β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι < α
|
|
- Αμφιτρίτη Θεοδοσίου
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1<x+9 και x+. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. 3. α) Να λύσετε την εξίσωση x + 1 x = β) Nα λύσετε την ανίσωση x +x+3 0. γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος α) Να λύσετε την ανίσωση x < 4. β) Να λύσετε την ανίσωση x γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή διαστήµατος. 5. α) Να λύσετε την εξίσωση x 4 =3 x 1. β) Να λύσετε την ανίσωση 3x 5 >1. γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6. α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 5. β) Να βρείτε τους αριθµούς x που απέχουν από το 5 απόσταση µικρότερη του 3. γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). 7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι < α <. 8. ίνονται οι ανισώσεις: x +5x 6<0 (1) και x 6 0 (). α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1), (). β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και () πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. 9. α) Να λύσετε την ανίσωση: x 10x+1<0. β) ίνεται η παράσταση Α= x 3 + x 10x+1 i) Για 3<x<7, να δείξετε ότι Α= x +11x 4. ii) Να βρείτε τις τιµές του x (3,7), για τις οποίες ισχύει Α= α) Να λύσετε την ανίσωση 3x 4x+1 0. β) Αν α, β δυο αριθµοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθµός 3 α+ 6 β είναι επίσης λύση της ανίσωσης. 9
2 11. α) Να λύσετε την ανίσωση x+4 3 β) Αν α 1, να γράψετε την παράσταση Α= α+4 3 χωρίς απόλυτες τιµές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. 1. α) Να λυθεί η εξίσωση x x =0 β) Να λυθεί η ανίσωση: x x >0 και να παραστήσετε το σύνολο λύσεών της στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. 4 γ) Να τοποθετήσετε το στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Είναι το 4 λύση της 3 3 ανίσωσης του ερωτήµατος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 13. α) Να αποδείξετε ότι x +4x+5>0, για κάθε πραγµατικό αριθµό x. β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιµές την παράσταση B= x +4x+5 x +4x ίνεται το τριώνυµο f(x)=3x +9x 1, x R. α) Να λύσετε την ανίσωση f(x) 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. β) Να ελέγξετε αν ο αριθµός 3 είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήµατος (α). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 15. ίνονται οι παραστάσεις: Κ=α +β +9 και Λ=α(3 β), όπου α, β R. α) Να δείξετε ότι Κ Λ=(α +αβ+β )+(α 6α+9) β) Να δείξετε ότι Κ Λ, για κάθε τιµή των α, β. γ) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ=Λ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 16. α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: i) x 3 5. ii) x 3 1. β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. 17. α) Να λύσετε την εξίσωση x x 6=0 (1) β) Να λύσετε την ανίσωση x 1 < () γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις (1) και (). 18. α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: i) 1 x <5 και ii) 1 x 1. β) Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. 19. ίνονται οι ανισώσεις: x <3 και x x 8 0. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ( 1,4]. γ) Αν οι αριθµοί ρ 1 και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός 1 ρ +ρ είναι κοινή τους λύση. 0. ίνονται οι ανισώσεις: x 3 και x 4x<0. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [,3]. γ) Αν οι αριθµοί ρ 1 και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων,
3 ρ 1+ρ να δείξετε ότι και ο αριθµός είναι κοινή τους λύση. 1. ίνονται οι ανισώσεις x+1 και x x >0. α) Να λύσετε τις ανισώσεις. β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [ 3, 1). γ) Αν οι αριθµοί ρ 1 και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι ρ 1 ρ (,).. α) Να λύσετε την ανίσωση x <x στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. β) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε 0<α<1. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 0, 1, α, α, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. 3. α) Να λύσετε την ανίσωση x >x στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. β) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε α>1. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 0, 1, α, α, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθµούς: α, α α+α,. 4. α) Να λύσετε την ανίσωση x 3 5. β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να ερµηνεύσετε το αποτέλεσµα, µε βάση τη γεωµετρική σηµασία της παράστασης x 3. γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθµούς x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5 δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθµών x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5 Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. 5. α) Θεωρούµε την εξίσωση x +x+3=α, µε παράµετρο α R. i) Να βρείτε για ποιες τιµές του α η εξίσωση x +x+3=α έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες. ii) Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε. β) ίνεται το τριώνυµο f(x)=x +x+3, x R. i) Να αποδείξετε ότι f(x), για κάθε x R. ii) Να λύσετε την ανίσωση f (x). 6. ίνεται το τριώνυµο λx (λ +1)x+λ, λ R {0} α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R {0}. β) Αν x 1, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S=x 1 +x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P=x 1 x των ριζών. γ) Αν λ>0 το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Αν 0<λ 1και x 1, x µε x 1 <x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, τότε να βρείτε το πρόσηµο του γινοµένου f(0) f(κ) f(µ), όπου κ, µ είναι αριθµοί τέτοιοι ώστε x 1 <κ<x <µ.
4 7. ίνεται το τριώνυµο x +βx+β, όπου β R. α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. β) i) Αν β 0 τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο του τριωνύµου; ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτηµα (i), όταν β=0; γ) Με τη βοήθεια της απάντησής στο ερώτηµα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα α +αβ+β >0 για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα ίνεται το τριώνυµο x x 8. α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x β) Αν κ= , η τιµή της παράστασης κ κ 8 είναι µηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθµός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Αν ισχύει 4<µ<4, τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο της τιµής της παράστασης µ µ 8; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 9. ίνεται το τριώνυµο f(x)=x 6x+λ 3, µε λ R. α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες. γ) Αν 3<λ<1, τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. ii) Αν x 1, x µε x 1 <x είναι οι δύο ρίζες του τριωνύµου και κ, µ είναι δύο αριθµοί µε κ<0 και x 1 <µ<x, να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου κ f(κ) µ f(µ). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 30. α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύµου x +9x+18. ii) Να λύσετε την εξίσωση x+3 + x +9x+18 =0. β) i) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου x +9x+18, για τις διάφορες τιµές του x. ii) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει x +9x+18 = x 9x Οι πλευρές x 1, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 1 4 λ+ x+16=0, λ (0,4). λ α) Να βρείτε: i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου. β) Να αποδείξετε ότι Π 16, για κάθε λ (0,4). γ) Για ποια τιµή του λ η περίµετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 16; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; 3. Οι πλευρές x 1, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x+λ( λ) = 0 µε λ (0,). α) Να βρείτε: i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου. ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. β) Να αποδείξετε ότι Ε 1, για κάθε λ (0,) γ) Για ποια τιµή του λ το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε 1; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
5 33. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5x 6< β) Να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού K= και να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. γ) Αν α ( 6,6), να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης Λ=α 5 α 6. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 34. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο ) µε κάθετες πλευρές που έχουν µήκη x, y τέτοια, ώστε x+y=10. α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από τον τύπο Ε(x)= 1 ( x +10x), x (0, 10). β) Να αποδείξετε ότι E(x) 5 για κάθε x (0,10). γ) Για ποια τιµή του x (0,10) το εµβαδόν E(x) γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε 5 ; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; 35. Στο επόµενο σχήµα το ΑΒΓ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ=3 και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σηµείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος. α) Να αποδείξετε ότι E=x 6x+9, x (0,3). β) Να αποδείξετε ότι E 9, για κάθε x (0,3). γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο µε 9 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 36. ίνεται η ανίσωση x+1 <4 (1). α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής x +βx+γ το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιµή, για κάθε x ίνεται η ανίσωση x 1 <3 (1). α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής x +βx+γ το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιµή, για κάθε x ίνεται το τριώνυµο f(x)= x +x+3. α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου f(x) για τις διάφορες τιµές του x. β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσηµο του γινοµένου f(,999) f( 1,00) γ) Αν 3<α<3, να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού α + α +3.
6 39. α) Να λύσετε την ανίσωση x +1 5 x (1). β) ίνονται δύο αριθµοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης (1) και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση (λ 1)(κ 1)<0. i) Να δείξετε ότι το 1 είναι µεταξύ των κ, λ. ii) Να δείξετε ότι κ λ ίνεται πραγµατικός αριθµός α, που ικανοποιεί τη σχέση α <1. α) Να γράψετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του α. β) Θεωρούµε στη συνέχεια το τριώνυµο x (α )x i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να προσδιορίσετε το πρόσηµό της. ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του x R, ισχύει x (α )x+ 1 4 > α) Να λύσετε την ανίσωση x +x 6<0. 1 β) Να λύσετε την ανίσωση x >1. γ) ίνεται το παρακάτω ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε πλευρές α και α+1, όπου ο αριθµός α ικανοποιεί τη 1 σχέση α >1. Αν για το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου ισχύει Ε<6, τότε: i) Να δείξετε ότι 3 <α<. ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών κυµαίνεται η περίµετρος του ορθογωνίου. 4. α) ίνεται το τριώνυµο x 3x+, x R. Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου. β) Θεωρούµε πραγµατικούς αριθµούς α, β διαφορετικούς από το 0 µε α<β για τους οποίους ισχύει (α 3α+)(β 3β+)<0. Να αποδείξετε ότι ισχύει (α 1)(β ) =(α 1)(β ). x 4x ίνεται η παράσταση K= x 3x. α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο x 3x. β) Για ποιες τιµές του x R ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K. 44. ίνεται πραγµατικός αριθµός x, για τον οποίο ισχύει d(x, )<1. Να δείξετε ότι: α) 3<x< 1. β) x +4x+3< ίνεται η εξίσωση (8 λ)x (λ )x+1=0, µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε την τιµή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1ου βαθµού. β) Αν η εξίσωση είναι ου βαθµού, να βρείτε τις τιµές του λ ώστε αυτή να έχει µια διπλή ρίζα. Για τις τιµές του λ που βρήκατε, να προσδιορίσετε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. γ) Για τις τιµές του λ που βρήκατε στο ερώτηµα (β), να δείξετε ότι το τριώνυµο (8 λ)x (λ )x+1είναι µη αρνητικό, για κάθε πραγµατικό αριθµό x.
7 46. ίνεται το τριώνυµο: x (α+1)x+4+α, α R. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι =(α 1) 16. β) Να βρείτε για ποιες τιµές του α το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. γ) Αν το τριώνυµο έχει ρίζες x 1, x, τότε: i) Να εκφράσετε το άθροισµα S=x 1 +x συναρτήσει του α και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P=x 1 x των ριζών του. ii) Να αποδείξετε ότι: d(x 1,1) d(x,1) = 4 (x 1)(x 4) 47. ίνεται συνάρτηση g(x)=, η οποία έχει πεδίο ορισµού το R {,1}. x + kx+λ α) Να βρείτε τις τιµές των k και λ. β) Για k=1 και λ=, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g. ii) να δείξετε ότι: g(α+3)>g(α), όταν α ( 1,1) (1,). (x 1)(x 4) 48. ίνεται συνάρτηση g(x)=, η οποία έχει πεδίο ορισµού το R {,1}. x + kx+λ α) Να βρείτε τις τιµές των k και λ. β) Για k=1 και λ=, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g. ii) να δείξετε ότι: g(α) g(β)>0, όταν α, β ( 1,1) (1,). 49. ίνεται το τριώνυµο λx (λ +1)x+λ, λ R {0} α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R {0}. β) Για ποιες τιµές του λ το παραπάνω τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε λx (λ +1)x+λ 0, για κάθε x R. 50. ίνεται η εξίσωση x λx+4λ+5=0, µε παράµετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι αν λ=5 η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει και άλλη τιµή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. γ) Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες. δ) Αν λ 4λ 5 = 4λ λ +5, λ R { 1, 5} να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες. 51. ίνεται το τριώνυµο: f(x)=λx (λ +1)x+λ, λ R {0} α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R {0} β) Αν x 1, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S=x 1 +x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P=x 1 x των ριζών. γ) Αν λ>0 το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Αν 0<λ 1 και x 1, x, µε x 1 <x, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, τότε να βρείτε το πρόσηµο του γινοµένου f(0) f(κ) f(µ), όπου κ, µ είναι αριθµοί τέτοιοι ώστε x 1 <κ<x <µ.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση
β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).
1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 4.1 Ασκήσεις: 1-12 Θεωρία ως και την 4.2 Ασκήσεις: 13-25 Άσκηση 1 α) Να λύσετε την ανίσωση
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η
3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα
Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0.
1 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω
ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5)
Δίνεται η εξίσωση (8-λ)x 2-2(λ-2)x+1=0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε
ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 4
7.0 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και x αντίστοιχα, με - < x < 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.
ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)
α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος.
α) Να λύσετε την εξίσωση: x+ 1 x+ 1+ 4 = 3 5 2 3 (Μονάδες 9) β) Nα λύσετε την ανίσωση: - x 2 +2x +3 0 (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών
(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,
Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:
Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση f ( x) 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην
ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0.
ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση f x x x, x α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της ευθεία ψ x 3. (Μονάδες 0) γ) Έστω
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ
B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)
Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)
Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί
wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-
3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΘΕΜΑ 2 (996) A = x 1 + y 3, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους. Δίνεται η παράσταση:
ΘΕΜΑ 2 (996) Δίνεται η παράσταση: A = x 1 + y 3, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3. Να αποδείξετε ότι: α) A = x y +2. (Μονάδες 12) β) 0 < A < 4. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 4. για να κάψει 360 θερμίδες είναι: f( x)
Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες. α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα
.497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R. Μονάδες 8 γ) Αν x
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ ΕΤΟΣ 06-7 Εξισώσεις Β βαθμού Α Λυκείου Τριών Ιεραρχών την Δευτέρα κι ευκαιρία να τους τιμήσουμε λύνοντας μερικές ασκησούλες άλγεβρας Αρχίστε από τις,,3,4,5,6,8,3,4,5,6,7,8,9,0,
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
1 Παρατηρήσεις Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: Απόλυτες τιμές:.504(δεν χρειάζεται το α
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...
Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς
Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε
ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Το 4 ο Θέμα Επιμέλεια: Γιάνναρος Β. Μιχάλης-Μαθηματικός Άσκηση 1 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τράπεζα Θεμάτων (Θέμα 4ο) Κεφ. 1 ο Πιθανότητες
Κεφ. 1 ο Πιθανότητες 1 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ 1. (1868) Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά
4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114
1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών
Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου
Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να
-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
. GI_A_ALG 474 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θεωρούμε την ακολουθία α των θετικών περιττών αριθμών:,3,5,7,... ν --. Να αιτιολογήσετε
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ Απόλυτες τιμές Α Λυκείου. 1. α) Αν, να αποδειχθεί ότι: Μονάδες 15
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 016-17 Απόλυτες τιμές Α Λυκείου 1. α) Αν, να αποδειχθεί ότι: Μονάδες 15 β) Αν α
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
f (x) = x2 5x + 6 x 3 S 2 P 2 0
Η ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Β 1. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,... (αʹ) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 3 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά.
( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Τράπεζα Θεμάτων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Σταύρος Κόλλιας
Τράπεζα Θεμάτων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Σταύρος Κόλλιας Έκδοση. Θέμα 7958: Το τελευταίο κλάσμα (στην ανισότητα) από 3 έγινε 3. ΘΕΜΑ - 474 Κόλλιας Σταύρος - Κόρινθος Θεωρούμε την ακολουθία ( α ν ) των
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών
= και g ( x) = x +, x R. Δίνονται η συνάρτηση ( ) α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C
ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση ( ) ΘΕΜΑ 4 f x = x + x +, x R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της Cfπου
Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά
Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 2 5x+3. x 2. β) ίνεται η συνάρτηση f(x)=
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο x 5x+6 x β) ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 5x+ 6 i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης ii) Να δείξετε ότι για κάθε x A ισχύει f(x)=
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν
με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y
. Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.