0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4"

Ēᾍιδης Σπηλιωτόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω X η µικτή τ.µ. που εκφράζει τον αριθµό των ωρών που αφιερώνει κάποιος ϕοιτητής κάθε ϐδοµάδα στο ΗΥ-7. Η Α.Σ.Κ της X είναι : F X (x) ώστε τη γραφική παράσταση της F X (x), x < +x 8, x <, x < + x 8, x < 4, x 4. Να ϐρεθούν οι πιθανότητες : (α) Αφιερώνει ακριβώς ώρες (ϐ) Αφιερώνει περισσότερο από ώρες (γ) Αφιερώνει λιγότερο από ώρες (δ) Αφιερώνει ακριβώς ώρες (ε) Αφιερώνει περισσότερο από / αλλά λιγότερες από ώρες (στ) Αφιερώνει περισσότερο από ώρες, δεδοµένου ότι ασχολείται µε το µάθηµα Ϲ) Να υπολογισθεί η µέση τιµής της τ.µ. X, E[X] Λύση Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F X (u), ϕαίνεται στο σχήµα. Σχήµα : Η γραφική παράσταση της Α.Σ.Κ

2 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 (α) (ϐ) P (Αφιερώνει ακριβώς ώρες) P (X ) F X ( + ) F X ( ) P (Αφιερώνει περισσότερο από ώρες) P (X > ) F X ( + ) 8 4 () (γ) P (Αφιερώνει λιγότερο από ώρες) P (X < ) F X ( ) (δ) P (Αφιερώνει ακριβώς ώρες ) P (X ) F X ( + ) F X ( ) (ε) (στ) P (Αφιερώνει περισσότερο από / αλλά λιγότερες από ώρες) P (/ < X < ) F X ( ) F X (/ ) / 8 6 P (Αφιερώνει περισσότερο από ώρες, δεδοµένου ότι ασχολείται µε το µάθηµα) P (X > X > ) P (X > ) P (X > ) P (X > ) F X ( + ) F X ( + ) Ϲ) Η µέση τιµή της τ.µ Χ, Ε[Χ] µπορεί να ϐρεθεί υπολογίζοντας το εµβαδόν E µεταξύ της F X (u) και της ευθείας µε ύψος ίσο µε. Εποµένως έχουµε : 7 E E τραπεζίου + E ορθογωνίου + E τριγώνου 7/8 + 6/8 + / + /4 5, 75 ώρες. 6 Ασκηση. Μια συνεχής τ.µ. X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : { α(. x ), x f X (x), αλλιώς (α) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f X (x) και να υπολογιστεί η τιµή της σταθεράς α. (ϐ) Να ϐρεθούν η µέση τιµή E[X] και η διασπορά σ X της τ.µ X (γ) Να ϐρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (Α.Σ.Κ.), F X (x) της X και να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση. (δ) Να ϐρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου : P ( X )

3 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Λύση. (α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα, σχ Σχήµα : Η γραφική παράσταση της f X (x). Από το σχήµα έχουµε ότι το εµβαδόν του τριγώνου είναι : ιαφορετικά, ϑα πρέπει να ισχύει : α α E a α α. +.xdx + α ([x +. x ] f X (x)dx ().xdx () ] [ + x. x ) (4) α (5) (ϐ) Εφοσον η f X (.) είναι άρτια συνάρτηση, ισχύει ότι E[X]. Επιπλέον : var(x) E[X ] (E[X]) x f X (x)dx α. (6) x.(.x)dx. [ x..x4 4 (γ) Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής δίνεται από : F X (x) f X(t)dt Θεωρούµε τις περιπτώσεις : (i) Για x < F X (x) x.x dx ]

4 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο (ii) Για x < F X (x) (iii) Για x < F X (x).( +. t)dt. ( +. t)dt + (. +. t)dt.t +. t x.x +. x +..( ).5x +. x + /.5x +. x + /.5 (x + x + ).5(x + ). (. t)dt [. t +. t ] [. + t. t ] x.. x +. x..5x +. x + /.5(x ) (iv) Για x F X (x) Εποµένως, η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι :, x <.5(x + ) F X (x) f X (t)dt, x [, ),.5(x ), x [, ),, x Η γραφική παράσταση της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα Σχήµα : Η γραφική παράσταση της F X (x). (δ) Εχουµε ότι : P ( X ) P ( X ) F X () F X ( ).5( ).5( + ).5

5 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Ασκηση. Εστω ότι ο αριθµός Η/Υ σε χιλιάδες κοµµάτια που πουλάει η Dell στη διάρκεια µια ηµέρας είναι τ.µ. X µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας : c x, x x < f X (x) c (6 x), x < 6, αλλιώς (α) Να υπολογισθεί η τιµή της σταθεράς c. (ϐ) Να υπολογισθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F X (x) της X (γ) Ποια η πιθανότητα ο αριθµός των Η/Υ που πωλούνται σε µέρα να : (i) ξεπερνά τις. (ii) είναι µεταξύ των 5 και 9. (δ) Αν τα Α, Β είναι τα γεγονότα (i), (ii) του ερωτήµατος (γ), είναι τα Α,Β ανεξάρτητα Λύση (α) Θα πρέπει c >, ώστε η f X (x) > να είναι έγκυρη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Ισχύει ότι : c + xdx + c c x f X (x)dx (7) 6 (6 x)dx (8) x + c(6x ) 6 (9) 9 c () c 9 () (ϐ) Γνωρίζουµε ότι για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής γίνεται : F X (x) f X(u)du. ιακρίνουµε περιπτώσεις : (i) Για x < F X (x) (i) Για x < : F X (x) 9 tdt t x 9 x 8

6 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο (i) Για x < 6: tdt + (6 t)dt 9 F X (x) 9 t 9 9 (6t t ) x + x (6x ) + 9 ( x + x 6) + 9 (x 6) 8 + (x 6) 8 (i) Για x 6 F X (x) Εποµένως, η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής γράφεται :, x < x f X (x) 8, x < (6 x) 8, x < 6, x 6 (γ) Ο αριθµός των Η/Υ που πουλάει η Dell µέσα σε µια µέρα µετριέται σε χιλιάδες κοµµάτια. Ορί- Ϲουµε τα ενδεχόµενα : Α :Ο αριθµός των Η/Υ που πωλούνται σε µέρα να ξεπερνά τις Β:Ο αριθµός των Η/Υ που πωλούνται σε µέρα να είναι µεταξύ των 5 και 9. Οπότε οι Ϲητούµενες πιθανότητες γίνονται : Και : P (A) P (X > ) F X ().5 () P (B) P (.5 X 9) F X (9) F X (.5) () (δ) Για να είναι τα γεγονότα A και B ανεξάρτητα ϑα πρέπει να ισχύει : P (A B) P (A) P (B) Ισχύει ότι : A B < X 9 Εποµένως, υπολογίζουµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου : A B ως εξής : P (A B) P ( < X 9) P (X > ) Παρατηρούµε ότι P (A B) P (A) P (B) Εποµένως τα ενδεχόµενα A και B δεν είναι ανεξάρτητα. (6 ) 8 (4)

7 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Ασκηση 4. ίνεται η συνεχής τ.µ. µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας : { α( x), x x f X (x), αλλιώς (α) Να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της X, και στη συνέχεια να ϐρεθεί η τιµή της σταθεράς α. (ϐ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα : P (6X > 5X ) (γ) Να υπολογισθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (Α.Σ.Κ.) της τ.µ X, F X (x) (Λύση) (α) Η γραφική παράσταση της f X (x) παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα. fx(x) a x Σχήµα 4: Η γραφική παράσταση της σ.π.π. Για να υπολογίσουµε την τιµή της παραµέτρου α µπορούµε είτε χρησιµοποιώντας τη σχέση + f X(x)dx, είτε από το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της f X (x) και των αξόνων. (α τρόπος) + f X (x)dx a ( x)dx [ a x ] + x a ( + ) a

8 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο (ϐ τρόπος) E α α α (ϐ) Εχουµε ότι : [ ] P (X > 5X ) P (X 5X + > ) P (X ) (X ) > ( ) ( ) P X > / X > / + P X < / X < / P (X > /) + P (X < /) P (/ X /) / [ ] / ( x)dx x x / 9/6, / / (γ) Για την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής έχουµε : (i) Για x < F X (x) (ii) Για x < F X (x) ( t)dt [t t ] x x x (iii) Για x F X (x) Εποµένως, η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι :, x < F X (x) f X (t)dt x x, x [, ),, x

Σχετικά έγγραφα

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :