ΦΥΣ Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα"

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται σε μετρήσεις. Κάθε μέτρηση όσο προσεκτικά και αν έχει πραγματοποιηθεί περιέχει μια αβεβαιότητα q Όλη η δομή και εφαρμογή των επιστημών στηρίζονται σε πείραμα και επομένως μετρήσεις. Η ικανότητα να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα των μετρήσεων και να περιορίσουμε το μέγεθός τους είναι ιδιαίτερα σημαντικό αν θέλουμε να εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα q Η μεθοδολογία, τα όργανα που χρησιμοποιούνται αλλά και μεις οι ίδιοι δεν είμαστε αλάνθαστοι με αποτέλεσμα οι μετρήσεις που παίρνουμε συνοδεύονται πάντοτε με κάποια αβεβαιότητα που ονομάζεται πειραματικό σφάλμα της μέτρησης q Το σφάλμα αντιπροσωπεύει την διαφορά της μετρούμενης ή υπολογιζόμενης τιμής ενός μεγέθους από την αληθινή τιμή του μεγέθους αυτού

2 Σφάλματα μετρήσεων ΦΥΣ Διαλ.01 2 q Είναι σημαντικό σε όλες τις επιστήμες: Ø να σχεδιάσουμε και να πραγματοποιήσουμε κάποιο πείραμα Αλλά περισσότερο σημαντικό Ø να κατανοήσουμε τους περιορισμούς που επιβάλει ο σχεδιασμός του και οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση διαφόρων φυσικών μεγεθών q Το να καταλάβουμε τα πειραματικά σφάλματα και πως μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε είναι απαραίτητο αν θέλουμε να συγκρίνουμε θεωρητικά και πειραματικά αποτελέσματα και να εξάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα

3 ΦΥΣ Διαλ.01 3 Γιατί τόσο σημαντική η γνώση του σφάλματος? q Έστω ότι έχετε κάποιο πολύτιμο νόμισμα το οποίο θέλετε να βρείτε άν είναι χρυσό ή κάποιο άλλο κράμα μετάλλων. Ξέρετε ότι η πυκνότητα του χρυσού είναι 15.5γρ/cm 3 ενώ του κράματος είναι 13.8γρ/cm 3. Καλείτε 2 ειδικούς οι οποίοι μετρούν με κάποια μέθοδο τη πυκνότητα του νομίσματος: [ ] [ ] Ø A ειδικός: Η πυκνότητα είναι 15 και σίγουρα στο διάστημα: 13.5! 16.5 Ø Β ειδικός: Η πυκνότητα είναι 13.9 και σίγουρα στο διάστημα: 13.7! 14.1 q Η μέτρηση του Β ειδικού είναι περισσότερο ακριβής αλλά η μέτρηση του Α ειδικού είναι επίσης σωστή. Οι δυό μετρήσεις είναι συμβατές στα όρια της ακρίβειας της κάθε μέτρησης. Επομένως και οι δυό μετρήσεις μπορούμε να υποθέσουμε (και πιθανόν) είναι σωστές. q Η μέτρηση του Α ειδικού δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμη ωστόσο Η αβεβαιότητα είναι πολύ μεγάλη και περιέχει και τις δυο τιμές που θέλουμε να υπολογίσουμε Επομένως δεν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο συμπέρασμα q Η μέτρηση του Β ειδικού δείχνει ότι το νόμισμα δεν είναι χρυσό. Η πυκνότητα του κράματος (13.8γρ/cm 3 ) περιέχεται στην αβεβαιότητα της μέτρησης q Ο Β ειδικός θα πρέπει να δώσει επιχειρήματα που να πείθουν για το μέγεθος της αβεβαιότητας της μέτρησής του. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό q Χωρίς τη γνώση των αβεβαιοτήτων των 2 μετρήσεων τα αποτελέσματα θα ήταν άχρηστα και συγκρουόμενα: Ο Α ειδικός λέει ότι είναι χρυσό και ο Β το αντίθετο

4 ΦΥΣ Διαλ.01 4 Σφάλματα To σφάλμα είναι ανθρώπινο. To να περιγράψουμε το σφάλμα σωστά είναι μια μορφή τέχνης Oι φυσικές επιστήμες χωρίζονται σε 2 κλάδους: θεωρία και πείραμα Ο τρόπος που οι 2 κλάδοι εξετάζουν αριθμητικά αποτελέσματα είναι σημαντικά διαφορετικός. Σώμα το οποίο πέφτει υπό την επίδραση Παράδειγμα της βαρύτητας κινείται με σταθερή επιτάχυνση g=9.8m/s 2 Η πρόταση αυτή είναι απολύτως αποδεκτή όταν λύνουμε κάποιο πρόβλημα. Ωστόσο όταν κάνουμε κάποια μέτρηση είναι ημιτελής. Η επιτάχυνση g είναι 9.7 ή 9.9 m/s 2? Είναι πιο κοντά στο ή στο m/s 2? Όλοι ξέρουμε ότι η επιτάχυνση g μεταβάλεται με το ύψος από την επιφάνεια της γης. Εξαρτάται ακόμα από το γεωγραφικό πλάτος. Ακόμα περισσότερο η μέτρηση μιας φυσικής ποσότητας (όπως το g) εξαρτάται από τα όργανα που χρησιμοποιούμε και κανένα όργανα δεν είναι τέλειο. Επομένως είναι αδύνατο να γνωρίζουμε ακριβώς τη τιμή της επιτάχυνσης g

5 ΦΥΣ Διαλ.01 5 Σφάλματα Από πειραματική άποψη η προηγούμενη πρόταση θα ήταν σωστή ως: Μια μπάλα 5gr που αφήνεται ελεύθερη να πέσει υπό την επίδραση της δύναμης της βαρύτητας από ύψος 1.0 ± 0.1m από την επιφάνεια του εδάφους μετρήθηκε ότι κινείται με σταθερή επιτάχυνση g = 9.81 ± 0.03m / s 2 H μέτρηση πραγματοποιήθηκε στο εργαστήριο Β212 του Πανεπιστημίου Κύπρου στη Λευκωσία στις 15:00 τη Πέμπτη 8 Σεπτεμβρίου Ο αριθμός που εμφανίζεται στα δεξιά του συμβόλου ± προσδιορίζει το σφάλμα της μέτρησης. Την αβεβαιότητα (ή βεβαιότητα) της μέτρησης. Σημαίνει ότι η πραγματική τιμή του μεγέθους που μετρούμε βρίσκεται μεταξύ των τιμών g-δg και g+δg g - Δg g g + Δg Προσοχή: Το σωστό πείραμα είναι αυτό που έχει εκτελεσθεί σωστά και επομένως Το σφάλμα σε μια πειραματικά μετρούμενη ποσότητα δεν μπορεί ποτέ να βρεθεί σε κάποιο βιβλίο ή σε κάποια ιστοσελίδα

6 Aβεβαιότητα - (uncertainty) ΦΥΣ Διαλ.01 6 Μιλήσαμε για σφάλματα (errors), δηλώνοντας ότι δείχνουν ασυμφωνία μεταξύ της μετρούμενης τιμής ενός φυσικού μεγέθους και της πραγματικής τιμής του. Ωστόσο ο στόχος της επιστημονικής έρευνας είναι να βρει κάτι νέο, τη τιμή του οποίου δεν γνωρίζουμε από πριν. Επομένως δεν μπορούμε να κάνουμε αναφορά σε πραγματική τιμή ενός μεγέθους και επομένως ο ορισμός του σφάλματος δεν ισχύει. Ο πραγματικός επιστήμονας που ανακαλύπτει κάτι υποθέτει πάντοτε ότι το πείραμά του δεν έχει σφάλμα μέτρησης. Υπάρχει πάντα αυτή η πιθανότητα και πάντοτε μια μέθοδος αναλύεται διεξοδικά για αποφυγή σφάλματος μέτρησης Αργότερα, επαναλαμβάνοντας μια μέτρηση μπορεί να ανακαλυφθεί κάποιο σφάλμα αλλά αρχικά δεν υπάρχει κάποιος οδηγός για σύγκριση με την πραγματική τιμή. Αβεβαιότητα μιας μετρούμενης τιμής είναι το διάστημα γύρω από την μετρούμενη τιμή τέτοιο ώστε η επανάλειψη της μέτρησης θα δώσει ένα αποτέλεσμα το οποίο περικλείεται στο διάστημα αυτό Το διάστημα αυτό δηλώνεται από τον ερευνητή σύμφωνα με προκαθορισμένες αρχές υπολογισμού της αβεβαιότητας. Η αβεβαιότητα είναι o σημαντικός όρος που επιτρέπει τους επιστήμονες να κάνουν πλήρως βέβαια συμπεράσματα

7 Αβεβαιότητα ΦΥΣ Διαλ.01 7 Έστω ότι κάποιος συνάδελφός σας μέτρησε ότι το πάχος ενός βιβλίου είναι 8.53±0.08cm. Δηλώνοντας την αβεβαιότητα (0.08) πιστοποιεί ότι οποιαδήποτε μέτρηση του πάχους του βιβλίου θα δώσει μια τιμή στο διάστημα cm Αν σας έλεγε ότι το βιβλίο έχει πάχος 8.53 cm τότε η πληροφορία αυτή είναι ελλειπής μια και δεν έχετε γνώση των περιορισμών του οργάνου μέτρησης. Δεν μπορείτε να συζητήσετε για σφάλμα στην περίπτωση αυτή και δεν θα μιλήσετε με σιγουριά για το αποτέλεσμα. Χρειάζεται πάντοτε να ορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης (confidence interval) και τότε μπορείτε να εκφράσετε οτιδήποτε με εμπιστοσύνη που κάποιος επιστήμονας θα πρέπει να συμφωνήσει μαζί σας. O απώτερος σκοπός είναι να κάνετε το διάστημα αυτό όσο το δυνατό μικρότερο και αυτό επιτυγχάνεται με εμπειρία. Αβεβαιότητα επομένως μιας αναφερόμενης μέτρησης είναι το διάστημα εμπιστοσύνης γύρω από την μετρούμενη τιμή τέτοιο ώστε η μετρούμενη τιμή δεν μπορεί να βρίσκεται έξω από αυτό Η αβεβαιότητα μπορεί να δοθεί και σα πιθανότητα. Στη περίπτωση αυτή η μετρούμενη τιμή έχει τη δηλώμενη πιθανότητα να βρίσκεται στο διάστημα εμπιστοσύνης.

8 ΦΥΣ Διαλ.01 8 Aκρίβεια και πιστότητα μέτρησης q Πιστότητα (accuracy) ενός πειράματος μέτρησης μιας ποσότητας είναι το μέτρο του πόσο κοντά στην αληθινή τιμή της φυσικής ποσότητας βρίσκεται το αποτέλεσμα q Ακρίβεια (precision) ενός πειράματος μέτρησης μιας ποσότητας υποδηλώνει κατά πόσο διαδοχικές μετρήσεις συμπίπτουν ή επαναλαμβάνονται και αναφέρεται στη διακριτική ικανότητα (resolution) της μέτρησης. Η διακριτική ικανότητα δείχνει πόσο στενά είναι τα όρια στα οποία προσδιορίζεται το μετρούμενο μέγεθος (α) (β) Πιστό και ακριβές (γ) (δ) Ακριβές αλλά όχι πιστό Πιστό αλλά όχι ακριβές Ούτε ακριβές και ούτε πιστό

9 Είδη σφαλμάτων q Ακούσια ή απαράδεκτα σφάλματα Έλλειψη προσοχής Λανθασμένη ανάγνωση ή καταγραφή μετρήσεων Λάθη πράξεων Ανώμαλες πειραματικές συνθήκες q Συστηματικά σφάλματα ΦΥΣ Διαλ.02 9 Ø Στην περίπτωση αυτή, οι μετρήσεις πρέπει να επαναληφθούν ή αν είναι μέρος μιας σειράς μετρήσεων τότε η συγκεκριμένη μέτρηση παραλείπεται Σφάλματα οργάνων μέτρησης (π.χ. λάθος βαθμονόμηση οργάνου μέτρησης) Σφάλματα περιβάλλοντος (π.χ. Θερμοκρασία, πίεση, μαγνητικό πεδίο της γης, μη ακριβές θεωρητικό μοντέλο) Σφάλματα θεωρητικής φύσης q Στατιστικά ή τυχαία σφάλματα Σφάλματα που εισέρχονται κατά τη διάρκεια μιας μέτρησης και έχουν σαν αποτέλεσμα να μετρούμε είτε μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή από τη πραγματική. π.χ. ο χρόνος αντίδρασής μας στη μέτρηση χρόνου με ένα χρονόμετρο Τα υπολογίζουμε και ελαττώνουμε με πολλαπλές μετρήσεις αλλά δεν μπορούμε να αποφύγουμε υπάρχουν πάντα

10 ΦΥΣ Διαλ Συστηματικά σφάλματα Σφάλματα παρατήρησης (π.χ. ανάγνωση οργάνου - έμμεση ή άμεση εξάρτηση από τον ανθρώπινο παράγοντα) Συνήθως απαλείφονται με την επανάληψη της μέτρησης από άλλους παρατηρητές Η μέτρηση στο διπλανό σχήμα δείχνει να υποφέρει από κάποιο σφάλμα: Ο παρατηρητής μάλλον χρειάζεται να καθαρίσει τα γυαλιά του γιατί η μέτρηση που κάνει δεν διαβάζεται καθαρά Η μέτρηση δηλαδή έχει προτίμηση (bias) εξαιτίας του παρατηρητή. Επανάληψη της μέτρησης από άλλους παρατηρητές ουσιαστικά θα μας δώσει μια κατανομή τιμών γύρω από την αληθινή τιμή Τα συστηματικά σφάλματα δεν αναγνωρίζονται εύκολα και ο προσδιορισμός τους είναι πολλές φορές επίπονος Ονομάζονται συστηματικά σφάλματα γιατί το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι πάντοτε μετατοπισμένο προς μια κατεύθυνση σχετικά με την αληθινή τιμή του μετρούμενου μεγέθους (προς τα πάνω ή προς τα κάτω) Τα συστηματικά σφάλματα επηρεάζουν την πιστότητα (accuracy) ενός πειράματος

11 ΦΥΣ Διαλ Στατιστικά ή τυχαία σφάλματα Τα σφάλματα αυτά εμφανίζονται ακόμα και όταν έχουν απαλοιφεί τα συστηματικά και ακούσια σφάλματα ή έχουν ληφθεί υπόψη Προέρχονται από συνδυασμό διαφόρων αιτιών όπως και τα συστηματικά σφάλματα αλλά ο τρόπος με τον οποίο επηδρούν σε μια μέτρηση είναι τυχαίος Τα σφάλματα αυτά δεν είναι ή δεν φαίνονται να είναι συνδεδεμένα με κάποια αιτία και δεν επαναλαμβάνονται αλλά είναι τυχαία Εξαιτίας τους η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους μπορεί να δώσει τιμή μεγαλύτερη της αληθινής ενώ η επανάληψη της μέτρησης μπορεί να δώσει κάποια μικρότερη τιμή της αληθινής Τα σφάλματα αυτά υπάρχουν σε κάθε μέτρηση με αποτέλεσμα τόσο η αληθινή όσο και το ακριβές σφάλμα μιας μέτρησης να μη μπορούν να προσδιορισθούν Ένα καλό παράδειγμα τυχαίου σφάλματος είναι αυτό που σχετίζεται με την δειγματοληψία ή μέτρηση. Έστω ότι μελετάμε μια ραδιενεργό διάσπαση που γίνεται τυχαία με ένα σταθερό ρυθμό. Αν ένα δείγμα έχει 1000 ραδιενεργείς διασπάσεις/sec τότε ο αναμενόμενος αριθμός διασπάσεων σε 5sec είναι Αν παίρνουμε μετρήσεις κάθε 5sec τότε οι τιμές των διασπάσεων που θα μετρούμε θα διαφέρει από την αναμενόμενη τιμή, 5000, αλλά εν γένει η τιμή που θα μετρούμε θα είναι γύρω από την τιμή 5000± 5000 Τα στατιστικά σφάλματα επηρεάζουν την ακρίβεια (precision) ενός πειράματος και ελαττώνονται με αρκετές επαναλήψεις της μέτρησης

12 Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου ΦΥΣ Διαλ Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις δικές μας πεπερασμένες ικανότητες τη στιγμή της μέτρησης (π.χ. χρόνος αντίδρασης) Το σφάλμα αυτό δεν αναφέρεται σε άλλα σφάλματα που μπορούν να γίνουν κατά τη διάρκεια ενός πειράματος q Το σφάλμα ανάγνωσης επηρεάζει την ακρίβεια ενός πειράματος Ø Μήκος ενός μολυβιού: Τοποθετούμε τη μια πλευρά στο 0 του χάρακα και πρέπει να αποφασίσουμε σε ποια υποδιαίρεση φθάνει η αιχμηρή πλευρά του Για να υπολογήσουμε το σφάλμα ανάγνωσης πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση: ποια είναι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή που μπορεί να είχε η θέση για την οποία δεν θα δούμε καμιά διαφορά Δεν υπάρχει κάποιος κανόνας που να μας βοηθά στην απάντηση Οι υποδιαιρέσεις του χάρακα είναι αρκετά κοντά (1mm) και μπορούμε αναμφίβολα να αποφασίσουμε ότι το μήκος του μολυβιού είναι πιο κοντά στα 36mm από ότι στα 35mm ή 37mm αλλά σίγουρα θέλουμε καλύτερη ανάγνωση. Θα μπορούσε να ήταν <36.5mm? Πολύ πίθανο αλλά μάλλον μικρότερη Θα μπορούσε να ήταν <35.5mm? Μάλλον απίθανο Ø Η πιθανότερη τιμή του σφάλματος ανάγνωσης είναι ±0.5mm και η μέτρηση του μήκους είναι 36.0±0.5 mm.

13 ΦΥΣ Διαλ Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου q Μέτρηση διαφοράς ηλεκτρικού δυναμικού στο άκρα μιας αντίστασης Οι υποδιαιρέσεις στην περίπτωση αυτή έχουν μεγαλύτερη απόσταση. Μπορούμε ωστόσο να υπολογίσουμε τη θέση του δείκτη μεταξύ δυο υποδιαιρέσεων Μια πιθανή (λογική) τιμή για την τάση θα ήταν 5.3V με πιθανό εύρος V Για άλλους παρατηρητές το σφάλμα να ήταν ±0.2V ή μικρότερο π.χ. 0.05V αλλά κανείς δεν θα αμφισβητούσε ότι το εύρος που δόθηκε αρχικά (0.1V) δεν αποτελεί μια λογική εκτίμηση του σφάλματος Συχνά αναφέρεται στην βιβλιογραφία ότι το σφάλμα ανάγνωσης είναι ± μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης. Αυτό είναι λάθος! Το σφάλμα ανάγνωσης τέτοιων οργάνων μπορούν να προσδιοριστούν μόνο από το παρατηρητή που διαβάζει την ένδειξη του οργάνου και μπορεί να είναι διαφορετική για διαφορετικά άτομα

14 Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου ΦΥΣ Διαλ Για ένα ψηφιακό όργανο το σφάλμα ανάγνωσης είναι συνήθως είναι ±το μισό του τελευταίου ψηφίου Η έκφραση ±το μισό του τελευταίου ψηφίου είναι η γλώσσα που χρησιμοποιείται στους οδηγούς των κατασκευαστών του οργάνου Δεν σημαίνει το μισό της τιμής του τελευταίου ψηφίου ( 0.8 στη περίπτωσή μας) αλλά το μισό της δύναμης του 10 που αντιπροσωπεύει το τελευταίο ψηφίο. 1 Δηλαδή για την περίπτωσή μας:! 0.1 = Είναι σα να λέμε ότι η τιμή είναι πιο κοντά στο 12.8 από το 12.7 ή Η τελική μας απάντηση επομένως θα ήταν ± C Προσοχή: Το σφάλμα του οργάνου καθορίζεται από τους κατασκευαστές και θα πρέπει να ανατρέχουμε στο αντίστοιχο οδηγό χρήσης του οργάνου

15 Σφάλμα σε επαναλβανόμενες μετρήσεις ΦΥΣ Διαλ Έστω ότι μετρούμε σε ένα πείραμα το χρόνο που χρειάζεται μια μπάλα να φθάσει στο έδαφος όταν την αφήσουμε από ένα συγκεκριμένο ύψος Οι μετρήσεις μας εξαρτώνται από τις διαφοροποιήσεις στο χρόνο αντίδρασής μας για να ξεκινήσουμε ή να σταματήσουμε το χρονόμετρο, τυχαίες διακυμάνσεις της κίνησης του αέρα, διακυμάνσεις στις αρχικές συνθήκες. Όλες αυτές οι διακυμάνσεις οδηγούν σε μια σειρά μετρήσεων που μπορεί να παρουσιάζουν σημαντική διασπορά. Η αληθινή τιμή βρίσκεται κάπου μεταξύ της μικρότερης και μεγαλύτερης τιμής που έχουμε μετρήσει ενώ η διασπορά (το διάστημα που βρίσκονται οι τιμές) δίνει το πιο πιθανό διάστημα τιμών. Υποθέτουμε ότι η καλύτερη εκτίμηση των μετρήσεών μας δίνεται από την αριθμητική μέση τιμή των μετρήσεων αυτών x = x 1 + x 2 + x 3 +!+ x n n Πάντοτε ζητούμε και μια μέτρηση της διασποράς των τιμών Η διασπορά σχετίζεται με την αβεβαιότητα της υπολόγιζόμενης τιμής από την αληθινή τιμή του μεγέθους x. Ο καλύτερος υπολογισμός της διασποράς δίνεται από την τυπική απόκλιση, σ, του x και δίνεται από τη σχέση: = 1 n n! i=1 x i x i! = (x 1 " x)2 + (x 2 " x) 2 + (x 3 " x) 2 +!+ (x n " x) 2 n " 1 = n 1 #( x i " x ) 2 Για n>30! = 1 n " 1 n i=1 n # i=1 ( x i " x ) 2

16 ΦΥΣ Διαλ Τυπικό σφάλμα ή σφάλμα μέσης τιμής Η τυπική απόκλιση σχετίζεται με το σφάλμα κάθε ξεχωριστής μέτρησης x i Ωστόσο αυτό που συνήθως θέλουμε είναι το σφάλμα στη καλύτερη εκτίμηση της τιμής του x, που είναι η μέση τιμή x Το σφάλμα αυτό είναι μικρότερο από την τυπική απόκλιση, σ, γιατί διαφορετικά θα μπορούσαμε να υπολογήσουμε την αληθινή τιμή του x το ίδιο καλά με μια και μόνο μέτρηση όπως θα κάναμε με πολλές μετρήσεις. Το σφάλμα της μέσης τιμής ή τυπικό σφάλμα ορίζεται σαν η τυπική απόκλιση, σ, όλων των μετρήσεων διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεων:! x =! n n = 1 #( x i " x ) 2 n(n " 1) i=1 Επομένως η απάντησή μας στην ερώτηση ποια είναι η αληθινή μετρούμενη τιμή της φυσικής ποσότητας x? είναι: x = x ±! x = x ±! n Το σφάλμα έχει τις ίδιες διαστάσεις με τη μετρούμενη ποσότητα Θα πρέπει επομένως να πάρουμε αρκετές μετρήσεις ώστε να ελαττώσουμε το σφάλμα αλλά όχι περισσότερες από όσες οδηγούν σε σφάλμα μικρότερο από το σφάλμα ανάγνωσης του οργάνου.

17 ΦΥΣ Διαλ Μερικοί ακόμα ορισμοί Μέγιστο σφάλμα:!x max = x max " x min 2 Όπου x max και x min είναι οι ακρότατες τιμές που μετρήθηκαν και δεν μπορεί να βρεθεί τιμή έξω από το διάστημα x ±!x max Πιθανό σφάλμα: Το σφάλμα αυτό προσδιορίζει το διάστημα x ±!x "#$. που περικλύει το 50% των μετρούμενων τιμών Απόλυτο σφάλμα: Το τυπικό σφάλμα μιας μέτρησης ονομάζεται και απόλυτο Σχετικό σφάλμα:!x "#$%. = " x x & 100% Είναι αδιάστατος αριθμός

18 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία Κάθε πείραμα όπως είδαμε περιέχει ένα βαθμό αβεβαιότητας. Ας υποθέσουμε ότι τρεις παρατηρητές μετρούν το μήκος ενός φύλου χαρτιού με ένα χάρακα με μικρότερη υποδιαίρεση το mm και βρίσκουν 27.92cm, 27.96cm και 27.90cm Παρατηρήστε ότι όλοι συμφωνούν στα τρία πρώτα ψηφία. Προφανώς το 4 ο ψηφίο (το οποίο υπολογίστηκε από τον καθένα) είναι ένα αβέβαιο ψηφίο. (Ακόμα και το 3 ο ψηφίο μπορεί να είναι αβέβαιο ανάλογα με τις συνθήκες) Ορισμός Τα ψηφία που θεωρούνται σωστά και το πρώτο αβέβαιο ψηφίο ονομάζονται σημαντικά ψηφία Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων σε μια μέτρηση εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου της μέτρησης και σε ένα βαθμό από την ικανότητα του παρατηρητή και θα πρέπει να προσπαθούμε να πάρουμε τόσα ψηφία όσα μας επιτρέπει το όργανο μέτρησης. Ανάλογα θα πρέπει να καταγράφουμε μετρήσεις μόνο με τα σωστά σημαντικά ψηφία και όχι με περισσότερα ψηφία που υποδηλώνουν μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που καθορίζεται από το όργανο ή τη μέθοδο μέτρησης

19 Σημαντικά ψηφία ΦΥΣ Διαλ Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε τη μάζα ενός σώματος να είναι Kgr και προσδιορίσαμε την αβεβαιότητα της μέτρησης σαν ±0.3. Ο αριθμός αποτελείται από 8 σημαντικά ψηφία ενώ η αβεβαιότητα μας λέει ότι τα 5 τελευταία ψηφία (43509) δεν έχουν καμιά σημαντική βαρύτητα μια και αντιπροσωπεύουν ποσότητα μικρότερη από την αβεβαιότητα. Τα ψηφία αυτά ονομάζονται μή σημαντικά. Οι υπολογιστικές μηχανές δείχνουν μη σημαντικά ψηφία και μπορούμε να πάρουμε μη σημαντικά ψηφία απλά και μόνο από απλές υπολογιστικές πράξεις. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε το μήκος μιας ράβδου και το βρήκαμε 12 ίντσες. Μια ίντσα είναι 2.54cm και επομένως το μήκος της ράβδου θα είναι l = 12 x 2.54 = 30.48cm. Ξεκινώντας δηλαδή από μια μέτρηση με 2 σημαντικά ψηφία (12) καταλήξαμε στο προσδιορισμό του μήκους με 4 σημαντικά ψηφία (μεγαλύτερη ακρίβεια) που δεν μπορεί να ισχύει. Επομένως θα έπρεπε να γράψουμε ότι το ύψος είναι 30.cm και όχι 30.48cm

20 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία - Κανόνες γραφής - μέτρησης (1α) Γράφουμε τις τιμές των φυσικών μεγεθών ώστε το τελευταίο μετρούμενο ψηφίο πέφτει στα δεξιά της υποδιαστολής. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε είτε χρησιμοποιώντας επιστημονική σήμανση (π.χ = x 10 1 ) ή χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες μονάδες. (1β) Το ψηφίο που αντιπροσωπεύει την μικρότερη μετρούμενη υποδιαίρεση κλίμακος πρέπει να γραφεί ακριβώς ακόμα και αν είναι μηδέν (π.χ m με κλίμακα mm) (1γ) Στρογγυλοποίηση. Όταν διώχνουμε τα μη σημαντικά ψηφία συνήθως αν το πρώτο μη σημαντικό ψηφίο είναι 5 τότε το στρογγυλοποιούμε το τελευταίο σημαντικό ψηφίο προς τα πάνω ένω αν είναι το πρώτο σημαντικό ψηφίο < 5 η στρογγυλοποίηση γίνεται προς τα κάτω. (π.χ > 4.77 ενώ >4.76 (2) Αν το πρώτο μη σημαντικό ψηφίο είναι 5 τότε μπορείτε να το στρογγυλοποιήσετε όπως επιθυμήτε προς τα πάνω ή κάτω αλλά θα πρέπει να χρησιμοποείται πάντα το ίδιο τρόπο (3) Ακέραιοι αριθμοί (1 9) είναι πάντοτε σημαντικοί. Ψηφία που βρίσκονται στα δεξιά της υποδιαστολής είναι σημαντικά. π.χ έχει 5 σημαντικά ψηφία. Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία.

21 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία - κανόνες μέτρησης (4) Προσοχή χρειάζεται στα μηδενικά: (α) Μηδενικά αμέσως μετά την υποδιαστολή δεν υπολογίζονται στα σημαντικά ψηφία αν μετά ακολουθεί στα δεξιά τους κάποιος ακέραιος και δεν υπάρχει ακέραιος στα αριστερά της υποδιαστολή Ο αριθμός έχει 1 σημαντικό ψηφίο Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία (β) Μηδενικά που ακολουθούν την υποδιαστολή και δεν έχουν κάποιο ψηφίο στα δεξιά τους θεωρούνται σημαντικά ψηφία Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία (γ) Μηδενικά που ακολουθούν ακέραιους αριθμός και δεν έχουν υποδιαστολή στα δεξιά τους δεν θεωρούνται σημαντικά Ο αριθμός έχει 3 σημαντικά ψηφία

22 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία - Πράξεις Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πειραματικών δεδομένων είναι ότι τα σφάλματα συνδυάζονται στους υπολογισμούς και παράγουν νέα σφάλματα στα υπολογιζόμενα αποτελέσματα Επομένως υπολογισμοί μεταξύ αριθμών με διαφορετικά σημαντικά ψηφία οδηγούν σε αποτελέσματα με διαφορετικά σημαντικά σημεία Οι κανόνες είναι: Για πολλαπλασιασμό και διαίρεση: Τα αποτελέσματα πολ/σμού και διαίρεσης στρογγυλοποιούνται στο ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων με αυτό του αριθμού με την χειρότερη ακρίβεια Για πρόσθεση και αφαίρεση: Βρίσκουμε τον αριθμό του οποίου το τελευταίο σημαντικό ψηφίο καταλαμβάνει τη θέση πιο κοντά στην υποδιαστολή. Αυτή είναι η θέση του τελευταίου σημαντικού ψηφίου του αποτελέσματος Πολ/σμός με το αβέβαιο ψηφίο δίνει Παράδειγμα πολ/σμου! 2.86 αβέβαιο αποτέλεσμα (το σύμβολο - πάνω Το τελικό αποτέλεσμα έχει 2 βέβαια από τον αριθμό δηλώνει Το τελευταίο σημαντικό ψηφία. Tο ψηφίο 3 είναι αβέβαιο και τα υπόλοιπα δεν έχουν σημασία ψηφίο) 7908 Το αποτέλεσμα θα είναι

23 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα πρόσθεσης Το αποτέλεσμα επομένως θα είναι 55.1

24 Σημαντικά ψηφία - Παραδείγματα ΦΥΣ Διαλ Είδαμε ότι για μια αριθμητική ποσότητα η οποία μετράται πειραματικά, τα σημαντικά ψηφία είναι τα ψηφία της ποσότητας τα οποία καθορίζονται από την πειραματική μέτρηση. Μερικά παραδείγματα/ερωτήσεις: Προσδιορίστε τον αριθμό σημαντικών ψηφίων για τα ακόλουθα (α) 5280 (β) 0.35 (γ).0037 (δ) (ε) ! 3 σημαντικά ψηφία! 2 σημαντικά ψηφία! 2 σημαντικά ψηφία! 4 σημαντικά ψηφία! 5 σημαντικά ψηφία Παραδείγματα στρογγυλοποίησης: Στρογγυλοποιήστε τα ακόλουθα, κρατώντας μόνο τον αριθμό σημαντικών ψηφίων που δείχνει η παρένθεση (α) (3)! 14.4 (β) (2) 7.5!! (γ) (3) 153 (δ) (5)! (ε) (3) 9830!

25 Σημαντικά ψηφία - παραδείγματα Πράξεις με σημαντικά ψηφία - ερωτήσεις Έστω ότι δίνονται τα ακόλουθα: A =38.275, B=0.134, C= και D=1/3. Υπολογήστε τα ακόλουθα απoτελέσματα:! (α) A x B 5.13 (β) A - B! (γ) (C - A)/C! ή 1.2x10-3 (δ) D x C - D x A (ε) 23 x D!! ή 1.6x ΦΥΣ Διαλ.02! ( " ) = ! ( " ) 3.0 = = 0.016! = 7.7

26 Ακρίβεια υπολογιζόμενης τιμής Έστω ότι μετρούμε τις πλευρές ενός ορθογωνίου παρ/μου και βρίσκουμε ότι είναι: 45.0±0.1cm και 544 ±1cm Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι: 45.0x544 = 24480cm 2 Πόσο ακριβές είναι όμως το εμβαδό που υπολογίζουμε? Για να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα μιας ποσότητας η οποία εξαρτάται από μετρούμενα μεγέθη τα οποία είναι γνωστά με συγκεκριμένη αβεβαιότητα ακολουθούμε μερικούς απλούς κανόνες: 1. Αν οι ποσότητες προστίθενται ή αφαιρούνται, προσθέτουμε τις επιμέρους αβεβαιότητες ώστε να πάρουμε την αβεβαιότητα του αποτελέματος a. ( 324 ± 1)cm + (670 ± 1)cm = 994 ± 2cm b. ( 764 ± 1)cm! ( 670 ± 1)cm = 94 ± 2cm 2. Αν οι ποσότητες πολ/ζονται ή διαιρούνται, προσθέτουμε τις επιμέρους σχετικές (επί τοις εκατό) αβεβαιότητες ώστε να πάρουμε τη σχετική αβεβαιότητα (επί τοις εκατό) του αποτελέματος. (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τις σχετικές αβεβαιότητες για αποφυγή πολλών εκατοντάδων στους υπολογισμούς). Για το παράδειγμα του εμβαδού θα έχουμε: ΦΥΣ Διαλ.02 ( 544 ± 1)cm + ( 45.0 ± 0.1)cm = ( 544 ± 0.2% )cm! ( 45.0 ± 0.2% )cm = ± 0.4%cm 2 ( = ± 97.92cm 2 ) Επομένως το αποτέλεσμα θα είναι A = ± 100cm 2 Ακρίβεια 1 σημαντικού ψηφίου

27 ΦΥΣ Διαλ.02 Ακρίβεια υπολογιζόμενης τιμής 3. Για τη διαίρεση θα είχαμε: ( 544 ± 1)cm ( 45.0 ± 0.1)cm = 544 ± 0.2% ( ) ( 45.0 ± 0.2% ) = ± 0.4%= ± = 12.1± Όταν βρίσκουμε τη τετραγωνική ρίζα μιας ποσότητας, διαιρούμε την αβεβαιότητα με 2, ενώ όταν υπολογίζουμε το τετράγωνο τότε πολ/ζουμε την αβεβαιότητα με 2. Ανάλογοι κανόνες ισχύουν και για άλλες δυνάμεις 45.0 ± 0.1 = 45.0 ± 0.2% = ± 0.1% = ± ( 45.0 ± 0.1) 2 = ( 45.0 ± 0.2% ) 2 = 2025 ± 0.4% = 2025 ± 8 Εξάσκηση: Έστω Α=37.82±0.03, B=33.46±0.05, C=2.1±0.4 και D=3.31±0.01. Να υπολογισθούν οι τιμές των ακόλουθων εξισώσεων και η ακρίβειά τους σύμφωνα με τους κανόνες που είδαμε. Κάνετε στρογγυλοποίηση της απάντησής σας στα κατάλληλα σημαντικά ψηφία (α) (Α - Β) x D! 14.4 ± 0.3! " ( ) # 3.31 = 4.36 # 3.31 = = 14.4 ( ) " ( 3.31± 0.01) = ( 4.36 ±1.83% ) " ( 3.31± 0.3% ) = 14.4 ± 2.137% = 14.4 ± ! 4.36 ± 0.08 (β) A/B - C (γ) B/C (δ) 2(π)Α (ε) (ΑxB)/D! -1 ± 0.4! 16 ± 3! ± 0.2! 382 ± 2! " 2.1 = " 2.1 = " = "1! = = 16

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΕ Τρικάλων. Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική. Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός. Τρίκαλα, Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2012

ΕΚΦΕ Τρικάλων. Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική. Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός. Τρίκαλα, Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2012 1 Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός 11η Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Επιστημών EUSO 2013 11Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 ΕΚΦΕ Τρικάλων Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός Τρίκαλα,

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια ( * ) + επιπλέον πληροφορίες, ιδέες και προτάσεις προαιρετικών πειραματικών δραστηριοτήτων, ερωτήσεις... Ένας σημαντικός χρόνος περιορισμένης

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος Χρήση διαστημόμετρου για εύρεση πυκνότητας στερεών σωμάτων γεωμετρικού σχήματος Προκειμένου να υπολογιστεί η πυκνότητα σε στερεά σώματα γεωμετρικού σχήματος πραγματοποιούνται μετρήσεις α) της μάζας τους

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική στατιστική

Περιγραφική στατιστική Περιγραφική στατιστική Ιστογράμματα Mέτρα θέσης και διασποράς Κατανομές δεδομένων Γεωργία Σαλαντή Επικ. Καθηγήτρια Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Στατιστική 1. Εκτιμήσεις Μεγέθη και διαστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιδιώκεται οι μαθητές: 1. Να συζητούν και να προβληματίζονται για τα μετρήσιμα και τα μη μετρήσιμα μεγέθη. 2. Να πειραματιστούν και να καταλήξουν σε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ (040) 670854-1 Fax (040) 670854-41

G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ (040) 670854-1 Fax (040) 670854-41 Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Εγχειρίδιο Οδηγιών HM 135 Συσκευή Μέτρησης της Οπισθέλκουσας Δύναμης σε Σφαίρες G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας 3 Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα Α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι

Φύλλο Εργασίας 3 Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα Α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Φύλλο Εργασίας 3 Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα Α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Ο άνθρωπος πάντοτε αισθανόταν εγκλωβισμένος στη γη από μια δύναμη που τον κρατά κοντά της, ακόμη και τώρα που κάποιοι

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-13 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΦΥΤΤΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Page1 ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η συνειδητή χρήση των κανόνων ασφαλείας στο εργαστήριο. Η εξοικείωση στη χρήση του υποδεκάμετρου και του διαστημόμετρου

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α (μονάδες 30) Το μέρος Α αποτελείται από έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε και στα έξι (6). Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες.

ΜΕΡΟΣ Α (μονάδες 30) Το μέρος Α αποτελείται από έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε και στα έξι (6). Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες. ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΠ. ΛΟΥΚΑ ΚΟΛΟΣΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 211-212 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 212 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: 3/5/212 Τάξη: Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Environmental Fluid Mechanics Laboratory University of Cyprus Department Of Civil & Environmental Engineering ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ HM 134 ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Εγχειρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας 2. Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια. α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι

Φύλλο Εργασίας 2. Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια. α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Φύλλο Εργασίας 2 Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Συζήτησε με τους συμμαθητές σου, με τη βοήθεια του/της καθηγητή/τριάς σου, τι εννοούμε όταν ζητάμε τη μέτρηση χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Β Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΕΙΙΣΑΓΩΓΗ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. ) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμεε ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 4) ΙΑΒΑΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7 Οι σημειώσεις που ακολουθούν περιγράφουν τις ασκήσεις που θα συναντήσετε στο κεφάλαιο 7. Η πιο συνηθισμένη και βασική άσκηση αναφέρεται στο IP Fragmentation,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος

1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος 7η ΗΜΕΡΙΔΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΑΔΑ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ: 1. 2. 3. 1 η Δραστηριότητα Υπολογισμός της πυκνότητας στερεού σώματος Ο Σκοπός της άσκησης Ο σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις 1. Σκοπός Σκοπός της εισαγωγικής άσκησης είναι η εξοικείωση του σπουδαστή με τη χρήση του πολύμετρου για τη μέτρηση βασικών μεγεθών ηλεκτρικού κυκλώματος, όπως μέτρηση της έντασης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

CX-185 II. Αριθμομηχανή με εκτυπωτή. Εγχειρίδιο Οδηγιών

CX-185 II. Αριθμομηχανή με εκτυπωτή. Εγχειρίδιο Οδηγιών CX-185 II Αριθμομηχανή με εκτυπωτή Εγχειρίδιο Οδηγιών 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΚΟΠΤΩΝ έως Αριθμητικό Πλήκτρο Χρησιμοποιείται για την εισαγωγή αριθμού στην αριθμομηχανή. Πλήκτρο Υποδιαστολής Χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΛΕΒΑΝΤΗ ΖΑΝΝΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ Α 2 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΣΕΝΑΡΙΟ : Πρόκειται να μετατρέψουμε τα εμπρός ελατήρια μιας μοτοσυκλέτας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4. Πόσο οξικό οξύ περιέχει το ξίδι;

4. Πόσο οξικό οξύ περιέχει το ξίδι; 4. Πόσο οξικό οξύ περιέχει το ξίδι; Σκοπός Σκοπός αυτού του πειράματος είναι να προσδιορίσετε την ποσότητα (γραμμομοριακή συγκέντρωση) του οξικού οξέος που υπάρχει σε ένα λευκό ξίδι μέσω ογκομέτρησης με

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Εργαστηριακή Άσκηση 2 ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΔΥΝΑΜΗ Ονοματεπώνυμο: Παριανού Θεοδώρα Όνομα Πατρός: Απόστολος Αριθμός μητρώου: 1000107 Ημερομηνία Διεξαγωγής: 05/12/11 Ημερομηνία Παράδοσης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Α Περίοδος Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την εκτίμηση υπολογισμών, δηλαδή με την εύρεση ενός αποτελέσματος στο «περίπου» ή «κατ εκτίμηση» ή «πάνω-κάτω» ή «χοντρά-χοντρά»,

Διαβάστε περισσότερα