ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

Transcript

1 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν και έλυσαν σε όλη την διάρκεια της χρονιάς. Οι «Ροβινσώνες» ψάχνουν από blog σε blog και από διαγώνισμα σε διαγώνισμα διαφορετικές ιδέες πριν κληθούν να αντιμετωπίσουν τα επίσημα θέματα της ΚΕΕ για να μειώσουν την ανασφάλειά τους και να τονώσουν το ηθικό τους. Οι καθηγητές βυθισμένοι στο άγχος αν πρόλαβαν τελικά να διδάξουν όλα στους μαθητές τους, αν ξέχασαν κάποια κατηγορία ασκήσεων, αν δίδαξαν όλες τις ασκήσεις του βιβλίου και αν είναι ικανοί οι μαθητές τους να γράψουν τις πολύτιμες 5 μονάδες της θεωρίας. Εγώ τους εύχομαι καλή επιτυχία και τους προτείνω να πιστέψουν στον εαυτό τους, ξεχνούν ότι ο καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης μίας άσκησης είναι η εμπιστοσύνη και αυτοπεποίθηση που πρέπει να νιώθουν πριν κληθούν να την λύσουν, το σκεπτικό «μπορώ να την λύσω», «είμαι ικανός να την λύσω», «έχω διαβάσει» είναι προτιμότερο από το ηττοπαθές «δεν μπορώ να την λύσω», «κάποιο λάθος έχει η άσκηση», «είμαι αδιάβαστος τελικά», «δεν είμαι ικανός» κτλ. Επιμέλεια: Θέμα ο, * f, α) Να δείξετε ότι: f f f f β) Βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της f γ) Αν η ασύμπτωτη της C f στο διέρχεται από το M, να δείξετε ότι ο w είναι θετικός σημείο πραγματικός αριθμός. δ) Αν i να δείξετε ότι dt ln, f t Υπόδειξη α) Αρκεί να δείξουμε ότι, f f f, όμως από τριγωνική ανισότητα παίρνουμε, f f f... με παράγωγο και β) Έχουμε, ελάχιστο στο Re. Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

2 γ) Βρίσκουμε f lim... lim f... άρα η ευθεία y για να διέρχεται από το σημείο, δ) Θέτουμε h dt και k l n f t h k (άρα c= h k c πρέπει, θα δείξουμε ότι Θέμα ο, * f, α) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 τουλάχιστον ρίζα στο (,). f έχει μία β) Αν f γνησίως αύξουσα στο, να δείξετε ότι γ) Να αποδείξετε ότι η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο για κάθε δ) Αν σταθερή. w *,. τότε να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι Θέμα 3ο f συνεχής στο [α, β] παραγωγισίμη στο (α, β) f 4, ά, f(β) = β + 4 και f(α) = 6α α - α) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α και β και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι f 4,. β) Βρείτε το ολοκλήρωμα fog d, ό g e e ln γ) Βρείτε το όριο lim foh, ό h ln e Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

3 Θέμα 4ο 3 3 f, α)να δείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της f δ) Βρείτε την αντίστροφη f της f() ε) Να παρασταθεί γραφικά η f() και η f Θέμα 5ο μη μηδενικοί αριθμοί, w w i και w w 6i w α) Να δείξετε ότι: w β) = ; και w = ; γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ] με f για κάθε, και η παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] συνάρτηση ft, g dt w f t dt,, i. Να δείξετε ότι η Cg έχει ένα τουλάχιστον σημείο στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα ii. Να δείξετε ότι η g έχει μέγιστο στο οποίο και να βρείτε. Υπόδειξη α) Θέτουμε p pw τον θετικό πραγματικό αριθμό και τον αντικαθιστούμε w δεδομένες σχέσεις. Βρίσκουμε ρ = που είναι δεκτή και ρ = - /3 που απορρίπτεται. β) Αντικαθιστούμε σε μια από τις δεδομένες σχέσεις το w και βάζουμε w yi,, y. Μετά από πράξεις βρίσκουμε: i w i ή i w i που είναι δεκτές και οι δύο λύσεις. γ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g στο διάστημα [, ]. δ) Εφαρμόζουμε την τριγωνική ανισότητα και τον ορισμό του μεγίστου, προσέχουμε f t dt f t dt Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

4 Θέμα 6ο 4 f 4, 6 9 α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f β) Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f γ) Βρείτε το όριο lim f tdt 7 f t dt δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τον την ευθεία = 3. 4 Υπόδειξη α) Έχει μόνο οριζόντια ασύμπτωτη της y = όταν και την y = - όταν β) Αποδεικνύεται εύκολα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο π.ο της. Αν πάρουμε τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού (που το έχουμε έτοιμο από το προηγούμενο ερώτημα) βρίσκουμε σύνολο τιμών: f A, γ) Θέτουμε συνάρτηση g f tdt άρα αναζητούμε το όριο lim g g γίνεται 7 που g g 7 lim g g lim και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης τιμής για την συνάρτηση g στο διάστημα, 7 δ) Είναι f και η C f τέμνει τον άξονα στο =) άρα πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα, αποτέλεσμα 4 8 τ.μ. d που συζυγή παράσταση υπολογίζεται εύκολα και βρίσκουμε Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

5 Θέμα 7ο 5 διαφορετικοί του μηδενός 3 3 f, Να δείξετε ότι: α) Re β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο και να την υπολογίσετε γ) Υπάρχει, τέτοιο ώστε δ) Η f έχει ελάχιστο το f 3 5 Υπόδειξη α) Παίρνουμε τα μέτρα της δοσμένης σχέσης του μιγαδικού και αφού διώξουμε τους κοινούς εκθέτες υψώνουμε στο τετράγωνο και καταλήγουμε στην σχέση: β) Έχουμε,. f... με παράγωγο 3 γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g f στο διάστημα [-, ] δ) Από το ερώτημα (β) έχουμε για κάθε πραγματικό αριθμό, f f Θέμα 8ο f για κάθε, f Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει, τέτοιο ώστε, f f f β) Η f στο [, ] έχει μέγιστο το f() γ) f f f d Υπόδειξη α) Θεώρημα Bolano για την g f f f στο [, ] Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

6 6 β) Εφαρμόζουμε δύο φορές Θ.Μ.Τ στα διαστήματα,, και κάποια στιγμή από την μονοτονία της f καταλήγουμε ζητούμενο! f f f f,, όμως το άρα παίρνουμε το γ) Από την προηγούμενη ανισοτική σχέση έχουμε: f f f f,, ολοκληρώνουμε κατά μέλη από το έως το, σπάμε τα ολοκληρώματα και παίρνουμε το ζητούμενο. 6 Θέμα 9ο, f t dt, f για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) β) Η εξίσωση, f έχει μια ακριβώς λύση στο διάστημα γ) Για κάθε ισχύει t dt 4 Υπόδειξη α) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Fermat για την συνάρτηση g t dt g β) Παρατηρούμε ότι, f άρα η ισότητα f ισχύει το πολύ για ένα. Επίσης, limf αφού f, άρα το σύνολο τιμών είναι το, επομένως γ) Έχουμε, t u ut f t dt u du t dt dtdu 4 Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

7 Θέμα ο 7, w 5 lim 5 α) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 4. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού w ανήκουν σε έλλειψη, του οποίου οι εστίες είναι αντιδιαμετρικά σημεία στο κύκλο του ερωτήματος (α). γ) Λύστε την ανίσωση w w 6, όπου w yi,, y. 7 Υπόδειξη α) Αν 4 4 τότε το όριο γίνεται άτοπο αφού το όριο είναι 5, οπότε 4 4 β) Το όριο γίνεται, lim lim 4 3 4, 4, 4 4 w lim 5 w 5 5 w w w (που είναι άσκηση βιβλίου 9 /σελ. ) και η έλλειψη είναι y 5 3 γ) Η απόσταση w w είναι παράλληλη στον άξονα y y, αφού οι εικόνες w, w είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα, οπότε γίνεται μέγιστη όταν ταυτιστεί με το μήκος του μικρού άξονα ΒΒ, δηλαδή όταν w w =β δηλαδή w w =6, άρα = και y = 3. Γενικά, w w β. Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

8 Θέμα ο 8 8 i συνεχή συνάρτηση f: f () t dt 3 f παρουσιάζει στο σημείο τοπικό ακρότατο α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w i στο μιγαδικό επίπεδο γ) Βρείτε τους μιγαδικούς w που έχουν μέγιστο και ελάχιστο μέτρο. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. Θέμα ο f () ( ) e, η ευθεία y εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης της f στο σημείο M,f (), α) Να αποδείξετε ότι : α = β) Να μελετήσετε την μονοτονία και τα ακρότατα της f γ) Να υπολογίσετε τα όρια: ) lim f () και ) lim f () δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () 3 έχει ακριβώς μια ρίζα στο Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

9 Θέμα 3ο 9 3 με f () 6 8 g() με α) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης της f στο σημείο και στην συνέχεια να αποδείξετε ότι εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g. β) Να αποδείξετε ότι και οι δύο γραφικές παραστάσεις βρίσκονται πιο πάνω από την παραπάνω κοινή εφαπτομένη τους. γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και την παραπάνω εφαπτομένη. 9 Θέμα 4ο f,g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο f '() g'() και f '() για κάθε g() L lim f () α) Να υπολογίστε το όριο L β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() έχει το πολύ μια ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι: f () g() 4 για κάθε. Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

10 Θέμα 4ο f,g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο f '() g'() και f '() για κάθε g() L lim f () α) Να υπολογίστε το όριο L β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() έχει το πολύ μια ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι: f () g() 4 για κάθε. Θέμα 5ο F() f (t)dt f () 4 ( ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων και την παράγωγο της συνάρτησης F β) Να αποδείξετε ότι F( ) για κάθε, 6 γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, τον άξονα και τις ευθείες =, 3 είναι τετραγωνικές μονάδες. 6 δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα 3 d 4 Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

11 Θέμα 6ο f: f παραγωγισίμη στο η f έχει όριο στο f () f () e για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) lim f () β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της δ) Η f έχει δεύτερη παράγωγο και είναι κοίλη στο ε) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και e είναι 3 E τετραγωνικές μονάδες. Θέμα 7ο συνεχή συνάρτηση f: f ( ) 7 lim ) Να αποδείξετε ότι: α) f (3) 7 και β) f '(3) 5 ) Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M3,f (3) α) Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση y 5 8 β) Ένα σημείο Σ, που έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 3, κινείται σε ευθεία (ε). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι m/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΣ. Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

12 Θέμα 8ο. Να δώσετε τον ορισμό της σύνθεσης συνάρτησης f με την g, τον τύπο, τον συμβολισμό και το πεδίο ορισμού της σύνθεσης Απάντηση. Να δώσετε τον ορισμού σημείου καμπής της f στο Απάντηση 3. Αν iκαι i όπου α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί και τότε να δώσετε και να αποδείξετε τον τύπο της διαίρεσης δύο μιγαδικών αριθμών Απάντηση 4. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β] και f ()d, τότε f () για κάθε [, ]. Σωστό Λάθος 5. Αν lim f () τότε ισχύει ότι lim f ( e ) Σωστό Λάθος Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

13 Θέμα 9ο 3 () Ποιες είναι οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ ; Ποια ονομάζουμε κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ; 3 () Πότε το σημείο ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f (3) Έστω f μια ορισμένη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ. τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ. Θέμα ο. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f, όταν το παίρνει τιμές κοντά στο, συμπίπτουν πάντοτε.. Αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, τότε αυτό είναι μοναδικό. 3. Αν lim f () =,, τότε πάντοτε ισχύει lim f () =. Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3

14 4. Αν το lim 4 τιμές κοντά στο. f () είναι θετικός αριθμός, τότε η f παίρνει θετικές 4 5. Αν α lim f () = β, α lim g (f ()) = γ. lim g () = γ και f () β κοντά στο α, τότε β 6. Η εξίσωση α + β + γ =, α, β, γ, R έχει πάντοτε λύση στο C. 7. Ισχύει πάντα Re ( ) + Re ( ) = Re ( + ). 8. Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει - =. 9. Για κάθε, C ισχύει = +.. Η εξίσωση - = -, C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ).. Η εξίσωση - = - με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση.. Η εξίσωση - = ρ, ρ > παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ ( ) και ακτίνα ρ. Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 3