LAPLACE. α. f (t) = t 2 β. f (t) = e t3

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LAPLACE. α. f (t) = t 2 β. f (t) = e t3"

Λυσάνδρα Ταμτάκος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη

2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE 1. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι εκθετικής τάξης α. α. f () = 2 β. f () = e 3 γ. f () = e λ cos µ δ. f φραγµ ɛνη 2. α) Εστω η συνάρτηση y() = sin(e 2 ). Να αποδείξετε ότι είναι εκθετικής τάξης α. β) Να βρείτε την παράγωγο y () και να αποδείξετε ότι μολονότι δεν είναι εκθετικής τάξης α έχει μετασχηματισμό Laplace. Να συμπεράνετε ότι: η παράγωγος μιας συνάρτησης εκθετικής τάξης α δεν είναι απαραίτητα εκθετικής τάξης και ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι εκθετικής τάξης αλλά έχουν μετασχηματισμό Laplace.

3 3. Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων. α. f () = β. f () = 3 sin + 5 cos γ. f () = δ. f () = 2e cos 2 4 sin 3 ε. f () = e 2 2 sin cos 3 4. Ομοια. α. f () = e b sin(α) β. f () = e b cos(α) γ. f () = 2e sin 3 δ. f () = e 3 cos( 2) 5. Ομοια. α. g() = {, < 2 ( 2) 3, 2 β. g() = {, < π/6 cos 2, π/6

4 6. α) Αν γνωρίζουμε ότι L(cos ) = s, να υπολογίσετε τον s L(cos α). s 2 s + 1 β) Αν για μία συνάρτηση f είναι L(f ()) = (2s + 1) 2 (s 1), να υπολογίσετε L(f (2)). 7. Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων. α. f () = sin(α) β. f () = 2 cos(α) 8. Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης f () = 2 e 2, α) χρησιμοποιώντας το θεώρημα της μετάθεσης στο πεδίο των συχνοτήτων και β) το θεώρημα των ροπών (momens). 9. Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων. α. g() = sin(αu) du β. g() = (u 2 u + e u ) du

5 ( e 1. Να αποδείξετε ότι: u ) 1 L du = 1 ( s ) u s ln. s Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων. α. f () = sin β. f () = e4 e 3 γ. f () = sin2 12. Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης f () = sin και στη συνέχεια να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων α) g() = sin(b) και β) f (u) du. 13. Αν f () = sin, να υπολογίσετε τον L(f ()).

6 14. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των παραγώγων να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων. α. f () = sin(α) β. f () = sin Αν για τις συναρτήσεις f, g, h ορίζονται οι σημειούμενες πράξεις, να αποδείξετε ότι: α) f g = g f β) f (g + h) = f g + f h. 16. Να αποδείξετε ότι: α) e α e α = e α β) e α sin(b) = γ) cos(a) cos(b) = 1 a 2 + b 2 ( be α b cos(b) α sin(b) ), 1 b 2 a 2 ( a sin(a) + b sin(b) ), a b,

7 δ) sin(a) sin(b) = 1 b 2 a 2 ( b sin(a) a sin(b) ), a b. 17. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g. Να υπολογίσετε τη συνέλιξη f g και να επαληθεύσετε για τον μετασχηματισμό Laplace την ταυτότητα L(f g) = L(f ) L(g). α) f () = n, g() = 1 και n N, β) f () = 2, g() = 3, γ) f () = sin, g() = Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace των συναρτήσεων. α. f () = ( x) 2 sin 2x dx β. f () = x 3 e 3( x) dx

8 19. Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης f () = { sin, < < π, f 2π πɛριoδική, π < < 2π 2. Ομοια της συνάρτησης f () = { 3, < < 2, f 4 πɛριoδική 6, 2 < < Ομοια της συνάρτησης f () =, < < 1 με T = Να υπολογίσετε τα γενικευμένα ολοκληρώματα. α. I = e 2 cos d β. I = sin d

Σχετικά έγγραφα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :