ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 3ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 3ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

2 Υπερβολικές Συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως το άθροισµα ενός συµµετρικού κι ενός αντισυµµετρικού µέρους, δηλ. ή e x = ex + e x 2 + ex e x 2 e x = cosh x +sinhx όπου θέσαµε: cosh x = ex + e x sinh x = ex 2 2 e x

3 Υπερβολικές Συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως το άθροισµα ενός συµµετρικού κι ενός αντισυµµετρικού µέρους, δηλ. ή e x = ex + e x 2 + ex e x 2 e x = cosh x +sinhx

4 Oρίζουµε: Υπερβολικές Συναρτήσεις tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x +1 coth x = cosh x sinh x = e2x +1 e 2x 1 sech x = 1 cosh x csch x = 1 sinh x

5 Oρίζουµε: Υπερβολικές Συναρτήσεις tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x +1 coth x = cosh x sinh x = e2x +1 e 2x 1 sech x = 1 cosh x csch x = 1 sinh x

6 Oρίζουµε: Υπερβολικές Συναρτήσεις tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x +1 coth x = cosh x sinh x = e2x +1 e 2x 1 sech x = 1 cosh x csch x = 1 sinh x

7 Oρίζουµε: Υπερβολικές Συναρτήσεις tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x +1 coth x = cosh x sinh x = e2x +1 e 2x 1 sech x = 1 cosh x csch x = 1 sinh x

8 Υπερβολικές Συναρτήσεις

9 Υπερβολικές Συναρτήσεις

10 Συμμετρίες Υπερβολικών Συναρτήσεων Οι συµµετρίες είναι: sinh( x) = sinh x cosh( x) = cosh x tanh( x) = tanh x coth( x) = coth x sech( x) = sech x scsh( x) = scsh x

11 Ιδιότητες

12 Ιδιότητες

13 Ιδιότητες

14 Ιδιότητες

15 Ιδιότητες

16 Ιδιότητες

17 Ιδιότητες

18 Στον κύκλο x 2 + y 2 = 1, η γωνία θ ισούται µε το διπλάσιο του εµβαδού του κυκλικού τοµέα ΟΑ Β. Γεωμετρική Ερμηνεία Σε µια υπερβολή x 2 - y 2 = 1, η γωνία θ ισούται µε το διπλάσιο του εµβαδού του υπερβολικού τοµέα ΟΑΒ.

19 Στον κύκλο x 2 + y 2 = 1, η γωνία θ ισούται µε το διπλάσιο του εµβαδού του κυκλικού τοµέα ΟΑ Β. Γεωμετρική Ερμηνεία Σε µια υπερβολή x 2 - y 2 = 1, η γωνία θ ισούται µε το διπλάσιο του εµβαδού του υπερβολικού τοµέα ΟΑΒ.

20 1690: Jakob Bernoulli Εφαρμογή: Σχήμα Καδένας Ποιο είναι το σχήµα µιας καδένας που κρέµεται ελεύθερα ανάµεσα σε δυο σηµεία;

21 Εφαρμογή: Σχήμα Καδένας 1691: C. Huygens / G. W. Leibnitz / Johann Bernoulli y = 1 apple cosh applex όπου το κ εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες της καδένας. Εξήγηση: το σχήµα αυτό ελαχιστοποιεί τη δυναµική ενέργεια σε ένα οµογενές βαρυτικό πεδίο.

22 Εφαρμογή: Σχήμα Καδένας 1691: C. Huygens / G. W. Leibnitz / Johann Bernoulli y = 1 apple cosh applex όπου το κ εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες της καδένας. Εξήγηση: το σχήµα αυτό ελαχιστοποιεί τη δυναµική ενέργεια σε ένα οµογενές βαρυτικό πεδίο.

23 Εφαρμογές στην Αρχιτεκτονική

24 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

25 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

26 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

27 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

28 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

29 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

30 Παλινδρόμιση

31 Παλινδρόμιση

32 Παλινδρόμιση

33 Παλινδρόμιση

34 Παλινδρόμιση

35 Συμπεριφορά συνάρτησης κοντά σε σημείο

36 Συμπεριφορά συνάρτησης κοντά σε σημείο

37 Συμπεριφορά συνάρτησης κοντά σε σημείο

38 Όριο

39 Όριο

40 Όριο

41 lim x!0 διότι η συνάρτηση παρουσιάζει άλµα

42 lim x!0 διότι η συνάρτηση απειρίζεται

43 lim x!0 διότι η συνάρτηση ταλαντώνεται

44 lim x!0 διότι η συνάρτηση ταλαντώνεται

45 Άσκηση 1 Ποια είναι τα όρια στο διάστηµα (-1, 2) ;

46 Ιδιότητες ορίων

47 Ιδιότητες ορίων

48 Ιδιότητες ορίων

49 Ιδιότητες ορίων

50 Ιδιότητες ορίων

51 Ιδιότητες ορίων

52 Ιδιότητες ορίων

53 Άρα Άσκηση 2

54 Άσκηση 3

55 Άρα Άσκηση 3

56 Ασκήσεις για εξάσκηση