Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 5 (λύσεις)

Transcript

1 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 5 λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να υπολογιστούν τα όρια 4 + n n ) n ) n n + n + ) n + 5) n 7 n+ + ) n Θεωρούµε την ακολουθία a n ), που ορίζεται από την αναδροµική σχέση a n+ = a n +και την αρχική συνθήκη a =. Να ϐρεθεί το όριό της. Λύση : i) [ 4 + n ) = + 4 n n n ) n ] = n + n + n + n + n n = =0 ) ) n ) ii) ιαιρούµε µε αριθµητή και παρονοµαστή µε τη δύναµη µε τη µεγαλύτερη ϐάση. Εχουµε : ) n + 5) n ) n ) n ) 7 = 7 n+ + ) n 7+ ) n 7 ) n = 7) n = /7) n 7+0 =0

2 iii ) Θέτουµε στο n διαδοχικά τις τιµές,,..., n και παίρνουµε τις επόµενες σχέσεις : a = a + a = a +. a n = a n + a n = a n + a n+ = a n + Πολλαπλασιάζουµε την προτελευταία σχέση µε, την αµέσως προηγούµενη µε ), την προηγούµενη από αυτήν µε ) κτλ, για να καταλήξουµε στη δεύτερη σχέση που ϑα την πολλαπλασιάσουµε µε )n και την πρώτη µε )n. Ο κανόνας είναι: ο εκθέτης του συν τον δείκτη του όρου στο δεξί µέλος της αντίστοιχης σχέσης να ισούται µε n). n ) a = n ) a + ) n n ) a = n ) a + ) n Παίρνουµε έτσι τις σχέσεις :. ) an = ) an + ) a n = ) a n + ) a n+ = a n + Προσθέτοντας κατά µέλη και διαγράφοντας τους κοινούς όρους, παίρνουµε a n+ = ) n a ++ ) ) ) n + ) n = = n + ) ) ) n + ) ) n = ) n + n ) ) Θέτοντας n αντί n, παίρνουµεa n = ) n + ) n = ) n + ) n. Εποµένως, a n = ) n + ) n ) = επειδή ) n =0). Άσκηση : ίνεται η ακολουθία a n ) ηοποίαορίζεταιαπότιςσχέσεις:a = a, a = b και a n+ = a n + a n+. Να ϐρεθεί το όριο a n. Λύση : Εχουµε a n+ = a n + a n+ a n+ a n+ = a n a n+ a n+ = a n a n+.αν ϑέσουµε δ n = a n+ a n,ϑαπάρουµεδ n+ = δ n δ n+ = δ n. Ηδ n ) είναι λοιπόν γεωµετρική πρόοδος µε λόγο και πρώτο όρο δ = β a. Ο γενικός τύπος της είναι δ n = ) n β a). Ακόµη, a n =a n a n )+a n a n )+... +a a )+a = δ n + δ n δ + a =

3 = ) n β a)+ ) n β a)+...+ ) β a)+β a)+a = [ ) n + n ) ) ] [ + β a)+a = ) ] n β a)+a. Συνεπώς a n = [ ) ] n β a)+a = β+a β a)+a =. Άσκηση : Να υπολογιστεί το άθροισµα της σειράς nn +) + ) n Λύση : Ησειρά Επίσης Το Ϲητούµενο ϑα είναι nn +) = n ) n = / / = n ) = = 0= n + n + nn +) + ) = +=4 n Άσκηση 4: Να χρησιµοποιήσετε την µέθοδο του Νεύτωνα για να ϐρείτε τον αναδροµικό τύπο της ακολουθίας που ϐασίζεται στην fx) =x a a > 0. Χρησιµοποιώντας την τιµή εκκίνησης x 0 = και a =8 υπολογίστε τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας. Σε ποιο αριθµό συγκλίνει η ακολουθία; Μετά από πόσους όρους συγκλίνει στον αριθµό αυτό µε προσέγγιση τρίτου δεκαδικού; Προαιρετικά όποιος επιθυ- µεί ας γράψει ένα πρόγραµµα Fortran ή C ++ που να κάνει τους παραπάνω υπολογισµούς και να δίνει αυτόµατα την λύση για διαφορετικές επιλογές της τιµής a. Λύση : Η µέθοδος του Νεύτωνα µας λέει ότι εάν fx) παραγωγίσιµη µπορούµε να κατασκευάσουµε µια ακολουθία, παίρνοντας ως σηµείο εκκίνησης κάποιο x 0,πουµπορείνα συγκλίνει σε κάποιο σηµείο µηδενισµού της f. Ηµέθοδοςαυτήµαςδίνειτοναναδροµικό τύπο της ακολουθίας ως εξής : x n+ = x n fx n) f x n )

4 x n+ = x n x n +8 = x x n+ = x n + 8 ) n x n Ξεκινώντας από σηµείο εκκίνησης x 0 =0και υπολογίζοντας διαδοχικά τους όρους της ακολουθίας µπορούµε εύκολα να δούµε ότι συγκλίνει στο νούµερο όπως αναµένεται από την λύση της fx) =0)καιµάλιστασχετικάγρήγορα,µετάαπό5µε6όρουςx 4 -x 5 ). Program Newton implicit none real a0:0),da,const integer n print*, Insert value of constant read*,*) Const a0)=. do,0 an)=/)**an-)+const/an-)**) da=an)-an-)! Difference between n and n- term ifda.eq.0) goto write*,*) n-,an-),n,an),da enddo continue stop end 4

5 Άσκηση 5: Βρείτε αν συγκλίνουν ή αποκλίνουν οι εξής σειρές µην χρησιµοποιήσετε κριτήριο ολοκληρώµατος): a)!n!4 n n +)!, b) sechn, c) coshn Λύση : Ηλύσηµπορείναδοθείµεδιαφορετικάκριτήρια. κριτήριο λόγου. Χρησιµοποιώπαρακάτωτο a) a n+ a n = n + )!n + )!4 n+ n!n + 4)!4 n Αφού το όριο αυτό είναι > σηµαίνει ότι η σειρά δεν συγκλίνει. b) a n+ a n = e n + e n = e n+ + e n+) e +/e n e +/e n = e/e =/e < 4n +) +/n = = 4 n +4 +4/n =4 e n +)/e n e n +)e n+) = e n+) +)/e n+) e n+) +)e = n Άρα συγκλίνει. c) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία µε παραπάνω έχουµε ότι Άρα αποκλίνει. a n+ a n = e n+ + e n+) e n + e n = e> Άσκηση 6: Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο Picard για να λύσετε τις εξισώσεις: x = x and x = x Γιατί στην πρώτη περίπτωση ϐρίσκουµε µόνο µία από τις λύσεις την x =), και στην δεύτερη περίπτωση ϐρίσκουµε µόνο την λύση x =0. Φτιάξτε και µελετήστε τα διαγράµ- µατα των σχετικών συναρτήσεων. Λύση : Στην πρώτη περίπτωση έχουµε ότι η gx) = x,εποµένωςεάνπάρουµεωςx 0 = 0.5 και εφαρµόσουµε κατέξακολούθηση την gx), παίρνουµεx = gx 0 )= 0.5, x = gx )= 0.5, κλπ.απότογράφηµατηςσυνάρτησηςgx) αλλά και από την y = x που είναι η συνάρτηση µέσω της οποίας επιλέγουµε τις διαδοχικές τιµές του x) ϐλέπουµε ότι ηδιαδικασίααυτήµαςοδηγείστητιµήx =δεν µπορούµε να ϐρούµε δηλαδή την άλλη λύση, την x =0). Αντίστοιχα αν πάρουµε την εξίσωση x = x, δηλαδήτηνgx) =x παχιά µπλε καµπύλη), τότε ϐλέπουµε ότι η µέθοδος αυτή ϑα µας οδηγήσει στην λύση x =0δεν ϑα ϐρούµε δηλαδή την άλλη λύση, δηλαδή την x =). 5

6 Σχήµα : 6