dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1
|
|
- Ἥβη Κουβέλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα 9.Γωνίες- Ασυνέχειες της παραγώγου.γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση.κανόνας L Hopital.Πλεγμένη παραγώγιση 3.Παράγωγος αντίστροφης 4.Σχετιζόμενοι ρυθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5.Πρώτο διαφορικό 6.Γραμμική παρεμολή 7.Τάξη απείρου 8.Τάξη μηδενικού 9.Αντίστροφες τριγωνομετρικές.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Κλίση ευθείας: = m+ Η κλίση m μιας ευθείας προσδιορίζεται γεωμετρικά από: τον λόγο των μεταολών {Δ, Δ} m= Δ Δ από οιεσδήποτε αρχικές τιμές {,}, όπως στο πρώτο γράφημα του σχήματος παρακάτω την μεταολή του όταν το αυξηθεί κατά μία μονάδα: Δ = Δ = m, όπως στο δεύτερο και στο τρίτο γράφημα. Δ< m= m= m> Δ > m< m= Δ< Επίσης δίνεται από την τριγωνομετρική εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα: m= tan θ, όπως στο δεύτερο και τρίτο γράφημα. Μεταολές. Θεωρούμε συνάρτηση = f(). Αν το μεταληθεί κατά Δ από κάποια αρχική τιμή, τότε το θα μεταληθεί κατά: Δ = Δf(), όπου: Δf() = f(+ Δ) f() Μέσος ρυθμός μεταολής καλείται το μέγεθος που προκύπτει παίρνοντας τον λόγο των μεταολών: Δ Δf() = f() f() Δ Δ Γεωμετρικά δίνεται από την κλίση της χορδής, όπως (,) Δ = Δf() (,) d στο πρώτο γράφημα παραπλεύρως. Για γραμμικές συναρτήσεις συμπίπτει με την κλίση της ευθείας του Δ d γραφήματος: Δ = m+ Δ = [m( + Δ) + ] [m+ ] = mδ = m Δ 3. (Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος της συνάρτησης f() = στο σημείο της (, ) καλείται το μέγεθος που προκύπτει ως το όριο του παραπάνω λόγου των μεταολών όταν Δ. Παριστάνεται μένα από τα σύμολα: d, (), D() d ή df, f (), Df() d αντίστοιχα Γεωμετρικά δίνεται από την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στο γράφημα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο, όπως στο δεύτερο σχήμα παραπάνω. Λέμε ότι: Η παράγωγος μετράει την μεταολή του = f() για μεταολή του κατά, οριακά. Παράδειγμα. Δ > Δ m= > Δ = Π.χ. για (=, = ) : θ Δ = (+ Δ) () = [(+ Δ) (+ Δ) ] [ ] = ( )Δ Δ Δ Δ = 3Δ Δ = 3 Δ 3 όταν Δ. Επομένως () = 3. Δ Γενικότερα: Δ = Δ, όταν Δ. Επομένως () Δ =. θ m= m=
2 4. Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων: f() f () (c) =, (m+ ) = m, = =, (e ) e, ln / sin = cos, cos = sin, tan = + tan 5. Κανόνες παραγώγισης. [αf() + g()] = αf () + g (), γραμμικός συνδυασμός Ειδικότερα: [αf()] = αf (), [f() ± g()] = f () ± g (). [f()g()] = f ()g() + f()g (), γινόμενο f() f ()g() f()g () 3. = g(), πηλίκο g() Παράδειγμα 3 3. ( 5+ ) = ( ) 5() + () = α α ( ) = α για όλα τα α ( ) ( ) ( ) = = =, για ( ) ( ) ( ) / / / ( ) = ( ) = = = για + ( e ) = ( ) e + (e ) = e + e = e, για sin (sin ) cos sin (cos ) cos + sin 5. (tan ) = tan cos = = = + cos cos ln 6. (log ) = = ln, για > (μετατρέψαμε σε άση e ) ln 7. (ln ) = () ln + (ln ) = ln + (/ ) = ln +, για > 6. Αλυσωτή παράγωγος Η παράγωγος της σύνθεσης συναρτήσεων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους παραγώγων: dz dz d {z = z(), = ()} d = d d ή στην εναλλακτική μορφή: f(g()) = f (g())g () Η ερμηνεία της παραπάνω ισότητας είναι ότι: στο αριστερό μέρος αντικαθιστούμε πρώτα από τις δοθείσες σχέσεις και μετά παραγωγίζουμε, ενώ στο δεξιό μέρος πρώτα παραγωγίζουμε απευθείας τις δοθείσες σχέσεις και μετά αντικαταθιστούμε. Προκύπτουν έτσι οι τύποι: α α. [f ()] = αf ()f () f() f(). [e ] = e f (), [lnf()] = f () / f() 3. [sinf()] = [cos f()]f (), [cos f()] = [sinf()]f () Παράδειγμα. (e ) = e ( ) = e / / [(+ ) ]. (ln + ) = [ln(+ ) ] = = / (+ ) ( + ) Το ίδιο θα ρούμε αν απλοποιήσουμε: / ln( + ) = (/ )ln( + ) ln ln 3. ( ) = (e ) = e (ln) = ln (μετατρέψαμε σε νεπέρια άση) ln ln ln 4. ( ) = (e ) = e ( ln ) = e (ln + ) = (ln + ), για > 7. Μονοτονία Το πρόσημο της ποαραγώγου καθορίζει τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης, σύμφωνα με το παρακάτω θεμελιώδες θεώρημα.
3 Θεώρημα μέσης τιμής (mean value theorem) Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, και έχει παράγωγο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του: α< <, τότε θα έχουμε: f() f(α) = f (ξ), για κάποιο ξ στο εσωτερικό του: α< ξ <. α Δηλαδή η κλίση της χορδής είναι ίση με τη κλίση της εφαπτόμενης σε κάποιο γνήσια ενδιάμεσο σημείο, όπως φαίνεται και στο γράφημα. Ως άμεση συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής, ρίσκουμε: Ιδιότητα μονοτονίας σε διάστημα. Μια συνάρτηση f()που είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα και έχει παράγωγο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του, είναι αύξουσα (φθίνουσα) έχει f () ( ) σε όλα τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος. Ειδικότερα, αν ικανοποιεί f () > ( < ) σε όλα τα εσωτερικά σημεία, εκτός ίσως ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων όπου μπορεί να μηδενίζεται, τότε είναι γνήσια αύξουσα (φθίνουσα). Παρατήρηση. Συναρτήσεις με f () > ή f () < σε όλα τα σημεία ενός διαστήματος καλούνται ισχυρά μονότονες στο διάστημα. Μια ισχυρά μονότονη συνάρτηση είναι και γνήσια μονότονη. Παράδειγμα. f() = + f () = <, γνήσια φθίνουσα για όλα τα.. = =, γνήσια φθίνουσα για, γνήσια αύξουσα για. f() f () 3 3. f() = f () = 3, γνήσια αύξουσα για όλα τα διότι μηδενίζεται μόνο σένα σημείο: =. 4. f() = ln f () = /, γνήσια αύξουσα για >. 5. f() = f () = /, γνήσια αύξουσα για, διότι είναι συνεχής για και έχει γνήσια θετική παράγωγο στο εσωτερικό: > 8. Στάσιμα σημεία μιας συνάρτησης f() καλούνται τα στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος: f () =. Τα στάσιμα σημεία χωρίζουν το διάστημα ορισμού σε υποδιαστήματα, όπου σε κάθε υποδιάστημα η συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη διότι η παράγωγος θα έχει γνήσια το ίδιο πρόσημο, υποθέτοντας συνεχή παράγωγο. Ένα στάσιμο σημείο στο οποίο αλλάζει γνήσια το πρόσημο της παραγώγου είναι γνήσιο τοπικό ακρότατο, μέγιστο αν από θετική γίνεται αρνητική, ελάχιστο στην αντίθετη περίπτωση. Ένα στάσιμο στο οποίο η παράγωγος έχει γνήσια το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν δεν είναι ακρότατο, είναι σημείο καμπής. Παράδειγμα. Θα μελετήσουμε τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης: 3 f() = + α+ f () = 3 + α. Αν α>, τότε f () > για όλα τα, και η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα.. Αν α=, τότε f () = 3. Το πρόσημο της παραγώγου δεν αλλάζει στο στάσιμο: =. Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα με σημείο καμπής το στάσιμο. 3. Αν α<, τότε f () = 3 + α=, =± α / 3 Η συνάρτηση έχει δύο στάσιμα. Στο πρώτο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει γνήσια από θετικό σε αρνητικό και επομένως είναι γνήσιο τοπικό μέγιστο. Στο δεύτερο αλλάζει γνήσια από αρνητικό σε θετικό και είναι γνήσιο τοπικό ελάχιστο. α> α= α< 9. Γωνίες-Ασυνέχειες της παραγώγου. Θεωρούμε δύο μορφές ασυνέχειας της παραγώγου f ( ) =±,άπειρη ασυνέχεια. Η εφαπτόμενη ευθεία είναι κατακόρυφη με άπειρη κλίση. o f ( ) f ( ) : ηματική ασυνέχεια. Το γράφημα έχει γωνία. + o o Παράδειγμα. Παρακάτω δίνουμε τα γραφήματα τριών συναρτήσεων καθώς και τα γραφήματα των αντίστοιχων παραγώγων, ως εξής: α ξ 3
4 . {f() =, } f () = /, με άπειρη ασυνέχεια στο = όταν. f() = ma{,}, = όταν όταν f () = όταν Στο = έχει γωνία με ηματική ασυνέχεια της παραγώγου: f ( + ) f ( ) = = όταν όταν 3. f() = = f () = όταν όταν Στο = έχει γωνία, με ηματική ασυνέχεια της παραγώγου από σε +. f f ma{,}. Γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση μιας συνάρτησης f() στο σημείο, καλείται η γραμμική συνάρτηση που έχει την ίδια τιμή και την ίδια παράγωγο με την συνάρτηση σαυτό το σημείο, δηλαδή είναι η γραμμική συνάρτηση της εφαπτόμενης ευθείας. Υπενθυμίζουμε ότι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (, ) με κλίση m, έχει εξίσωση: = + m( ) Επομένως η γραμμική προσέγγιση στο θα έχει: = f( ) και m= f ( ), και θα δίνεται από την γραμμική συνάρτηση f() = f( ) + f ( )( ) όταν Έτσι έχουμε τις παρακάτω χρήσιμες γραμμικές προσεγγισεις: e + (+ ) /, ln(+ ) ln Π.χ. έχουμε τις παρακάτω προσεγγιστικές και αντίστοιχες πραγματικές τιμές:...5 Π.χ. e, Κανόνας L Hopital Μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τα όρια απροσδιόριστων μορφών: f() f() f () ή όταν g() g() g () Δηλαδή, αν αμφότερα τα όρια είναι ή τότε παίρνοντας το όριο μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις συναρτήσεις με τις παραγώγους τους Παράδειγμα. Για +, e (e ) e () = +, = = +, e = ln (ln ) / e e ln + / /, ρ ρ + e (παίρνουμε λογαρίθμους). Για sin cos, ln / ln ln = =, = e e = / /.Πλεγμένη παραγώγιση Η παραγώγιση πλεγμένης συνάρτησης μπορεί να εκτελεστεί έμμεσα (δηλαδή χωρίς να λύσουμε πρώτα ως προς την συνάρτηση), παραγωγίζοντας στην εξίσωση F(, ) = c ως προς την μία μεταλητή, θεωρώντας την άλλη ως συνάρτησή της, οπότε έχουμε: ως προς : F(,()) c F, ως προς : F((),) c F e 4
5 Η διαδικασία καλείται πλεγμένη παραγώγιση, και η παράγωγος που ρίσκουμε καλείται πλεγμένη παράγωγος διότι γενικά εκφράζεται μέσω και του και του, αλλά έαια ισχύει μόνο για τις τιμές (,) που ικανοποιούν την εξίσωση. Παράδειγμα. + = 5. Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το ως πλεγμένη συνάρτηση του, ρίσκουμε: + () 5, ( ) + ( ) = 5 + = () = /, =, = / Π.χ. = + = 5 =, = / ρ ρ Παράδειγμα. + = c με ρ, c>, στη θετική περιοχή: {, } Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το ως πλεγμένη συνάρτηση του : ρ ρ ρ ρ ρ d ( ) + ( ) = c ρ + ρ = = ρ d Συμπεραίνουμε ότι όσον αφορά την μονοτονία είναι φθίνουσα. Όσον αφορά τις τομές της με τους άξονες διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: /ρ /ρ. ρ>. Τέμνει τους δύο άξονες καθέτως: {=, = c = } και {=, = c = } /ρ /ρ. < ρ<. Τέμνει τους δύο άξονες εφαπτομενικά: {=, = c = }, {=, = c = } 3. ρ<. Δεν τέμνει τους άξονες, διότι έχει οριζόντια και κατακόρυφη ασύμπτωτο, ως εξής: /ρ /ρ {, c } και {, c } Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση, για την κάθε περίπτωση. < ρ < ρ< ρ< + = c + = c + = c = c 3. Παράγωγος αντίστροφης Στο ίδιο(, ) οι παράγωγοι αντίστροφων συναρτήσεων: { = () = ()} είναι ανάστροφοι μεταξύ τους: d d = ή () = f () = d d () f (f ()) Παρατήρηση. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, η παράγωγος () ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας ως προς τον άξονα, ενώ η παράγωγος () ισούται με την κλίση της ως προς τον άξονα, δηλαδή αφορούν τις τριγωνομετρικές εφαπτόμενες συμπληρωματικών γωνιών: {tanθ, tan(π / θ) = / tanθ}. Παράδειγμα. Θα υπολογίσουμε με τρεις τρόπους την παράγωγο () της συνάρτησης = () που ορίζεται πλεγμένα ως αντίστροφη της = (), όπου: = Ως παράγωγο αντίστροφης: () = 4+ () = / () = / (4+ ). Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς : () = (+ 4+ ) = = / (4+ ) 3. Λύνοντας την εξίσωση ως προς και παραγωγίζοντας κανονικά, ρίσκουμε: ± = ( ) = = ± + 3 () = + 3 όπου κάθε φορά επιλέγουμε ένα από τα δύο πρόσημα για το και για το Παρατήρηση. Αν στο αντικαταστήσουμε το που ρήκαμε στο 3 θα ρούμε το ίδιο όπως στο 3: = = = ( ± + 3) ± + 3) 5 = + 4+ = ± 3+
6 Παράδειγμα. Από την παράγωγο της {= ln = e }. Από την παράγωγο f() = e θα ρούμε την παράγωγο της αντίστροφης (ln) = () = / () = / e = / f() =, θα ρούμε την παράγωγο της αντίστροφης { = = } με ( ) = () = / () = / = / 4. Σχετιζόμενοι ρυθμοί: { = (t), = (t)} F(, ) = c Οι παράγωγοι στο ίδιο σημείο συνδέονται με την σχέση σχετιζόμενων ρυθμών: d d d d = dt dt = ɺ ɺ ή ανάστροφα d d d d = dt dt = ɺ ɺ, όπου με πάνω τελεία συμολίζουμε τις παραγώγους ως προς την παράμετρο t. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε την σχέση σχετιζόμενων ρυθμών στην τροχιά: ( ) { = + sin t, = cos t} + = 4 αριστερό μέρος: ( ) / + = = ( ) / 4 = sin t / cos t δεξιό μέρος: ɺ / ɺ = sin t / cos t Για το αριστερό μέρος παραγωγίσαμε πλεγμένα ως προς. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5. Διαφορικά. Αρχίζοντας από κάποιες αρχικές τιμές: {,} f () ln = : f () = : Οι μεταολές: {Δ, Δ} ορίζονται ως μετατοπίσεις πάνω στη καμπύλη της συνάρτησης = f() όπως στο πρώτο σχήμα παρακάτω, και ικανοποιούν την εξίσωση μεταολών: Δ= f(+ Δ) f() Τα διαφορικά: {d, d} ορίζονται ως μετατοπίσεις πάνω στην εφαπτόμενη ευθεία της καμπύλης στο ίδιο σημείο όπως στο δεύτερο σχήμα, και ικανοποιούν την πολύ απλούστερη (γραμμική) εξίσωση διαφορικών: d= ()d (,) Δ Δ d (,) d Μεταολές-διαφορικά Δ d Δ = d Η παραπάνω σχέση μεταξύ των διαφορικών ισχύει οιαδήποτε από τις δύο μεταλητές αν θεωρήσουμε ως ανεξάρτητη, λόγω της σχέσης αναστροφής μεταξύ αντίστροφων συναρτήσεων. Οι δύο έννοιες: {μεταολές, διαφορικά}, συμπίπτουν μόνο για τις γραμμικές εξισώσεις. Στη γενική περίπτωση τα διαφορικά δίνουν μια εκτίμηση των μεταολών όταν αυτές είναι μικρές, με την έννοια ότι στο όριο ο λόγος τους τείνει στην μονάδα. Για τον λόγο αυτό τα διαφορικά ονομάζονται και οριακές μεταολές. Ειδικότερα, όσον αφορά το πρόσημο της μεταολής, ισχύει το παρακάτω: Για μικρά Δ = d το πρόσημο της μεταολής Δ δίνεται από το πρόσημο του διαφορικού d αν το τελευταίο είναι μη μηδενικό, δηλαδή στα σημεία με μη μηδενική παράγωγο. Συμπεραίνουμε ότι η μονοτονία καθορίζεται από το πρόσημο της παραγώγου, όπως διαπιστώσαμε και προηγουμένως. Παρατήρηση. Τα διαφορικά προσεγγίζουν τις μεταολές με τον ίδιο τρόπο που οι γραμμικές προσεγγίσεις προσεγγίζουν τις συναρτήσεις. Π.χ. για την εκθετική συνάρτηση = e, σε τυχόν σημείο της, ρίσκουμε: + Δ Δ μεταολή: Δ = e e = e (e ) e (+ Δ ) = e Δ = e d = d : διαφορικό όπου χρησιμοποιήσαμε την γραμμική προσέγγιση: 6 Δ e + Δ εφόσον το Δ είναι μικρό: Δ
7 6. Γραμμική παρεμολή μιας συνάρτησης f() μεταξύ δύο σημείων της καλείται η γραμμική συνάρτηση της χορδής που τα συνδέει. = m = + m( ) για μεταξύ των {, }, όπου m= Παράδειγμα. Για τη συνάρτηση =, μεταξύ των σημείων ( =, = 4), ρίσκουμε την γραμμική παρεμολή: 4 = + ( ) = + 3( ) = 3 για 7. Τάξη απείρου. Αν f() g() ( =, = ) και, τότε λέμε ότι το άπειρο του αριθμητή είναι: γνήσια μεγαλύτερης τάξης αν το όριο είναι γνήσια μικρότερης τάξης αν το όριο είναι της ίδιας τάξης αν το όριο είναι αριθμός διάφορος των {, }. Η τάξη απείρου των α { } αυξάνει όταν αυξάνει η δύναμη α>. (, ) και (, ) είναι η κλίση α. Η e έχει μεγαλύτερη τάξη απείρου από κάθε με α>. α 3. Η ln έχει μικρότερη τάξη απείρου από κάθε με α> Οι δύο συναρτήσεις: {ln + ln + + 5, } έχουν την ίδια τάξη απείρου, διότι αυτή καθορίζεται από τον προσθετικό όρο με την μεγαλύτερη τάξη απείρου. 8. Τάξη μηδενικού. Αν f(), τότε λέμε ότι το μηδενικό του αριθμητή είναι: g() γνήσια μεγαλύτερης τάξης αν το όριο είναι γνήσια μικρότερης τάξης αν το όριο είναι της ίδιας τάξης αν το όριο είναι αριθμός διάφορος των {, } Παράδειγμα. Οι συναρτήσεις: {, e, sin,cos } έχουν όριο όταν. Για το λόγο τους ρίσκουμε: e e, sin cos, cos sin Επομένως οι {e,, sin } έχουν στο = μηδενικό της ίδιας τάξης ενώ η cos έχει ανώτερης. 9.Αντίστροφες τριγωνομετρικές. Ο τύπος αντίστροφης παραγώγου μας δίνει τις παρακάτω παραγώγους για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:. Αντίστροφο ημίτονο: = arcsin = sin με {, π / π / } arcsin = με.αντίστροφη εφαπτομένη: (,) (,4) arcsin / = arctan = tan με: { < <+, π / < < π / } arctan = με < < + + arctan / (+ ) 7
8 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ Ασκήσεις. Να ρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ln( ),. Θεωρούμε την εξίσωση = + με. Να ρεθεί η εξίσωση των μεταολών, και να υπολογιστεί πόσο πρέπει να μεταληθεί το από την τιμή = 4 ώστε η τιμή της συνάρτησης να ελαττωθεί κατά. Να συγκριθεί με την αντίστοιχη εκτίμηση χρησιμοποιώντας διαφορικά. Να επαναληφθεί για την εξίσωση = ln. 3. Να επαληθευτεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης για τις παρακάτω συνθέσεις: {f() = ln,g() = e } f g(), {z= ln, = + } z= z(), e, {z= ln, =, = t+ )} z= z(t) 4. Να υπολογιστεί το ήμα της ασυνέχειας της παραγώγου για τις συναρτήσεις: min{, }, ma{, } 5. Να γίνουν τα γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων στο θετικό διάστημα: e, e, ln, ln, ln+ αφού υπολογιστούν στο και στο + οι τιμές τους και οι παράγωγές τους (ως όρια). 6. Να ρεθούν οι γραμμικές προσεγγίσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο = ( ), / 3 (+ ), ln(+ ), Για κάθε μία από τις συναρτήσεις f() με τα παρακάτω γραφήματα, να ρεθούν στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:. Το γράφημα της μέσης τιμής Af() = f() /, δηλαδή της κλίσης της ακτίνας.. Το γράφημα της παραγώγου Mf() = f (), δηλαδή της κλίσης της εφαπτόμενης ευθείας. Μπορείτε να ρείτε αντίστοιχους τύπους συναρτήσεων με τα παρακάτω γραφήματα? 8. Να ρεθεί ως αντίστροφη καθώς και με πλεγμένη παραγώγιση η παράγωγος της συνάρτησης = () που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: = Για κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις να ρεθούν πλεγμένα οι παράγωγοι του ως προς και του ως προς, και να γίνει επαλήθευση. Να ρεθούν και τα γραφήματα των εξισώσεων. 3 3 / + 3 = 8, =, + = 3,( + ) = 3. Να επαληθευτεί ο κανόνας σχετιζόμενων ρυθμών για τις παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις: { = t, = 4t}, { = t, = t / 4} + 3 αν. Θεωρούμε τη συνάρτηση: f() = αν Να επεκταθεί στο διάστημα [,]με πολυώνυμο του ελάχιστου αθμού, έτσι ώστε να είναι: α) συνεχής, ) και παραγωγίσιμη στο =, γ) παραγωγίσιμη και στο =. Σε κάθε περίπτωση να γίνει και το σχετικό γράφημα.. Θεωρούμε την εξίσωση = + με, στο σημείο ( = 4, = 7) α. Να ρεθούν η μεταολή Δ και το διαφορικό: d, αν το μεταληθεί από την τιμή = 4, κατά Δ = d :{,.5,.}. Σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί και ο λόγος: Δ / d. Να ρεθούν η μεταολή Δ και το διαφορικό d, ώστε το να μεταληθεί από την τιμή = 7 κατά Δ = d : {,.5,.}. Σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί και ο λόγος Δ / d 8
A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f
ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραI.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c}
I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.μηδενικά.μονοτονίες 3.Ασυνέχειες 4.Θετικές δυνάμεις 5.Αρνητικές δυνάμεις 6.Εκθετική 7.Λογαριθμική 8.Αλλαγή βάσης 9.Πολυωνυμικές.Ρητές.Σύνθεση.Πλεγμένες
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.
Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln
Διαβάστε περισσότερααx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x
A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραII.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραAf(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,
Διαβάστε περισσότεραIV.11 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ
IV. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισμός ελαστικότητας 3.Σχετικά διαφορικά 4.Ελαστικότητα αντίστροφης 5.Ομογενείς συναρτήσεις 6.Λογισμός ρυθμών και διαφορικών 7.Λογαριθμική κλίμακα.
Διαβάστε περισσότεραΤεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότερα1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραII.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Παραβολική
Διαβάστε περισσότεραf(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότεραA6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ
A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισµός ελαστικότητας 3.Ελαστικότητα αντίστροφης 4. ιαφορικά 5.Οµογενείς συναρτήσεις 6.Λογισµός ρυθµών και διαφορικών 7.Λογαριθµική κλίµακα. 8.Σχετικός
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι
Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης
Διαβάστε περισσότεραC(Q) FC. } τα επίπεδα παραγωγής με ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος p
EI.. ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ.Μέσο κόστος(α).ελάχιστο μέσο κόστος 3.Μέσο προιόν(a).μέγιστο μέσο προιόν 5.Κερδοφορία. Μέσο κόστος Θεωρούμε το κόστος παραγωγής ενός προιόντος ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής, και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότερα(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :
ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)
Διαβάστε περισσότερα( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες
(1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής
Διαβάστε περισσότερα1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα
Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραB6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ
B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ
Διαβάστε περισσότερα20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ
ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το
Διαβάστε περισσότερα2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότεραIII.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ
III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.
Διαβάστε περισσότεραB5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ
B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. (3. μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
Διαβάστε περισσότερα1. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο:
Β. ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 1.Ισοσταθμικές.Εξίσωση υποκατάστασης-ρυθμός υποκατάστασης 3.Κλίση ισοσταθμικών 4.Κυρτότητα ισοσταθμικών 5.Εξαρτημένες συναρτήσεις 6.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 7.Ιακωβιανές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
Διαβάστε περισσότεραf(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους
Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές (inpts) που αφορούν τους συντελεστές παραγωγής (factors of prodction), και τις εκροές (otpts) που αφορούν
Διαβάστε περισσότεραΘ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
Διαβάστε περισσότερακαι να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )
Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότερα5 Παράγωγος συνάρτησης
5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη
Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραg= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για
Διαβάστε περισσότερα,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat
4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών
Διαβάστε περισσότερα