qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop"

Transcript

1 qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 23/6/2016 opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop Δ.Ε.ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Ψηφιακή Επιμέλεια : Μ.Ι.ΣΤΡΟΥΜΠΟΥΛΗ asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer

2 Τελευταία ενημέρωση 23/6/16 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3 ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Πότε ορίζεται η εφαπτομένη της C f σε ένα σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )), όπου f συνάρτηση. Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης. Έστω f : συνάρτηση και Α(χ 0, f(χ 0 )) C f. Αν υπάρχει το lim χ χ0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = λ R, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο Α, την ευθεία που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ. Άρα λ = εφφ και ε: y f(x 0 ) = λ. (x x o ) η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )).

4 ΕΡΩΤΗΣΗ 2 η Πότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ 0 ; Τι πρέπει να ισχύει με τα πλευρικά όρια ; Μία συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο f(x) f(x χ 0 D f, αν υπάρχει το lim 0 ) χ χ0 x x 0 f (x o ) = παράγωγος της f στο χ 0, δηλ. f f(x) f(x (x o ) = lim 0 ) χ χ0 x x 0 = λ R και συμβολίζεται με Προφανώς για να υπάρχει το όριο θα πρέπει τα πλευρικά όρια να είναι ίσα, δηλ. f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim = f (x χ χ + 0 x x 0 χ χ 0 x x o ) 0 Ένας άλλος ορισμός για την f (x o ) είναι ο εξής: Πράγματι : f f(x) f(x (x o ) = lim 0 ) χ χ0 x x 0 f (x o ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h χ χ 0 =h χ=χ 0 +h f (x o ) = lim f(χ 0 +h) f(x 0 ) h 0 h και 2009: Θέμα 1 ο B (5Μ) Πολλές φορές το h = x x 0 συμβολίζεται με Δχ, ενώ το f(x 0 + h) f(χ 0 ) συμβολίζεται με Δ f(χ 0 ), οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται : f Δ f(χ (x o ) = lim 0 ) Δχ 0 Δχ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο χ 0 με d f(χ 0 ) dx = d f(x) dx x=x 0

5 Σημείωση Λόγω του συμβολισμού f f(x) f(x (x o ) = lim 0 ) = λ = εφφ χ χ0 x x 0 Θέμα 1 ο (2000) Α1 (4μονάδες) Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) θα δίνεται από τον τύπο : ε: y f(x 0 ) = f (x o ) (x x o ) ΕΡΩΤΗΣΗ 3 η Nα διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα, που συνδέει την παράγωγο και τη συνέχεια μιας συνάρτησης f στο χ=χ 0 <<Έστω f συνάρτηση με Π.Ο.=Α και χ 0 A αν η f παραγωγίσιμη στο χ 0 τότε και f συνεχής στο χ 0 >> ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού f παραγωγίσιμη στο χ 0 τότε f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) χ χ0 x x 0 δείξω ότι η f συνεχής στο x 0 αρκεί να δείξω ότι : Για χ χ 0 έχουμε : f(x 0 ) = lim χ χ0 f(x) f(x) f(x 0 ) lim [ f(x) f(x 0 )] = lim [ (x x χ χ 0 χ χ 0 x x 0 )] 0, για να = lim χ χ 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 lim(x x 0 χ χ 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0 Άρα : lim [ χ χ 0 f(x) f(x 0 )] = 0 lim χ χ0 f(x) = f(x 0 ). 2000, 2003 και 2007(επαν): Θέμα 1 ο Α(8,5Μ-8Μ-10Μ) 2009: Θέμα 1 Ο Σ-Λ(2Μ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ Όπως σε κάθε θεώρημα έτσι και εδώ ισχύει η αντιθετοαντιστροφή: 2016(επαν), 2012(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ <<Έστω f συνάρτηση με Π.Ο.=Α και χ 0 A αν η f ΌΧΙ συνεχής στο χ 0 τότε και f ΌΧΙ παραγωγίσιμη στο χ 0 >>

6 ΠΡΟΣΟΧΗ: Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει δηλαδή : Αν η f είναι συνεχής στο χ 0 A = Π. Ο., δεν είναι απαραίτητο ότι είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό. ΕΡΩΤΗΣΗ 4 η Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο.=Α; Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Α = Π. Ο.; Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] Α = Π. Ο.; Τι ονομάζεται 1 η παράγωγος της f ή παράγωγος της f, τι 2 η παράγωγος και τι νιοστή παράγωγος της f; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο.= Α, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Α = Π. Ο., όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 (α, β). Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] Α = Π. Ο., όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 (α, β) και ισχύει: f(x) f(α) lim χ α + x α f(x) f(β), lim χ β x β R Έστω f μία συνάρτηση με Π.Ο. το Α και Α 1 Α στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε χ Α 1 στο f (χ) = (f(x)), ορίζουμε τη συνάρτηση f, η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. Την f μπορούμε να την συμβολίσουμε και με df dx. Προφανώς η παράγωγος της f είναι η δεύτερη παράγωγος της f και f = (f ). Γενικεύοντας με επαγωγική μέθοδο καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η νιοστή παράγωγος της f για ν 3 θα συμβολίζεται με f (ν) και θα ισχύει f (ν) = [f (ν 1) ]. 2011(επαν) και 2004(επαν) Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ) 2010(επαν) Θέμα 1 ο Α2 (4Μ)

7 ΕΡΩΤΗΣΗ 5 η Nα συμπληρωθούν και να αποδειχθούν : (c) =..., c R Απόδειξη Έστω f(x)=c, c R Π.Ο.= R Για κάθε χ 0 R έχουμε f (x o ) = lim (χ) =... Απόδειξη Άρα (c) = 0, c R Έστω f(x)=χ Π.Ο.= R Για κάθε χ 0 R έχουμε f (x o ) = lim Άρα (χ) = 1. f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 = lim χ χ0 c c x x 0 =0 = lim χ χ0 χ x 0 x x 0 =1 (χ ν ) =... Απόδειξη, ν N {0, 1} Έστω f(x)= χ ν Π.Ο.= R Για κάθε χ 0 R έχουμε f (x o ) = lim f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 χν χ ν 0 = χ χ0 x x 0 = lim (χ χ 0 )(χ ν 1 + χ ν 2 χ 0 + χ ν 3 χ χ 2 χ ν χ χ ν χ ν 1 0 ) lim χ χ 0 x x 0 lim ( χ ν 1 + χ ν 2 χ 0 + χ ν 3 χ χ 2 χ ν χ χ ν χ ν 1 0 ) χ χ 0 χ 0 ν 1 + χ 0 ν 2 χ 0 + χ 0 ν 3 χ χ 0 2 χ 0 ν 3 + χ χ 0 ν 2 + χ 0 ν 1 = χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 + χ 0 ν χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 + χ 0 ν 1 = ν χ 0 ν 1 Άρα (χ ν ) = ν χ ν 1.

8 ( χ) =..., χ > 0 Απόδειξη Έστω f(x)= χ, Π.Ο.= [0, + ) Για κάθε χ 0 (0, + ) έχουμε f (x o ) = lim = lim f(x) f(x 0 ) χ χ0 x x 0 ( χ χ 0 )( χ+ χ 0 ) χ χ0 (x x 0 )( χ+ χ 0 ) = lim χ χ0 χ χ 0 x x 0 = = lim χ χ0 2 2 χ χ0 = (x x 0 )( χ+ χ 0 ) x x = lim 0 = lim 1 1 = = 1. χ χ0 (x x 0 )( χ+ χ 0 ) χ χ 0 χ+ χ 0 χ 0 + χ 0 2 χ 0 Άρα ( χ) = 1 2 χ, χ > 0 (ημχ) = (επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (8Μ) 2009(επαν)και 2005(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (9Μ) (συνχ) = (επαν)-2011(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (10Μ), 2015 (Σ-Λ) (e χ ) = (lnχ) =..., χ > 0

9 ΕΡΩΤΗΣΗ 6 η Αν f,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο χ 0, να δειχθεί ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 και ισχύει : (f + g) ( χ 0 ) = f ( χ 0 ) + g ( χ 0 ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω F(x)=f(x) + g(x), Π.Ο.= A Για κάθε χ 0 A έχουμε F (x o ) = lim F(x) F(x 0 ) χ χ0 x x 0 = lim χ χ0 f(x)+g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) x x 0 = lim [ = lim χ χ0 f(x)+g(x) [f(x 0 )+g(x 0 )] x x 0 = χ χ 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 + g(x) g(x 0) x x 0 ] = = lim χ χ0 f(x) f(x 0 ) x x 0 + lim χ χ0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = f ( χ 0 ) + g ( χ 0 ). Άρα (f + g) = f + g. Γενικά για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f 1, f 2, f 3,, f ν θα ισχύει : (f 1 + f 2 + f f ν ) = f 1 + f 2 + f f ν. ΕΡΩΤΗΣΗ 7 η Nα συμπληρωθούν : [(f g)(x)] = [c f(x)] = [( f g ) (x)] =, g(x) 0 Να συμπληρωθεί η ισότητα : ( f(x) g(x) h(x)) = 2006(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ(2Μ)

10 ΕΡΩΤΗΣΗ 8 η Τι γνωρίζεται για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(χ 0 ), τότε η συνάρτηση fog είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 και ισχύει : (fog) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(δ), τότε η συνάρτηση fog είναι στο Δ και ισχύει : (f(g(χ))) = f (g(χ)) g (χ) Δηλαδή, αν u=g(x), τότε: (f(u)) = f (u) u Mε το συμβολισμό του Leibniz, αν y=f(u) και u=g(x), έχουμε τον τύπο : dy = dy du dx du dx (KANONAΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ)

11 ΕΡΩΤΗΣΗ 9 η Nα βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων : f(x)=εφχ, χ κπ + π, κ N. 2 g(x)=σφχ, χ κπ, κ N. h(χ)=χ ν, χ 0. τ(χ)=χ α, χ> 0, α R N. H(χ)=α χ F(χ)=ln x ΛΥΣΗ Έστω η συνάρτηση f(χ) = εφχ. Π.Ο.= A 1 = R {x /συνx = 0} Για κάθε χ A 1 έχουμε: f (x) = (εφχ) = ( ημχ συνχ ) = (ημχ) συνχ ημχ (συνχ) συν 2 = χ = συνχ συνχ ημχ ( ημχ) συν 2 χ = συν2 χ+ημ 2 χ συν 2 χ = 1 συν 2 χ Άρα (εφχ) = Έστω η συνάρτηση g(χ) = σφχ. Π.Ο.= A 2 = R {x /ημx = 0} Για κάθε χ A 2 έχουμε: g (x) = (σφχ) = 1 συν 2 χ 2011 και 2009(επαν): ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) Έστω η συνάρτηση h(χ) = x ν, ν N. Π.Ο.= R Για κάθε χ R έχουμε: f (x) = (x ν ) = ( 1 x ν) = (1) x ν 1 (x ν ) (x ν ) 2 = = 0 xν 1 νx ν 1 χ 2ν Άρα = (x ν ) = νχ ν+1 ν. χν 1 χ 2ν = νχ ν : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ)

12 Έστω η συνάρτηση H(χ) = x α, α R N. Π.Ο.= (0, + ) Για κάθε χ (0, + ) έχουμε: H(x) = x α = e ln(xα) u(x)=α lnx α lnx = e y = e u(x) y = (e u(x) ) = e u(x) u(x) = e α lnx (α lnx) = x α α 1 x = α xα 1. Άρα (x α ) = α χ α 1 Έστω η συνάρτηση H(χ) = α χ, α > 0. Π.Ο.= R Για κάθε χ R έχουμε: 2006 : ΘΕΜΑ 1 ο (2Μ) H(x) = α χ = e ln(αχ) u(x)=χ lnα χ lnα = e y = e u(x) y = (e u(x) ) Σ-Λ = e u(x) u(x) = e χ lnα (χ lnα) = α χ 1 lnα = α χ lnα. Άρα (α χ ) = α χ lna 2006 και 2010(επαν) : ΘΕΜΑ 1 ο Σ-Λ (2Μ) lnx, αν χ > 0 Έστω η συνάρτηση F(χ) = ln x F(χ) = { ln( x), αν χ < 0 Π.Ο.= R Για κάθε χ (0, + ) έχουμε: F (χ) = (lnχ) = 1 x Για κάθε χ (, 0) έχουμε: F(χ) = ln( χ) u(x)= χ y = ln(u(x)) y = (ln(u(x))) = 1 u(x) u(x) = 1 x ( x) = 1 x ( 1) = 1 x Άρα (ln x ) = 1 x 2008:ΘΕΜΑ 1 ο Α1 (10Μ) 2016(επαν),2006(επαν): Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)

13 ΕΡΩΤΗΣΗ 10 η Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής των τιμών μιας συνάρτησης f ως προς χ στο σημείο χ 0 ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, y συνδέονται με τη f(x)=y, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το χ στο σημείο χ 0 την παράγωγο f (χ 0 ).

14 ΕΡΩΤΗΣΗ 11 η Να διατυπωθεί και να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f μια συνάρτηση με : f συνεχής στο [α,β] f παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0, δηλ. η παράγωγος έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Γεωμετρική Ερμηνεία 2007(επαν) : Θέμα 1 ο (5Μ) Παρατηρούμε ότι στην C f υπάρχουν σημεία στα οποία η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον xx δηλ. φ = 0 εφφ = 0 f (ξ) = 0 με ξϵ(α, β). Σημείωση 2002(επαν): Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Προφανώς αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και μη αντιστρέψιμη (άρα όχι γν. μονότονη ) σε αυτό, τότε θα υπάρχει διάστημα [α,β] που θα πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle.

15 ΕΡΩΤΗΣΗ 12 η Να διατυπωθεί και να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f συνάρτηση με f συνεχής στο [α,β] f παραγωγίσιμη (α,β) 2003,2008(επαν),2016: Θέμα 1 ο (7Μ,5Μ,4M) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(α, β) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f(β) f(α) β α Γεωμετρική Ερμηνεία 2008(επαν) και 2003: Θέμα 1 ο (5Μ και 7Μ) λ ΑΒ = y 2 y 1 = f(β) f(α) = f (ξ x 2 x 1 β α 1 ) = λ ε1 άρα ε 1 AB δηλ. υπάρχει τουλάχιστον μια εφαπτόμενη της C f που είναι στην AB.

16 ΕΡΩΤΗΣΗ 13 η Έστω f: συνάρτηση ορισμένη στο Δ. Αν η f : συνεχής στο Δ και f (x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του xεδ να δειχτεί ότι η f = σταθερή στο Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για κάθε x 1, x 2 ϵδ θα δειχθεί ότι f(x 1 ) = f(x 2 ) προφανώς αν x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) Αν x 1 x 2 με x 1 < x 2 έχουμε ότι η f: συνεχής στο [x 1, x 2 ] και f: παραγωγίσιμη στο (x 1, x 2 ) άρα από θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(x 1, x 2 ) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 0 = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1 ) = f(x 2 ) για κάθε x 1 < x 2 άρα f σταθερή. Ομοίως και για x 1 > x ,2009 και 2004(επαν): Θέμα 1 ο Α (8Μ-10Μ και 9Μ) 2016 Σ-Λ(2Μ)

17 ΕΡΩΤΗΣΗ 14 η Έστω f,g: συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ. Αν: f,g συνεχείς στο Δ και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε xεδ να ισχύει: f(x) = g(x) + c ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) με h συνεχείς στο Δ και h (x) = [f(x) g(x)] h (x) = f (x) g (x) h (x) = 0 από γνωστό θεώρημα h(x) = c, cϵr f(x) g(x) = c f(x) = g(x) + c. 2007(επαν) : Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ ) ΕΡΩΤΗΣΗ 15 η Τα θεωρήματα : <<f (x) = 0 για κάθε xεδ(εσωτ. ) f: σταθερή στο Δ και f = g για κάθε xεδ (εσωτ. ) f(x) = g(x) + c c, εr με f,g συνεχείς στο Δ και παραγωγίσιμες στα εσωτερικά σημεία του Δ ισχύουν για Δ να είναι ένωση διαστημάτων; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα παραπάνω θεωρήματα δεν ισχύουν για ένωση διαστημάτων. Πράγματι έστω : f(x) = { 1, x < 0 1, x > 0 f (x) = 0 για κάθε xϵ(, 0) (0, + ) ενώ f(x) σταθερή στο (, 0) (0, + ) άφου f( 2) = 1 και f(2) = 1. Σημείωση Έστω f συνάρτηση με f (χ) = f(x) για κάθε χ R τότε f(x)=c.e x c R. με

18 ΕΡΩΤΗΣΗ 16 η Έστω f: συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι στο Δ. Αν f (x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f στο Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 2004: Θέμα 1 ο Σ-Λ :(2Μ) Αν f (x) > 0 θα δειχθεί ότι f στο Δ. Έστω x 1, x 2 ϵδ με x 1 < x 2 θα δειχθεί ότι f(x 1 ) < f(x 2 ) Εφαρμόζω για την f στο [x 1, x 2 ] το θεώρημα μέσης τιμής και 2012: Θέμα 1 ο (10Μ και 7Μ) f : συνεχής στο [x 1, x 2 ] f : παραγωγίσιμη στο (x 1, x 2 ) άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(x 1, x 2 ) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f (ξ) (x 2 x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 ) { με x 2 x 1 > 0 f (ξ) > 0 f(x 2 ) f(x 1 ) > 0 f(x 2 ) > f(x 1 ) f(x 1 ) < f(x 2 ) άρα για κάθε x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) δηλ. f στο Δ.

19 ΕΡΩΤΗΣΗ 17 η Αν f στο διάστημα Δ τότε f(x) > 0 για κάθε xεδ (εσωτερικά); Σ - Λ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι λάθος διότι: H f(x) = x 3 είναι στο R αλλά f (x) = 3x : Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Αφού για x=0 έχω f (0) = 0. ΕΡΩΤΗΣΗ 18 η Nα συμπληρωθούν τα κενά: Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι και. από ένα τοπικό ελάχιστο. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το. από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει., τότε θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα, μιας συνάρτησης δεν είναι πάντα. αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα.. μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης. Να γίνουν δύο γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που να παρουσιάζουν τις πιο πάνω καταστάσεις.

20 ΕΡΩΤΗΣΗ 19 η Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα του fermat. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό τότε : f (x 0 )=0. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω x 0 = θέση τοπικού μεγίστου άρα f(x) f(x 0 ) για μια περιοχή του x 0, δηλαδή για κάθε xϵ(x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) Δ. Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 τότε: αν xϵ(x 0 δ, x 0 ) τότε f (x 0 ) 0 αν xϵ(x 0, x 0 + δ) τότε f (x 0 ) 0 f(x) f(x 0 ) 0 lim f(x) f(x 0) x x x x0 0 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) 0 lim f(x) f(x 0) x x x x x x 0 Άρα f (χ 0 ) = (επαν): Θέμα 1 ο (6Μ) και 2002(επαν): Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ) 2016(επαν), 2011,2004: Θέμα 1 ο (10Μ) Σημείωση Η αντιθετοαντιστροφή του Θεωρήματος Fermat είναι : Έστω f: ορισμένη στο Δ και παραγωγίσιμη στα εσωτερικά του Δ με f (χ 0 ) 0 και χ 0 εσωτερικό σημείο του Δ τότε το χ 0 δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου.

21 ΕΡΩΤΗΣΗ 20 η Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος fermat; Παρατηρούμε την Cf και βλέπουμε ότι το χ 0 είναι θέση τοπικού μεγίστου. Η εφαπτομένη (αν ορίζεται) στο σημείο με τετμημένη το χ 0 είναι παράλληλη στον χχ, δηλ. f (χ 0 ) = 0 λ ε = 0 εφφ = 0 φ = 0 ε χχ. ΕΡΩΤΗΣΗ 21 η Το αντίστροφο του θεωρήματος fermat ισχύει; 2003: Θέμα 1 ο Σ-Λ : (2Μ) Όχι διότι μπορεί να είναι f (χ 0 ) = 0 ενώ το χ 0 να μην είναι θέση τοπικού ακρότατου. Π.χ. f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 με f (x) = 0 3x 2 = 0 χ = 0 δηλ. f (0) = 0 με το χ 0 = 0 να μην είναι θέση τοπικού ακρότατου αφού.

22 ΕΡΩΤΗΣΗ 22 η Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ. Ποιες από αυτές ονομάζονται κρίσιμα σημεία; Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι : α) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγός της μηδενίζεται. β) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. γ) Τα άκρα του διαστήματος Δ (αν ανήκουν στο Π.Ο.) Τα κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ είναι: α) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγός της μηδενίζεται. β) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν Σημείωση παραγωγίζεται. 2005(επαν) : Θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης μπορεί να είναι θέσεις τοπικών ακρότατων και μπορεί όχι.

23 ΕΡΩΤΗΣΗ 23 η Να γραφτεί το θεώρημα (κριτήριο) το οποίο μας πληροφορεί, ποια από τα κρίσιμα σημεία της f είναι θέσεις τοπικών ακρότατων αυτής και να αποδειχτεί. Να γραφτεί και η γεωμετρική ερμηνεία. Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο (α,β) με εξαίρεση ίσως σ ένα σημείο χ 0 στο οποίο η f είναι συνεχής. α) Αν η f (x) > 0 στο (α, χ 0 ) και f (x) < 0 στο ( χ 0, β) τότε το y 0 = f(χ 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f. Απόδειξη Έχουμε f (x) > 0 για κάθε χ (α, χ 0 ) και η f είναι συνεχή στο χ 0, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (α, χ 0 ] δηλ. για χ χ 0 f f (χ) f(χ0 ) για κάθε χ (α, χ 0 ] (1). 2003(επαν) : Θέμα 1 ο Σ-Λ(2Μ) 2012(επαν.),2016: Θέμα 1 ο (7Μ) Έχουμε f (x) < 0 για κάθε χ ( χ 0, β) και η f είναι συνεχή στο χ 0, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο [ χ 0, β) δηλ. για χ χ 0 f f (χ) f(χ0 ) για κάθε χ [ χ 0, β)(2). Από (1), (2) έχουμε f (χ) f(χ 0 ) για κάθε χ (α, β) Δηλ. y 0 = f(χ 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f. x α χ 0 β f (x) + - f f(x) y max = f(χ 0 )

24 β) Αν η f (x) < 0 στο (α, χ 0 ) και f (x) > 0 στο ( χ 0, β) τότε το y 0 = f(χ 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. x α χ 0 β f (x) - + f f(x) y min = f(χ 0 )

25 γ) Αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο (α, χ 0 ) ( χ 0, β) τότε το f(χ 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β). Απόδειξη Έστω ότι έχουμε f (x) > 0 για κάθε χ (α, χ 0 ) ( χ 0, β) και επειδή η f είναι συνεχής στο χ 0 τότε θα είναι και γν. αύξουσα σε καθένα από τα (α, χ 0 ], [ χ 0, β) δηλ. αν χ 1 < χ 0 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 0 ) < f(χ 2 ) οπότε το f(χ 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. 2014(επαν): θέμα 1 ο Α1(7Μ) Θα δείξουμε τώρα ότι η f είναι γν. αύξουσα στο (α,β). Για κάθε χ 1, χ 2 (α, χ 0 ] με χ 1 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 2 ) Για κάθε χ 1, χ 2 [χ 0, β) με χ 1 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 2 ) Για κάθε χ 1 (α, χ 0 ] και χ 2 [χ 0, β) με χ 1 < χ 0 < χ 2 f f( χ 1 ) < f(χ 0 ) < f(χ 2 ) Οπότε και στις 3 περιπτώσεις έχουμε f( χ 1 ) < f(χ 2 ) με χ 1 < χ 2 Δηλ. η f γν. αύξουσα στο (α,β) x α χ 0 β f (x) + + f f(x) Δεν υπάρχουν ακρότατα.

26 ΕΡΩΤΗΣΗ 24 η Έστω f μία συνάρτηση συνεχής στο [α,β]. Πως εργαζόμαστε για την εύρεση του ολικού μεγίστου και ελαχίστου. Είναι γνωστό ότι οι πιθανές θέσεις ακρότατων είναι τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του διαστήματος άρα: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f. (δηλ. τα χ 0 για τα οποία f (χ 0 ) = 0 ή f (χ 0 ) =δεν ορίζεται.) Προσοχή ελέγχω αν το πρόσημο της f αλλάζει γύρω από το χ 0. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το ολικό μέγιστο και η μικρότερη το ολικό ελάχιστο. Εφαρμογή Να βρεθούν τα ακρότατα της f(x) = 2x 3 15x x + 19 για χ [0,5]. Λύση

27 ΕΡΩΤΗΣΗ 25 η Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f : α) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή); β) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη); Να ερμηνευτεί ο ορισμός γεωμετρικά. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι : α) Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. Γεωμετρική Ερμηνεία 2006: θέμα 1 ο Α2 (5Μ) Παρατηρούμε ότι για: 90 0 <φ i<180 0 χ 1 < χ 2 φ 1 < φ 2 εφφ 1 < εφφ 2 f (χ 1 ) < f (χ 2 ) f στο Δ. Σημείωση Αν η f είναι κυρτή τότε κάθε σημείο της C f βρίσκεται πάνω από όλες τις εφαπτόμενές της, με εξαίρεση το σημείο επαφής. 2003: θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)

28 β) Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. Γεωμετρική Ερμηνεία : θέμα 1 ο Α2 (4Μ)-Α3 (5Μ) Παρατηρούμε ότι για: 0 0 φ i<90 0 χ 1 < χ 2 φ 1 > φ 2 εφφ 1 > εφφ 2 f (χ 1 ) > f (χ 2 ) f στο Δ. Σημείωση Αν η f είναι κοίλη τότε κάθε σημείο της C f βρίσκεται κάτω από όλες τις εφαπτόμενές της, με εξαίρεση το σημείο επαφής. ΕΡΩΤΗΣΗ 26 η Να γραφτεί το θεώρημα που συνδέει τη 2 η παράγωγο της συνάρτησης με την κυρτότητά της. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ: Αν f (χ) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ (δηλ. f στο Δ) τότε η f είναι κυρτή στο Δ. Αν f (χ) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ (δηλ. f στο Δ) τότε η f είναι κοίλη στο Δ. 2008(επαν): θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) 2003: θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)

29 ΕΡΩΤΗΣΗ 27 η Ισχύει το αντίστροφο του θεώρημα που συνδέει τη 2 η παράγωγο της συνάρτησης με την κυρτότητά της; Να δοθεί παράδειγμα. Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλ. αν π.χ. η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω τότε δεν συνεπάγεται ότι και f (χ) > 0. Πράγματι: Έστω f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 0 για κάθε χ R. Ενώ η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. 2014(επαν)-2008: θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ)

30 ΕΡΩΤΗΣΗ 28 η Τι ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f ; Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του χ 0. Αν : η f είναι κυρτή στο (α, χ 0 ) και κοίλη στο (χ 0, β) ή αντιστρόφως και η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) τότε το σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) ονομάζεται σημείο καμπής της C f. Γεωμετρική ερμηνεία 2005(επαν): θέμα 1 ο Σ-Λ (2Μ) Παρατηρούμε ότι η f στο (α, χ 0 ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, ενώ στο (χ 0, β) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω και στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη ( θα μπορούσε και πλάγια, οπότε είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 ). Τότε λέμε ότι το σημείο Α είναι Σημείο Καμπής της f.

31 Παρατηρούμε ότι η f στο (α, χ 0 ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, ενώ στο (χ 0, β) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω και στο σημείο Α(χ 0, f(χ 0 )) η C f δέχεται κατακόρυφη εφαπτομένη ( οπότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 ). Τότε λέμε ότι το σημείο Α είναι Σημείο Καμπής της f.

32 ΕΡΩΤΗΣΗ 29 η Να γραφτεί το θεώρημα που συνδέει το σημείο καμπής με την 2 η παράγωγο. << Αν το Α(x 0, f(x 0 )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη, τότε f (x 0 ) = 0.>> Το αντίστροφο δεν ισχύει αφού αν f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 με f (0) = 0 ενώ η γραφική παράσταση της f είναι: παρατηρώντας την C f βλέπουμε ότι στο χ 0 = 0 δεν έχουμε σημείο καμπής. Προφανώς ισχύει η αντιθετοαντιστροφή του πιο πάνω θεωρήματος: <<Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα χ 0 με f (x 0 ) 0, τότε στο χ 0 δεν έχουμε σημείο καμπής. ΕΡΩΤΗΣΗ 30 η Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ είναι : i. τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται ή ii. τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f.

33 ΕΡΩΤΗΣΗ 31 η Πότε λέμε ότι ένα σημείο είναι σημείο καμπής. Από τον ορισμό του σημείου καμπής και το θεώρημα κυρτότητας προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα : <<Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα (α,β) και χ 0 (α, β).αν: η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του χ 0 και ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α(χ 0, f(χ 0 )), τότε το Α(χ 0, f(χ 0 )) είναι σημείο καμπής. ΕΡΩΤΗΣΗ 32 η Τι ονομάζεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία. <<Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim χ χ0 ± f(x) είναι ± τότε η ευθεία ε: χ=χ 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. >> Γεωμετρική Ερμηνεία 2015(επαν)-2010 και 2003(επαν): θέμα 1 ο Α3- Α2 (4Μ) και (7Μ) Παρατηρούμε ότι lim χ χ0 f(x) =, lim χ χ0 + f(x) = + οπότε η ευθεία ε: χ=χ 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f.

34 ΕΡΩΤΗΣΗ 33 η Πότε λέμε ότι η ευθεία ε: y=λ.χ+β είναι ασύμπτωτη ; Πως προσδιορίζουμε την ευθεία αυτή; << Η ευθεία y=λχ+β λέγεται ασύμπτωτη της C f στο ± αν : lim χ ± [f(x) (λχ + β)] = 0 >> Γεωμετρική Ερμηνεία 2010 και 2005: θέμα 1 ο Α2 (5Μ και 4Μ) Παρατηρούμε ότι η C f πλησιάζει την ευθεία ε: y=λχ+β αλλά δεν την τέμνει όταν χ ±, δηλ. lim χ ± [f(x) (λχ + β)] = 0. Για να προσδιορίσουμε την ασύμπτωτη ευθεία ε: y=λχ+β υπολογίζουμε τα όρια : f(x) lim = λ R χ ± x lim χ ± [f(x) λχ] = β R

35 ΕΡΩΤΗΣΗ 34 η Πότε λέμε ότι έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη ; Αν το όριο : f(x) λ = lim = 0 και χ ± x [f(x) 0. χ] = lim lim χ ± χ ± f(x) = β R Τότε προκύπτει η ευθεία ε: y=0.χ+β ε: y=β ε χχ (οριζόντια ασύμπτωτη). 2016(επαν),2007: θέμα 1 ο Α3 (4Μ,3Μ) 2016(επαν),2015(επαν) (Σ-Λ) ΕΡΩΤΗΣΗ 35 η Ποιες συναρτήσεις δεν έχουν ασύμπτωτες; Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες. Οι ρητές συναρτήσεις P(x), με βαθμ.p(x) βαθμ.q(x)+2 Q(x) δεν έχουν πλάγιες (άρα και οριζόντιες) ασύμπτωτες.

36 ΕΡΩΤΗΣΗ 36 η Σε ποια σημεία του Π.Ο. μιας συνάρτησης αναζητούμε ασύμπτωτες; Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f τις αναζητούμε : Στα άκρα των διαστημάτων του Π.Ο. της στα οποία η f δεν ορίζεται. Στα σημεία του Π.Ο. της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Στο ±, εφόσον η f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής : (α, + ), (, α). ΕΡΩΤΗΣΗ 37 η Να γραφτούν οι κανόνες του de L Hospital. Aν lim χ χ0 f(x) = 0, lim χ χ0 g(x) = 0, χ 0 R {± } και υπάρχει το lim f (x) (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε : χ χ 0 g (x) f(x) lim χ χ 0 g(x) = lim f (x) χ χ 0 g (x) Aν lim χ χ0 f(x) = ±, lim χ χ0 g(x) = ±, χ 0 R {± } και υπάρχει το lim f (x) (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε : χ χ 0 g (x) f(x) lim χ χ 0 g(x) = lim f (x) χ χ 0 g (x)

37

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΟΡΙΟ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑ.Λ. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις.

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις. Επανάληψη Κώστας Γλυκός Συναρτήσεις Παράγωγοι Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 6 Ασκήσεις 7 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες Kglys.gr / 7 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135. Α2. α) Η πρόταση είναι ψευδής. β) Αιτιολόγηση: Σελίδα 99 σχολικού βιβλίου (η f(x)= x είναι συνεχής στο x=0

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x ) Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα