Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος 1. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος flop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Απάντηση: Ο όρος flop σημαίνει floating point operation (πράξη μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής) και ορίζεται ως ο χρόνος που χρειάζεται ένας υπολογιστής για να υπολογίσει έναν πολλαπλασιασμό και μία πρόσθεση μαζί, δηλαδή ya+*y, συν τον χρόνο που απαιτείται για την ανάκτηση από την μνήμη RAM των δεδομένων που εμπλέκονται στις δύο αυτές πράξεις. Οι ποσότητες a και είναι σταθερές και γνωστές όπως επίσης γνωστή και η αρχική τιμή της ποσότητας y. To flop αποτελεί μονάδα μέτρησης της ταχύτητας του επεξεργαστή και σημείο αναφοράς όταν συγκρίνεται η ταχύτητα υπολογισμών ανάμεσα σε Η/Υ.. Με βάση το ψευδό-κώδικα epsilon = 1 DO IF (epsilon+1 1) EXIT epsilon = epsilon/ END DO Epsilon = X epsilon προσδιορίστε το ε του υπολογιστή σας. Απάντηση: Σε Visual Fortran 6.6 (Fortran 90) το αντίστοιχο πρόγραμμα είναι: program epsilon real(8):: e e=1.0 do while (e+1.0>1.0) e=e/.0 end do e=.0*e print*, e end program epsilon To οποίο δίνει αποτέλεσμα: e= e-016 στον ίδιο υπολογιστή. 1

2 3. Να υπολογισθούν οι ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης a b c 0 με a=1, b= , c=3. Οι υπολογισμοί να γίνουν ι) σε υποθετικό υπολογιστή πέντε σημαντικών ψηφίων και ιι) στον υπολογιστή σας για απλή και διπλή ακρίβεια. Οι σωστές ρίζες της εξίσωσης είναι και Εάν το σχετικό σφάλμα είναι μεγαλύτερο του 1%, εφαρμόστε τον εναλλακτικό τύπο: 1, c b b 4ac Αφού αποδείξτε τον εναλλακτικό τύπο, εξετάστε το σχετικό σφάλμα των αποτελεσμάτων και εξηγήστε γιατί τα αποτελέσματα βελτιώνονται σημαντικά. Απάντηση: Απόδειξη του δεύτερου τύπου: 1 c c b b 4 ac b b ac b b ac b b ac b b ac c b b 4 ac c b b 4 ac b b ac c b b 4 ac b b 4 ac 4 4 ac a a b b ac c c b b 4 ac ac 4 b b 4 ac b b ac b b ac b b ac c b b 4 ac c b b b b ac c b b 4 ac b b 4 ac b b 4 ac 4 ac a a.

3 Η εφαρμογή των τύπων θα γίνει: Α) Σε υποθετικό υπολογιστή 5 σημαντικών ψηφίων Β) Σε πραγματικό υπολογιστή με Πρόγραμμα Visual Fortran 6.6 (Fortran 90) για real(4) και real(8) τύπους Α. b b 4ac I) Τύπος 1, σε υποθετικό υπολογιστή 5 σημαντικών ψηφίων a Θα έχουμε διαδοχικά: α = , b = , c = b = αc = Σε αυτό το σημείο διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με τον τρόπο λειτουργίας του υποθετικού υπολογιστή: 1) Αν λειτουργεί με στρογγυλοποίηση παίρνουμε b -4αc = = * 10 7 = * 10 7 = b 4ac Οπότε 1 0 και Υπολογίζουμε τα σχετικά σφάλματα: 0 ( 0.001) 1 1*100% 100% ( 3000) 0*100% 0% 3000 ) Αν λειτουργεί με αποκοπή παίρνουμε b -4αc = = * 10 7 = * 10 7 = b 4ac * * Οπότε και Υπολογίζουμε τα σχετικά σφάλματα: 3

4 0.05 ( 0.001) 1 49*100% 4900% ( 3000) *10 *100% % 3000 ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΦΑΝΕΣ ΟΤΙ ΤΟ ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΗΣ ης ΡΙΖΑΣ ΕΙΝΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΜΕ ΤΗΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΤΟΥ Η/Υ, ΕΝΩ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΟ ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΗΣ 1 ης ΡΙΖΑΣ ΕΙΝΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ. c ΙΙ) Τύπος 1, σε υποθετικό υπολογιστή 5 σημαντικών ψηφίων. b b 4ac Θα έχουμε διαδοχικά: α = , b = , c = b = αc = Σε αυτό το σημείο διακρίνουμε ξανά περιπτώσεις ανάλογα με τον τρόπο λειτουργίας του υποθετικού υπολογιστή 1) Αν λειτουργεί με στρογγυλοποίηση παίρνουμε b -4αc = = * 10 7 = * 10 7 = b 4ac Οπότε και Δεν υπολογίζεται ( 0.001) 1 0*100% 0% ε : Δεν υπολογίζεται ) Αν τώρα ο υπολογιστής λειτουργεί με αποκοπή παίρνουμε b -4αc = = * 10 7 = * 10 7 = b 4ac * *

5 Οπότε και * Υπολογίζουμε τα σχετικά σφάλματα: ( 0.001) 1 0*100% 0% ( 3000) 0.98*100% 98% 3000 ΟΠΩΣ ΑΝΑΜΕΝΕΤΑΙ, Ο ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΒΕΛΤΙΩΝΕΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΤΟ ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΗΣ 1 ης ΡΙΖΑΣ, ΕΝΩ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΑΛΛΟΙΩΝΕΙ ΤΕΛΕΙΩΣ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ης ΡΙΖΑΣ. Β. Ι) Τύπος 1, b b 4ac με πρόγραμμα σε FORTRAN 90 a program rizes double:: a,b,c,d,1,,e1,e,1anal,anal 1anal= anal=-3000 a=1 b= c=3 D=b*b-4*a*c 1=(-b+sqrt(D))/(*a) =(-b-sqrt(d))/(*a) e1=abs((1-1anal)/1anal)*100 e=abs((-anal)/anal)*100 print*, 1,e1 print*,,e end program rizes 5

6 Για real (4): 1= E-04 e1= % = e= 0% Για real(8): 1= E-003 e1= e-006% = e= E-007% ΙΙ) 1, c με πρόγραμμα σε FORTRAN 90 b b 4ac Δημιουργούμε το αντίστοιχο πρόγραμμα αλλάζοντας στο προηγούμενο τους τύπους για τον υπολογισμό των 1 και ως εξής: 1=-(*c)/(b+sqrt(D)) =-(*c)/(b-sqrt(d)) Για real (4): 1= E-03 e1=0% = e= % Για real(8): 1= E-003 e1= e-006 = e= e-007 ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΤΩΡΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΩΝΟΝΤΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ. ΑΥΤΟ ΟΦΕΙΛΕΤΑΙ ΣΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣ ΟΤΙ Η Η/Υ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. ΒΕΒΑΙΩΣ ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΠΩΛΕΙΑ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΥΠΟ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ. Συνοψίζοντας όλα τα προηγούμενα αποτελέσματα έχουμε: Σε υποθετικό υπολογιστή με 5 σημαντικών ψηφίων: Με Στρογγυλοποίηση Τύπος: 1, 1= 0 e1= 100% = e= 0% Με Αποκοπή 1= e1= 4900% = e= % b b 4ac c Τύπος 1, a b b 4ac 1= e1= 0% =?? e=?? 1= e1= 0% = -60 e= 98% 6

7 Πρόγραμμα σε πραγματικό υπολογιστή: Fortran 90 Real(4) Real(8) Τύπος: 1, 1= e1= % = e= 0% b b 4ac c Τύπος 1, a b b 4ac 1= e1= 0% = e= % 1= e1= % = e= % 1= e1= % = e= % Συμπερασματικά, λοιπόν, παρατηρούμε ότι ο εναλλακτικός τύπος βελτιώνει σημαντικά το σχετικό σφάλμα στη ρίζα 1. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού παρακάμπτεται η ανάγκη υπολογισμού της ποσότητας b. Αντίθετα, όταν ο εναλλακτικός τύπος εφαρμόζεται στον υπολογισμό της ρίζας η ποσότητα αυτή ξαναεμφανίζεται και μάλιστα στον παρανομαστή με συνέπεια το σχετικό σφάλμα των υπολογισμών να είναι υποδεέστερο της ακρίβειας του Η/Υ. ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΒΑΣΙΚΟ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΟΥ. 1 7