Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( )
|
|
- Πατρίκιος Βουρδουμπάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Iz opće jednadžbe politrope pv n = konst. izvedite njezinu diferencijalnu jednadžbu u p,v koordinatama. Napišite izraz čemu je jednak eksponent politrope n te napišite na koji način utječemo na njegovu vrijednost? Pokažite čemu je jednak koeficijent nagiba tangente u bilo kojoj točki promatrane politrope. N napišite izraz za politropski specifični toplinski kapacitet c n i prikažite ga u odgovarajućem dijagramu. Izvedite opći oblik jednadžbe politrope u T,s dijagramu, te pokažite što fizikalno predstavlja subtangenta u bilo kojoj točki politrope u T,s koordinatama. Prikažite slučaj politrope u p,v i T,s dijagramu za koji ta subtangenta ima negativnu vrijednost. Izvedite zakonitost kod adijabatskog prigušivanja! U kakve sustave i kakve procese unutar sustava spada adijabatsko prigušivanje! Iz uvjeta ireverzibilnosti procesa prigušivanja, dokažite da dolazi do pada tlaka kod prigušivanja: a)- struje idealnog plina; b) struje kapljevine i c) struje zasićene pare (stanje pare nakon prigušivanja pada također u zasićeno područje!) Sve slučajeve prigušivanja prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu! Prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu, rad jednog kompresora koji usisava pregrijanu paru i izotermno je tlači u zasićeno područje. Napišite izraz za snagu tog kompresora, ako je maseni protok pare kroz kompresor q m. U p,v dijagramu prikažite gornju i donju mrtvu točku za taj slučaj! U T,s dijagramu naznačite temperaturu (realnu) odgovarajućeg toplinskog spremnika, te za taj slučaj dokažite da li je tako vođen proces povratan ili nepovratan! U isto dijagramu prikažite i prirast entropije izoliranog sustava! Prikažite Prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu, desnokretni Rankineov ciklus, kod koje u turbinu ulazi pregrijana para, koja izentropski ekspandira u kondenzatorskog tlak u zasićeno područje, kondenzat se pothlađuje i njega pumpa izentropski komprimira na kotlovski tlak. Izvedite izraz za snagu turbine, snagu pumpe, dovedeni toplinski tok u kotlu i odvedeni toplinski tok u kondenzatoru. Navedite razloge korištenja pregrijane pare u turbinskom procesu, napišite koja su ograničenja glede vrijednosti kondenzatorskog tlaka. Napišite izraze za srednju temperaturu dovođenja topline u kotlu i srednju temperaturu odvođenja topline u kondenzatoru i prikažite ih u odgovarajućem dijagramu. U T,s dijagramu povucite teorijske vrijednosti temperatura toplinskih spremnika i dokažite nepovratnost procesa u tom slučaju, koristeći temperature toplinskih spremnika, srednju temperaturu dovođenja i odvođenja topline kao i iznose izmijenjenih toplina!
2 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Izvedite jednadžbu politrope u T,s koordinatama! Na osnovu te jednadžbe dokažite kakve su matematički linije izoterme, izentropie izobare i izohore u T,s dijagramu, te na tim linijama pokažite geometrijsko značenje derivacije (dt/ds) n=konst U p,v i T,s dijagramu nacrtajte politropsku kompresiju (otvoreni sustav!) sa n = konst:, pri čemu je c n < 0!. Objasnite da li i zašto temperatura tijekom te kompresije plinu raste?. Iz dobivene jednadžbe politrope za promatrani slučaj izravno riješite integral Prikažite u p,v i T,s dijagramu Ottov ciklus! Da li je to i zašto ravnotežan ili neravnotežan proces? Izvedite izraz termički stupanj djelovanja tog procesa u ovisnosti o ε i κ i prikažite to ovisnost u istom dijagramu (η Otto = f(ε)) za jednoatomni odnosno dvoatomni plin. Napišite izraz koji povezuje rad po ciklusu, broj cilindara i broj ciklusa sa snagom motora, i to za dvotaktne i četverotaktne motore. Izvedite izraz za srednju temperaturu dovođenja i srednju temperatiru odvođenja topline i naznačite ih u T,s dijagramu, tj, ''karnotizirajte'' prikazani Ottov proces U T,s dijagramu ucrtajte teorijski granične temperature toplinskih spremnika i dokažite da li je, tako vođen ''karnotizirani'' a time i stvarni proces, nepovratan odnosno povratan! Ako dokažete nepovratnost, objasnite čime je ta nepovratnost uzrokovana u tako vođenom procesu! Prikažite u p,v, T,s i h,s dijagramu proces u jednoj parnoj turbini u koju ulazi pregrijana vodena para stanja p 1 i T 1 a na izlazu iz turbine je zasićena vodena para tlaka p 2, ako se ekspanzija u turbini odvija a) adijabatski ali ravnotežno b) adijabatski ali neravnotežno Napišite izraz za snagu turbine za oba slučaja i pokažite na ta dva slučaja smisao jednadžbe P 2 q vd. Označite pri tlaku p 2, krajnju moguće stanje slučaja b) i pokažite o kakvom 12 m p p p 1 se to procesu radi! Dokažite da je za taj krajnji slučaj b) i zadano početno stanje pare 1, gubitak na snazi jednak razlici eksergija pare na ulazu u turbinu i eksergije pare krajnjeg mogućeg stanja b) i taj gubitak prikažite u h,s dijagramu! (Stanje okoliša je zadano s p ok ; T ok) Koristeći Clausius Clayperonovu jednadžbu izvedite izraz za liniju napetosti kapljevina para, ako se usvoje sljedeće pretpostavke: zanemaruje se specifični volumen vrele kapljevine, suhozasićena vodena para se ponaša kao idealni plin, specifična toplina isparivanja r o = konst. i ona odgovara toplini isparivanja pri referentnom tlaku zasićenja p o odnosno referentnoj temperaturi zasićenja T o.
3 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I (rujan 2015) Izvedite izraze dviju općih zakonitosti koje vrijede za adijabatsko prigušivanje bilo koje tekućine, te na osnovu tih zakonitosti dokažite da dolazi do pada tlaka pri adijabatskom prigušivanju struje idealnog plina i adijabatskom prigušivanju struje kapljevine. Proces adijabatskog prigušivanja zasićene pare prikažite p,v; T s i h,s dijagramu, a sva tri navedena slučaja prigušivanja prikažite u zajedničkom p,ϑ - dijagramu. Dokažite da je gubitak na snazi kod adijabatskog prigušivanja jednak eksergijskoj destrukciji struje prije i nakon prigušivanja, ta tu činjenicu prikažite u za to najprigodnijem dijagramu! Prikažite u p,v i T,s dijagramu ljevokretni Jouleov proces, te za izvedite faktore pretvorbe u funkciji omjera tlakova. U T s dijagramu povucite realne temperature toplinskih spremnika te za takav slučaj dokažite nepovratnost tog procesa! Desnokretni Carnotov proce s parom odvija se na način da u ekspanzijski cilindar ulazi pregrijana para a iz njega izlazi također pregrijana para, dok se na ulazu u i izlazu iz kompresijskog cilindra radi o zasićenoj pari. Temperatura dovođenja topline je T d dok je temperatura odvođenja topline T od, a pripadajuće temperature toplinskih spremnika su T g > T d i T h < T od. Proces se odvija: a) ravnotežno b) neravnotežno na način da su promjene stanja u ekspanzijskom cilindru i kompresijskom cilindru s adijabatske s trenjem, tako da se u ekspanzijskom i u kompresijskom cilindru generira isti prirast entropije ΔS, a ulazna stanja pare u ekspanzijski i kompresijski cilindar su u oba slučaja ista, kao i temperature dovođenja i odvođenja topline. Potrebno je dokazati, za zadane veličine T d, T od i ΔS, da se u slučaju b) dobije manje rada uz niži termodinamički stupanj djelovanja procesa, u odnosu na slučaj a. Potrebno je nadalje napisati Clausiusov zapis za proces a) i proces b! Dokazati da je prirast entropije izoliranog sustava u slučaju b) veći od prirasta u slučaju a)! Procese pod a) i b) prikazati u zajedničkom T,s, h,s i p,ϑ - dijagramu! Prikažite u h,s dijagramu tijek dviju izobara p 1 = konst. > p 2 = konst od područja pothlađene kapljevine do pregrijane pare. Dokažite koja je od tih izobara strmija unutar zasićenog područja. Kotirajte specifične topline isparivanja za oba tlaka i dokažite, koristeći Clausius- Clapeyronovu jednadžbu, koja je od njih veća po iznosu! Dokažite zašto je svaka izobara sve strmija u smjeru povećanja entropije u pregrijanom području, a položitija u području pothlađene kapljevine, u smjeru smanjenja entropije. Pokažite koje su to polazne jednadžbe pomoću kojih se dokazuje toplinska u mehanička ravnoteža heterogenog područja. Napišite izraze za slobodnu specifičnu entalpiju vrele kapljevine i suhozasićene pare za konstantni tlak, te naznačite kakve su međusobne vrijednosti dotičnih veličina!
4 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Iz opće jednadžbe politrope pv n = konst. izvedite njezinu diferencijalnu jednadžbu u p,v koordinatama. Napišite izraz čemu je jednak eksponent politrope n te napišite na koji način utječemo na njegovu vrijednost? Pokažite čemu je jednak koeficijent nagiba tangente u bilo kojoj točki promatrane politrope. Napišite izraz za politropski specifični toplinski kapacitet c n i prikažite ga u odgovarajućem dijagramu. Izvedite opći oblik jednadžbe politrope u T,s dijagramu, te pokažite što fizikalno predstavlja subtangenta u bilo kojoj točki politrope u T,s koordinatama. Prikažite slučaj politropske ekspanzije (otvoreni sustav) u p,v i T,s dijagramu za eksponent politrope 0 < n = konst. < 1,0!. Šrafirajte i navedite značenje površina u tim dijagramima. Izvedite zakonitost kod adijabatskog prigušivanja! U kakve sustave i kakve procese unutar sustava spada adijabatsko prigušivanje! Iz uvjeta ireverzibilnosti procesa prigušivanja, dokažite da dolazi do pada tlaka kod prigušivanja: a)- struje idealnog plina; b) struje kapljevine i c) struje zasićene pare (stanje pare nakon prigušivanja pada također u zasićeno područje!) Sve slučajeve prigušivanja prikažite u zajedničkom p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu! U h,s; p,ϑ i x,p dijagramu prikažite proces adijabatskog prigušivanja, s promjenom sadržaja pare x, od stanja suhozasićene para do stanja suhozasićene pare. Za posljednji slučaj prikažite u h,s dijagramu, specifičnu eksergiju pare prije i nakon prigušivanja i dokažite čemu je njihova razlika jednaka. Prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu, rad jednog uređaja koji usisava pregrijanu paru i izotermno je tlači do područja pothlađene kapljevine. Napišite izraz za snagu tog uređaja, ako je maseni protok pare q m. U p,v dijagramu prikažite gornju i donju mrtvu točku za taj slučaj! U T,s dijagramu naznačite temperaturu (realnu) odgovarajućeg toplinskog spremnika, te za taj slučaj dokažite da li je tako vođen proces povratan ili nepovratan! U isto dijagramu prikažite i prirast entropije izoliranog sustava, kao i gubitak na snazi u tom procesu, ako je poznata i temperatura okoliša. Provjeriti da li, u tom procesu, okoliš može biti i odgovarajući toplinski spremnik, ako da, tada to usvojite tijekom prikaza gubitka na snazi. Prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu, desnokretni Rankineov ciklus, kod koje u turbinu ulazi pregrijana para, koja neravnotežno adijabatski ekspandira do kondenzatorskog tlaka u zasićeno područje, a kondenzat se pothlađuje i njega pumpa također neravnotežno adijabatski komprimira na kotlovski tlak. Izvedite izraz za snagu turbine, snagu pumpe, dovođeni toplinski tok u kotlu i odvođeni toplinski tok u kondenzatoru. Navedite razloge korištenja pregrijane pare u turbinskom procesu, napišite koja su ograničenja glede vrijednosti kondenzatorskog tlaka. Napišite izraze za srednju temperaturu dovođenja topline u kotlu i srednju temperaturu odvođenja topline u kondenzatoru i prikažite ih u odgovarajućem dijagramu. U T,s dijagramu povucite teorijske vrijednosti temperatura toplinskih spremnika i dokažite nepovratnost procesa u tom slučaju! δq Dokažite koji znak u Clausiusovom zapisu 0 u promatranom procesu! T
5 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Izvedite jednadžbu politrope u T,s koordinatama! Na osnovu te jednadžbe dokažite kakve su matematički linije izoterme, izentrope, izobare i izohore u T,s dijagramu, te na tim linijama pokažite geometrijsko značenje derivacije (dt/ds) n=konst U p,v i T,s dijagramu nacrtajte politropsku kompresiju (otvoreni sustav!) sa n = konst:, pri čemu je c n < 0!. Objasnite da li i zašto temperatura tijekom te kompresije plinu raste?. Iz dobivene jednadžbe politrope za promatrani slučaj izravno riješite integral q 12 = s 2 s 1 Tds! U T,s dijagramu povucite, za promatrani proces, teorijski graničnu temperaturu odgovarajućeg toplinskog spremnika, te T2 TA TB primjenom i rješenjem integrala ΔS& iz. sust = δφ, dokažite da li je promatrani proces T T 1 A B povratan ili nepovratan! Ako je nepovratan tada iznos T Δ S & iz. sust, kvalitativno prikažite u T, S & - dijagramu! Prikažite u p,v i T,s dijagramu ljevokretni Jouleov ciklus. Da li je to i zašto ravnotežan ili neravnotežan proces? Izvedite izraz za faktor grijanja odnosno za faktor hlađenja u ovisnosti o omjeru tlakova prije i nakon kompresije. Izvedite izraz za srednju temperaturu dovođenja i srednju temperaturu odvođenja topline i naznačite ih u T,s dijagramu, tj, ''karnotizirajte'' prikazani Jouleov ciklus proces U T,s dijagramu ucrtajte teorijski granične temperature toplinskih spremnika i dokažite da li je, tako vođen ''karnotizirani'' a time i stvarni proces, nepovratan odnosno povratan! Ako dokažete nepovratnost, objasnite čime je ta nepovratnost uzrokovana u tako vođenom procesu! Prikažite u p,v, T,s i h,s a samo početno i konačno stanje pare u p, ϑ dijagramu proces u jednom kompresoru koji usisava zasićenu paru stanja p 1 i x 1 i komprimira je na pregrijano stanje tlaka p 2. Kompresija pare u kompresoru do tlaka p 2 odvija se: a) adijabatski ali ravnotežno b) adijabatski ali neravnotežno Napišite izraz za snagu kompresora za oba slučaja i izvedite izraz za izentropski stupanj djelovanja kompresora. Napišite potrebne jednadžbe i izvedite izraz koji pokazuje zakonitost adijabatskog miješanja dviju struja u h,s dijagramu. U h,s dijagramu prikažite proces adijabatskog miješanja u dva slučaja: a) struje vrele kapljevine i struje pregrijane pare istog tlaka p; b) struje vrele kapljevine i zasićene pare istog tlaka p, ako je u oba slučaja omjer masenog protoka pare i masenog protoka vrele kapljevine jednak 2! U h,s dijagramu prikažite generiranu entropiju u opisanim procesima!
6 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Izvedite oblik jednadžbe izobare u T,s dijagramu, te pokažite što fizikalno predstavlja subtangenta u bilo kojoj točki izobare u T,s koordinatama. Nadalje u T,s- dijagramu prikažite i dokažite tijek izobara p 1 > p 2 > p 3 odabranom T,s dijagramu. Za odabrani proces na jednoj izobari od početnog do konačnog stanja naznačite graničnu temperaturu odgovarajućeg toplinskog spremnika te izravno riješite prirast entropije izoliranog sustava prema jednadžbi: ( Δ ) iz.sust = kon T1 T2 s δ q gdje T 1 označava temperaturu toplijeg a T 2 T T poč 1 2 temperaturu hladnijeg sudionika u tom izoliranom sustavu! Izvedite sve izraze za promjenu entropije idealnog plina, izraz za promjenu entropije krutine i kapljevine, te izraz za promjenu entropije pri faznoj promjeni pri p = konst. Napišite izraz za apsolutni iznos entropije i navedite u kojim se slučajevima treba voditi računa o vrijednosti entropijske integracijske konstante, a u kojim slučajevima to nije bitno! Izvedite izraz za temperaturu i volumenski protok mješavine pri adijabatskom dviju struja različitih idealnih plinova, ako struje na ulazu u mješalište imaju međusobno različite tlakove, različite temperature i različite količinske protoke! Da li je taj proces ravnotežan ili neravnotežan i zašto? Što nam diktira tlak nastale mješavine p? Napišite izraze za promjenu entropije izoliranog sustava u tom slučaju i navedite koji su uzroci (žarišta) te entropijske promjene. Iz tog zapisa izvedite izraz za promjenu entropije koja se odnosi samo na miješanje različitih idealnih plinova. Pokažite kakvi su predznaci promjene entropije svakog sudionika u tom slučaju. Kako bi glasio izraz za promjenu entropije izoliranog sustava, ako bi se radilo o adijabatskom miješanju struja istih plinova ali različitih ulaznih stanja i različitih ulaznih količinskih protoka. Navedite razlog promjene entropije izoliranog sustava u tom slučaju! Prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu jednog realnog ljevokretnog Carnotova ciklusa u kojem u kompresijski cilindar ulazi suhozasićena para a ekspanzijski cilindar ulazi zasićena para. Energijski obradite taj proces, izvedite izraze za faktor grijanja odnosno faktor hlađenja. U T,s dijagramu pozicionirajte za taj proces temperature toplinskih spremnika, te dokažite da li je takav proces povratan ili nepovratan? Nadalje izvedite izraze za maksimalne vrijednosti faktora pretvorbe, te pokažite o kakvom se Carnotovu procesu radi u tom slučaju? 5. Pitanje Napišite definiciju specifične topline isparivanja i izvedite izraze za istu koristeći I. odnosno II. zakon termodinamike. Napišite kako glasi Clausius Clayperonova jednadžba. Specifičnu toplinu isparivanja prikažite u odgovarajućim dijagramima. Koristeći Clausius Clayperonovu jednadžbu, p,v i p,ϑ - dijagram dokažite kako se mijenja iznos specifične topline isparivanja s povećavanjem tlaka zasićenja. Dokažite da je jednak iznos Gibbsove specifične slobodne energije jednak za bilo koja dva stanja zasićene pare pri istom tlaku zasićenja!
7 Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Napišite diferencijalnu jednadžbu politropske promjene stanja u p,v koordinatama te iz nje za zadano početno stanje izvedite opći oblik jednadžbe politrope u navedenim koordinatama. Napišite izraz čemu je jednak eksponent politrope n te napišite na koji način utječemo na njegovu vrijednost? Pokažite čemu je jednak koeficijent nagiba tangente u bilo kojoj točki promatrane politrope. Napišite izraz za politropski specifični toplinski kapacitet c n i prikažite ga u odgovarajućem dijagramu. Izvedite opći oblik jednadžbe politrope u T,s dijagramu, te pokažite što fizikalno predstavlja subtangenta u bilo kojoj točki politrope u T,s koordinatama. Prikažite slučaj politrope u p,v i T,s dijagramu za koji ta subtangenta ima negativnu vrijednost, i koristeći prethodno dobivene jednadžbe izvedite izraz za rad odnosno toplinu za tu jednu ekspanzijsku promjenu u zatvorenom sustavu za tu politropu s negativnom subtangentom. Kakav je toplinski spremnik potreban za realizaciju takve politrope? Dokažite u kojem molnom udjelu treba pomiješati tri struje različitih idealnih plinova istog tlaka i iste temperature u jednom adijabatskom mješalištu, ako tlak je tlak nastale mješavine također jednak tlaku nastalih struja, a jedna od struja ima molni udio u mješavini jednak 0,4, uz zahtjev da se pri tome dobije maksimalni prirast entropije. Koliki je taj prirast entropije sveden na kilomol struje mješavine? Izvedite Clausius-Clapeyronovu jednadžbu za specifičnu toplinu isparivanja, i navedite značenje i mjerne jedinice svih veličina koje se javljaju u toj jednadžbi. Za koje se još procese može koristiti tu jednadžbu? Napišite i ostale izraze za specifičnu toplinu isparivanja, napišite njezinu definiciju i prikažite je za dva različita tlaka u odgovarajućim dijagramima. Naznačite koja ima veću vrijednost. Dokažite da vrela kapljevina i suhozasićena para istog tlaka imaju isti iznos Gibbsove slobodne energije. Kvalitativno prikažite fazni dijagram za vodu, naznačite koordinate karakterističnih točaka i naznačite područja, te koristeći Clausius Clapeyronovu jednadžbu dokažite zašto vodeni led pliva u svojoj kapljevini? Prikažite Prikažite u p,v; T,s; h,s a samo početna i konačna stanja prikažite u p,ϑ - dijagramu, ljevokretni ciklus s kompresorom i prigušnim ventilom, kod kojeg kompresor usisava suhozasićenu paru i adijabatski s trenjem je komprimira na kondenzatorski tlak. Iz kondenzatora izlazi pothlađeni kondenzat koji u prigušnom ventilu adijabatski ekspandira do isparivačkog tlaka. Naznačite koji znak vrijedi, za promatrani proces, u Clausiusovu zapisu δq 0. Izvedite izraz za snagu kompresora, rashladni učinak i faktor hlađenja. T Za zadani proces u T,s. dijagramu povucite teorijski granične temperature odgovarajućih toplinskih spremnika i dokažite da li je tako vođen proces povratan ili nepovratan? Pokažite kako pothlađenje kondenzata utječe na faktor hlađenja. Nadalje pojasnite kako adijabatska kompresija s trenjem, za isti ukupni rashladni učinak, utječe na faktor hlađenja u prema slučaju izentropske ekspanzije u kompresoru.
Iz poznate entropije pare izračunat ćemo sadržaj pare u točki 2, a zatim i specifičnu entalpiju stanja 2. ( ) = + 2 x2
1. zadata Vodena para vrši promjene stanja po desnoretnom Ranineovom cilusu. Kotao proizvodi vodenu paru tlaa 150 bar i temperature 560 o C. U ondenzatoru je tla 0,06 bar, a snaga turbine je 0 MW. otrebno
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1. REALNI PLINOVI I PARE Veličine stanja vodene pare
1 REALNI PLINOVI I PARE 1 1 Veličine stanja vodene pare Veličine stanja vrele kapljevine, suhe i pregrijane pare prikazuju se u tablicama za vodenu paru Veličine stanja vrele kapljevine označavaju se s
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραUpotreba tablica s termodinamičkim podacima
Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Nije moguće znati apsolutnu vrijednost specifične unutarnje energije u procesnog materijala, ali je moguće odrediti promjenu ove veličine, koja odgovara promjenama
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKoličina topline T 2 > T 1 T 2 T 1
Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραEnergijske tehnologije
Ograničenja pretvorbama i pretvorbe oblika energije u eksergiju (mehanički rad) Vladimir Mikuličić, Davor Grgić, Zdenko Šimić, Marko Delimar FER, 2013. Teme: 1. Organizacija i sadržaj predmeta 2. Uvodna
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραProf. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1
(Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode
Διαβάστε περισσότεραPRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena
13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότερα4. Termodinamika suhoga zraka
4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότεραZadatci za vježbanje Termodinamika
Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραInženjerstvo I Termodinamika 3. dio
Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio 1.2.3 Unutarnja energija Molekularno kinetička teorija nam tumači, da se molekule nekog tijela, ili tvari, nalaze u gibanju i pri tome se međusobno sudaraju. Zavisno
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραodvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa
.vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKA TERMODINAMIKA
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Zavod za termodinamiku, strojarstvo i energetiku PREDLOŠCI ZA VJEŽBE iz kolegija TEHNIČKA TERMODINAMIKA Priredili: Prof. dr. sc. Boris Halasz Dr. sc. Saša
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα1. BRODSKE TOPLINSKE TURBINE
1. BRODSKE TOPLINSKE TURBINE 2. PARNOTURBINSKI POGON Slika 2. Parnoturbinski pogon 3. PRINCIP RADA PARNE TURBINE Slika 3. Princip rada parne turbine 4. PLINSKOTURBINSKI POGON Slika 4. Plinskoturbinski
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTermodinamički zakoni
Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραTOPLINA I TEMPERATURA:
GEOMETRIJSKA OPTIKA 1. U staklenoj posudi s ravnim dnom nalazi se sloj vode (n v =1,33) debljine 5 cm, a na njemu sloj ulja (n u =1,2) debljine 3 cm. Iz zraka na ulje upada svjetlost pod kutom 45, prolazi
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραDrugi zakon termodinamike
Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE
Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za fizikalnu kemiju ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE (interna zbirka odabranih poglavlja iz Fizikalne kemije za studente Fakulteta
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα