Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σχήµα γραφικής παράστασης. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σχήµα γραφικής παράστασης. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης"

Ζώσιμη Κωνσταντόπουλος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

, Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι -

1 8 η Διάλεξη Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σχήµα γραφικής παράστασης 11 Οκτωβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

11/10/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 2 Θεώρηµα του Rolle Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής στο [a,b]

2 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 2 Θεώρηµα του Rolle Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής στο [a,b] και διαφορίσιµη (παραγωγίσιµη) στο (a,b). Εάν f(a)=f(b)=0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο c στο (a,b) όπου f (c) =0

3 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3 Απόδειξη f(x) συνεχής στο [a,b] èυπάρχουν ακρότατα (Θεωρ. Ακροτάτων) f(x) διαφορίσιµη στο (a,b)èακρότατα στα άκρα ή σε σημεία x όπου f (x) =0 Εποµένως εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα ακρότατο σε εσωτερικό σηµείο τότε προφανώς και υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο c στο (a,b) όπου f (c) =0 Εάν και τα δύο (ελάχιστο / µέγιστο) ακρότατα εµφανίζονται στα άκρα τότε προφανώς f(x) =0 και εποµένως f (x) =0

4 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 4

5 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5

6 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6 Θεώρηµα του Rolle (γενική µορφή) Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής στο [a,b] και διαφορίσιµη (παραγωγίσιµη) στο (a,b). Εάν f(a)=f(b) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο c στο (a,b) όπου f (c) =0

7 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7 Θεώρηµα Μέσης Τιµής Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής στο [a,b] και διαφορίσιµη (παραγωγίσιµη) στο (a,b). Τότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο c στο (a,b) όπου f (c) =[f(b)-f(a)] / (b-a)

8 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8

9 Απόδειξη f( b) f( a) gx ( ) = fa ( ) + ( x a) b a hx ( ) = f( x) gx ( ) ha ( ) = hb ( ) = 0 Από το θεώρηµα του Rolle: c ( a, b) h ( c) = 0 f( b) f( a) h ( x) = f ( x) b a 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9

10 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 10

11 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 11 Πόρισµα 1 Εάν f (x)=0 σε κάθε σηµείο ενός διαστήµατος Ι τότε f(x)=c για κάθε x στο Ι όπου C είναι µία σταθερά. Πόρισµα 2 Εάν τότε f (x)=g (x) για κάθε x στο Ι f(x)=g(x)+c για κάθε x στο Ι όπου C είναι µία σταθερά.

12 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 12

13 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13 Διαφορικές εξισώσεις y = x Πόρισµα 2 y = 1 2 x2 + C y = 1 Πόρισµα 2 y = 1 x 2 x + C r = 8 csc 2 Πόρισµα 2 θ r = 8θ + cotθ + C

14 Σχήμα γραφικής παράστασης 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14

15 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15 Έστω συνάρτηση f(x) ορισµένη σε ένα διάστηµα Ι. Για c στο D, η f(c) καλείται: α) η f(x) είναι (γνησίως) αύξουσα εάν για κάθε x 1 και x 2 στο Ι x 1 < x 2 è f(x 1 ) < f(x 2 ) α) η f(x) είναι (γνησίως) φθίνουσα εάν για κάθε x 1 και x 2 στο Ι x 1 < x 2 è f(x 1 ) > f(x 2 )

16 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 16 Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής στο [a,b] και διαφορίσιµη (παραγωγίσιµη) στο (a,b). Τότε: α) εάν η f (x)>0 στο (a,b) τότε η f(x) είναι (γνησίως) αύξουσα στο [a,b] β) εάν η f (x)<0 στο (a,b) τότε η f(x) είναι (γνησίως) φθίνουσα στο [a,b]

17 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 17

18 Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου για τοπικά ακρότατα c = κρίσιµο σηµείο 1. f (c ) > 0 µεταβάλλεται f (c + ) < 0 c = τοπικό µέγιστο 2. f (c ) < 0 µεταβάλλεται f (c + ) > 0 c = τοπικό ελάχιστο 3. f (c ) f (c + ) > 0 c = δεν είναι τοπικό ακρότατο 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 18

19 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 19 4 y y = 4 3 x 1 x 2/3 Κρίσιµα Σηµεία x = 0 x = 1 Διάστηµα x < 0 0 < x < 1 x > 1 f + f x = 1 τοπικό και ολικό ελάχιστο

20 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 20 H γραφική παράσταση µίας διαφορίσιµης συνάρτησης f(x) στρέφει: α) τα κοίλα άνω (κυρτή) σε ένα ανοικτό διάστηµα Ι εάν η f (x) είναι αύξουσα στο Ι β) τα κοίλα κάτω (κοίλη) σε ένα ανοικτό διάστηµα Ι εάν η f (x) είναι φθίνουσα στο Ι

21 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 21 H γραφική παράσταση µίας διπλά διαφορίσιµης συνάρτησης f(x) στρέφει: α) τα κοίλα άνω σε ένα ανοικτό διάστηµα Ι εάν η f (x)>0 στο Ι β) τα κοίλα κάτω σε ένα ανοικτό διάστηµα Ι εάν η f (x)<0 στο Ι

22 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 22 y y=3+sinx 2 : 0," / y" = -sinx Τα σηµεία της γραφικής παράστασης στα οποία υπάρχει εφαπτοµένη και αλλάζει η κοιλότητα (κυρτότητα) της συνάρτησης καλούνται σηµεία καµπής. Στα σηµεία αυτά η f είτε µηδενίζεται είτε δεν ορίζεται.

23 though = 0of there (Example 4). At ay" point inflection (c, f(c», eith y y The next example illustrates a func Σημείο Point of Καμπήςexists, hut the second derivativ derivative inflection Σημείο Καμπής FGURE 4.26 The graph of f(x) = x'/3y has a horizontal taogent at the origin where the coocavity chaoges, although f" does not exist at x = 0 (Example 3). EXAMPLE 3 The graph of f(x) = x' f'(x) = (5/3)x2/3 = 0 when x = O. How FGURE 4.28 A point of f"(x) = inflection where y' and y" fail Here is failstoexistatx = 5). O.Nevertheless,f"(x derivatives to exist (Example second derivative changes sign at x = 0 a graph is shown in Figure EXAMPLE Δεν είναι Σημείο Καμπής 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης FGURE 4.27 The grapb of y = though the x' bas As our vertical tan 23

24 11/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 24!\V f' O,f" < 0 Κριτήριο Δευτέρας Παραγώγου για τοπικά ακρότατα c = κρίσιµο σηµείο, f = συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα που περιέχει το c 1. f (c) = 0 f (c) < 0 c = τοπικό µέγιστο 2. f (c) = 0 f (c) > 0 c = τοπικό ελάχιστο 3. f (c) = 0 f (c) = 0 Αποτυχία κριτηρίου Χρήση κριτηρίου f

25 Behavior off decreasing Behavior off y = 4x 12x = 4x ( x 3) y = 12x 24x = 12x ( x 2 ) 0<x<2 nterval nterval 2<x 0<x<2 2< x<o 0<x<2 x<o 0<x<2 2<x x<o f" Sign f" +ofτοπικό Sign of + ++ ολικό + + και ελάχιστο Behavior of f upof f upup up down downconca up downbehavior down nterval ntervalx<o Sign of f" Sign of f" + Behavior of f Behavior of f up x = 3 We see that f We is the intervals and We (2,00), seef that and fand is up on the intervals and (2,00) We see that is up ondown the intervals (-00,0) and c see thatup f ison up on(-00,0) the intervals (-00,0) (2,00), andon down(-00,0) onand (2,00), (0,2). (0,2). (0,2). (0,2). (d) Sununarizing the information the last twu in (d)twu Sununarizing the information in the last tables, we obtain thethe following. twu tables, we obtain (d) Sununarizing the last twu tables, we obtain the fol (d) Sununarizing theininformation the last tables, weinformation obtain the in following. Κρίσιµα Σηµεία Σηµεία Καµπής Διάστηµα x=0 x=3 O<x<2 O<x<2 O<x<2 2<x<3 x<o 3<x x<o O<x<2 2<x<3 3< x<o 3<x x = 0 x<o x2<x<3 = 2 2<x<3 decreasing decreasing decreasing2 < decreasing decreasing decreasingincrea decreasing increasing decreasing decreasing x<0 0decreasing < x < 2 decreasing xincreasing < 3 x > 3 decreasing up y f 5 5 increasing Behavior decreasingdecreasing decreasingincrea Behavior off offdecreasing decreasing increasing (8) Using the First Derivative Test for local extrema (8) the table Using above, thederivative First see Derivative that forextrema local extrema theabove, table (8)and Using the First Testthere local and theand table 3wetable 2forTest 2 there (8) Using the First Derivative Test for local extrema and the above, we see that is no extremum at x = 0 and a local minin3um at x is= no3.extremum is no extremum = a0 local and aminin3um local minin3um at x = at0xand at x = at3.x = 3. is no extremum at x = 0 and a local minin3um at x = 3. (h) Using the table above, we see that f is decreasing (h) (-00,0] Using and theabove, [0, table 3],above, and increaswe f is decreasing on (-00,0] (h) on Using the table we see thatsee f isthat decreasing on (-00,0] and [0 (h) Using the table above, we see that f is decreasing on (-00,0] and [0, 3], and increasingon [3,00). [3,00). ingoningon [3,00). ingon [3,00) these 2 (c) f"(x) = 12x - 24x = 12x(x - 2) is zero atx o(c)andf"(x) = 2. = We use = points 12x(x 2) isatx zero= atx (c)= f"(x) =x 12x 24x = 24x 12x(x - 2) is- zero oand= xo=and2.xwe= - 12x (c) f"(x) = 12x 2-24x = 12x(x - 2) is zero atx = oand x = 2. We use these points to defme intervals where f is up or to defme intervals f is up or todown. defme intervals where where f is up or down. down. to defme intervals where f is up or down. 0 0 decreasing decreasing (0, 10) + decr f 0 11/10/2016 upconcav up down upupup up up down + The 20 general shapeisof the curve shown the general accompanying figure. The general shape of the20curve shown in theisaccompanying The figure. the is curve is shown in the accompanying The in general shape shape of the of curve shown in the accompanying figure. figu f 4 up down down up y y 4 cone up (0, 10) (0,, 10), -1 decr deer cone cone up0 down \ deerdeer cone cone down up \ +,, deer iner cone cone up4 up4,, iner decrgeneral decr shape deer cone cone up up cone up cone down +,, General shape deer deer deer iner cone cone down up \ \ 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης cone cone up up iner General Gene shap cone up 25

Σχετικά έγγραφα

f (x) g(h) = 1. f(x + h) f(x) f(x)f(h) f(x) = lim f(x) (f(h) 1) = lim = lim = lim f(x)g(h) g(h) = f(x) lim = f(x) 1 = f(x)

f (x) g(h) = 1. f(x + h) f(x) f(x)f(h) f(x) = lim f(x) (f(h) 1) = lim = lim = lim f(x)g(h) g(h) = f(x) lim = f(x) 1 = f(x) Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - Λύσεις 2ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Για κάθε a,b και x 2, η f είναι παραγωγίσιµη.