, در نظر می گيريم. چن q p m N داريم: < 3 q. بنابراين عددی مثل جد دارد که برای آن I m 3 داشته باشيم: < ; q q q می گيريم در اين صرت برای ھر داريم: < فرض می کنيم: pq <. عدد را آنقدر بزرگ انتخاب می کنيم که برای آن داشته باشيم q m < < p p q Q p Q q m m ( ) p m [ ] p m ( q ) q چند جملهای p ضريبھای چند جملهای ضريبھايی درست دارد زيرا داريم:. ثابت کنيد M بر مجمعه M I عددھايی درست اند. به ازای )Q ( اثبات تمام می شد. p p q p q p q q m ( q ) < سال ) مجمعه غيرتھی M Q با د شرط زير سازگار است: M M. لی - عض M نيست زيرا اگر - عض M باشد بنابر ( اگر M, M آنگاه M, + M ) اگر ε Q آنگاه دقيقا يکی از سه گزاره زير درست است که آن قت با شرط () متناقض است. ھمه عددھای مثبت گيا منطبق است. اثبات: از شرط () نتيجه می شد که يا M يا m M ( )( ) M شرط () بنابراين M. از شرط () نتيجه میشد: + M, + M,3 + M,... يعنی. N M اگر اکنن که درست نيست. که در آن m N آن قت با تجه به شرط. m m ( ) M () M (برای ھر m m بنابراين M ( m N در اينجا از شرط () معلم میشد.

14 ,m N برای m M در اين صرت m به جز اين ھا از شرط ) بر جد دارند که در نابرابری N, K m z, را متناظر با زج عدد u,v قرار می دھيم که y ( u,v) > ε عددھای [,] M m M حکم ثابت شد., ثابت کنيد به ازای ھر مقدار R ( m. N ) می آيد که سال ) ھای زير صدق کنند < ε, m < ε N > ε اثبات: عدد درست با دسترھای زير تعريف شده باشند: را انتخاب می کنيم ھرزج عدد (, y ) (, ) y [ N],V [ Ny] u در اين صرت اگر د زج متناظر با يک زج باشند آن قت u + N N N N { N } ( u + { N }) { N } { N } < < ε ( u,v) چن },...,N { y y به ھمين ترتيب < ε زج مقدارھای v u بنابراين تعداد ھمه زج ھای برابر است با ( L,,4,...N ) { L}, y { L} ( N + ). N مجمعه را در نظر می گيريم. بنابر اصل ديريکله دست کم د زج از اين مجمعه مثال به ازای ( ( > j,l j,l يک زج خاھند بد. بنابراين اگر فرض کنيم متناظر با ( u,v) j, [ ] [ j],m [ ] [ j] m آن قت به نابرابری ھای مرد نظر می رسيم. ( [ ] ) ( j [ j] ) { } { j} < ε ( [ ] ) ( j [ j] ) { } { j} < ε سال 3 ) عددھايی درست مانند فرض کنيد α β, عددھايی حقيقی اند γ عددی غير صفر ε عددی حقيقی مثبت است در اين صرت,, جد دارند به طری که نابرابريھای α γ < ε, β + γ < ε ھمزمان درست اند. اين مضع را ثابت كنيد,p انتخاب کنيد که q, اثبات: عددھايی طبيعی مانند p α β p ε α + β p <, γ q γ q < ε p p, q q در اينصرت در ضمن q q p q فرض کنيد p q

15 α β γ ε, α + < β < ε اکنن تجه کنيد که γ α + β α β γ α + α β γ α + β < + ε ε < + ε در نتيجه α γ < ε ھمچنين γ α + β α β γ β + + α β γ α + β + + ε ε < + ε در نتيجه β γ < ε m اکنن تجه کنيد که اگر m که درآن عددی طبيعی است که مربع کامل نيست معلم می شد که حکم مساله ھم درست است اثبات تمام است. {[ β ]}, {[ α ]} φ {[ β ]} I{ [ α ]}, {[ β ]} U{ [ α ]} N سال 4 ) ثابت كنيد شرط الزم کافی برای آنکه دنباله ھای يعنی مجمعه اعداد طبيعی را افراز کنند α β + شرط الزم کافی است ( β >, α + (که البته فرض شده است > α β آن است که α β, گنگ باشند اثبات: شرط گنگ بدن α β, ساده است (آن را ثابت کنيد) حال ثابت می کنيم شرط + β, + α β < +,mα بزرگترين m, که + < يا مسای در برابر است با به ترتيب ھستند پس تعداد اعداد کچکتر {[ α ]} U{ [ β ]} + M + α + β

16 پس + < M < + α β α β ( + ) < M < ( + ) α β + پس فرض کنيم يعنی اعداد کچکتر يا مسای M < الف) اگر < آنگاه به ازای به اندازه کافی بزرگ ( + ) < د دنباله از پس در کمتر است پس دست کم يک عدد در آنھا ظاھر نشده است که خالف فرض است ب) اگر > آنگاه به ازای به اندازه کافی بزرگ ( + ( > پس M > پس دست کم يک عدد کچکتر يا مسای دبار ظاھر شده چن جمالت ھر دنباله متمايز ھستند (چرا ) پس يک جمله در د دنباله مشترک است که تناقض است از (الف) (ب) نتيجه می شد که N {[ β ]},{[ α ]} حال ثابت می کنيم اگر + آنگاه α β را افراز می کنند M α α α α چن به ازای ھر درست است به راحتی با استقراء ری حکم ثابت می شد. < ε <, < < سال 5 ) ثابت کنيد برای ھر عدد حقيقی > tجد داشته باشد که جد دارد که برای ھر عدد حقيقی ({} [] ) { t }{, t },...,{ t } (,) ε را بزرگترين ھا می گيريم. طبق فرض برای ھر ' t >,,,... >,,,..., اثبات به استقراء به ازای حکم بديھی است برای, جد دارد که برای ھر يافت شد که ' ε > ' > ' ' { },...,{ t } ( ε,) t فرض کنيد N عددی صحيح باشد که بعدا مشخص می کنيم. ' ' ' Nt در بازه,...,t,t اعداد طبق اصل النه کبتری جزء اعشاری يکی از ' می افتد اين عدد را st ' بگيريد فرض کنيد t st + c که, N N c می باشد. ( N ) > N N t, N پس حال شد. تجه کنيد که با اين انتخاب را طری انتخاب می کنيم که بده به اين ترتيب tc>, می شند.برای N { }, t N عددی صحيح است ' ' + e < t < + ' بقيه tداريم که

17 s ' + ε < ' ' ( st + c) ' s + sε < st < s + s ' < s + s + ' s + N + N ' N ' { t } ( ε,) N ' < N حال ' را طری تعيين می کنيم که خاھيم داشت شد به اين ترتيب حال قرار می دھيم ε m, ε N ' { t }{, t },...{ t } < ε < < به اين ترتيب استقراء کامل می شد حکم اثبات گرديده است. فصل 4 مسائل بخش چگال بدن مجمعه ھا در مجمعه اعداد حقيقی فصل 4 چگال بدن مجمعه ھا در مجمعه اعداد حقيقی تعريف: فرض کنيم که I بازه ای غير خالی از مجمعه اعداد حقيقی باشد E مجمعكي از. I مجمعه E را در I چگال می ناميم در صرتی که به ازاء ھر د عض I مانند γ γ, که γ < γ عضی مانند γ از E باشد که γ < γ < γ از I γ < γ ( I R) I سال 6 ) شرط الزم کافی برای آنکه E در بازه که نامتناھی است. چگال باشد آن است که به ازای ھر A { γ γ E s.t γ < γ < γ } مجمعی برھان. کفايت شرط. به مجب تعريف چگالی بديھی است برای اثبات لزم فرض کنيم که E در I چگالی باشد لی حکم,A مجمعه ای متناھی است. بنابه فرض برقرار نباشد. بنا به فرض خلف اعضايی مانند γ γ, از I ھست که γ < γ. بنا بر تعريف چگالی E در A φ, I لھذا A عض اقل عض اکثر دارد. آنھا را به ترتيب E η,η می ناميم γاز γ < η,, η I چن بنابر فرض چگالی عضی مانند که ھست η متناقض است. γ < η η < γ γ < γ < η پس γ< γ < γ لھذا γ A اين با تعريف

18 I دراين E سال 7 ) فرض کنيد که α β, د عدد حقيقی باشند α < β I بازه ی باز ) β, ( α صرت شرط الزم کافی برای آنکه در باشد چگال باشد آن است که به ازای ھر η از مجمعكی از I ھر عدد حقيقی εکه γ η عضی مانند γاز E باشد که < ε I E, < ε < m { η α, β η} () ε β η, اعداد η α تضيح. چن α < η < β لھذا مثبت اند. اگر در نامسای صدق کند آنگاه () α < η ε < η < η + ε < β < ε < β η, < ε < η α پس نامسای () اين منظر را تامين می کند که بازه ی باز ) ε ( η ε, η + جزء بازه ی I است η بدان تعلق دارد. برھان : لزم : فرض کنيم که E در I چگال باشد نامسای ھای () برقرار خاھند بد. پس بنابر تعريف چگالی (بنابر مساله 5) عضی مانند γدر E ھست که η I عدد مثبت εدر نامسای () صدق می کند در اين صرت γ η < ε از آنجا η ε < γ < η + ε. γ < γ بنابر خاص بازه ھا عضی γ + γ I کفايت : با مفرضات کفايت فرض کنيم که γ γ, ηاز مانند ھست که د عض دلخاه را تان باشند گرفت) اکنن فرض کنيم η ε < η γ < (مثال γ به آسانی معلم ميشد که در نامسای () صدق می کند پس بنابر مفرضات کفايت γ η < ε ε I { η γ γ η} m, عضی از E مانند γھست که. از آنجا γ > η ε η γ < η + ε η + ( η γ ) γ ( γ η) γ γ < γ < خالصه γ پس حکم به مجب تعريف چگالی محقق می شد. R سال 8 ) ثابت کنيد ھر زير گره جمعی R يا دری است يا در چگالی است. { G : } >,G α G د حالت پيش + + اثبات: فرض کنيد می آيد: حالت ) اگر G يک زير گره جمعی > αآنگاه ثابت می کنيم R باشد. می گيريم ای مجد است که < α Gدری است. ابتدا نشان می دھيم αفرض G می کنيم چنين نباشد. چن ε به ازای بنا به تعريف اينفيمم يک + G + α اينفيمم G است پس يک < α < t α < t α حال چن.α < < α + α < < α + t يا > α پس عدد طبيعی + G جد دارد که جد دارد که به اين ترتيب G از طرفی + ( α ) + ( α ) > t t يعنی α + α < + t < + < < α

19 α. G اکنن ثابت می کنيم + + α G, G تناقض دارد. بنابراين در نتيجه < α با Gدری است با α تليد می شد. فرض می کنيم. G بديھی است که آنگاه بنابراين α < α. حال اگر α α α < ( + )α + G يک z يافت می شد که است از اينفيمم کمتر می باشد که غير ممکن است. پس اين نشان ميدھد که., y + G در α Gدری است با α تليد ميشد. حالت ) اگر α آنگاه فرض می کنيم د عدد حقيقی باشند بدن اينکه از کليت مساله کاسته شد. ' sup + قرار می دھيم } { G : جد دارد که چن ' < < y ھمچنين با تجه + G ' < بنابراين می تانيم بگيريم < < y + > α G, y ' y پس يک + < ' + ' تعريف يک G يافت می شد که ' ' ( y ' ) + y + y در نتيجه ' < + < y لذا. < + < y از آنجا که يکی از اعضای G جد دارد يعنی G در R چگال است. + G. + ثابت کرده ايم که بين ھر د عدد حقيقی m اگر λ عددی گنگ A يک زير گره جمعی z باشد آنگاه به ازای ھر عدد طبيعي يک عدد گيای مجد m λ <, m, * سال 9 ) است که A. G { m λ بديھی است که G يک زير گره جمعی R است. اگر G دری باشد با يک اثبات: فرض کنيم{ A :m, p يافت میشد که(. λ p( m λ اين نشان عض m λ تليد شد آنگاه چن λ G پس يک Z میدھد که λ برخالف فرض گيا است. بنابراين G يژه صفر يک نقطه حدی G است. مطابق تعريف. به ازای ھر دارد که يا دری نيست مطابق مسئله قبل بايد در R چگال باشد. به اين ترتيب به m λ مانند G يک عض N متعلق به اعداد ی جد. m λ < m λ < λ α R يک عدد گنگ A يک زيرگره جمعی Z باشد آنگاه دنبالهھای } { m } { ای در A جد lm سال ) اگر دارند که ( m + λ ) α R در G { m + λ اثبات: مانند حل مساله قبل{ A : m, چگال است. بنابراين به ازای ھر α R دنبالهای از A,,3,..., اعضای G جد دارد که به يعنی مثل αھمگراست m از جد دارند که lm. ( m + λ ) α

20 lm A { } سال ) اگر A N يک دنباله اکيدا صعدی در مجد باشد که آنگاه در(, [ مجمعه A S :, چگالی است. > میتانيم m را N, اثبات: فرض کنيد [, ( را به قسمی انتخاب میکنيم که > به ازای ھر { m}, m m. پس m < طری در نظر بگيريم که m < m m m m m m m m lm بنا به نابرابری صعدی است نيز به سمت ميل خاھد کرد. پس. lm m چن دنباله{ { m m با تجه به فرض مساله حد صفر میشد به اين ترتيب. lm بنابراين m m اگر > آنگاه(, ( y بنا به اثبات مسئله دنباله ای در نتيجه دنباله m در S به ھمگرا میباشد. يعنی S در (, [ چگال است. * تجه شد که عکس مساله باال درست نيست. S مجد است که به y ھمگرا شد در m : m, N lm آنگاه [,) سال ) ھرگاه } { در چگال است. يک دنباله صعدی بيکران در باشد که [,) اثبات: مانند اثبات مساله قبل عمل میکنيم. در(, [ p : p,q P q مجمعه اعداد ال باشد آنگاه ثابت کنيد چگال است. سال ( 3 اگر P. P < P +, N شمارشی از مجمعه اعداد ال باشد که به ازای ھر P Pm : m, N ھم ارز است. مطابق مساله مجمعه lg P P با { P,P,...,P,...} اثبات: اگر فرض کنيم آنگاه بنا به قضيه اعداد ال که نشان میدھد در,) [ چگال است. سال 4) نشان دھيد که مجمعهھای زير در(, [ چگال ھستند.

21 ب( S (الف) N A : m, Sm S + که در آن به ازای B m { lg : <,m N} ( اثبات: به سادگی از مساله 3 مساله حل میشد. در[, [ { }) { α سال 5 ) } يعنی جزء کسری عدد عددی گنگ است) چگال است يعنی بين ھر د α { }. < α < جد دارد که N, <,, عدد[, [ اثبات: دايرهای به محيط در نظر میگيريم يک نقطه آنرا مبداء اختيار میکنيم آنرا تقسيم بندی میکنيم سپس نقاط...,A, A که فاصله آنھا از مبدا α,... α, ھستند در نظر بگيريد. α گيا میشد (چرا ) ھيچ د نقطه ای به ھم منطبق نمیشند زيرا در اين صرت پس برای ھر بازه I ھر قدر کچک د نقطه A p + q, Ap جد دارد که فاصله آنھا از ھم از طل بازه I کمتر است. زيرا اگر فاصله ھر د نقطه از طر بازه I بيشتر باشد تنھا تعداد متناھی نقطه ری دايره میتان پيدا کرد. لی از آنجا که فاصله نقاط..., Ap+ 4q, Ap+ 3q ھمچنين A p + 3q A p + q کمتر است به ھمين ترتيب I از ھم از طل بازه A p + q A p + q اين مطلب از آنجا نتيجه میشد که ( p + q) α pα ( p + q) α ( p + q) α ( p + 3q) α ( p + q) α... { } پس A p + q دست کم يک نقطه درن بازه I دارد زيرا در غير اين صرت فاصله د نقطه متالی اين دنباله از طل بازه I بيشتر میشد اين تناقض است از اينجا حکم ثابت میشد. فصل 5 مسائل بخش فضاھای متريک فضاھای متريک فصل 5 بخش 5: تعريف فضای متريک سال ( ھرگاه تابع : X R مفرض باشد در اين صرت نگاشت d d + : X X R {} (, y) ( y), y X را در نظر میگيريم شرط يا شرايطی را بيابيد که d يک متريک برمجمعه X باشد. d d(, y) ( d (,y) حال شرط y) حل: اضح است که در شرط نامسای مثلث برای فضاھای متريک صادق است ھمچنين را بررسی میکنيم. (,y) d( y,) d

22 ( d(, y) y) ( y) y ( ( y) y) ( ( y) y) لذا شرط اينکه d يک متريک بر X باشد آن است که تابعی يک به يک باشد. سال ( ثابت کنيد ھرگاه ),d ( X برخردار نمد. يک فضای متريک دلخاه باشد. آنگاه مجمعه X را میتان از يک متريک کراندار d : X X R + اثبات: نگاشت {} را با ضابطه زير در نظر میگيريم. d (, y) d d(, y) (, y) +, y X + d ( z y ) d ( z y ) (, ) ( y ) (, ) d y ) d (, y ) d (, y ) y + d, y d, y d y, ) d(, y ) d( y, ), y X + d, y + d y, (, ) + (, ) (, ) d, z d z, y d, z d z, y 3) d(, z ) + d( z, y ) d, z + d z, y + d, z + d z, y + d z, y + d, y d, z, + d, z +, + + d z d z y d y d y +, d (, y ), y X, y,z X لذا نامسای مثلثی( y (,y) d (,z) d ( z, d + متريک بر مجمعه X است. ھمچنين چن به ازای ھر برقرار است. از آنجا نگاشت d يک d (, y) d(, y) < + d(, y) d (, y), y X, d, y + d(, y) < y () t,() t سال 3) فرض کنيم X مجمعه کليه تابع حقيقی پيسته ری فاصله,] [ تعريف میکنيم ثابت کنيد p يک متر است. باشد فاصله بين را با تسای زير p (,y) m ( t) y( t) t [,] p (, y) پس اثبات: اضح است که چن t) ( t) y( شرط اضح است. ھمچنين رابط تقارنی ( p (,y) y)

23 رابطه نامسای مثلث را ثابت میکنيم: () t y() t () t z( t) + z( t) y( t) ( t) z( t) + z( t) y( t) m () t z() t + m z() t y() t z [,] t [,] p(,z) + p( z, y) سال 4) فرض کنيد X فضای تمام دنبالهھای با مقدارھای مختلط باشد. تابع d را با d y, y + y تعريف میکنيم ثابت کنيد d يک متريک بر ری فضايی باال است. + y y باشد پس بايد ثابت کنيم ھمگرا R بايد در d(, y) + حل: چن d : EE R پس است به يک عددی در R چن y < + y + y y < y < + y ( d (,y) y) چن ھمگراست پس سری باال ھمگراست. خاصيت اصل تقارن رابطه خاصيت اصل نامسای مثلثی را برای d ثابت میکنيم طبق اثبات مساله میدانيم: اضح اند. y z z y + + y + z + z y y z z y + 3,,,... + y z + z y + () میگيريم. پس میبينيم که نامسای مثلث به راحتی ثابت میشد. حال از طرفين () - فرض کنيد X فضای تمام دنبالهھای با مقدارھای مختلط باشد. تابع d را با

24 d y, y A + y - A ھمگراست ثابت کنيد d يک متر است. تعريف میکنيم که اثبات: رش حل مثل حل مساله (4) میباشد. به ازای <P ھمگرا P سال 6) فرض کنيد X فضای ھمه دنبالهھای با مقدارھای حقيقی يا مختلط باشد. به طری که z z ) يک متر است d (, y) y P / p باشد داشته باشيم ابتدا نامسای مينکفسکی را يادآری میکنيم دنبالهای دلخاه در X است). p p p p + + ( ) p p ابتدا بايد نشان دھيم که به ازای ھر زج,y از نقاط مجمعه d, y, X يک عدد حقيقی متناھی است. (, y X ; + پس d(, y ) R d : X X R + (زيرا بنابر نامسای مينکفسکی () y p p ( + y ) p p p + p y p p p (, y) y p p y, p چن طبق متناھی است. ھمگرا ھستند. بنابراين ھمگراست پس يک عدد حقيقی ( d (,y) حال خاص تقارنی رابطه y) کنيم اثباتشان اضح است. کافی است خاصيت نامسای مثلث را ثابت ( y,z) d(, y) d(,z) d + z به جای y در رابطه () به جای y می گذاريم.

25 p p p p p p ( y) ( z) y + z p p p p p p y z y + z ( y,z) p(,y) p(,z) p + بنابراين : سال 7) اگر عدد صحيح مثبت باشد X X X... X ثابت کنيد ( X, d ) (y )d, که در زير تعريف شده است يک متراست.,...,, فضاھای متريک دلخاھی باشند d (, y) d (, y ) ( d (,y) y) اثبات: ثابت می کنيم d شرط يک متراست. تنھا نامسای مثلثی را ثابت می کنيم د اصل تقارن اضح اند. d (, y) ;,...,, اعداد حقيقی مثبت باشند آنگاه ابتدا نامسای کشی شارتز را يادآری می کنيم اگر, z ( z,z,...z ), y ( y, y,...y ), (,,... ),, y,z X d (,y ) d (,z ) + d ( z, y ),,..., فرض کنيم () پس از مربع کردن ھمه نامسای ھای () جمع کردن طرف ھای متناظر داريم ( d (, y )) ( d (, z )) + ( d ( z, y )) + d (, z ) d ( z, y ) d d ازطرفی مطابق نامسای کشی شارتز داريم (,z ).d ( z, y ) ( d (,z )) d ( z, y ) (,z).d ( z, y) ( 3) از ( ) (3) نتيجه خاھد شد.

26 فضاھای متريک دلخاھی باشند,,... d ( d(, y) ) ( d(,z) ) + ( d( z, y) ) + d(,z) d( z, y) ( d(,z) + d( z, y) ) d(, y) d(,z) + d( z, y) اگر عددی صحيح مثبت باشد ) d ) X, به صرت زير تعريف شد ثابت کنيد يک متراست. d سال 8 ( d X X X X3... X (, y) m{ d (, y ) :,,3,...} اثبات : تنھا اصل نامسای مثلث را ثابت می کنيم بقيه اصل اضح اند. d ( z, y ) d( z, y), d (,z ) d(,z), d اضح است که طبق تعريف داريم,,..., با گرفتن ماکسيمم از d (, y ) d (,z ) + d ( z, y ) d(,z) d( z, y) + (4) طرفين نامسای (4) داريم. (, y) d(,z) d( z,y) d + حکم ثابت می شد.,,,..., فضاھای متريک دلخاھی باشند (, ) سال 9) اگر عددی صحيح مثبت باشد d d X X X X X به صرت, 3... (, y ) d d(, y) m,,..., باال تعريف شد ثابت کنيد d يک متر است. z ( z,...,z ), y ( y,..., y ), (,..., ),, اگر y,z X اثبات: آنگاه X است,...,, حال طرفين مسای فق زيرا d يک متريک برای (, y ) d (,z ) d ( z, y ) d + را بر تقسيم می کنيم d (,y ) d (,z ) d ( z, y ) d + (,z) + d( y,z) () d (, y ) (,z) d( y,z) پس + d يک کران باالی تمام ھاست. پس با گرفتن m از طرفين رابطه () خاھيم داست (, ) (, ) + (, ) d y d z d y z

27 ,,...,, X, d سال ) اگر عددی صحيح مثبت باشد تابع را ری به صرت فضاھای متريک دلخاھی باشند d که (, y) d (, y ) d X X d X X X... X ( y,..., y ), (,..., ) y تعريف می کنيم ثابت کنيد يک متراست. d (, y ) d فرض (طبق d (, y ) d اثبات: اضح است که y) (, زيرا متراند) پس مثبت است. ( y, ) d (, y ) d اثبات تقارنی : چن d ھا متراند پس پس d (, y) d (, y ) d ( y, ) d( y, ) d (,y) d(,z) d( z,y) اثبات اصل نامسای مثلث: کافی است ثابت کنيم + d چن ھا متراند پس اصل نامسای مثلث در آنھا برقرار است پس (, y ) d (,z ) d ( z, y ) d + () با جمع کردن رابطه () خاھيم داست: d (, y ) d (,z ) + d ( z, y ) d (, y) d(,z) + d( z, y) فضاھای,,..., X X ( X, d ) عددی حقيقی p عددی صحيح مثبت سال ) فرض کنيد p متريک دلخاھی باشند X X X... X در اين صرت ثابت كنيد تابع d p ری به صرت d يك متر مي باشد p (, y) ( d (, y )) p p اثبات: فقط نامسای مثلثی را برای متر d p ثابت می کنيم بقيه اصل ديگر اضح اند. d X ( z,...,z ), y ( y,...,y ), (,..., ) z فرض کنيم سه عض باشند چن ھر يک از ھا يک متريک برای X ی متناظر است پس (, y ) d (,z ) d ( z, y ) d + ()

28 طبق نامسای مينکفسکی داريم p p + p p ( d (,z ) d ( z, y )) ( d (,z )) + ( d ( z, y )) p p () حال با در نظر گرفتن () () تعريف d p خاھيم داشت: d p p p (, y) ( d (, y )) ( d (,z ) + d ( z, y )) p p d (,z) d ( z, y) p + p طبق () d (, y) d (, y) d ( y,z) p p + پس p حکم ثابت می شد. R R d p X نتيجه : اگر X... X آنگاه تابع ری تعريف می کنيم d که مطابق ادعای مساله يک متريک ری R است. p (, y) y p p α, α اعداد حقيقی مثبت باشد برای ھر د,..., α برای,,,..., d y (, y) α d (, ) ( X,d ), X ( y, y,...,y ), (,,..., ) سال ) اگر عض X مانند y تعريف کنيم ثابت کنيد d يک متراست. d α d X حل : برای ھر تابع α d يک تابع متريک برای است. قرار می دھيم d(, y) d(, y ) برای ھر,,3,..., مطابق مساله خاھيم داشت X ( y,..., y ), (,..., ) y که در آن y يک متريک برای است حکم ثابت است. S( X ) g }برای : X C X سال 3 اگر φ تعريف می کنيم آنگاه تعريف می کنيم{ کرانداراست R يا در (, ) sup d g g X

29 d : S يک متراست نشان دھيد ( X ) S( X ) R X حل: چن ) g( برای ( d (,g) شرط ربر را بررسی می کنيم (g sup X g (,g) d اگر g باشد حکم اضح است اگر آنگاه g پس حال نامسای مثلثی را بررسی می کنيم d { : X } sup{ h + h g, X } sup{ h : X } + sup{ h g : X } (,g) sup g d (,h) + d( h,g) حکم ثابت می شد. y ( y ), سال 4) فرض کنيد X مجمعه ھمه دنباله ھای حقيقی باشد. ھمچنين تعريف می کنيم (, ) m {, } (,,...,,... ) p y y (,,...,,...) y y y y ثابت کنيد,P) ( X يک فضای متريک است.. p اثبات: ابتدا نشان می دھيم به ازای ھر (, (y R,,y X m می دانيم { y,} m{ y,} π p (,y) p پس (, y) R حال نشان می دھيم y, m { y,},,,... p (,y) m { y,} پس پس

30 y y (, y) شرط : فرض کنيد p ھمچنين اگر باشد در اين صرت به ضح آنگاه پس برابر صفر است پس در نتيجه درنتيجه { پس y } m, y y y y p (,y) شرط 3: نامسای مثلثی را بررسی می کنيم z می دانيم y + y z,,...,,... m پس { z,} m{ y,} + m{ y z,} () با ضرب به طرفين نامسای () گرفتن خاھيم داشت (,z) p(,y) p( y,z) p + d : X X R, X فرض کنيد R که سال 5) d (, y) y y + + y y y y ( y, ) y (, ) که نشان دھيد که d يک متر بر R است. t که اثبات : به سادگی با استفاده از يژگی نامسای مثلث می تانيد مساله را حل کنيد. سال 6) E مجمعه ھمه تابع ديفرانسيل پذير است که مشتق آنھا بر بازه بسته کراندار پيسته است ثابت کنيد p (, y) y + sup{ ' ( t) y' ( t) : t [,] } اثبات: برای اثبات از مساله ھای قبل کمک بگيريد., y,z از p سال 7) M مجمعه ای دلخاه است p تابعی است با مقدار حقيقی نامنفی به طری که به ازای ھمه اعداد (, y) m{ p(,z), p( y,z) }, y اگر تنھا اگر p نشان دھيد که يک p(, y ) M متر است. حل: اثبات ساده است کافی است از تعريف متر استفاده کنيد. z < سال ( 8 M مجمعه ھمه تابع تحليلی از متغير مختلط z است که ری قرص احد منظم است به طری که π π sup ثابت کنيد که < θ ( e ) dθ <

31 π θ θ (,g) sup ( e ) g( e ) p π < π dθ متر ری M است. حل: اثبات اين مساله ترکيب چند مساله قبل می باشد که با استفاده از مساله ھای قبل می تانيد به اين مساله پاسخ دھيد. ( c, R)F در { } سال 9) فرض کنيم E (که عمما به مجمعه تمام دنباله ھا مانند باشد به طری که برای يک N Ν α F د عض E }, }{ y { باشند اگر N بستگی دارد) داشته باشيم { } تعريف می کنيم { } + { y } { + y }, α { } { α } R + { } E ثابت کنيد يک نرم ری به است. { } sup d ( m,m) d d : Z Z R ( p > ) سال ) فرض کنيم p يک عدد ثابت ال باشد که در آن با تعريف, ) m p اعداد صحيح بر به صرت بخش پذير نيست) نشان دھيد که يک p ( m.) d Z است. متر بر : [,] R A سال ) با اختيار مجمعه شامل تمام تابع پيسته اين بار فرض می کنيم نشان دھيد که d يک متر است. d (,g) g d d (,g) g d اثبات: چن ) g( اگر در نتيجه آنگاه g (عکس اين حالت اضح است) پس حال ثابت می کنيم (,g) d g ( (می دانيم اگر در نتيجه d آنگاه حال چن پس g g g g d d g g اضح است که چن پس نتيجه در ( g, ) d(,g) d با گرفتن انتگرال از تا نامسای بنابر نامسای مثلثی h g + g h g,h) (,h) d(,g) d( ھم حل خاھد شد. d +

32 ت ) ب( پ( ت( ب( پ(. مجمعه کليه نقاط چسبيده E P E تعريف: نقطه چسبيده نقطه P X را با نماد E نشان داده آنرا (بستار E) میناميم را نقطه چسبيده E میناميم. ھرگاه يا E' P E E E' P E N ( P) E φ سال ثابت کنيد E E E اثبات: E E' E E E' E E E سال ) ھرگاه 'S مجمعه مشتق (مجمعه نقاط حدی) S بست S( يا بستارS ) در R باشد ثابت کنيد: S' (الف) ھرگاه S T انگاه T' ( S T )' S' T' ( ( اگر S T آنگاه S T S T S T ( ھرگاه S,T د زيرمجمعه R باشد ثابت کنيد تجه کنيد تمامی قسمت ھای اين تمرين در ھر فضای متری برای ھر زير مجمعه اش برقرار خاھد بد. S T چن. B ( S ) φ اثبات: الف)فرض می کنيم 'S. y ای بنابراين به ازای ھر > ای به ازای T' پس B ( T { } ) φ ھر > S' ( حال UT' ) ( S UT S' پس )' ( S UT 'T ھمچنين '( ( S UT S T, پس طبق الف '( ( S UT )' S' UT' ( SUT) ' > B I ( SUT) { } φ > B I ( S { } ) U( T {} ) φ B I S { } U B I( T ) S UT { } ( ' U ') ( ثابت می کنيم > φ > S' T' > S يا T ( از الف) استفاده می کنيم S T S T S US T UT S T S IT S,T S IT S,S IT T S IT S IT ( S IT سال: يک مثال ارائه دھيد که S IT زير مجمعه محض باشد.

33 ب( (جاب) اگر T,S جدا از ھم باشند آنگاه S IT φ پس φ φ S IT به عنان مثال اگر S,T برابر اعداد گيا اصم. S T باشند آنگاه S IT φ لی R نکات: در حالت کلی بست اجتماع ھر خاناده متناھی از زير مجمعه ھای M برابر اجتماع بست ھای آنھاست. برای يک خاناده ب A يک خاناده نامتناھی از زير نامتناھی اين حالت که بست اجتماع برابر اجتماع بست ھای آنھاست الزما رقرار نيست. اگر α. UAα α S UA α S مجمعه ھای M با مجمعه انديس گذار S باشد تمام آنچه درحالت کلی میتانيم ادعا کنيم اين است که α در حالت کلی بست اشتراک ھر خاناده متناھی يا نامتناھی از يک فضای متری محتی آنھاست. سال 3) ثابت کنيد (يا زير مجمعه) در اشتراک بست ھای ( S U T )' S' UT' S U T S UT جاب: طبق (ب) سال داريم: ( S UT) U( SUT) ' ( S' UT' ) U( SUT) ( S' US) U( T' UT) SUT S UT تعريف: نقطه P E را نقطه منزی يا تنھای E ناميده میشد. اگر نقطه حدی E نباشد مثال: ), 3 [ E نقطه منزی ندارد. (, ] U{ } مثال: 3 4 E نقطه منزی E تنھا 4 میباشد. تعريف: زير مجمعه E از X را بسته میناميم. ھرگاه تمام نقاط حدی اش را در برداشته باشد. تمرين : ثابت کنيد اگر E بسته باشد E برابر E است بالعکس. ( A B AU اثبات: B) B E بسته است. E ' E E E U E' E مثال: کدام مجمعه بسته است ( 3] [ 3] E, E', E' (الف) E بسته نيست E E [,3] E' E E' E بسته است. E ( E {(, y) R + y } E' E E' E بسته است. E

34 E {(, y) R + y < } E' (, y) { + y } E' E بسته نيست. E تعريف: نقطه P E را يک نقطه درنی E میناميم. ھرگاه يک ھمسايگی از مجمعه کليه نقاط درنی E را با نماد E P مجد باشد که کامال در نشان میدھيم آنرا درن E میناميم. پس به اصطالح رياضی داريم: E قرار گيرد. ( p) E E E P E N E مثال:,3] ( نقطه 3 نقطه درنی نيست. تعريف مجمعه باز: مجمعه E را باز ناميم ھر گاه ھر نقطه آن درنی باشد يعنی E باز E باز ثابت کنيد يک بازه باز در R مجمعه ای باز يک بازه بسته مجمعه ای بسته است. E E E E سال 5) [, ],(, ][,, ( m{, } اثبات : بنابر تعريف(,,),(, +),(,( +), ( بازه ھای باز قرار دھيد بازه ھای بديھی است < < بسته ھستند. ھرگاه,) ( آنگاه که >, (, + ) (,). < y < يعنی ( ) < y < + < + ( ) (,) مجمعه ای باز است زيرا ھر نقطه (,) زيرا اگر < y < + آنگاه است لذا شامل يک ھمسايگی است > (, اگر(+ (,) بنابراين,) (, + ) ( که آن ھمسايگی زير مجمعه,) (. اگر قرار دھيد اگر قرار دھيد (, + ) ( ),+ دلخاه را اختيار کنيد اضح است که در ھر يک از حالتھای فق بازه ھر بازه باز مجمعه ای باز است. برای قسمت دم ابتدا به مضعی می پردازيم که بعدا آنرا ثابت خاھيم کرد. A باز است اگر فقط اگر زير مجمعه ای از آن بازه باز است. لذا بسته باشد. ھمچنين c A [,] لذا [,] c مجمعه ای باز است پس باز است اين است که طبق قضيه ای به ازای ھر گردايه بسته است تجه شد علت اينکه از مجمعهھای باز U α G α باز است. { } G c داريم(+, [,] (,) U ( (, ) U (, +) نشات گرفته شده است. سال 6) ثابت کنيد ھر مجمعه باز ناتھی مانند S در R ھم شامل اعداد گيا ھم شامل اعداد گنگ است. اثبات : فرض کنيم. S چن S مجمعهای باز است به ازای > ای داريم (, + ) S اينکه بين ھر د عدد حقيقی يک عدد گنگ است نتيجه حاصل میشد. طبق چگال بدنQ در R

35 يک مساله مھم: ثابت کنيد در R تنھا مجمعه ھای ھم باز ھم بسته مجمعه تھی خد R ھستند. آيا گزاره ھای مشابه اين برای R نيز صادق است. اثبات: به علم متعلم. سال 7) ثابت کنيد ھر مجمعه بسته در R اشتراک دستهای شمارش پذير از مجمعهھای باز است. c اثبات: فرض میکنيم A زير مجمعه ای بسته از R باشد. در اين صرت A c c ( طبق, + ھر > A ای ھست به طری که A ) مجمعه ای باز است. بنابراين به ازای < < + 3 خاصيت چگال بدن اعداد گيا در اعداد حقيقی داريم: اعداد گيای مانند ' < ادعا میکنيم: < 3 ' مجدند به طری که [ ', ' ] + [ ', + ' ] ( ', + ' ) ( ( A c U c A [ ', + ' ] (3 A I c A [ ', + ' ] c (4 A گيا ھستند می تان نتيجه گرفت ', R [ ', + ' ] c بنابراين با تجه به اينکه ھر صرت اشتراک دسته ای شمارش پذير از مجمعه ھای باز ای در باز است. به R است. اثبات ادعاھا: < 3 ' 3 < بنابراين از طرفی < + 3. ھمچنين < + ( چن < پس ' ' < بنابراين لذا < 3 ( ', + ' ) [ ', ' ] + در ضمن < ' پس ' <, <. + ' < + + ' < + + <

36 A c U c A [ ', + ' ] [ ', ' ] + پس [ ', + ' ] (, + ) A لذا با تجه U پس A c c [ ', + ' ] A c (, + ) A c. با تجه به () به ازای ھر به () اينکه نتيجه می گيريم * A c U c A [ ', + ' ] 4. با تجه به اينکه اگر از طرفين رابطه * متمم بگيريم نتيجه حاصل می شد. U A F A UA A F سال 8) ثابت کنيد > بنابراين A F A U A F A اثبات : ھر گاه به ازای ای در داريم ای ھست به طری که UA A F. پس, N U A A F N A سال 9) دسته F را طری بسازيد که متناھی بده به ازای آن در (آ) تسای برقرار نباش. A UA φ R ( A,UA ) A R Q,A باز ھم تسای برقرار نيست. زيرا جاب: ھرگاه Q. ( AU B) φ در M A,A B بسته است آنگاه نشان دھيد سال (3 ھرگاه φ A c ( A ) c اثبات: براي اثبات از لم استفاده مي كنيم. > N A > ای اثبات لم: A اگر فقط اگر به ازای اگر فقط اگر اگر فقط اگر به ازای ای c ( A ) c c A اگر فقط اگر N c I A φ حال از لم باال برای اثبات مساله استفاده می کنيم حال برای ادامه اثبات يک لم را ھم بايد ثابت کنيم. c c c ( AU B) ( A U B) ( A I B ) c c S IT S IT S,T لم : اگر S باز باشد زير مجمعه ھای R باشند ثابت کنيد S IT حال فر می کنيم S باز باشد کافی است گزاره (A S IT نشان میدھيم را ثابت کنيم) ) تجه شد که اگر بخاھيم ثابت کنيم A B B

37 B. B قرار میدھيم{ {, ای در ضمن. S IT پس > ای ھست به طری که آنگاه B زيرا اگر B B S IT بنابراين φ انگاه چن < پس m اگر B. B به ازای >.φ B I S B پس( ( I S B پس( ( اگر S I ( S I T ) چن S پس S B B. S IT T پس در ھر حالت B I T φ لذا پس بنابراين c حال میريم به سراغ مساله چن A باز. A B c c c c c ( A I B ) ( A I B ) c A B c c c c است A I B A I B c c c c c لذا ) B ( A IB ) A U( پس c c c ( A U B) A U ( B ) A U A ( A U B) A U ( B ) c ( AU B) ) A لذا داريم ( AU B) A پس B. A ( A بنابراين ) ( AU (زيرا اگر A يک مجمعه باشد آنگاه B) A زيرا اگر آنگاه يعنی حال عبارت داخل N ( A U B) φ. ( A ) A A > ( A ) A >,N چن φ پرانتز خط باال را ثابت میکنيم: { A } می دانيم اينک ثابت می کنيم بنابراين بديھی است که بنابراين به ازای نشان میدھيم A اثبات: فرض کنيم : A ( A ) ( A لذا ) N A ' > ' d (, y) y N ھرگاه ) ( قرار میدھيم بديھی است که N يعنی A y A پس N ' ( y) N A c ( A ) سال (3 ثابت کنيد ( A) c N c A c ( A ) جاب. اگر فقط اگر به ازای > ای. اگر فقط اگر اگر فقط اگر به ازای ( A) c A, A اگر فقط اگر φ N I > A M که در آن ھر I A I A سال 3 )ثابت کنيد I A F A I A F A ب: اگر F دستهای نامتناھی اززيرمجمعهھای M باشد

38 ح: مثال بزنيد که به ازای آن در (ب) تسای برقرار نباشد. >,,,3,..., آ. ھرگاه I A آنگاه به ازای ھر ای ھست به طری که N A ( ).,,..., لذا N قرار میدھيم{. m{,,..., بديھی است که > A به ازای ھر. I A N پس I A N I A بنابراين < ای ھست به طری که I A به عکس فرض میکنيم پس به ازای ھر I A (,,...,). لذا A N A,,...,. N بنابراين به ازای ھر I A A F >.بنابراين I A F A ب:فرض می کنيم ای ھست بطری که I A F A A پس پس A F N A A F به ازای ھر A, A. I A A, + ج: قرار دھيد به ازای...,, بديھی است که ھمچنين بديھی است که[, [. I A, I A بنابراين. N, y سال 33 )ثابت کنيد ھر گی بعدی در R کژ است. N R y, اثبات: به ازای ھر که از آنجا که ھر عدد حقيقی < θ> بايد نشان دھيم که پس کافی است { (, ) < } N R d ( θ ) Z θ + y N نشان دھيم ( z,) * d <

39 < d ( z,) z θ + ( θ ) y θ + ( θ ) θ θ ( ) + ( θ )( y ) + ( θ ) y θ + ( θ ) y + θ θ سال 34 )ثابت کنيد حجره بعدی محدب است. (,,..., ), y ( y, y,..., y ) λ < Z λ + ( λ) y ( λ + ( λ) y,..., λ + ( λ) y ) تعاريف در فضای متری X برای زير مجمعه. E X تعريف نقطه حدی: نقطه P X را نقطه حدی pt) ( lmt مجمعه E نامند. ھر گاه ھر ھمسايگی P شامل يک نقطه مانند q که q E q P باشد. که مجمعه نقاط حدی را با 'E نمايش میدھند. به اصطالح رياضی داريم: * E P E' > N P I E φ {(, y) + y < } E' اضح است که X با متريک اقليدس 'E را پيدا کنيد. E' مثال: در R {(, y) + y } [,] E ' < که E (,) مثال: در R با متريک اقليدس نکته: ھر عدد حقيقی نقطه انباشتگی مجمعه عددھای گياست (تجه نام ديگر نقطه حدی: نقطه انباشتگی است). (,,... ) سال 35 )ثابت كنيدصفر يک نقطه حدی مجمعه عددھايی به شکل است. > ε جد دارد N بنابراين ھر ھمسايگی Nε با تجه به خاصيت ارشميدسی اعداد حقيقی برای ھر ε > ε اثبات برای ھر ε, < بطری که لذا < ε پس ε < < < ε يعنی S N N صفر شامل نقطه ای از دھيم. است. لذا صفر يک نقطه حدی S است. حال ثابت میکنيم عدد صفر تنھا نقطه حدی مجمعه S است. چھار حالت ری میدھد که ھر يک را مرد بررسی قرار می- (, ) حالت ال: اگر عددی منفی باشد يعنی ( < ( بنابراين پس پس نقطه حدی S نيست. يک ھمسايگی بده که شامل نقطه ای از S نيست. (, ) I S φ

40 حالت دم: اگر < پس (, ( يک ھمسايگی بده که شامل ھيچ نقطهای از S نيست. يعنی (, I S φ ( نقطه حدی S نخاھد بد. لذا, حالت سم: اگر يعنی ھمسايگی از بده که شامل ھيچ نقطه ای از S بجز خد نيست. لذا نقطه حدی S نيست., {} I S φ S آنگاه > حالت چھارم: < < پس عدد حقيقی يکتايی مانند جد دارد به طری که < + < < < < + + s پس ھمسايگی, از + فقط شامل نقطه چن طبق قضيه ای که بعدا خاھيم خاند نتيجه می گيريم که از نقطه حدی می باشد يعنی تعداد متناھی نقطه از نيست. تنھا صفر نقطه حدی را داراست S است. S اثبات تمام است. سال 36 ) ھمه نقطه ھای حدی مجمعه ھای زير در 'R آ) ھمه اعداد صحيح را مشخص نمائيد. ب) بازه,] ] ج) ھمه اعدادگيا {,,,...} (,,,...) m A + 5 m m + 5 A m ( ) + m,,,... ( m,,,... ) ( ) + m د) ھمه عددھای به شکل ه) ھمه عددھای به شکل A + m m,,,... + m ( m,,,... ) ) ھمه عددھای به شکل z ' φ A + ( ) ( ) m,,,... I ( { }) φ N z δ,,... + ز) ھمه عددھای به شکل جاب: الف) از آنجا که به ازای ھر δ > R جد دارد که پس

41 ε >,. ' ب) نشان می دھيم,] (,] [ بدين منظر نشان می دھيم به ازای ھر[, [ ) <, ε < از طريق برھان < < < + ε, N * ε I [,] φ ( ], R, ε >,, اگر خلف می تانيد اين را ثابت کنيد) لذا جد دارد که N (,] * ε I R ε > * N ε I, اگر باز ھم جد دارد که لذا ( ] φ ε قرار می دھيم < ھمچنين اگر ε اگر < قرار می دھيم در اين صرت I (,] φ N * ε. بنابراين ابتدا نشان می دھيم A' U U 5 د) ادعا می کنيم {} ھستند. سپس نشان می دھيم ھر حقيقی که به يکی از شکل ھای 'A به ازای ھر ی طبيعی (,,... ),, 5 >, اعضای A' 5 نباشدعض 'A نيست. ھرگاه باشد دلخاه باشد طبق خاصيت ارشميدسی اعداد حقيقی,m ای طبيعی يافت می شند به * طری که <, < بنابراين < +. لذا N I A φ يعنی A' m m 5 m > ) بنابراين 5 ھرگاه عددی طبيعی دلخاه است) در نتيجه عددی حقيقی باشد ای طبيعی ھست به طری که < 5 m + < + < m 5 < m < + 5 m, + I بنابراين : A به ازای ),,... ( لذا 'A ),,... ( ھرگاه < قرار می دھيم + 5 به ھمين ترتيب می تان ثابت کرد که به ازای ھر 'A, N 5 U U به ازای 5. 7 {} > + 5 اکنن فرض می کنيم ھرگاه قرار ميدھيم ھر گاه قرار می دھيم.

42 < < + 5. ھر گاه دقيقا بين د عض از A است (د عضی که در د طرف y,z اقعند کمترين فاصله را با دارند فرض کنيم آن د عض باشند آنگاه قرار می دھيم }) { ( تجه شد, + I A φ اضح است که در ھر مرد فق m AI { z, y } که ( B C) ( A C) I B <. بنابراين m m >. ھر گاه A' ه) ادعا می کنيم {, { آنگاه به ازای ھر ای طبيعی ھست که زيرا m ( ) + (, + ) I ( A { } ) < m < < m + < + به ھمين ترتيب با انتخاب A',. (, + ) I ( A { } ) φ > {, } حال اگر + می تان ای يافت به طری که >, A' N U ) ادعا می کنيم {} مانند به ازای ھست به طری که دلخاه طبق خاصيت ارشميدس اعداد حقيقی. + m پس < <, m <. لذا A' + I m m, (,) ( A { } بنابراين ) m m + < + < m m > دلخاه به ازای ھر N پس ای طبيعی ھست که پس لذا لذا چن لذا +, (, + ) I ( A { } ) φ + I A آنگاه N < m + < + < < m, اضح است که ھر گاه. A' ) را در حالت ھای مختلف برسی کنيد) A' φ متناھی است پس A A,, ز) اضح است که چن سال 37 ) ثابت کنيد ھر زير مجمعه متناھی يک فضای متری بسته است X A {,,..., } اثبات: فرض کنيم ) d, ( X يک فضای متری بده می کنيم بازاست. يک زير مجمعه متناھی از باشد ثابت c A X A

43 m d (, ) آنگاه > ), d( به ازای.,,..., قرار می دھيم A c ھرگاه N I A φ يعنی N I A φ لذا. N بديھی است که به ازای,...,, يک نقطه درنی است پس يعنی مجمعه ای باز است. لذا C A c A بنابراين به ازای ھر. N C A A مجمعه ای بسته است. M > سال: در فضای متری ) d, ( M گی بسته به شعاع ثابت کنيد( B ( مجمعه ای است بسته. حل نقطه در عبارت است از مجمعه { } d(,). B < d (,) > لذا M B ( ( باز است بدين منظر به ازای ھر M B حل : کافی است نشان دھيم ( (. حال گيريم داريم ' B گيی باز در M باشد d ' (,) (,) d > ' B ' پس ) M B( زيرا اگر چنين نباشد ای جد دارد دارد که ( ',) < ',d( ',) لذا < d در نتيجه B ' I B d (,) d(,' ) + d( ',) d(,) + d(,) < ' + + پس d (,) < که به تناقض می انجامد**. M سال 38) در فضای متری ) d, ( M ثابت کنيد که مجمعه φ تمام فضای ھم باز ھم بسته اند. جاب: چن مجمعه تھی ھيچ عضی ندارد بنابر انتفاء مقدم مجمعه تھی باز است از طرفی به ازای ھر B لذا M مجمعه ای باز است. چن متمم ھر مجمعه باز بسته است پس ε M, ε >, M φ M, مجمعه ھای بسته نيز می باشد** B سال 39) ثابت کنيد که گيھای بعدی باز بازه ھای باز بعدی مجمعه ھايی باز در R می باشند. B { y R y < } R, جاب: گيريم > يک نقطه درنی است به ازای ھر بايد نشان دھيم ھر نقطه ' حال به ازای ھر داريم y < پس y y B z y < ' y داريم z B ' ( y) z y + y z y + y z < y + y

44 B بده B y B ' ( y) B درنتيجه يعنی يک نقطه درنی مجمعه باز در z B لذا R می باشد. ], [ ], [... ], [ تعريف: حاصلضرب دکارتی بازه باز يک بعدی (,,..., ), (,,..., ) بازه باز را يک بازه باز بصرت بعدی می ناميم. با فرض نشان ميدھيم. بعدی باال را ],[ R سال ثابت کنيد بازه باز بعدی مجمعه ای باز در است. R R مساله 4) تابع p را ری با رابطه زير تعريف می کنيم N N N p (, y) ( y ) + ( ) R باشد. y يک نقطه (, ) فرض کنيم جاب: را پيدا کنيد { } (, ): (, ) R, ( y ) + ( y ) < p حل کنيد.. پس ) N ( درن دايره ای است به مرکز مساله 4) مساله باال را در مرد تابع شعاع (, y) m{ y, } y { < } {(, ): (, ) R, <, < } {(, ): (, ) R, < < +, < < + } (, ): (, ) R,m{, } (, + ) (, + ) d (, y) m y, y K مساله 4) مساله باال را در مرد تابع (, + ) (, ): حل: مطابق حل مساله قبل + N R R مساله 43 )تابع d p را ری با رابطه زير تعريف میکنيم: (, ) ( ) + ( ) ( ) d y y y y y 3 y3 y P(, y) m y,,,..., 3

45 ( (,..., )) N P ) ( ) N d ( را پيدا کنيد X X N N بنابر حل مساله 4 4 خاھيم داشت: (, + ) (, + )... (, ) p + ھمچنين بنابرحل مساله 43: (, + ) (, + )... (, ) d + (, y) d(, y) مساله 44 )فرض میکنيم α تعريف میکنيم: يک متر برای X باشد d,d' d" را ری + عددی حقيقی مثبت باشد با ضابطه زير N را پيدا d" d',n N d X,d" { : X,d' (,) < ε} (, y) m{ d(, y),} کنيد. (,) < d(,) d : X, + N d' در نتيجه( ( d + (,) d(,) د حالت میگيريم: اگر آنگاه برای ھر X بنابراين داريم: < d + (,) d(,) X N d' حالت د: اگر < < آنگاه < d (,) < + d(,) ( ) d(,) d(,) < < X d ' N N ε < در نتيجه ھمچنين برای "d داريم: d " X > N { : X,m{, d (, ) } < } d N > علت اين است برای قسمت اين ھم مثل باال د حالت >, اگر آنگاه میگيريم اگر باشد. آنگاه برای ھر < {,d(,) } m < X

46 m d {,d(,) } < d(,) < N گی ھا مجمعهھای باز بسته < مفرض اند. در اين صرت گی باز به مرکز شعاع عبارت اگر به جای < قرار دھيم مجمعه حاصل را گی بسته می - درفضای متريک ) E,d ( نقطه E عدد است از } B(, ) { y E: d( y, ) < (,) { y E,d(, y) ناميم ھمچنين تعريف مي كنيم { S A E ( E,d ) انگاه (,) A تعريف: فضای متريک زير مجمعه مفرض اند. میگييم A مجمعهای باز است ھر گاه A φ A, > : B يا اگر A φ y B(,ε ) مساله 45) ثابت کنيد با فرض گی باز ) ;ε )B ( y) B ای جد دارد به طری که δ > در يک فضای متري به ازای ھر نقطه عدد حقيقی B δ ε فرض کنيم( y δ ε d(, که اکيدا مثبت است زيرا ),ε y B( ثابت میکنيم که d( y,z) < δ. اگر( z B( y,δ B اثبات: آنگاه ( y, δ ) B(,ε ) d (,z) d(, y) + d( y,z) < d(, y) +δ ε حکم ثابت میشد. ( E,d ) بنابراين( z B(,ε مساله 46) فضای متريک ترتيب برای y جد دارند به طری که U IV φ مفرض است اگر y د نقطه متمايز در E باشند ثابت کنيد د ھمسايگی U V به V B y; 3 B U ; 3 ( y (زيرا (, y) اثبات: با تجه به > d مساله ثابت میشد. کافی است قرار دھيم مساله 47) ثابت کنيد A باز است اگر فقط اگر A اجتماعی از گی ھای باز باشد. اثبات: مجمعه تھی يک مجمعه باز است آن برابر اجتماع يک خاناده تھی از گیھای باز برعکس اجتماع يک خاناده تھی از كرهھا تھی است لذا باز است. اگر O يک مجمعه باز غيرتھی باشد ھر نقطه O مرکز گی بازی محتی از O است O اجتماع خاناده ھمه چنين گی - ھای باز میباشد تجه داشته باشيد ھر نقطه O مرکز گی بازی محتی در O است O اجتماع خاناده ھمچنين گیھای باز میباشد (تجه کنيد میدانيم اجتماع دلخاه از مجمعهھای باز باز است چن,) )B خاھد شد.). باز است پس حکم ثابت ( A φ) A E ( E,d ) ( A) Sup d(, y) تعريف: فضای متريک از زير مجمعه مفرضاند. در اين صرت قطر A عبارت است δ { :, y A}

47 تعريف: فرض کنيم A B د زير مجمعه ناتھی فضای متريک ) E,d ( اگر A مجمعه يک عنصری باشد فاصله A B عبارت است از باشد نماد(,B )d را بکار میبريم. d ( A,B) { d(, y) : A, y B} سال 48 )اگر A B د زير مجمعه ناتھی در فضای متريک ) E,d ( باشند ثابت کنيد δ ( A U B) δ ( A) + δ ( B) + d( A,B) y B حل: د نقطه A B را به دلخاه انتخاب میکنيم. به ازای ھر A ھر داريم: (, ) (, ) + (, ) + (, ) δ + δ + (, ) d y d d d y A B d δ از اين ر (پس از SUP گيری) میبينيم که,) ( A U B) δ ( A) + δ ( B) + d( اکنن اگر از د طرف بگيريم نابرابری مطلب بدست خاھد آمد. B X, φ A X سال (49 ھرگاه ),d ( X يک فضای متريک باشد داشته باشيم در صرتی که d ( A,B) آنگاه نشان دھيد A I B φ A I B اثبات: چن A I B φ نشت پس عضی چن جد دارد به گنهای که اکنن میتان d ( A,B) d(,) { A, B} اما چن,) d ( پس آشکارا از تعريف A,B) d( پيدا است که A,B) d(. d سال ( Q,Q 5 )ھرگاه d متريک معملی بر اعداد حقيقی R باشد آنگاه نشان دھيد ) c d از آنجا میتان ( Q,Q c ) c فرض میکنيم( d( Q,Q. اثبات: (برھان خلف) لذا فرض میکنيم d لذا خاھيم داشت: c نشت > ( Q,Q ) q Q, Q c s.t d ( q,) d < ( q,' ) ' q + Q c اما میدانيم داشته باشيم از آنجا میتان نشت اين تناقض آشکار است بنابراين بايستی c. d( Q,Q ) سال 5) ھرگاه مجمعه R را ھمراه با متريک معملی در نظر میگيريم. در صرتی که A مجمعه نقاط اقع بر يک ھذللی B مجمعه نقاط اقع بر مجانبھای اين ھذللی باشند نشان دھيد A,B) d (

48 y اثبات: ھذللی افقی به معادله را در نظر میگيريم ھمانگنه که میدانيم معادالت مجانبھای اين ھذللی y y عبارتنداز + Δ Δ اکنن مطابق Δ میيابيم. لذا y > ) را در نظر میگيريم. M y شکل نقطه را فرض کنيد) فاصله آنرا از مجانب میتان نشت: MH y + y + y + + y + y + y + y Y + + y Δ A H A M _ d y به سمت + اکنن اگر عناصر ميل دھيم آنگاه داريم MH ( A,B) lm + y + A کراندار کلی ناميده می شد. اگر به δ ( A ) < ε A M مانند, A,..., A لذا خاھيم داشت: A,B) d ( تعريف: فرض کنيد (p ( M, يک فضای متريک باشد. زير مجمعه ازای ھر عدد مثبت ε تعدادی متناھی زير مجمعه M مانند به طری که ( M,d ) A U A, ثابت کنيد اگر زير مجمعه A از فضای متريک مانند کراندار کلی باشد آنگاه A کراندار است. A,..., A, A جد دارند به گنه ای که M. برای نقطه ای در A باشد. A اکنن برای ھر د نقطه D p سپس فرض کنيم که j,; ايی, y (,,...,) سال 5) اثبات: اگر A کراندار کلی باشد آنگاه زير مجمعه ھای ناتھی ( A ) < (,,...,) A U A, δ ھر,,..., فرض کنيم (, ) + p(, ) p(, ) 3

49 . آنگاه : j y A, ھست که j A (زيرا A ھا مجمعه A را می پشانند) می تان فرض کرد که p (, y) p(, ) + [ p(, ) p(, )] p(, y) (, y) p j < + j j + p(, ) خاھيم داشت < δ ( A ) < j چن به ھمين ترتيب. از اين ر p (, y) < + D + D + (, y A) بنابراين A کراندار است. ε A A زير مجمعه B زير مجمعه فضای متريک M باشد. را در چگال p (, y) < ε يک y B A تعريف: فرض کنيم A خانيم اگر برای ھر باشد به طری که ( ε > ) B (يعنی B در ε A چگالی است اگرھر نقطه A درفاصله ای کمتر از ε از نقطه ای از قرار داشته باشد. A, ε کراندار کلی است اگر تنھا اگر برای ھر > ( M,d ) شامل مساله 53) زير مجمعه A از فضای متريک يک مجمعه متناھی },...,, { که در A ε چگالی است باشد. U A که در آن {,,..., } A اثبات: عدد مثبت دلخاه εرا در نظر می گيريم. اگر A کراندار کلی باشد آنگاه آنگاه در (,,...,) A A δ ( A ) < ε می تانيم فرض کنيم که. A φ اگر A چگال است. از اين ر اگر ε کراندار کلی باشد آنگاه دارای يک زير مجمعه ε چگال متناھی A است. ε ε B,..., B, 3 3 ε, A {,..., } برعکس اگر کمتر است A در چگال باشد آنگاه مجمعه ھای را می پشانند. از اين حکم مسئله نتيجه می شد. قطرشان از ε δ ( A) sup A A آنگاه φ A R, A X سال (54 اگر ),d ( X (فرض کنيد A در يک فضای متريک باشد R کرانداراست.) + آنگاه ( y) sup A A, y A : R اثبات: A در کراندار باشد حال اگر اگر داده شده باشد آنگاه يک يک در نتيجه y ھست به طری که در نتيجه برای ھر sup A A < ε + + ε y sup A A δ ( A) < ε δ ( A) sup A A A + ε > y, sup A ε < پس بنابراين پس حکم ثابت می شد. ( A,B) d( B, A) d d ( A ), ε sup A A < ε + δ > سال 55) نشان دھيد اثبات: طبق تعريف A,B) )d ھماره عددی است حقيقی غير منفی ( A,B) d(, y) { A, y B} A,B) d( داريم :

50 { d(, y) A, y B} y) d(, پس y B داريم., A برای ھر d y) (, ( y,) d(, y) d d d درنتيجه A,B) (. چن يک متر است پس در نتيجه ( A,B) d(, y) { A, y B} { d( y,) A, y B} d( B, A) d X سال 56 ) اگر A يک زير مجمعه باشد نشان دھيد که d (, A) d( y, A) d(, y) A I B اثبات: ساده است : از نامسای مثلث استفاده کنيد. زير مجمعه ھای غير خالی يک فضای متری ھستند. ثابت کنيد که اگر غير خالی باشد آنگاه A,B سال 57) ( A U B) δ ( A) δ ( B) δ + A,B) d ( بنابر () اثبات: برای اثبات از مساله () () استفاده می کنيم می دانيم A I B φ پس δ ( A U B) δ ( A) + δ ( B) + d( A,B) δ ( A) + δ ( B) δ ( A U B) δ ( A) + δ ( B) A B A,B سال 58) زير مجمعه ھای غير خالی در يک فضای متری ھستند ثابت کنيد که اگر آنگاه δ ( A) δ ( B) اثبات: می دانيم اگر A B آنگاه B. sup A sup { d(, y), y A} d(, y) {, y B} می دانيم چن A B () رابطه( B ( A) δ ( حال با گرفتن sup از طرفين () δحاصل خاھد شد. A A X سال (59 اگر ),d d( X يک فضای متريک باشد ثابت کنيد شرط الزم کافی برای آنکه کراندار δ باشد. اين است که + < (A ( اثبات: به عھده متعلم R V به طری که فضای بعدی اقليدسی تعريف : منظر از نرم ری فضای برداری V تابعی است مانند