Σπζηήκαηα αξίζκεζεο. Γεθαδηθό ζύζηεκα Βάζε: 10, Χεθία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Γπαδηθό ζύζηεκα Βάζε: 2, Χεθία: 0, 1

Transcript

1 Σπζηήκαηα αξίζκεζεο Υπάξρνπλ δηάθνξα ζπζηήκαηα αξίζκεζεο. Όια ηα ζπζηήκαηα έρνπλ κηα βάζε. Τα πην θνηλά ζπζηήκαηα είλαη ην δεθαδηθό θαη απηά πνπ έρνπλ σο βάζε δπλάκεηο ηνπ δύν. Γηα θάζε ζύζηεκα ππάξρνπλ αξηζκεηηθέο πξάμεηο (π.ρ. πξόζζεζε, αθαίξεζε, πνιιαπιαζηαζκόο, δηαίξεζε). Μπνξεί λα γίλεη κεηαηξνπή από έλα ζύζηεκα ζην άιιν (αιιαγή βάζεο).

2 Σπζηήκαηα αξίζκεζεο Γεθαδηθό ζύζηεκα Βάζε: 10, Χεθία: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Γπαδηθό ζύζηεκα Βάζε:, Χεθία: 0, 1 Οθηαδηθό ζύζηεκα Βάζε: 8, Χεθία: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7 Γεθαεμαδηθό ζύζηεκα Βάζε: 16, Χεθία: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

3 Γεθαδηθό ζύζηεκα Βάζε: 10 Φξεζηκνπνηεί 10 ςεθία: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηηκήο ελόο αξηζκνύ, πνιιαπιαζηάδνπκε ην θάζε ςεθίν κε ηνλ αξηζκό πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζέζε πνπ βξίζθεηαη ην θάζε ςεθίν. Παξάδεηγκα: (35,36) 10 = 3x x10 + 5x x x x10 -

4 Γπαδηθό ζύζηεκα Βάζε: Φξεζηκνπνηεί δύν ςεθία: 0, 1 Παξαδείγκαηα: (1001,1) = 1x 3 + 0x + 0x 1 + 1x 0 + 1x -1 = = (9.5) 10 (110101,01) = 1x 5 + 1x 4 + 0x 3 + 1x + 0x 1 + 1x 0 + 0x x - = = (53.5) 10

5 Λόγνη ρξήζεο δπαδηθνύ ζπζηήκαηνο Υπάξρνπλ κόλν δύν επίπεδα (0 θαη 1). -- Μπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ ειεθηξνληθά θπθιώκαηα γηα λα αλαπαξαζηαζνύλ. Τα ειεθηξνληθά θπθιώκαηα κπνξνύλ λα είλαη ζε κηα από δύν θαηαζηάζεηο: Αλνηθηό ή θιεηζηό (open or closed) Αιεζέο ή ςεπδέο (true or false) HIGH or LOW -- Δίλαη πην εύθνιε ε απνζήθεπζε θαη επεμεξγαζία δεδνκέλσλ ζε ςεθηαθή κνξθή.

6 Αληηζηνηρία επηπέδσλ Οη δύν δπαδηθέο ηηκέο ελόο ςεθηαθνύ ζήκαηνο αλαπαξίζηαληαη από δηαζηήκαηα ηηκώλ ηάζεσο. HIGH (1) : Αλ ε ηάζε είλαη κεγαιύηεξε από έλα επίπεδν LOW (0) : Αλ ε ηάζε είλαη κηθξόηεξε από έλα επίπεδν Σηα ςεθηαθά θπθιώκαηα, ην HIGH αληηπξνζσπεύεηαη από ηάζε +5 V, ελώ ην LOW από ηάζε 0 V. Δπεηδή όκσο ζηα πξαγκαηηθά θπθιώκαηα δελ κπνξείο πνηέ λα είζαη απόιπηνο ζηηο ηηκέο ηάζεσο (π.ρ. ιόγσ πηώζεο ηάζεσο ζην θύθισκα), ρξεζηκνπνηνύληαη ηα αθόινπζα δηαζηήκαηα ηηκώλ ηάζεσο: Γηα θπθιώκαηα CMOS: LOW: V HIGH: V Γηα θπθιώκαηα TTL: LOW: V HIGH: + +5 V

7 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δπαδηθό ζην δεθαδηθό ζύζηεκα Παξάδεηγκα 1: ( ,01) (11.5) Παξάδεηγκα : ( ) (6764) 10

8 Γπλάκεηο ηνπ δύν n n n n n n

9 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δεθαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα Μέζνδνο 1 Γηαδηθαζία (α) Γηαίξεζε ηνπ δεθαδηθνύ αξηζκνύ κε ην δύν. (β) Καηαγξαθή ηνπ πειίθνπ ηεο δηαίξεζεο θαη ηνπ ππόινηπνπ. (γ) Γηαίξεζε ηνπ πειίθνπ κε ην δύν. (δ) Δπαλάιεςε ησλ (β) θαη (γ) έσο όηνπ ην πειίθν είλαη 0. (ε) Σρεκαηηζκόο ηνπ δπαδηθνύ αξηζκνύ θαηαγξάθνληαο ηα ππόινηπα από ην ηέινο πξνο ηελ αξρή. Παξάδεηγκα ( 74) 10 (?) και σπόλοιπο και σπόλοιπο και σπόλοιπο και σπόλοιπο 1 4 και σπόλοιπο 0 1 και σπόλοιπο και σπόλοιπο 1 ( 74) MSB LSB ( )

10 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δεθαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα Μέζνδνο 1 Παξάδεηγκα ( 354) 10 (?) και και και και και και και και και και και και σπόλοιπο σπόλοιπο 1 σπόλοιπο 1 σπόλοιπο σπόλοιπο 1 σπόλοιπο 1 σπόλοιπο σπόλοιπο 1 σπόλοιπο σπόλοιπο σπόλοιπο 1 0 σπόλοιπο 1 ( 354) ( )

11 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δεθαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα Μέζνδνο 1 Όηαλ ν αξηζκόο είλαη κηθξόηεξνο από 1: (α) Πνιιαπιαζηαζκόο ηνπ αξηζκνύ κε ην δύν. (β) Καηαγξαθή ηνπ αθέξαηνπ αξηζκνύ (0 ή 1) (γ) Πνιιαπιαζηαζκόο ηνπ θιαζκαηηθνύ αξηζκνύ κε ην δύν. (δ) Δπαλάιεςε ησλ (β) θαη (γ) έσο όηνπ ην γηλόκελν είλαη 1. (ε) Σρεκαηηζκόο ηνπ δπαδηθνύ αξηζκνύ θαηαγξάθνληαο ηνπο αθεξαίνπο αξηζκνύο ζε θάζε ζηάδην από ηελ αξρή πξνο ην ηέινο. Παξάδεηγκα ( 0.15) 10 (?) MSB ακέραιος ακέραιος : 0 : 0 ( 0.15) ( ) ακέραιος : 1 LSB Αλ έρνπκε έλα αξηζκό κε αθέξαην θαη θιαζκαηηθό κέξνο, ηόηε θάλνπκε ηελ κεηαηξνπή ηνπ αξηζκνύ μερσξηζηά ζηα δύν κέξε.

12 (353.45) 10 (?) Αθέξαην κέξνο και σπόλοιπο και σπόλοιπο και σπόλοιπο 0 44 και σπόλοιπο 0 11 και σπόλοιπο και σπόλοιπο 1 5 και σπόλοιπο 1 1 και σπόλοιπο και σπόλοιπο 1 Παξάδεηγκα (353.45) 10 ( ) Γεθαδηθό κέξνο ακέραιος: ακέραιος: ακέραιος: ακέραιος: ακέραιος: ακέραιος: ακέραιος: ακέραιος: 1 Γελ ζπγθιίλεη! Σηακαηνύκε κέρξη εδώ.

13 Γπαδηθή αξηζκεηηθή Μπνξνύλ λα γίλνπλ αξηζκεηηθέο πξάμεηο όπσο θαη ζην δεθαδηθό ζύζηεκα: Πξόζζεζε Αθαίξεζε Πνιιαπιαζηαζκόο Γηαίξεζε

14 Γπαδηθή αξηζκεηηθή: Πξόζζεζε Καλόλεο: = = = = 10 (γξάθνπκε 0 θαη κεηαθέξνπκε έλα ζην επόκελν ςεθίν) Παξάδεηγκα

15 Αζθήζεηο ζηελ ηάμε (1) Μεηαηξέςηε ηνπο αθόινπζνπο δπαδηθνύο αξηζκνύο ζε δεθαδηθνύο: (α) ( ) (β) ( ) (170) (1.875)

16 Αζθήζεηο ζηελ ηάμε (3) Κάλεηε ηηο αθόινπζεο πξάμεηο:

17 ΔΠΑΝΑΛΗΧΗ Γπαδηθό ζύζηεκα Βάζε: Φξεζηκνπνηεί δύν ςεθία: 0, 1 Παξάδεηγκα: ( ,011) = 1x 6 + 0x 5 + 0x 4 + 1x 3 + 0x + 1x 1 + 1x 0 + 0x x - + 1x -3 = = (75.375) 10

18 Γπαδηθή αξηζκεηηθή: Πξόζζεζε Καλόλεο: = = = = 10 (γξάθνπκε 0 θαη κεηαθέξνπκε έλα ζην επόκελν ςεθίν) Παξάδεηγκα

19 Γπαδηθή αξηζκεηηθή: Αθαίξεζε Καλόλεο: 0-0 = = 1 (θαη δαλεηδόκαζηε 1 από ην επόκελν πην ζεκαληηθό ςεθίν) (ή πξνζζέηνπκε 1 ζην επόκελν ςεθίν ηνπ αθαηξεηένπ) 1-0 = = 0 Παξάδεηγκα Παξάδεηγκα

20 Γπαδηθή αξηζκεηηθή: Πνιιαπιαζηαζκόο Καλόλεο: 0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1 Παξάδεηγκα x

21 Παξαδείγκαηα πνιιαπιαζηαζκνύ x x Έιεγρνο: 1x = 4 Έιεγρνο: 7x7 = 49

22 Παξαδείγκαηα αθαίξεζεο Έιεγρνο: = 100 Έιεγρνο: = 38

23 Πξνζεκαζκέλνη δπαδηθνί αξηζκνί Αλάγθε αλαπαξάζηαζεο αξλεηηθώλ αξηζκώλ. Σην δεθαδηθό ζύζηεκα ρξεζηκνπνηνύκε ην πξόζεκν. Σην δπαδηθό κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε έλα επηπιένλ ςεθίν ζηελ αξρή ηνπ αξηζκνύ. 0 : ζεηηθό πξόζεκν (+) 1 : αξλεηηθό πξόζεκν (-)

24 Πξνζεκαζκέλνη δπαδηθνί αξηζκνί Παξάδεηγκα Απνθαζίδνπκε πξώηα ηνλ κέγηζην αξηζκό ςεθίσλ πνπ ρξεηαδόκαζηε. (-7) 10 = (1111) (-) 10 = (1010) (+7) 10 = (0111) Έρνπκε 4 ςεθία: ην πξώην νξίδεη ην πξόζεκν θαη ηα ππόινηπα 3 ηνλ αξηζκό δηάζηεκα ηηκώλ -7 κέρξη +7 Πξόβιεκα 1: Τη παξηζηάλεη ν αξηζκόο 1000; Πξόβιεκα : Πσο γίλνληαη ηώξα νη αξηζκεηηθέο πξάμεηο;

25 Πξνζεκαζκέλνη δπαδηθνί αξηζκνί Λύζε: Φξήζε ηεο κεζόδνπ ζπκπιήξσκα σο πξνο δύν (two s complement) Μπνξνύλ λα γίλνπλ νη αξηζκεηηθέο πξάμεηο όπσο θαη πξηλ. Τν πξώην ςεθίν ζε απηή ηε κέζνδν δελ έρεη κόλν πξόζεκν, αιιά θαη ηελ ηηκή πνπ ηνπ αλαινγεί ιόγσ ηεο ζέζεο ηνπ. Πξνζνρή: Πξέπεη ν αξηζκόο ησλ ςεθίσλ πνπ απαηηνύληαη λα πξναπνθαζίδεηαη θαη λα ηεξείηαη.

26 Σπκπιήξσκα σο πξνο δύν (two s complement) Σην παξάδεηγκα κε 4 ςεθία: 3 ( abcd ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( 1 0 ) (1000) = (-8) 10 (1010) = (-6) 10 (1111) = (-1) 10 (0000) = (0) 10 (0111) = (7) 10 Παξαηήξεζε: (-8) 10 + (7) 10 = (1000) + (0111) = (1111) = (-1) 10

27 Σπκπιήξσκα σο πξνο δύν (two s complement) Μεηαηξνπή δπαδηθνύ αξηζκνύ ζε ζπκπιήξσκα σο πξνο δύν Άιιαμε όια ηα ζηνηρεία ηνπ δπαδηθνύ αξηζκνύ από 0 ζε 1 θαη αληίζηξνθα, θαη πξόζζεζε 1. Παξάδεηγκα κε 4 ςεθία = 1111 = (-1) = 1000 = (-8) = 1011 = (-5) 10 Πξνζνρή: Να ζπκάζηε πάληνηε λα ρξεζηκνπνηείηαη ην ζσζηό αξηζκό ςεθίσλ γηα ηνλ αξηζκό πνπ ζέιεηε λα αλαπαξαζηήζεηε. π.ρ. γηα ην -9, ρξεζηκνπνηήζηε ηνλ αξηζκό ζαλ +9 θαη βξείηε ην ζπκπιήξσκα σο πξνο δύν: =10111=(-9) 10 Αλ έρεηε ακθηβνιίεο ρξεζηκνπνηήζηε πεξηζζόηεξα ςεθία γηα ζηγνπξηά!

28 Παξαδείγκαηα (α) (-10) 10 (10) 10 = (01010) = = (-10) 10 (β) (-3) 10 (3) 10 = (010111) = = (-3) 10 (γ) (-57) 10 (57) 10 = ( ) = = (-57) 10

29 Οκαδνπνίεζε δπαδηθώλ ςεθίσλ Bit (Binary digit - Γπαδηθό ςεθίν) Δίλαη ε κηθξόηεξε πνζόηεηα πιεξνθνξίαο (π.ρ. 0101: 4 bits, : 8bits) 1 Byte = 8 bits (κηα αθνινπζία 8 δπαδηθώλ ςεθίσλ) 1 kilobyte (kb) = 10 Bytes = 104 Bytes 1 MegaByte (MB) = 10 kb = Bytes 1 GigaByte (GB) = 10 MB 1 TeraByte (TB) = 10 GB

30 Κσδηθνπνίεζε δεδνκέλσλ - θώδηθαο ASCII -- Οη Η/Υ αλαπαξηζηνύλ θάζε είδνπο δεδνκέλα (γξάκκαηα, αξηζκνύο, ήρν) κέζσ αθνινπζηώλ από δπαδηθά ςεθία. Γη απηό ην ιόγν ρξεζηκνπνηνύληαη θώδηθεο. -- Τν ASCII (American Standard Code for Information Interchange) δεκηνπξγήζεθε γηα λα ππάξρεη κηα θνηλή αλαπαξάζηαζε δεδνκέλσλ. -- Σπκπεξηιακβάλεη 18 αιθαξηζκεηηθά ζηνηρεία 94 ζηνηρεία πνπ κπνξνύλ λα εθηππσζνύλ (6 θεθαιαία θαη 6 κηθξά γξάκκαηα, 10 αξηζκνύο θαη 3 ζύκβνια) 34 ζηνηρεία πνπ δελ κπνξνύλ λα εθηππσζνύλ (ραξαθηήξεο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηνλ έιεγρν ππνινγηζηώλ) -- Φξεζηκνπνηεί 7 δπαδηθά ςεθία. -- Έλα όγδνν ςεθίν ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ αλίρλεπζε ιαζώλ ζε δεδνκέλα επηθνηλσλίαο θαη ππνινγηζκνύ (νλνκάδεηαη δπαδηθό ςεθίν ηζνηηκίαο, parity bit).

31 Πίλαθαο ASCII A 3 A A 1 A 0 A 6 A 5 A 4

32 Παξάδεηγκα Γξάςεηε ην όλνκα ηνπ καζήκαηνο καο ζαλ ζεηξά δπαδηθώλ ςεθίσλ ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ θώδηθα ASCII H M Y