Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κωνσταντίνα Χ. Κωνσταντή Επιβλέπων : Αναστάσιος Τόγκας, Λέκτορας Πάτρα, Σεπτέμβριος 2018

2

3 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κωνσταντίνα Χ. Κωνσταντή Επιβλέπων : Αναστάσιος Τόγκας, Λέκτορας Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 25η Σεπτεμβρίου Ιάκωβος βαν ντερ Βέιλε Βασίλειος Παπαγεωργίου Αναστάσιος Τόγκας Καθηγητής Καθηγητής Λέκτορας Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Σεπτέμβριος 2018

4 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Κωνσταντίνα Χ. Κωνσταντή Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

5 Περίληψη Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της εστιάζουσας μηγραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS) ως ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ακραία κυματικά φαινόμενα. Ξεκινάμε εισάγοντας ορισμένες βασικές έννοιες για τα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα, όπως η ταχύτητα ομάδας, η σχέση διασποράς και τα ωστικά κύματα, και παράγουμε την NLS ως ένα μαθηματικό μοντέλο κυματικής διάδοσης σε ένα μη-γραμμικό μέσο. Στη συνέχεια, μελετάμε τις συμμετρίες Lie της NLS και κατασκευάζουμε συγκεκριμένες αναλλοίωτες λύσεις της, όπως το επίπεδο κύμα και την 1-soliton λύση της. Διατυπώνουμε την εξίσωση NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton και συνδέουμε τις συμμετρίες Lie με τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης. Ένας μηχανισμός υπεύθυνος για τα ακραία κύματα θεωρείται η αστάθεια διαμόρφωσης. Μελετάμε την NLS στο πλαίσιο της γραμμικής θεωρίας κι αποδεικνύουμε ότι είναι ασταθής. Από την άλλη, παραλείποντας όρους διασποράς, οι εξισώσεις ανάγονται σε ένα υδροδυναμικό σύστημα, κι αποδεικνύουμε ότι η αστάθεια διαμόρφωσης οδηγεί σε ανωμαλίες της λύσης ενός ομαλού προβλήματος Cauchy, σε πεπερασμένο χρόνο. Τέλος, μελετάμε μεθόδους παραγωγής λύσεων που βασίζονται στον μετασχηματισμό της αντίστροφης σκέδασης. Εδώ η έμφαση δίνεται αφενός στην κατασκευή του μετασχηματισμού Darboux, και αφετέρου στην εφαρμογή του για την παραγωγή της 1-soliton λύσης της NLS, καθώς και των λύσεων τύπου πνοών των Kuznetsov-Ma και Akhmediev. Όταν η περίοδος των τελευταίων περιοδικών λύσεων τείνει στο άπειρο, τότε και οι δύο λύσεις ανάγονται στην λύση του Peregrine. Πρόκειται για την απλούστερη λύση της NLS που είναι εντοπισμένη χωρικά και χρονικά, και η οποία αναπαράγει ποιοτικά το κύριο χαρακτηριστικό των ακραίων κυμάτων - την τάση να εμφανίζονται από το πουθενά και να εξαφανίζονται δίχως να αφήσουν ίχνος. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Mη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS), ακραία κύματα, αστάθεια διαμόρφωσης, μέθοδος αντίστροφης σκέδασης, μετασχηματισμός Darboux, συμμετρίες Lie.

6

7 Abstract The subject matter of the present master thesis is the study of the focusing non-linear Schrödinger equation (NLS) as a mathematical model which describes extreme wave phenomena, called rogue waves. We begin by introducing certain basic notions for linear and non-linear waves, such as group velocity, the dispersion relation, and shock waves, and derive the NLS equation as a mathematical model for wave propagation in a nonlinear medium. Next we study the Lie point symmetries of NLS, and derive certain group invariant solutions, such as the plane wave solution, and the 1-soliton solution. We formulate NLS as an infinite dimensional Hamiltonian system and associate its Lie symmetries with their corresponding conservation laws. Rogue waves represent a nonlinear phenomenon that arises through modulation instability. We study modulation instability within the linearized theory, and prove that the plane wave solution of NLS is unstable. On the other hand, when dispersion effects are omitted, we convert the system of PDEs into a hydrodynamic system, and prove that modulation instability results in singularities for the solution of a smooth Cauchy problem, at a finite time. Finally, we study solution generating techniques based on the inverse scattering transform. Here the emphasis is on the derivation of the Darboux transformation of NLS equation, as well as on specific applications to construct the 1-soliton of NLS, and Kuznetsov-Ma and Akhmediev breathers. When the period of the latter periodic solutions tends to infinity they both reduce to the Peregrine soliton. It is the simplest solution of NLS equation localized both in space and time, which qualitatively reproduces the main feature of rogue waves - their propensity to appear out of nowhere and then disappear without a trace. KEYWORDS Non-linear Schrödinger equation (NLS), rogue waves, modulation instability, inverse scattering method, Darboux transformation, Lie symmetries.

8

9 Ευχαριστίες Η παρούσα εργασία δεν θα είχε ολοκληρωθεί χωρίς την συμβολή και την στήριξη ορισμένων ανθρώπων τους οποίους σε αυτό το σημείο θέλω να ευχαριστήσω. Αρχικά, ευχαριστώ τα μέλη της εξεταστικής τριμελούς επιτροπής: κ.βέιλε, κ.παπαγεωργίου και κ.τόγκα. Συγκεκριμένα, ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ.τάσο Τόγκα για την υπόδειξη του θέματος της παρούσας εργασίας και το ενδιαφέρον που έδειξε μέχρι την ολοκλήρωση της εργασίας. Τον ευχαριστώ για την στήριξη, τις συμβουλές, την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και γιατί μου έδωσε το έναυσμα για να ασχοληθώ εκτός των άλλων με τα προγράμματα LATEXκαι Sagemath. Η συνεργασία μας ήταν δημιουργική και ευχάριστη με αποτέλεσμα η προσωπική μου εξέλιξη να είναι μεγαλύτερη. Ευχαριστώ τον καθηγητή, κ.βασίλη Παπαγεωργίου για την πολύπλευρη βοήθεια του και τις ενδιαφέρουσες συζητήσεις μας, ήταν ο πρώτος που με έφερε σε επαφή με το μαγικό κόσμο των ολοκληρώσιμων συστημάτων και τα συμβολικά πακέτα υπολογισμών, γνώσεις που ήταν απαραίτητες για την ολοκλήρωση της εργασίας. Ευχαριστώ τον καθηγητή, κ.ιάκωβο Βαν ντερ Βέιλε για όλη την βοήθειά του. Στα μαθήματα μαζί του κατάφερα να αναπτύξω ομαδικό πνεύμα με τους συμφοιτητές μου και να εξοικειωθώ με τις παρουσιάσεις εργασιών. Σε προσωπικό επίπεδο ευχαριστώ, τους φίλους μου για την στήριξη, το ενδιαφέρον και την υπομονή τους, τους συναδέλφους συμφοιτητές για τις γόνιμες μαθηματικές (και συνήθως όχι μαθηματικές) συζητήσεις και τους μαθητές μου που μου έδιναν την ενέργεια και την δύναμη να συνεχίσω την προσπάθεια. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένεια μου. Τους γονείς μου Χρήστο και Λαμπρινή, τα αδέρφια μου, π.ελευθέριο, π.σπυρίδων και Βαγγέλη, χωρίς την στήριξή τους δεν θα είχα φτάσει ως εδώ.

10

11 Αφιέρωση Στους γονείς μου Λαμπρινή και Χρήστο και στις ανιψιές μου Γεωργία και Δέσποινα

12

13 Περιεχόμενα Κατάλογος σχημάτων iii 0 Εισαγωγή 1 1 Εισαγωγικά στοιχεία για τις κυματικές λύσεις Γραμμικά κύματα Ταχύτητα ομάδας Επίπεδα κύματα και σχέση διασποράς Επίπεδα κύματα και μετασχηματισμός Fourier Μη γραμμικά κύματα Η πανταχού παρούσα NLS Συμμετρίες της NLS και μηχανική Hamilton Συμμετρίες της NLS Αναλλοίωτες λύσεις της NLS - Το επίπεδο κύμα και η 1-soliton λύση Η NLS ως ένα σύστημα Hamilton Νόμοι διατήρησης της NLS Αστάθεια διαμόρφωσης της εστιάζουσας εξίσωσης NLS και μία εισαγωγή στα ακραία κύματα Η γραμμική εξίσωση Schrödinger Αστάθεια διαμόρφωσης πλάτους-φάσης Ιδιομορφίες λόγω αστάθειας διαμόρφωσης Η μέθοδος των αναλλοίωτων Riemann Οδογραφικός μετασχηματισμός Η εξίσωση Euler-Poisson-Darboux i

14 ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 Μετασχηματισμός Darboux και ακραίες κυματικές λύσεις της NLS Ολοκληρωσιμότητα της NLS - ζεύγος Lax Αντίστροφη σκέδαση Μετασχηματισμός Darboux Τα βήματα κατασκευής του μετασχηματισμού Darboux Μέθοδος υπολογισμού του πίνακα Darboux Εφαρμογές του μετασχηματισμού Darboux H 1-soliton λύση της NLS Πνοές (breathers) της NLS Η ακραία κυματική λύση του Peregrine Το Peregrine soliton ως πρότυπο ακραίο κύμα Παραρτήματα 77 Αʹ Ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες 79 Βʹ Συναρτήσεις Legendre 81 Γʹ Ελλειπτικά ολοκληρώματα και συναρτήσεις Jacobi 83 Βιβλιογραφία 85

15 Κατάλογος σχημάτων 0.1 (Αριστερά) 2 Ιανουαρίου 1993, υπέρυθρη δορυφορική λήψη νότια της Αφρικανικής ηπείρου, πιο σκούρες σκιές = πιο θερμά νερά. Για κάθε μια από τις πέντε διελεύσεις του δορυφόρου απεικονίζονται: η παράκτια ακμή του ρεύματος Agulhas (A), η μέγιστη κορυφή του σημαντικού ύψους κύματος (B), και η υπεράκτια ακμή του ρεύματος (C). PE=Port Elisabeth, D=Καθοδική διέλευση, A=Ανοδική διέλευση. (Δεξιά) Σημαντικό ύψος κυμάτων (SWH) στις πέντε διελεύσεις του δορυφόρου. Η παράκτια ακμή του ρεύματος Agulhas (A) και η υπεράκτια ακμή (C) προήλθαν από την δορυφορική λήψη, ενώ με (B) σημειώνεται η μέγιστη κορυφή του σημαντικού ύψους κύματος Το ακραίο κύμα (rogue/freak wave) της NLS - Peregrine soliton. Το μέγιστο πλάτος της λύσης του Peregrine είναι u P max = 3, δηλαδή ακριβώς 3 φορές το πλάτος των κυμάτων υποβάθρου, και άρα ικανοποιεί και το ποσοτικό κριτήριο ενός ακραίου κύματος Ένα οδεύον επίπεδο κύμα Γραμμική υπέρθεση δυο σχεδόν ίδιου μήκους κυμάτων για t = 0 (μπλε γραμμή). Με διακεκομμένη μαύρη γραμμή η περιβάλλουσα με μεγάλο μήκος κύματος Οι χαρακτηριστικές ευθείες για την αρχική συνθήκη (1.21). Στην σφηνοειδή περιοχή υπάρχουν σημεία στα οποία τέμνονται τρεις διαφορετικές ευθείες, συνεπώς στα σημεία αυτά η λύση u(x, t) έχει τρεις διαφορετικές τιμές Η 1-soliton λύση της NLS Βλέπουμε ορισμένα στιγμιότυπα της λύσης του 1-soliton, όπου ο παλμός ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα προς τον θετικό x άξονα, αν v > Η 1-soliton λύση της NLS είναι μια περιβάλλουσα Σχηματική αναπαράσταση της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier iii

16 iv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 3.2 Ο ρυθμός πτώσης του πλάτους Φ(x, t) της θεμελιώδους λύσης της γραμμικής εξίσωσης i u t + u xx = 0 του Schrödinger, ακολουθεί τον νόμο t 1/ Η αρχική κατανομή της πυκνότητας ρ 0 (x) Η γραφική παράσταση της πυκνότητας ρ(x, t) ως προς τη χωρική συντεταγμένη x, για διάφορες τιμές του χρόνου t. Ξεκινώντας με ομαλά (C ) αρχικά δοσμένα για την κατανομή πυκνότητας, καθώς περνά ο χρόνος η πυκνότητα γίνεται όλο και πιο αιχμηρή για να καταλήξει σε μια σφηνοειδή ιδιομορφία (cusp) σε πεπερασμένο χρόνο t = Η γραφική παράσταση της ταχύτητας v(x, t) ως προς τη χωρική συντεταγμένη x, για διάφορες τιμές του χρόνου t. Ξεκινώντας με μηδενική αρχική ταχύτητα v 0 (x) = 0, καθώς περνά ο χρόνος η ταχύτητα αυξάνει όλο και πιο απότομα δεξιά κι αριστερά του x = 0. Τελικά για t > 0.5, η λύση καταρρέει σε μια ασυνέχεια ( v x (0 ±, t), καθώς t 1 2 ) όπως ακριβώς συμβαίνει με την δημιουργία ενός ωστικού κύματος (shock wave) Σχηματική αναπαράσταση της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης Η εντοπισμένη στο χώρο λύση breather της NLS (Kuznetsov-Ma) Η εντοπισμένη στο χρόνο λύση breather της NLS (Akhmediev) Το ακραίο κύμα (rogue/freak wave) της NLS - Peregrine soliton Αʹ.1 Οι ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες για α =

17 Κεφάλαιο 0 Εισαγωγή You can not apply mathematics as long as words still becloud reality. Hermann Weyl Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως βασικό στόχο την μελέτη της εστιάζουσας, μηγραμμικής εξίσωσης του Schrödinger (NLS), ως ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ακραία κυματικά φαινόμενα. Η εστιάζουσα εξίσωση NLS, σε μια χωρική διάσταση, είναι η ΜΔΕ i u t + u xx + 2 u 2 u = 0, και είναι το σημείο συνάντησης περιγραφής ακραίων κυμάτων σε ένα πλήθος φυσικών προβλημάτων που εμφανίζονται από την ωκεανογραφία [21], και την μη-γραμμική οπτική [35],[3], μέχρι τη φυσική πλάσματος και τα συμπυκνώματα Bose-Einstein [8], στα οποία υπάρχει μια απλή σχέση μεταξύ φαινομένων διασποράς και μη-γραμμικότητας. Το γεγονός αυτό δεν είναι τυχαίο αφού η NLS μοντελοποιεί την κυματική διάδοση σε ένα μη γραμμικό μέσο, δηλαδή σε ένα μέσο όπου η σχέση διασποράς εξαρτάται όχι μόνο από την κυματικό αριθμό, αλλά και από το πλάτος των κυμάτων. Αυτό σημαίνει ότι η ύπαρξη ενός κύματος μεταβάλλει το μέσο μέσα στο οποίο διαδίδεται. Ένα πολύ ενδιαφέρον χαρακτηριστικό της εστιάζουσας εξίσωσης NLS είναι ότι επιδέχεται ακραίες κυματικές λύσεις (rogue/freak waves), δηλαδή: κύματα που εμφανίζονται από το πουθενά, ανυψώνονται πολύ πιο ψηλά από τα κύματα υποβάθρου, και εξαφανίζονται δίχως να αφήσουν ίχνος. Ένας φυσικός μηχανισμός που θεωρείται κύριος υπεύθυνος για την εμφάνιση των ακραίων κυμάτων είναι η λεγόμενη αστάθεια διαμόρφωσης [19], [20]. Στο πλαίσιο της NLS η αστάθεια διαμόρφωσης πλάτους/φάσης, με μαθηματικούς όρους, είναι συνώνυμη της αστάθειας της λύσης του επίπεδου κύματος της NLS που προβλέπει η θεωρία διαταραχών. 1

18 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 0.1: (Αριστερά) 2 Ιανουαρίου 1993, υπέρυθρη δορυφορική λήψη νότια της Αφρικανικής ηπείρου, πιο σκούρες σκιές = πιο θερμά νερά. Για κάθε μια από τις πέντε διελεύσεις του δορυφόρου απεικονίζονται: η παράκτια ακμή του ρεύματος Agulhas (A), η μέγιστη κορυφή του σημαντικού ύψους κύματος (B), και η υπεράκτια ακμή του ρεύματος (C). PE=Port Elisabeth, D=Καθοδική διέλευση, A=Ανοδική διέλευση. (Δεξιά) Σημαντικό ύψος κυμάτων (SWH) στις πέντε διελεύσεις του δορυφόρου. Η παράκτια ακμή του ρεύματος Agulhas (A) και η υπεράκτια ακμή (C) προήλθαν από την δορυφορική λήψη, ενώ με (B) σημειώνεται η μέγιστη κορυφή του σημαντικού ύψους κύματος. Από την πλευρά των εφαρμογών, για παράδειγμα, η εμφάνιση των ακραίων κυμάτων στους ωκεανούς παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον αφού προκαλούν σοβαρές βλάβες σε πλοία που τα συναντούν, αν όχι την βύθισή τους. Για τον λόγο αυτό ωκεανογραφικοί δορυφόροι ερευνούν περιοχές των ωκεανών όπου έχουν αναφερθεί τέτοια ακραία κύματα [24]. Για παράδειγμα, στις αρχές του Ιανουαρίου του 1993 ο δορυφόρος TOPEX/POSEIDON (από τα αρχικά TOPography EXperiment και τον θεό Ποσειδώνα της ελληνικής μυθολογίας) ερεύνησε το θαλάσσιο ρεύμα Agulhas, νότια της Αφρικανικής ηπείρου [16]. Στο Σχήμα 0.1 αριστερά, το ρεύμα Agulhas απεικονίζεται σαν μια λωρίδα θερμού νερού που ρέει νοτιοδυτικά κατά μήκος της ανατολικής ακτής. Στο Σχήμα 0.1 δεξιά απεικονίζεται το σημαντικό ύψος κυμάτων (SWH) για καθεμιά από τις πέντε διελεύσεις του TOPEX/POSEIDON που διατρέχουν την περιοχή της υπέρυθρης λήψης (D96: 4 Ιανουαρίου, D20: 1 Ιανουαρίου, D198: 7 Ιανουαρίου, A183: 7 Ιανουαρίου, D122: 5 Ιανουαρίου). Κατά μήκος της διέλευσης D20 o TOPEX/POSEIDON κατέγραψε απότομη κορυφή εντοπισμένη στην παράκτια ακμή του ρεύματος, με ύψος μεγαλύτερο από το διπλάσιο του σημαντικού ύψους κυμάτων, γεγονός που υποδεικνύει την ύπαρξη ακραίων κυμάτων (rogue/freak waves) στους ωκεανούς.

19 3 Τα ακραία κύματα είναι κύματα με ασύνηθες μεγάλο πλάτος u rw, των οποίων η στατιστική τους εμφάνιση αποκλίνει από την κανονική κατανομή Gauss. Το κριτήριο σύμβασης που έχει υιοθετηθεί για ένα ακραίο κύμα είναι ότι θα πρέπει u rw / u s > 2, όπου u s το σημαντικό ύψος κυμάτων (SWH), το οποίο υπολογίζεται ως η μέση τιμή του ύψους του 1/3 των μεγαλύτερων κυμάτων. Για τυχαία κύματα από την κατανομή Gauss ισχύει ότι u s 2 = 2 u 0 2 όπου u 0 είναι η μέση τιμή του πλάτους των κυμάτων υποβάθρου, οπότε συνάγεται ότι το κριτήριο για ένα ακραίο κύμα είναι ότι θα πρέπει u rw 2 > 8 u 0 2, ή αλλιώς u rw 2.83 u 0. Από την σύντομη αυτή συζήτηση, η μελέτη των ακραίων κυμάτων αφορά τόσο στα δυναμικά φαινόμενα που οδηγούν στην εμφάνιση και στην εξέλιξή τους, όσο και στην στατιστική μελέτη της εμφάνισής τους. Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε το μη-γραμμικό φαινόμενο των ακραίων κυμάτων στο πλαίσιο της NLS, από την δυναμική σκοπιά της τελευταίας. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε μια πλειάδα ισχυρών μαθηματικών εργαλείων, όπως τις συμμετρίες Lie και την μηχανική Hamilton, τον μετασχηματισμό Fourier και την θεωρία διαταραχών, τα υδροδυναμικά συστήματα, τα αναλλοίωτα Riemann και τον οδογραφικό μετασχηματισμό, την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης και τον μετασχηματισμό Darboux. Η παρουσίαση των επιμέρους θεμάτων έχει οργανωθεί ως εξής: Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρουμε ορισμένες βασικές έννοιες που αφορούν τις κυματικές λύσεις γραμμικών και μη-γραμμικών ΜΔΕ, όπως η ταχύτητα ομάδας, η σχέση διασποράς, τα κύματα αραίωσης και συμπύκνωσης, καθώς και την εμφάνιση ιδιομορφιών των λύσεων μηγραμμικών ΜΔΕ σε πεπερασμένο χρόνο. Τέλος παράγουμε την μη-γραμμική ΜΔΕ Schrödinger (NLS) ως ένα μαθηματικό πρότυπο για την κυματική διάδοση σε ένα μη γραμμικό μέσο. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι η αφετηρία της μελέτης μας για την NLS χρησιμοποιώντας τις συμμετρίες Lie, και την μηχανική Hamilton. Συγκεκριμένα, αναλύουμε τις συμμετρίες Lie της NLS και κατασκευάσουμε ειδικού τύπου λύσεις της, οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από την δράση συμμετριών της, όπως η λύση του επίπεδου κύματος της NLS, καθώς και η ονομαστή 1-soliton λύση της. Στην συνέχεια διατυπώνουμε την NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton με στόχο να συνδέσουμε τις συμμετρίες Lie της NLS με τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε την NLS ως προς την ευστάθεια της λύσης του επίπεδου κύματος. Αρχικά παραλείποντας μη-γραμμικούς όρους κι εφαρμόζοντας την θεωρία διαταραχών στο επίπεδο κύμα της NLS αποδεικνύουμε ότι η λύση είναι ασταθής. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως αστάθεια διαμόρφωσης και σχετίζεται άμεσα με την ύπαρξη ακραίων κυματικών λύσεων της NLS. Συνεχίζουμε την μελέτη της αστάθειας διαμόρφωσης από μια άλλη οπτική

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ γωνία, παραλείποντας τους όρους διασποράς. Μετατρέπουμε τις ΜΔΕ σε ένα υδροδυναμικό σύστημα και χρησιμοποιώντας τα αναλλοίωτα Riemann και τον οδογραφικό μετασχηματισμό ανάγουμε το μη-γραμμικό σύστημα σε μια γραμμική ΜΔΕ δεύτερης τάξης. Εφαρμόζοντας την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών στην τελευταία λύνουμε ένα ομαλό πρόβλημα Cauchy, και επιστρέφοντας αντίστροφα μέσω των μετασχηματισμών που θεωρήσαμε, αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη λύση της NLS ξεκινάει ομαλά, όμως ύστερα από πεπερασμένο χρόνο εμφανίζει ιδιομορφίες. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάμε την εστιάζουσα, μη γραμμική NLS ως ένα πρότυπο ολοκληρώσιμο σύστημα. Χρησιμοποιούμε ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο, την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering transform). Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε μια ειδική περίπτωση της μεθόδου, τον λεγόμενο μετασχηματισμό Darboux. Περιγράφουμε τα βήματα για την εύρεση του μετασχηματισμού Darboux, και κατασκευάζουμε αναλυτικά τον πίνακα Darboux. Θεωρώντας ως λύση-φύτρο στον μετασχηματισμό Darboux μια γνωστή απλή λύση της NLS, μπορούμε να παράγουμε με καθαρά αλγεβρικό τρόπο νέες, σύνθετες λύσεις της. Θεωρούμε συγκεκριμένες εφαρμογές του μετασχηματισμού Darboux για την εύρεση της 1-soliton λύσης της NLS, καθώς και για τις λεγόμενες λύσεις πνοών (breathers). Όταν η περίοδος των τελευταίων περιοδικών λύσεων τείνει στο άπειρο παίρνουμε την λύση του Peregrine [31] u P (x, t) = e 2 i t ( 1 4 (1 + 4 i t) x t 2 ). Πρόκειται για την απλούστερη λύση της NLS, εντοπισμένη στον χώρο και στον χρόνο, η οποία αναπαράγει ποιοτικά το κύριο χαρακτηριστικό των ακραίων κυμάτων. Η γραφική παράσταση του πλάτους του κύματος δίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα 0.2: Το ακραίο κύμα (rogue/freak wave) της NLS - Peregrine soliton. Το μέγιστο πλάτος της λύσης του Peregrine είναι u P max = 3, δηλαδή ακριβώς 3 φορές το πλάτος των κυμάτων υποβάθρου, και άρα ικανοποιεί και το ποσοτικό κριτήριο ενός ακραίου κύματος.

21 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά στοιχεία για τις κυματικές λύσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγουμε ορισμένες έννοιες που θεμελιώνουν την ανάλυση κυματικών φαινομένων σε φυσικά συστήματα, και οι οποίες είναι αρκετά χρήσιμες για την μελέτη και την κατανόηση της φυσικής ερμηνείας της παρούσας εργασίας. 1.1 Γραμμικά κύματα Ένα κύμα ορίζεται ως μια διαταραχή ενός μέσου ή πεδίου, η οποία διαδίδεται στο μέσο μεταφέροντας ενέργεια με πεπερασμένη ταχύτητα. Για παράδειγμα, όλοι έχουμε δει ότι η ρίψη μιας πέτρας στο νερό μιας ήρεμης λίμνης προκαλεί μια διαταραχή στο στρώμα του νερού που διαδίδεται με την μορφή μικρών ομόκεντρων κυκλικών διακυμάνσεων του στρώματος του νερού. Άλλο παράδειγμα είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα το όποιο είναι μια διαταραχή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, η οποία διαδίδεται μέσα στο πεδίο. Το πιο απλό μαθηματικό μοντέλο ενός κύματος δίνεται από μια συνάρτηση της μορφής, u(x, t) = f(x c t), f C 1 (R), (1.1) η οποία παριστάνει ένα οδεύον κύμα που κινείται με σταθερή ταχύτητα c, προς τον θετικό x άξονα αν c > 0, και προς την αντίθετη κατεύθυνση αν c < 0. Η μεταβλητή x παριστάνει την χωρική θέση, η μεταβλητή t τον χρόνο, και η συνάρτηση u(x, t) περιγράφει την απομάκρυνση της διαταραχής από την θέση ισορροπίας σε κάθε χωρική θέση x και χρονική στιγμή t. Για t = 0 παίρνουμε την συνάρτηση u(x, 0) = f(x), της οποίας το γράφημα μας δίνει την αρχική μορφή του κύματος. Για κάθε χρονική στιγμή t > 0 ο αρχικός παλμός f(x) κινείται κατά μήκος του x άξονα με σταθερή ταχύτητα c αμετάβλητος, δηλαδή χωρίς παραμόρφωση. Η 5

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Σχήμα 1.1: Ένα οδεύον επίπεδο κύμα. διάδοση του αρχικού παλμού χωρίς παραμορφώσεις αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα των γραμμικών κυμάτων, ή αλλιώς κυματικών λύσεων γραμμικών ΜΔΕ, σε αντίθεση με διαδόσεις κυμάτων που περιγράφονται από μη-γραμμικές ΜΔΕ, όπου ο αρχικός παλμός δέχεται παραμορφώσεις κατά την διάδοσή του λόγω των μη γραμμικών όρων. Το οδεύον κύμα (1.1) είναι λύση της παρακάτω γραμμικής ΜΔΕ, u t + c u x = 0, (1.2) η οποία περιγράφει την διάδοση ενός κύματος μέσα σε ένα ομογενές μέσο με σταθερή ταχύτητα c. Σε πολλά προβλήματα με φυσικό ενδιαφέρον εμφανίζονται κύματα τα οποία έχουν επιπλέον την ιδιότητα της περιοδικότητας, και αναφέρονται ως ημιτονοειδή κύματα. Πρόκειται για λύσεις της (1.2) οι οποίες δίνονται από τις στοιχειώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως για παράδειγμα u(x, t) = A cos(k x ω t), (1.3) όπου A, k και ω θετικοί πραγματικοί. Λύσεις της μορφής (1.3) είναι περιοδικές και στον χώρο και στον χρόνο, με περιόδους λ = 2 π k αντίστοιχα. Η ερμηνεία των σταθερών είναι:, και T = 2 π ω, i) η σταθερή A μετρά την μέγιστη θετική απομάκρυνση του κύματος από την θέση ισορροπίας u = 0, και αναφέρεται ως το πλάτος του κύματος. ii) Η σταθερή λ = 2π k μετρά την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών (μεγίστων) του κύματος σε μια σταθερή στιγμή t = t 0, και αναφέρεται ως το μήκος κύματος. ii) Η θετικός πραγματικός αριθμός k ονομάζεται κυματικός αριθμός, ή κυματαριθμός, και μετρά τον αριθμό των 2π-περιοδικών χωρικών ταλαντώσεων πλήρους μήκους λ, ανά μονάδα χωρικής απόστασης. v) Η σταθερή T = 2π ω ονομάζεται περίοδος, και είναι ο μικρότερος χρόνος που απαιτείται για να εκτελεστεί μιας πλήρης ταλάντωση του κύματος, θεωρώντας μια σταθερή χωρική θέση x = x 0.

23 1.2. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΟΜΑΔΑΣ 7 iii) Η σταθερή ω ονομάζεται γωνιακή συχνότητα, και μετρά τον αριθμό των 2 π-περιοδικών ταλαντώσεων πλήρους χρόνου T, ανά μονάδα χρόνου. Το οδεύον κύμα (1.3) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα στην ακόλουθη μορφή, u(x, t) = A cos( k (x ω k t) ), (1.4) από όπου συμπεραίνουμε αμέσως ότι η σταθερή c στην ΜΔΕ (1.2), η οποία έχει διαστάσεις ταχύτητας, συνδέεται με τις σταθερές της λύσης (1.3) με την σχέση c = ω k. Πρόκειται για την ταχύτητα φάσης (phase velocity) η οποία στην γενική περίπτωση που η γωνιακή συχνότητα εξαρτάται από τον κυματικό αριθμό k, συμβολίζεται ως εξής c p (k) = ω(k) k. (1.5) 1.2 Ταχύτητα ομάδας Η σχέση (1.5) δηλώνει ότι οι κορυφές ημιτονοειδών κυμάτων με διαφορετικούς κυματικούς αριθμούς, και συνεπώς με διαφορετικά μήκη, κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες. Κύματα με μικρό μήκος κύματος λ ( άρα μεγάλο k ) τείνουν να κινούνται πιο αργά από κύματα με μεγαλύτερο μήκος. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του φαινομένου της διασποράς, δηλαδή της μεταβλητότητας της ταχύτητας του κύματος σε σχέση με το μήκος του. Για να κάνουμε την συζήτηση για το φαινόμενο της διασποράς πιο συγκεκριμένη, ας δούμε τι συμβαίνει σε δυο ημιτονοειδή κύματα που κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση και το μήκος κύματος του ενός διαφέρει ελάχιστα από το μήκος του άλλου. Έστω λοιπόν δυο κύματα u 1 (x, t) = A cos( k 1 x ω 1 t ), u 2 (x, t) = A cos( k 2 x ω 2 t ), που κινούνται το καθένα με ταχύτητες φάσης c 1 = ω 1 k 1 και c 2 = ω 2 k 2, αντίστοιχα. Η γραμμική υπέρθεση των δυο αυτών κυμάτων είναι u(x, t) = A cos( k 1 x ω 1 t ) + A cos( k 2 x ω 2 t ). (1.6) Χρησιμοποιώντας γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα το κύμα υπέρθεσης (1.6) γράφεται ισοδύναμα ως εξής u(x, t) = 2 A cos( k 1 k 2 2 x ω 1 ω 2 2 t ) cos( k 1 + k 2 2 x ω 1 + ω 2 2 t ). (1.7)

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Σχήμα 1.2: Γραμμική υπέρθεση δυο σχεδόν ίδιου μήκους κυμάτων για t = 0 (μπλε γραμμή). Με διακεκομμένη μαύρη γραμμή η περιβάλλουσα με μεγάλο μήκος κύματος. H γραφική απεικόνιση του κύματος υπέρθεσης (1.7), για t = 0 δίνεται στο σχήμα 1.2. Πρόκειται για ένα γρήγορα ταλαντευόμενο κύμα με μικρό μήκος κύματος, του οποίου το πλάτος διαμορφώνεται από μια περιβάλλουσα με μεγάλο μήκος. Και οι δυο αυτές διαταραχές κινούνται στον χρόνο, αλλά με διαφορετικές ταχύτητες. Αφού τα δυο κύματα u 1, και u 2 έχουν σχεδόν ίσα μήκη κύματος, η όλη ανάλυση μπορεί να απλουστευτεί ως εξής. Θέτουμε k 1 k 2 = Δk, ω 1 ω 2 = Δω, k = k ω 1 + ω 2 2 = ω, οπότε το κύμα υπέρθεσης (1.7) γράφεται ως εξής u(x, t) = 2 A cos( 1 2 ( Δk x Δω t ) ) cos( k x ω t ). (1.8) Στο παραπάνω κύμα διακρίνουμε δυο ταχύτητες. Η μια είναι αυτή που κινείται η κορυφή του κύματος με κυματαριθμό τον μέσο όρο k = k 1 + k 2 2 Είναι η ταχύτητα που ονομάσαμε ταχύτητα φάσης και είναι ίση με. c p = ω k. Η άλλη ταχύτητα είναι αυτή που κινείται η περιβάλλουσα. Επειδή η περιβάλλουσα εσωκλείνει μια ομάδα κυμάτων με μικρό μήκος, η ταχύτητα της περιβάλλουσας λέγεται ταχύτητα ομάδας (group velocity), συμβολίζεται με c g, και είναι ίση με c g (k) = lim Δk 0 Δω Δk = ω(k) k.

25 1.3. ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Επίπεδα κύματα και σχέση διασποράς Ένας εναλλακτικός τρόπος για να περιγράψουμε μια απλή κυματική διάδοση είναι μέσω της μιγαδικής συνάρτησης ψ(x, t) = ψ 0 e i ( k x ω(k) t ), ψ 0 R, ψ 0 > 0, (1.9) Κύματα της παραπάνω μορφής ονομάζονται επίπεδα κύματα (plane waves). Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler, e ix = cos(x) + i sin(x), (1.10) και χωρίζοντας πραγματικά από φανταστικά μέρη μπορούμε να επιστρέψουμε σε πραγματικές λύσεις. Για παράδειγμα, το απλό ημιτονοειδές κύμα (1.3) γράφεται ως u = Re ψ, με πλάτος A = ψ 0. Πολλές γραμμικές ΜΔΕ επιδέχονται λύσεις επίπεδων κυμάτων της μορφής (1.9). Αντικαθιστώντας μία συνάρτηση της μορφής (1.9) σε μια γραμμική ΜΔΕ και απαιτώντας να την ικανοποιεί θα πρέπει να ισχύει μια σχέση ανάμεσα στην γωνιακή συχνότητα ω και το μήκος κύματος, ή ισοδύναμα με τον κυματικό αριθμό, ω = ω(k), (1.11) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται σχέση διασποράς (dispersion relation). Για παράδειγμα, η εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης u t + c u x = γ u xx, c, γ > 0, (1.12) είναι ένα απλό μοντέλο μονοδιάστατης διάχυσης ρύπων μέσα σε ένα ρευστό που κινείται με σταθερή ταχύτητα c. Απαιτώντας η ΜΔΕ (1.12) να επιδέχεται λύσεις της μορφής (1.9), βρίσκουμε ότι η σχέση διασποράς είναι ω(k) = c k i γ k 2, δηλαδή υπάρχουν λύσεις επίπεδων κυμάτων της μορφής u(x, t) = u 0 e γ k2 t e i k ( x c t ). Στην παραπάνω λύση ο όρος e i k ( x c t ) παριστάνει ένα επίπεδο κύμα με κυματικό αριθμό k, που κινείται με σταθερή ταχύτητα c προς τον θετικό x άξονα, και o όρος u 0 e γ k2 t ένα πλάτος που φθίνει καθώς περνά ο χρόνος. Για κύματα με σταθερό μήκος (δηλαδή σταθερό k) η απόσβεση του κύματος αυξάνει καθώς αυξάνει το γ, άρα η σταθερή γ μετρά πόσο εύκολα διαχέεται ο

26 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ρύπος μέσα στο ρευστό. Από την άλλη, για σταθερό γ, η απόσβεση του κύματος αυξάνει καθώς αυξάνει ο κυματικός αριθμός k, δηλαδή καθώς μειώνεται το μήκος κύματος (λ = 2 π/k). Άρα κύματα με μικρό μήκος κύματος φθίνουν γρηγορότερα από κύματα με μεγαλύτερο μήκος. Ένα άλλο παράδειγμα σχέσης διασποράς δίνεται από τις λύσεις επίπεδων κυμάτων της ΜΔΕ u tt + u xxxx = 0, (1.13) η οποία περιγράφει την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας ενός παλλόμενου ελαστικού μονοδιάστατου δοκού. Η ΜΔΕ (1.13) έχει έμμεση σχέση με τη γραμμική εξίσωση Schrödinger i u t + u xx = 0, που είναι η γραμμικοποιημένη έκδοση της ΜΔΕ που θα μελετήσουμε εκτενώς στην εργασία αυτή, αφού κάθε C 4 λύση της i u t +u xx = 0, ικανοποιεί και την (1.13). Πολύ εύκολα βρίσκουμε ότι η σχέση διασποράς των επίπεδων κυμάτων της ΜΔΕ (1.13) είναι ω(k) = ± k 2. Από την προηγούμενη σχέση διασποράς βλέπουμε ότι η ταχύτητα φάσης c p = ω(k)/k = ±k, δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από την κυματικό αριθμό k. Άρα επίπεδα κύματα (ταλαντώσεις του δοκού) με μικρότερο μήκος κύματος κινούνται ταχύτερα από κύματα με μεγαλύτερο μήκος. Μια τελευταία παρατήρηση είναι ότι από την σχέση διασποράς συμπεραίνουμε ότι η ταχύτητα ομάδας c g = ω (k) = ±2 k, είναι διπλάσια (κατά απόλυτη τιμή) από την ταχύτητα φάσης. Αν για μια ΜΔΕ το ω(k) παίρνει τιμές στους μιγαδικούς, τότε η εξίσωση λέγεται τύπου διάχυσης (diffusive). Παραδείγματα εξισώσεων τύπου διάχυσης είναι η (1.12) και η εξίσωση της θερμότητας (c = 0). Αν το ω(k) παίρνει τιμές στους πραγματικούς τότε η ΜΔΕ λέγεται γενικά τύπου διασποράς (dispersive). 1.4 Επίπεδα κύματα και μετασχηματισμός Fourier Για σταθερό κυματικό αριθμό k = k 0, ή ισοδύναμα για σταθερό μήκος κύματος λ 0 = 2π/k 0, το επίπεδο κύμα e i ( k 0 x ω(k 0 ) t ), αναφέρεται ως μονοχρωματικό κύμα. Αν θεωρήσουμε ότι το k μεταβάλλεται, τότε τα επίπεδα κύματα e i ( k x ω(k) t ), παριστάνουν μια μονοπαραμετρική οικογένεια κυματικών λύσεων, με k R. Θεωρώντας τώρα μια άπειρη γραμμική υπέρθεση όλων των μονοχρωματικών επίπεδων κυμάτων, καθώς το k

27 1.5. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 11 διατρέχει το R, παίρνουμε + ψ(x, t) = g(k) e i ( k x ω(k) t ) dk. (1.14) Αν ψ(x, 0) = f(x), με x R, είναι η αρχική μορφή του κύματος τότε ψ(x, 0) = f(x) = π g(k) e i k x dk, (1.15) εκτός της σταθερής μπροστά από το ολοκλήρωμα για λόγους σύμβασης. Πρόκειται για τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της άγνωστης ποσότητας g(k). Συνεπώς g(k) = π f(x) e i k x dx, (1.16) που είναι ο γνωστός μας ευθύς μετασχηματισμός Fourier της αρχικής συνάρτησης f(x). Άρα αναμένουμε ο μετασχηματισμός Fourier να παίζει σημαντικό ρόλο στην ανάλυση γραμμικών προβλημάτων που αφορούν επίπεδα κύματα, ή γραμμικοποιημένων προβλημάτων θεωρώντας μικρές διαταραχές του μη γραμμικού προβλήματος γύρω από μια συγκεκριμένη λύση του. Αν έχουμε καθορίσει την σχέση διασποράς ω(k) από την γραμμική, βαθμωτή ΜΔΕ που μελετάμε, καθώς και την αρχική συνθήκη, τότε η γενική λύση του προβλήματος Cauchy δίνεται, κάτω από σχετικά ασθενείς συνθήκες, σε μια ολοκληρωτική αναπαράσταση της μορφής ψ(x, t) = π ( + f(s) e i k s ds ) e i ( k x ω(k) t ) dk = π f(s) ( + e i ( k (x s) ω(k) t) dk ) ds. 1.5 Μη γραμμικά κύματα Η ύπαρξη μη γραμμικών όρων σε μια ΜΔΕ επηρεάζει την μορφή του αρχικού κύματος, επειδή γενικά οι μη γραμμικοί όροι δρουν παραμορφωτικά στο κύμα καθώς αυτό ταξιδεύει στον χώρο και στον χρόνο. Πέρα από το φαινόμενο της διασποράς που εμφανίζεται τόσο σε κυματικές λύσεις γραμμικών όσο και μη γραμμικών ΜΔΕ, δυο είναι οι πρότυπες λύσεις που συνθέτουν τα βασικά φαινόμενα που περιγράφονται από μη γραμμικές ΜΔΕ. Είναι τα λεγόμενα κύματα αραίωσης (rarefaction waves) τα οποία προκαλούν στην λύση να απλώνεται στον χώρο καθώς περνά ο χρόνος, και τα κύματα συμπύκνωσης που προκαλούν στην λύση να γίνεται όλο και πιο απότομη στον χώρο και τελικά να σπάει σε μια ασυνέχεια. Τα τελευταία είναι γνωστά και ως ωστικά κύματα (shock waves) και είναι αυτά που θα μας απασχολήσουν στην μελέτη μας για την εστιάζουσα NLS χωρίς όρους διασποράς.

28 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Για να κάνουμε την συζήτηση πιο συγκεκριμένη θεωρούμε την παρακάτω μη γραμμική κυματική ΜΔΕ, u t + u u x = 0. (1.17) Η ΜΔΕ αυτή μελετήθηκε στις αρχές του 19ου αιώνα από τους Poisson και Riemann, [25], [30] και εμφανίζεται σε ένα πλήθος φυσικών ενδιαφερόντων προβλημάτων όπως στην αεροδυναμική, στην ακουστική, στην μελέτη ωστικών κυμάτων σε σωλήνες, στην κίνηση στους δρόμους, για να ονομάσουμε ορισμένα. Από την ίδια την εξίσωση διαπιστώνουμε ότι κύματα με μεγαλύτερο πλάτος ταξιδεύουν ταχύτερα και τελικά προσπερνούν κύματα με μικρότερο πλάτος. Όπως γνωρίζουμε οι ασυνέχειες των λύσεων διαδίδονται κατά μήκος των χαρακτηριστικών καμπυλών της ΜΔΕ, και η μέθοδος των χαρακτηριστικών καμπυλών είναι εκείνη που έχουμε στην διάθεσή μας για να μελετήσουμε μη γραμμικές ΜΔΕ όπως η (1.17). Οι χαρακτηριστικές καμπύλες της εξίσωσης (1.17) προσδιορίζονται επιλύοντας το ακόλουθο σύστημα ΣΔΕ dt dξ = 1, dx dξ = u, du dξ = 0. (1.18) Η τρίτη εξίσωση μας λέει ότι η u(x, t) πάνω στις χαρακτηριστικές καμπύλες είναι σταθερή u( x(ξ), t(ξ) ) = c. Οι άλλες δύο μας λένε ότι οι χαρακτηριστικές στο επίπεδο (x, t) είναι ευθείες της μορφής, x = t c + μ, μ R. (1.19) Η γενική λύση της ΜΔΕ (1.17) βρίσκεται συνδέοντας τις δυο σταθερές c, μ, μεταξύ τους με έναν αυθαίρετο τρόπο, δηλαδή c = f(μ). Οπότε, τελικά η λύση της (1.17) με την μέθοδο των χαρακτηριστικών δίνεται με έμμεσο τρόπο από την σχέση u(x, t) = f(x t u), f C 1. (1.20) Για να δούμε τι ακριβώς συμβαίνει με τις χαρακτηριστικές καμπύλες θα πάρουμε μια συγκεκριμένη λύση της ΜΔΕ που ικανοποιεί επιπλέον την παρακάτω αρχική συνθήκη u(x, 0) = π 2 arctan x. (1.21) Η μονοπαραμετρική οικογένεια των χαρακτηριστικών καμπυλών στο επίπεδο (x, t), είναι η x = t f(s) + s, f(s) = u(s, 0), (1.22) και το γράφημά τους δείχνεται στο σχήμα 1.5. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι οι χαρακτηριστικές καμπύλες αρχικά είναι ξεχωριστές και κατά μήκος καθεμιάς η λύση u έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Όμως ύστερα από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα η λύση φτάνει σε ένα κρίσιμη

29 1.5. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 13 χρονική στιγμή t c όπου οι πρώτες δύο χαρακτηριστικές καμπύλες τέμνονται μεταξύ τους, με αποτέλεσμα να δημιουργείται μία σφηνοειδής περιοχή στο (x, t) επίπεδο, στην οποία οι χαρακτηριστικές καμπύλες που βρίσκονται εκεί μέσα να έχουν διαφορετικές κλίσεις. Σε αυτή την περιοχή η μαθηματική έκφραση για την λύση u(x, t) έχει διαφορετικές τιμές, με αποτέλεσμα η λύση να καταρρέει αφού δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη. Έξω από την σφηνοειδή περιοχή η λύση της εξίσωσης παραμένει μονοσήμαντα ορισμένη. Σχήμα 1.3: Οι χαρακτηριστικές ευθείες για την αρχική συνθήκη (1.21). Στην σφηνοειδή περιοχή υπάρχουν σημεία στα οποία τέμνονται τρεις διαφορετικές ευθείες, συνεπώς στα σημεία αυτά η λύση u(x, t) έχει τρεις διαφορετικές τιμές. Το κρίσιμο σημείο (t c, x c ) βρίσκεται εκεί που το γράφημα της λύσης u(x, t), ως συνάρτηση του x, γίνεται κατακόρυφο. Παραγωγίζοντας την (1.20) ως προς x, αυτό συμβαίνει όταν ισχύει η παρακάτω σχέση u f (x, t) = x (x) 1 + t f (x). (1.23) Αν η αρχική συνθήκη είναι φθίνουσα συνάρτηση, f (x) < 0, τότε η λύση δεν θα είναι ομαλή για κάποια θετική χρονική στιγμή t c, στην οποία μηδενίζεται ο παρονομαστής στην σχέση (1.23). Οπότε η ελάχιστη κρίσιμη χρονική στιγμή δίνεται από την σχέση, t c = min { 1 f (x) f (x) < 0 }. (1.24) Για την συγκεκριμένη αρχική συνθήκη (1.21), η προηγούμενη γίνεται t c = min { 1 + x x 2 < 0 } = 1 για x 0 = 0. (1.25) Άρα t c = 1, και το αντίστοιχο ελάχιστο κρίσιμο χωρικό σημείο x c δίνεται από την σχέση x c = x 0 + f(x 0 ) t c = 0 + f(0) t c = π 2, (1.26) όπου x 0 = 0, η τιμή της χωρικής θέσης στην οποία γίνεται t = t c.

30 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1.6 Η πανταχού παρούσα NLS Η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) i u t + u xx 2 σ u 2 u = 0, σ = ±1, (1.27) εμφανίζεται σε πολλούς και διαφορετικούς κλάδους των φυσικών επιστημών, για παράδειγμα από την υδροδυναμική και την φυσική πλάσματος, μέχρι την μη γραμμική οπτική και τις οπτικές ίνες, για να ονομάσουμε ορισμένους. Αυτό το γεγονός δεν είναι τυχαίο αφού η NLS μοντελοποιεί την διάδοση ενός κύματος μέσα σε ένα μη γραμμικό μέσο, δηλαδή σε ένα μέσο όπου η σχέση διασποράς ω = ω(k) εξαρτάται όχι μόνο από την κυματικό αριθμό k, αλλά και από το πλάτος του ίδιου του κύματος. Αυτό σημαίνει ότι η ύπαρξη του κύματος μεταβάλλει το μέσο μέσα στο οποίο διαδίδεται. Για μια ενδιαφέρουσα συζήτηση για τους λόγους που η NLS, και γενικότερα οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις, εμφανίζονται σε πολλές φυσικές θεωρίες παραπέμπουμε στο [10]. Στα παρακάτω, ακολουθώντας σε γενικές γραμμές την διατριβή [40], δείχνουμε πως η διάδοση ενός κύματος μέσα σε ένα μη γραμμικό μέσο μοντελοποιείται από την εξίσωση NLS. Ας υποθέσουμε ότι το κύμα παριστάνεται με μια μιγαδική συνάρτηση ψ(x, t) και η σχέση διασποράς είναι ω = ω(k, ψ 2 ). Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι το ψ(x, t) είναι σχεδόν επίπεδο, δηλαδή η ολοκληρωτική αναπαράστασή του με την βοήθεια του (αντίστροφου) μετασχηματισμού Fourier είναι ψ(x, t) = g(k) e i k x i ω(k, ψ 2 ) t dk. (1.28) Όπως γνωρίζουμε από την θεωρία των μετασχηματισμών Fourier, για να είναι το ψ(x, t) σχεδόν επίπεδο κύμα θα πρέπει g(k) δ(k k 0 ), δηλαδή ένας παλμός με άπειρο πλάτος, συγκεντρωμένος στο k = k 0. Θεωρώντας την διασπορά ω(k, ψ 2 ) ως συνάρτηση δυο μεταβλητών και αναπτύσσοντας σε διπλή σειρά Taylor γύρω από το σημείο k = k 0, και ψ 2 = 0, βρίσκουμε ω(k, ψ 2 ) = ω(k 0, 0) + (k k 0 ) ω k (k 0, 0) + ψ 2 ω ψ (k 0, 0) (k k 0) 2 2 ω k (k 0, 0)+ 2 + O((k k 0 ) 3, (k k 0 ) 2 ψ 2, ψ 2 ). Χρησιμοποιούμε τώρα τους ακόλουθους συμβολισμούς ω 0 = ω(k 0, 0), c g = ω k (k 0, 0), c g = 2 ω k 2 (k ω 0, 0), σ = ( ψ 2 ) (k 0, 0), και εισάγουμε το προηγούμενο ανάπτυγμα Taylor στη ολοκληρωτική αναπαράσταση του κύματος που δίνεται από την (1.28) κρατώντας μόνο τους όρους που φαίνονται στο ανάπτυγμα. Τότε έχουμε ψ(x, t) = g(k) e i k x i ( ω 0 +(k k 0 ) c g (k k 0 )2 c g +σ ψ 2 ) t dk, (1.29)

31 1.6. Η ΠΑΝΤΑΧΟΥ ΠΑΡΟΥΣΑ NLS 15 Θεωρώντας τώρα νέο κυματικό αριθμό k = k k 0 η προηγούμενη γράφεται ψ(x, t) = e i k 0 x i ω 0 t g(k) e i k x i( k c g + k 2 2 c g +σ ψ 2 ) t dk. (1.30) Τώρα ας συμβολίσουμε το ολοκλήρωμα στην προηγούμενη σχέση με u(x, t), δηλαδή u(x, t) = g(k) e i k x i( k c g + k 2 2 c g +σ ψ 2 ) t dk, (1.31) οπότε το σχεδόν επίπεδο κύμα παριστάνεται ως εξής ψ(x, t) = u(x, t) e i k 0 x i ω 0 t. (1.32) Υποθέτουμε τώρα ότι το μέτρο ψ 2 είναι σταθερό (δεν εξαρτάται από τα x, t) και είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το μέτρο του u, δηλαδή ψ 2 u 2, που είναι σύμφωνο με την (1.32). Υπολογίζουμε τις παραγώγους u t, u x και u xx, δρώντας με τους τελεστές παραγώγισης στην (1.31) και έχουμε: u x = i k u, u xx = i 2 k 2 u, u t = i (k c g + k 2 2 c g + σ ψ 2 ) u. Από την τελευταία σχέση, χρησιμοποιώντας τις άλλες δύο και ότι ψ 2 u 2, έχουμε i u t = k c g u + k 2 2 c g u + σ u 2 u, = i c g u x 1 2 c g u xx + σ u 2 u, ή ισοδύναμα i (u t + c g u x ) c g u xx σ u 2 u = 0. (1.33) Περνώντας τώρα στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς που κινείται με την ταχύτητα ομάδας c g του κύματος, x x + c g t, t t, και με κατάλληλη αλλαγή κλίμακας στην νέα μεταβλητή x, η (1.33) μετατρέπεται στην καθιερωμένη μορφή της εξίσωσης NLS iu t + u xx 2 σ u 2 u = 0, σ = ±1. (1.34) Αν σ = 1, η NLS αναφέρεται ως αφεστιάζουσα (defocusing), και αν σ = 1 αναφέρεται ως εστιάζουσα (focusing). Ο χαρακτηρισμός αντιπροσωπεύει την συμπεριφορά συγκεκριμένων λύσεων της ΜΔΕ (1.34) που αρχικά μελετήθηκαν στο πλαίσιο της μη γραμμικής οπτικής, (βλ. [41] κεφάλαιο 6). Το σημαντικό είναι το σχετικό πρόσημο μεταξύ των όρων u xx και 2 u 2 u. Η παρούσα εργασία είναι αφιερωμένη στην εστιάζουσα εξίσωση NLS.

32 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

33 Κεφάλαιο 2 Συμμετρίες της NLS και μηχανική Hamilton Αρχίζουμε την μελέτη της εστιάζουσας εξίσωσης NLS i u t + u xx + 2 u 2 u = 0, (2.1) χρησιμοποιώντας δυο κλασικά μαθηματικά εργαλεία, τις γεωμετρικές συμμετρίες Lie και την μηχανική Hamilton. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε πρώτα τις τοπικές συμμετρίες της NLS, ή αλλιώς τις συμμετρίες Lie, με την βοήθεια των οποίων παράγουμε ορισμένες φυσικά ενδιαφέρουσες λύσεις. Αυτές τις λύσεις μπορεί να τις δει κανείς ως δομικούς λίθους πάνω στις οποίες χτίζουμε πιο ενδιαφέρουσες λύσεις της NLS, καθώς και τις εξετάζουμε ως προς την ευστάθειά τους στα επόμενα κεφάλαια. Το δεύτερο εργαλείο που χρησιμοποιούμε είναι η μηχανική Hamilton. Ορίζοντας μια κατάλληλη συμπλεκτική δομή, διατυπώνουμε την NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton, και συνδέουμε τις συμμετρίες της εξίσωσης με τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης. Η αντιστοιχία αυτή είναι γνωστή ως το περίφημο θεώρημα της Noether. 2.1 Συμμετρίες της NLS Γενικά, τοπική συμμετρία μιας ΜΔΕ είναι μια μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών των εξαρτημένων και των ανεξάρτητων μεταβλητών και έχει την ιδιότητα να απεικονίζει λύσεις της ΜΔΕ σε άλλες λύσεις της ίδιας εξίσωσης. Έτσι γνωρίζοντας τις συμμετρίες μιας ΜΔΕ μπορούμε από απλές λύσεις να κατασκευάσουμε νέες, πιο σύνθετες λύσεις της. Κλασικά παρα- 17

34 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON δείγματα τέτοιων μετασχηματισμών είναι οι μεταθέσεις, οι στροφές, αλλαγές κλίμακας, χωρίς όμως να περιορίζονται οι δυνατότητες μόνο σε αυτούς. Επιπλέον, γνωρίζοντας τις συμμετρίες μιας ΜΔΕ μπορούμε να αναζητήσουμε ειδικού τύπου λύσεις της ΜΔΕ, οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από την δράση του μετασχηματισμού των συμμετριών της. Αυτές οι λύσεις αποτελούν δομικούς λίθους για να χτίσουμε πιο σύνθετες λύσεις της ΜΔΕ, και λέγονται αναλλοίωτες λύσεις της ΜΔΕ. Για παράδειγμα, όπως δείχνουμε παρακάτω στο κεφάλαιο αυτό η λύση του επίπεδου κύματος και η 1-soliton λύση της εξίσωσης NLS είναι αναλλοίωτες λύσεις της NLS κατά μήκος των ροών κατάλληλων γεννητόρων συμμετριών της. Δρώντας με την συμμετρία του μετασχηματισμού Galileo σε λύσεις που παριστάνουν στάσιμους παλμούς μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις που παριστάνουν παλμούς που κινούνται με σταθερή ταχύτητα v προς μια κατεύθυνση του χώρου. Η νέα παράμετρος της ταχύτητας που υπεισέρχεται, για παράδειγμα στην 1-soliton λύση, είναι ακριβώς η παράμετρος του μετασχηματισμού Galileo. Η φυσική ερμηνεία πίσω από αυτήν την διαδικασία είναι ότι από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς (ΑΣΑ) Σ που κινείται μαζί με το κύμα (άρα στο Σ το κύμα ακινητεί) μεταφερόμαστε σε ένα άλλο ΑΣΑ Σ που κινείται με σταθερή ταχύτητα v ως προς το Σ, στο οποίο το κύμα φαίνεται να ταξιδεύει με ταχύτητα v. Μια διεξοδική ανάλυση της θεωρίας ομάδων και αλγεβρών Lie, η οποία είναι το μαθηματικό πλαίσιο για την μελέτη των συμμετριών διαφορικών εξισώσεων, μας βγάζει πολύ έξω από τους στόχους της εργασίας αυτής. Αντί αυτού έχουμε επιλέξει να παρουσιάσουμε την πιο γενική ομάδα των τοπικών συμμετριών Lie της NLS και με την βοήθειά τους να παραγάγουμε φυσικά ενδιαφέρουσες λύσεις της, που θα τις χρησιμοποιήσουμε στα επόμενα. Για την θεωρία των συμμετριών διαφορικών εξισώσεων και τις εφαρμογές τους παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα συγγράμματα [29], [9], [36], και στην βιβλιογραφία εκεί. Έστω G μια τοπική ομάδα μετασχηματισμών, του δρα στο M U R p R q, δηλαδή στις ανεξάρτητες μεταβλητές x = (x 1,, x p ) R p, και στις εξαρτημένες μεταβλητές u = (u 1,, u q ) R q. Έστω f C (M, U) μια ομαλή συνάρτηση f M U. Η δράση της ομάδας G πάνω στην συνάρτηση u = f(x) ορίζεται ως η δράση της G πάνω στο γράφημα της f, δηλαδή ( x, u ) = g (x, u) = ( X(x, u; ε), U(x, u; ε) ), (2.2) όπου ε η απειροστή παράμετρος της ομάδας μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί αυτοί λέγονται μετασχηματισμοί σημείου. Στην περίπτωση των συνεκτικών ομάδων, η δράση της ομάδας μπορεί να ανακτηθεί από τους απειροστούς γεννήτορες. Ο πιο γενικός γεννήτορας

35 2.1. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS 19 που παράγει την δράση (2.2) είναι της μορφής p q X = ξ i (x, u) xi + η j (x, u) uj. (2.3) i=1 j=1 Η ροή που παράγει το διανυσματικό πεδίο X συμβολίζεται με exp(εx)(x, u) και είναι X (x,u) = d dε ε=0 exp(εx)(x, u). Το διανυσματικό πεδίο X λέγεται ο απειροστός γεννήτορας της δράσης της ομάδας G. Για την NLS έχουμε δυο ανεξάρτητες μεταβλητές (x, t) και δυο εξαρτημένες (u, u ), όπου με συμβολίζουμε μιγαδικό συζυγές. Η πιο γενική ομάδα τοπικών συμμετριών της NLS [37] παράγεται από τον γεννήτορα X = ξ 1 (x, t) x + ξ 2 (x, t) t + η(x, t, u) u + c.c., (2.4) όπου ξ 1 (x, t) = a 1 + a 4 x + a 5 t, (2.5) ξ 2 (x, t) = a a 4 t, (2.6) η(x, t) = (i a 3 a i a 5 x ) u. (2.7) Πιο συγκεκριμένα έχουμε τους εξής μετασχηματισμούς που αφήνουν την NLS αναλλοίωτη. i) Μετατόπιση στον x άξονα. Ο γεννήτορας της συμμετρίας είναι ο X 1 = x. Η μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών που αντιστοιχεί στον γεννήτορα X 1, προκύπτει από την ροή του X 1, δηλαδή αφού λύσουμε το σύστημα ΣΔΕ x (ε 1 ) = 1, t (ε 1 ) = 0, u (ε 1 ) = 0, (2.8) με τις αρχικές συνθήκες x (0) = x, t (0) = t, u (0) = u. Πολύ εύκολα βρίσκουμε ότι exp(ε 1 X 1 )(x, t, u) = (x + ε 1, t, u). (2.9) Αν η u = f(x, t) είναι μία λύση της εξίσωσης NLS, τότε και η u = f( x ε 1, t ) είναι μια νέα λύση της.

36 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON ii) Μετατόπιση στον t άξονα. Ο γεννήτορας της συμμετρίας είναι ο X 2 = t. Η μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών που αντιστοιχεί στον γεννήτορα X 2, προκύπτει από την ροή του X 2. Λύνοντας το σύστημα ΣΔΕ x (ε 2 ) = 0, t (ε 2 ) = 1, u (ε 2 ) = 0, (2.10) με αρχικές συνθήκες x (0) = x, t (0) = t, u (0) = u, βρίσκουμε ότι exp(ε 2 X 2 )(x, t, u) = (x, t + ε 2, u). (2.11) Αν η u = f(x, t) είναι μία λύση της εξίσωσης NLS, τότε και η u = f( x, t ε 2 ) είναι μια νέα λύση της. iii) Μετασχηματισμός βαθμίδας. Ο γεννήτορας της συμμετρίας βαθμίδας (gauge) είναι ο X 3 = i u u. Λύνοντας το σύστημα ΣΔΕ x (ε 3 ) = 0, t (ε 3 ) = 0, u (ε 3 ) = i u, (2.12) με αρχικές συνθήκες x (0) = x, t (0) = t, u (0) = u, βρίσκουμε ότι η μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών που αντιστοιχεί στον γεννήτορα X 3, δίνεται από την ροή exp(ε 3 X 3 )(x, t, u) = (x, t, e i ε 3 u). (2.13) Αν η u = f(x, t) είναι μία λύση της εξίσωσης NLS, τότε και η u = e i ε 3 f( x, t ) είναι μια νέα λύση της. iv) Αλλαγή κλίμακας. Ο γεννήτορας της συμμετρίας αυτής είναι ο X 4 = x x + 2 t t u u Η μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών που αντιστοιχεί στον γεννήτορα X 4, προκύπτει λύνοντας το σύστημα ΣΔΕ x (ε 4 ) = x, t (ε 4 ) = 2 t, u (ε 4 ) = u, (2.14)

37 2.1. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS 21 με τις αρχικές συνθήκες x (0) = x, t (0) = t, u (0) = u. Η ροή του X 4 είναι exp(ε 4 X 4 )(x, t, u) = (e ε 4 x, e 2 ε 4 t, e ε 4 u) (2.15) Αν η u = f(x, t) είναι μία λύση της εξίσωσης NLS, τότε και η u = ρ u(ρ x, ρ 2 t ) είναι νέα λύση της, όπου ρ = e ε 4. v) Μετασχηματισμός Galileo Galilei. Είναι αξιοσημείωτο ότι η NLS επιδέχεται ως γεννήτορα της συμμετρίας το διανυσματικό πεδίο X 5 = 2 t x + i x u u, του οποίου η ροή μπορεί να ερμηνευτεί ως ένας μετασχηματισμός Galileo σε ένα ΑΣΑ που κινείται με σταθερή ταχύτητα v, ως προς ένα άλλο ΑΣΑ το οποίο ακινητεί. Πράγματι, η μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών που αντιστοιχεί στον γεννήτορα X 5, προκύπτει από την ροή του X 5, λύνοντας το σύστημα ΣΔΕ x (ε 5 ) = 2 t, t (ε 5 ) = 0, u (ε 5 ) = i x u, (2.16) με αρχικές συνθήκες x (0) = x, t (0) = t, u (0) = u. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε ότι exp(ε 5 X 5 )(x, t, u) = (x + 2 ε 5 t, t, e i ε 5 (x+2 ε 5 t) u) (2.17) Αν η u = f(x, t) είναι μία λύση της εξίσωσης NLS, τότε και η u = e i v ( x v t ) f( x 2 v t, t ), (2.18) είναι μία νέα λύση της, όπου v = ε 5. vi) Αντιστροφή του χρόνου-ορμής. Οι παραπάνω πέντε μονοπαραμετρικές ομάδες μετασχηματισμών εξαντλούν τις τοπικές (γεωμετρικές) συμμετρίες Lie. Υπάρχει όμως και μια διακριτή συμμετρία η οποία δεν εξαρτάται από παράμετρο. Όπως μας λέει η διαίσθησή μας μπορούμε να αντιστρέψουμε τον χρόνο αντιστρέφοντας τις ορμές. Πράγματι η NLS είναι αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό (x, t, u) (x, t, u ).

38 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON 2.2 Αναλλοίωτες λύσεις της NLS - Το επίπεδο κύμα και η 1-soliton λύση Σε αυτή την παράγραφο με την βοήθεια των συμμετριών της NLS θα βρούμε ορισμένες φυσικά ενδιαφέρουσες λύσεις της εστιάζουσας NLS. Αυτές οι λύσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα να παραμένουν αναλλοίωτες κατά μήκος της ροής συγκεκριμένων συμμετριών της NLS. Ειδικότερα βρίσκουμε με αλγοριθμικό τρόπο την λύση του επίπεδου κύματος καθώς και την λεγόμενη 1-soliton λύση της NLS. Θεωρούμε την εστιάζουσα μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger i u t + u xx + 2u u 2 = 0. (2.19) και τον γραμμικό συνδυασμό των γεννητόρων X = X 2 + λ X 3, δηλαδή X = t + i λ u u. Συναρτήσεις u = F (x, t) των οποίων το γράφημα παραμένει αναλλοίωτο κατά μήκος της ροής που παράγεται από τον γεννήτορα X, είναι της μορφής u(x, t) = F (x) e iλt, (2.20) με F (x), πραγματική συνάρτηση και λ, πραγματική παράμετρο. Πράγματι, αν δράσει ο γεννήτορας X σε λύσεις της μορφής (2.20) έχουμε ότι, X(u(x, t) F (x) e i λ t ) = ( i λ u + i λ F (x) e i λ t ) u=f (x) e iλt = 0. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : Περίπτωση A: Αν F (x) = c, δηλαδή απαιτούμε η λύση να είναι αναλλοίωτη κάτω από την δισδιάστατη ομάδα G που παράγεται από την υποάλγεβρα {X, x }, με άλλα λόγια να μην εξαρτάται επιπλέον η λύση από την χωρική μεταβλητή x, τότε u(x, t) = c e iλt. (2.21) Εισάγοντας την σχέση (2.22) στην NLS προκύπτει ότι θα πρέπει λ = 2 c 2, οπότε u(x, t) = c e 2 i c2 t, c > 0. (2.22) Η (2.22) αποτελεί την πιο απλή, μη-τετριμμένη, λύση της NLS και ονομάζεται λύση του επίπεδου κύματος. Για c = 1, η λύση παίρνει την ακόμα πιο απλή μορφή u(x, t) = e 2 i t, με u = 1.

39 2.2. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ NLS - ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΥΜΑ ΚΑΙ Η 1-SOLITON ΛΥΣΗ 23 Σημειώνουμε, ότι όπως είδαμε στην εισαγωγή, για να προσδώσουμε στις λύσεις της NLS φυσική ερμηνεία πρέπει να πάμε αντίστροφα από την (1.34) στην (1.33). Είναι σε εκείνες τις συντεταγμένες του φυσικού χώρου και χρόνου, στις οποίες η λύση (2.22) παριστάνει ένα επίπεδο κύμα με σταθερό πλάτος c. Περίπτωση B: Αν η F (x) C (R), είναι ομαλή συνάρτηση της μεταβλητής x, τότε η λύση έχει την πιο γενική μορφή u(x, t) = F (x) e i λ t. (2.23) Εισάγουμε την σχέση (2.23) στην εξίσωση NLS (2.19) και παίρνουμε i 2 λf (x) e iλt + F (x) e iλt + 2F 3 (x) e iλt = 0 δηλαδή η F (x) θα πρέπει να ικανοποιεί την ΣΔΕ F (x) λf (x) + 2F 3 (x) = 0. Πολλαπλασιάζοντας την προηγούμενη σχέση με F (x) έχουμε ότι F (x)f (x) λ F (x)f (x) + 2 F 3 (x)f (x) = 0. Η τελευταία μπορεί να ολοκληρωθεί μια φορά ως προς την μεταβλητή x, και προκύπτει ότι (F (x)) 2 λ F 2 (x) + F 4 (x) = c, όπου c πραγματική σταθερή ολοκλήρωσης. Λύνοντας την τελευταία ως προς F (x) έχουμε, F (x) = c + λf 2 (x) F 4 (x) η οποία χωρίζει μεταβλητές, συνεπώς 1 df = dx. (2.24) c + λf 2 (x) F 4 (x) Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων λ, c, το προηγούμενο ολοκλήρωμα ανάγεται στις ελλειπτικές συναρτήσεις Jacobi πρώτου και δεύτερου είδους. Έχουμε τις εξής υποπεριπτώσεις: i) Για λ = 2 m 2, και c = 1 + m 2, το ολοκλήρωμα (2.24) γίνεται 1 df. (2.25) (1 F 2 (x))(f 2 (x) 1 + m 2 ) Σε αυτή την περίπτωση το ολοκλήρωμα ανάγεται στην ελλειπτική συνάρτηση Jacobi dn, πρώτου είδους, F (x) = dn(x, m). (2.26) Άρα η λύση είναι της μορφής u(x, t) = dn(x, m) e i(2 m2 )t, 0 m 1. (2.27)

40 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON ii) Για λ = 2m 2 1, και c = 2m 2 + 2, το ολοκλήρωμα (2.24) γίνεται 1 df. (1 F 2 (x))( 2m F 2 (x)) (2.28) Σε αυτή την περίπτωση το ολοκλήρωμα ανάγεται στην ελλειπτική συνάρτηση Jacobi cn, δεύτερου είδους, F (x) = m cn(x, m). (2.29) Άρα η λύση είναι της μορφής u(x, t) = m e i (2 m2 1) t cn(x, m), 0 m 1. (2.30) iii) Για m = 1, οι δυο προηγούμενες υποπεριπτώσεις ταυτίζονται, ισχύει και στις δυο ότι λ = 1, και c = 0, οπότε η λύση παίρνει την έκφραση u(x, t) = e i t dn(x, 1) = e i t cn(x, 1) = Πρόκειται για την 1-soliton λύση της NLS, u(x, t) = t ei coshx. (2.31) t ei coshx, (2.32) η οποία αποτελεί μια από τις πιο γνωστές και ενδιαφέρουσες λύσεις της NLS. Το μέτρο u παριστάνει έναν στάσιμο, συμμετρικό παλμό γύρω από το x = 0, όπου παίρνει την μέγιστη τιμή 1, και φθίνει πολύ γρήγορα στο 0 καθώς x + (βλ. Σχήμα 2.1). Σχήμα 2.1: Η 1-soliton λύση της NLS H (2.32) μπορεί να θεωρηθεί ως η λύση του ΠΣΤ, που απαρτίζεται από την NLS και ομογενή συνοριακή συνθήκη τύπου Neumann στο άκρο x = 0, στην ημιευθεία x [0, + ), και t > 0, i u t + u xx + 2u u 2 = 0, u x (0, t) = 0, u(x, 0) = 1 coshx. (2.33)

41 2.2. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ NLS - ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΥΜΑ ΚΑΙ Η 1-SOLITON ΛΥΣΗ 25 Όπως αναφέραμε προηγουμένως με την βοήθεια των συμμετριών της NLS μπορούμε από γνωστές λύσεις της να κατασκευάσουμε νέες, πιο σύνθετες λύσεις με την διαδικασία της εκθετοποίησης. Για παράδειγμα, αν εφαρμόσουμε στην 1-soliton λύση (2.32), τον μετασχηματισμό Galileo (2.18), παίρνουμε την νέα λύση u(x, t) = ei t i v (x v t) e cosh(x 2 v t), (2.34) η οποία παριστάνει έναν παλμό που ταξιδεύει με ταχύτητα v > 0, προς τον θετικό x άξονα. Σχήμα 2.2: Βλέπουμε ορισμένα στιγμιότυπα της λύσης του 1-soliton, όπου ο παλμός ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα προς τον θετικό x άξονα, αν v > 0. Η φυσική ερμηνεία του μετασχηματισμού αυτού είναι ότι από ένα ΑΣΑ Σ στο οποίο ο παλμός (2.32) ακινητεί, μεταφερόμαστε στο Σ το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα v προς τον αρνητικό x-άξονα του Σ, άρα στο Σ παρατηρούμε τον παλμό να κινείται προς τον θετικό x άξονα, όπως δείχνεται στο σχήμα 2.2. Σχήμα 2.3: Η 1-soliton λύση της NLS είναι μια περιβάλλουσα. Περνώντας στις φυσικές συντεταγμένες που συζητήσαμε στο κεφάλαιο 1, η 1-soliton λύση λύση (2.34) είναι η περιβάλλουσα μιας ομάδας επίπεδων κυμάτων από τα οποία εκείνα με μικρότερο πλάτος κινούνται ταχύτερα σε σχέση με εκείνα με μεγαλύτερο πλάτος, και με αυτόν τον τρόπο η 1-soliton λύση διατηρεί την ακεραιότητά της. Για να δείξουμε εποπτικά το γεγονός αυτό, στο σχήμα 2.3 δείχνουμε την 1-soliton λύση ως περιβάλλουσα του πραγματικού και φανταστικού μέρους της (2.34).

42 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON 2.3 Η NLS ως ένα σύστημα Hamilton Σε αυτήν την παράγραφο θα διατυπώσουμε την NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton με στόχο να συνδέσουμε τις συμμετρίες της NLS με τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης. Αυτό είναι γνωστό ως το περίφημο θεώρημα της Noether το οποίο εγγυάται την ύπαρξη μιας 1-1 αντιστοιχίας μεταξύ ποσοτήτων που διατηρούνται και μονοπαραμετρικών ομάδων μετασχηματισμών που διατηρούν την συνάρτηση Hamilton. Σε αντίθεση με τα συστήματα Hamilton που περιγράφονται από συστήματα ΣΔΕ, όπου ο χώρος φάσεων είναι πεπερασμένης διάστασης, στην περίπτωση των ΜΔΕ ο χώρος φάσεων είναι απειροδιάστατος, οπότε η κάθε ΜΔΕ που μοντελοποιεί ένα σύστημα εξέλιξης απαιτεί ειδική μεταχείριση. Μία συμπλεκτική μορφή ω είναι μια κλειστή (αντι-συμμετρική) 2-μορφή στον χώρο των φάσεων. Συγκεκριμένα, η ω παίρνει δύο διανύσματα f, g C (R), σε ένα σημείο u του χώρου των φάσεων και τα απεικονίζει σε έναν πραγματικό αριθμό ω(f, g) R. Η συμπλεκτική μορφή που θα χρησιμοποιήσουμε για την μελέτη της NLS είναι η εξής ω (f, g) = Im R f(x) g (x) dx = {f, g}. (2.35) Οι κανονικές συζυγείς συντεταγμένες είναι οι q(x) = 2 Re u(x), p(x) = 2 Im u(x). (2.36) Για δύο συναρτήσεις F, G R C, η αγκύλη Poisson {F, G}, των συναρτήσεων F, G, που συσχετίζεται με την συμπλεκτική μορφή ω δίνεται από την παρακάτω σχέση, {F, G}(u) = δf (x) δg (x) δf (x) δg (x) dx. (2.37) ( δq u δp u δp u δq u ) R Η παράγωγος μεταβολής ορίζεται ως δ δu = E u, (2.38) όπου E u, και E u οι τελεστές Euler ως προς τις συντεταγμένες φάσης u, u, αντίστοιχα, και η ρητή τους έκφραση δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις E u = E u = u D x + D 2 x... + ( 1) k Dx k ux uxx u D x + D 2 x... + ( 1) k Dx k u x u xx ux x k u x x k, (2.39), (2.40) όπου D x ο τελεστής ολικής παραγώγισης.

43 2.3. Η NLS ΩΣ ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ HAMILTON 27 Ένα σύστημα Hamilton μπορεί να γραφεί ως εξής u t = ω H(u), (2.41) όπου ω H(u) το διανυσματικό πεδίο Hamilton που ορίζεται από την σχέση dh( ) = ω(, ω H). (2.42) Συγκεκριμένα έχουμε ω H(u) = ( δh δp, δh δq ), (2.43) οπότε η (2.41) παίρνει την οικεία έκφραση των εξισώσεων Hamilton στην μορφή q t = δh δp, p t = δh δq. (2.44) Με αυτόν τον φορμαλισμό, αντί της σχέσης (2.41), μπορούμε να ορίσουμε εναλλακτικά ότι για ένα σύστημα Hamilton ισχύει ότι d δf dq F (u) = dt δq dt + δf dp δp dt = δf δh δq δp δf δh δp δq = {F, H}. (2.45) όπου F συναρτησιακό στον χώρο των φάσεων. Πρόταση 2.1. Η εξίσωση NLS i u t + u xx + 2u u 2 = 0, μπορεί να εκφραστεί ως ένα σύστημα Hamilton, όπου η συνάρτηση Hamilton δίνεται από το ακόλουθο συναρτησιακό H(u) = R ( u x 2 u 4 )dx. (2.46) Απόδειξη: Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ροή της εξίσωσης i u t = u xx 2u u 2. (2.47) είναι ισοδύναμη με την σχέση (2.45), την οποία για ευκολία ξαναγράφουμε όπου η H(u) δίνεται από την (2.46) και F (u) = R u dx. d dt F (u) = {F, H} (q,p). (2.48) Επειδή οι υπολογισμοί είναι πιο απλοί στις συντεταγμένες (u, u ) σημειώνουμε ότι από την (2.36) ισχύει {F, G} (q,p) = i {F, G} (u,u).

44 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON Αντικαθιστώντας στην (2.48) και πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη της εξίσωσης με την φανταστική μονάδα, έχουμε Προφανώς ισχύει ότι i u R t dx = R ( δf δh δu δu δf δu δf δu = δ(u) δu = E u (u) = 1, δf δu = δ(u) δu = E u (u) = 0. δh δu ) dx. (2.49) (2.50) Επειδή στην H(u) εμφανίζονται όροι μέχρι πρώτης τάξης παραγώγων των u, u, ο τελεστής Euler για όρους παραγώγων ανώτερης τάξης μηδενίζεται πάνω στην H(u). Άρα έχουμε ότι, δh δu = δ(u x u x u 2 u 2 ) = E δu u (u x u x u 2 u 2 ) = (2u u 2 + u xx), δh δu = δ(u x u x u 2 u 2 ) δu = Eu (u x u x u 2 u 2 ) = (2u 2 u + u xx ). Εισάγοντας τις σχέσεις (2.50), (2.51), στην (2.49) έχουμε (2.51) i R u t dx = R ( u xx 2u u 2 ) dx, (2.52) ή ισοδύναμα R (i u t + u xx + 2 u u 2 ) dx = 0, (2.53) η οποία ισχύει πάνω στις λύσεις u της NLS. Άρα τελικά, η NLS είναι ένα σύστημα Hamilton με συνάρτηση Hamilton H(u) από την (2.46). 2.4 Νόμοι διατήρησης της NLS Ολοκληρώνουμε την συζήτησή μας για την NLS στο κεφάλαιο αυτό εξάγοντας τους νόμους διατήρησης που αντιστοιχούν στις συμμετρίες Lie που έχουμε βρει. Μετατόπιση στον χρόνο - Διατήρηση της ενέργειας Όπως δείξαμε παραπάνω η συμμετρία t t + ε συνδέεται με την διατήρηση της συνάρτησης Hamilton, που παίζει τον ρόλο της ενέργειας. Μετασχηματισμός βαθμίδας - Διατήρηση της μάζας Η συμμετρία του μετασχηματισμού βαθμίδας u e i ε u αφήνει αμετάβλητη την εξίσωση NLS. Η συμμετρία αυτή συνδέεται με την διατήρησης της μάζας.

45 2.4. ΝΟΜΟΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ NLS 29 Πράγματι, ως μάζα για μια κυματική διαταραχή μπορούμε να ορίσουμε το τετράγωνο του πλάτους του, δηλαδή την ποσότητα που δίνεται από το συναρτησιακό M(u) = R u 2 dx = R u u dx. Θα δείξουμε ότι η ποσότητα αυτή διατηρείται πάνω στις λύσεις της NLS, δηλαδή ισχύει d dt M(u) = {M, H} (q,p) = i {M, H} (u,u), ταυτοτικά πάνω στις λύσεις της NLS. Πρώτα υπολογίζουμε την αγκύλη Poisson και έχουμε {M, H} (u,u) = R ( δm δu δh δu δm δu δh δu ) dx = R ( u (u xx + 2 u u 2 ) + u (u xx + 2 u 2 u ) ) dx (2.54) = R ( u u xx + u u xx) dx. Από τη άλλη, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση NLS με u και έχουμε i u u t = u u xx 2u u 2. (2.55) Πολλαπλασιάζοντας την συζυγή εξίσωση NLS με u παίρνουμε i u u t = u u xx 2u2 u 2. (2.56) Αφαιρώντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις κατά μέλη και ολοκληρώνοντας ως προς x, καταλήγουμε στην i R ( u u t + u u t ) dx = R ( u u xx u u xx ) dx, (2.57) η οποία σε συνδυασμό με την (2.54) μας δίνει το ζητούμενο. Μετατόπιση στον χώρο - Διατήρηση γραμμικής ορμής Με παρόμοιους υπολογισμούς όπως προηγουμένως, μπορούμε να δείξουμε ότι η συμμετρία της μετατόπισης στον x άξονα x x + ε συνδέεται με την διατήρησης της γραμμικής ορμής που δίνεται από το ακόλουθο συναρτησιακό P (u) = R 2 Im (u u x ) dx = i R ( u u x u u x ) dx. (2.58)

46 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΗΣ NLS ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ HAMILTON Μετασχηματισμός Galileo - Διατήρηση της θέσης του κέντρου μάζας Ο μετασχηματισμός Galileo παράγεται από το διανυσματικό πεδίο X 5 = 2 t x + i x u u, το οποίο έχει ρητή εξάρτηση τόσο από την χρονική μεταβλητή t, όσο και από την χωρική μεταβλητή x. Μπορεί να αποδειχτεί ότι η συμμετρία αυτή σχετίζεται με την διατήρηση της θέσης του κέντρου μάζας και δίνεται από το συναρτησιακό X(u) = R x u 2 dx. (2.59) Αλλαγή κλίμακας Ο μετασχηματισμός αυτός δεν αντιστοιχεί σε κάποιο γνωστό μόνο διατήρησης. Η καλύτερη προσέγγισή του με έναν νόμο διατήρησης είναι με το ακόλουθο συναρτησιακό A(u) = R 2 x Im(u u x ) dx = x = i R x ( u u x u u x ) dx. (2.60) Για περισσότερες λεπτομέρειες για την σύνδεση μεταξύ νόμων διατήρησης της NLS και των μονοπαραμετρικών ομάδων συμμετριών της παραπέμπουμε στο [22].

47 Κεφάλαιο 3 Αστάθεια διαμόρφωσης της εστιάζουσας εξίσωσης NLS και μία εισαγωγή στα ακραία κύματα Όπως είδαμε αναλυτικά στην εισαγωγή η κυβική μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) iu t + u xx 2 σ u 2 u = 0, σ = ±1, (3.1) μοντελοποιεί την εξέλιξη της περιβάλλουσας (envelope) ενός μονοχρωματικού, ασθενώς μηγραμμικού κύματος ψ(x, t) = u(x, t) e i(k 0x ω 0 t ). Εδώ u(x, t) είναι το (μιγαδικό) πλάτος, που μεταβάλλεται αργά στον χρόνο και στον χώρο, ενός φέροντος κύματος με κυματικό αριθμό k 0, συχνότητας ω 0 = ω 0 (k 0 ), και ταχύτητας ομάδας c g = ω (k 0 ). Οι ανεξάρτητες μεταβλητές (x, t) στην εξίσωση NLS (3.1) σχετίζονται με τον φυσικό χώρο x, και χρόνο t, ως εξής x = x c g t, t = t. Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε ότι η ακριβής λύση του επίπεδου κύματος u(x, t) = u 0 e 2 i u2 0 t, (3.2) της εστιάζουσας εξίσωσης NLS (3.1) με σ = 1, είναι ασταθής. Το φαινόμενο της αστάθειας διαμόρφωσης (πλάτους/φάσης) σχετίζεται άμεσα με την ύπαρξη ακραίων κυματικών λύσεων της εστιάζουσας εξίσωσης NLS και για τον λόγο αυτό θα αναλύσουμε εκτενώς το φαινόμενο χρησιμοποιώντας διάφορα μαθηματικά εργαλεία. 31

48 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Για την μελέτη του φαινομένου αυτού αρχικά λύνουμε το ΠΑΤ την γραμμικοποιημένης NLS, δηλαδή την ΜΔΕ (3.1) δίχως τον μη-γραμμικό όρο. Στην συνέχεια εφαρμόζουμε την θεωρία διαταραχών γύρω από την λύση του επίπεδου κύματος. Θεωρώντας μόνο όρους τάξης O(ε), και χωρίζοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη, επιλύουμε το γραμμικό σύστημα ΜΔΕ που προκύπτει. Αποδεικνύουμε ότι η σχέση διασποράς μεταξύ της συχνότητας και του κυματικού αριθμού που προβλέπει η θεωρία διαταραχών, είναι Ω(k) = k (k 2 4u 2 0 ) 1/2. Για k < 2 u 0, η συχνότητα Ω είναι φανταστικός αριθμός, με συνέπεια η διαταραχή τόσο του πλάτους, όσο και της φάσης, να αυξάνονται εκθετικά με τον χρόνο. Η εκθετική αύξηση αυτή καλείται αστάθεια διαμόρφωσης (πλάτους/φάσης). Για τιμές k 2 u 0, τότε Ω k 2, δηλαδή η σχέση διασποράς τείνει σε αυτή της γραμμικής θεωρίας, όπου το πλάτος μειώνεται σύμφωνα με τον νόμο t 1/ Η γραμμική εξίσωση Schrödinger Σε αυτήν την παράγραφο μελετάμε την γραμμική εξίσωση του Schrödinger, δηλαδή την ΜΔΕ (3.1) παραλείποντας τους μη-γραμμικούς όρους. Βρίσκουμε την θεμελιώδη λύση της, η οποία για ΜΔΕ τύπου εξέλιξης παίζει τον ρόλο της συνάρτησης Green. Ως γνωστό, η θεμελιώδης λύση μας βοηθά να γράψουμε την λύση του ΠΑΤ για γενικά αρχικά δοσμένα, σε μια ολοκληρωτική μορφή, μέσω της συνέλιξης των αρχικών δοσμένων με την θεμελιώδη λύση. Συγκεκριμένα, θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ που απαρτίζεται από την γραμμική εξίσωση του Schrödinger και την ακόλουθη αρχική συνθήκη, iu t + u xx = 0, και u(x, 0) = δ(x ξ), t > 0, < x <. (3.3) όπου δ(x ξ) η κατανομή του Dirac με πόλο στο ξ R. Γνωρίζουμε ότι μια μέθοδος επίλυσης ενός ΠΑΤ (3.3) για γραμμικές ΜΔΕ, είναι η μέθοδος του μετασχηματισμού Fourier. Τα βήματα της μεθόδου δίνονται σχηματικά στο σχήμα 3.1 Η u(x, t) στην εξίσωση (3.3) θεωρείται ως μία οικογένεια κατανομών, τα μέλη της οποίας διακρίνονται από τις διάφορες τιμές της παραμέτρου t. Υποθέτουμε ότι για κάθε t > 0 η κατανομή u είναι ήπια, δηλαδή u C. Με τις παραπάνω υποθέσεις ο μετασχηματισμός Fourier u (k, t) = F [u(x, t)] της u(x, t) ως προς την μεταβλητή x R, υπάρχει και ορίζεται ως εξής (βλ. [46])

49 3.1. Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRÖDINGER 33 u(x, 0) F u(k, 0) επίλυση της ΔΕ ως προς t u(x, t) F 1 u(k, t) Σχήμα 3.1: Σχηματική αναπαράσταση της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier. u (k, t) = 1 2π u(x, t)e ikx dx. (3.4) Επιπλέον ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier u(x, t) = F 1 [ u (k, t)], ορίζεται ως εξής u(x, t) = 1 2π u(k, t)e ikx dk. (3.5) Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier στην ΜΔΕ (3.3), και χρησιμοποιώντας γνωστές ιδιότητές του, η ΜΔΕ μετατρέπεται στην εξής ΣΔΕ i u t k 2 u = 0. (3.6) Επιπλέον, ο μετασχηματισμός Fourier της αρχικής συνθήκης του ΠΑΤ (3.3) είναι ο εξής, u (k, 0) = 1 2π δ(x ξ)e ikx dx = 1 e ikξ. (3.7) 2π Οι σχέσεις (3.6), (3.7) αποτελούν ένα ΠΑΤ, η λύση του οποίου είναι η u (k, t) = 1 2π e ikξ e ik2t. (3.8) Εφαρμόζοντας τώρα τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier στην λύση (3.8), δηλαδή με αντικατάσταση της σχέσης (3.8) στην σχέση (3.5), παίρνουμε την λύση του αρχικού ΠΑΤ (3.3). Πράγματι, u(x, t) = 1 2π e ik(x ξ) e ik2t dk. (3.9) Το προηγούμενο ολοκλήρωμα υπολογίζεται συμπληρώνοντας το τετράγωνο και αν συμβολίσουμε με Φ(x, t) την θεμελιώδη λύση της γραμμικής εξίσωσης Schrödinger, έχουμε ότι Φ(x, t) = 1 2 iπt e i(x ξ)2 4t. (3.10)

50 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Περιορίζοντας τον λογάριθμο στην πρωτεύουσα τιμή του ( log i = i π/2 ), έχουμε ότι i 1 2 = e log ( i 1 2 ) = e 1 2 log(i) = e iπ 4. Οπότε η u(x, t) στην (3.9) μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή Φ(x, t) = 1 2 π t e i π sign(t) 4 e i (x ξ)2 4t. (3.11) Υποθέτοντας ότι t > 0, η θεμελιώδης λύση παίρνει την τελική έκφραση Φ(x, t) = 1 e iπ 4 e i(x ξ)2 4t, (3.12) 2 π t Παρατηρούμε ότι το πλάτος Φ(x, t), μειώνεται σύμφωνα με το νόμο t 1/2, όπως συμβαίνει και για την θεμελιώδη λύση της εξίσωσης της θερμότητας, για μεγάλες τιμές της μεταβλητής t. Σχήμα 3.2: Ο ρυθμός πτώσης του πλάτους Φ(x, t) της θεμελιώδους λύσης της γραμμικής εξίσωσης i u t + u xx = 0 του Schrödinger, ακολουθεί τον νόμο t 1/ Αστάθεια διαμόρφωσης πλάτους-φάσης Θεωρούμε τώρα την μη γραμμική εστιάζουσα εξίσωση του Schrödinger, i u t + u xx + 2 u 2 u = 0. (3.13) Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, μια πολύ απλή (μη τετριμμένη) λύση της είναι η u(x, t) = u 0 e 2 i u2 0 t, (3.14) η οποία παριστάνει ένα επίπεδο κύμα (plane wave), με σταθερό πλάτος u 0 R, u > 0. Την λύση αυτή του επίπεδου κύματος την θεωρούμε τώρα ως το σταθερό σημείο της ροής i u t = u xx 2 u 2 u.

51 3.2. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ-ΦΑΣΗΣ 35 και θα την μελετήσουμε ως προς την ευστάθειά της. Αυτό σημαίνει ότι θα θεωρήσουμε ως λύση της NLS μια μικρή διαταραχή του επίπεδου κύματος και θα την εισαγάγουμε στην εξίσωση NLS παραλείποντας όρους δεύτερης τάξης O(ε 2 ) και πάνω. Συγκεκριμένα, θεωρούμε μικρές (πραγματικές) διαταραχές α(x, t) και φ(x, t), στο πλάτος και στην γωνιακή συχνότητα, αντίστοιχα. Δηλαδή, θεωρούμε λύσεις της μορφής u(x, t) = ( u 0 + εα(x, t) + Ο(ε 2 ))e ( 2i u2 0 t+i ε φ(x,t)+ο(ε2 )). (3.15) Αντικαθιστώντας τώρα την σχέση (3.15) στην εξίσωση (3.13) έχουμε ότι σε όρους τάξης ε, θα πρέπει να ισχύει η εξίσωση 4 u 2 0 α u 0 φ t + α xx + i (α t + u 0 φ xx) = 0. (3.16) Σημειώνουμε ότι ο όρος μηδενικής τάξης δεν υπάρχει, διότι για ε = 0 στην (3.15) παίρνουμε το επίπεδο κύμα (3.14) το οποίο ικανοποιεί την NLS. Χωρίζοντας πραγματικά και φανταστικά μέλη στην (3.16) καταλήγουμε στο ακόλουθο σύστημα για τις διαταραχές α και φ α t + u 0 φ xx = 0, φ t 4 u 0 α 1 α u xx = 0. (3.17) 0 Το σύστημα (3.17) αποτελεί ένα συζευγμένο σύστημα γραμμικών ΜΔΕ, το οποίο θα μελετήσουμε με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier. Οι μετασχηματισμοί Fourier ως προς x για την α(x, t) C και την φ(x, t) C ορίζονται αντίστοιχα από τις παρακάτω σχέσεις α (k, t) = 1 2π φ(k, t) = 1 2π α(x, t)e ikx dx, (3.18) φ(x, t)e ikx dx. (3.19) Αντίστοιχα, οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Fourier δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις α(x, t) = 1 2π φ(x, t) = 1 2π α(k, t)e ikx dk. (3.20) φ(k, t)e ikx dk. (3.21) Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier στο σύστημα (3.17), δίνει α t u 0 k 2 φ = 0, (3.22) φ t 4u 0 α + 1 k 2 α = 0. (3.23) u 0 Παραγωγίζοντας την σχέση (3.22) ως προς t, και αντικαθιστώντας το φ t από την σχέση (3.23), μπορούμε να αποσυζεύξουμε το σύστημα για χάρη της μεταβλητής α, οπότε παίρνουμε α tt = (4u 2 0 k 2 k 4 ) α. (3.24)

52 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Ορίζουμε τώρα την σχέση διασποράς από την Ω(k) = k (k 2 4 u 2 0 )1/2, οπότε η (3.24) γράφεται ως εξής Η τελευταία λύνεται πολύ εύκολα με γενική λύση α tt + Ω 2 α = 0. (3.25) α(k, t) = c 1 (k)e i Ω t + c 2 (k)e i Ω t. (3.26) Τώρα είναι πάντα εφικτό να επιλέξουμε κατάλληλες αρχικές συνθήκες α(k, 0), και α t (k, 0), έτσι ώστε c 1 (k) = 0, και c 2 (k) = α 0 2π δ(k k ). Με αυτές τις επιλογές των αρχικών συνθηκών η (3.26) γίνεται α(k, t) = α 0 2π δ(k k ) e i Ω(k) t = α 0 2π δ(k k ) e i Ω(k ) t. (3.27) Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier α(x, t) αρκεί να αντικαταστήσουμε την σχέση (3.27) στην σχέση (3.20). Χρησιμοποιώντας επιπλέον την ταυτότητα F [ 2 π δ(k k ) ] = e i k x, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier μας δίνει ότι α(x, t) = α 0 e i(k x Ω(k ) t). (3.28) Επειδή υποθέσαμε ότι η διαταραχή του πλάτους α παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς έχουμε τελικά ότι α(x, t) = Re(α 0 e i(k x Ω(k) t) ), (3.29) όπου στην θέση του k θέσαμε k. Παραγωγίζοντας την σχέση (3.28) ως προς t και έπειτα αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα στην σχέση (3.22) καταλήγουμε ότι και η διαταραχή φάσης δίνεται με παρόμοιο τύπο όπως αυτή για το πλάτος, δηλαδή φ(x, t) = φ 0 e i(k x Ω(k) t), (3.30) για κατάλληλο φ 0. Το τελικό συμπέρασμα που προκύπτει από την παραπάνω ανάλυση μπορεί να συνοψιστεί στην παρακάτω πρόταση.

53 3.2. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ-ΦΑΣΗΣ 37 Πρόταση 3.1. Οι διαταραχές του πλάτους α, και της φάσης φ, του επίπεδου κύματος u = u 0 e 2 i u2 0 t της εστιάζουσας, μη-γραμμικής εξίσωσης NLS αποτελούν λύσεις του συστήματος (3.17) με σχέση διασποράς Ω(k) = k (k 2 4u 2 0 ) 1/2. (3.31) Το σύστημα (3.17) επιδέχεται λύσεις της μορφής α(x, t) = Re(α 0 e i(k x Ω(k) t) ), φ(x, t) = Re(φ 0 e i(k x Ω(k) t) ), (3.32) η ύπαρξη των οποίων αποδεικνύει την αστάθεια του επίπεδου κύματος, για τιμές του κυματικού αριθμού 0 < k < 2 u 0. Έχουμε τώρα τις εξής παρατηρήσεις: Παρατήρηση 3.2. ( Αστάθεια Διαμόρφωσης ) Για αρκετά μικρές τιμές του κυματικού αριθμού k, με 0 < k < 2u 0, η συχνότητα Ω(k) είναι φανταστικός αριθμός, το οποίο σημαίνει ότι η διαταραχή του πλάτους αυξάνεται εκθετικά με το χρόνο, α exp (k (4u 0 2 k 2 ) 1/2 t), 0 < k < 2u 0. (3.33) Η εκθετική αυτή αύξηση καλείται αστάθεια διαμόρφωσης (πλάτους/φάσης) του επίπεδου κύματος της NLS. Η εκθετική αύξηση παρατηρείται για μικρές τιμές της διαταραχής του πλάτους α u 0. Όταν το πλάτος α γίνει ίδιας τάξης μεγέθους με το πλάτος u 0, δηλαδή α u 0, τότε οι μη-γραμμικοί όροι που έχουν παραλειφθεί από το γραμμικοποιημένο σύστημα (3.17) γίνονται κυρίαρχοι. Αυτό έχει αποτέλεσμα η αύξηση τους πλάτους να φτάνει σε ένα μέγιστο, κατά την χρονική εξέλιξη της διαταραχής, και στην συνέχεια να επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση. Όπως θα δούμε στο τελευταίο κεφάλαιο η διαδικασία αυτή μοντελοποιείται από ακριβείς λύσεις της εστιάζουσας NLS, όπως οι λύσεις πνοών (breathers) και το ακραίο κύμα του Peregrine, το οποίο είναι μια εντοπισμένη διαταραχή στον χρόνο και στον χώρο. Η αστάθεια του επίπεδου κύματος σε διακυμάνσεις μεγάλου μήκους (λ = 2 π/k) είναι ειδική περίπτωση της φημισμένης αστάθειας στην θεωρία μη γραμμικών κυμάτων, γνωστή ως αστάθεια Benjamin-Feir στο πλαίσιο της υδροδυναμικής [7], και ως αστάθεια διαμόρφωσης στο πλαίσιο της φυσικής πλάσματος [43]. Παρατήρηση 3.3. Για αρκετά μεγάλες τιμές του κυματικού αριθμού k, δηλαδή k 2 u 0, η σχέση διασποράς (3.31) γίνεται Ω(k) k 2. (3.34) Αυτό είναι σύμφωνο με την θεωρία της προηγούμενης παραγράφου που μελετήσαμε την γραμμική εξίσωση Schrödinger, αφού από την (3.9) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν άπειρο

54 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ γραμμικό συνδυασμό από τέτοια γραμμικά κύματα, με σχέση διασποράς ω(k) = k 2, για να παραστήσουμε την γενική λύση (κυματικό πακέτο) στην ολοκληρωτική μορφή u(x, t) = g(k) e i(k x k2t ) dk, (3.35) Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο στην περίπτωση αυτή το πλάτος για μεγάλο χρόνο t μειώνεται σύμφωνα με το νόμο t 1/2, όπως ακριβώς πέφτει η θερμοκρασία μιας μεταλλικής ράβδου που περιγράφεται από την εξίσωση της θερμότητας. 3.3 Ιδιομορφίες λόγω αστάθειας διαμόρφωσης Σε αυτή την παράγραφο εξετάζουμε το φαινόμενο της αστάθειας διαμόρφωσης της εστιάζουσας NLS από μια άλλη σκοπιά. Θεωρούμε ότι οι μη γραμμικοί όροι συνεισφέρουν σημαντικά οπότε δεν μπορούμε να τους παραλείψουμε, ενώ αντίθετα οι όροι διασποράς είναι αμελητέοι σε σχέση με τους μη γραμμικούς, οπότε μπορούμε να τους παραλείψουμε από την ανάλυσή μας. Όμως είναι φανερό ότι η απομάκρυνση των όρων διασποράς αυξάνει τις ιδιομορφίες μιας λύσης, και η διαταραχή που κάνουμε στο σύστημα δεν θεωρείται πλέον μικρή. Με αυτές τις παραδοχές η εστιάζουσα εξίσωση NLS μετατρέπεται σε ένα υδροδυναμικό σύστημα το οποίο επιλύουμε για μια κλάση ομαλών αρχικών συνθηκών. Το αποτέλεσμα είναι η εμφάνιση ιδιομορφιών της λύσης του ΠΑΤ σε πεπερασμένο χρόνο. Για την επίλυση του υδροδυναμικού συστήματος θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα ισχυρά μαθηματικά εργαλεία: i) τα αναλλοίωτα Riemann, και ii) τον οδογραφικό μετασχηματισμό, ύστερα από μια διαδικασία διαγωνιοποίησης και γραμμικοποίησης το υδροδυναμικό σύστημα ανάγεται σε μία γραμμική βαθμωτή ΜΔΕ δεύτερης τάξης, ελλειπτικού τύπου, για την οποία θεωρούμε ομαλές (C ) συνοριακές συνθήκες. Επιλύοντας την τελευταία με την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών, κι επιστρέφοντας αντίστροφα μέσω των μετασχηματισμών που θεωρήσαμε, βρίσκουμε ότι η αντίστοιχη λύση της NLS ξεκινάει ομαλά, όμως ύστερα από πεπερασμένο χρόνο εμφανίζει ιδιομορφίες. Το αποτέλεσμα αυτό ίσως είναι αναμενόμενο αφού το σύστημα υδροδυναμικού τύπου είναι της μορφής u t + A(u) u x = 0, το οποίο αποτελεί πολυδιάστατη γενίκευση της μη γραμμικής κυματικής εξίσωσης u t + u u x = 0, (3.36)

55 3.3. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΛΟΓΩ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 39 και η οποία επιδέχεται λύσεις που καταλήγουν σε ωστικά κύματα (shock waves) όπως είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Για μια σύγχρονη ανασκόπηση για την αστάθεια διαμόρφωση μηγραμμικών κυμάτων παραπέμπουμε στο [14] και στις αναφορές εκεί, ενώ για τις τεχνικές των αναλλοίωτων Riemann και του οδογραφικού μετασχηματισμού κι τις εφαρμογές τους σε μονοδιάστατα, σχεδόν-γραμμικά συστήματα ΜΔΕ παραπέμπουμε στο [32]. Όσα ακολουθούν στο κεφάλαιο αυτό αποτελούν εκτεταμένη μελέτη της προσέγγισης που παρατίθεται στην παράγραφο 7.4 του βιβλίου [19] Η μέθοδος των αναλλοίωτων Riemann Θα μετατρέψουμε την εστιάζουσα εξίσωση NLS i u t + u xx + 2u u 2 = 0, (3.37) σε ένα σύστημα υδροδυναμικού τύπου της μορφής u t + A(u) u x = 0, με την βοήθεια του μετασχηματισμού Madelung, ο οποίος δεν είναι άλλος από την πολική αναπαράσταση μιας μιγαδικής συνάρτησης στην μορφή, u(x, t) = ρ(x, t) e i θ(x,t). (3.38) Εισάγοντας την σχέση (3.38) στην εξίσωση (3.37) και παραλείποντας όρους διασποράς καταλήγουμε στο παρακάτω σύστημα υδροδυναμικού τύπου, 1 2 ρ t + ρv x + vρ x = 0, 1 2 v t + vv x ρ x = 0. (3.39) όπου θέσαμε v(x, t) = θ x (x, t). Η πρώτη εξίσωση του συστήματος εκφράζει την εξίσωση συνέχειας για την πυκνότητα ρ ενός ρευστού που κινείται με ταχύτητα v. Η δεύτερη εξίσωση εκφράζει την κλασική εξίσωση Euler ενός βαροτροπικού ρευστού. Το σύστημα (3.39) μπορεί να γραφεί στην διανυσματική μορφή ως εξής 1 2 ρ v + v t 1 ρ ρ 0 =. (3.40) v v x 0 Θεωρώντας αλλαγή κλίμακας στο χρόνο, t t, και εισάγοντας τον πίνακα 2 v Α = 1 και το διάνυσμα στήλη u = (ρ, v) R 2, το σύστημα των ΜΔΕ (3.40) παίρνει την μορφή ενός συστήματος υδροδυναμικού τύπου ρ, v u t + A u x = 0. (3.41)

56 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Πρόκειται για ένα συζευγμένο, σχεδόν - γραμμικό σύστημα ΜΔΕ που αφορά δυο εξαρτημένες μεταβλητές ρ, v. Το σύστημα αρχικά φαίνεται να μην έχει μία προφανή επιλύσιμη μορφή, όμως χρησιμοποιώντας κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία θα πετύχουμε την επίλυση του συστήματος (3.40) για κάποια ομαλά αρχικά δοσμένα. Αρχικά, με την βοήθεια της μεθόδου των χαρακτηριστικών καμπύλων και των αναλλοίωτων Riemann θα μετασχηματίσουμε τον πίνακα του συστήματος σε διαγώνια μορφή. Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα A: Οι ιδιοτιμές λ j, j = 1, 2, του πίνακα Α, που είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου det (A λi) = 0, καλούνται οι χαρακτηριστικές ταχύτητες του συστήματος των ΜΔΕ και στην προκειμένη περίπτωση είναι λ 1 = v + i ρ, λ 2 = v i ρ. Το (αριστερό) ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση, και είναι το εξής, λ 1 = v + i ρ, (3.42) l (1) (u t + λ 1 u x ) = 0, (3.43) l (1) = (1, i ρ ). (3.44) Αντίστοιχα το (αριστερό) ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A που αντιστοιχεί στην δεύτερη ιδιοτιμή υπολογίζεται από την αντίστοιχη σχέση, και είναι το παρακάτω, Πολλαπλασιάζοντας το σύστημα (3.41) με l (k), έχουμε ότι λ 2 = v i ρ, (3.45) l (2) (u t + λ 2 u x ) = 0, (3.46) l (2) = (1, i ρ ). (3.47) l (k) (u t + Au x ) = l (k) (u t + λ k u x ) = 0, k = 1, 2. (3.48) Με αυτόν τον τρόπο το σύστημα (3.41) μετασχηματίζεται σε ένα σύστημα δύο ΣΔΕ κατά μήκος των χαρακτηριστικών καμπυλών που προκύπτουν από την επίλυση των ΣΔΕ dx dt = λ j, j = 1, 2.

57 3.3. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΛΟΓΩ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 41 Θεωρούμε τώρα δύο 1-μορφές που ορίζονται όπως παρακάτω l (1) du = l (1) 1 du 1 + l (1) 2 du 2, (3.49) l (2) du = l (2) 1 du 1 + l (2) 2 du 2. (3.50) Αν οι 1-μορφές (3.49), (3.50) είναι ακριβείς, μπορούμε να εισάγουμε δύο νέες μεταβλητές r k (u), k = 1, 2. έτσι ώστε να ισχύει ότι dr k = μ l (k) du, k = 1, 2, (3.51) όπου ο όρος μ(u) είναι ένας ολοκληρωτικός παράγοντας, και οι μεταβλητές r k (u), k = 1, 2 είναι τα λεγόμενα αναλλοίωτα Riemann. Συγκεκριμένα, το αναλλοίωτο Riemann του συστήματος (3.40) που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα l (1) υπολογίζεται ως εξής l (1) du = l (1) 1 dρ + l (1) 2 dv = 1dρ i ρdv. Πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της προηγούμενης σχέσης με 1 και έχουμε i ρ Οπότε έχουμε ότι 1 i ρ l(1) du = 1 i ρ dρ + 1 dv = d( 2i ρ) + dv = d(v + 2i ρ). 1 2i ρ l(1) du = d( v 2 + i ρ) και συνεπώς, ο ολοκληρωτικός παράγοντας και το αναλλοίωτο Riemann είναι μ(u) = 1 2i ρ, r 1 = v 2 + i ρ, (3.52) αντίστοιχα. Με παρόμοια διαδικασία για το ιδιοδιάνυσμα l (2), βρίσκουμε ότι ο ολοκληρωτικός παράγοντας και το αναλλοίωτο Riemann έχουν την παρακάτω μορφή, μ(u) = 1 2i ρ, r 2 = v 2 i ρ. (3.53) Χρησιμοποιώντας τα αναλλοίωτα Riemann r 1, r 2, που δίνονται από τις σχέσεις (3.52) και (3.53) το σύστημα ΜΔΕ (3.41) γράφεται στην διαγώνια μορφή r 1 r 2 λ + 1 (r 1, r 2 ) 0 t 0 λ 2 (r 1, r 2 ) r 1 r 2 0 = x 0 (3.54)

58 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ τα διαγώνια στοιχεία λ 1 (r 1, r 2 ), λ 2 (r 1, r 2 ) είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α, που για ευκολία ξαναγράφουμε παρακάτω λ 1 = v + i ρ, λ 2 = v i ρ. (3.55) Οι ιδιοτιμές λ 1, λ 2, συναρτήσει των αναλλοίωτων Riemann r 1 = v 2 + i ρ, r 2 = v 2 i ρ, γράφονται στην μορφή λ 1 (r 1, r 2 ) = 3r r 2 2, λ 2 (r 1, r 2 ) = r r 2 2. (3.56) Οδογραφικός μετασχηματισμός Για την γενική λύση του συστήματος (3.54) θα χρησιμοποιήσουμε την κλασική μέθοδο του οδογραφικού μετασχηματισμού, όπου εναλλάσσουμε τον ρόλο μεταξύ των εξαρτημένων και των ανεξάρτητων μεταβλητών, δηλαδή οι μεταβλητές x, t θα γίνουν εξαρτημένες και οι μεταβλητές r 1, r 2 ανεξάρτητες. x = x(r 1, r 2 ) t = t(r 1, r 2 ) Μια (τοπική) αναγκαία συνθήκη για την διαφορισιμότητα του αντίστροφου μετασχηματισμού, είναι ο μη-μηδενισμός της ορίζουσας det(j) = x r1 t r2 x r2 t r1 μετασχηματισμού Θεωρούμε την συνάρτηση J = x r1 Παραγωγίζουμε την Φ(x, t) ως προς r 1 και έχουμε t r1 x r2 t r2 0, του Ιακωβιανού πίνακα. (3.57) Φ(x, t) = Φ(x(r 1, r 2 ), t(r 1, r 2 )) (3.58) Φ r1 (x, t) = Φ x (x, t) x r1 + Φ t (x, t) t r1. (3.59) Αντίστοιχα, παραγωγίζοντας την Φ(x, t) ως προς r 2, έχουμε Φ r2 (x, t) = Φ x (x, t) x r2 + Φ t (x, t) t r2. (3.60) Από τις σχέσεις (3.59) και (3.60) λύνουμε ως προς Φ x, Φ t και καταλήγουμε στις Φ x = det(j) 1 (Φ r1 t r2 Φ r2 t r1 ), (3.61) Φ t = det(j) 1 (Φ r2 x r1 Φ r1 x r2 ). (3.62)

59 3.3. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΛΟΓΩ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 43 Αν θέσουμε στις παραπάνω σχέσεις όπου Φ = r 1, παίρνουμε r 1,x = det(j) 1 t r2, r 1,t = det(j) 1 x r2. (3.63) και ανάλογα, αν θέσουμε Φ = r 2 παίρνουμε r 2,x = det(j) 1 t r1, r 2,t = det(j) 1 x r1. (3.64) Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (3.63), (3.64) στο σύστημα (3.54) και καταλήγουμε στις x r2 λ 1 (r 1, r 2 ) t r2 = 0, x r1 λ 2 (r 1, r 2 ) t r1 = 0. (3.65) Συμπερασματικά, με την εναλλαγή του ρόλου των εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών, μέσω του οδογραφικού μετασχηματισμού, μετατρέψαμε το σχεδόν-γραμμικό σύστημα (3.54) στο γραμμικό σύστημα (3.65). Όμως θα πρέπει να σημειωθεί ο τοπικός χαρακτήρας της λύσης του συστήματος (3.54), λόγω της χρήσης του οδογραφικού μετασχηματισμού. Εξετάζουμε τώρα την περίπτωση ενός απλού κύματος, με ένα αναλλοίωτο Riemann σταθερό, για παράδειγμα r 2 = r 20 (σταθερά). Οπότε έχουμε μόνο την εξίσωση r 1,t + λ 1 (r 1, r 20 )r 1,x = 0. Με αντικατάσταση από τις (3.63) η προηγούμενη γίνεται det(j) 1 x r2 + λ 1 (r 1, r 20 )det(j) 1 t r2 = 0, ή ισοδύναμα x r2 + λ 1 (r 1, r 20 )t r2 = 0. Ολοκληρώνουμε την τελευταία ως προς r 2 και έχουμε x λ 1 (r 1, r 20 ) t = W 1 (r 1, r 20 ) όπου W 1 (r 1, r 20 ) μία αυθαίρετη συνάρτηση των r 1, r 20. Με ανάλογη διαδικασία για την περίπτωση r 1 = r 10 έχουμε ότι, x λ 2 (r 10, r 2 )t = W 2 (r 10, r 2 ) όπου W 2 (r 10, r 2 ) μία αυθαίρετη συνάρτηση των r 10, r 2. Το πρόβλημα τώρα ανάγεται στο να βρούμε τις ΜΔΕ που ικανοποιούν τα νέα δυναμικά W 1, W 2, που ορίζονται από τις σχέσεις W 1 (r 1, r 2 ) = x λ 1 (r 1, r 2 ) t, (3.66) W 2 (r 1, r 2 ) = x λ 2 (r 1, r 2 ) t. (3.67)

60 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Παραγωγίζουμε την εξίσωση (3.66) ως προς r 2 και την εξίσωση (3.67) ως προς r 1 αντίστοιχα και έχουμε W 1,r2 = λ 1,r2 t, (3.68) W 2,r1 = λ 2,r1 t. (3.69) Αφαιρώντας τις σχέσεις (3.66) - (3.67) και χρησιμοποιώντας την (3.68) παίρνουμε 1 W 1 W 2 W 1,r2 = 1 λ 1 λ 2 λ 1,r2. (3.70) Από την άλλη αφαιρώντας τις σχέσεις (3.66) - (3.67) και χρησιμοποιώντας την (3.69) παίρνουμε 1 W 1 W 2 W 2,r1 = 1 λ 1 λ 2 λ 2,r1. (3.71) Η συμμετρία των εξισώσεων (3.70) και (3.71) ως προς την εναλλαγή των λ i W i μας οδηγεί να θεωρήσουμε τα αναλλοίωτα Riemann με χαρακτηριστικές ταχύτητες όμως τα W i. Επειδή έχουμε ότι λ 1 (r 1, r 2 ) = 3r r 2 2, λ 2(r 1, r 2 ) = r r 2 2, (3.72) Οπότε οι σχέσεις (3.70), (3.71) παίρνουν την μορφή Από τις (3.74) και (3.75) έχουμε ότι W 1,r2 συνάρτηση χ τέτοια ώστε λ 1,r2 = 1 2, λ 2,r 1 = 1 2. (3.73) 1 W 1 W 2 W 1,r2 = 1 W 1 W 2 W 2,r1 = 1 2(λ 1 λ 2 ), (3.74) 1 2(λ 1 λ 2 ). (3.75) = W 2,r1, που σημαίνει ότι τοπικά υπάρχει βαθμωτή W 1 = χ r1, W 2 = χ r2. (3.76) Λόγω της (3.76), και οι δύο σχέσεις (3.74), (3.75) ανάγονται στην ίδια εξίσωση χ r1,r 2 1 2(λ 1 λ 2 ) (χ r 1 χ r2 ) = 0. (3.77) Χρησιμοποιώντας τώρα τις σχέσεις (3.72), βρίσκουμε ότι λ 1 λ 2 = r 1 r 2, οπότε η (3.77) παίρνει την τελική μορφή χ r1,r 2 1 2(r 1 r 2 ) (χ r 1 χ r2 ) = 0. (3.78) Με τη βοήθεια των αναλλοίωτων Riemann και του οδογραφικού μετασχηματισμού μετατρέψαμε το αρχικό υδροδυναμικό σύστημα (3.40) σε μία γραμμική ΜΔΕ, με ανεξάρτητες μεταβλητές r 1, r 2. Η παραπάνω εξίσωση στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως Euler-Poisson-Darboux και εμφανίζεται σε πολλές ενδιαφέρουσες φυσικές εφαρμογές, όπως στην σύγκρουση βαρυτικών κυμάτων με συγγραμμική πόλωση στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας.

61 3.3. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΛΟΓΩ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Η εξίσωση Euler-Poisson-Darboux Τα αναλλοίωτα Riemann r 1, r 2 είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί τα οποία γράφουμε ως εξής, r 1 = p + i q, r 2 = p i q, (3.79) όπου p, q πραγματικές μεταβλητές, με p = v/2, και q = ρ. Η αντικατάσταση των σχέσεων (3.79), στις σχέσεις (3.66), (3.67) δίνει τις σχέσεις x 2 p t = χ p, 2 p t = χ q. (3.80) Η αντικατάσταση των σχέσεων (3.79) στην εξίσωση (3.77) δίνει την ακόλουθη εξίσωση, χ p p + χ q q + χ q q = 0. (3.81) η οποία είναι η εξίσωση Laplace Δχ = 0 στις κυλινδρικές συντεταγμένες. Θεωρούμε τώρα το εξής απλό ΠΑΤ για το αρχικό υδροδυναμικό σύστημα. Στην αρχική χρονική στιγμή t = 0, έχουμε αρχική ταχύτητα v = 0, και αρχική κατανομή της πυκνότητας ίση με ρ 0 (x) = 2 cosh(x) 2 C. (3.82) Σχήμα 3.3: Η αρχική κατανομή της πυκνότητας ρ 0 (x). Αντικαθιστώντας τις παραπάνω αρχικές συνθήκες στις σχέσεις (3.80), αυτές μετατρέπονται στις συνοριακές συνθήκες για την εξίσωση Laplace που δίνονται από τις σχέσεις χ p p=0 = x 0 (q), χ q p=0 = 0. (3.83) Εδώ x 0 (q) είναι μια συνάρτηση που συνδέεται με την αρχική κατανομή της πυκνότητας λόγω της σχέσης q = ρ. Για να λύσουμε το ΠΣΤ που απαρτίζεται από την (3.81) και τις συνοριακές συνθήκες (3.83) θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών. Για να εφαρμόσουμε την μέθοδο αυτή είναι αναγκαίο να πάμε σε κατάλληλες συντεταγμένες στις οποίες η (3.81) χωρίζει

62 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ μεταβλητές. Αυτές είναι οι λεγόμενες ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες (ξ, η) ( βλ. [28], σελ και το Παράρτημα Αʹ ), που συνδέονται με τις τις μεταβλητές p, q μέσω των παρακάτω σχέσεων Για ξ = 0 έχουμε ότι p = ξ η 2, q2 = (ξ2 + 1)(1 η 2 ). (3.84) 4 p = 0, q 2 = (1 η2 ) 4 1 4, (3.85) πρόκειται για ένα δίσκο με ακτίνα q = 1, πάνω στο επίπεδο p = 0. 2 Η ΜΔΕ (3.81) μετατρέπεται στις ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες ( βλ. Παράρτημα Αʹ ) στην εξής ΜΔΕ ξ ( (ξ 2 + 1) χ ξ ) + η ( (1 η 2 ) χ η ) = 0, (3.86) ενώ οι συνθήκες (3.83) μετατρέπονται στις εξής συνοριακές συνθήκες χ η ξ=0 = 0, χ ξ = 1 ξ=0 2 log 1 + η ( 1 η ). (3.87) Τώρα είμαστε σε θέση να αντιμετωπίσουμε το παραπάνω ΠΣΤ χρησιμοποιώντας την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών, όπου χωρίζουμε μεταβλητές προσθετικά και πολλαπλασιαστικά. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή η γενική λύση μπορεί να δοθεί ως ένας άπειρος γραμμικός συνδυασμός μιας συνάρτησης που εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή ξ, και μίας άλλης συνάρτησης που εξαρτάται μόνο από την μεταβλητή η, δηλαδή χ = a 0 Φ 0 (ξ) + b 0 Ψ 0 (η) + a n Φ n (ξ)ψ n (η). (3.88) n=1 Εισάγοντας την τελευταία στην ΜΔΕ (3.86) βρίσκουμε ότι τα Φ n (ξ), και Ψ n (η) πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις ξ ( (ξ 2 + 1) Φ n ξ ) = c n Φ n, η ( (1 η 2 ) Ψ n η ) = c n Ψ n, (3.89) όπου οι συντελεστές c n είναι σταθεροί αριθμοί και λέγονται ιδιοτιμές του ΠΣΤ. Πρόκειται για τις εξισώσεις Legendre ( βλέπε Παράρτημα Βʹ ) με φανταστικά και πραγματικά ορίσματα, όπου οι λύσεις τους δίνονται από τις γνωστές συναρτήσεις Legendre. Πρώτα απ όλα, για τον προσδιορισμό των συναρτήσεων Φ 0, Ψ 0 και την ιδιοτιμή c 0 = 0, οι λύσεις δίνονται μέσω των πολυωνύμων Legendre 2ου είδους και είναι οι παρακάτω Φ 0 (ξ) = Q 0 (iξ) = arctan ξ, Ψ 0 (η) = Q 0 (η) = 1 2 log ( 1 + η 1 η ). (3.90) Τώρα για n = 1 και για την ιδιοτιμή c 1 = 2, οι λύσεις που αντιστοιχούν μέσω των πολυωνύμων Legendre 1ου και 2ου είδους αντίστοιχα είναι οι παρακάτω Φ 1 (ξ) = P 1 (ξ) = ξ, Ψ 1 (η) = Q 1 (η) = 1 2 η log ( 1 + η 1 η ) 1. (3.91)

63 3.3. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΛΟΓΩ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 47 Οι παραπάνω λύσεις μπορούν να επαληθευτούν αμέσως με απλή αντικατάσταση στις σχέσεις (3.89). Για την λύση του (3.86)-(3.87) αρκεί να πάρουμε όρους μέχρι n = 1. Με την υπέρθεση των παραπάνω λύσεων, η γενική λύση του ΠΑΤ έχει τη μορφή χ = C 1 Φ 0 (ξ) + C 2 Ψ 0 (η) + C 3 Φ 1 (ξ)ψ 1 (η). (3.92) Εφαρμόζουμε τώρα τις συνοριακές συνθήκες στην (3.92) και προσδιορίζουμε τις αριθμητικές τιμές των C i, με i = 1, 2, 3, οι οποίες μετά από εύκολους υπολογισμούς είναι C 1 = 1, C 2 = 0, C 3 = 1. Άρα τελικά η λύση του ΠΣΤ (3.86)-(3.87) είναι η παρακάτω χ = 1 2 ξ η log 1 + η + ξ arctan ξ. (3.93) ( 1 η ) Εποπτικά, έπειτα από τους παρακάτω μετασχηματισμούς (v(x, t), ρ(x, t)) (r 1 (x, t), r 2 (x, t)) (x(r 1, r 2 ), t(r 1, r 2 )) χ(p, q) χ(ξ, η) καταφέραμε να λύσουμε αναλυτικά το αρχικό ΠΑΤ για το υδροδυναμικό σύστημα. Με την βοήθεια των αυτών των μετασχηματισμών και των σχέσεων (3.80) και (3.66)-(3.67) εκφράζουμε τις μεταβλητές (x, t) ως συναρτήσεις των (ξ, η) και έχουμε x = 1 2 log 1 + η ( 1 η ) + 2ξ 2 η (ξ 2 + 1)(1 η 2 ), (3.94) ξ t = (ξ 2 + 1)(1 η 2 ). (3.95) Όμως οι μεταβλητές (x, t) είναι ανεξάρτητες για το αρχικό σύστημα, οπότε αφού βρούμε τις σχέσεις ξ(x, t), η(x, t) οι εξαρτημένες μεταβλητές v, ρ του υδροδυναμικού συστήματος βρίσκονται από τις εξισώσεις v = ξ η, ρ = 2 (ξ 2 + 1) (1 η 2 ), (3.96) οι οποίες εκφράζουν την ταχύτητα και την πυκνότητα του κύματος, αντίστοιχα. Τώρα οι μεταβλητές ξ, η μπορούν να απαλειφθούν από τις εξισώσεις (3.96) μέσω των σχέσεων (3.94),(3.95) και να έχουμε την λύση σε πεπλεγμένη μορφή. Πράγματι βρίσκουμε ότι ή ισοδύναμα 2 (x 2 v t) = log ( 1 + η 1 η ), η = tanh(x 2 v t),

64 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ και επίσης ξ = Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες σχέσεις στην (3.96) βρίσκουμε ότι η λύση του ΠΑΤ του ρ t 2. υδροδυναμικού συστήματος δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή από τις σχέσεις v = 1 t ρ tanh(x 2 v t), 2 ρ = 2 ( ρ2 t 2 ) cosh 2 (x 2 v t). (3.97) Η λύση προφανώς ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες v t=0 = 0, ρ t=0 = 2cosh 2 (x). (3.98) Από τις σχέσεις (3.97) δεν μπορούμε να υπολογίσουμε ρητά τις συναρτήσεις ρ(x, t), v(x, t), για διάφορες τιμές των x, t. Όμως αυτό μπορεί να γίνει παραμετρικά εκμεταλλευόμενοι την έμμεση μορφή της λύσης μέσω των σχέσεων (3.96). Με αυτόν τον τρόπο, και με την βοήθεια των γραφικών των υπολογιστικών συμβολικών πακέτων (SageMath [39]) μπορούμε να παράγουμε τις γραφικές παραστάσεις τους. Τα στιγμιότυπα των ρ, v για διαφορετικές χρονικές στιγμές παρουσιάζονται στα σχήματα δίπλα ( Σχήμα 3.4, και Σχήμα 3.5 ). Παρατηρούμε ότι, αρχικά η κατανομή της πυκνότητας ρ(x) είναι ομαλή, όμως καθώς ο χρόνος περνάει γίνεται όλο και πιο αιχμηρή. Όταν t 1 2 η συνάρτηση ρ(x) εμφανίζει μια σφηνοειδή ιδιομορφία (cusp), ενώ όταν t > 1 2 η λύση καταρρέει λόγω αμφισημίας. Δηλαδή παρατηρούμε ανάλογα φαινόμενα με τα ωστικά κύματα (shock waves) όπως αναμέναμε λόγω της μη-γραμμικότητας. Όμοια η παράγωγος της v(x, t) στο x = 0 γίνεται άπειρη καθώς t 1 2. Αστάθεια διαμόρφωσης: Στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε διεξοδικά το φαινόμενο της αστάθειας διαμόρφωσης για την εστιάζουσα NLS. Αρχικά παραλείποντας τους μη-γραμμικούς όρους και χρησιμοποιώντας θεωρία διαταραχών γύρω από την λύση του επίπεδου κύματος, αποδείξαμε την αστάθεια της τελευταίας. Αυτή είναι η μια όψη του νομίσματος. Από την άλλη μεριά, η γραμμικοποιημένη θεωρία δεν μπορεί να περιγράψει την δυναμική όταν οι διαταραχές είναι συγκρίσιμες με τα κύματα υποβάθρου, το οποίο αναφέρεται ως το μη-γραμμικό στάδιο της αστάθειας διαμόρφωσης. Θεωρώντας λοιπόν ότι οι μη-γραμμικοί όροι συνεισφέρουν σημαντικά, ενώ οι όροι διασποράς όχι, μετατρέψαμε τις ΜΔΕ σε ένα υδροδυναμικό σύστημα το οποίο καταφέραμε να επιλύσουμε για μια ομαλή κλάση αρχικών δοσμένων. Το αποτέλεσμα είναι η εμφάνιση ιδιομορφιών στην λύση σε πεπερασμένο χρόνο. Αυτή είναι η δεύτερη όψη της αστάθειας διαμόρφωσης. Η εστιάζουσα εξίσωση NLS ουσιαστικά συνδυάζει τις δυο προαναφερόμενες εκφάνσεις της αστάθειας διαμόρφωσης. Από την μια, οι όροι μη-γραμμικότητας οδηγούν σε ασυνέχειες και

65 3.3. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΛΟΓΩ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 49 ιδιομορφίες των λύσεων της NLS και τείνουν να συγκεντρώσουν την ενέργεια σε ένα σημείο, και από την άλλη, οι ανωμαλίες αυτές αντισταθμίζονται από τους όρους διασποράς που τείνουν να κατανείμουν την ενέργεια σε μικρότερα κύματα [38]. Οι παρατηρήσεις αυτές μας δίνουν ένα πιθανό σενάριο για την ύπαρξη λύσεων της NLS που ισχύουν για κάθε χρόνο t, τα ακραία κύματα (rogue/freak waves). Οπότε ερχόμαστε με φυσικό τρόπο στην μελέτη της NLS στην γενικότητά της, ως μια μη-γραμμική ΜΔΕ τύπου διασποράς. Σχήμα 3.4: Η γραφική παράσταση της πυκνότητας ρ(x, t) ως προς τη χωρική συντεταγμένη x, για διάφορες τιμές του χρόνου t. Ξεκινώντας με ομαλά (C ) αρχικά δοσμένα για την κατανομή πυκνότητας, καθώς περνά ο χρόνος η πυκνότητα γίνεται όλο και πιο αιχμηρή για να καταλήξει σε μια σφηνοειδή ιδιομορφία (cusp) σε πεπερασμένο χρόνο t = 0.5. Σχήμα 3.5: Η γραφική παράσταση της ταχύτητας v(x, t) ως προς τη χωρική συντεταγμένη x, για διάφορες τιμές του χρόνου t. Ξεκινώντας με μηδενική αρχική ταχύτητα v 0 (x) = 0, καθώς περνά ο χρόνος η ταχύτητα αυξάνει όλο και πιο απότομα δεξιά κι αριστερά του x = 0. Τελικά για t > 0.5, η λύση καταρρέει σε μια ασυνέχεια ( v x (0 ±, t), καθώς t 1 ) όπως ακριβώς 2 συμβαίνει με την δημιουργία ενός ωστικού κύματος (shock wave).

66 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ NLS - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ

67 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός Darboux και ακραίες κυματικές λύσεις της NLS Σε αυτό το κεφάλαιο παράγουμε και μελετάμε φυσικά ενδιαφέρουσες λύσεις της εξίσωσης NLS. Αυτό είναι δυνατόν επειδή η NLS αποτελεί ένα πρότυπο ολοκληρώσιμο σύστημα, οπότε έχουμε στην διάθεσή μας ένα πολύ ισχυρό εργαλείο, την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering transform) [15]. Η μέθοδος αυτή αποτελεί μια γενίκευση της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier για γραμμικές ΜΔΕ, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο σε γραμμικές, όσο και σε μη γραμμικές (ολοκληρώσιμες) ΜΔΕ, για την κατασκευή της λύσης συγκεκριμένων προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ). Μια ειδική περίπτωση της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης είναι ο λεγόμενος μετασχηματισμός Darboux, με την βοήθεια του οποίου είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε με αλγεβρικό τρόπο νέες λύσεις της NLS, από ήδη γνωστές, οι οποίες περιγράφουν φυσικά ενδιαφέρουσες λύσεις, όπως τα solitons και τα rogue waves (βλ. [27], [12] και αναφορές εκεί). Σύμφωνα με την ανάλυση του προηγούμενου κεφαλαίου αυτό που αναμένουμε, για την εξίσωση NLS στην πλήρη γενικότητά της, είναι η ύπαρξη λύσεων οι οποίες ασυμπτωτικά είτε στην χωρική, είτε στην χρονική διάσταση, να τείνουν στην λύση του επίπεδου κύματος. Εξαιτίας της αστάθειας του επίπεδου κύματος, μια ελάχιστη διαταραχή θα έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία ενός παλμού με αυξανόμενο πλάτος μέχρι να φτάσει σε ένα μέγιστο και στην συνέχεια ο παλμός να επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση. Τέτοιου είδους λύσεις είναι οι λεγόμενες λύσεις πνοών (breathers) της NLS [13], και η ακραία κυματική λύση του Peregrine [31], τις οποίες παράγουμε στο κεφάλαιο αυτό. Για μια συζήτηση για το τι ορίζεται ένα ακραίο κύμα (rogue wave), στο αντίστοιχο φυσικό πλαίσιο, παραπέμπουμε στο [33], και στο [17]. 51

68 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ 4.1 Ολοκληρωσιμότητα της NLS - ζεύγος Lax Σε αυτήν την παράγραφο μελετάμε την εστιάζουσα μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger i u t + u xx + 2 u u 2 = 0, (4.1) ως ένα πρότυπο ολοκληρώσιμο σύστημα. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω ΜΔΕ μπορεί να συσχετιστεί με ένα γραμμικό, υπερκαθορισμένο σύστημα ΜΔΕ, το οποίο εξαρτάται από μια μιγαδική παράμετρο λ, που ονομάζεται φασματική παράμετρος. Η συνθήκη συμβατότητας του γραμμικού αυτού συστήματος, δηλαδή η ύπαρξη λύσης εκτός της μηδενικής, για κάθε τιμή της παραμέτρου λ, είναι ισοδύναμη με την NLS (4.1). Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως ζεύγος Lax της εκάστοτε μη-γραμμικής ολοκληρώσιμης ΜΔΕ, και αφορά μια διανυσματική συνάρτηση ψ(x, t; λ). Οι αναλυτικές (με την έννοια της μιγαδικής ολομορφίας) ιδιότητες της ψ ως προς την φασματική παράμετρο λ, είναι εκείνες που παίζουν καθοριστικό ρόλο στην κατασκευή ειδικών λύσεων, ή λύσεων προβλημάτων αρχικών συνοριακών τιμών, της ΜΔΕ με την οποία συνδέεται το αντίστοιχο ζεύγος Lax. Συνήθως το ζεύγος Lax για ολοκληρώσιμες ΜΔΕ με δυο ανεξάρτητες μεταβλητές έχει την ακόλουθη μορφή ψ x = X(u, λ) ψ, ψ t = T (u, λ) ψ, ψ = ψ(x, t; λ), (4.2) όπου X, T είναι πίνακες διάστασης nxn, στα στοιχεία των οποίων εισέρχονται οι εξαρτημένες μεταβλητές της ΜΔΕ, που για την NLS είναι οι u, και u, και η φασματική παράμετρος λ. Η διανυσματική συνάρτηση ψ απαιτείται να λύνει και τις δύο παραπάνω εξισώσεις. Προφανώς η μηδενική λύση ψ(x, t) = 0 ικανοποιεί το σύστημα (4.2) τετριμμένα. Για να υπάρχει λύση του γραμμικού συστήματος (4.2), εκτός της τετριμμένης, θα πρέπει να ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη συμβατότητας ψ xt = ψ tx. (4.3) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του συστήματος (4.2), η συνθήκη συμβατότητας (4.3) παίρνει την ακόλουθη μορφή X t T x + [X, T ] = 0, (4.4) όπου [X, T ] = X T T X, ο αντιμεταθέτης των πινάκων X, T και 0 ο μηδενικός πίνακας διάστασης n n.

69 4.2. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΚΕΔΑΣΗ 53 Η ρητή μορφή του ζεύγους Lax για την NLS βρέθηκε από τους Zakharov και Shabat, [44], [45] και οι πίνακες X, T δίνονται από τις σχέσεις iλ X = u v 2iλ 2 + ivu, T = iλ 2λu + iu x 2λv iv x, (4.5) 2iλ 2 ivu όπου v = u. Παρατηρούμε για το ίχνος των πινάκων tr X = tr T = 0, δηλαδή X, T sl(2, C). Αντικαθιστώντας τους πίνακες (4.5) στην συνθήκη συμβατότητας (4.4) του γραμμικού συστήματος (4.2), μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η (4.4) ισχύει για όλες τις τιμές της παραμέτρου λ, όταν η u ικανοποιεί την εξίσωση NLS. Η ύπαρξη ενός ζεύγους Lax αποτελεί κοινή ιδιότητα όλων των ολοκληρώσιμων εξισώσεων. 4.2 Αντίστροφη σκέδαση Θεωρούμε το παρακάτω ΠΑΤ u t = N[u], u(x, 0) = f(x). για μια μη-γραμμική ΜΔΕ του εξέλιξης. Με N[u] συμβολίζουμε όλους τους όρους της ΜΔΕ στην u και στις παραγώγους της ως προς x. Υποθέτουμε ότι η παραπάνω ΜΔΕ επιδέχεται μια αναπαράσταση μέσω ενός ζεύγους Lax. Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης (ή αλλιώς φασματικός μετασχηματισμός) αποτελείται από τα ακόλουθα τρία βασικά βήματα (για μια εισαγωγή της μεθόδου στα ελληνικά βλ. ενδεικτικά [47]) Βήμα Ι: Το ευθύ πρόβλημα. Στο βήμα αυτό θεωρούμε το x-μέρος του ζεύγους Lax που για την NLS είναι LΨ = λψ, L = iσ 3 x + iσ 3 Q, (4.6) όπου σ 3, ο τρίτος πίνακας του Pauli, και ο πίνακας Q δίνονται από τις σχέσεις u σ 3 =, Q =, (4.7) 0 1 u 0 αντίστοιχα. Για t = 0 χρησιμοποιούμε την παραπάνω εξίσωση για να εξάγουμε τον ευθύ φασματικό μετασχηματισμό, δηλαδή να υπολογίσουμε τα δεδομένα σκέδασης S(k, 0) του τελεστή L, από την αρχική συνθήκη u(x, 0) = f(x). Αυτό ανάγεται σε ένα πρόβλημα ιδιοτιμών για τον τελεστή L.

70 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Βήμα ΙI: Χρονική εξέλιξη των δεδομένων σκέδασης. Σε αυτό το βήμα υπολογίζουμε τα δεδομένα σκέδασης για αυθαίρετο χρόνο t > 0. Έχοντας βρει τα δεδομένα σκέδασης S(k, 0) χρησιμοποιούμε το t-μέρος του ζεύγους Lax για να προσδιορίσουμε την εξέλιξη των δοσμένων σκέδασης S(k, t), δηλαδή στο βήμα αυτό υλοποιούμε την απεικόνιση S(k, 0) S(k, t). Βήμα ΙII: Το αντίστροφο πρόβλημα. Το τελικό βήμα, και το πιο απαιτητικό, είναι να ανακτήσουμε την u(x, t) από τα S(k, t), μέσω του x-μέρους του ζεύγους Lax, το οποίο αντιμετωπίζουμε τώρα ως αντίστροφο πρόβλημα ιδιοτιμών του τελεστή L. Συνήθως η επίλυση του προβλήματος αυτού απαιτεί την επίλυση μιας ολοκληρωτικής εξίσωσης Gel fand-levitan-marchenko. Τα παραπάνω βήματα της μεθόδου συνοψίζονται στο σχήμα 4.1. x-lax (ευθύ για t = 0) u(x, 0) S(k, 0) t-lax u(x, t) x-lax (αντίστροφο t) S(k, t) Σχήμα 4.1: Σχηματική αναπαράσταση της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης Η μέθοδος της σκέδασης μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μη-γραμμικό ανάλογο της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier για τις γραμμικές ΜΔΕ. Όπως έχουμε δει σε προηγούμενα κεφάλαια της εργασίας ο μετασχηματισμός Fourier της γραμμικής εξίσωσης Schrödinger i u t + u xx = 0, μας μεταφέρει στον φασματικό χώρο μέσω της πραγματικής μεταβλητής k R, και αναφέρεται ως το συνεχές φάσμα του διαφορικού τελεστή της ΜΔΕ. Μια διαφορά της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier με την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης είναι ότι στην τελευταία το φάσμα των ιδιοτιμών λ, του τελεστή L μπορεί εκτός από συνεχές να περιέχει και ένα διακριτό μέρος, δηλαδή το φάσμα να αποτελείται από ένα πεπερασμένο πλήθος μιγαδικών τιμών για τη φασματική μεταβλητή λ.

71 4.3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX Μετασχηματισμός Darboux Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε μια ειδική περίπτωση της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης, ή αλλιώς του φασματικού μετασχηματισμού. Πρόκειται για τον λεγόμενο μετασχηματισμό Darboux. Ο μετασχηματισμός Darboux είναι ένα ισχυρό εργαλείο για να παράγουμε με αλγεβρικό τρόπο ακριβείς σύνθετες λύσεις μιας ολοκληρώσιμης ΜΔΕ, όπως η NLS, ξεκινώντας από γνωστές λύσεις της, ακόμα και από την τετριμμένη! Η ιδέα της μεθόδου προτάθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Darboux (1882) και αφορούσε την εφαρμογή της μεθόδου σε ΣΔΕ. Στο πέρασμα του χρόνου η μέθοδος έχει αναδιατυπωθεί και εφαρμόζεται πλέον σε ένα ευρύ σύνολο ολοκληρώσιμων μη-γραμμικών εξισώσεων τύπου εξέλιξης που έχουν ενδιαφέρον και σημασία από φυσική άποψη. Τα αρχικά αποτελέσματα του Darboux αφορούσαν την κλασική θεωρία Sturm-Liouville. Η θεωρία αυτή εμφανίζεται και στην Κβαντική Μηχανική ως η μελέτη μιας γραμμικής ΣΔΕ δεύτερης τάξης που συχνά αναφέρεται, και αυτή, ως η μονοδιάστατη εξίσωση Schrödinger, και έχει την παρακάτω μορφή y (x) + (λ u(x))y(x) = 0. Έστω y = φ(x) μία λύση της παραπάνω ΣΔΕ Sturm-Liouville (S-L), η οποία αντιστοιχεί στην συνάρτηση δυναμικού u(x), και σ = φ x φ 1. Ο Darboux απέδειξε ότι η S-L είναι συμβατή με τον ακόλουθο μετασχηματισμό, y y = y x σy, u u = u 2σ x, δηλαδή η y ικανοποιεί και αυτή την S-L, με δυναμικό u. Οπότε με τον μετασχηματισμό Darboux είναι εφικτό να κατασκευάζουμε νέες λύσεις της S-L από ήδη γνωστές. Στην συνέχεια δίνουμε αναλυτικά τα βήματα για την κατασκευή του μετασχηματισμού Darboux για την εξίσωση NLS, χρησιμοποιώντας το ζεύγος Lax (4.2), με τους πίνακες X, T από την (4.5) Τα βήματα κατασκευής του μετασχηματισμού Darboux Βήμα I: Το πρώτο βήμα της μεθόδου είναι να θεωρήσουμε έναν αντιστρέψιμο, γραμμικό μετασχηματισμό μιας δοσμένης λύσης Ψ (0) του ζεύγους Lax. Έστω λοιπόν ότι Ψ (0) είναι μια γνωστή λύση του ζεύγους Lax, η οποία αντιστοιχεί στους πίνακες X (0), T (0) από την (4.5). Θεωρούμε τώρα τον ακόλουθο γραμμικό μετασχηματισμό Ψ(x, t; λ) = D(x, t; λ) Ψ (0) (x, t; λ), det D 0, (4.8)

72 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ όπου D ένας άγνωστος πίνακας διάστασης 2 2, που καλείται πίνακας του μετασχηματισμού Darboux. Ο μετασχηματισμός (4.8) αναφέρεται και ως μετασχηματισμός βαθμίδας (gauge transformation) και είναι από τον ορισμό του αρκετά γενικός, ή όπως λέγεται υπάρχει μεγάλη ελευθερία βαθμίδας. Στόχος μας είναι να κάνουμε κατάλληλη επιλογή βαθμίδας, δηλαδή να περιορίσουμε τον πίνακα D κατάλληλα, έτσι ώστε ο μετασχηματισμός (4.8) να μας δίνει έναν εύχρηστο τρόπο παραγωγής νέων λύσεων της NLS από γνωστές της. Λόγω της γραμμικότητας του ζεύγους Lax, του μετασχηματισμού (4.8), και του τελεστή παραγώγισης και η νέα συνάρτηση Ψ ικανοποιεί ένα γραμμικό σύστημα Lax, όμως με διαφορετικούς πίνακες X, T. Πράγματι, παραγωγίζοντας την σχέση (4.8) ως προς την μεταβλητή x, χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγισης του Leibnitz για πίνακες, έχουμε Ψ x = D x Ψ (0) + D Ψ (0) x, (4.9) ή ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας την (4.8) Ψ (0) x = D 1 Ψ x D 1 D x D 1 Ψ. (4.10) Αφού εξ ορισμού η Ψ (0) είναι λύση του ζεύγους Lax με πίνακες X (0), T (0), τότε για το x-μέρος του ζεύγους Lax ισχύει Ψ (0) x = X (0) Ψ (0), οπότε αντικαθιστώντας στην τελευταία την (4.10) έχουμε D 1 Ψ x D 1 D x D 1 Ψ = X (0) D 1 Ψ, (4.11) ή ισοδύναμα Ψ x = ( D x D 1 + D X (0) D 1 ) Ψ. (4.12) Δηλαδή και η νέα Ψ ικανοποιεί μια γραμμική εξίσωση τύπου Lax Ψ x = X Ψ, όμως με τον ακόλουθο πίνακα X X = D x D 1 + D X (0) D 1. (4.13) Λόγω συμμετρίας, εναλλάσσοντας x t, X (0) T (0), Χ Τ, στην προηγούμενη ανάλυση, βρίσκουμε ότι το t-μέρος του ζεύγους Lax που ικανοποιεί η Ψ είναι Ψ t = T Ψ, με T = D t D 1 + D T (0) D 1. (4.14) Συνοψίζοντας, αν Ψ (0) x = X (0) Ψ (0), Ψ (0) t = T (0) Ψ (0), τότε και για την Ψ = D Ψ (0) ισχύει ότι Ψ x = X Ψ, Ψ t = T Ψ,

73 4.3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX 57 με X = D x D 1 + D X (0) D 1, T = D τ D 1 + D T (0) D 1. (4.15) Άμεση συνέπεια του προηγούμενου είναι ότι, αν οι πίνακες X (0), T (0) ικανοποιούν την συνθήκη συμβατότητας (4.4), που για ευκολία ξαναγράφουμε X (0) t + X (0) T (0) = T (0) x + T (0) X (0) τότε και οι νέοι πίνακες X, T που δίνονται από την (4.15) ικανοποιούν την συνθήκη συμβατότητας X t + X T = T x + T X. Βήμα II: Το δεύτερο βήμα είναι να περιορίσουμε την (μέχρι στιγμής) πολύ γενική μορφή του βασικού στοιχείου της μεθόδου, δηλαδή τον πίνακα D του μετασχηματισμού Darboux. Ένας συμβατός τρόπος για να το πετύχουμε αυτό είναι να υιοθετήσουμε τις εξής δυο παραδοχές: i) Οι νέοι πίνακες X, T, από την (4.15), όπως και οι αρχικοί X (0), T (0), να έχουν την ίδια δομή με αυτή του ζεύγους Lax που δίνονται από την σχέση (4.5), δηλαδή tr X = tr T = tr X (0) = tr T (0) = 0. (4.16) ii) Ο πίνακας D να έχει πολυωνυμική εξάρτηση από την φασματική παράμετρο λ. Για τους σκοπούς της εργασίας αυτής αρκεί να περιοριστούμε στην περίπτωση που η εξάρτηση αυτή είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Πιο συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι όπου ο πίνακας M είναι η νέα άγνωστη ποσότητα. D(x, t, λ) = λi M(x, t), (4.17) Από τις εξισώσεις (4.15) και τις (4.16) αμέσως συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα tr( D x D 1 ) = tr( D t D 1 ) = 0, tr((d D)D 1 ) = tr(d 1 (d D)) = d(detd) detd, που ισχύει για κάθε πίνακα D με detd 0, συνεπάγεται ότι για την ορίζουσα του D, θα πρέπει να ισχύει detd = c(λ),

74 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ δηλαδή είναι ανεξάρτητη των (x, t). Όμως γνωρίζουμε ότι det(λ I M) = λ 2 (trm) λ + (detm), (4.18) και αφού ο πίνακας M δεν εξαρτάται από την φασματική παράμετρο λ, τόσο το ίχνος όσο και η ορίζουσα του πίνακα M θα πρέπει να είναι σταθεροί αριθμοί. tr M = c 1, det M = c 2, c 1, c 2 C. (4.19) Επίσης ένα άμεσο συμπέρασμα από τα παραπάνω είναι ότι η ορίζουσα του πίνακα D μηδενίζεται για τιμές της φασματικής παραμέτρου λ πάνω στις ιδιοτιμές του πίνακα M. Δηλαδή, αν συμβολίσουμε τις ιδιοτιμές του Μ με μ 1, μ 2, ισχύει ότι det D = c(λ) = (λ μ 1 )(λ μ 2 ). (4.20) Βήμα III: Όπως έχει γίνει φανερό, το όλο εγχείρημα της κατασκευής του μετασχηματισμού Darboux έχει αναχθεί στην εύρεση του πίνακα M. Ας υποθέσουμε ότι ο M έχει προσδιοριστεί. Παραγωγίζοντας την D = λi M, ως προς x, έχουμε ότι D x = M x. Γράφοντας αναλυτικά το x μέρος της (4.15), που για ευκολία ξαναγράφουμε D x + D Χ (0) = X D, έχουμε M x + (λi M)(iλσ 3 + Q (0) ) = (iλσ 3 + Q)(λI M), (4.21) ή ισοδύναμα M x + λq (0) + i λ[σ 3, M] MQ (0) + QM λq = 0, (4.22) όπου οι πίνακες σ 3, και Q δίνονται από την (4.7). Στην προηγούμενη όλοι οι όροι πινάκων που εμφανίζονται δεν έχουν εξάρτηση από την φασματική παράμετρο λ, συνεπώς η εξίσωση θα πρέπει να ισχύει ανεξάρτητα από την λ. Συλλέγουμε λοιπόν τους συντελεστές με λ και σταθερούς στην λ (οι όροι με λ 2 είναι μηδέν) και έχουμε τις ακόλουθες δυο σχέσεις Q (0) + i [σ 3, M] = Q, (4.23) και Αναλυτικά η σχέση (4.23) είναι M x = Q M M Q (0). (4.24) 0 u (0) 1 0 M + i 11 M 12 M 11 M v = u (0) M 21 M 22 M 21 M u 0 (4.25)

75 4.3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX 59 ή ισοδύναμα 0 u 0 u = (0) 0 2M + i 12. (4.26) u 0 u (0) 0 2M 21 0 Η προηγούμενη μας πληροφορεί αμέσως για την νέα λύση της NLS μέσω του μετασχηματισμού Darboux. Πράγματι αν γνωρίζουμε τον πίνακα M, και μια αρχική λύση u (0) (x, t) της NLS, τότε η νέα λύση u(x, t) της NLS είναι u = u (0) 2 i M 21. (4.27) Επιπλέον, η ίδια σχέση μας πληροφορεί για την συμβατή δομή που πρέπει να έχει ο πίνακας Μ με τις εξισώσεις. Θα πρέπει B = M 12 = M 21 το οποίο είναι επακόλουθο του ότι οι πίνακες Q, και Q (0), είναι anti-hermitian, δηλαδή ισχύει ότι Q = Q, όπου με συμβολίζουμε μιγαδικό συζυγή και ανάστροφο πίνακα. Με παρόμοια ανάλυση της σχέσης (4.24) συμπεραίνουμε ότι για τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα M θα πρέπει να ισχύει ότι A = M 11 = M 22, λόγω πάλι της anti-hermitian δομής των πινάκων Q, Q (0), και της προηγούμενης παρατήρησης για τα αντιδιαγώνια στοιχεία του M. Με βάση τα προηγούμενα ο πίνακας M αναγκαστικά πρέπει να έχει την ακόλουθη μορφή A M = B B A = 1 + i A 2 B 1 + i B 2, (4.28) A B 1 + i B 2 A 1 i A 2 η οποία είναι ακριβώς η ίδια με την αναπαράσταση ενός quaternion με την μορφή πίνακα, μόνο που τα στοιχεία του πίνακα M είναι συναρτήσεις των (x, t). Όμως από την (4.19) το ίχνος και η ορίζουσα του M πρέπει να είναι σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί, και επειδή ισχύει ότι tr M = 2 Re A R, det M = A A + B B R, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του M έχει πραγματικούς συντελεστές. Επιπλέον οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι αναγκαστικά δυο διαφορετικές μιγαδικές συζυγείς, επειδή η ορίζουσα του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου είναι Δ = 4 (A B B 2 2 ) < 0. Αν A 2 = B 1 = B 2 = 0, τότε ο πίνακας M είναι ανάλογος του μοναδιαίου πίνακα, που δεν έχει προφανώς κανένα ενδιαφέρον, αφού σε αυτήν την περίπτωση η νέα λύση της NLS στην (4.27) είναι ίδια με την αρχική. Άρα οι ιδιοτιμές (μ 1, μ 2 ) του πίνακα M είναι δυο διαφορετικοί, μιγαδικοί συζυγείς αριθμοί, δηλαδή μ 1 = μ 2 = α C, και άρα ισχύει ότι tr M = α + α, det M = α α.

76 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Όμως από τις παραπάνω σχέσεις και την μορφή (4.28) του πίνακα M ισχύει ότι M + M = (a + a )I, M M = M M = aa I. (4.29) Θεωρούμε τώρα τον πίνακα Darboux D(λ) = λ I M, και τον συζυγή ανάστροφο του D, με την επισήμανση όμως ότι θεωρούμε συζυγία κατά Schwarz (Schwarz conjugation) ως προς την μιγαδική φασματική παράμετρο λ, δηλαδή D (λ ) = λ I M, για να διατηρηθεί η αναλυτικότητα (ολομορφία) ως προς την μιγαδική παράμετρο λ. Σχηματίζουμε τώρα το γινόμενο D (λ ) D(λ) και χρησιμοποιώντας τις (4.29) έχουμε D (λ ) D(λ) = (λ I M )(λi M) = λ 2 I λ(m + M ) + MM = ( λ 2 λ(α + α ) + α α ) I (4.30) = (λ α) (λ α ) I. Όλη η προηγούμενη ανάλυση μπορεί να κωδικοποιηθεί στην ακόλουθη σχέση συμμετρίας για τον πίνακα Darboux D D (λ ) D(λ) = D(λ) D (λ ) = (λ α) (λ α ) I. (4.31) και να συνοψιστεί στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση 4.1. Έστω u (0) μια δοσμένη λύση της NLS, με αντίστοιχη λύση Ψ (0) του ζεύγους Lax. Ο μετασχηματισμός Ψ (0) Ψ = D(λ) Ψ (0), με τον D να ικανοποιεί τις (i) D(λ) = λ I M(x, t), (ii) D (λ ) D(λ) = (λ α) (λ α ) I, (4.32) όπου α, α οι ιδιοτιμές του πίνακα M, είναι ένας μετασχηματισμός Darboux. Η νέα λύση της NLS μέσω του μετασχηματισμού Darboux είναι η u = u (0) 2 i M 21. (4.33) Παρατήρηση 4.2. Η προηγούμενη πρόταση μας πληροφορεί για την ύπαρξη ενός μετασχηματισμού Darboux, δηλαδή ενός πίνακα D που ικανοποιεί τις ιδιότητες (i), (ii) στην (4.32), η δράση του οποίου έχει ως αποτέλεσμα την παραγωγή μιας νέας λύσης της NLS από μια ήδη γνωστή της, μέσω της σχέσης (4.33). Όμως δεν μας πληροφορεί για έναν τρόπο καθορισμού του κύριου συστατικού της μεθόδου, δηλαδή του πίνακα M. Ένας συμβατός τρόπος καθορισμού του πίνακα M αποτελεί το αντικείμενο ανάλυσης της επόμενης παραγράφου.

77 4.3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX Μέθοδος υπολογισμού του πίνακα Darboux Από την προηγούμενη ανάλυση για τον πίνακα M που υπεισέρχεται στον πίνακα Darboux D = λ I M, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα M πρέπει να είναι δυο διαφορετικοί συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, α, α. Εφαρμόζοντας κλασικές μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας στον πίνακα M, μπορούμε να βρούμε έναν πρακτικό τρόπο για να καθορίσουμε τον M, το οποίο εξακολουθεί να είναι το κύριο ζητούμενο άλλωστε. Αν στην ιδιοτιμή α του M αντιστοιχεί το (δεξί) ιδιοδιάνυσμα στήλη z = (z 1, z 2 ) T, τότε παίρνοντας στις σχέσεις (a I M) z = 0, τις συζυγείς μιγαδικές τους, εύκολα συμπεραίνουμε ότι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή α, είναι το z = ( z 2, z 1 )T. Όπως θα δείξουμε παρακάτω τα ιδιοδιανύσματα z, z αποτελούν διανυσματικές λύσεις του ζεύγους Lax της NLS. Ως γνωστό ο πίνακας M μπορεί να γραφεί μέσω των ιδιοτιμών και των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων του ως εξής, M = U Λ U 1, (4.34) όπου Λ ο διαγώνιος πίνακας με τις ιδιοτιμές του M α 0 Λ =, 0 α και U o πίνακας με στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του M. Συγκεκριμένα για τον U και τον αντίστροφό του έχουμε z U = 1 z 2, U 1 = z 2 z 1 1 z 1 z 2 z z 2 2. z 2 z 1 Αντικαθιστώντας τους παραπάνω πίνακες στην σχέση (4.34) παίρνουμε για τον πίνακα M την ακόλουθη ρητή έκφραση 1 α z M = 1 z 1 + α z 2 z 2 (α α ) z 1 z 2 z z 2 2. (α α ) z 1 z 2 α z 1 z 1 + α z 2 z 2 Ο πίνακας M επαληθεύει τις σχέσεις που προκύπτουν από την συνθήκη συμμετρίας (4.31). Επιπλέον, αφαιρώντας τον διαγώνιο πίνακα α I από τον πίνακα M παίρνουμε M α I = a α z 1 z 1 z 1 z 2 z z 2 2. z 1 z 2 z 2 z 2

78 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Ο πίνακας στο δεξί μέλος της προηγούμενης μπορεί να γραφεί ως o πίνακας προβολής P στην κατεύθυνση του ιδιοδιανύσματος z = (z 1, z 2 ) T, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή α του M, δηλαδή P = (z 1, z 2 ) T (z 1, z 2 ) (z 1, z 2 ), (z 1, z 2 ) = 1 z 1 2 z 1 z 2 z z 2 2. z 1 z 2 z 2 2 Υπενθυμίζουμε ότι για τον προβολικό πίνακα P στην κατεύθυνση του ιδιοδιανύσματος z, ισχύει ότι P z = z. Από τις τελευταίες αυτές παρατηρήσεις, ο πίνακας Darboux D για την εστιάζουσα NLS παίρνει την παρακάτω μορφή D(λ) = (λ α ) I (a α )P, (4.35) και το όλο εγχείρημα εύρεσης του μετασχηματισμού Darboux έχει αναχθεί πλέον στην συμβατή επιλογή του ιδιοδιανύσματος z. Παρατηρούμε ότι αν ο πίνακας Darboux δράσει στο z έχουμε D z = ( (λ α ) I (a α ) P ) z = (λ α ) z (a α ) z = (λ α) z. (4.36) Έστω λοιπόν ότι το ιδιοδιάνυσμα z είναι μια διανυσματική λύση του ζεύγους Lax της εστιάζουσας NLS που αντιστοιχεί στην αρχική λύση u (0) της NLS, δηλαδή z(x, t, λ) = Ψ (0) (x, t, λ) ζ, (4.37) όπου ζ ένα τυχαίο σταθερό διάνυσμα στήλη, ζ = (ζ!, ζ 2 ) T. Οπότε οι διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιεί το z είναι z x = X (0) (x, t, λ) z, z t = T (0) (x, t, λ) z, (4.38) οι οποίες οφείλουν να είναι συμβατές με τις σχέσεις (4.15) που πρέπει να ικανοποιεί ο πίνακας Darboux D, και για ευκολία ξαναγράφουμε στην ισοδύναμη έκφραση X D = D x + D X (0), T D = D t + D T (0). (4.39) Πολλαπλασιάζουμε από δεξιά την πρώτη από τις προηγούμενες με z, και χρησιμοποιώντας τις (4.36), (4.38) παίρνουμε X D z = D x z + D X (0) z = D x z + D z x = x (D z) (4.40) = x((λ α) z) = (λ α) z x, ή ισοδύναμα (λ α) z x = (λ α)x z.

79 4.3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX 63 Με παρόμοιο τρόπο για το t μέρος των (4.39) βρίσκουμε ότι (λ α) z t = (λ α)t z. Επειδή το z από την υπόθεση είναι διανυσματική λύση του ζεύγους Lax για τους πίνακες X (0), και T (0), υπολογισμένους στην αρχική λύση u (0) της NLS, και γενικά όχι για τους νέους πίνακες X, T, από τις δυο τελευταίες συμπεραίνουμε ότι αναγκαστικά θα πρέπει λ = a. Δηλαδή μια συμβατή επιλογή του ιδιοδιανύσματος z του πίνακα M, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή του α, είναι το z(x, t) να ικανοποιεί το σύστημα z x = X (0) (x, t, λ = α) z, z t = T (0) (x, t, λ = α) z, (4.41) ή με άλλα λόγια το z να είναι διανυσματική ιδιολύση του παραπάνω συστήματος Lax για τιμή της φασματικής παραμέτρου λ = α, δηλαδή την αντίστοιχη ιδιοτιμή α του M. Συνεπώς, με την βοήθεια όλης της ανάλυσης που προηγήθηκε μπορεί να δοθεί μία πολύ σαφής μορφή της σχέσης (4.33), μέσω της όποιας έχοντας ως αφετηρία μία γνωστή λύση u (0) της NLS, ο μετασχηματισμός Darboux μας οδηγεί σε μία νέα λύση της NLS. Συγκεκριμένα έχουμε την ακόλουθη πρόταση, και παράλληλα, μέθοδο παραγωγής νέων λύσεων της NLS. Πρόταση 4.3 ( Παραγωγή νέων λύσεων της NLS μέσω του μετασχηματισμού Darboux). Έστω u (0) μια γνωστή λύση της NLS και X (0), T (0), οι πίνακες του ζεύγους Lax υπολογισμένοι στην u (0). Αν z = (z 1, z 2 ) T είναι μια διανυσματική ιδιολύση του συστήματος Lax z x = X (0) (x, t, λ = α) z, z t = T (0) (x, t, λ = α) z, (4.42) τότε η συνάρτηση u(x, t) που ορίζεται από την σχέση u = u (0) 2 i (a α z 2 z 1 ) z z 2 2, (4.43) όπου α C, και Im(a) 0, είναι μια νέα λύση της εστιάζουσας εξίσωσης NLS. Παρατήρηση 4.4. Η ιδιοτιμή α του πίνακα M, που εμφανίζεται στην (4.43) άμεσα και έμμεσα μέσω της ιδιολύσης z, είναι μια παράμετρος στην νέα λύση u της NLS, η οποία δεν μπορεί να απορροφηθεί με κανέναν μετασχηματισμό στις ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. Αποτελεί δηλαδή ουσιώδη παράμετρο της νέας λύσης u(x, t). Παρατήρηση 4.5. Η μόνη ελευθερία που απομένει στην μέθοδο είναι η επιλογή του σταθερού διανύσματος ζ στην (4.37), με έναν αυθαίρετο τρόπο. Θεωρητικά, μέσω κατάλληλης επιλογής του ζ, μπορούμε να δώσουμε στην νέα λύση μια βολική έκφραση. Παρατήρηση 4.6. Για να εφαρμόσουμε την μεθόδου του μετασχηματισμού Darboux είναι απαραίτητο να έχουμε στα χέρια μας μια γνωστή λύση u (0) (x, t) της NLS, ή ακόμα και την τετριμμένη λύση u (0) = 0.

80 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ 4.4 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Darboux H 1-soliton λύση της NLS Η πιο απλή εφαρμογή της μεθόδου του μετασχηματισμού Darboux για την εξίσωση NLS είναι να ξεκινήσουμε από την τετριμμένη λύση της. Θεωρούμε λοιπόν ότι u (0) = 0, (4.44) και θα υπολογίσουμε την Ψ (0) (x, t; α) από την επίλυση του συστήματος του ζεύγους Lax Αντικαθιστώντας την u (0) = 0 έχουμε, Ψ (0) x 11 iα 0 = Ψ (0) 12 0 iα Ψ (0) x = X (0) Ψ (0), Ψ (0) t = T (0) Ψ (0). (4.45) Ψ (0) 11 Ψ (0) 12 Ψ (0), t 11 2iα 2 0 = Ψ (0) iα 2 Ψ (0) 11 Ψ (0) 12 Από τις παραπάνω παρατηρούμε ότι η Ψ (0) ικανοποιεί την εξής (διανυσματική) ΜΔΕ. (4.46) t Ψ (0) = 2 α x Ψ (0) (4.47) η οποία μας πληροφορεί ότι ουσιαστικά έχουμε να κάνουμε με ένα μόνο σύστημα ΣΔΕ για την μεταβλητή ξ = x + 2 α t, αφού η γενική λύση της ΜΔΕ (4.47) είναι Ψ (0) = Ψ (0) (ξ) = Ψ (0) (x + 2 α t). Οπότε η επίλυση του συστήματος ΜΔΕ (4.46) ανάγεται στην επίλυση του εξής συστήματος ΣΔΕ για την μεταβλητή ξ d Ψ (0) 11 iα 0 Ψ (0) = 11. (4.48) dξ Ψ (0) 12 0 iα Ψ (0) 12 Η επίλυση του συστήματος ΣΔΕ είναι πολύ εύκολη υπόθεση, αφού είναι διαγώνιο. Όμως για να έχουμε μια ενιαία αντιμετώπιση για την γενική περίπτωση όπου οι πίνακες X (0), T (0) δεν είναι διαγώνιοι, όπως στο επόμενο, επιλέγουμε να αντιμετωπίσουμε την επίλυση του γραμμικού συστήματος με μεθόδους γραμμικής άλγεβρας. Οι ιδιοτιμές του πίνακα του γραμμικού συστήματος (4.48) είναι λ 1 = iα, λ 2 = iα, (4.49) με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα v 1 = (1, 0) T, v 2 = (0, 1) T. (4.50)

81 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 65 Συνεπώς, το θεμελιώδες σύνολο λύσεων είναι το e i α ξ 1, e i α ξ 0 0 1, (4.51) και ο θεμελιώδης πίνακας Φ του συστήματος είναι ο e i α ξ 0 Φ = 0 e i α ξ e i α (x+2 α t) 0 = 0 e i α (x+2 α t). (4.52) Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο μια διανυσματική λύση του ζεύγους Lax καθορίζεται από την σχέση z(x, t) = Φ ζ, (4.53) όπου ζ ένα αυθαίρετο διάνυσμα, το οποίο για λόγους που θα φανούν παρακάτω, παίρνουμε να είναι ζ = (1, 1) T. Οπότε z 1 (x, t) e i α(x+2 α t) 0 = z 2 (x, t) 0 e i α(x+2 α t) 1 i α(x+2 α t) e = 1 e i α(x+2 α t). (4.54) Μετά από λίγους υπολογισμούς για να καθορίσουμε τους όρους z 2 z 1, και τα τετράγωνα των μέτρων των z 1, z 2 στην σχέση u = u (0) 2 i (α α z 2 z 1 ) z z 2 2, (4.55) καταλήγουμε ότι η μέθοδος μετασχηματισμού Darboux, με φύτρο την μηδενική λύση u (0) = 0, μας δίνει την νέα μονοπαραμετρική λύση της NLS που δίνεται από την σχέση Αν τώρα θέσουμε u(x, t) = 4 Im(α) e 2 i Re(α) x e 8 i [Re(α)]2 t e 4 i α α t e 2 Im(α) x e 8 Re(α) Im(α) t + e 2 Im(α) x. (4.56) e8 Re(α) Im(α) t α = i 2, τότε η (4.56) γίνεται η 1-soliton λύση της NLS u(x, t) = t ei coshx. (4.57) Προφανώς άλλη επιλογή της παραμέτρου α, με Im(α) 0, μας οδηγεί σε άλλη λύση της NLS, το φυσικό ενδιαφέρον της οποίας θα πρέπει να διερευνηθεί.

82 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Πνοές (breathers) της NLS Στην συνέχεια θα εφαρμόσουμε την μέθοδο παραγωγής λύσεων της NLS μέσω του μετασχηματισμού Darboux έχοντας ως αφετηρία αυτή τη φορά μια απλή, μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης NLS, αυτήν του επίπεδου κύματος u (0) = e 2it. (4.58) Όπως προηγουμένως, θα πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα ΜΔΕ του ζεύγους Lax για την Ψ (0) (x, t, λ), δηλαδή το Ψ (0) x = X (0) Ψ (0), Ψ (0) t = T (0) Ψ (0). (4.59) Αντικαθιστώντας την u (0) = e 2it στους πίνακες Χ (0), T (0) βρίσκουμε ότι X (0) iα = e 2it, T (0) 2iα 2 i = iα 2α e 2it e 2it 2αe 2it. (4.60) 2iα 2 + i Παρατηρούμε ότι οι πίνακες Χ (0), T (0) συνδέονται με την παρακάτω σχέση, T (0) = 2αX (0) iσ 3. (4.61) και το ζεύγος Lax παίρνει την μορφή Ψ (0) x = X (0) Ψ (0), Ψ (0) t = 2αX (0) Ψ (0) iσ 3 Ψ (0). (4.62) Για να επιλύσουμε το παραπάνω σύστημα είναι βολικό να εισάγουμε νέα μεταβλητή Ψ (0) μέσω του μετασχηματισμού βαθμίδας όπου ο πίνακας A δίνεται από την σχέση Ψ (0) = A Ψ (0), (4.63) e it 0 A =, με A 0 e it t = iσ 3 A. (4.64) Παραγωγίζοντας τον μετασχηματισμό (4.63) ως προς την μεταβλητή x, και με αντικατάσταση των σχέσεων (4.62), (4.63) έχουμε Ψ (0) x = A Ψ (0) x = X (0) Ψ (0) = X (0) A Ψ (0). Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την παραπάνω σχέση με τον πίνακα A 1, καταλήγουμε στην πρώτη εξίσωση του ζεύγους Lax για τον πίνακα Ψ (0), Ψ (0) x = A 1 X (0) A Ψ (0). (4.65)

83 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 67 Για τον υπολογισμό της δεύτερης εξίσωσης του ζεύγος Lax παραγωγίζουμε πάλι τον μετασχηματισμό (4.63) ως προς την μεταβλητή t και με αντικατάσταση των σχέσεων (4.62), (4.63) παίρνουμε Ψ (0) t = A t Ψ (0) + A Ψ (0) t. (4.66) Χρησιμοποιώντας την δεύτερη εξίσωση από την (4.62), και την (4.63), η σχέση (4.66) δίνει A t Ψ (0) + A Ψ (0) t = T (0) A Ψ (0). (4.67) Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη τον πίνακα T (0) από την (4.61), και A t = i σ 3 A, παίρνουμε iσ 3 A Ψ (0) + A Ψ (0) t = 2α X (0) Ψ (0) iσ 3 Ψ (0) = 2α X (0) A Ψ (0) iσ 3 A Ψ (0), από όπου συνεπάγεται ότι A Ψ (0) t = 2αX (0) Α Ψ (0). Πολλαπλασιάζοντας τώρα από αριστερά την παραπάνω σχέση με τον πίνακα A 1, καταλήγουμε στην δεύτερη εξίσωση του ζεύγους Lax για τον πίνακα Ψ (0), Τελικά το ζεύγος Lax για την Ψ (0) παίρνει την μορφή Ψ (0) t = 2α A 1 X (0) A Ψ (0). (4.68) Ψ (0) x = A 1 X (0) A Ψ (0), Ψ (0) t = 2 α A 1 X (0) A Ψ (0). (4.69) Παρατηρούμε ότι σε αντίθεση με το αρχικό ζεύγος Lax Ψ (0) που η κάθε εξίσωση εξαρτάται από διαφορετικούς πίνακες X (0), T (0), οι εξισώσεις του νέου ζεύγους Lax για την Ψ (0), εξαρτώνται και οι δυο από τον πίνακα B = A 1 X (0) A. Υπολογίζουμε τον πίνακα B και βρίσκουμε ότι έχει την παρακάτω μορφή Σημειώνουμε τις ιδιοτιμές του B ως εξής i α 1 B =. (4.70) 1 i α b 1,2 = ± i (α 2 + 1) 1/2, (4.71) και τον πίνακα που σχηματίζεται παίρνοντας ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, με V. Οπότε ισχύει ότι B = P V P 1 b. όπου V = 1 0, (4.72) 0 b 2

84 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις (4.69) από αριστερά με τον πίνακα P 1, και από δεξιά με τον πίνακα P, το σύστημα παίρνει την μορφή P 1 Ψ (0) x P = P 1 B Ψ (0) P, P 1 Ψ (0) t P = 2α P 1 B Ψ (0) P. (4.73) Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι P 1 B P = V, το σύστημα (4.73) γίνεται P 1 Ψ (0) x P = V P 1 Ψ (0) P, P 1 Ψ (0) t P = 2α V P 1 Ψ (0) P, (4.74) και θεωρώντας νέα ιδιοσυνάρτηση Φ (0) από την σχέση το ζεύγος Lax (4.74) παίρνει την παρακάτω διαγώνια μορφή Επιπλέον, ισχύει ότι Φ (0) = P 1 Ψ (0) P, (4.75) Φ (0) x = V Φ (0), Φ (0) t = 2 α V Φ (0). (4.76) dφ (0) = Φ (0) x dx + Φ (0) t dt = V Φ (0) dx + 2α V Φ (0) dt. (4.77) Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη τον πίνακα V έχουμε dφ (0) b = 1 dx 0 Φ (0) 2α b + 1 dt 0 Φ (0) b = 1 d(x + 2α t) 0 Φ (0). 0 b 2 dx 0 2 α b 2 dt 0 b 2 d(x + 2 α t) Ο θεμελιώδης πίνακας του προηγούμενου συστήματος είναι e Φ b 1 (x+2αt) 0 =. (4.78) 0 e b 2(x+2αt) Οπότε με την σειρά των προηγούμενων μετασχηματισμών καταφέραμε να διαγωνιοποιήσουμε το σύστημα Lax και να βρούμε την γενική του λύση. Το ζήτημα είναι τώρα να γυρίσουμε πίσω ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία των μετασχηματισμών. Σε πρώτη φάση επιλέγουμε οι ιδιοτιμές του πίνακα B να είναι b 1 = i (1 + α 2 ) 1/2, b 2 = i (1 + α 2 ) 1/2, (4.79) και θεωρούμε την εξής παραμέτρηση του α α = i cosh(η). (4.80) Με αυτές τις παραδοχές οι ιδιοτιμές του πίνακα B παίρνουν την μορφή b 1 = sinh(η), b 2 = sinh(η). (4.81)

85 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 69 Ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων P μπορεί να επιλεχθεί να είναι ο οπότε ο αντίστροφος πίνακας του P είναι P 1 = 1 1 P = e η 1 + e 2η e η 1 e η 1 e 2η 1 e 2η Συνεπώς, η λύση του συστήματος (4.78) παίρνει την μορφή e 2η, (4.82). (4.83) e η 1 + e 2η e sinh(η) ( x+2i cosh(η)t ) 0 Φ =. (4.84) 0 e sinh(η) ( x+2i cosh(η)t ) Επιστρέφουμε τώρα στην ιδιοσυνάρτηση Ψ (0) με τον μετασχηματισμό Ψ (0) = P Φ P 1, (4.85) και μετά από αρκετές αλλά όχι περίπλοκες πράξεις βρίσκουμε ότι τα στοιχεία του πίνακα Ψ (0) με είναι Ψ (0) = Ψ (0) 11 Ψ (0) 21 Ψ (0) 12 Ψ (0) 22, (4.86) Ψ (0) 11 = csch(η) sinh ( η x sinh(η) i t sinh(2η) ), Ψ (0) 12 = csch(η) sinh ((x + 2 i t cosh(η)) sinh(η) ), Ψ (0) 21 = csch(η) sinh ((x + 2 i t cosh(η)) sinh(η) ), Ψ (0) 22 = csch(η) sinh ( η + x sinh(η) + i t sinh(2η) ). Το τελευταίο βήμα είναι να επιστρέψουμε στην αρχική ιδιοσυνάρτηση Ψ (0) μέσω του μετασχηματισμού βαθμίδας Ψ (0) = A Ψ (0). Οπότε για τα στοιχεία του πίνακα Ψ (0) = Ψ (0) 11 Ψ (0) 12 Ψ (0) 21 Ψ (0) 22, (4.87)

86 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ βρίσκουμε ότι είναι τα εξής Ψ (0) 11 = e i t csch(η) sinh ( η (x + 2i t cosh(η))sinh(η) ), Ψ (0) 12 = e i t csch(η) sinh ( (x + 2i t cosh(η))sinh(η) ), Ψ (0) 21 = ei t csch(η) sinh ( (x + 2i t cosh(η))sinh(η) ), Ψ (0) 22 = ei t csch(η) sinh ( η + (x + 2i t cosh(η))sinh(η) ). Επιλέγουμε με αυθαίρετο τρόπο μια διανυσματική λύση του ζεύγους Lax ως εξής z(x, t) = Ψ (0) ζ, (4.88) όπου ζ ένα αυθαίρετο διάνυσμα, έστω το ζ = (1, 0) T. Τότε z 1 (x, t) = z 2 (x, t) Ψ (0) 11 Ψ (0) 12 Ψ (0) 21 Ψ (0) 22 Άρα η διανυσματική λύση του ζεύγους Lax έχει την μορφή 1. (4.89) 0 z(x, t) = (z 1 (x, t), z 2 (x, t)) T, (4.90) με z 1 (x, t) = e i t csch(η) sinh ( η (x + 2i t cosh(η))sinh(η) ), z 2 (x, t) = e i t csch(η) sinh ( (x + 2i t cosh(η))sinh(η) ). (4.91) Το μόνο που απομένει τώρα είναι να αντικαταστήσουμε τα παραπάνω z 1 (x, t), z 2 (x, t) στην σχέση u = u (0) 2 i (a α z 2 z 1 ) z z 2 2. (4.92) όπου α = i cosh(η). Υπάρχουν δυο ξεχωριστές περιπτώσεις με φυσικό ενδιαφέρον, ανάλογα με τις τιμές που παίρνει η μιγαδική παράμετρος η. Περίπτωση 1: Im (η) = 0. Υποθέτουμε ότι η παράμετρος η είναι θετικός πραγματικός αριθμός, η > 0, οπότε α = i cosh(η), α = i cosh(η). και η νέα λύση στην (4.92) παίρνει την ρητή έκφραση u(x, t) = e 2it 2cosh(p x η) 2cos(q t i η) ( 1 + cosh(η) cos(q t) cosh(η)cosh(p x η) ), (4.93)

87 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 71 όπου p = 2 sinh(η), q = 2 sinh(2η). Η παραπάνω λύση μπορεί να απλοποιηθεί λόγω της εμφάνισης του συνδυασμού p x η, τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρανομαστή του κλάσματος. Οπότε με την αλλαγή της μεταβλητής x x x + η p, (4.94) η νέα λύση παίρνει την μορφή ή ισοδύναμα u(x, t) = e 2it 2 cosh(p x) 2 cos(q t i η) ( 1 + cosh(η) cos(q t) cosh(η) cosh(p x) ). (4.95) u KM (x, t) = e 2it ( cos(q t 2 i η) + cosh(η) cosh(p x) cos(q t) cosh(η) cosh(p x) ). (4.96) Η λύση (4.95) είναι λέγεται πνοή (breather) και απεικονίζεται γραφικά στο σχήμα 4.2. Σχήμα 4.2: Η εντοπισμένη στο χώρο λύση breather της NLS (Kuznetsov-Ma). Η λύση βρέθηκε από τον Kuznetsov [23] με την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης αναζητώντας λύσεις της εστιάζουσας NLS που ασυμπτωτικά καθώς x, να τείνουν στην λύση του επίπεδου κύματος της NLS. Ανακαλύφθηκε πάλι αργότερα από τον Ma [26], και είναι γνωστή ως Kuznetsov-Ma breather. Όπως η 1-soliton λύση της NLS, έτσι και η λύση (4.95) παριστάνει την περιβάλλουσα (envelope) επίπεδων κυμάτων. Πρόκειται για μια λύση εντοπισμένη στο χώρο, με το μέτρο u M να είναι περιοδική συνάρτηση της χρονικής μεταβλητής t, με περίοδο 2π/p. Στο διάστημα t 2π/p, η μέγιστη διαμόρφωση της περιβάλλουσας συμβαίνει στο σημείο (x, t) = (0, 0) με τιμή u KM max = 2 cosh(η) + 1. (4.97)

88 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Περίπτωση 2: Re (η) = 0. Υποθέτουμε ότι η παράμετρος η είναι καθαρά φανταστικός αριθμός, η = i μ, με μ > 0, οπότε α = i cos(μ), α = i cos(μ). Η λύση σε αυτήν τη περίπτωση μπορεί να μεταγραφεί εύκολα από την λύση (4.96) μέσω του μετασχηματισμού η i η, οπότε απλά αντικαθιστούμε παντού στην (4.96) τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τις αντίστοιχες υπερβολικές τους, και αντίστροφα. H λύση παίρνει την ακόλουθη έκφραση u A (x, t) = e 2 i t cosh(q t 2 i η) cos(η) cos(p x) ( cosh(q t) cos(η) cos(p x) ), (4.98) όπου p = 2 sin(η), q = 2 sin(2 η) ( η διαφορά στο πρόσημο δεν βλάπτει την γενικότητα, αν η u ικανοποιεί την NLS τότε το ίδιο ισχύει και για την u ). Πρόκειται για μια λύση που αναπνέει μόνο μια φορά και παριστάνει μια περιβάλλουσα εντοπισμένη όμως στον χρόνο, την οποία απεικονίζουμε στο σχήμα 4.3. Σχήμα 4.3: Η εντοπισμένη στο χρόνο λύση breather της NLS (Akhmediev). Η λύση είναι γνωστή ως Akhmediev breather. Βρέθηκε από τους Akhmediev, Eleonskii and Kulagin [6], υποθέτοντας ότι η NLS επιδέχεται λύσεις της μορφής u = (Q(x, t) + δ(t)) e i φ(t), και αναλύοντας τις εξισώσεις που προκύπτουν για τις άγνωστες συναρτήσεις. Ασυμπτωτικά καθώς t, η λύση (4.98) τείνει στο επίπεδο κύμα e 2i t της NLS, και είναι περιοδική ως προς την χωρική μεταβλητή x, με περίοδο 2π/p. Η μέγιστη διαμόρφωση της περιβάλλουσας συμβαίνει στο σημείο (x, t) = (0, 0) με τιμή u A max = 2 cos(η) + 1. (4.99)

89 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 73 Ας δούμε τώρα την σχέση που έχει η λύση του Akhmediev με την γραμμικοποιημένη θεωρία της NLS και την αστάθεια διαμόρφωσης που εξετάσαμε στο Κεφάλαιο 3, και κατ επέκταση την φυσική ερμηνεία των παραμέτρων που εμφανίζονται στην λύση. Αφού η εξίσωση NLS, όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 2, είναι αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό t t + t 0, μπορούμε να επιλέξουμε ένα χρόνο αναφοράς t 0 (αρνητικό) έτσι ώστε η παράμετρος μ που ορίζεται ως μ = e q t 0 1, να παίρνει πολύ μικρές τιμές. Για μικρές τιμές του χρόνου t, το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor της λύσης (4.98) ως προς την παράμετρο μ είναι u = e 2 i t (1 + 2 μ sin(2 η) e i( π 2 η) cos(p x) e q t ) + O(μ 2 ), (4.100) εκτός από την σταθερή φάση e 2 i η που πολλαπλασιάζει συνολικά το παραπάνω ανάπτυγμα. Παραλείποντας όρους O(μ 2 ) και πάνω, για t = 0 η αρχική μορφή του κύματος (4.100) είναι u(x, 0) = 1 + μ e i ψ cos(p x), (4.101) για κάποια φάση ψ. Επιστρέφοντας τώρα στην γραμμικοποιημένη ανάλυση της NLS στην παράγραφο 3.2, και λύνοντας το γραμμικοποιημένο πρόβλημα με την αρχική συνθήκη (4.101), βρίσκουμε ότι μέχρι όρους Ο(μ 2 ) αυτή δίνεται από την σχέση u lin = e 2 i t cos(p x) 1 + μ ( sin(2 η) ( cos(ψ η) e q t e i( π 2 η) + cos(ψ + η) e q t e i( π 2 η) ), (4.102) ) όπου p, q και η συνδέονται όπως προηγουμένως, δηλαδή p = 2 sin(η), q = 2 sin(2 η). Αξίζει να σημειωθεί ότι η σχέση διασποράς Ω(k) = k (4 k 2 ) 1/2 που βρήκαμε στην παράγραφο 3.2 για την παραμέτρηση k = p = 2 sin η, γίνεται Ω(η) = 2 sin(2 η), οπότε η Ω(k) ταυτίζεται με την παράμετρο q που εμφανίζεται στην λύση Akhmediev. Συνεπώς η παράμετρος q μπορεί να ερμηνευθεί ως ο ρυθμός αύξησης της αστάθειας διαμόρφωσης που αντιστοιχεί στον κυματικό αριθμό p. Επιπλέον, συγκρίνοντας τις δυο συναρτήσεις (4.100) και (4.102) παρατηρούμε ότι η πρώτη μπορεί να θεωρηθεί ότι εμφανίζεται ως μια περιοδική διαταραχή πλάτους και φάσης του επίπεδου κύματος που εκφράζει η δεύτερη. Οι τελευταίες παρατηρήσεις, μας δίνουν μια εικόνα για τον σχηματισμό και την εξέλιξη της λύσης του Akhmediev και τον πολύ ειδικό χαρακτήρα της. Παριστάνει ένα ανάλογο μιας ομοκλινικής τροχιάς ενός δυναμικού συστήματος που ξεκινά κατά μήκος μιας ασταθούς πολλαπλότητας, όπως έχει επισημανθεί στο άρθρο [1]. Μια τελευταία παρατήρηση είναι ότι από την πλευρά των αριθμητικών σχημάτων επίλυσης της NLS, για να πάρουμε αριθμητικά την λύση (4.98), θα πρέπει να επιλέξουμε στα περιοδικά αρχικά δοσμένα (4.101) την φάση ψ = π 2 η, έτσι ώστε ο όρος cos(ψ + η) στην (4.102) να μηδενίζεται, και άρα να συμφωνεί με την (4.100).

90 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Η ακραία κυματική λύση του Peregrine Ένα φυσικό ερώτημα που ανακύπτει είναι τι συμβαίνει στις προηγούμενες λύσεις πνοών της NLS, όταν η παράμετρος η τείνει στην κρίσιμη τιμή η 0, ή ισοδύναμα όταν η χωρική (ή χρονική) περίοδος 2π/p γίνεται άπειρη, αφού p = 2 sin(η) (ή p = 2 sinh(η)). Αυτό το ερώτημα απασχόλησε τον Peregrine σε ένα άρθρο ανασκόπησης των λύσεων της NLS [31], και βρήκε μια ακραία κυματική λύση (rogue/freak wave). Συγκεκριμένα ο Peregrine αναζήτησε το όριο lim u Α(x, t) = lim e 2it cosh(q t 2 i η) cos(η) cos(p x) η 0 η 0 ( cosh(q t) cos(η) cos(p x) ). Για να υπολογίσουμε το παραπάνω όριο γράφουμε τις τριγωνομετρικές και τις υπερβολικές συναρτήσεις στην λύση ως σειρές Taylor και κρατάμε όρους μέχρι δεύτερης τάξης cosh(q t) 1 + q2 t 2 ε 2 + O(ε 4 ), cos(p x) 1 p2 x 2 ε 2 + O(ε 4 ), 2 2 cos(η) 1 η2 2 ε2 + O(ε 4 ), cosh(q t 2 i η) 1 + ( 2 i η+q t)2 2 ε 2 + O(ε 4 ). Συνεπώς, το όριο παίρνει την ακόλουθη μορφή lim u Α (x, t) = lim η 0 η 0 e2 i t ( 1 4 η (η + i q t) η 2 + q 2 t 2 + p 2 x 2 ), το οποίο τώρα μπορεί να υπολογιστεί εύκολα και ισούται με την λύση που βρήκε ο Peregrine lim u Α(x, t) = u P (x, t) = e 2 i t η 0 ( 1 4 (1 + 4i t) x t 2 ). (4.103) Σχήμα 4.4: Το ακραίο κύμα (rogue/freak wave) της NLS - Peregrine soliton.

91 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 75 Το ακραίο κύμα του Peregrine απεικονίζεται στο σχήμα 4.4. Πρόκειται για ένα και μόνο ομαλό παλμό, στο χώρο και στον χρόνο, επικεντρωμένο γύρω από το σημείο (0, 0). Ασυμπτωτικά καθώς το x η λύση τείνει στην λύση του επίπεδου κύματος της NLS με ρυθμό x 2, σε αντιδιαστολή με την εκθετική μείωση της λύσης πνοής Kuznetsov-Ma. Η λύση είναι καθαρά ομοκλινική, δηλαδή ξεκινά από την λύση του επίπεδου κύματος της NLS καθώς t, και επιστρέφει στο επίπεδο κύμα καθώς t +, με ρυθμό t 2, σε αντιδιαστολή με την εκθετική μείωση της λύσης πνοής Akhmediev. Η λύση έχει δυο ρίζες στα σημεία (± 3, 0), και η μέγιστη διαμόρφωση πλάτους παρατηρείται στο σημείο (0, 0) με 2 τιμή u P max = 3, δηλαδή ακριβώς τρεις φορές το πλάτος της λύσης υποβάθρου του επίπεδου κύματος της NLS! Ο ιδιαίτερος χαρακτήρας της λύσης του Peregrine είναι εμφανής. Είναι η απλούστερη λύση της NLS, εντοπισμένη στον χώρο και στον χρόνο, η οποία αναπαράγει ποιοτικά το κύριο ποιοτικό χαρακτηριστικό των ακραίων κυμάτων (rogue/freak waves): κύματα που εμφανίζονται από το πουθενά, ανυψώνονται πολύ πιο ψηλά από τα κύματα υποβάθρου, κι εξαφανίζονται δίχως να αφήσουν ίχνος. Χρησιμοποιώντας την συμμετρία αλλαγής κλίμακας της NLS X 4 = x x + 2 t t u u, από την λύση του Peregrine παίρνουμε την νέα λύση u = A u P (A x, A 2 t), με A > 0, που είναι η u(x, t) = A e 2 i A2 t ( 1 4 (1 + 4 i A 2 t) A 2 x A 4 t 2 ). Καθώς x, t, η παραπάνω λύση τείνει στην γενική λύση του επίπεδου κύματος της NLS u 0 = A e 2 i A2 t, με μέγιστη διαμόρφωση πλάτους στο σημείο (0, 0), ίση με τρεις φορές το πλάτος A του επίπεδου κύματος, u max = 3 A. Οπότε με την βοήθεια της παραπάνω συμμετρίας Lie μπορούμε να αλλάξουμε κλίμακα, όμως η μέγιστη διαμόρφωση και της νέας λύσης είναι ίση, όπως άλλωστε ήταν αναμενόμενο, με το τριπλάσιο του πλάτους του επίπεδου κύματος υποβάθρου της NLS. Αυτός είναι και ο λόγος που επιλέξαμε ως λύση φύτρο στον μετασχηματισμό Darboux την πιο απλή λύση του επίπεδου κύματος e 2 i t, για να απλοποιήσουμε λίγο τις πράξεις.

92 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX ΤΗΣ NLS - AΚΡΑΙΑ ΚΥΜΑΤΑ 4.5 Το Peregrine soliton ως πρότυπο ακραίο κύμα Υπάρχει έντονη σύγχρονη ερευνητική δραστηριότητα στην παραγωγή αλγεβρικών λύσεων της εστιάζουσας NLS, οι οποίες αποτελούν γενικεύσεις του ακραίου κύματος του Peregrine (βλ. [4], [11] και στις βιβλιογραφικές αναφορές εκεί). Σε γενικές γραμμές οι μέθοδοι παραγωγής τέτοιων λύσεων είναι γενικεύσεις του μετασχηματισμού Darboux που παρουσιάσαμε αναλυτικά στο κεφάλαιο αυτό. Ειδικότερα υπάρχουν λύσεις ακραίων κυμάτων της NLS που δίνονται μέσω της ορίζουσας ενός N N πίνακα, και λέγονται N-τάξης ακραία κύματα. Ωστόσο, δεν είναι ξεκάθαρο για το αν, και κατά πόσο, τέτοιες λύσεις αντιστοιχούν σε καταστάσεις που μπορούν να παρατηρηθούν στην φύση, και άρα η αξία τους δεν περιορίζεται στο καθαρά μαθηματικό ενδιαφέρον των μεθόδων παραγωγής νέων λύσεων της εστιάζουσας NLS. Προς αυτήν την κατεύθυνση κινήθηκε ένα ενδιαφέρον πρόσφατο ερευνητικό άρθρο [34]. Οι συγγραφείς χρησιμοποιώντας την μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης, αποδεικνύουν ότι μόνο το ακραίο κύμα του Peregrine παριστάνει ασυμπτωτικά την λύση μιας πολύ ευρείας κλάσης αρχικών συνθηκών, οι οποίες έχουν φυσική σημασία από την πλευρά των εφαρμογών. Το συμπέρασμα αυτό είναι σε συμφωνία και με τα αποτελέσματα του άρθρου [5], στο οποίο οι συγγραφείς στο πλαίσιο της NLS μελετούν με αριθμητικές μεθόδους ακραία κύματα που παράγονται από τυχαίες αρχικές συνθήκες. Ειδικότερα, από τις αρκετά εκτενείς αριθμητικές προσομοιώσεις συνάγεται ότι οι κορυφές των κυμάτων με μέγιστο πλάτος μπορούν να περιγραφούν ως ακριβείς λύσεις της NLS στην μορφή συγκρουόμενων πνοών τύπου Akhmediev. Στο Σχήμα 14 του άρθρου [5] φαίνεται σημαντική απότομη πτώση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας του πλάτους, για πλάτος περίπου ίσο με 3, και η πτώση αυτή είναι ευκρινέστερη για αρχικές συνθήκες με μικρότερο πλάτος. Αυτό υποδεικνύει ότι για όλες τις λύσεις οι οποίες χαρακτηρίζονται από μικρές αρχικές διαταραχές γύρω από την λύση του επίπεδου κύματος της εστιάζουσας NLS, η λύση του Peregrine θα είναι εκείνη που περιγράφει καλά το πιθανότερο μοτίβο ενός ακραίου κύματος. Σ αυτό το σημείο ολοκληρώνουμε την μελέτη μας για το ανεξάντλητο θέμα της εστιάζουσας NLS, καθώς και των γενικεύσεών της, και των ακραίων κυματικών φαινομένων που περιγράφει, το οποίο αποτελεί ακόμα και στις μέρες που γράφεται η εργασία αυτή ένα πολύ έντονο και ενδιαφέρον ερευνητικό πεδίο, για παράδειγμα δες [18], [2].

93 Παραρτήματα 77

94

95 Παράρτημα Αʹ Ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες Στον R 2 με συντεταγμένες (x, y) ορίζουμε τις ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες (ζ, θ) ως x = α cosh ζ cos θ, y = α sinh ζ sin θ, 0 ζ <, 0 θ < 2 π, (Αʹ.1) όπου α πραγματική σταθερή. Σχήμα Αʹ.1: Οι ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες για α = 1. Για ζ = ζ 0 έχουμε τις ελλείψεις x ( α cosh ζ 0 ) και για θ = θ 0 έχουμε τις υπερβολές x ( α cos θ 0 ) y + = 1, ( α sinh ζ 0 ) y ( α sin θ 0 ) 79 2 = 1.