20 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

Transcript

1 SECTION ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER. Το Ολοκληρωτικό Θεώρηµα του ourier Αν (i) οι συναρτήσεις f () και f'() είναι τµηµατικά συνεχείς σε κάθε πεπερασµένο διάστηµα L < < L, (ii) το d συγκλίνει και (iii) η f () ισούται µε!{f ( + ) + f ( )} σε κάθε σηµείο ασυνέχειας, τότε f( ) [ A( )o + B( )in ] d όπου και η A( ) f( u)oudu B( ) f( u)in udu ύο άλλες µορφές του θεωρήµατος του ourier είναι η f( u)o ( u ) dud u i i u f () e f ( u) e du d i( u ) f( u) e dud Αν η f () είναι περιττή συνάρτηση [δηλ. f ( ) f ()], τότε f( u)inudu ind Αν η f () είναι άρτια συνάρτηση [δηλ. f ( ) f ()], τότε f( u)oudu od Ουσιαστικά, όλα τα προηγούµενα συνοψίζονται στο εξής: Όλη η πληροφορία που υπάρχει στο χώρο [δηλ. στην f ()] µπορεί µε µια ολοκλήρωση (ως προς u) να µεταφερθεί στο χώρο ω και µετά, µε µια δεύτερη ολοκλήρωση, πίσω στο χώρο.

2 SECTION. Μετασχηµατισµένες ourier Η µετασχηµατισµένη ourier της f () ορίζεται µε τη σχέση i ( ) { f( )} f( ) e d Η αντίστροφη µετασχηµατισµένη ourier της (ω) ορίζεται µε τη σχέση i { ( )} ( ) e d Οι f () και (ω) καλούνται ζεύγος µετασχηµατισµένων ourier. Η f () αντιπροσωπεύει την πληροφορία στο χώρο του χρόνου και η (ω) στο χώρο των συχνοτήτων (συνήθως το παριστάνει χρόνο και το ω συχνότητα). Ιδιότητες Αν (ω) {f ()} και G(ω) {g()}, τότε µε και b σταθερές έχουµε {f () + bg()} (ω) + bg(ω) {f ()} - (ω/) {f ( + )} e -iω (ω) n { f( )} ( i) n n d n d {f ()e i } (ω ) Γραµµικότητα Αλλαγή κλίµακας Μετατόπιση Πολλαπλασιασµός επί δύναµη Πολλαπλασιασµός επί e i Αν lim { f(, )} { f( )}, τότε lim f(, )} f( ) συνεχής. όπου η f () είναι Αν επιπλέον (α) υπάρχουν οι παράγωγοι f (r) () µέχρι και τάξης n της f () για κάθε και (β) f (r) () για και κάθε r < n, τότε {f (n) ()} ( iω) n (ω) Το θεώρηµα της συνέλιξης Αν f * g f( u) g( u) du είναι η συνέλιξη δύο συναρτήσεων f () και g(), τότε { f *g} { f}{g} δηλ. η µετασχηµατισµένη της συνέλιξης ισούται µε το γινόµενο των µετασχηµατισµένων. Η σχέση αυτή χρησιµοποιείται και στη µορφή f *g [(ω)g(ω)].

3 SECTION Ταυτότητα του Prel Αν (ω) { f ()} και G(ω) {g()}, τότε f () g * () d ( ) G * ( ) d όπου αστερίσκος σαν πάνω δείκτης σηµαίνει το συζυγή µιγαδικό. Ειδικότερα d ( ) d. Ηµιτονοειδής και Συνηµιτονοειδής Μετασχηµατισµός ourier Η ηµιτονοειδής µετασχηµατισµένη ourier της f () είναι ( ) f ( )in d Η αντίστροφη ηµιτονοειδής µετασχηµατισµένη ourier της (ω) είναι f( ) ( )in d Η συνηµιτονοειδής µετασχηµατισµένη ourier της f () είναι ( ) f ( )o d Η αντίστροφη συνηµιτονοειδής µετασχηµατισµένη ourier της (ω) ( )od Πίνακας Μετασχηµατισµένων ourier Στα επόµενα δίνονται σε κάθε περίπτωση (α) η (πραγµατική) συνάρτηση f () και (β) η αντίστοιχη µετασχηµατισµένη ourier (ω) [ή (ω) ή (ω)]. Επίσης δίνονται οι γραφικές παραστάσεις (γ) της f () µε πράσινο, (δ) της Re{(ω)} µε κόκκινο, (ε) της Im{(ω)} µε µωβ. Στον οριζόντιο άξονα οι αριθµοί είναι τιµές των και ω συγχρόνως. Στον κατακόρυφο άξονα οι αριθµοί είναι τιµές των f () και (ω) συγχρόνως. Έτσι φαίνονται η µορφή της f () και η κατανοµή της (ω). Για µερικές f () το d δεν υπάρχει, αλλά η (ω) µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε τυπικούς (όχι αυστηρούς) υπολογισµούς.

4 SECTION Μετασχηµατισµένες ourier ( f (), Re{(ω)}, Im{(ω)}, < ω < ) f () (ω) δ(ω) Σχ f () δ( ). (ω) e iω Σχ ,, < > > ( ) in Σχ. - f ()! [ + ign()] ( ) d ( ) + i Σχ ( ) i ( ) ign Σχ ( ) Σχ

5 SECTION, < < ( ) ( )in G ( ) Σχ , > + ( ) e Σχ , > + ( ) i ( ) e ign Σχ f () e i Re[ f ( )] Im[ f ( )] (ω) δ(ω + ) Σχ f () e -, > ( ) + Σχ f () e -, >. ( ) i ( + ) Σχ

6 SECTION f () e -, > ( ) ( + ) Σχ f () ex( ), > ( ) ( ) ex Σχ f () in( ), > ( ) ( ) o + Σχ f () o( ) ( ) o Σχ f () e ob, > ( ) + ( + b) + ( b) +. b Σχ f () in, >. ( ) [ + ( )] ign Σχ

7 SECTION 7 Ηµιτονοειδείς Μετασχηµατισµένες ourier ( f (), (ω), < ω < ), < <,, > ( ) o > Σχ. -9. f () ( ) Σχ. - ( ) Σχ. - f () / 8 ( ) Σχ. - f (), < < ( ) ( ) o G. Σχ. -, > + ( ) e Σχ. -...

8 8 SECTION, > ( + ) ( ) e Σχ ( + ), > ( ) e Σχ. -. f () e, > ( ) +. Σχ. -7 f () e, > ( ) ( + ) Σχ f () n e, >, n > ( ) G( n+ )in[( n+ ) n ( / )] n ( + ) ( + )/ n Σχ. -9 f e (), > ( ) n ( ) Σχ. -.

9 SECTION 9 f () ex( ), > ( ) ( S ) ex / ( ) Σχ in, > ( ) ln + Σχ. - in, > ( ) /, /, > Σχ. - o, < ( ) / 8, /, > Σχ. - inh ( ) nh Σχ n (, ) >. ( ) e Σχ

10 SECTION ln ( ) ( g+ ln ) Σχ ln +, > ( ) in Σχ f( x) e x S ( ) oh ( ) Συνηµιτονοειδείς Μετασχηµατισµένες ourier ( f (), (ω), < ω < ), < <, >, > ( ) in Σχ. -9. ( ) Σχ f () n, < n < 7 n ( ) ( n)in( n / ) G Σχ. -. n.7

11 SECTION, + ( ) > e Σχ. -. ( + ), > ( ) ( + ) e Σχ. -.. f () e, > ( ) +. Σχ. -. f () e, > ( ) ( + ). Σχ. - e, > ( ) Σχ. -. f () n e, >, n > o[ nn ( / ) ] ( ) ( n) G n ( + ) /. n Σχ. -7

12 SECTION ( ) > ex, ( ) ( ) ex. Σχ. -8. in, > ( ) [ ( + ign )] Σχ f () e in ( ) n ( ). Σχ. -.. f () in( ), > ( ) ( ) o in Σχ f () o( ), > ( ) ( ) o + in Σχ f () in, >. ( ) < ( ),, Σχ. -. 7

13 SECTION f () e b in, >, b > ( ) + b ( ) b + ( ) f( x) e x x Σχ. - ( ) { o( ) in( ) } Σχ b ( ) > ln +, 8 ( ) e Σχ. -.. ( ) > > ln +,, b b + ( ) e b e Σχ b, > oh ( ) oh( / ) Σχ inh, < < b inhb b ( ) inh( / ) b[o( / b) + o( / b)] Σχ b.

14 SECTION oh, < < b ohb b b ( ) o[ /( )]oh[ /( )] b[o( / b) + o( / b) Σχ. -. b.