Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης

Transcript

1 Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση α. Να στρογγυλοποιηθούν οι παρακάτω αριθμοί σε 4 σημαντικά ψηφία , , 73448,,, Στρογγυλοποίηση σε 4 σημαντικά ψηφία: / / / β. Να στρογγυλοποιηθούν οι παρακάτω αριθμοί σε 3 σημαντικά ψηφία και σε 3 δεκαδικά ψηφία , , , , Στρογγυλοποίηση σε 3 σημαντικά ψηφία και 3 δεκαδικά ψηφία (3 σημαντικά) (3 δεκαδικά) γ. Δίνεται η συνάρτηση f =. Να βρεθεί το ολικό σφάλμα στο σημείο = χρησιμοποιώντας ακρίβεια το πολύ 3 σημαντικά ψηφία.

2 Το ακριβές στο οποίο πρέπει να γίνει ο υπολογισμός της f ( ) είναι =0.307 και η τιμή της υπολογίζεται ως: f ( 0.307) = = = Με χρήση 3 σημαντικών ψηφίων το σημείο υπολογισμού γίνεται =0.3. Η τιμή της συνάρτησης f ( ) χρησιμοποιώντας ακρίβεια 3 σημαντικά ψηφία υπολογίζεται ως: f = = = 3 Το ολικό σφάλμα υπολογίζεται ως: f ( ) f ε = = Άσκηση Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος flop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Βρείτε τον χρόνο που απαιτείται στον υπολογιστή σας για να εκτελέσετε Kflop, Mflop, Gflop, Tflop. Ο όρος flop σημαίνει floating point operation (πράξη μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής) και ορίζεται ως ο χρόνος που χρειάζεται ένας υπολογιστής για να υπολογίσει έναν πολλαπλασιασμό και μία πρόσθεση μαζί, δηλαδή y a+y, συν τον χρόνο που απαιτείται για την ανάκτηση από την μνήμη RAM των δεδομένων που εμπλέκονται στις δύο αυτές πράξεις. Οι ποσότητες a και είναι σταθερές και γνωστές όπως επίσης γνωστή και η αρχική τιμή της ποσότητας y. To flop αποτελεί μονάδα μέτρησης της ταχύτητας του επεξεργαστή και σημείο αναφοράς όταν συγκρίνεται η ταχύτητα υπολογισμών ανάμεσα σε Η/Υ. Πρόγραμμα για τον υπολογισμό του χρόνου που απαιτείται για την εκτέλεση n flops.

3 Program Flop implicit none real8::a,,y,ts,tf integer8::i,n print,'give ma number of flops' read,n a=. =. y=0. i= Call Cpu_time(ts) do i=,n y=a+y enddo Call Cpu_time(tf) print, 'the time needed for the evaluation of',n,' flops is' print, tf-ts,'sec' end Ο παραπάνω κώδικας δίνει τους εξής χρόνους με ακρίβεια 5 σημαντικών ψηφίων. Αριθμός flops Χρόνος (sec) Kflop=04 flops Mflop=04 flops Gflop=04 3 flops 8.88 Tflop=04 4 flops Άσκηση 3 Να υπολογισθούν οι ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης = 0. Οι υπολογισμοί να γίνουν α) σε υποθετικό υπολογιστή πέντε σημαντικών ψηφίων και β) στον υπολογιστή σας για απλή και διπλή ακρίβεια. Οι σωστές ρίζες της εξίσωσης είναι = 0.00 και = Εάν το σχετικό σφάλμα είναι μεγαλύτερο του %, εφαρμόστε τον εναλλακτικό τύπο:, c = ± b b 4ac

4 Αφού αποδείξτε τον εναλλακτικό τύπο, εξετάστε το σχετικό σφάλμα των αποτελεσμάτων και εξηγήστε γιατί τα αποτελέσματα βελτιώνονται σημαντικά. Απόδειξη του εναλλακτικού τύπου: c c b b ac c b + b ac b b ac b + b 4ac b + b 4ac b b 4ac b b + 4ac a = = = = c b + b 4ac c b b 4ac 4 = = = = c b b ac b b 4ac b b 4ac b + b 4ac b b + 4ac a α. Σε υποθετικό υπολογιστή 5 σημαντικών ψηφίων χρησιμοποιώντας τον τύπο θα έχουμε: a= b= c= b =.0000, , , ac =.000, b 4ac = , b 4ac = b ± b 4ac Με τον τύπο, = υπολογίζουμε τις δύο ρίζες και τα σχετικά σφάλματα ως: a ( 0.00) = = 0, ε = = 00% = 00% ( 3000) = = , ε = = 000% = 0% c Αντίστοιχα για, = υπολογίζουμε τις δύο ρίζες και τα σχετικά σφάλματα ως: b ± b 4ac ( 0.00) = = , ε = = 000% = 0% = = (δεν υπολογίζεται), ε : δεν υπολογίζεται Eίναι προφανές ότι με τον κλασσικό τύπο το σχετικό σφάλμα της τιμής της ης ρίζα είναι αντίστοιχο με την ακρίβεια του Υ/Η, ενώ αντίθετα το σχετικό σφάλμα της ης ρίζας είναι αρκετά μεγαλύτερο. Με την χρήση του εναλλακτικού τύπου το η ακρίβεια υπολογισμού της ης ρίζας βελτιώνεται σημαντικά ενώ η τιμή της ης ρίζα αλλοιώνεται τελείως.

5 β. Ο υπολογισμός των ριζών σε πραγματικό υπολογιστή γίνεται με το παρακάτω πρόγραμμα program rizes!apli akribeia!real4:: a,b,c,d,,,e,e,anal,anal!dipli akribeia real8:: a,b,c,d,,,e,e,anal,anal anal=-0.00 anal=-3000 a= b= c=3 D=bb-4ac!Klassikos tipos!=(-b+sqrt(d))/(a)!=(-b-sqrt(d))/(a)!enallaktikos tipos =-(c)/(b+sqrt(d)) =-(c)/(b-sqrt(d)) e=abs((-anal)/anal)00 e=abs((-anal)/anal)00 print,,e print,,e end program rizes Ο παραπάνω κώδικας μπορεί να δώσει τις ρίζες της εξίσωσης με βάση τον κλασσικό ή τον εναλλακτικό τύπο για μονή και διπλή ακρίβεια. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα: Real4 (Απλή ακρίβεια) b ± b 4ac c Τύπος:, = Τύπος:, = a b ± b 4ac = = e=.787% e= 0%

6 Real (Διπλή ακρίβεια) = e= 0% = e= % = e= % = e=.85758% = e= % = e= % Συμπερασματικά, λοιπόν, παρατηρείται ότι ο εναλλακτικός τύπος βελτιώνει σημαντικά το σχετικό σφάλμα στη η ρίζα. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού παρακάμπτεται η ανάγκη υπολογισμού της ποσότητας b + b 4ac. Αντίθετα, όταν ο εναλλακτικός τύπος εφαρμόζεται στον υπολογισμό της ης ρίζας η ποσότητα αυτή ξαναεμφανίζεται και μάλιστα στον παρονομαστή με συνέπεια το σχετικό σφάλμα των υπολογισμών να είναι υποδεέστερο της ακρίβειας του Η/Υ. Επομένως εφαρμόζεται τον κλασσικό τύπο για τον υπολογισμό της ης εναλλακτικό τύπο για τον υπολογισμό της ης ρίζας. ρίζας και τον Άσκηση 3 Οι ρίζες της εξίσωσης = 0 είναι = και = Στην παραπάνω εξίσωση b >> 4ac και ο υπολογισμός του προϋποθέτει την αφαίρεση ανάμεσα σε περίπου ίσους αριθμούς. Έστω ότι οι υπολογισμοί γίνονται σε Η/Υ που αποθηκεύονται 4 σημαντικά ψηφία. Να βρεθούν τα και και να υπολογισθεί το σχετικό σφάλμα. Στην συνέχεια να υπολογισθούν πιο ακριβή αποτελέσματα εφαρμόζοντας τον αναγωγικό τύπο b ( b 4ac) =. a b b 4ac Οι ρίζες του πολυωνύμου με βάση τον κλασσικό τύπο υπολογίζονται ως: b + b 4ac = = = = 0.05 a b b 4ac = = = = 6.09 a Τα αντίστοιχα σφάλματα με βάση τις ακριβείς ρίζες δίνονται ως:

7 ε = = = = ε = = = = % % Χρησιμοποιώντας τον εναλλακτικό τύπο για την εύρεση του έχουμε: b ( b 4ac) c = = = = = 0.06 a b b 4ac b b 4ac Ενώ το σχετικό σφάλμα είναι: ( 0.06) 4 ε = = =.7 0 = 0.07% Φαίνεται ότι ο εναλλακτικός τύπος μειώνει σημαντικά το σχετικό σφάλμα της πρώτης ρίζας καθώς παρακάμπτει την αφαίρεση μεταξύ περίπου ίσων αριθμών.