Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
|
|
- Δαμοκλής Αιθήρ Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο Δρ. Β. Σγαρδώνη
2 ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους 4. Παρεμβολή και πολυωνυμική προσέγγιση 5. Θεωρία προσεγγίσεων 6. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων 2
3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αριθμητική Ανάλυση με εφαρμογές σε Mtl και MτhemZc, των Γ. Παπαγεωργίου και Χ. Τσίτουρα, εκδ. Συμεών Αριθμητική Ανάλυση, των Κ. Κυταγιά και Λ. Βρυζίδη, εκδ. Ολυμπιάς 3
4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανάπτυξη και μελέτη βασικών αριθμητικών (υπολογιστικών) μεθόδων (αλγορίθμων) για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων (των μαθηματικών και της μηχανικής που έχουν συνεχείς μεταβλητές) Υλοποίηση των τεχνικών στον υπολογιστή μέ χρήση αριθμητικών πράξεων. Υπολογισμός προσεγγιστικών λύσεων για προβλήματα που είναι δύσκολο (ή αδύνατο) να βρούμε ακριβείς λύσεις. Μελέτη σφάλματος στην προσέγγιση των λύσεων (ακρίβεια λύσεων). 4
5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μας ενδιαφέρει η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου (αλγορίθμου) για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Τι είναι αλγόριθμος; Ø σειρά λογικών εντολών που υλοποιούν μία αριθμητική μέθοδο 5
6 ΣΤΟΧΟΣ Μαθηματική και υπολογιστική προσομοίωση φαινομένων και διεργασιών. ComptZol erodymics 6
7 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Χρήση εμπορικού λογισμικού που περιέχει αριθμητικές μεθόδους. Απαραίτητη η γνώση της βασικής θεωρείας για καλύτερη χρήση και αξιολόγηση. Οι αριθμητικές μέθοδοι αποτελούν ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Υπάρχουν προβλήματα που δεν λύνονται από έτοιμο λογισμικό και συνεπώς πρέπει να κατασκευάσουμε δικά μας προγράμματα υπολογιστικών μεθόδων. Στόχος η ü μείωση της πολυπλοκότητας (υπολογιστικής, μνήμης, υλοποίησης), ü αύξηση της ταχύτητας των υπολογισμών, ü της ακρίβειας των λύσεων και ü της ελαχιστοποιήσης των αριθμητικών σφαλματων. 7
8 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Παραδειγματα Ø MATLAB 8
9 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής & Σφάλματα στους υπολογισμούς 9
10 ΣΦΑΛΜΑ Στα περισσότερα προβλήματα (στη μηχανική) δεν μπορούμε να βρούμε τις πραγματικές, ακριβείς λύσεις Οι αριθμητικές μέθοδοι μας δίνουν προσεγγιστικές λύσεις, κοντά στις αναλυτικές (ακριβείς) Πόσο σφάλμα υπάρχει στους υπολογισμούς μας; Ποιά είναι η ανοχή σφάλματος; 10
11 Πηγές σφαλμάτων 1. Σφάλματα που προκύπτουν κατά το σχηματισμό του μαθηματικού μοντέλου 2. Σφάλματα στα δεδομένα εισαγωγής (π.χ. μετρήσεις) 3. Σφάλματα αποκοπής ή στρογγύλευσης 11
12 Ορισμός ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Απόλυτο σφάλμα (πραγματικό σφάλμα) Σχετικό σφάλμα Αν είναι μία προσέγγιση του (πραγματική τιμή), το απόλυτο σφάλμα είναι η ποσότητα ε α = και το σχετικό σφάλμα η ποσότητα ε σ = /, 0 12
13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Τι γίνεται αν δεν ξέρουμε την πραγματική τιμή ; Οι αριθμητικές μέθοδοι υλοποιούν (συνήθως) επαναληπτικές διαδικασίες για τον υπολογισμό μιάς προσέγγισης του, δηλ. για. Η +1 προσέγγιση υπολογίζεται με βάση την. Τότε ε σ = σφάλμα ε σ = +1 / +1 Επί τις εκατό (%) σφάλμα : ε σ
14 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Υπολογιστές: Δυαδική αναπαράσταση πληροφορίας 0,1! εκαδικό σύστημα (572.58) 10 = Βάση (αρίθμησης) β=10 Ψηφία : 0, 1, !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 14
15 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πως θα γραφεί ως πολυώνυμο της βάσης β ο αριθµός Χ ; ακεραιος Ενας κλασματικός αριθμός γενικά γράφεται με βαση β ως: Με α i < β, θετικούς, ακέραιους. Κ,Ν πεπερασμένα! 15
16 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Οι Η/Υ χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Έτσι, κάθε αριθμός γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός δυνάμεων του 2. Βαση 2 Δυαδικό σύστημα β=2 με ψηφια 0, 1 16
17 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Παραδείγματα (101.11) 2 = = (56702) 8 = Ένας ακέραιος σ ενα σύστημα με βάση β 1 παραμένει ακέραιος αν εκφραστεί σε άλλο σύστημα με βάση β 2 17
18 ΑΡΙΘΜΟΙ στους Η/Υ Αν έχουμε έναν Η/Υ που διαθέτει k its για την παράσταση ενός ακέραιου αριθμού, με το πρώτο να παριστάνει το πρόσημο του αριθμού (0 = Θετικός, 1 = Αρνητικός), τότε οι ακέραιοι που μπορούν να παρασταθούν από τον H/Y ανήκουν στο διάστημα [ 2 k 1, 2 k 1 1 ]. Αν ο Η/Υ διαθέτει 16 its (2 ytes) για την παράσταση των ακεραίων, οι ακέραιοι που μπορούν να παρασταθούν θα βρίσκονται στο διάστημα [ , ] = [ 32768, 32767]. 18
19 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Στη μνήμη ενός υπολογιστή είναι αδύνατο να παραστήσουμε αριθμούς με άπειρο πλήθος ψηφίων, γιατί το μέγεθος της μνήμης είναι πεπερασμένο. Αποθηκεύεται μια κατάλληλη προσέγγιση του αριθμού, η οποία εξαρτάται από το πρόβλημα που λύνουμε. 2 =
20 ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β, ορίζουμε τον αριθμό σαν Aριθμό Kινητής Yποδιαστολής ( flobg poit ) μήκους ως : X = ±(0.d 1 d 2...d t ) β e, d 1 0 οπου 0.d 1 d 2...d = το κλασματικό μέρος, γνωστό και σαν mbss e = ο εκθέτης β = βάση e : ανήκει στο διάστημα [L, U] με L - U t = καθορίζει την ακρίβεια του συστήματος και 0 d i β 1, i=2,3, Τα d 1 d 2...d t ονομάζονται σημαντικά ψηφία 20
21 ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Σημαντικά Ψηφία ενός δεκαδικού αριθμού ονομάζονται όλα τα ψηφία του αριθμού, εκτός από τυχόν μηδενικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθμού. ü Ο αριθμός ü Ο αριθμός 4.60 έχει 4 σημαντικά ψηφία έχει 3 σημαντικά ψηφία ü Ο αριθμός έχει 2 σημαντικά ψηφία Τα σημαντικά ψηφία παίζουν σημαντικό ρόλο στην εσωτερική παράσταση του αριθμού στον Η/Υ. ( ) 10 = ( ) 2 =
22 ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΗΧΑΝΗΣ Η αποθήκευση ενός αριθμού στον Η/Υ γίνεται με αριθμούς κινητής υποδιαστολής. Γιατι; Στον Η/Υ το πρόσημο, ο εκθέτης και η mzss αποθηκεύονται σε διαφορετικά πεδία μιας λέξης κινητής υποδιαστολής. Κάθε πεδίο έχει σταθερό πλάτος. 22
23 ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΗΧΑΝΗΣ Ο υπολογιστής, λόγο πεπερασμένης μνήμης, προσεγγίζει έναν πραγματικό αριθμό με κάποιον από τους λεγόμενους αριθμούς μηχανής. Οι αριθμοί μηχανής αποτελούν ένα μικρό και πεπερασμένο υποσύνολο των πραγματικών. Το σύνολο αριθμών μηχανής M(β,t,L,U) ορίζεται β = ± f β (t) β e 23
24 24
25 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ Σε έναν Η/Υ με k its για τη mfss γίνεται στρογγυλοποίηση ή αποκοπή σε k δυαδικά ψηφία : 0.d 1 d 2...d 0.d 1 d 2...d k ως εξής : Αποκοπή : Αποκόπτονται τα ψηφία d k+1,d k+2,..., d, αποθηκεύονται τα ψηφία d 1,d 2,..., d k. Στρογγυλοποίηση : Προστίθεται στον αριθμό το 2 (k+1) και απ τον νέο αριθμό αποκόπτονται τα ψηφία d k+1,d k+2,..., d και αποθηκεύονται τα ψηφία d 1,d 2,..., d k. 25
26 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ Αν m = = και k = 7, τότε Αποκοπή : m* = = = =19/32 = Στρογγυλοποίηση : m = m : Και Αποκοπή σε k = 7 ψηφία : m* = = = = 77/128 =
27 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ Να βρεθεί το απόλυτο και το απόλυτο σχετικό σφάλμα στα προηγούμενα παραδειγματα Αν m=0.6 (ο πραγματικός) με αποκοπή: Απόλυτο σφάλμα ε = m* m = = = Σχετικό σφάλμα 27
28 ΣΦΑΛΜΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Κατά τη στρογγυλοποίηση ενός δυαδικού αριθμού σε k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλμα στρογγυλοποίησης ε ισχύει : ε = * 1/2 2 k = 2 1 k Κατά τη στρογγυλοποίηση με αποκοπή ενός δυαδικού αριθμού σε k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλμα αποκοπής ε ισχύει πάντοτε: ε = * 2 k 28
29 ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΗΧΑΝΗΣ (ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ) Ένα σύνολο αριθμών μηχανής M(β,t,L,U) χαρακτηρίζεται από τη βάση β του αριθμητικού συστήματος την ακρίβεια (precisio) t =πλήθος των (επιτρεπόμενων) ψηφίων τουκλάσματος f β (mzss). το άνω, U, και κάτω, L, φράγμα του εκθέτη (epoet) e Z, (ακέραιος), δηλ. L e U με L U. Και M M(β, t, L, U) ={όλοι οι αριθµοί β = ±f β (t) β e } {0} 29
30 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Για δεδομένα β, t, L, U το σύνολο M είναι πεπερασμένο και έχει κατ άπόλυτη τιμή ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο ( 0) στοιχείο. mi { β } =(0.10 0) β β L = 1 M β βl = β L 1 m { β } = M = = 0.(β 1)(β 1) (β 1) β t k=1 t 1 k=0 (β 1) β k 1 β k t k=1 β U 1 β k β U = β U 1 1 β t β U 30
31 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Για δεδομένο εκθέτη e η απόσταση, (e) β, μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών (με τον ίδιο εκθέτη) του M είναι σταθερή. Η απόσταση μεταξύ δύο (οποιονδήποτε) διαδοχικών στοιχείων του M δεν είναι σταθερή, λόγω της μεταβολής του εκθέτη e. Έστω M (2, 4, 1, 3) με β=2 τότε : (2) 2 =(0.0001)2 2 = = 1 4, (3) 2 =(0.0001)2 3 = =
32 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Οι παραστάσιμοι αριθμοί είναι πυκνά κατανεμημένοι κοντά στο μηδέν και αραιά κατανεμημένοι μακρυά από το μηδέν. Η διάθεση περισσότερων ψηφίων, t, για την παράσταση της mzss f, αυξάνει την πυκνότητα των αριθμών μηχανής, ενώ για παράσταση του εκθέτη, e, έχει σαν αποτέλεσμα την αύξηση του διαστήματος παραστασής τους. Το πλήθος των αριθμών με τον ίδιο εκθέτη, e, είναι ανεξάρτητο του e και ίσο με 2(β 1)β t 1. Το πλήθος όλων των στοιχείων του M είναι ίσο με 2(U L + 1)(β 1)β t 1. 32
33 33
34 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΗΧΑΝΗΣ Εάν ϑέλουµε να παραστήσουµε R και < mi M { β } τότε δεν υπάρχει αριθµός µηχανής για να τον παραστήσει και η κατάσταση χαρακτηρίζεται ως υπεκχείλιση (derflow) Εάν ϑέλουµε να παραστήσουµε R και > m M { β } τότε δεν υπάρχει αριθµός µηχανής για να τον παραστήσει και η κατάσταση χαρακτηρίζεται ως υπερχείλιση (overflow) 34
35 προσ ημο ΒΑΣΗ (M_ss) ΕΚΘΕΤΗΣ Στο δυαδικό με β=2 η υποδιαστολή στο 1 ο ψηφίο και πρόσημο στο 1 ο : Η Βαση Β: <= Β <= για θετικούς. Και για ν ψηφία στον εκθέτη Ε: - (2 ν- 1-1) < Ε < 2 ν
36 Παραδείγματα Για 5 ψηφία στην βάση ο μέγιστος θετικός αριθμός είναι και ο εκθέτης με 4 ψηφία (το 1 ο για πρόσημο) Μέγιστος εκθέτης 0111 = 7, δηλ. 2 7 Π.χ = ( ) = =
37 Αριθμοί Κινητής Υποδιαστολής Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί μόνο με δεκαδικό μέρος (ακέραιο μέρος = 0), αφού πολλαπλασιαστεί με κατάλληλη δύναμη της βάσης του αντίστοιχου αριθμητικού συστήματος. Π.χ = = Αριθμός κινητής υποδιαστολής X = ±(0.d 1 d 2...d ) β ε, d 1 0 β = βάση του συστήματος 0.d 1 d 2...d = κλασματικό μέρος ή mbss, με d
38 Σημαντικά ψηφία Τα d1,d2,..., d καλούνται σημαντικά ψηφία του αριθμού. Σημαντικά Ψηφία (σ.ψ.) ενός δεκαδικού αριθμού ονομάζονται όλα τα ψηφία του αριθμού, εκτός από τυχόν μηδενικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθμού. Π.χ έχει 4 σημαντικά ψηφία 4.60 έχει 3 σημαντικά ψηφία έχει 2 σημαντικά ψηφία Τα σημαντικά ψηφία παίζουν ρόλο στην αναπαράσταση ενός αριθμού σττους Η/Υ. 38
39 Σημαντικά Ψηφία Ενας αριθμός Χ προσεγγίζει τον Χ με d σημαντικά ψηφία αν d είναι ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει X= Με 2 σ.ψ. X =3.14 : - / = < 10-2 /2 X =3.141? 39
40 Στρογγυλοποίηση Δεκαδικού Κατά τη στρογγυλοποίηση ενός δεκαδικού αριθμού σε k δεκαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλμα στρογγυλοποίησης ε ισχύει : ε = * 1/2 10 k Δηλαδή για 2 δεκαδικά ψηφία το σφάλμα θα είναι έως 1/2 1/100 Στη στρογγυλοποίηση ενός αριθμού σε k δεκαδικά ψηφία, παραλείπουμε τα ψηφία από την k + 1 θέση και μετά. Το ψηφίο της k θέσης το αφήνουμε όπως είναι ή το αυξάνουμε κατά μια μονάδα, αν το μέρος που παραλείπεται είναι μεγαλύτερο από μισή μονάδα της k δεκαδικής τάξης. Στην περίπτωση που το μέρος που παραλείπεται είναι ακριβώς μισή μονάδα της k... Π.χ. = στογγυλοποίηση σε k = 2 δ. ψ. *= 0.37, ε= = <1/ =
41 Σφάλματα στη παράσταση αριθμών μηχανής Εστω ενας αριθμός =q β k, που έχει περισσότερα σημαντικά ψηφία απ το επιτρεπόμενο πλήθος ψηφίων, t, στο σύστημα παράστασης αριθμών μηχανής. Ποιός είναι ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής M στον ; Αν θεωρήσουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς μηχανής ʹ, ʹ ʹ, μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο, τότε συμβαίνει μια από τις δύο περιπτώσεις: 41
42 Σφάλματα στη παράσταση Στην περίπτωση (α) ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής είναι ο ʹ και βρίσκεται αν αποκοπούν τα ψηφία d t+1 από το δεκαδικό τμήμα του, δηλ. ʹ =(0.d1d2d3...dt) β k Στην περίπτωση (β) ο πλησιέστερος αριθμός μηχανής είναι ο ʹ ʹ και βρίσκεται αν προστεθεί η ποσότητα ( ) = β t στο t δεκαδικό ψηφίο του, δηλ. ʹ ʹ =((0.d1d2d3...dt) + β t ) β k Ισχύει ότι - = β k-t : απόσταση διαδοχικών αρ. μηχανής 42
43 Σφάλματα στη παράσταση Στην περίπτωση β) - <= ½ - = ½ β k-t Και το απόλυτο σχετικό σφάλμα στην παράσταση του Και στην περίπτωση α) για το σφάλμα αποκοπής είναι - / <= β 1 t 43
44 Μετάδοση σφαλμάτων στους υπολογισμούς Τα σφάλματα μεταδίδονται κατά την εκτέλεση των 4 πράξεων. Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του αθροίσματος ή της διαφοράς 2 ή περισσότερων αριθμών ισούται με το άθροισμα των απολύτων σφαλμάτων αυτών των αριθμών. %! % & % ( % ' * * * * & y! ( & y ) $ ( & y )! ( $ ) & ( y $ y ) y % y 44
45 Μετάδοση σφαλμάτων Παράδειγµα Εστω υπολογιστής µε M(10, 5, 10, 10) και, y R µε = fl() = t=5 y = fl(y) = = fl()+fl(y) = z = fl fl()+fl(y) = ( ο αριθµός στον Η/Υ) Οµως + y = (= z = fl( + y) = fl()+fl(y)) 45
46 Παράδοξοι υπολογισμοί = 1, = , c = ( + ) + c = 1! +(+c) = ! 46
47 Παράδοξα Εστω υπολογιστής µε M(10, 5, 10, 10) Αν = ( M) τότε fl(1 + ) =fl( ) = =1, δηλ. 1+ =1!!! Αυτό ϑα ισχύει R µε 0 << Γενικά R µε 0 <<= 1 2 β1 t. είναι λύση! της 1+ =1 Στον υπολογιστή υπάρχει ένα όριο κάτω από το οποίο οι αριθµοί είναι αµελητέοι, πρακτικά «µηδέν» για την πρόσθεση Το όριο αυτό λέγεται µηδέν ή έψιλον της µηχανής (eps) 47
48 Σφάλματα στις προσθέσεις Παράδειγμα: έστω = και y = y = 1000 Σε υπολογιστή με M (10, 5, 10, 10) και στρογγύλευση : z = fl(fl() + fl(y)) = 0 48
49 Παράδειγμα: Έστω = και y = τότε + y = Σε υπολογιστή με M (10, 5, 10, 10) και στρογγύλευση : z = fl(fl()+fl(y)) = fl( ) = = σ = z ( + y) + y = Η εμφάνιση των μηδενικών οφείλεται στη «ακύρωση» των ψηφίων.451 και τη μετατροπή σε αριθμό μηχανής : απώλεια σημαντικών δεκαδικών ψηφίων. 49
50 Διαδιδόμενο σφάλμα Αποφυγή καταστροφικής ακύρωσης! Να μην κάνουμε αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθμών. Εστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το S =1+ k=1 1 k 2 + k = αράδειγµα =1999 =19 Τότε για παράδειγμα S 999 = 1.999, S 9999 =
51 Διαδιδόμενο σφάλμα Αλγόριθμος 1 S0 =1, S k = S k k(k+1), Αλγόριθμος 2 S 0 = 1 (+1), 1 S k = S k 1 + S = S 1 +1 ( k)( k+1) k =1, 2...,, k =1,..., 1, 51
52 Αλγοριθμικό σφάλμα Σε υπολογιστή µε M(10, 10, L,U) Αλγόριθµος 1 Αλγόριθµος Αλγόριθμοι Ευσταθείς και Ασταθείς 52
53 Μετάδοση σφάλματος στον Πολλαπλασιασμό Το μέγιστο απόλυτο σχετικό σφάλμα του γινομένου 2 ή περισσότερων αριθμών ισούται με το άθροισμα των απολύτων σχετικών σφαλμάτων αυτών των αριθμών. 53
54 Υπολογιστική Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων ΜΕΡΟΣ 2 Ο 54
55 Σύστημα γραμμικών εξισώσεων Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με αριθμό εξισώσεων, όσος και ο αριθμός των αγνώστων Πολύ συνηθισμένο πρόβλημα! ΑΧ = Β Α τετραγωνικός πίνακας τάξης B διάνυσμα- στήλη των σταθερών όρων, μήκους Χ διάνυσμα αγνώστων 55
56 Βασικές έννοιες πινάκων Πίνακες Πίνακας στήλη/γραμμή ή διάνυσμα Πρόσθεση πινάκων Πολλαπλασιασμός Ε=ΑΒ : (mq) X (q) = m 56
57 Σύστημα εξισώσεων!!!!!!!!!! 57 A A #### ######### #################### $#### $####!!!!!!!! Σε μορφή πινάκων ####A
58 Επίλυση συστήματος Αν η ορίζουσα του πίνακα det(α) 0 τότε το σύστημα έχει μια λύση Aν υπάρχει ο αντίστροφος του Α : Α - 1, το σύστημα έχει μια λύση Γραμμική άλγεβρα επίλυση με μέθοδο Crmer Υπολογιστικός φόρτος οδηγεί στην χρήση Υπολογιστικων μεθόδων : Ø ΑΜΕΣΕΣ Ø ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 58
59 Αλγόριθμοι επίλυσης συστημάτων 9! 9! 5 6!!! 59
60 Μέθοδος Crmer 3-$45-6 A * $ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 # i )%%%%% A i &'( Ai &'( A * %%%% i $# 77 '891 ':')1; <<'89=7=) $ # i$ i$ ) 60
61 Εύρεση αντίστροφου?? 6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A i e 6 i %%% i A $ $# %%%%% %%%%%% A $ $ # 7 6 A1B/)))/191/)))/1C ; ' 61
62 Χρήση τριγωνικού πίνακα 6 73 ) $*::7) ) U $$ $# $ ## # L l l l $$ #$ $ l l ## # l 62
63 Μέθοδος απαλοιφής Gss Ο πίνακας Α γραφεται ως Οπότε (LU) = Α = LU Και Ly = αν U = y Οπότε για να βρεθει το αρκεί να λυθεί U = y Το οποίο επιλύεται εύκολα! 63
64 Λύση τριγωνικού συστήματος 4 5 U # # # # ## %$$$$$ $%$$$ & & & $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $$$$$$$$$$ # # # # ## $$$$$ $$$$ U 64 Εστω
65 Λύση τριγωνικού συστήματος # # # # # # $ % &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& $ % ' ' ' ' ' ' 65
66 Παράδειγμα # ' ' #!)( ' *$$$$$ '$$$$$ '( #! )( '( ' ' ' ' ' # ' # * # *,, #+ + # # 66
67 Αλγόριθμος 4 &&&&&&&&& ( k && k ' k jk #' ' kk kj j 67
68 Μέθοδος απαλοιφής Gss Αποτελεσματική Αμεση υπολογιστική μέθοδος 1. Φάση Τριγωνοποίησης του συστήματος 2. Φάση οπισθοδρόμησης (ή πίσω- αντικατάστασης) ;$*<<4 411! # $%&)) #' (&$ ) 4 =6 71>01 ) 68
69 Τριγωνοποίηση: Βήμα 1 ο i m m m m m m m i i #$$$# #%%%% #%%%%%% & &!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 69 α 11 0 και μεγαλύτερο των α i1 με ανταλλαγή γραμμών Επαύξηση του πίνακα Α με στηλη Πολ/ζω την γραμμή 1 με τον συντελεστή m i1 και μετά την αφαιρώ από την γραμμή 2 μέχρι για να απαλοιφθεί το 1 απ τη γραμμή 2 μεχρι.
70 Βήμα 2 ο!!!!!! & & i m m m m m m m i i '#$$$# #%%%% #%%%%%% & & & & & ' '! '! ' ' ' ' ' ' '' '!!'!!! 70 α 22 0 με ανταλλαγή γραμμών Απαλοιφή του 2 απο την γραμμή 3 μεχρι K.O.K.
71 Φάση οπισθοδρόμησης βήματα για αγνώστους Στην συνέχεια οι άγνωστοι i υπολογίζονται με την οπισθοδρόμηση Ξεκινάμε με το και τελευταίο βρίσκεται το 1 71
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης
1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ
HY23. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Επιστημονικοί Υπολογισμοί
Διαβάστε περισσότεραΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότερα1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα
Γ. Γεωργίου, Αριθμητική Ανάλυση 1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Στην παράγραφο αυτή καλύπτουμε πρώτα γενικά το θέμα της αριθμητικής υπολογιστών και στην συνέχεια διαπραγματευόμαστε την έννοια του
Διαβάστε περισσότερα2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα
2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν
Διαβάστε περισσότερα1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)
Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Β Παράσταση Προσημασμένων
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης
Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.
Διαβάστε περισσότεραΕπιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη)
Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Ασχολoύνται με την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων και με τεχνικές ποσοτικής ανάλυσης και τη χρήση υπολογιστών για την ανάλυση και την επίλυση επιστημονικών
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0
Δεκαδικό Όταν αναφερόμαστε σε μία αριθμητική τιμή, απεικονίζουμε μία ποσότητα με ένα σύμβολο ή έναν συνδυασμό από σύμβολα. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό. Αποτελείται από δέκα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικό Σύστημα Αρίθμησης
Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων
Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικά Συστήματα
Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 57 Αριθµητική Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότερα1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕπιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης
Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1
Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Πληροφορική
αρ χή Εισαγωγή στην Πληροφορική Σημειώσεις Παράρτημα 1 Οδηγός μελέτης για τις εξετάσεις 12/1/2017 μπορεί να συμπληρωθεί τις επόμενες μέρες Μάριος Μάντακας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ηπείρου
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότερα! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠράξεις με δυαδικούς αριθμούς
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.
Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης
Διαβάστε περισσότερα1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα
1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 2 Τεχνολογία
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική υπολογιστών
Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 10. 10 ψηφία: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα
Διαβάστε περισσότεραΠιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.
i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical
Διαβάστε περισσότερα1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή
1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή
Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,
Διαβάστε περισσότεραÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης
Διαβάστε περισσότεραΕλίνα Μακρή
Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Αριθμητικά Συστήματα. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Αριθμητικά Συστήματα Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Μπακάλης Πάτρα, Φεβρουάριος 2009 Αριθμητικά Συστήματα Δεκαδικό Σύστημα: Βάση το 10, ψηφία 10 και συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη µορφή συµπληρώµατος ως προς δύο
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση
Διαβάστε περισσότεραΣφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα
Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραLinear Equations Direct Methods
Lier Equtios Direct ethods Πέμπτη, Μαΐου 5 :8 πμ 5.5. Σελίδα 5.5. Σελίδα 5.5. Σελίδα 3 5.5. Σελίδα 4 5.5. Σελίδα 5 Lier Equtios - Direct ethods Δευτέρα, 5 Μαΐου 5 5:5 μμ 5.5.5 Σελίδα 5.5.5 Σελίδα 5.5.5
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραB Γυμνασίου. Ενότητα 9
B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Υπολογιστές
Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 9: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο
Διαβάστε περισσότεραΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους
ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότερα10-δικό δικό
Προγραμματισμός Η/Υ - Ι Εαρινό Εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Αριθμητικά Συστήματα 1. Εισαγωγή Όπως γνωρίζουμε, οι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα για την αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ
Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2017-2018 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 03 ΟΚΤ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότερα7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.
ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση Υπολογιστών
Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση
Διαβάστε περισσότεραΠραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ
Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή, ακρίβεια και σφάλματα υπολογισμών Σύνοψη Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάλυσης και εξετάζεται το θέμα της ακρίβειας και των σφαλμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Πράξεις με μπιτ
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη μορφή συμπληρώματος ως προς δύο
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών
Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. α i. (α i β i ) (1.3) όπου: η= το πλήθος ακεραίων ψηφίων του αριθμού Ν. n-1
1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 Εισαγωγή Το δεκαδικό σύστημα (Decimal System) αρίθμησης χρησιμοποιείται από τον άνθρωπο και είναι κατάλληλο βέβαια γι αυτόν, είναι όμως εντελώς ακατάλληλο για τις ηλεκτρονικές
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ. Ακαδ. έτος
½ ½ ÈÐ ÖÓ ÓÖ Á Javaµ Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Ακαδ. έτος 2007 2008 ¾ È Ö Õ Ñ ÒÓ Ñ Ñ ØÓ Εισαγωγή στην πληροφορική με έμφαση σε: αρχιτεκτονική και αριθμητική υπολογιστών αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων βασικές
Διαβάστε περισσότερα