P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)."

Ἀθήνη Ζαφειρόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 08/10/2007 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 18/10/2007 Ασκηση 1. (α) A B C (ϐ) (A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C) (A c B c C c ) (γ) (A B C) c = A c B c C c (δ) A B C (ε) (A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C) (στ) A B C c (Ϲ) A (A c B c ) Σχήµα 1: Τα διαγράµµατα Venn για την άσκηση 1. Ασκηση 2. (α) Ενα από τα ϐασικά αξιώµατα της ϑεωρίας πιθανοτήτων είναι το παρακάτω : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

2 Πιθανότητες /Λύσεις Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 2 Αναδιατάσσοντας έχουµε : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Εφόσον το σύνολο A B είναι υποσύνολο του Ω, του καθολικού γεγονότος, έχουµε ότι P (A B) P (Ω) και P (A B) P (A) + P (B) P (Ω). Τέλος γνωρίζοντας ότι P (Ω) = 1 έχουµε : P (A B) P (A) + P (B) 1. (ϐ) Θα περιγράψουµε το γεγονός µόνο ένα από τα γεγονότα A, B να συµβεί ως (A c B) (A B c ) και συνεπώς η πιθανότητα του είναι : P (Α ή Β, αλλά όχι και τα δύο) = P ((A c B) + (A B c )) = P (A c B) + P (A B c ), όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το αξίωµα της πρόσθεσης. Κατόπιν γνωρίζουµε ότι B = (A c B) (A B)) και (A c B) (A B) = οπότε εφαρµόζοντας το αξίωµα της πρόσθεσης έχουµε ότι : P (B) = P (A c B) + P (A B). Αναδιατάσσοντας τα στοιχεία της σχέσης έχουµε : Συµµετρικά έχουµε ακόµα : P (A c B) = P (B) P (A B). P (B c A) = P (A) P (A B). Αντικαθιστάµε λοιπόν τα P (A c B) και P (B c A) έχουµε : P (Α ή Β, αλλά όχι και τα δύο) = P (B) P (A B) + P (A) P (A B) = P (A) + P (B) 2P (A B). Ασκηση 3. (α) Από τα δεδοµένα έχουµε ότι P (A) = 3/7, P (B C) = 0 και P (A B C) = 0. Χρησιµοποιώντας τους νόµους του De Morgan έχουµε ότι (B c C c ) c = B C. Οπότε έχουµε ότι : P (A (B c C c ) c ) = P (A (B C)) = P (A) + P (B C) P (A (B C))) = 3/7. (ϐ) Από τα δεδοµένα έχουµε ότι P (A) = 1/2, P (B C) = 1/3 και P (A C) = 0. Χρησιµοποιώντας τους νόµους του De Morgan έχουµε ότι (B c C c ) c = B C. Οπότε έχουµε ότι : P (A (B c C c ) c ) = P (A (B C)) = P (A) + P (B C) P (A (B C))) = 5/6, όπου A B C = (και έτσι P (A B C) = 0) αφού A C = και A B C A C. (γ) Εχουµε ως δεδοµένο ότι P (A c (B c C c )) = 0.65 και µε τους νόµους του De Morgan έχουµε ότι (A c (B c C c )) c = A (B c C c ) c που είναι και το Ϲητούµενο. Οπότε : P (A (B c C c ) c ) = 1 P (A c (B c C c )) = 0.35 Ασκηση 4.

3 Πιθανότητες /Λύσεις Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 3 Σχήµα 2: Ο δειγµατοχώρος για τα υποερωτήµατα (ϐ) και (δ) της άσκησης 4. Σχήµα 3: Ο δειγµατοχώρος για το υποερωτήµα (ϐ) άσκησης 4. Για τα υποερωτήµατα (α) και (γ) έχουµε ένα δειγµατοχώρο από 169 σηµεία που αναπαριστούν τα 169 πιθανά αποτελέσµατα, το οποίο προέρχεται από το γεγονός ότι έχουµε 13 διαφορετικά χαρτιά (άσσος, δυο,, παπάς) στην τράπουλα και από τα 52 ϕύλλα της επιλέγουµε 2. Ας ονοµάσουµε Β το γεγονός ότι ο Κώστας επέλεξε άσσο και Α το γεγονός ότι η Άννα επέλεξε άσσο. Τότε έχουµε τις εξής πιθανότητες P (A) = P (B) = πιθανοί άσσοι όλα τα ϕύλλα της τράπουλας = 4 52 = 1 13 και ότι P (A B) = P (A) P (B) = αφού τα γεγονότα Α, Β είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Τότε έχουµε ότι : και P (τουλάχιστον ένα ϕύλλο είναι άσσος) = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = P (κανένα ϕύλλο δεν είναι άσσος) = 1 P (τουλάχιστον ένα ϕύλλο είναι άσσος) = Για τα υποερωτήµατα (ϐ) και (δ) ενδιαφερόµαστε µόνο για χαρτιά συγκεκριµένου σχήµατος οπότε µπορούµε να αναπαραστήσουµε τον δειγµατοχώρο µε τα ακόλουθα 16 σηµεία. Στον οριζόντιο άξονα αναπαραστούµε το σχήµα του χαρτιού που η Άννα επέλεξε, ενώ στον κάθετο άξονα αναπαραστούµε το σχήµα του χαρτιού που ο Κώστας επέλεξε (ϐλέπε σχήµα 2). Κάθε σηµείο του δειγµατοχώρου έχει ίση πιθανότητα µε κάθε άλλο και µάλιστα είναι ίση µε Οι Ϲητούµενες πιθανότητες µπορούν να υπολογιστούν µετρώντας του πλήθος των σηµείων που ικανοποιούν την κάθε συνθήκη και διαιρώντας µε 16. Οπότε για το ερώτηµα (ϐ) έχουµε ότι : (ϐλέπε σχήµα 3) και (ϐλέπε σχήµα 4). P (Και τα δύο χαρτιά έχουν το ίδιο χρώµα) = 4 16 P (Κανένα τραπουλόχαρτο δεν είναι καρό ή σπαθί) = 4 16

4 Πιθανότητες /Λύσεις Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 4 Σχήµα 4: Ο δειγµατοχώρος για το υποερωτήµα (δ) της άσκησης 4. Ασκηση 5. (α) Για να περιγράψουµε τον δειγµατοχώρο της άσκησης αρκεί κανείς να υπολογίσει τις πιθανότητες όλων των αποτελεσµάτων. Οι πιθανότητες όλων των πιθανών αποτελεσµάτων ϕαίνονται στον πίνακα παρακάτω και είναι συναρτήση της πιθανότητας p [0, 1] που πρέπει να υπολογίσουµε. Ζάρι 1 Ζάρι 2 Αποτέλεσµα Πιθανότητα p p p p p p p p p p p p p p p p Σύνολο 100p Για να υπολογίσουµε το p αρκεί να σκεφτούµε ότι P (Ω) = 1 οπότε 100p = 1 p = 0.01 (ϐ) Εστω Α το γεγονός ότι το γίνόµενο είναι Ϲυγός αριθµός, τότε έχουµε ότι : P (A) = 2p + 4p + 2p + 4p + 6p + 8p + 6p + 12p + 4p + 8p + 12p + 16p = 84p = (γ) Εστω Β το γεγονός ότι τα Ϲάρια έφεραν 2 και 3, τότε έχουµε ότι : Ασκηση 6. P (B) = P (2, 3) + P (3, 2) = 6p + 6p = 12p = (α) Θα ορίσουµε ως γεγονός E = A B. Τότε E C = (A B) C = (A C) (B C). Οπότε P (E C) = P (A C) + P (B C) P (A B C). Άρα : P (A B C) = P (E C) = P (E) + P (C) P (E C) = P (A B) + P (C) P (A C) P (B C) + P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A C) P (B C) + P (A B C)

5 Πιθανότητες /Λύσεις Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 5 (ϐ) Θα το αποδείξουµε µε την µέθοδο της επαγωγής. Υπόθεση ϐάσης : Επαγωγικό Βήµα : Υποθέτουµε ότι : P (A 1 ) = P (A 1 ) P ( A k ) = P (A 1 ) + P (A c 1 A 2 ) + P (A c 1 A c 2 A 3 ) + + P (A c 1 A c n 2 A n 1 ). Επαγωγή : P ( n A k ) = P ( A k An) = P (A 1 ) + P (A c 1 A 2 ) + P (A c 1 A c 2 A 3 ) + + P (A c 1 A c n 2 A n 1 ) +(P (A n ) P ( A k An)) = P (A 1 ) + P (A c 1 A 2 ) + P (A c 1 A c 2 A 3 ) + + P (A c 1 A c n 1 A n )

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01