Κεφάλαιο 1 Μετασχηματισμός Laplace

Transcript

1 Κεφάλαιο. Εισαγωγή και ορισμός.. Γενικευμένα Ολοκληρώματα Έστω ότι η f() μία πραγματική ορισμένη στο διάστημα a. Τότε το ολοκλήρωμα a f ( ) lim f ( ) b b a Ονομάζεται γενικευμένο ολοκλήρωμα (πρώτου είδους) της f(). Αν το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα υπάρχει ή συγκλίνει. Αν το όριο δεν υπάρχει ή απειρίζεται τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει. b b lim limln lim ln b b b b b b co lim co limin lim in b το οποίο δεν υπάρχει επειδή στην b b b περίπτωση όπου το απειρίζεται η συνάρτηση in κυμαίνεται μεταξύ και -. b lim lim lim b b b b b Για τα γενικευμένα ολοκληρώματα αυτής της μορφής, ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης έχει τη μορφή: a f '( ) g( ) lim f ( ) g( ) f ( a) g( a) f ( ) g '( ).. Ορισμός του μετασχηματισμού Laplac a Θεωρούμε το σύνολο Α όλων των πραγματικών συναρτήσεων f() ορίζονται στο διάστημα, για τις οποίες υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα f () και Β το σύνολο όλων των πραγματικών F() συναρτήσεων με πεδίο ορισμού ένα διάστημα I. Ορίζω την απεικόνιση L:A B όπου σε κάθε συνάρτηση που υπάρχει το παραπάνω ολοκλήρωμα αντιστοιχώ μία συνάρτηση τέτοια ώστε L{ f ( )}( ) F( ) f ( ) Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται μετασχηματισμός Laplac. Το γενικευμένο αυτό ολοκλήρωμα είναι μία συνάρτηση του για τις τιμές της μεταβλητής για την οποία υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα.

2 Κεφάλαιο Η αντίστροφη απεικόνιση L - :B A όπου F L - {F}=f με L - {L(f)}=f Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται αντίστροφος μετασχηματισμός Laplac. Για τη συνάρτηση f () βρείτε τον L{ f ( )} ' L{ } lim ' / lim lim lim d( ) Οπότε L {} και L { } και αυτό ισχύει όταν. Όταν το γενικευμένο ολοκλήρωμα δεν υπάρχει αφού για δεν ορίζεται και για αρνητικά ισχύει lim lim οπότε το γενικευμένο ολοκλήρωμα απειρίζεται. Ο μετασχηματισμός Laplac της συνάρτησης k ( ) ( ) f ( ) ( )k L{ }( ) lim lim, k k αφού ak lim k εφόσον α> και δεν υπάρχει (απειρίζεται το όριο) όταν α<= (απειρίζεται το όριο όταν α< και για α= έχουμε απροσδιοριστία). Οπότε L{ }, L { },( ) Παρόμοια αποδεικνύονται: n n! n! n L{ } L { },(,n n n ) L{} L { } a L{ } L { } a,( a ) a a a a L{in( a )} L { a a } in( a ),( ) L{co( a )} L { a a } co( a ),( ) a a L{inh( a )} L { a a } inh( a ),( a ) L{coh( a )} L { a a } coh( a ),( a )

3 Υπενθύμιση: n!... n n,!,! x x x x inh( x), coh( x), inh( ax) ' a coh( ax), coh( ax) ' ainh( ax), coh( ax) inh( ax) inh( ax) dx +c, coh( ax) dx +c a a Ύπαρξη μετασχηματισμού Laplac Έστω ότι η f() μία πραγματική ορισμένη στο διάστημα a συνεχής για την οποία για σταθερές γ,μ, θετικές ισχύει f () M γ τάξης), τότε ο μετασχηματισμός L{f()} υπάρχει...3 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplac..3. Γραμμικότητα τμηματικά (εκθετική Οι απεικονίσεις Laplac και αντίστροφή της είναι γραμμικές, δηλαδή ισχύει: L{ af ( ) bg( )} al{ f ( )} bl{ g( )} Βρείτε τον L af bg al F bl G { ( ) ( )} { ( )} { ( )} L {4 3in( ) 5 } L L L L {4 3in( ) 5 } 4 { } 3 {in( )} 5 { } Βρείτε τον L{5in(3 ) 3co(3 )} L{5in(3 ) 3co(3 )} 5 L{in(3 )} 3 L{co(3 )} Βρείτε τον L { } n n n! L { } L { }, n=,,,... n n n! n! 3 7 Βρείτε τον L { } L { } L { } L { } L { } L { } 7 L { } L { } 3 7 co(3 ) in Βρείτε τον L { } L { } L { } 3 L { } coh 3 3inh(3 )

4 Κεφάλαιο Εναλλακτικά L { } L { } L { } L { } ( 3) 3 3 L { } L { } L { } L { } ( 3)( 3) 3 ( 3) L { } L { } inh(3 ) ( 3) 3 Οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναμες: coh 3 3inh(3 ) coh 3 inh(3 ) inh(3 ) coh 3 inh(3 ) inh(3 ) inh(3 ) 3 3 inh(3 ) inh(3 )..3. Θεωρήματα μετατόπισης ο Θεώρημα μετατόπισης: Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες της μετατόπισης: L { a f ( )} L { f ( )} F ( ) F ( a ) Βρείτε τον a a L F a a a L F L F f a { ( )} { ( ) } { ( )} ( ) L 3 { } 3 3 3! 3! L{ } L{ } ( ) ( ) Βρείτε τον 4 4 L { (3in(4 ) 4co(4 ))} L L { (3in(4 ) 4co(4 ))} {3in(4 ) 4co(4 )} 3 L{in(4 )} 4 L{co(4 )} ( ) ( ) 4 ( ) 4 Βρείτε τον L { } 5 ( ) 4! L L L L 4 { } { } { } { } ( ) 4! 4! Περίπτωση που ο παρονομαστής μιας ρητής παράστασης δεν αναλύεται σε παράγοντες (στο παρακάτω παράδειγμα η διακρίνουσα του παρονομαστή είναι αρνητική) και ο αριθμητής έχει βαθμό μικρότερο από τον παρονομαστή. 4

5 3 4 Βρείτε τον L { } ( ) 8 L { } L { } L { } L { } ( ) ( ) L { } L { } (3 L { } L { }) (3co( ) 4in( )) H μονοβηματική μοναδιαία συνάρτηση ή συνάρτηση του Haviid ορίζεται ως εξής: a u( a) a u () u( a) a Η συνάρτηση u( a) f ( ) για. Εάν πολλαπλασιάσουμε μία συνάρτηση με τη συνάρτηση u( a) μηδενίζονται οι τιμές της συνάρτησης πριν από το α και για, δηλαδή έχουμε την παρακάτω επίδραση στη συνάρτηση: f () u( a) f ( ) Η συνάρτηση u( a) f ( a) για θα την ονομάζουμε η μετατόπιση της f() προς τα δεξιά κατά α μιας και μετατοπίζει την f() προς τα δεξιά κατά α και μηδενίζει τις τιμές της συνάρτησης πριν από το α και για, δηλαδή έχουμε την παρακάτω επίδραση στη συνάρτηση: a 5

6 Κεφάλαιο f () f ( a) a f () u( a) f ( a) a Οι παρακάτω σχέσεις είναι γνωστές και ως ο Θεώρημα Μετατόπισης. f ( a) a Αν L{ f ( )} F( ) και u( a) f ( a) a κάτωθι ιδιότητες: a a L{ u( a) f ( a)} L{ f ( )} F( ) a L { F( )} u( a) f ( a) τότε ισχύουν οι Παραδείγματα: α) Εάν εφαρμόσουμε το ο Θεώρημα Μετατόπισης στην f( ) ισχύουν: { ( )} a a L u a L{} και a L { } u( a). Επίσης ισχύει για a, L{( ) u( )} L{}. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχουμε L u L { ( )} {} L{ u( ) u( )} L{ u( ) u( ) u( ) u( )} L{ u( )} L{( ) u( )} L{ u( )} και γενικά 6

7 4 4 ( ) β) Αν u( )( ) 4 4 4! τότε { ( )( ) } L u L{ } 5 γ) Επίσης L{ u( )in( 4)} L{ u( )in(( ))} L{in( )} in( 3) 3 δ) L { } L { } u( 3)in( 3) 3 αφού ισχύει L{ } in( ). στ) 4 6 L 6 u( 4) 6 u( 4) αφού ισχύει L και f( 4) για f( ). ζ) ( ) coh(4( )) ( ) coh(4 8) 6 L u u αφού ισχύει L coh(4 ) και 6 f ( ) coh(4( )) για f ( ) coh(4 ) 7

8 Κεφάλαιο Εφαρμογή: Η συνάρτηση ορθογώνιου παλμού ή συνάρτηση φίλτρου. a f ( ) a b b f () f ( ) u( a) u( b) τότε a b L{ f ( )} L{ u( a) u( b)} a b Παραδείγματα: Βρείτε και σχεδιάστε τη συνάρτηση ( ) L L u 5 f ( ) L, 5 L 5 u( ) f ( ) όπου f () L οπότε f ( ) και τελικά 5 L 5 u( )( ) ( ) ( ) όπου L u f και τελικά f ( ) L u( )( ) 5 f () L οπότε f ( ) Άρα f ( ) L u( ) 5 u( )( ) u( )( ) Οπότε η συνάρτηση είναι: για για f ( ) 5( ) για 5 3 για 5( ) ( ) για 7 7 για Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι: 8

9 ..3.3 Άλλες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplac Αν L{ f ( )} F( ), ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: L{ f ( a)} F a a L { F( a)} f ( ) a a Είχαμε δείξει, με τη χρήση του ορισμού του Μετασχηματισμού Laplac, ότι ισχύει L{ }, οπότε με τη χρήση της παραπάνω ιδιότητας έχουμε: a a L{ } L{ } L{ } a a a a a a a a a a L{co(4 )} L{co( ) } L{co( )} L { } L { } L { } L { } in in(4 )

10 Κεφάλαιο..3.4 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplac που εμπλέκουν την παράγωγο ή το ολοκλήρωμα συνάρτησης Για τον μετασχηματισμό Laplac παραγώγου συνάρτησης ισχύει: L{ f '( )} L{ f ( )} f () L f L f f f { ''( )} { ( )} () '() και γενικά L f L f f f f f ( n) n n n ( n) ( n) { ( )} { ( )} () '()... () () L {co'( )} L {co( )} co L{in'( )} L{in( )} in Παρατήρηση: Εάν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα (, ) τότε στους παραπάνω τύπους το f () (και οι αντίστοιχες παράγωγοι στο ) αντικαθίστανται με το f ( ) lim f ( ) (ανάλογα και οι αντίστοιχες παράγωγοι στο ) Για τον αντίστροφο μετασχηματισμό η ακόλουθη ιδιότητα: Αν f (), τότε L { F( )} L { F( )} ' f '( ) L { } L { } { } in'( ) co L () in f ' Επίσης Αν L{ f ( )} F( ), ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: L{ f ( )} F( )' L { F( )'} f ( ) και γενικά ( ) ( ) L{ f ( )} L{ f ( )} F( ) ( ) L F L F f { ( ) } { ( )} ( ) ' ' ' 4 4 L{ inh( )} L{inh( )} ( ) 4 4 ' ' '' '' L{ in(3 )} ( ) L{in(3 )} '

11 ' L { } L { } L { } L Φυσικά τον ίδιο μετασχηματισμό τον έχουμε δει και με άλλο τρόπο. Επίσης ισχύει: L{ f ( u) du} L{ f ( )} F( ) F () L { } L { F( )} du f ( u) du L{co(4 )} L{ co(4 u) du} 6 6 Που πράγματι ισχύει διότι, in(4 u) in(4 ) co(4 u) du 4 4 και L{inh( )} L{ inh( u) du} 4 Που πράγματι ισχύει διότι, ' in(4 ) 4 L{ } coh( u) coh( u) coh( ) inh( u) du du και coh( ) L{coh( )} L{} 4 L{ } L { } L { } L { } du ( 4) 4 4 L du udu u { } in co( ) ( co( )) 4 4.

12 Κεφάλαιο..3.5 περιοδικής συνάρτησης Μία συνάρτηση ονομάζεται περιοδική με περίοδο T εάν ισχύει f ( nt ) f ( ), n N, R. Το γράφημα μίας περιοδικής συνάρτησης έχει τη μορφή: f f ( a T ) f ( a) a T T 3T 4T at Στην βασική περίοδο μία τέτοια συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως εξής: f ( ) T f() ύ Στη δεύτερη περίοδο η συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια της συνάρτησης του Haviid ως εξής: Παρόμοια στην 3 η περίοδο: f ( ) T T f ( T) u( T) ύ f ( ) T 3T f ( T) u( T) ύ Στην 4 η f ( ) 3T 4T f ( 3 T) u( 3 T) ύ Οπότε η συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως f ( ) f ( ) u( ) f ( T) u( T) f ( T) u( T) f ( 3 T) u( 3 T)... Ο μετασχηματισμός Laplac της f () με βάση τον ορισμό ισούται: Οπότε μπορούμε να γράψουμε: L{ f ( )} f ( ) f ( ) T L{ f ( )} L{ f ( ) u( )} L{ f ( T) u( T)} L{ f ( T) u( T)} L{ f ( 3 T) u( 3 T)}... Από το ο θεώρημα Μετατόπισης έχουμε nt nt L{ u( nt ) f ( nt )} L{ f ( )} f ( ) T

13 Οπότε ισχύει: T T 3T L{ f ( )} L{ f ( )} L{ f ( )} L{ f ( )} L{ f ( )}... T T T 3T T T 3T { ( )} (...) { ( )} (...) ( ) L f L f f Από την άλγεβρα είναι γνωστό ότι: ( x x x...) ( x) x T T T T Οπότε... 3 T από όπου συμπεραίνουμε το ακόλουθο: 3 Εάν η συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο T τότε L{ f ( )} T f () T f <3 f( ) 3 <6 f ( 6) f ( ) Για την παραπάνω περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=6 οπότε έχουμε L{ f ( )} 6 3 f ( ) 6 6 ' { ( )} L f Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac 3 L { } και σχεδιάστε για την συνάρτηση που βρήκατε. 4 3

14 Κεφάλαιο Ο όρος μας οδηγεί να σκεφτούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι 4 περιοδική (και μάλιστα με περίοδο 4. Ανάλογα με τα όσα είπαμε παραπάνω ισχύει: Δηλαδή, Οπότε L { } {...} 4 L L { } L { } L { } L { } L { } L { } L { }... u( ) u( 3) u( 4) u( 7) u( 8) u( ) u( ) u( 5)... Αφού ισχύει L { } f ( ) και a L u a f a u a ( ) ( ) ( ) Οπότε το γράφημα της συνάρτησης είναι: f <3 f( ) 3 <4 f ( 4) f ( ) Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac 3 L { } και σχεδιάστε για την συνάρτηση που βρήκατε. Ανάλογα με τα όσα είπαμε παραπάνω ισχύει: 4

15 ( ) ( )... Οπότε και L { } {...} L L { } 3 L { } 3 L { } 3 L { } 3 L { }... 3 u( ) 3 u( ) 3 u( 4) 3 u( 6) 3 u( 8)... Αφού ισχύει L { } f ( ) και a L u a f a u a ( ) ( ) ( ) Οπότε το γράφημα της συνάρτησης είναι: f 3 3 < f( ) <4 f ( 4) f ( ) Συνέλιξης συναρτήσεων Αν οι συναρτήσεις f(), g(), είναι συνεχείς ή κατά τμήματα συνεχείς για ορίζουμε συνέλιξη f()*g() των δύο συναρτήσεων Για τη συνέλιξη ισχύουν τα εξής: ( f * g)( ) f ( )* g( ) f ( u) g( u) du ( f * g)( ) ( g * f )( ) L{ f * g ( )} L{ f ( )} L{ g( )} F( ) G( ) L F G S L F L G f g { ( ) ( )} { ( )}* { ( )} ( )* ( ) 5

16 Κεφάλαιο a a L { } L { } L { }* L { } a a a a a a a in a *coa in auco( a( u)) du in auco( a( u)) du a a a in( au ( a au)) in( au ( a au)) du a co( au a) in( a) in( au a) du in( a) u a a a co( a a) co(a a) in( a) in( a) a a a a co( a) co( a) in( a) in( a) a a a a in Aco B in A B in( A B) Εδώ χρησιμοποιήσαμε την. Η μέθοδος του Havyid και ο.. Ανάλυση Ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα. Περίπτωση που ο παρονομαστής μιας ρητής παράστασης αναλύεται σε παράγοντες πρώτου βαθμού, όπου δεν υπάρχουν κοινές ρίζες π.χ. nx ( ) n x A A An f x d( x) x a x a x a x a x a x a n n dg n x dg d x n, a a. Περίπτωση που ο παρονομαστής έχει ρίζες πολλαπλότητας μεγαλύτερης του π.χ. nx ( ) n x f x k k kn d( x) x a x a x a A k k x a x a x a A k k x a x a x a A n n A A A x an x an x an dg n x dg d x k k k, a a i A A j A nkn n kn n i j 3. Περίπτωση που ο παρονομαστής μιας ρητής παράστασης αναλύεται σε παράγοντες πρώτου βαθμού και δευτέρου, όπου δεν υπάρχουν κοινές ρίζες x x A Bx C π.χ ( x a)( x bx c) x a x bx c 6

17 4. Περίπτωση που ο παρονομαστής μιας ρητής παράστασης αναλύεται σε παράγοντες πρώτου βαθμού και δευτέρου, όπου δεν υπάρχουν κοινές ρίζες με πολλαπλότητα μεγαλύτερη του. x x A A B x C B x C π.χ ( x a) ( x bx c) x a x bx c x a x bx c 5. Στην περίπτωση που ο αριθμητής έχει βαθμό μεγαλύτερο από τον παρονομαστή: f x dg n x nx ( ) d( x) dg d x Εκτελούμε τη διαίρεση και έχουμε ως αποτέλεσμα έναν αριθμό και ένα κλάσμα του οποίου ο βαθμός του παρονομαστή είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του αριθμητή. f x A d x n ( x) ( ) dg n x dg d x και οδηγούμαστε σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις. Να γραφεί η παράσταση x ( x)( x 4) ως άθροισμα μερικών κλασμάτων, δηλαδή να βρεθούν οι πραγματικοί Α,Β, τέτοιοι ώστε Η παράσταση x ( x )( x 4) x x 4 x A B (A B)x 4A B (x )(x 4) x x 4 (x )(x 4) A B A 3 δίνει το σύστημα. 4A B B 3 x 3 Δίνεται η ρητή συνάρτηση f( x) 3. Παρατηρείστε ότι ο x 3x x παρονομαστής παραγοντοποιείται στην μορφή: 3 x x x x x x 3 ( )( ) και αναλύστε την f(x) σε απλά κλάσματα ως εξής: 7

18 Κεφάλαιο A B f( x) x x x, (*) όπου Α, Β, Γ είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Έστω ότι ( x 3) A B C x( x )( x ) x x x. Προσθέτοντας τα κλάσματα στο β μέλος παίρνουμε ( x 3) A( x )( x ) Bx( x ) Cx( x ) και εξισώνοντας τους δυο x( x )( x ) x( x )( x ) αριθμητές έχουμε x 3 A( x )( x ) Bx( x ) Cx( x ). Θέτοντας διαδοχικά στην παραπάνω σχέση x, x, x παίρνουμε : 3 3 A, B, C, δηλαδή A, B, C. Δίνεται η ρητή συνάρτηση παρονομαστής παραγοντοποιείται στην μορφή: 4 3 x x x f( x). Αποδείξτε ότι ο x x x x x 5 -x 4 +x 3 -x = x (x +)(x-) και αναλύστε την f(x) σε απλά κλάσματα ως εξής: A B x f( x) x x x x, (*) όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Τα δύο πρώτα κλάσματα αντιστοιχούν στον παράγοντα x, το τρίτο στον x- ενώ το τέταρτο στον x +. Η σχέση x 5 -x 4 +x 3 -x = x (x +)(x-) μπορεί να ελεγχθεί εύκολα αν κανείς εκτελέσει τους πολλαπλασιασμούς στο δεύτερο μέρος. Για την ανάλυση της f(x) σε απλά κλάσματα εργαζόμαστε ως εξής: A B x f( x) x x x x ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 x x x Ax x x B x x x x x x x Η τελευταία σχέση δίνει: Για x= έχουμε - = -B B= Για x= έχουμε = Γ Γ= Για x=- έχουμε -4 = 4Α-8+-(-Δ+Ε) Α+Δ-Ε = Για x= έχουμε 6 = Α+++4(Δ+Ε) 5Α+4Δ+Ε = - Για x=- έχουμε = 3Α-3+-(-Δ+Ε) 5Α+4Δ-Ε = 8

19 Τελικά Α=, Β=, Γ=, Δ=, Ε=- και f( x) x x x. ( x ) Παραγοντοποιήστε το αφού παραγοντοποιήσετε πρώτα τον 3 x παρονομαστή και αναλύσετε το κλάσμα σύμφωνα με τον αλγόριθμο: x x A Bx C ( x a)( x bx c) x a x bx c Το κλάσμα αναλύεται ως εξής x x A Bx C A( x x ) ( Bx C)( x ) 3 x ( x )( x x ) x x x ( x )( x x ) Ax Ax A Bx Bx Cx C A B x A B C x A C ( x )( x x ) ( x )( x x ) ( ) ( ) ( ) Οι αριθμητές των κλασμάτων πρέπει να είναι ταυτοτικά ίσοι άρα θα έχω () () (3) AB A B C AC Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε A, 3 B, 3 C 4 3 x x x 3 Παραγοντοποιήστε το x Αφού ο βαθμός του παρονομαστή είναι μικρότερος από το βαθμό του αριθμητή, κάνουμε τη διαίρεση 4 3 x x x 3 x x 4 3 x x x 3 x 3 x x x x 3 x x 4 3 x x x 3 x x x x. Οπότε ισχύει x x 3 9

20 Κεφάλαιο Άρα έχουμε 4 3 x x x 3 x x x x x x x x x x x x x x ( x).. Μέθοδος του Haviid Η μέθοδος του Haviid χρησιμοποιείται για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac μίας ρητής συνάρτησης πηλίκου πολυωνύμων p () F () όπου ο βαθμός του παρονομαστή είναι μεγαλύτερος του βαθμού q () του αριθμητή και ο παρονομαστής αναλύεται σε παράγοντες. Παραδείγματα α) Να υπολογιστεί ο 4 4 L { } 3 4 Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής παραγοντοποιείται. Ένας τρόπος να τον υπολογίσουμε είναι να ακολουθήσουμε την ακόλουθη ανάλυση σε απλά κλάσματα ( ) 4 A B C A A B C A B C A 3 4 ( 4) 4 ( 4) ( 4) Από την παραπάνω ανάλυση σε κλάσματα οδηγούμαστε στο παρακάτω σύστημα: AB 4 C 4A 4 του οποίου η λύση μας δίνει A, B 3, C. Οπότε, L { } L { } L { } 3 L { } L { } L { } 3 L { } L { } 3co( ) in( ) Εναλλακτικά, θα μπορούσε κάποιος να ακολουθήσει μία άλλη τακτική: ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 4 4 ( 4) Είναι γνωστό ότι 4 L { } 4 L { } 4co( ) 4 4 L { } { } in( ) 4 L 4 Και είτε να αναλύσει το τελευταίο κλάσμα:

21 4 A B C A 4 AB C ( AB) C 4A ( 4) 4 ( 4) ( 4) Οπότε 4A 4 A, c και A B B A. Και 4 L { } L { } L { } co( ) ( 4) 4 Εναλλακτικά θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει γνωστή ιδιότητα όπως ακολουθεί: 4 L { } 4 L { } 4 L { } du ( 4) 4 4 L { } du in udu co( u) co( ) Οπότε L { } L { } L { } L { } ( 4) 4co( ) in( ) co( ) 3co( ) in( ) β) Να υπολογιστεί ο L { }. 4 Θα πρέπει να αναλύσουμε σε κλάσματα: 4 A B C A( 4) B( ) C( ) ( ) ( ) A B C ( B C) 4A ( ) Από όπου έχουμε Οπότε A B B 4 A B C A B B C B C B C C 4 4A A A A L { } L { } L { } L { } L { } coh( )

22 Κεφάλαιο Πράγματι ισχύει, coh( ) L{coh( )} L{} 4 L{ } Από όπου συμπεραίνουμε ότι coh( ) L { }. 4 γ) Όπως έχουμε δει, στην περίπτωση που ο παρονομαστής μιας ρητής παράστασης δεν αναλύεται σε παράγοντες θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της μετατόπισης. Για παράδειγμα να υπολογιστεί ο L { } L { } 5 L 8 5 ( 4) L 5 in(3 ) Εφαρμογές μετασχηματισμού Laplac σε ειδικές συναρτήσεις.3. Η συνάρτηση δ του Dirac Ορίζουμε a a f () a, a f () / a a Ισχύει f ( ) και επίσης u( ) u( ) f () Οπότε L{ f ( )} a ( a) a Ορίζω τη συνάρτηση συνάρτηση δ του Dirac ως ( ) lim f ( )

23 Ισχύει ( ) και για κάθε συνάρτηση f (), f ( ) ( ) f ( ). Τέλος, αφού από τον κανόνα του L Hopial έχω ότι lim ισχύει a L{ ( )} και a L { } ( ). Επίσης L{ ( )} και a L{ f ( ) ( a)} f ( a). Μία γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης δ του Dirac είναι η ακόλουθη: f () ( a) a Στα ηλεκτρονικά χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ρεύματα εκτόνωσης (impul) ή στιγμιαίους παλμούς. Εάν ρεύματα εκτόνωσης με ισχύ,3 και 5 μονάδες παρουσιάζονται με τη φορά που υπάρχει στο σχήμα τις χρονικές στιγμές, 4,6. f () ( ) 5 ( 6) ( 4) Γράψτε τον τύπο που χαρακτηρίζει το σχήμα και βρείτε το μετασχηματισμό του Laplac. Ο τύπος είναι f ( ) ( ) 3 ( 4) 5 ( 6) και ο μετασχηματισμός Laplac: L{ f ( )} L{ ( )} 3 L{ ( 4)} 5 L{ ( 6)}

24 Κεφάλαιο.4 Εφαρμογές μετασχηματισμού Laplac.4. και Διαφορικές εξισώσεις.4.. και Προβλήματα Αρχικών Τιμών Η μη ομογενής διαφορική εξίσωση y a y... a y a y a y f ( ) με ( n) ( n) '' ' n σταθερούς όρους (όπου ai δηλαδή) μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplac. Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό στο αριστερό και στο δεξί μέλος μετατρέπουμε την διαφορική εξίσωση σε αλγεβρική. Λύνουμε την αλγεβρική εξίσωση και εφαρμόζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac για να πάρουμε τη λύση της δ.ε. Θα χρειαστούμε τις ιδιότητες: L{ y '( )} L{ y( )} y() L y L y y y { ''( )} { ( )} () '() Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y() y ' 5y 5 με y() y ' 5 y L{ y ' 5 y} L{ } L{ y '} 5 L{ y} L{ } L{ y} y() 5 L{ y} ( 5) L{ y} y( ) L { } L { } 5 Όπου χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητες της μετατόπισης: L { a f ( )} L { f ( )} F ( ) F ( a ) a a L F a a a L F L F f a { ( )} { ( ) } { ( )} ( ) Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y '' y με y() y'() y '' y L{ y '' y} L{ } L{ y ''} L{ y} L{ } L y y y L y L y L y { } () '() { } { } { } { } { } L y L y y { } L A B C A A B C B C Ισχύει από όπου A+B=, A+C=, B+C= και Α=,Β=-,C= 4

25 y( ) L { } L { } L { } L { } L { } in Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y '' y ' με y() y'() y '' y ' L{ y '' y '} L{ } L{ y ''} L{ y '} L{ } L y y y L y y L y L y { } () '() { } () { } { } { } { } L y L y y L { } A B C A( ) B( ) C ( ) ( ) A B A B C A από όπου A+B=, A+B+C=,A= και τελικά Α=,Β=-,C=- y ( ) L { } L { } L { } L { } L { } Το L { } L { } L { }, όπου χρησιμοποιήσαμε τις ακόλουθες L { }. ιδιότητες Οπότε έχουμε τελικά y( ). L F a L F a L F a f a { ( )} { ( ) } { ( )} ( ) και Να λυθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac η διαφορική εξίσωση y '' 4 y ' 3y ( ) με y(), y'(). y '' 4 y ' 3y ( ) L{ y '' 4 y ' 3 y} L{ ( )} L{ y ''} 4 L{ y '} 3 L{ y} L{ ( )} L y y y L y y L y { } () '() 4( { } ()) 3 { } 5

26 Κεφάλαιο L y L y L y { } 4 { } 8 3 { } 4 3 L{ y} L{ y} L{ y} L{ y} L{ y} y L L y L L y L L 9 9 y ( ) co(3 ) in(3 ).4.. και Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Επίσης και συστήματα διαφορικών εξισώσεων μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο μετασχηματισμού Laplac. Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό στο αριστερό και στο δεξί μέλος καθεμίας από τις εξισώσεις μετατρέπουμε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων σε σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Λύνουμε το αλγεβρικό σύστημα και εφαρμόζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac για να πάρουμε τη λύση της δ.ε. dx dy Εάν όπου x x( ), y y( ) και x', y', να λυθεί το σύστημα x' x 3y διαφορικών εξισώσεων, με x() 8, y() 3. y ' y x Για ευκολία, συμβολίζω L{} x X και L{ y} Y Τότε x ' x 3 y L{ x '} L{ x 3 y} L{ x '} L{ x} 3 L{ y} y ' y x L{ y '} L{ y x} L{ y '} L{ y} L{ x} L{ x} x() L{ x} 3 L{ y} X 8 X 3Y X 3Y 8 L{ y} y() L{ y} L{ x} Y 3 Y X X ( ) Y 3 Λύνουμε το σύστημα. Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε πρώτη: X 3 ( ) Y και αντικαθιστώντας στην 6

27 3 ( ) Y ( )( ) 3 3Y 8 Y (3 ) 8 ( ) Y Y Και τελικά 3 3 ( ) 4 X ( ) Y 3( 3 4) (3 3 ) 8 7 A B A 4A BS B 4 Αφού A B A B Από όπου έχουμε A B 8 B 8 A B 8 A B A B 7 4A 8 A 7 5A 5 A 5 3 A B A 4A BS B A B 4A B Και Από όπου έχουμε A B 3 B 3 A B 3 A B 35 4A B 4A 3 A 5A 5 A 5 Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac X x L { } x 5 L { } 3 L { } x Και 5 5 Y y L { } 4 4 y 5 L { } L { } y και Στοιχειώδη κυκλώματα.4.. Κύκλωμα RL Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Vol), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το χρόνο δηλαδή Ε=Ε(), πηνίο αυτεπαγωγής l (Hrny), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακόπτη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά. 7

28 Κεφάλαιο l di l ir E Τη χρονική στιγμή = ο διακόπτης κλείνει και ζητείται να προσδιοριστεί η τιμή του ρεύματος i=i() που αρχίζει να διαρρέει στο κύκλωμα. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας λέει ότι η ηλεκτρεργετική δύναμη ισοφαρίζει κάθε χρονική στιγμή την πτώση τάσης στο di πηνίο l και την πτώση τάσης στην αντίσταση ir, δηλαδή: di di R E() ir l E( ) i, l l Δεδομένου i()=. Αυτή είναι μία διαφορική εξίσωση της μορφής y ' ay ( ). Είναι δηλαδή ένα πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης με σταθερούς όρους το οποίο λύνουμε με τον μετασχηματισμό Laplac. di R E( ) di R L{ E( )} i L{ } L{ i} l l l l R L{ E( )} R L{ E( )}) L{ i} i() L{ i} ( ) L{ i} l l l l E( ) L{ E( )} L{ i} i( ) L l R l R l l Εάν το E() ακόλουθη: E i( ) L { } l R l και επειδή l ( ) R R R l l R E E είναι σταθερό τότε L{ E( )} EL{} η λύση είναι η Συμπεραίνουμε ότι E l E E {( )} ( { } { }) ( ) l R R R R R l l R l i L L L 8

29 : Για παράδειγμα εάν το κύκλωμα RL αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Vol σταθερή πηνίο αυτεπαγωγής l= Hrny, ωμική αντίσταση R=6 Ohm και διακόπτη Δ τότε έχουμε di di R E di 6 3 di ir l E( ) i i 8i 5 l l Εφαρμόζω μετασχηματισμό Laplac και συμβολίζω L{} i di 5 5 L{ } 8 L{ i} 5 L{} i i() 8 L{ i} ( 8) L{ i} 5 L{ i} 5 i 5L i L ( 8) ( 8) 8 ( 8) Αφού A B ( A B) 8A από όπου ( 8) ( 8) ( 8) Τελικά 5 75 i L L 8 ( 8) 4 8 ( ) ( ) i A, B A Κύκλωμα RC Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Vol), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το χρόνο δηλαδή Ε=Ε(), πυκνωτή χωρητικότητας C (Farad), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακόπτη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά. C Q C ir E R Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας λέει ότι η ηλεκτρεργετική δύναμη ισοφαρίζει κάθε χρονική στιγμή την πτώση τάσης στον πυκνωτή Q όπου () C Q Q είναι το φορτίο του πυκνωτή και την πτώση τάσης στην αντίσταση ir, δηλαδή: 9

30 Κεφάλαιο Q dq ir E( ) R Q E( ), C C Αφού λάβουμε υπόψη ότι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα dq ισούται με το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή, δηλαδή i. Είναι δηλαδή ένα πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης με σταθερούς όρους το οποίο λύνουμε με τον μετασχηματισμό Laplac όπως και πριν και να βρούμε το Q (). Όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης δηλαδή Q(), ολοκληρώνοντας τη dq() dq i( ) i( w) dw dw i( w) dw Q( ) Q() dw i( w) dw Q ( ) Όπου θεωρούμε τη μεταβλητή w μία μεταβλητή χρόνου. Για λόγους απλότητας εναλλάσσουμε τις μεταβλητές και w έχουμε δηλαδή i( w) dw Q( ). Οπότε το πρόβλημα γίνεται R i i( w) dw E( ), C ιδιότητα το οποίο λύνεται ως προς το i χρησιμοποιώντας την L{ f ( )} L{ f ( u) du} : R i i( w) dw E( ) R L{ i} L{ i( w) dw} L{ E( )} C C L{ i} CL{ E( )} CL{ E( )} R L i L E L i i L C RC RC { } { ( )} { } ( ) { } : Εάν το κύκλωμα RC αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Vol σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C=. Farad, ωμική αντίσταση R=6 Ohm και διακόπτη Δ. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας λέει ότι η ηλεκτρεργετική δύναμη ισοφαρίζει κάθε χρονική στιγμή την πτώση τάσης στον πυκνωτή Q όπου () C Q Q είναι το φορτίο του πυκνωτή και την πτώση τάσης στην αντίσταση ir, δηλαδή: Q dq ir E 6 Q 3, C. Αφού λάβουμε υπόψη ότι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα dq ισούται με το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή, δηλαδή i. 3

31 Είναι δηλαδή ένα πρόβλημα αρχικών τιμών πρώτης τάξης με σταθερούς όρους το οποίο λύνουμε με τον μετασχηματισμό Laplac όπως και πριν και να βρούμε το Q (). Όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης δηλαδή Q(), ολοκληρώνοντας τη w w w w dq() dq i( ) i( ) i( ) Q( w) Q() i( ) Q( w) Όπου θεωρούμε τη μεταβλητή w μία μεταβλητή χρόνου. Για λόγους απλότητας εναλλάσσουμε τις μεταβλητές και w έχουμε δηλαδή i( w) dw Q( ). Οπότε το πρόβλημα γίνεται 6 i i( w) dw 3,. ιδιότητα το οποίο λύνεται ως προς το i χρησιμοποιώντας την L{ f ( )} L{ f ( u) du}. Οπότε η σχέση γίνεται: 6 i i( w) dw 3 6 L{ i} L{ i( w) dw} L{3}.. Li { } 6 L{ i} L{3}. L{ i} L{ i} 5 6 L{ i} 3 L{} 6 L{ i} L{ i} L{ i} 3 (6 5) L{ i} 3 L{ i} (6 5) L{ i} i L { } i Το φορτίο τώρα μπορεί να υπολογισθεί από την w 75 8 w Q( ) i( w) dw Q( ) dw Q( ) d w Q( ) 6 Q( ) 6 Εναλλακτικά θα μπορούσαμε από την dq dq dq 6 Q 3 6 5Q 3 6 L{ } 5 L{ Q} 3 L{}. 3 6 L{ Q} Q() 5 L{ Q} 3 L{} (6 5) L{ Q} 3 L{ Q} (6 5) Τώρα έχουμε 3 A B A6B 5B (6 5) (6 5) (6 5) Από όπου έχουμε 3

32 Κεφάλαιο 3 B 6, A 6B 96 και συνεχίζουμε L{ Q} L{ Q} Q L { } (6 5) (6 5) (6 5) 5 8 Q 6L 6 L Q( ) 6 5 ( ) 8 από όπου παραγωγίζοντας εξάγουμε την ένταση του ρεύματος Κύκλωμα LC Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Vol), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το χρόνο δηλαδή Ε=Ε(), πυκνωτή χωρητικότητας C (Farad), πηνίο αυτεπαγωγής l (Hrny) και διακόπτη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά. C Q C di l E Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας δίνει ( ) l di Q E( ) di Q E, C lc l Θεωρούμε ότι ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης, δηλαδή Q() όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, οπότε έχουμε di E( ) i( w) dw lc, l Για να λύσουμε εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplac di L{ i} L{ } L{ i( w) dw} L{ E( )} L{ i} i() L{ E( )} lc l lc l και λύνουμε ως προς Li {}. dq di d Q Εναλλακτικά, από i έχουμε ισοδύναμα l d Q Q lc l E( ) από όπου εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplac έχουμε 3

33 d Q E( ) { } { } { } { } '() () { } { ( )} L L Q L L Q Q Q L Q L E lc l lc l και λύνουμε ως προς LQ { }. : Εάν το κύκλωμα LC αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Vol σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C=. Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l= Hrny και διακόπτη Δ. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας δίνει di di 3 l Q E( ) Q, C. Όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης δηλαδή Q(), όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε di 3 i( w) dw., Για να λύσουμε εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplac και έχουμε di 3 L{ i} 3 L{ } L{ i( w) dw} L{ } L{ i} i() L{}.. Η παραπάνω σχέση γίνεται, όταν η ένταση του ρεύματος χρονική στιγμή = είναι, Li { } 5 L{ i} L{ i} 5 L{ i} 5 5 i L i 5 3 { } 3in(5 ). Εναλλακτικά, από dq di d Q i έχουμε ισοδύναμα dq 3 Q. Θεωρούμε ότι ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης, δηλαδή ισχύει Q() και ότι Q '() οπότε έχουμε d Q 3 d Q Q L{ } 5 L{ Q} 5. { } '() () 5 { } 5 {} L Q Q Q L Q L ( 5) L{ Q} L{ Q} Q( ) L { } ( 5) ( 5) Αναλύουμε σε απλά κλάσματα: 5 B C ( A B) C 5A ( 5) 5 ( 5) Από όπου έχουμε Α+Β=, C=, 5A=5 και λύνοντας Α=6, Β=-6 και C=. 33

34 Κεφάλαιο Τελικά έχουμε Q( ) 6 L { } 6 L { } 6 6co(5). 5 Παραγωγίζοντας το Q () παίρνουμε ως αποτέλεσμα την ένταση του ρεύματος που υπολογίσαμε παραπάνω Κύκλωμα RLC Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Vol), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το χρόνο δηλαδή Ε=Ε(), πυκνωτή χωρητικότητας C (Farad), πηνίο αυτεπαγωγής l (Hrny), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακόπτη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά. E ir di l Q C C R l Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας δίνει ( ) l di R i Q E( ) di Q R i E, C lc l l Από dq di d Q i έχουμε ισοδύναμα d Q R dq E( ) Q lc l l Αυτή είναι μία διαφορική εξίσωση της μορφής y '' ay ' by ( ). Είναι δηλαδή ένα πρόβλημα αρχικών τιμών δευτέρας τάξης με σταθερούς όρους το οποίο λύνουμε με τον μετασχηματισμό Laplac. d Q R dq E( ) d Q R dq lc l l lc l l d Q R dq L{ } L{ Q} L{ } L{ E( )} lc l l Q L{ } L{ Q} L{ } L{ E( )} R R L{ Q} Q() Q '() L{ Q} Q() L{ Q} L{ E( )} l l lc l όπου και λύνουμε ως προς LQ { }. Όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης δηλαδή Q(), όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα έχουμε 34

35 di R E( ) i( w) dw i lc, l l Για να λύσουμε την παραπάνω ολοκληρωτικοδιαφορική εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplac και έχουμε di R L{ i} R L{ } L{ i( w) dw} L{ i} L{ E( )} L{ i} i() L{ i} L{ E( )} lc l l lc l l και λύνουμε ως προς Li {}. : Για παράδειγμα εάν το κύκλωμα RLC αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Vol σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C=. Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l= Hrny, ωμική αντίσταση R=6 Ohm και διακόπτη Δ. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας δίνει di di 6 3 E Q l R i Q i, C. dq di d Q Από i οπότε d Q dq 5Q 8 5 Αυτή είναι μία διαφορική εξίσωση της μορφής y '' ay ' by ( ). Είναι δηλαδή ένα πρόβλημα αρχικών τιμών δευτέρας τάξης με σταθερούς όρους το οποίο λύνουμε με τον μετασχηματισμό Laplac. d Q dq d Q dq 5Q 8 5 L{ } 5 L{ Q} 8 L{ } 5 L{} L{ Q} Q() Q '() 8 L{ Q} 8 Q() 5 L{ Q} 5 L{} Από όπου μπορούμε να συνεχίσουμε και να υπολογίσουμε το φορτίο (δείτε λυμένη άσκηση 9). Εναλλακτικά, όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα έχουμε όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης οπότε Q(), di 5 i( w) dw 8 i 5, Για να λύσουμε εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplac και έχουμε di L{} i L{ } 5 L{ i( w) dw} 8 L{ i} 5 L{} L{ i} i() 5 8 L{ i} 5 L{} Η παραπάνω σχέση γίνεται, όταν η ένταση του ρεύματος χρονική στιγμή = είναι : L{ i} L{ i} L{ i} 5 8 L{ i} 5 L{} L{ i} 5 8 L{ i} ( 8 5) L{ i} 5 L{ i} L{ i} ( 8 6 9) ( 4) i 5L i 5 L i 5 in(3 ) ( 4)

36 Κεφάλαιο Όπου εκτός από τους απλούς κανόνες χρησιμοποιήσαμε τον παρακάτω κανόνα μετατόπισης: L { F ( a a a )} L { F ( )} L { F ( )} f ( ) a.5 Ασκήσεις:. Βρείτε και σχεδιάστε τη συνάρτηση Λύση ( )( ) f ( ) L, Ισχύει 3 ( )( ) οπότε η συνάρτηση είναι η : 3 f ( ) L, L u ( ) ( ) ( ) L u f Όπου f () L οπότε f ( ) L u( ) f ( ) Όπου f () L 3 οπότε f ( ) L u( 3) f ( 3) Όπου f () L οπότε ( )( ) L u f ( ) L u( )( ) 3 f ( ) L u( 3)( 3) Άρα 3 f ( ) L u( ) u( )( ) u( )( ) u( 3)( 3) Οπότε η συνάρτηση είναι: Για ισχύει f () Για ισχύει f ( ) ( ) Για 3 ισχύει f ( ) ( ) ( ) Για 3 ισχύει f ( ) ( ) ( ) ( 3) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι: 36

37 3. Βρείτε το μετασχηματισμό Laplac της ακόλουθης συνάρτησης: f f( ) < f ( ) f ( ) Λύση Για την παραπάνω περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ= οπότε έχουμε L{ f ( )} ' ' ' () Οπότε ( ) { ( )} L f 37

38 Κεφάλαιο 3. Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplac και σχεδιάστε την συνάρτηση που βρήκατε. Λύση L { } { } { } L L L { } Ανάλογα με τα είδαμε και στα παραδείγματα ο όρος μας οδηγεί να σκεφτούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική (και μάλιστα με περίοδο Ανάλογα με τα όσα είπαμε παραπάνω ισχύει: Οπότε L { } { } { } L L L { } L {...} L { } L { } L { } L { } L { }... ( ) ( ) ( 4) ( 6) ( 8)... u u u u u Άρα, για τη συνάρτηση αυτή έχουμε: f ( ) f () f () 4 f ( ) f () f (4) 4 6 f ( ) f (4) f (6) 6 8 f ( ) f (6) f (8) Φανερά το γράφημά της είναι το ακόλουθο: 38

39 f f( ) < f ( ) f ( ) Να λυθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac η διαφορική εξίσωση y '' 4y co με y(), y'(). Λύση y '' 4y co L{ y '' 4 y} L{co } L{ y ''} 4 L{ y} L{co } L{ y} y() y '() 4 L{ y} L{ y} 4 L{ y} 4 L{ y} L{ y} 4 y L { } A B C D A B A B C D C D ( ) ( ) (4 ) 4 A C B D A C B D 4 από όπου A+C=, B+D=, 4A+C=, 4B+D= οπότε Α=/3,Β=,C=-/3,D=. y L { } L { } L { } L { } L { } L { } co( ) co Να λυθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac η διαφορική εξίσωση y '' y ' 8y με y(), y'(). Λύση y '' y ' 8y L{ y '' y ' 8 y} L{} L{ y ''} L{ y '} 8 L{ y} L y y y L y y L y L y L y L y L y L y { } () '() ( { } ()) 8 { } { } { } 8 { } y L 8 { } { } 8 { } 8 39

40 Κεφάλαιο Ισχύει 8 ( )( 4) οπότε, A B ( A B) 4A B 8 ( )( 4) 4 ( )( 4) 4 L y L y Από όπου έχουμε Α+Β=, -4Α+Β=- και τελικά Β=/3, Α=/3. 4 y L { } L { } L { } Να λυθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac η διαφορική εξίσωση y '' y ' 8 y g( ) με y(), y'(), όπου g () ρεύμα εκτόνωσης 3 μονάδων παρουσιάζεται με θετική φορά τη χρονική στιγμή 4. Λύση Η διαφορική εξίσωση γράφεται ως εξής: y '' y ' 8y 3 ( 4) L{ y '' y ' 8 y} L{3 ( 4)} L{ y ''} L{ y '} 8 L{ y} 3 L{ ( 4)} 4 L{ y} y() y '() ( L{ y} y()) 8 L{ y} 3 4 L{ y} L{ y} 8 L{ y} 3 8 { } 3 { } y L { } Ισχύει 8 ( )( 4) οπότε, A B ( A B) 4A B 8 ( )( 4) 4 ( )( 4) από όπου Α+Β=, -4Α+Β=- και τελικά Β=/3, Α=/3. Επίσης 3 3 A B ( A B) 4A B 8 ( )( 4) 4 ( )( 4) από όπου Α+Β=, -4Α+Β=3 και τελικά Β=/, Α=-/. 4 4 y L { } L { } L { } L { } L { } ( 4) ( 4) ( 4) 4( 4) u u 4

41 Διότι, από γνωστή ιδιότητα ισχύει f () L. Οπότε 4 4( 4) L u( 4). 4 4 L u f ( 4) ( 4) L u( 4) 4 ( 4) όπου και παρόμοια 7. Να λυθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac η διαφορική εξίσωση y '' 3y co με y(), y'(). Λύση y '' 3y co L{ y '' 3 y} L{co } L{ y ''} 3 L{ y} L{co } L{ y} y() y '() 3 L{ y} L{ y} 3 L{ y} 3 L{ y} L{ y} 3 y L { } A B C D A B A B C D C D ( ) ( ) (3 ) 3 A C B D A C B D 3 από όπου A+C=, B+D=, 3A+C=, 4B+D= οπότε Α=,Β=,C=-,D=, y L { } L { } 3 3 L { } L { } L { } L { } co( ) co Να λυθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac η διαφορική εξίσωση y '' y ' 4y με y(), y'(). Λύση y '' y ' 4y L{ y '' y ' 4 y} L{} L{ y ''} L{ y '} 4 L{ y} L y y y L y y L y L y L y L y { } () '() ( { } ()) 4 { } { } { } 4 { } 4 { } { } { } L y L y L y y L { } y L { }

42 Κεφάλαιο y L { } y L { } y L { } L { } y co 3 in y co 3 in Έστω ένα κύκλωμα RLC το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Vol σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C=. Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l= Hrny, ωμική αντίσταση R=6 Ohm και διακόπτη Δ. Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή = είναι. Βρείτε το φορτίο και την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή >. Λύση Σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει ο νόμος του Kirchhoff δίνει d Q R dq E( ) d Q 6 dq 3 Q Q lc l l. d Q dq d Q dq 5Q 8 5 L{ } 5 L{ Q} 8 L{ } 5 L{} Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες L{ y '( )} L{ y( )} y(), L{ y''( )} L{ y( )} y() y '() αφού θέσουμε L{} και Q() Q'() 5 q Q{} Q '{} 8 L{ Q} Q() 5 L{ Q} 5 L{ Q} 8 5 Το τριώνυμο 8 5 έχει διακρίνουσα μικρότερη του μηδέν και δεν παραγοντοποιείται. Οπότε: 5 A B C A 8A 5A B C q A B 8A C 5A 8 5 Από όπου έχουμε 5A5 A 6, 8AC C 8A 48, A B B A LQ { } ( 4) 4 6 6( 4) και τελικά 4

43 6 6( 4) 4 Q( ) L { q} L { } L { } L { } ( 4) 3 6 L { } 6 L { } 8 L { } L { } 6 L { } 8 L { } 6 6 co3 8 in Όπου εκτός από τους απλούς κανόνες χρησιμοποιήσαμε τον παρακάτω κανόνα μετατόπισης: L { F ( a a a )} L { F ( )} L { F ( )} f ( ) a Παραγωγίζοντας dq() i( ) i( ) 4 co 3 8 in 3 3 in 3 4 co in 3 Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι το ίδιο (όπως φυσικά αναμέναμε αφού τα δεδομένα είναι τα ίδια) με το παράδειγμα που είδαμε παραπάνω στα κυκλώματα RLC. Ωστόσο, η διαδικασία είναι πιο επίπονη. Η αντικατάσταση της i( w) dw Q( ) πριν κάνουμε το μετασχηματισμό Laplac και η επίλυση ως προς την ένταση του ρεύματος κάνει τη διαδικασία πιο απλή.. Έστω ένα κύκλωμα LC το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε= Vol σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C=. Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l Hrny και διακόπτη Δ. Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή = είναι. Με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac βρείτε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας δίνει di di Q l Q E( ), C. Όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης δηλαδή Q(), όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε di 5 i( w) dw, Λύση Για να λύσουμε εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplac και έχουμε di L{} i L{ } 5 L{ i( w) dw} L{} L{ i} i() 5 L{} Η παραπάνω σχέση γίνεται, όταν η ένταση του ρεύματος χρονική στιγμή = είναι.: 43

44 Κεφάλαιο Li { } L{ i} 5 5 L{ i} L{ i} 5 5 { } 5 in( 5 ) 5 5 i L i. Έστω ένα κύκλωμα LC το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε= Vol, πυκνωτή χωρητικότητας C=. Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l Hrny και διακόπτη Δ. Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή = είναι. Με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac βρείτε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή. Λύση Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας δίνει di di Q l Q E( ), C. Όταν ο πυκνωτής δεν είναι φορτισμένος την στιγμή που κλείνει ο διακόπτης δηλαδή Q(), όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε di i( w) dw., Για να λύσουμε εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplac και έχουμε di L{ i} L{ } L{ i( w) dw} L{ } L{ i} i() L{ }.. Η παραπάνω σχέση γίνεται, όταν η ένταση του ρεύματος χρονική στιγμή = είναι.: Li { } L{ i} L{ i} L{ i} { } i L Αναλύουμε την έκφραση: A B C A B C C A C B C ( ) ( ) ( ) ( ) Οπότε έχουμε C C, B, A C A C Συμπεραίνουμε λοιπόν, i L { } = L { } L { } L { } co( ). Έστω ένα κύκλωμα RL το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε= in(4) Vol, πηνίο αυτεπαγωγής l=5 Hrny, ωμική αντίσταση R= Ohm και διακόπτη Δ. Η ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή = είναι. Βρείτε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή >. Λύση 44

45 di l ir E() di R E( ) di di i i in(4 ) i 4in(4 ) l l 5 5 Εφαρμόζω μετασχηματισμό Laplac di 6 6 L{ } L{ i} 4 L{in(4 )} L{ i} i() L{ i} ( ) L{ i} L{} i i L 4 ( ) 4 ( ) Αφού 6 A B C ( A B) ( C B) (6 A C) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 4 4 A A B A B A B 5 8 C B C B C B C. 5 6A C 6 6B 4B Τελικά i( ) L ( ) i L ( ) 4 5 ( ) i() L L L 5 ( ) i( ) co(4 ) in(4 ) 5 από όπου 3. Έστω ένα κύκλωμα RC το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε= 3 Vol, πυκνωτή χωρητικότητας C=/, ωμική αντίσταση R= Ohm και διακόπτη Δ. Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή = είναι. Με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplac βρείτε το φορτίο τη χρονική στιγμή >και μετά από τη σχέση που τα συνδέει βρείτε την ένταση του ρεύματος. Λύση Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff ο οποίος μας λέει ότι η ηλεκτρεγερτική δύναμη ισοφαρίζει κάθε χρονική στιγμή την πτώση τάσης στον πυκνωτή Q όπου () C Q Q είναι το φορτίο του πυκνωτή και την πτώση τάσης στην αντίσταση ir, δηλαδή: Q dq ir E( ) R Q E( ), C C 45

46 Κεφάλαιο Αφού λάβουμε υπόψη ότι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα dq ισούται με το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή, δηλαδή i. Αντικαθιστούμε και έχουμε dq 3 dq 3 dq 3 Q Q Q / dq 3 3 L{ } L{ Q} L{ } L{ Q} Q() L{ Q} L{ } ( ) L{ Q} 3 L{ Q} Q( ) L 3 3 A A x a x a x a x a Η παράσταση A B ( A B) 3A B ( )( 3) 3 ( )( 3) δίνει το σύστημα A B A B. 3A B B Τελικά Q L L ( 3) 3 ( ) ( ) παραγωγίζοντας εξάγουμε την ένταση του ρεύματος 4. Έστω το παρακάτω κύκλωμα dq 3 i( ) 6 4 A 3 Ohm Vol B I F Ohm Hrny I C I E Ohm 4 Hrny D Λύση Εφαρμόζοντας το νόμο του Kirchhoff υπολογίστε την ένταση του ρεύματος στους διάφορους κλάδους εάν το αρχικό ρεύμα είναι. 46

47 Γνωρίζουμε ότι ισχύει I I I. Εφαρμόζοντας το δεύτερο νόμο (των τάσεων) του Kirchoff στο ABCF και FCDF παίρνουμε αντίστοιχα: di di 3I I I 5I 55 di di di di I 4 I 5I I Συμβολίζω x I, y Iοπότε L{} x X και L{ y} Y Τότε x ' x 5y 55 L{ x '} L{ x 5y 55} x ' y ' 5x y L{ x ' y '} L{5 x y} L{ x '} L{ x} 5 L{ y} 55 L{} L{ x '} L{ y '} 5 L{ x} L{ y} 55 L{ x} x() L{ x} 5 L{ y} 55 L{} X X 5Y L{ x} x() L{ y} y() 5 L{ x} L{ y} X Y 5X Y ( ) X 5Y 55 ( 5) X ( ) Y Από τη δεύτερη εξίσωση βλέπουμε ότι x yκαι οπότε από την πρώτη 55 A B AB 55A 55Y 55 Y ( 55) ( 55) ( 55) από όπου παίρνουμε A, A B B A Οπότε Y I y L { } L { } L { } ( 55) ( 55) ( 55 / ) και X Y I x y 55 I I I ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη, Εκδόσεις Τζιόλα.. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Α. Αθανασιάδη, Εκδόσεις Ζήτη. 3. Laplac Tranform, Schaum Oulin 4. Advancd Enginring Mahmaic, Κ.Α. Sroud, Palgrav Macmilan 5. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Μυλωνάς Ν., Χατζαράκης Γ., Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copyrigh των εκδόσεων αυτών