Διαφορικά Αόριστα Ολοκληρώµατα Κανόνες Ολοκλήρωσης. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

Transcript

1 10 η Διάλεξη Διαφορικά Αόριστα Ολοκληρώµατα Κανόνες Ολοκλήρωσης 18 Οκτωβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

2 Κανόνας L Hopital 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 2

3 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3 Απροσδιόριστες µορφές και ο κανόνας του l Hôpital (Bernoulli) Θεώρηµα 1 Εάν f (a)= g(a)= 0 και υπάρχουν οι f (a) και g (a) 0 τότε lim a f () g() = f (a) g (a) f( ) f( a) f( ) f( ) 0 f( ) f( a) ( ) lim lim lim lim a f a = = = = a g ( ) a g ( ) 0 a g ( ) ga ( ) a g ( ) ga ( ) g ( a) a

4 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 4 lim f( ) g ( ) f( ) = Δ = g ( ) Δ m m f( ) m f ( a) g ( ) m g( a) 1 = lim = a a 2 1 2

5 Θεώρηµα 2 Εάν και και διαφορίσιµες στο διάστηµα Θεώρηµα 3 f( a) = g( a) = 0 f g (, cd) g () 0 (, cd)\{} a f() f () lim = lim a g () a g () lim f( ) = lim g( ) = 0 ± f g Εάν ή και και διαφορίσιµες a a µε για όλα τα τότε εφόσον το όριο στο δεξιό µέλος υπάρχει. (, cd) g () 0 (, cd)\{} a f() f () lim = lim a g () a g () στο διάστηµα µε για όλα τα τότε εφόσον το όριο στο δεξιό µέλος υπάρχει. 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5

6 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6 Θεώρημα Μέσης Τιμής του Cauchy Υποθέστε ότι οι συναρτήσεις f() και g() είναι συνεχείς στο [a,b] και διαφορίσιμες στο (a,b) με g () 0 για κάθε στο (a,b). Τότε υπάρχει c στο (a,b) τέτοιο ώστε: f (c) g (c) = f (b) f (a) g(b) g(a) Απόδειξη Παρατηρήστε ότι συνάρτηση g () 0 g(a) g(b) F() = f () f (a) από το Θεώρημα Μέσης Τιμής. Στη συνέχεια θεωρήστε τη f (b) f (a) g(b) g(a) g() g(a) και παρατηρήστε ότι F(a)=F(b)=0. Συνεπώς υπάρχει c στο (a,b) τέτοιο ώστε: F (c) = 0 f (c) f (b) f (a) g(b) g(a) g (c) = 0 ο.ε.δ.

7 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7 Η απαίτηση ύπαρξης του ορίου είναι ουσιαστική: + sin 1+ cos lim = lim = 1+ limcos 1 ενώ + sin sin lim = lim = 1 cos sin 0 lim = lim = = Λανθασµένη εφαρµογή παραβιάζοντας τις προϋποθέσεις: 1 cos sin cos 1 lim = lim = lim =

8 Ο κανόνας εφαρµόζεται και µε πλευρικά όρια: lim lim ενώ sin sin cos = = cos = = lim lim Και άλλες απροσδιόριστες µορφές µπορούν υπολογισθούν µε τον κανόνα: 1 ln + 1 ln lim = lim = lim = 1 1 ln 1 ( 1) ln ln ln 1+ ln 1 = lim = lim = ln 1 2+ ln 2 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8

9 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9 Και άλλες απροσδιόριστες µορφές µπορούν υπολογισθούν µε τον κανόνα: ln 1/ lim ln = lim = lim = lim( ) = 0 2 1/ 1/ ln lim = lim e = lim eln = e0 = Επιπλοκές: e + e e e e + e lim = lim = lim =... e e e e + e e ενώ 2 2 e + e e + 1 2e lim = lim = lim = e e e 2e

10 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 10 ( ) 1/ = lim lim lim ln(1+ 1 )= lim 1+ 1 ln(1+ 1 ) 1/ = lime ln(1+ 1 ) 1 = lim 1+ 1 =1 ( ) 1/ = lim lim = e

11 Διαφορικά 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 11

12 Διαφορικά 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 12 df df () df (,Δ)! f ()Δ d d() d(,δ)! () Δ = Δ df = f ()d d 2 f = d(df ) = d ( f ()d) = f ()d 2 d n f = f (n) ()d n d(λ f +κ g) = λdf +κ dg d( f g) = f dg + g df df (u) = f (u)du = f (u) u ()d

13 Γραμμικοποίηση και Διαφορικά 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13

14 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14

15 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15

16 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης Error

17 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 17 Δf = f (a + Δ) f (a) L(a + Δ) f (a) = f (a) + f (a)(a + Δ a) f (a) = f (a)δ = df =a

18 Το διαφορικό είναι µία εκτίµηση της µεταβολής 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 18 Δf = f (a + Δ) f (a) προσεγγίζεται f (a)δ = df =a Σϕάλµα E! Δf df = f (a + Δ) f (a) f (a)δ = f (a + Δ) f (a) Δ f (a) Δ = ε Δ, ε 0 καθώς Δ 0 Δf = f (a)δ + ε Δ = df + ε Δ, ε 0 καθώς Δ 0

19 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 19 df () = f ()d f () =??? Ολοκλήρωση df () = f () d = f () + C

20 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 20 Έστω συνάρτηση f() µε πεδίο ορισµού D. Μία συνάρτηση F() καλείται αντιπαράγωγος εάν F ()= f() για κάθε στο D. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της f() είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f() ως προς, και συµβολίζεται µε f( ) d

21 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 21 f() d= F() + C n+ 1 n+ 1 n d ( 1) n d = + C n = n + 1 d n + 1 d 1d = + C ( ) = 1 d cos k d cos k sin kd = + C = sin k k d k sin k d sin k cos kd = + C = cos k k d k

22 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 22 2 d ( ) 2 sec d = tan + C tan = sec d 2 d ( ) 2 csc d = cot + C cot = csc d d sec tan d = sec + C ( sec ) = sec tan d d csc cot d = csc + C ( csc ) = csc cot d

23 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 23 f() d= F() + C kf () d = kf() + C = k f () d f() d= F() + C= f() d [ ] [ ] f() ± g() d= F() ± G() + C= f() d± g() d

24 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 24 AMPLE 8 J J sin 2 d = I - 2 d = tj(1 -cos2) d sin2 = 1 - cos2 2 = I _lsin2 + C = '! _ sin2 + C I JCOS 2 Xd = J I + d = I + Sin C 2 l+cos2 cos= 2

25 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης (+ I)d 18./(5-6)d (3t 2 + t) dt t') dt 21. 1(2' )d 22. l(i - ' - 3')d 23 /8,- 2 -t)d (t -:' + 2) d 25. l-ii' d 26. l- 51 ' d (V + d 28. I(Yf (8Y - )I')dy 30. I(t- )I')dy (i - -') d 32. I-'(+ l)d tv,;t; V,dt dt 35. 1(-2 cost) dt 36. 1(-5 sint) dt 37. do cos 50 do 39 /(-3eSC')d esc 2 eot 0 do (4sectm - 2sec')d 44.1 k(csc' - csccot)d (sin 2 - esc' ) d 46. 1(2 cos 2-3 sin 3) d dt 49. l(i + tm'b) db 50./(2 + tm'b) db (Hint: 1 + tm' B = sec' B) cot?-d 52.1(1 - cot?-)d (Hint: 1 + cot?- = esc' 1 ) cosb(tmb + sec B) db 54. cscb. db csco - 8m8

26 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 26 dy f( ), y( ) y d = = 0 0 dy d d = f ()! d y = F() + C, C = y 0 F( 0 )

27 18/10/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 27 Solve the initial value problems in Eercises 69-1!8. dy 69. d = 2-7, y(2) = 0 dy 70. d = 10 -, y(o) = -I dy d = 2 + X, X > 0; y(2) = I dy 72. d = , y(-i) = 0 73 dy = 3-2/3 d, y(-i) = -5 dy I 74. d = " 2v y(4) = 0 d 75. dl = I + COSI, s(o) = : = cos I + sinl, s(".) = I 77. = -".sin".o, r(o) = 0 dr 78. do = cos,,-o, r(o) = 1 dv I 79. dl = Zsecltanl, v(o) = I d'y = 2-6>:; y'(o) = 4, y(o) = I d d'y = 0; y'(o) = 2, y(o) = 0 d