Metoda konačnih volumena za probleme difuzije
|
|
- Ήρα Αλεξόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metoda konačnih volumena za probleme difuzije Uspostavljamo numeričku metodu baziranu na integraciji, tzv. metoda konačnih volumena (eng: finite volume) ili kontrolnih volumena (eng: control volume). Prvotno analiziramo najjednostavniji slučaj pronosa: stacionarana čista difuzija. Jednadžba procesa za stacionarnu difuziju može se jednostavno izvesti iz opće jednadžbe pronosa za karakteristiku φ kroz zanemarenje tranzijentnog i konvektivnog člana. Time se dobiva: div( Γ grad φ) + S = φ Integracija po kontrolnom volumenu, koja je ključni korak u uspostavi metode konačnih volumena, (za razliku od ostalih CFD tehnika) poprima slijedeću formu : GGO transformacija Uvodimo odgovarajuće tehnike u svrhu iznalaženja tzv. diskertizacijskih izraza za jednadžbu jednodimenzionalne stacionarne difuzije. () φ CV CV A CV div( Γ grad φ) dv + S dv = n ( Γ grad φ) da + S dv = φ
2 Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Promatramo stacionarnu difuziju karakteristike φ u jednodimenzionoj domeni. Primjer: jednodimenzionalno vođenje topline u štapu. Jednadžba procesa glasi: d dφ Γ + S = dx dx Γ- koeficijent difuzije; S član izvora ; Rubne vrijednosti za φ u točkama A i B (pretpostavljamo da je to poznato). Prvo dijelimo prostornu domenu u niz diskretnih konačnih volumena. Rubovi (granice ili lica) kontrolnih volumena su pozicionirane na sredinu između dva susjedna čvora. Svaki čvor je okružen sa kontrolnim volumenom (ćelijom).
3 Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Uobičajena konvencija za sustav notacije u FV ima formu: Opći čvor (točka) je identificirana sa P a njegovi susjedi u 1D geometriji, čvorovi na zapadnu i istočnu stranu, su identificirani sa oznakama W i E. Rub na zapadnoj strani kontrolnog volumena je označeno saw a na istočnoj strani sae. Udaljenosti između čvorovaw ip, te izmeđup ie, su označene sa WP i PE. Udaljenosti između rubova w i točkep te između točke P i rubae su označena sa wp i Pe. Širina kontrolnog volumena jeδx= we.
4 Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Ključni korak u metodi konačnih volumena je integracija jednadžbe procesa po kontrolnom volumenu u svrhu dobivanja diskretizacijskih jednadžbi za čvornu točku P. V d dφ dφ dφ Γ dv + SdV = ΓA Γ + S V = dx dx dx dx V e w (1) A Površina presjeka lica kontrolnog volumena; ΔV - volumen ; - Srednja vrijednost intenziteta izvora S po kontrolnom volumenu Kako bi se izvela korisna forma diskretizacijske jednadžbe potrebno je definirati koeficijent difuzije Γ te gradient dφ/dx na rubovima e i w. Vrijednosti φ i Γ su definirane i evaluirane u čvorovima. Za proračun gradijenata (protoka) na rubovima kontrolnog volumena koristi se odgovarajuća aproksimativna raspodjela karakteristike (linearna najjednostavnija) između čvornih vrijednosti. Primjena takve prakse naziva se metoda centralnih diferencija.
5 Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju U proračunskoj mreži sa jednolikom raspodjelom čvorova vrijednosti linearne raspodjele za Γw i Γe je dana izrazima: Γ + Γ Γ = W P w 2 (2a) Član difuzivnog protoka je evaluiran jednakostima: dφ φ φ E P Γ A = ΓeAe dx e xpe (3) Γ P + Γ Γ e = 2 (2b) d A φ A φ φ Γ = Γ P W w w dx w xwp U praktičnim situacijama situations član izvora S može biti i funkcija ovisne varijable. U takvim slučajevima metoda konačnih volumena aproksimira član izvora sa linearnom formom: Supstitucijom jednadžbi 3,4,5 u jednadžbu 1 dobiva se 6, a daljnjom manipulacijom i jednadžba 7: E S V = S + S φ u p P (4) φe φ P φp φ W ΓeAe Γ waw + Su + SpφP = xpe xwp Γe Γ w Γ w Γ e A + A S φ = A φ + A φ + S xpe xwp xwp xpe e w p P w W e E u (5) (6) (7)
6 Metoda konačnih volumena (FV) za 1D stacionarnu difuziju Primjenom simbolnih oznaka aw, ae i ap za koeficijente uz φw,φe i φp u jednadžbi 7 može se pisati : a φ = a φ + a φ + S p P w w E E u (8) Vrijednosti za Su isp mogu se dobiti iz modela izvora 5. Jednadžbe 8 i 5 predstavljaju diskretiziranu formu jednadžbe. Diskretizacijska jednadžba tipa 8 mora se postaviti za svaki čvor kako bi se moglo dobiti rješenje. Za kontrolni volumen neposredno uz granicu domene, generalna diskretitacijska jednadžba 8 je modificirana s ciljem uvlačenja (inkorporiranja) rubnog uvjeta. Rezultirajući sustav linearnih algebarskih jednadžbi je potrebno rješiti za iznalaženje raspodjele karakteristike φ u čvornim točkama. Bilo koja prigodna tehnika rješavanja matričnog sustava se može koristiti za tu zadaću. Γ aw w WP A w ap Γ e PE A e ae aw + ae SP
7 PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Rješenje jednostavnog problema difuzije uključujući pronos topline kondukcijom (vođenjem) daje se u nastavku. Jednadžba procesa kojom se opisuje 1D stacionarno vođenje glasi: d dt k + S = dx dx Termalna vodljivostk zauzima mjesti od Γ u jednadžbi a ovisna varijabla je temperatura T. Član izvora može biti toplina generirana električnom energijom koja prolazi kroz štap. Prvo analiziramo slučaj vođenja topline u izoliranom štapu bez člana izvora (eng: source-free). Na rubovima su konstantne temperature od 1 C i 5 C. 1D problem skiciran na slici je opisan jednadžbom: (9) d dt k = dx dx (1) Potrebno je proračunati raspodjelu temperature u štapu. Termalna vodljivost k iznosi1 W/m.K, a konstantna površina poprečnog presjeka A definirana je sa vrijednosti 1 2 m 2.
8 PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Ukupnu duljinu štapa dijelimo na pet jednakih kontrolnih volumena ( =.1 m). Proračunska mreža sadrži pet čvorova. Čvorovi 2, 3 i 4 imaju susjedne čvorove sa lijeve i desne strane uvrijednosti temperature su definirane za values to the east and west are available as nodal values. Shodno tome, diskretizacijske jednadžbe oblika 7 mogu se zapisati za kontrolni volumen omeđen sa tim čvorovima: k k k k A + A T = A T + A T x x x x e w w e e w P w W e E PE WP WP PE Termalna vodljivost (ke= kw= k), udaljenost među čvorovima () i poprečni presjeci (Ae= Aw= A) su konstantni. Prema tome, jednadžba za čvorne točke 2, 3 i 4 je: aptp = awtw + aete aw k A ae k A ap a + a W E
9 PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Čvorovi 1 ni 5 su rubni čvorovi. Integracija jednadžbe 1 po kontrolnom volumenu oko čvora 1 daje jednadžbu 11. Protok kroz rub kontrolnog volumena A aproksimiran je usvajanjem pretpostavke linearnih odnosa između temperature u rubnoj točki A i čvoru P. Jednadžba 11 može se preformulirati da se dobije izraz 12. TE TP TP TA ka ka = x x /2 2 2 (11) k k, k A A T k + P = Tw + A TE + A TA (12) Usporedimo jednadžbe 7 s jednadžbom 12. Rubni uvjet izražen je sa konstantnom temperaturom i unosi se u proračun kao član izvora (Su + SPTP) sa Su=(2kA/)TA i SP= 2kA/. Poveznica sa zapadnim rubom je ukinuta postavljanjem koeficijenta aw jednakim nuli. Kako bi se dobila diskretizacijska jednadžba za rubni čvor 1 koristi se jednadžba 12. Nakon njenog preuređenja dobiva se slijedeća forma: aptp = awtw + aete + Su x x x x aw a E ka ap aw + ae SP SP 2kA S U 2kA TA
10 PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Kontrolni volumen oko čvora pet tretira se na sličan način. Njegova diskretizacijska jednadžba ima oblik: TB TP TP Tw ka ka = x/2 x Kao i u prethodnom slučaju, pretpostavlja se linearna raspodjela temperature između čvora P i rubne točke B za aproksimaciju protoka topline kroz rub kontrolnog volumena. Jednadžba 13 može se preurediti: k 2 k k 2 A A T A T, T k + = + + A T x x x x Diskretizacijska jednadžba za čvor 5 je: aptp = awtw + aete + Su P w E B aw ka (13) Proces diskretizacije rezultira jednom jednadžbom za svaki čvor od 1 do 5. Unosom zadanih vrijednosti dobiva seka/ = 1, te su stvoreni preduvjeti za iznalaženja koeficijenata u diskretizacijskim jednadžbama. ae ap aw + ae SP SP 2kA SU 2kA TB
11 PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Rezultantni sustav algebarskih jednadžbi za ovaj primjer glasi: 3 T1= 1T2+ 2TA 2 T2= 1T1+ 1T3 2 T3= 1T2+ 1T4 2 T4= 1T3+ 1T5 3 T5= 1T4+ 2TB Čvor aw Ovaj set jednadžbi može se preurediti kako bi se dobio sustav 14. Rješenje sustava jednadžbi 14 daje stacionarnu raspodjelu temperatura za analiziranu situaciju. Rezultantna matrična jednadžba može se riješiti upotrebom softwere-skih paketa poput MATLAB. ZaTA= 1 itb= 5 rješenje sustava 14 daje rezultantni vektor 15: ae SU 2T A 2T B SP ap = aw + ae SP T1 2TA T T3 = T4 1 3 T 5 2TB T1 14 T 2 22 (14) T3 = 3 (15) T4 38 T 5 45
12 PRIMJER 1 1D stacionarna difuzija Točno rješenje je linearna distribucija između specificiranih temperatura na rubovima: T = 8x + 1. Numeričkim modelom proračunate vrijednosti koincidiraju sa točnim (analitičkim) rješenjem.
13 PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Analiziramo problem u kojem je uključen izvor drugačiji od onog koji je primijenjen za definiranje rubnih uvjeta u prethodnom primjeru. Slika prikazuje veliku ploču debljine L = 2cm s konstantnom toplinskom vodljivosti k =.5 W/m.K i jednolikog generiranja toplineq = 1kW/m 3. Rubovi (lica)a ib izloženi su konstantnim temperaurama od 1 C i 2 C. d dt Dimenzije u y i z smjeru su toliko velike k + q = dx dx da je temperaturni gradijent uxsmjeru jedini relevantan. Jednadžba procesa (16) izražena je izrazom 16. Domena je podijeljena u pet kontrolnih volumena sa =.4 m; Promatra se jedinična površina u y z ravnini.
14 PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Formalna integracija jednadžbe procesa po kontrolnom volumenu daje: V d dt k dv + qdv = dx dx V Tretman prvog člana gornje jednadžbe istovjetan je kao i u prethodnom primjeru. Drugi integral je član izvora, a procijenjuje se proračunom srednjeg generiranja ( S V = q V ) u svakom kontrolnom volumenu. Jednadžba 17 može se zapisati: dt dt ka ka + q V = dx e dx w Gornje jednadžbe mogu se preurediti na način: kea kwa kwa kea + TP = Tw + TE + qa x x x x x (17) E P P W (18) kea kwa qa x (19) (2) Ta jednadžba u općem slučaju poprima oblik iskazan izrazom 8: aptp = awtw + aete + Su (21) T T T T + = /2 x x a W ka a E ka a P S P SU aw + ae SP qa
15 PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Jednadžba 21 je važeća za kontrolne volumene koji pokrivaju čvorove 2, 3 i 4. Za implementaciju Trubnih uvjeta na poziciji rubnih čvorova 1 i 5 primjenjujemo linearnu aproksimaciju za temperature između rubnih točaka i susjednih čvorova (rubnih čvorov). U čvoru 1 temperatura na zapadnoj granici je pozata. Integracija jednadžbe 16 po kontrolnom volumenu oko čvora 1 daje 22 a linearna aproksimacija za temperature između A i P daje 23: dt dt ka ka + q V = dx e dx w T T T T A /2 x x (22) E P P A k A k A + qa x = (23) e Gornja jednadžba može se preurediti koristeći uvjetke= ka= k u cilju dobivanja diskretizacijske jednadžbe za rubni čvor 1: aptp = awtw + aete + Su (24) aw ae ka ap aw + ae SP SP 2kA SU 2kA qaδ x + T A
16 PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Za rubni čvor 5, temperatura na istočnom rubu kontrolnog volumena je poznata. Čvor je tretiran na sličan način kao i rubni čvor 1. Za rubni čvor 5 imamo: dt dt ka ka + q V = dx e dx w aw ka ae B P P w (25) kba kwa + qa x = (26) ap aw + ae SP Uvrštavanjem numeričkih vrijednosti za A = 1,k =.5 W/m.K, q = 1kW/m 3 i =.4 m dobivaju se koeficijenti diskretizacijskih jednadžbi (vidi tablicu). Čvor aw ae SU 4+25T A T B T T T T x /2 x SP 2kA SU 2kA qaδ x + T SP P W E P B a = a + a S
17 PRIMJER 2 1D stacionarna difuzija Jednadžbe pisane u matričnoj formi 27 daju vektorsko rješenje T T T3 = T T 5 54 T1 15 T 218 T3 = 254 T4 258 T (27) (28) Analitičko rješenje dobiva se dvostrukom integracijom jednadžbe 16 po x uz zadane rubne uvjete. Time se dobiva izraz : T TB TA q = + ( L x) + 2 x T L k A Usporedba numeričkih i analitičkih rezultata dana je na slici.
18 Metoda konačnih volumena (FV) za 3D stacionarnu difuziju Stacionarni slučaj difuzije u 3D je definiran jednadžbom: φ φ φ Γ + Γ + Γ + Sφ = x x y y z z (29) 3D proračunska mreža je korištena za diskretizaciju prostorne domene. Tipični kontrolni volumen je prikazan na slici. Pripadna ćelija za P sada ima šest susjednih čvorova identificiranih kao W (zapad), E (istok), S (jug), N (sjever), B (dno) i T (vrh). Kao i prije, notacijaw, e, s, n, b tet je korištena za odgovarajuće rubove (lica) ćelija. Integracija jednadžbe 29 po 3D kontrolnom volumenu daje izraz 3: φ φ φ φ ΓeAe Γ waw nan sas x e x + Γ w y Γ y + n s φ φ + ΓtAt Γ bab + S V = z t z b
19 Metoda konačnih volumena (FV) za 3D stacionarnu difuziju Ponavljajući proceduru izvedenu za 1D slučaj dobiven je diskretizirani oblik jednadžbe 3 u slijedećoj formi: ( φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ ) E P P w N P P S ΓeAe Γ waw + ΓnAn Γ SAS + xpe x WP ypn y SP Izraz 31 može se srediti da daje diskretizacijsku jednadžbu za unutrašnje čvorove: aw Γ A ( φ φ ) ( φ φ ) T P P B + ΓtAt Γ bab + Su + SP P = zpt z BP w w WP ae Γ A e e PE as Γ A δy s S SP an Γ A δy n n PN ( φ ) a φ = a φ + a φ + a φ + a φ + a φ + a φ + S P P W W E E S S N N B B T T u ab Γ A δz b b BP (31) Rubni uvjeti se mogu uvući prekidanjem veza sa odgovarajućim rubovima (licima) te modifikacijom člana izvora na već prethodno prikazan način. at Γ A δz t t PT ap aw + ae + as + an + ab + at SP
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραNumeričke metode u hidrodinamici (CFD)
Numeričke metode u hidrodinamici (CFD) -Prostorna diskretizacija -Rubni i početni uvjeti -Numeričke metode (FD, FC, FE) -Vremenska diskterizacija -Rješavanje sustava jednadžbi procesa Computational fluid
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραUvod. - linearne jednadžbe. - nelinearne jednadžbe
Uvod - linearne jednadžbe - direktne metode - Gaussova eliminacija - Gauss-Jordanova metoda - iterativne metode - Gauss-Seidlova metoda - Jacobijeva metoda - nelinearne jednadžbe - iterativne metode -
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTOPOLOŠKOM OPTIMIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA
PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET U SPLITU DIPLOMSKI RAD PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIMIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA Mentor: Dr. sc. Željan Lozina Student: Krešimir Ivišić Split, srpanj
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα6. Vježbe. Rubni uvjeti : (1) (2)
6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II / 6. Vježbe 7. Za rješavanje problema optjecanja složenih geometrija upotrebljavaju se numeričke metode. Za slučaj potencijalnog optjecanja najčešće se koristi metoda panela.
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα1. Uvod. 2. Procesne jadnadžbe. 3. Metoda Runge-Kutta 4. Reda
. Uvod Cilj ove vježbe je uspostava numeričkog modela dinamike ekosustava prezentiranog sa dva člana. Prvi član predstavlja plijen-fitoplankton (prva proesna varijabla A ) a drugi član predstavlja predator-zooplankton
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότερα2. Prostorna domena problema i provedeni pokusi
1. Uvod Cilj ove vježbe je uspostava trodimenzionalnog numeričkog modela strujanja za pravokutne bazene s duljinom 5000m, širinama 500m i 5000m te s dubinama 10m i 20m. Strujanje je inducirano homogenim
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραUvod Kako naći ortogonalne trajektorije. 1 Polje smjerova. 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda. 3 Ortogonalne trajektorije
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 1 / 34 Sadržaj: Sadržaj 1 Polje smjerova 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda 3 Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραLINEARNI PROSTORI
7 4 Pokažite da je matrica cos α e iβ sin α e iβ sin α cos α unitarna za sve α, β R Ispitajte ima li linearni sistem samo trivijalno rješenje 3 5 3 4 x x x 3 = 3 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea
Διαβάστε περισσότεραPRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα