ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

Transcript

1 ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε ηηκή ηνπ νξίδεηαη ην κήθνο ηνπ M(a,b) Παπάδειγμα: Δίλεηαη. Μέηξν ηνπ αξηζκνύ : a Σηο ζσήμα έζηω a b, ηόηε a b Σςζςγείρ απιθμοί: πδπγήο κηγαδηθόο αξηζκόο ηνπ κηγαδηθνί αξηζκνί πξαγκαηηθό άμνλα. είλαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο. η θαη είλαη ζπκκεηξηθνί σο πξνο ηνλ M() Δειαδή, ζην κηγαδηθό επίπεδν νη εηθόλεο M( a, b) M( ) θαη M( a, b) M( ) δύν ζπδπγώλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ a b θαη a b είλαη ζεκεία ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ πξαγκαηηθό άμνλα. M ( ) Παπάδειγμα: ν ζπδπγήο ηνπ αξηζκνύ Παπάδειγμα: ν ζπδπγήο ηνπ αξηζκνύ είλαη ν Σν κέηξν ελόο κηγαδηθνύ αξηζκνύ νξίδεηαη επίζεο σο είλαη ν, γηαηί. Πολική ή ηπιγωνομεηπική μοπθή μιγαδικών απιθμών: Κάζε κηγαδηθόο αξηζκόο εθηόο από ηελ θαξηεζηαλή ηνπ κνξθή, έρεη θαη ηελ πνιηθή ή ηξηγσλνκεηξηθή ηνπ κνξθή, ε νπνία είλαη: s, όπνπ είλαη ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ θαη είλαη ην ππωτεύον ή κύπιο όπισμα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ, ην νπνίν ζπκβνιίδεηαη ag. Η γσλία νξίδεηαη από ηνλ εκηάμνλα θαη ην δηάλπζκα OM.

2 Μ() Παπαηήπηζη: Κάζε γσλία κε ην ίδην εκίηνλν θαη ην ίδην ζπλεκίηνλν κε ηελ ιέγεηαη όξηζκα ηνπ θαη δηαθέξεη από ηε θ θαηά αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ. Άξα: k. Από ην ζρήκα είλαη θαλεξό όηη γηα: 0 s θαζώο θαη ta ta κε. Η απόδεημε ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο κνξθήο, κπνξεί λα γίλεη απιά, σο εμήο: s s s s s Παπαηήπηζη: Η ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή καο βνεζά ζηνλ πνιιαπιαζηαζκό θαη ζηε δηαίξεζε κηγαδηθώλ αξηζκώλ. Παπάδειγμα: Δίλεηαη ν αξηζκόο Έρνπκε:, άξα θαη. Να βξεζεί ε ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή ηνπ. Γξάθνπκε ηνλ ζε ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή: s s Μέηξν ηνπ αξηζκνύ :. Αθνύ: 0 s s (Γεληθά k, επεηδή όκσο 0, ε ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή νξίδεηαη γηα ). Επνκέλσο: s s Δύναμη μιγαδικού απιθμού Γηα ηελ κεηαηξνπή ηνπ ππνινγηζκνύ δπλάκεσλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ ζε πνιιαπιάζηα ηόμα, ρξεζηκνπνηνύκε ην παξαθάησ πνιύ ζεκαληηθό ζεώξεκα ηνπ De Move: Θεώπημα (De Move): s. Σόηε γηα θάζε θπζηθό αξηζκό έρνπκε: Έζησ s, όπνπ αθέξαηνο αξηζκόο. Παπαηήπηζη Σν Θεώξεκα ηνπ De Move ηζρύεη θαη όηαλ ν εθζέηεο είλαη αξλεηηθόο αθέξαηνο. Πξάγκαηη, έρνπκε: [ ( s )] ( s ) ( 0 s0) ( ( ) s( )) [ (0 - ) s(0- )] [ (- ) s(- )]

3 Παπάδειγμα: Έζησ. Χξεζηκνπνηώληαο ην Θεώξεκα ηνπ De Move, λα ππνινγίζεηε ην 998. Θα γξάςνπκε πξώηα ην κηγαδηθό αξηζκό ζε ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή θαη ζηε ζπλέρεηα ζα εθαξκόζνπκε ην Θεώξεκα ηνπ De Move γηα ηνλ ππνινγηζκό δύλακεο κηγαδηθνύ αξηζκνύ: Έρνπκε:, ά s s s s s ώ. DE Move s s 998 s s Ν-ζηή πίζα μιγαδικού απιθμού πιζμόρ: Έζησ έλαο ζεηηθόο αθέξαηνο αξηζκόο θαη w έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο δηάθνξνο ηνπ κεδελόο. κηγαδηθόο αξηζκόο ιέγεηαη -ζηή ξίδα ηνπ w θαη ζπκβνιίδεηαη σο w, αλ ηζρύεη w. παξαπάλσ νξηζκόο είλαη πξνθαλήο γηαηί w w w Άπα το ππόβλεμα τος ςπολογισμού τερ -στήρ πίδαρ τος w ανάγεται στεν επίλςσε τερ εξίσωσερ w. Επίλςζη εξιζώζεων: Από ην Θεκειηώδεο Θεώξεκα ηεο Άιγεβξαο, έρνπκε όηη θάζε πνιπσλπκηθή εμίζσζε κε πξαγκαηηθνύο ή κηγαδηθνύο ζπληειεζηέο πνπ έρεη βαζκό έρεη κηγαδηθέο ξίδεο (όρη αλαγθαζηηθά δηαθεθξηκέλεο). Γεληθά, γηα ηελ επίιπζε ηεο εμίζσζεο παξαθάησ ζεκαληηθό ζεώξεκα: w, όπνπ w C θαη w 0, ηζρύεη ην Θεώπημα: Η εμίζσζε w έρεη δηαθεθξηκέλεο ιύζεηο πνπ δίλνληαη από ηνλ ηύπν: k k k s, k 0,,, όπνπ είλαη ην κέηξν ηνπ w θαη είλαη ην όξηζκά ηνπ.

4 Παπάδειγμα: Να ιπζεί ε εμίζσζε. Θα γξάςνπκε πξώηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό w ζε ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή. Έρνπκε: w, ά s s s Επνκέλσο: w s ύκθσλα ηώξα κε ην παξαπάλσ ζεώξεκα νη δεηνύκελεο ιύζεηο ζα είλαη: k k k s, ηύπνο απηόο ησλ ιύζεσλ γηα, k 0,, θαη γίλεηαη: k k s k, k 0,,,, πλεπώο νη δεηνύκελεο ιύζεηο είλαη: s s s k0 0 0 s s s k 0 0 s s s k 0 0

5 s s 7 7 s k s s 9 9 s k 0 0 Γπαθική αναπαπάζηαζη ηων λύζεων: η εηθόλεο ησλ ιύζεσλ k, k 0,, είλαη θνξπθέο ελόο θαλνληθνύ -γώλνπ ην νπνίν είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν κε αθηίλα. Παπάδειγμα Αο δνύκε ηε γεσκεηξηθή αλαπαξάζηαζε ησλ ιύζεσλ ηεο εμίζσζεο. Λύζε: η θνξπθέο A0, A, A,..., A ηνπ θαλνληθνύ πνιπγώλνπ κε πιεπξέο, πνπ είλαη εγγεγξακκέλνο ζε θύθιν κε θέληξν O (0,0) θαη αθηίλα είλαη νη εηθόλεο ησλ ιύζεσλ ηεο εμίζσζεο. Δειαδή: Η θνξπθή A 0 παξηζηάλεη ηε ιύζε 0. Η θνξπθή A παξηζηάλεη ηε ιύζε s Η θνξπθή A παξηζηάλεη ηε ιύζε s s θ.ν.θ. ** Κάζε θνξπθή A πξνθύπηεη από ηελ πξνεγνύκελε δηαλύζκαηνο OA θαηά γσλία ίζε κε θεληξηθή γσλία ηνπ θαλνληθνύ -γώλνπ. A κε ζηξνθή ηνπ, δειαδή θαηά γσλία ίζε κε ηελ A A A A A 0 A A 7 A