Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Transcript

1 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από τους λαμπτήρες να μην είναι ελαττωματικός. (β) Βρέστε την πιθανότητα ακριβώς ένας από τους λαμπτήρες να είναι ελαττωματικός. (γ) Βρέστε την πιθανότητα τουλάχιστον ένας από τους λαμπτήρες να είναι ελαττωματικός. (a) Υπάρχουν τρόποι να επιλέξει κανείς τρεις λαμπτήρες από ένα σύνολο δεκαπέντε λαμπτήρων. Υπάρχουν 15! 15! 12! C(15,3) (15 3)!3! 12!3! 12!23 10! 10! 7!8910 C(10,3) (10 3)!3! 7!3! 7!23 τρόποι να επιλέξει κανείς τρεις λαμπτήρες από το σύνολο των μη ελαττωματικών λαμπτήρων. Επομένως, η πιθανότητα κανείς από τους λαμπτήρες να μην είναι ελαττωματικός είναι 120/455=0,2637. (b) Πρέπει να επιλέξει κανείς 1 από τους 5 ελαττωματικούς λαμπτήρες και 2 από τους 10 μη ελαττωματικούς. Υπάρχουν 10!5! 10!5! 8!4! 9105 C(10,2)* C(5,1) (10 2)!2!(5 1)!1! 8!4!2! 8!4!2 τρόποι να γίνει αυτό. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 225/455=0,4945 (c) Έστω το γεγονός Α={κανείς δεν είναι ελαττωματικός} και Β={τουλάχιστον ένας είναι ελαττωματικός}. Τότε p(a)+p(b)=1. Όμως, από το ερώτημα (α) γνωρίζουμε ότι p(a)=0,2637. Άρα, p(b)=1-0,2637 = 0,7363. Άσκηση Φ8.2 Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια. Δεδομένου ότι οι αριθμοί που εμφανίζονται είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, να βρεθεί η πιθανότητα p των εξής ενδεχομένων: (α) Το άθροισμα των αριθμών είναι 6. (β) Στη ζαριά υπάρχει άσσος (γ) Το άθροισμα είναι μικρότερο ή ίσο του 4. (α) Α = «Οι δύο ρίψεις έχουν άθροισμα 6» Β = «Δεν έχουμε εμφάνιση ίδιου αποτελέσματος στις 2 ρίψεις» Ζητούμε την πιθανότητα p(a B) p(a B) = p(a B) / p(b) p(b) = P(6, 2)/(6*6) = 30/36 p(a B) = p({(1,5), (5,1), (2,4), (4, 2)} = 4/36 Άρα p(a B) = p(a B) / p(b) = 4/30 = 2/15.

2 (β) Γ = «Στη ζαριά υπάρχει άσσος» Β = «Δεν έχουμε εμφάνιση ίδιου αποτελέσματος στις 2 ρίψεις» Ζητούμε την πιθανότητα p(γ B) p(γ B) = p(γ B) / p(b) p(b) = P(6, 2)/(6*6) = 30/36 p(γ B) = (5+5)/(6*6) = 10/36 Άρα p(γ B) = p(γ B) / p(b) = 10/30 = 1/3. (γ) Δ = «Το άθροισμα είναι μικρότερο ή ίσο του 4» Β = «Δεν έχουμε εμφάνιση ίδιου αποτελέσματος στις 2 ρίψεις» Ζητούμε την πιθανότητα p(δ B) p(δ B) = p(δ B) / p(b) p(b) = P(6, 2)/(6*6) = 30/36 p(δ B) = p({(1,3), (3,1), (1,2), (2,1)} = 4/36 Άρα p(δ B) = p(δ B) / p(b) = 4/30 = 2/15. Άσκηση Φ8.3 Έστω ένας χώρος δειγματοληψίας Ω={0, 1, 2, 3} και έστω ότι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα από τα οποία αποτελείται είναι ισοπίθανα. (α) Ποια είναι η πιθανότητα των γεγονότων Α={1,2}, Β={2,3}, C={1,3}; (β) Είναι τα Α και Β ασυμβίβαστα; (γ) Είναι τα Α και Β ανεξάρτητα; (δ) Υπολογίστε την πιθανότητα p(α BC). (α) p(α) = ½, p(b)=1/2, p(c)= 1/2. (β) Όχι, εφόσον η τομή τους είναι διάφορη του κενού συνόλου. (γ) p(a)=1/2, p(b)=1/2 p(a B) = p({2})=1/4 =p(a)*p(b). Άρα είναι ανεξάρτητα. (δ) p(a BC) = p(a (BC)) / p(bc) = p({1,2} ({2,3}{1,3})) / p({2,3}{1,3}) = p({1,2} {1,2,3}) / p({1,2,3}) =p({1,2}) / p({1,2,3}) = (2/4) / (3/4) = 2/3. Άσκηση Φ8.4 Αποδείξτε ότι εάν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε τα ενδεχόμενα A και B είναι επίσης ανεξάρτητα. Πρέπει να δείξουμε ότι p(a B) =p(a ) p(b ). Έστω ότι p(a ) =x, και p(b )=y. Ανεξαρτησια των Α,Β de Morgan Συμπληρωματικα ενδεχομενα p( A B ) = p(a B) = 1-p(A B) = 1-p(A)-p(B)+p(A B) = 1-x-y+xy = 1-p(A)-p(B)+p(A)p(B) = -x(1-y)+(1-y)

3 Άσκηση Φ8.5 Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β, p(a B) + p(a B)=1. p(a B) p(a B) p(a B) + p(a B)= p( B) p( B) p(a B) p(a B) p((a B) (A B)) p( B) p( B) p((a A) B) p(ω B) p( B) 1 p( B) p( B) p( B) Άσκηση Φ8.6 Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα X και Υ, ισχύει ότι p(xy A)= p(x A)+ p(y A) όπου Α οποιοδήποτε ενδεχόμενο p(( Χ ) ) p(χ Α) = p( ) p((χ ) (Y )) = p( ) p(χ ) p(y ) p( X A) p( Y A) p( ) Άσκηση Φ8.7

4 Άσκηση Φ8.8 Ένα λεωφορείο ξεκινάει από την αφετηρία του με k φοιτητές και περνάει από n στάσεις. Οποιοσδήποτε φοιτητής μπορεί να αποβιβαστεί σε οποιαδήποτε στάση. (a) Δώστε μια κατάλληλη αναπαράσταση του δειγματικού χώρου του πειράματος «αποβίβαση φοιτητών». Ποιος είναι ο πληθικός αριθμός αυτού του χώρου; (b) Να υπολογιστεί η πιθανότητα τουλάχιστον σε μία στάση να αποβιβαστεί τουλάχιστον ένας φοιτητής. (a) Oποιoσδήποτε από τους k φοιτητές, μπορεί να κατέβει σε οποιαδήποτε από τις n στάσεις ή να μην κατέβει καθόλου, επομένως έχει (n+1) επιλογές. Επομένως, ο δειγματικός χώρος έχει πληθικό αριθμό Ω = (n+1) k (b) Έστω Α το ενδεχόμενο της ερώτησης. Το συμπληρωματικό του ενδεχόμενο είναι το ενδεχόμενο Β = Όλoι παραμένουν στο λεωφορείο και στις n στάσεις το οποίο έχει πιθανότητα 1/[(n+1) k 1 ] Άρα έχω P(A) = 1 (n+1) k

5 Άσκηση Φ8.9 Στο παρακάτω ηλεκτρικό κύκλωμα υπάρχουν τρεις διακόπτες, οι Δ1, Δ2 και Δ3. Καθένας από αυτούς είναι κλειστός με πιθανότητα 2/3. Το αν είναι ανοικτός/κλειστός κάποιος από τους διακόπτες δεν εξαρτάται από το κατά πόσον είναι ανοικτός κάποιος άλλος. Υπολογίστε την πιθανότητα να περνάει ηλεκτρικό ρεύμα από το σημείο Α στο σημείο Β. Υπόθεση: Όταν ο διακόπτης είναι κλειστός το ρεύμα περνάει. Έστω Δ1 το ενδεχόμενο «ο διακόπτης Δ1 είναι κλειστός» Έστω Δ2 το ενδεχόμενο «ο διακόπτης Δ2 είναι κλειστός» Έστω Δ3 το ενδεχόμενο «ο διακόπτης Δ3 είναι κλειστός» Μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την πιθανότητα p (Δ1 (Δ2 Δ3)) = p (Δ1) +p(δ2 Δ3) p(δ1 (Δ2 Δ3)) Δεδομένης της ανεξαρτησίας των διακοπτών ως προς το κατά πόσον είναι ανοιχτοί οι κλειστοί, η παραπάνω σχέση γίνεται p (Δ1 (Δ2 Δ3)) = p (Δ1) +p(δ2)p(δ3) p(δ1)p(δ2)p(δ3) = = Άσκηση Φ8.10 Το συρτάρι Α περιέχει 3 χρυσά και 3 ασημένια νομίσματα ενώ το συρτάρι Β περιέχει 3 χρυσά και 6 ασημένια νομίσματα. Ένας κλέφτης, ανοίγει ένα συρτάρι (στην τύχη και στα σκοτεινά) και αρπάζει (επίσης στην τύχη και στα σκοτεινά) 2 νομίσματα. (a) Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο χρυσά; (b) Αν διαπιστωθεί κατά την σύλληψή του ότι τα νομίσματα που έκλεψε ήταν και τα δύο χρυσά, ποια είναι η πιθανότητα να τα πήρε από το συρτάρι Α; (α) Έστω A το ενδεχόμενο «ο διαρρήκτης επιλέγει το συρτάρι Α» Έστω Β το ενδεχόμενο «ο διαρρήκτης επιλέγει το συρτάρι Β» Έστω X το ενδεχόμενο «ο διαρρήκτης επιλέγει δύο χρυσά νομίσματα» Μας δίνεται ότι p(a) = p(b) = ½. P(X A)=C(3,2)/C(6,2)=1/5=0.2 P(X B)=C(3,2)/C(9,2)=1/12=0,083

6 Από το νόμο της ολικής πιθανότητας έχουμε ότι p(x) = p(x A)p(A) + p(x B)p(B) = =1/5* 0,5 0,083 * 0,5 = = 0,142 (β) P(A X) = P(X A) * P(A) / P(X) = 0,1/0,142=0,7 Άσκηση Φ8.11 Μια δασκάλα δίνει στην τάξη της ένα σύνολο 10 προβλημάτων και πληροφορεί τους μαθητές της ότι η τελική εξέταση θα είναι μια τυχαία επιλογή 5 θεμάτων από αυτά. Ένας μαθητής γνωρίζει την λύση 7 προβλημάτων. Ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά τουλάχιστον σε 4 προβλήματα του τελικού; Οι δυνατοί συνδυασμοί προβλημάτων που θα επιλεγούν είναι ( 10 5 ) = 252 Ο μαθητής θα πρέπει να απαντήσει σωστά είτε σε 5 ακριβώς προβλήματα είτε σε 4 (και σε ένα λάθος) από τα 7 που έχει διαβάσει Οι δυνατοί συνδυασμοί είναι ( 7 5 ) + (7 4 ) (3 1 ) = 126 Η πιθανότητα να απαντήσει σωστά τουλάχιστον σε 4 προβλήματα είναι 126/252=0,5 Άσκηση Φ8.12 Το 20% κάποιου συνόλου φυτών αναπτύσσεται σε έδαφος πλούσιο σε θρεπτικά συστατικά, ενώ τα υπόλοιπα αναπτύσσονται σε έδαφος φτωχό σε θρεπτικά συστατικά. Για τα φυτά που αναπτύσσονται σε πλούσιο έδαφος, υπάρχει 30% πιθανότητα να μολυνθούν από κάποιο μύκητα, ενώ για τα φυτά σε φτωχό έδαφος υπάρχει 60% πιθανότητα να μολυνθούν από αυτό το μύκητα. a. Ποιο ποσοστό του πληθυσμού μολύνεται από το μύκητα; b. Δεδομένου ότι ένα φυτό είναι μολυσμένο από το μύκητα, ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται σε πλούσιο έδαφος; Έστω ΠΕ το ενδεχόμενο «το φυτό αναπτύσσεται σε πλούσιο έδαφος» και Μ: το ενδεχόμενο «το φυτό μολύνεται» a. Στα 100 φυτά, τα 20 αναπτύσσονται σε πλούσιο έδαφος. Εξ αυτών το 30% (δηλαδή τα 6) μολύνονται. Τα 80 αναπτύσσονται σε φτωχό έδαφος και εξ αυτών το 60% (δηλαδή τα 48) μολύνονται Συνολικά λοιπόν μολύνονται τα 6+48=54. Το ποσοστό είναι 54% b. Ψάχνουμε την δεσμευμένη πιθανότητα P(ΠΕ Μ) όπου ΠΕ: Το φυτό αναπτύσσεται σε πλούσιο έδαφος και Μ: Το φυτό είναι μολυσμένο.

7 Άσκηση Φ8.13 Από τον ορισμό: P(ΠΕ Μ)= P(ΠΕ Μ) = 0,06 = 11,11% P(Μ) 0,54 Ποιο από τα παρακάτω ενδεχόμενα είναι πιο πιθανό: (α) Να φέρουμε ακριβώς ένα έξι όταν ρίχνουμε 6 ζάρια ή (β) να φέρουμε ακριβώς δύο φορές το έξι όταν ρίχνουμε 12 ζάρια; α. Για κάθε ζάρι η πιθανότητα να φέρω 6 είναι 1/6 και η πιθανότητα να μην φέρω 6 είναι 5/6 Άρα για τα 6 ζάρια η πιθανότητα να φέρω ένα ακριβώς 6 είναι ( 6 1 ) = (5 6 )5 = ,4 β. Αντίστοιχα για τα 12 ζάρια η πιθανότητα είναι ( 12 2 ) ,3 Άσκηση Φ8.14 Η 1 η πιθανότητα είνα μεγαλύτερη!!! Είναι γνωστό ότι όλες οι σαρκοβόρες πεταλούδες έχουν κόκκινα φτερά και ότι το 10% όλων των πεταλούδων είναι σαρκοβόρες. Επίσης, το 10% από τις μη σαρκοβόρες πεταλούδες έχουν κόκκινα φτερά. Έστω ότι βρίσκουμε μια κόκκινη πεταλούδα. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι σαρκοβόρα; Έστω Σ το ενδεχόμενο: «η πεταλούδα είναι σαρκοβόρα», Ν το ενδεχόμενο «η πεταλούδα δεν είναι σαρκοβόρα» και Κ το ενδεχόμενο «η πεταλούδα έχει κόκκινα φτερά» Από τα δεδομένα: P(Σ)=0,1 P(Ν)=0,9 P(Κ Σ)=1 P(K N)=0,1 Ζητάμε την P(Σ Κ) Από το νόμο ολικής πιθανότητας: P(K)=P(Κ Σ)*P(Σ)+P(K N)*P(N)=1*0,1+0,9*0,1=0,19 Από το νόμο του Bayes P(Σ Κ)= P(K Σ) P(Σ) = 0,1/0,19=0,526 P(K)