ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 212 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 5/11/212 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 14/11/212 Θέµατα : ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ΙΙ). Ασκηση 1. α) Τα Ϲάρι είναι δίκαιο, οπότε κάθε αριθµός έχει την ίδια πιθανότητα να εµφανιστεί : 1 6. Συνεπώς, p 8) = P = 8) = P {1}) = 1 6. p 5) = P = 5) = P {2, 3}) = P {2}) + P {3}) = = 2 6. p z) = P = z) = P {4, 5, 6}) = P {4}) + P {5}) + P {6}) = = 3 6. ϐ) 1 = µ = x xp x) = ) ) + z) 3 6 = 18 3z 6. Λύνοντας ως προς z, έχουµε z = = 8. γ) E[ln )] = x ln x )p x) = ln 8) 1 6 ) + ln 5) 2 6 ) + ln z) 3 6 ) = ln2z3 ) 6 = ln124) 6 = Ασκηση 2. Εστω B ο αριθµός των µπλέ σοκολάτων και Y ο αριθµός των κίτρινων τις οποίες παίρνει ο ϕίλος σας. Τότε το κόστος σε λεπτά είναι = 5B + 25Y. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα πιθανά B, Y ) Ϲεύγη, το πλήθος εµφάνισης κάθε Ϲεύγους B, Y ), τη πιθανότητα του Ϲεύγους P {B, Y )} = B, Y ) / Ω και τη τιµή που έχει η µεταβλητή για το συγκεκριµένο 9 Ϲεύγος. Προφανώς, υπάρχουν συνολικά 3) τρόποι για να επιλέξει 3 σοκολάτες από τις 9, δηλαδή Ω = 9 3) = 84. B, Y ) B, Y ) P {B, Y )}, ) 4 4 3) 84, 1) 3 ) ) 84 25, 2) 3 ) ) 84 5, 3) 3 1 3) , ) 2 ) ) , 1) 2 ) 3 ) ) , 2) 2 ) ) , ) 2 ) ) 84 1 ) 2, 1) 3 1) Άρα, η παίρνει τις τιµές,25,5,75,1,125 µε πιθανότητες : p ) = P { = } = P {, )} = 4 p 25) = P { = 25} = P {, 1)} = 18 p 5) = P { = 5} = P {, 2) 1, )} = P {, 2)} + P {1, )} = = 24 p 75) = P { = 75} = P {, 3) 1, 1)} = P {, 3)} + P {1, 1)} = = 25 p 1) = P { = 1} = P {1, 2) 2, )} = P {1, 2)} + P {2, )} = = 1 p 125) = P { = 125} = P {2, 1)} = 3 E[2 + 1] = 2E[] + 1 = ) + 1 = = V ar2 + 1) = 2 2 V ar) = ) = =

2 Πιθανότητες - 212/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 2 Ασκηση 3. α) Εστω ο αριθµός των χαµένων πακέτων σε ένα καρέ. Αναγνωρίσουµε ότι η τ.µ. ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n = 1 και p =.1, δηλαδή n = 1, p =.1). Παρατηρούµε buffering όταν 5. Συνεπώς, P 5) = 1 P 4) = 1 4 ) 1.1) k.999) 1 k =.3637 k k= ϐ) Καθώς το n είναι µεγάλο και το p µικρό, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Poisson προσέγγιση της ιωνυµικής. Εστω Y µία Poisson τ.µ. µε παραµέτρους λ = np = = 1. Σύµφωνα µε τη Poisson προσέγγιση, η πιθανότητα ότι πέντε ή περισσότερα πακέτα ενός καρέ ϑα χαθούν προσεγγίζεται από : 4 e λ λ k P 5) P Y 5) = 1 P Y 4) = 1 k! k= = 1 e ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! ) =.366. Ασκηση 4. α,i) Προφανώς ο Κώστας λαµβάνει πίσω 1 1 ευρώ µε πιθανότητα 1/5 και ευρώ µε πιθανότητα 49/5. Συνεπώς, 49 5 x =, 1 p x) = 5 x = 1, αλλού α,ii) Η µέση τιµή είναι Η δεύτερη ϱοπή είναι Συνεπώς, η έχει διασπορά και τυπική απόκλιση σ = 14 ευρώ. E[] = = 2. E[ 2 ] = = σ 2 = E[ 2 ] E[]) 2 = ) 2 = 196. Στην ίδια απάντηση µπορούµε να ϕτάσουµε αν παρατηρήσουµε ότι = 1 4 Z, όπου η Z ακολουθεί Bernoulli κατανοµή µε παράµετρο p = 1/5. Συνεπώς, E[] = 1 4 E[Z] = 1 4 p = 1 4 1/5) = 2 και var) = var1 4 Z) = 1 8 varz) = 1 8 p1 p) = 1 8 1/5)49/5) = 196 που δίνει µία τυπική απόκλιση ίση µε σ = var) = 14 ευρώ. ϐ, i) Σε αυτή την περίπτωση ο Κώστας λαµβάνει πίσω Y = 1W ευρώ. Η τ.µ. W εκφράζει το πλήθος των λαχείων που κερδίζουν από 1 ευρώ το καθένα) και ακολουθεί ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n = 1 και p = 1/5, W n = 1, p = 1/5). Συνεπώς, η τ.µ. Y παίρνει τιµές στο σύνολο {, 1, 2,..., 98, 99, 1} µε πιθανότητα ) 1 p Y 1k) = 1 k 5 )k 49 5 )1 k ; k =, 1, 2,..., 1.

3 Πιθανότητες - 212/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 3 ϐ, ii) Εχουµε ότι η µε τη νέα στρατηγική, η µέση τιµή είναι η διασπορά είναι E[Y ] = 1E[W ] = 1np = = 2, vary ) = var1w ) = 1 4 varw ) = 1 4 np1 p) = /5)49/5) = 196 που δίνει τυπική απόκλιση ίση µε σ Y = 14 ευρώ. Και οι δύο στρατηγικές δίνουν το ίδιο µέσο κέρδος αλλά η δεύτερη στρατηγική έχει 1 ϕορές µικρότερη τυπική απόκλιση. Ασκηση 5. [Απόσταση µεταξύ δύο τυχαία επιλεγµένων κορυφών] α) Υπάρχουν 36 πιθανές τιµές των i, j) και D = i j. Αρχικά, p D ) = P {D = } = {1, 1),..., 6, 6)} 36 = 6 36 = 3 18 = 1 6. Για 1 k 5, p D k) = P {D = k} = {1,k+1),...,6 k,6)} {k+1,1),...,6,6 k)} p D k) = για k / {,..., 5}. 36 = 26 k) 36 = 6 k 18 και E[D] = = = E[D 2 ] = = = vard) = E[D 2 ] E[D]) 2 = ϐ) Εστω i = 1 χωρίς ϐλάβη της γενικότητας. Τότε D = αν j = 1, D = 1 αν j {2, 6}, D = 2 αν j {3, 5}, και D = 3 αν j = 4. Εποµένως, p D ) = p D 3) = 1 6, p D1) = p D 2) = 2 6 = 1 3, και p D k) = αν k / {, 1, 2, 3}. E[D] = = 1.5. E[D 2 ] = = vard) = E[D 2 ] E[D]) 2 = = γ) Εστω i = 1 χωρίς ϐλάβη της γενικότητας. Τότε D = αν j = 1, D = 1 αν j {2, 5, 9, 12}, και D = 3 αν j = 7. Για τις άλλες 6 επιλογές του j, D = 2. Συνεπώς, p D ) = p D 3) = 1 12, p D1) = 4 12 = 1 3 και p D2) = 6 12 = Σε αυτή την περίπτωση ϐρίσκουµε ότι E[D] = 12 = και vard) =.5764.

4 Πιθανότητες - 212/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 4 Ασκηση 6. α) >> N = 2; >> p =.2; >> = sumrand2, 1) <.2); ϐ) >> all = zeros1,1); >> for i=1:1 >> alli) = sumrand2,1) <.2); >> est = zeros21,1); >> for value=:2 >> estvalue+1)=sumall == value); %the +1 to avoid index! >> est = est/1; % normalization >> allvalues = :2; % 21 x 1 vector; >> stemallvalues,est); >> hold on; >> for value=:2 >> value+1)=factorialn)/factorialvalue)* factorialn-value)))*pˆvalue)*1-p)ˆn-value); >> stemallvalues,, r ) Στο σχήµα 1 ϕαίνεται η εκτιµόµενη µπλε) και η ϑεωρητική κόκκινο) σ.π. της τυχαίας µεταβλητής. Η είναι διωνυµική τυχαία µεταβλητή µε παραµέτρους n = 2 και p = Σχήµα 1: Η σ.π. της τυχαίας µεταβλητής για το ερώτηµα ϐ) της Άσκησης 6. γ) Για p = 1/2, η σ.π. είναι συµµετρική. Τότε όταν np είναι ακέραιος, η συνάρτηση µεγιστοποιείται στο σηµείο np. Οταν p 1/2, η παράσταση δεν είναι συµµετρική. Τότε όταν np είναι ακέραιος, η συνάρτηση µεγιστοποιείται στο np, ενώ όταν το np δεν είναι ακέραιος τότε οι δύο µέγιστες τιµές της συνάρτησης ϐρίσκονται αριστερά και δεξιά του np. Για τις γραφικές παραστάσεις ϐλέπε το Σχήµα 2.

5 Πιθανότητες - 212/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 5.25 n,p) = 13,.5).25 n, p) = 12,.5) n, p) = 19, 1/3).2 n, p) = 21, 1/3) Σχήµα 2: Άσκηση 6 ερώτηµα γ). δ) >> n=1; p=.1; >> for value=:n >> Binomialvalue+1)=factorialn)/factorialvalue)*factorialn-value))) >> *pˆvalue)*1-p)ˆn-value)); >> allvalues = :n; >> clf; >> stemallvalues,binomial); >> hold on; >> for value=:n >> Poissonvalue+1)=1)ˆvalue)*exp-1)/factorialvalue); >> stemallvalues,poisson, r ); % pretty good match!

6 Πιθανότητες - 212/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Σχήµα 3: Άσκηση 6 ερώτηµα δ). Με µπλε είναι η γραφική παράσταση της διωνυµικής για n = 1, p =.1) και µε κόκκινο η γραφική παράσταση της Poisson µε παράµετρο λ = 1.