Topics of Recursion. 4.Recursive algorithm. 1.Snow Flake 2.Developing Methodology 3.Property of Recursion. 5.Recurrence Model 6.
|
|
- Αίγλη Ζαΐμης
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Topics of Recursion 1.Snow Flake 2.Developing Methodology 3.Property of Recursion Step Level Depth 4.Recursive algorithm factorial function fibonacci sequence Ackermanm Function 5.Recurrence Model 6.Removing Recursion 1
2 Solving Recurrences 1. Solving Recurrences Using Induction 2. Solving Recurrences Using The Characteristic Equation 2.1 Homogeneous Linear Recurrences 2.2 Nonhomogeneo us Linear Recurrences 3. Solving Recurrences By Substitution 2
3 1.Snow flake ค อร ปแบบ fractal ท น ามาท าให ร ปร างตามส วนใด ส วนหน งของร ปภาพซ งม ขนาดใดก ได เม อน ามาขยายก จะมองเห นเหม อนร ปภาพเด ม ซ ง ประกอบด วย 1. Primitive (ภาพเร มต น) 2. กฎการ recursive ซ งส มพ นธ ก บ ส วนของร ป...ซ งม ขนาดต างๆก น 3
4 Fractal and Snowflake Definition of Fractal Fractal : โดยล กษณะของร ป... ท ม การแผ ออกไปน จะถ กเร ยกว า... ร ปต วอย างท Supplement บน web 4
5 2.Developing Methodology When developing a recursive algorithm for a problem, we need to Develop a way to obtain the solution to an instance from the solution to one or more smaller instances. Determine the terminal condition(s) that the smaller instance(s) is (are) approaching Determine the solution in the case of the terminal condition(s) 5
6 3.Property of Recursion A recursive program is one that calls... Algorithm ท ม ล กษณะ recursion ค อม ค ณสมบ ต ด งน 1. ม ค า argument บางต วท เร ยกว า... เพ อเป น ในแต ละคร งท เร ยกต วเองจะต องเข าใกล... ต วอย าง recursive program ท ร จ กก นด ได แก factorial... 6
7 4.1Factorial ผลค ณของเลขจ านวนเต มบวกจาก 1 ถ ง n ค อ n! n! =1*2*3*...*(n-2) * (n-1) * n ; when n >= 1 0! = Definition 1. If n = then n! = 2. If n > then n! = ด งน น factorial ม base value = จาก definition 7
8 ต วอย าง 4! ต วอย างเช น การแสดง step การหา 4! 1. 4! = 2. 3! = 3. 2! = 4. 1! = 5. 0! = 5. 0! = ! = = 7. 2! = = 8. 3! = = 9. 4! = = 8
9 Step 1. ก าหนด 4! ในเทอม ซ งย งไม ทราบค าของ 4! จนกว าจะทราบค าของ 2. ก าหนด 3! ในเทอม ซ งย งไม ทราบค าของ 3! จนกว าจะทราบค าของ 3. ก าหนด 2! ในเทอม ซ งย งไม ทราบค าของ 2! จนกว าจะทราบค าของ 4. ก าหนด 1! ในเทอม ซ งย งไม ทราบค าของ 1! จนกว าจะทราบค าของ 5. ได ค าของ 0! = 1 เน องจาก เป น base value ท างานกล บโดยใช ค า 0! แทนค าให 1! และ 1! แทนค าให 2! ไป เร อยๆ 9
10 Level and Depth of Recursion จ านวน...ของโปรแกรมท เก ดข นในระหว างการเร ยกต วเอง หมายเลขระด บในแต ละการท างานของโปรแกรมพ จารณาจากข อม ลท เหล ออย ใน ในแต ละ ยกต วอย างจาก การหา 4! การแสดงการท างานแบบ Recursion จะ ใช stack ในการเก บค า ส าหร บข นตอนการเร ยกต วเอง step ท 1-5 จะเป นการ push ค า factorial ท ย งไม ทราบลงก อน step ท 5-4 ก จะเป นการแทนค ากล บแล ว pop ค า ออกจาก stack 4! 10
11 step ท level ยกต วอย างจาก การหา 4! ! 3 2! 3 2! 2 3! 2 3! 2 3! 2 1 4! 1 4! 1 4! 1 4! 1 4! ! = 1 1! 2! 3! ! ! 2 3! 1 4! 1 4! ! Depth = no. of max level ด งน น Depth = 5 11
12 ร ปของป ญหา : Factorial Algorithm Algorithms : Factorial Problem : Determining n! = 1* 2 * 3 *... * (n-2) * (n-1) * n ; when n >= 1 Inputs : Outputs : Function : 0! = 1 12
13 ร ปของป ญหา : Factorial Algorithm (ต อ) function fact(n:integer) : integer; begin if n = then fact := else fact := end; 13
14 Code in C of Factorial Function long rec_fac (long) { if (n= ) return( ) else return ( ); } 14
15 4.2Fibonacci sequence (อ นด บไฟโบแนซซ ) Definition : Fibonacci sequence IF n = or n = then F(n) = IF n > = then F(n) = base values : แบบฝ กห ด จงเข ยน - ร ปของป ญหา : Fibonacci sequence Algorithm - Code in C or Pascal or Any Language for : Fibonacci sequence 15
16 ร ปของป ญหา : Fibonacci Algorithm Algorithms : Fibonacci Problem : Determining Fib(n).. Inputs : a nonnegative integer n. =? Outputs : Fib(n) Function :.. 16
17 4.3Ackermamn Function : ฟ งก ช นแอคเคอร มานน Definition : Ackermanm IF m = then A(m,n) = IF m!= but n = then A(m,n) = A(m-1,1) IF m!= but n!= then A(m,n) = A(m-1,A(m,n-1)) base values (criteria) : m = 17
18 ต วอย าง Ackermamn Function หาค าของA(1,1) A(1,1) = A(1,0) = A(0,1) = A(1,0) = A(1,1) = A(0,2) = A(1,1) = 18
19 ร ปของป ญหา : Ackermanm Algorithm Algorithms : Ackemanm Problem : Determining A(n).. Inputs : a nonnegative integer n. =? Outputs : A(n) Function :.. 19
20 5.Recurrence Model การแปลงร ปจากสมการท วไปท ย งไม ใช ร ปแบบเว ยนเก ดให เป นร ปแบบ เว ยนเก ดหร อเร ยกต วเองท าได โดย 1. ท าการแปลงให อย ในร ปของ IF-Case 2. หา initial condition (base criteria) ต วอย างเช น ร ปท วไปของสมการ S(n) = S(n-1) + f(n) ; for all n = 1,2,3, S(0) = 1 ; special case for n= f(n) = n-1 20
21 5.Recurrence Model ร ปท วไปของสมการ สามารถท าให เป น Recurrence Model ได ด งน 1. If n = then S(n) = 2. If n > then S(n) = 21
22 6.Removing Recursion การแปลงร ปแบบของ recursive ให เป น non recursive เช น factorial long nonrec_fac(long n) { long fact; long i; // declaration if (n == ) return else { } for ( i = ;i <= fact = return ( ) ; i++) 22
23 GCD : Greatest Common Division Definition : GCD(B,A) ; A < B GCD (A,B) = A ; B = 0 Version Recursive Non-Recursive ต วอย างเช น การหา GCD(8,28) GCD(B,MOD(A,B)) ;otherwise 23
24 Recursive GCD int GCD_Rec (int a, int b) { if (b ==) return ; else if ( < ) GCD_Rec ( ) else GCD_Rec ( ); } 24
Introduction. peptide linkage NH CH C CH C
Introduction โปรต นเป นสารช วโมเลก ลขนาดใหญ พบทะ งในพ ชแล สะตว เก ดจากหน วยเล กท ส ด ค อ amino acid เกา กะนด วย amide linkage หร อ peptide linkage H 2 N H H H 2 N H NH H H R R R โครงสร างของกรดอ กรดอ ม
Διαβάστε περισσότεραบทท 6 บทเร ยน ท 18 บททบทวนบทเร ยนท 13-17
บทเร ยนท 18 จะเป นแบบฝ กห ดทบทวนโครงสร าง ไวยากรณ และค าศ พท ต างๆ ท เร ยนมาใน บทเร ยนท 13 ถ ง 17 ด งน นจ งได แปลเฉพาะค าส งไว ให น กศ กษาจะต องลงม อฝ กท าแบบฝ กห ดเอง 1. Βρείτε τη λέξη που είναι διαφορετική.
Διαβάστε περισσότερα11, , , , , , , ,075.00
ว นท พ มพ : 30/10/2561 10:36:47 หน า : 1/27 องค การบร หารส วนต าบลบ านไทร รายงานรายจ ายจร งตามงบประมาณ ป งบประมาณ พ.ศ. 2561 เด อนเมษายน ถ งเด อนก นยายน งานก ฬาและน นทนาการ งบเง นอ ดหน น เง นอ ดหน น ค าตอบแทน
Διαβάστε περισσότεραองค การบร หารส วนจ งหว ดสระบ ร เขต/อ าเภอ เม องสระบ ร จ งหว ดสระบ ร - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 797
Διαβάστε περισσότεραการสม ครงาน จดหมายอ างอ ง
- การเป ด Αγαπητέ κύριε, ทางการ ผ ร บเพศชาย ไม ร จ กช อ Αγαπητή κυρία, ทางการ ผ ร บเพศหญ ง ไม ร จ กช อ Αγαπητέ κύριε/κύρια, ทางการ ช อผ ร บและไม ร เพศ Dear Sir, Dear Madam, Dear Sir / Madam, Αγαπητοί κύριοι
Διαβάστε περισσότεραว นท พ มพ : 30/9/ :36:21 หน า : 1/60 รายงานรายละเอ ยดประมาณการรายจ ายงบประมาณรายจ ายท วไป ประจ าป งบประมาณ พ.ศ องค การบร หารส วนต าบลจารพ
ว นท พ มพ : 30/9/2560 09:36:21 หน า : 1/60 รายงานรายละเอ ยดประมาณการรายจ ายงบประมาณรายจ ายท วไป ประจ าป งบประมาณ พ.ศ. 2561 องค การบร หารส วนต าบลจารพ ต อ าเภอ ศ ขรภ ม จ งหว ดส ร นทร ประมาณการรายจ ายรวมท
Διαβάστε περισσότεραบทท 6 ค าอธ บายบทเร ยนท 12
บทท 6 ค าอธ บายบทเร ยนท 12 Επανάληψη Μαθημάτων 7-11 (ทบทวนบทเร ยนท 7-11) 1.Μιλήστε μεταξύ σας (α) Α: Συγνώμη, ξέρετε αν υπάρχει κανένα ζαχαροπλαστείο στην οδό Πυθαγόρας; Β: Στην οδό Πυθαγόρα; Δε νομίζω.
Διαβάστε περισσότεραการสม ครงาน จดหมายอ างอ ง
- การเป ด Distinguido Señor: ทางการ ผ ร บเพศชาย ไม ร จ กช อ Distinguida Señora: ทางการ ผ ร บเพศหญ ง ไม ร จ กช อ Distinguidos Señores: ทางการ ช อผ ร บและไม ร เพศ Αγαπητέ κύριε, Αγαπητή κυρία, Αγαπητέ κύριε/κύρια,
Διαβάστε περισσότεραค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) ค ณพ ดภาษาอ งกฤษหร อเปล า? (Khun pood pasa ang-grid rue plao?)
- Τα απαραίτητα Můžete mi pomoci, prosím? Παράκληση για βοήθεια Mluvíte anglicky? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Mluvíte _[language]_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα Nemluvím_[language]_.
Διαβάστε περισσότεραPuò aiutarmi? Parla inglese? Parla _[lingua]_?
- Τα απαραίτητα ค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) Παράκληση για βοήθεια ค ณพ ดภาษาอ งกฤษหร อเปล า? (Khun pood pasa anggrid rue plao?) Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά ค ณพ
Διαβάστε περισσότεραการสม ครงาน จดหมายอ างอ ง
- การเป ด Sehr geehrter Herr, ทางการ ผ ร บเพศชาย ไม ร จ กช อ Sehr geehrte Frau, ทางการ ผ ร บเพศหญ ง ไม ร จ กช อ Sehr geehrte Damen und Herren, ทางการ ช อผ ร บและไม ร เพศ Αγαπητέ κύριε, Αγαπητή κυρία, Αγαπητέ
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Phiền bạn giúp tôi một chút được không?
- Τα απαραίτητα ค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) Παράκληση για βοήθεια ค ณพ ดภาษาอ งกฤษหร อเปล า? (Khun pood pasa anggrid rue plao?) Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά ค ณพ
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Μπορείτε να με βοηθήσετε; (Borίte na me voithίsete?) Παράκληση για βοήθεια
- Τα απαραίτητα Μπορείτε να με βοηθήσετε; (Borίte na me voithίsete?) Παράκληση για βοήθεια Μιλάτε αγγλικά; (Miláte agliká?) Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Μιλάς _[γλώσσα]_; (Milás _[glóssa]_?) Ερώτηση
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. ค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) Παράκληση για βοήθεια
- Τα απαραίτητα ค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) Παράκληση για βοήθεια ค ณพ ดภาษาอ งกฤษหร อเปล า? (Khun pood pasa anggrid rue plao?) Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά ค ณพ
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Μπορείτε να με βοηθήσετε; (Borίte na me voithίsete?)
- Τα απαραίτητα ค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) Παράκληση για βοήθεια ค ณพ ดภาษาอ งกฤษหร อเปล า? (Khun pood pasa anggrid rue plao?) Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά ค ณพ
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραΓια να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα
- Γενικά Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; ฉ นจะหาแบบฟอร มสำหร บ ได ท ไหน Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; [เอกสาร]ของค ณได ร บการออกเม อไร Για να ρωτήσετε
Διαβάστε περισσότεραค ม อการใช งาน ฉบ บย อ
ΦϛΕσϙΩϔλ Ϋμ ϓμτΕϧΩiR-ADV 4525i/4535i/4545i/4551i ค ม อการใช งาน ฉบ บย อ Copy-Print-Mobile Print-Send-PC Fax ส าหร บร น ir-adv 4500i Series ѝѧкъѱз ьььє Ѳў з з њѥє ѯюѷьъ1 Canon is the Best for You ѯз і кщҕѥѕѯдѝѥі
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραΠρογραµµατισµός. Αναδροµή (1/2)
Προγραµµατισµός Αναδροµή (1/2) Προγραµµατισµός Κλήσεις Συναρτήσεων Όταν καλείται µια συνάρτηση, πρέπει Να θυµάται σε ποιο σηµείο του προγράµµατος θα επιστρέψει Να δεσµεύσει χώρο για την τιµή που θα επιστρέψει
Διαβάστε περισσότεραOverview. Transition Semantics. Configurations and the transition relation. Executions and computation
Overview Transition Semantics Configurations and the transition relation Executions and computation Inference rules for small-step structural operational semantics for the simple imperative language Transition
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Αναδρομή
Προγραμματισμός Αναδρομή Προγραμματισμός Προγραμματισμός Κλήσεις Συναρτήσεων Όταν καλείται μια συνάρτηση, πρέπει Να θυμάται σε ποιο σημείο του προγράμματος θα επιστρέψει Να δεσμεύσει χώρο για την τιμή
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραChap. 6 Pushdown Automata
Chap. 6 Pushdown Automata 6.1 Definition of Pushdown Automata Example 6.1 L = {wcw R w (0+1) * } P c 0P0 1P1 1. Start at state q 0, push input symbol onto stack, and stay in q 0. 2. If input symbol is
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Αναδρομή
Αναδρομή Κλήσεις Συναρτήσεων Όταν καλείται μια συνάρτηση, πρέπει Να θυμάται σε ποιο σημείο του προγράμματος θα επιστρέψει Να δεσμεύσει χώρο για την τιμή που θα επιστρέψει Να δεσμεύσει χώρο για τα ορίσματα
Διαβάστε περισσότεραค ณช วยอะไรฉ นหน อยได ไหม? (Khun chuay arai chan noi dai mai?) ค ณพ ดภาษาอ งกฤษหร อเปล า? (Khun pood pasa ang-grid rue plao?)
- Τα απαραίτητα Bana yardımcı olurmusunuz, lütfen? Παράκληση για βοήθεια İngilizce konuşuyor musunuz? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά _[dil]_ konuşuyor musunuz? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραDurbin-Levinson recursive method
Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραSecond Order RLC Filters
ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραLecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Διαβάστε περισσότεραDynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016
Harvard School of Engineering and Applied Sciences CS 152: Programming Languages Dynamic types, Lambda calculus machines Apr 21 22, 2016 1 Dynamic types and contracts (a) To make sure you understand the
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Τεχνητή Νοημοσύνη. Ενότητα 2: Αναζήτηση (Search)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνητή Νοημοσύνη Ενότητα 2: Αναζήτηση (Search) Αν. καθηγητής Στεργίου Κωνσταντίνος kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραJesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραES440/ES911: CFD. Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems
ES440/ES911: CFD Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems Dr Yongmann M. Chung http://www.eng.warwick.ac.uk/staff/ymc/es440.html Y.M.Chung@warwick.ac.uk School of Engineering & Centre for Scientific
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΥΥ105: Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Αναδροµικές Συναρτήσεις Χειµερινό Εξάµηνο 2014
ΜΥΥ105: Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αναδροµικές Συναρτήσεις Χειµερινό Εξάµηνο 2014 Ορισµός και ιδιότητες Μια συνάρτηση είναι αναδροµική αν καλεί τον εαυτό της Οι περισσότερες γλώσσες προγραµµατισµού υποστηρίζουν
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 20: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
1 Διάλεξη 20: Αναδρομή (Recursion) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Η έννοια της αναδρομής - Μη-αναδρομικός / Αναδρομικός Ορισμός Συναρτήσεων - Παραδείγματα Ανάδρομης - Αφαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές Βελτιστοποίηση
Μεταγλωττιστές Βελτιστοποίηση Νίκος Παπασπύρου nickie@softlab.ntua.gr Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ. και Μηχ. Υπολογιστών Εργαστήριο Τεχνολογίας Λογισμικού Πολυτεχνειούπολη, 15780
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο.
Αναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο. Πού χρειάζεται; Πολλές μαθηματικές συναρτήσεις ορίζονται αναδρομικά. Δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότεραProblem Set 3: Solutions
CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραDifferential equations
Differential equations Differential equations: An equation inoling one dependent ariable and its deriaties w. r. t one or more independent ariables is called a differential equation. Order of differential
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραA Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics
A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions
Διαβάστε περισσότεραForced Pendulum Numerical approach
Numerical approach UiO April 8, 2014 Physical problem and equation We have a pendulum of length l, with mass m. The pendulum is subject to gravitation as well as both a forcing and linear resistance force.
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότερα( y) Partial Differential Equations
Partial Dierential Equations Linear P.D.Es. contains no owers roducts o the deendent variables / an o its derivatives can occasionall be solved. Consider eamle ( ) a (sometimes written as a ) we can integrate
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 08 DP I 1 Dynamic Programming Richard Bellman (1953) Etymology (at
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η έννοια της αναδρομής Μη αναδρομικός / Αναδρομικός Ορισμός Συναρτήσεων Παραδείγματα Ανάδρομης Αφαίρεση της Αναδρομής
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 12: Συνοπτική Παρουσίαση Ανάπτυξης Κώδικα με το Matlab Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραMock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =
Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο
Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL
Διαβάστε περισσότεραΑναδροµή (Recursion) ύο παρεξηγήσεις. Σκέψου Αναδροµικά. Τρίγωνο Sierpinski Μη αναδροµικός ορισµός;
Αναδροµή (Recursion) Πώς να λύσουµε ένα πρόβληµα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί µε τον ίδιο τρόπο. Πού χρειάζεται; Πολλές µαθηµατικές συναρτήσεις ορίζονται αναδροµικά. εν είναι
Διαβάστε περισσότεραLanczos and biorthogonalization methods for eigenvalues and eigenvectors of matrices
Lanzos and iorthogonalization methods for eigenvalues and eigenvetors of matries rolem formulation Many prolems are redued to solving the following system: x x where is an unknown numer А a matrix n n
Διαβάστε περισσότεραReview Test 3. MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.
Review Test MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Find the exact value of the expression. 1) sin - 11π 1 1) + - + - - ) sin 11π 1 ) ( -
Διαβάστε περισσότεραAnswers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
Διαβάστε περισσότεραTrigonometric Formula Sheet
Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ
Διαβάστε περισσότερα- 1+x 2 - x 3 + 7x4. 40 + 127x8. 12 - x5 4 + 31x6. 360 - x 7. - 1+x 2 - x 3 - -
a.bergara@ehu.es - 1 x 2 - - - - - - - Ο - 1x 2 - x 3 - - - - - - 1 x 2 - x 3 7 x4 12-1x 2 - x 3 7x4 12 - x5 4 31x6 360 - x 7 40 127x8 20160 - - - Ο clear; % Coefficients of the equation: a x'b x c
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD
CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου. Σχολή Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας. Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υπολογιστών. Προγραμματισμός Ι Εργαστήριο
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Σχολή Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υπολογιστών Προγραμματισμός Ι Εργαστήριο 03-12-2012 1 η Εργαστηριακή Άσκηση Να δημιουργήσετε πρόγραμμα που
Διαβάστε περισσότεραMAT Winter 2016 Introduction to Time Series Analysis Study Guide for Midterm
MAT 3379 - Winter 2016 Introduction to Time Series Analysis Study Guide for Midterm You will be allowed to have one A4 sheet (one-sided) of notes date: Monday, Febraury 29, Midterm 1 Topics 1 Evaluate
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
Διαβάστε περισσότερα