ΦΥΣ Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα"

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται σε μετρήσεις. Κάθε μέτρηση όσο προσεκτικά και αν έχει πραγματοποιηθεί περιέχει μια αβεβαιότητα q Όλη η δομή και εφαρμογή των επιστημών στηρίζονται σε πείραμα και επομένως μετρήσεις. Η ικανότητα να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα των μετρήσεων και να περιορίσουμε το μέγεθός τους είναι ιδιαίτερα σημαντικό αν θέλουμε να εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα q Η μεθοδολογία, τα όργανα που χρησιμοποιούνται αλλά και μεις οι ίδιοι δεν είμαστε αλάνθαστοι με αποτέλεσμα οι μετρήσεις που παίρνουμε συνοδεύονται πάντοτε με κάποια αβεβαιότητα που ονομάζεται πειραματικό σφάλμα της μέτρησης q Το σφάλμα αντιπροσωπεύει την διαφορά της μετρούμενης ή υπολογιζόμενης τιμής ενός μεγέθους από την αληθινή τιμή του μεγέθους αυτού

2 Σφάλματα μετρήσεων ΦΥΣ Διαλ.01 2 q Είναι σημαντικό σε όλες τις επιστήμες: Ø να σχεδιάσουμε και να πραγματοποιήσουμε κάποιο πείραμα Αλλά περισσότερο σημαντικό Ø να κατανοήσουμε τους περιορισμούς που επιβάλει ο σχεδιασμός του και οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση διαφόρων φυσικών μεγεθών q Το να καταλάβουμε τα πειραματικά σφάλματα και πως μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε είναι απαραίτητο αν θέλουμε να συγκρίνουμε θεωρητικά και πειραματικά αποτελέσματα και να εξάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα

3 ΦΥΣ Διαλ.01 3 Γιατί τόσο σημαντική η γνώση του σφάλματος? q Έστω ότι έχετε κάποιο πολύτιμο νόμισμα το οποίο θέλετε να βρείτε άν είναι χρυσό ή κάποιο άλλο κράμα μετάλλων. Ξέρετε ότι η πυκνότητα του χρυσού είναι 15.5γρ/cm 3 ενώ του κράματος είναι 13.8γρ/cm 3. Καλείτε 2 ειδικούς οι οποίοι μετρούν με κάποια μέθοδο τη πυκνότητα του νομίσματος: [ ] [ ] Ø A ειδικός: Η πυκνότητα είναι 15 και σίγουρα στο διάστημα: 13.5! 16.5 Ø Β ειδικός: Η πυκνότητα είναι 13.9 και σίγουρα στο διάστημα: 13.7! 14.1 q Η μέτρηση του Β ειδικού είναι περισσότερο ακριβής αλλά η μέτρηση του Α ειδικού είναι επίσης σωστή. Οι δυό μετρήσεις είναι συμβατές στα όρια της ακρίβειας της κάθε μέτρησης. Επομένως και οι δυό μετρήσεις μπορούμε να υποθέσουμε (και πιθανόν) είναι σωστές. q Η μέτρηση του Α ειδικού δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμη ωστόσο Η αβεβαιότητα είναι πολύ μεγάλη και περιέχει και τις δυο τιμές που θέλουμε να υπολογίσουμε Επομένως δεν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο συμπέρασμα q Η μέτρηση του Β ειδικού δείχνει ότι το νόμισμα δεν είναι χρυσό. Η πυκνότητα του κράματος (13.8γρ/cm 3 ) περιέχεται στην αβεβαιότητα της μέτρησης q Ο Β ειδικός θα πρέπει να δώσει επιχειρήματα που να πείθουν για το μέγεθος της αβεβαιότητας της μέτρησής του. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό q Χωρίς τη γνώση των αβεβαιοτήτων των 2 μετρήσεων τα αποτελέσματα θα ήταν άχρηστα και συγκρουόμενα: Ο Α ειδικός λέει ότι είναι χρυσό και ο Β το αντίθετο

4 ΦΥΣ Διαλ.01 4 Σφάλματα To σφάλμα είναι ανθρώπινο. To να περιγράψουμε το σφάλμα σωστά είναι μια μορφή τέχνης Oι φυσικές επιστήμες χωρίζονται σε 2 κλάδους: θεωρία και πείραμα Ο τρόπος που οι 2 κλάδοι εξετάζουν αριθμητικά αποτελέσματα είναι σημαντικά διαφορετικός. Σώμα το οποίο πέφτει υπό την επίδραση Παράδειγμα της βαρύτητας κινείται με σταθερή επιτάχυνση g=9.8m/s 2 Η πρόταση αυτή είναι απολύτως αποδεκτή όταν λύνουμε κάποιο πρόβλημα. Ωστόσο όταν κάνουμε κάποια μέτρηση είναι ημιτελής. Η επιτάχυνση g είναι 9.7 ή 9.9 m/s 2? Είναι πιο κοντά στο ή στο m/s 2? Όλοι ξέρουμε ότι η επιτάχυνση g μεταβάλεται με το ύψος από την επιφάνεια της γης. Εξαρτάται ακόμα από το γεωγραφικό πλάτος. Ακόμα περισσότερο η μέτρηση μιας φυσικής ποσότητας (όπως το g) εξαρτάται από τα όργανα που χρησιμοποιούμε και κανένα όργανα δεν είναι τέλειο. Επομένως είναι αδύνατο να γνωρίζουμε ακριβώς τη τιμή της επιτάχυνσης g

5 ΦΥΣ Διαλ.01 5 Σφάλματα Από πειραματική άποψη η προηγούμενη πρόταση θα ήταν σωστή ως: Μια μπάλα 5gr που αφήνεται ελεύθερη να πέσει υπό την επίδραση της δύναμης της βαρύτητας από ύψος 1.0 ± 0.1m από την επιφάνεια του εδάφους μετρήθηκε ότι κινείται με σταθερή επιτάχυνση g = 9.81 ± 0.03m / s 2 H μέτρηση πραγματοποιήθηκε στο εργαστήριο Β212 του Πανεπιστημίου Κύπρου στη Λευκωσία στις 15:00 τη Πέμπτη 8 Σεπτεμβρίου Ο αριθμός που εμφανίζεται στα δεξιά του συμβόλου ± προσδιορίζει το σφάλμα της μέτρησης. Την αβεβαιότητα (ή βεβαιότητα) της μέτρησης. Σημαίνει ότι η πραγματική τιμή του μεγέθους που μετρούμε βρίσκεται μεταξύ των τιμών g-δg και g+δg g - Δg g g + Δg Προσοχή: Το σωστό πείραμα είναι αυτό που έχει εκτελεσθεί σωστά και επομένως Το σφάλμα σε μια πειραματικά μετρούμενη ποσότητα δεν μπορεί ποτέ να βρεθεί σε κάποιο βιβλίο ή σε κάποια ιστοσελίδα

6 Aβεβαιότητα - (uncertainty) ΦΥΣ Διαλ.01 6 Μιλήσαμε για σφάλματα (errors), δηλώνοντας ότι δείχνουν ασυμφωνία μεταξύ της μετρούμενης τιμής ενός φυσικού μεγέθους και της πραγματικής τιμής του. Ωστόσο ο στόχος της επιστημονικής έρευνας είναι να βρει κάτι νέο, τη τιμή του οποίου δεν γνωρίζουμε από πριν. Επομένως δεν μπορούμε να κάνουμε αναφορά σε πραγματική τιμή ενός μεγέθους και επομένως ο ορισμός του σφάλματος δεν ισχύει. Ο πραγματικός επιστήμονας που ανακαλύπτει κάτι υποθέτει πάντοτε ότι το πείραμά του δεν έχει σφάλμα μέτρησης. Υπάρχει πάντα αυτή η πιθανότητα και πάντοτε μια μέθοδος αναλύεται διεξοδικά για αποφυγή σφάλματος μέτρησης Αργότερα, επαναλαμβάνοντας μια μέτρηση μπορεί να ανακαλυφθεί κάποιο σφάλμα αλλά αρχικά δεν υπάρχει κάποιος οδηγός για σύγκριση με την πραγματική τιμή. Αβεβαιότητα μιας μετρούμενης τιμής είναι το διάστημα γύρω από την μετρούμενη τιμή τέτοιο ώστε η επανάλειψη της μέτρησης θα δώσει ένα αποτέλεσμα το οποίο περικλείεται στο διάστημα αυτό Το διάστημα αυτό δηλώνεται από τον ερευνητή σύμφωνα με προκαθορισμένες αρχές υπολογισμού της αβεβαιότητας. Η αβεβαιότητα είναι o σημαντικός όρος που επιτρέπει τους επιστήμονες να κάνουν πλήρως βέβαια συμπεράσματα

7 Αβεβαιότητα ΦΥΣ Διαλ.01 7 Έστω ότι κάποιος συνάδελφός σας μέτρησε ότι το πάχος ενός βιβλίου είναι 8.53±0.08cm. Δηλώνοντας την αβεβαιότητα (0.08) πιστοποιεί ότι οποιαδήποτε μέτρηση του πάχους του βιβλίου θα δώσει μια τιμή στο διάστημα cm Αν σας έλεγε ότι το βιβλίο έχει πάχος 8.53 cm τότε η πληροφορία αυτή είναι ελλειπής μια και δεν έχετε γνώση των περιορισμών του οργάνου μέτρησης. Δεν μπορείτε να συζητήσετε για σφάλμα στην περίπτωση αυτή και δεν θα μιλήσετε με σιγουριά για το αποτέλεσμα. Χρειάζεται πάντοτε να ορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης (confidence interval) και τότε μπορείτε να εκφράσετε οτιδήποτε με εμπιστοσύνη που κάποιος επιστήμονας θα πρέπει να συμφωνήσει μαζί σας. O απώτερος σκοπός είναι να κάνετε το διάστημα αυτό όσο το δυνατό μικρότερο και αυτό επιτυγχάνεται με εμπειρία. Αβεβαιότητα επομένως μιας αναφερόμενης μέτρησης είναι το διάστημα εμπιστοσύνης γύρω από την μετρούμενη τιμή τέτοιο ώστε η μετρούμενη τιμή δεν μπορεί να βρίσκεται έξω από αυτό Η αβεβαιότητα μπορεί να δοθεί και σα πιθανότητα. Στη περίπτωση αυτή η μετρούμενη τιμή έχει τη δηλώμενη πιθανότητα να βρίσκεται στο διάστημα εμπιστοσύνης.

8 ΦΥΣ Διαλ.01 8 Aκρίβεια και πιστότητα μέτρησης q Πιστότητα (accuracy) ενός πειράματος μέτρησης μιας ποσότητας είναι το μέτρο του πόσο κοντά στην αληθινή τιμή της φυσικής ποσότητας βρίσκεται το αποτέλεσμα q Ακρίβεια (precision) ενός πειράματος μέτρησης μιας ποσότητας υποδηλώνει κατά πόσο διαδοχικές μετρήσεις συμπίπτουν ή επαναλαμβάνονται και αναφέρεται στη διακριτική ικανότητα (resolution) της μέτρησης. Η διακριτική ικανότητα δείχνει πόσο στενά είναι τα όρια στα οποία προσδιορίζεται το μετρούμενο μέγεθος (α) (β) Πιστό και ακριβές (γ) (δ) Ακριβές αλλά όχι πιστό Πιστό αλλά όχι ακριβές Ούτε ακριβές και ούτε πιστό

9 Είδη σφαλμάτων q Ακούσια ή απαράδεκτα σφάλματα Έλλειψη προσοχής Λανθασμένη ανάγνωση ή καταγραφή μετρήσεων Λάθη πράξεων Ανώμαλες πειραματικές συνθήκες q Συστηματικά σφάλματα ΦΥΣ Διαλ.02 9 Ø Στην περίπτωση αυτή, οι μετρήσεις πρέπει να επαναληφθούν ή αν είναι μέρος μιας σειράς μετρήσεων τότε η συγκεκριμένη μέτρηση παραλείπεται Σφάλματα οργάνων μέτρησης (π.χ. λάθος βαθμονόμηση οργάνου μέτρησης) Σφάλματα περιβάλλοντος (π.χ. Θερμοκρασία, πίεση, μαγνητικό πεδίο της γης, μη ακριβές θεωρητικό μοντέλο) Σφάλματα θεωρητικής φύσης q Στατιστικά ή τυχαία σφάλματα Σφάλματα που εισέρχονται κατά τη διάρκεια μιας μέτρησης και έχουν σαν αποτέλεσμα να μετρούμε είτε μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή από τη πραγματική. π.χ. ο χρόνος αντίδρασής μας στη μέτρηση χρόνου με ένα χρονόμετρο Τα υπολογίζουμε και ελαττώνουμε με πολλαπλές μετρήσεις αλλά δεν μπορούμε να αποφύγουμε υπάρχουν πάντα

10 ΦΥΣ Διαλ Συστηματικά σφάλματα Σφάλματα παρατήρησης (π.χ. ανάγνωση οργάνου - έμμεση ή άμεση εξάρτηση από τον ανθρώπινο παράγοντα) Συνήθως απαλείφονται με την επανάληψη της μέτρησης από άλλους παρατηρητές Η μέτρηση στο διπλανό σχήμα δείχνει να υποφέρει από κάποιο σφάλμα: Ο παρατηρητής μάλλον χρειάζεται να καθαρίσει τα γυαλιά του γιατί η μέτρηση που κάνει δεν διαβάζεται καθαρά Η μέτρηση δηλαδή έχει προτίμηση (bias) εξαιτίας του παρατηρητή. Επανάληψη της μέτρησης από άλλους παρατηρητές ουσιαστικά θα μας δώσει μια κατανομή τιμών γύρω από την αληθινή τιμή Τα συστηματικά σφάλματα δεν αναγνωρίζονται εύκολα και ο προσδιορισμός τους είναι πολλές φορές επίπονος Ονομάζονται συστηματικά σφάλματα γιατί το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι πάντοτε μετατοπισμένο προς μια κατεύθυνση σχετικά με την αληθινή τιμή του μετρούμενου μεγέθους (προς τα πάνω ή προς τα κάτω) Τα συστηματικά σφάλματα επηρεάζουν την πιστότητα (accuracy) ενός πειράματος

11 ΦΥΣ Διαλ Στατιστικά ή τυχαία σφάλματα Τα σφάλματα αυτά εμφανίζονται ακόμα και όταν έχουν απαλοιφεί τα συστηματικά και ακούσια σφάλματα ή έχουν ληφθεί υπόψη Προέρχονται από συνδυασμό διαφόρων αιτιών όπως και τα συστηματικά σφάλματα αλλά ο τρόπος με τον οποίο επηδρούν σε μια μέτρηση είναι τυχαίος Τα σφάλματα αυτά δεν είναι ή δεν φαίνονται να είναι συνδεδεμένα με κάποια αιτία και δεν επαναλαμβάνονται αλλά είναι τυχαία Εξαιτίας τους η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους μπορεί να δώσει τιμή μεγαλύτερη της αληθινής ενώ η επανάληψη της μέτρησης μπορεί να δώσει κάποια μικρότερη τιμή της αληθινής Τα σφάλματα αυτά υπάρχουν σε κάθε μέτρηση με αποτέλεσμα τόσο η αληθινή όσο και το ακριβές σφάλμα μιας μέτρησης να μη μπορούν να προσδιορισθούν Ένα καλό παράδειγμα τυχαίου σφάλματος είναι αυτό που σχετίζεται με την δειγματοληψία ή μέτρηση. Έστω ότι μελετάμε μια ραδιενεργό διάσπαση που γίνεται τυχαία με ένα σταθερό ρυθμό. Αν ένα δείγμα έχει 1000 ραδιενεργείς διασπάσεις/sec τότε ο αναμενόμενος αριθμός διασπάσεων σε 5sec είναι Αν παίρνουμε μετρήσεις κάθε 5sec τότε οι τιμές των διασπάσεων που θα μετρούμε θα διαφέρει από την αναμενόμενη τιμή, 5000, αλλά εν γένει η τιμή που θα μετρούμε θα είναι γύρω από την τιμή 5000± 5000 Τα στατιστικά σφάλματα επηρεάζουν την ακρίβεια (precision) ενός πειράματος και ελαττώνονται με αρκετές επαναλήψεις της μέτρησης

12 Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου ΦΥΣ Διαλ Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις δικές μας πεπερασμένες ικανότητες τη στιγμή της μέτρησης (π.χ. χρόνος αντίδρασης) Το σφάλμα αυτό δεν αναφέρεται σε άλλα σφάλματα που μπορούν να γίνουν κατά τη διάρκεια ενός πειράματος q Το σφάλμα ανάγνωσης επηρεάζει την ακρίβεια ενός πειράματος Ø Μήκος ενός μολυβιού: Τοποθετούμε τη μια πλευρά στο 0 του χάρακα και πρέπει να αποφασίσουμε σε ποια υποδιαίρεση φθάνει η αιχμηρή πλευρά του Για να υπολογήσουμε το σφάλμα ανάγνωσης πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση: ποια είναι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή που μπορεί να είχε η θέση για την οποία δεν θα δούμε καμιά διαφορά Δεν υπάρχει κάποιος κανόνας που να μας βοηθά στην απάντηση Οι υποδιαιρέσεις του χάρακα είναι αρκετά κοντά (1mm) και μπορούμε αναμφίβολα να αποφασίσουμε ότι το μήκος του μολυβιού είναι πιο κοντά στα 36mm από ότι στα 35mm ή 37mm αλλά σίγουρα θέλουμε καλύτερη ανάγνωση. Θα μπορούσε να ήταν <36.5mm? Πολύ πίθανο αλλά μάλλον μικρότερη Θα μπορούσε να ήταν <35.5mm? Μάλλον απίθανο Ø Η πιθανότερη τιμή του σφάλματος ανάγνωσης είναι ±0.5mm και η μέτρηση του μήκους είναι 36.0±0.5 mm.

13 ΦΥΣ Διαλ Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου q Μέτρηση διαφοράς ηλεκτρικού δυναμικού στο άκρα μιας αντίστασης Οι υποδιαιρέσεις στην περίπτωση αυτή έχουν μεγαλύτερη απόσταση. Μπορούμε ωστόσο να υπολογίσουμε τη θέση του δείκτη μεταξύ δυο υποδιαιρέσεων Μια πιθανή (λογική) τιμή για την τάση θα ήταν 5.3V με πιθανό εύρος V Για άλλους παρατηρητές το σφάλμα να ήταν ±0.2V ή μικρότερο π.χ. 0.05V αλλά κανείς δεν θα αμφισβητούσε ότι το εύρος που δόθηκε αρχικά (0.1V) δεν αποτελεί μια λογική εκτίμηση του σφάλματος Συχνά αναφέρεται στην βιβλιογραφία ότι το σφάλμα ανάγνωσης είναι ± μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης. Αυτό είναι λάθος! Το σφάλμα ανάγνωσης τέτοιων οργάνων μπορούν να προσδιοριστούν μόνο από το παρατηρητή που διαβάζει την ένδειξη του οργάνου και μπορεί να είναι διαφορετική για διαφορετικά άτομα

14 Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου ΦΥΣ Διαλ Για ένα ψηφιακό όργανο το σφάλμα ανάγνωσης είναι συνήθως είναι ±το μισό του τελευταίου ψηφίου Η έκφραση ±το μισό του τελευταίου ψηφίου είναι η γλώσσα που χρησιμοποιείται στους οδηγούς των κατασκευαστών του οργάνου Δεν σημαίνει το μισό της τιμής του τελευταίου ψηφίου ( 0.8 στη περίπτωσή μας) αλλά το μισό της δύναμης του 10 που αντιπροσωπεύει το τελευταίο ψηφίο. 1 Δηλαδή για την περίπτωσή μας:! 0.1 = Είναι σα να λέμε ότι η τιμή είναι πιο κοντά στο 12.8 από το 12.7 ή Η τελική μας απάντηση επομένως θα ήταν ± C Προσοχή: Το σφάλμα του οργάνου καθορίζεται από τους κατασκευαστές και θα πρέπει να ανατρέχουμε στο αντίστοιχο οδηγό χρήσης του οργάνου

15 Σφάλμα σε επαναλβανόμενες μετρήσεις ΦΥΣ Διαλ Έστω ότι μετρούμε σε ένα πείραμα το χρόνο που χρειάζεται μια μπάλα να φθάσει στο έδαφος όταν την αφήσουμε από ένα συγκεκριμένο ύψος Οι μετρήσεις μας εξαρτώνται από τις διαφοροποιήσεις στο χρόνο αντίδρασής μας για να ξεκινήσουμε ή να σταματήσουμε το χρονόμετρο, τυχαίες διακυμάνσεις της κίνησης του αέρα, διακυμάνσεις στις αρχικές συνθήκες. Όλες αυτές οι διακυμάνσεις οδηγούν σε μια σειρά μετρήσεων που μπορεί να παρουσιάζουν σημαντική διασπορά. Η αληθινή τιμή βρίσκεται κάπου μεταξύ της μικρότερης και μεγαλύτερης τιμής που έχουμε μετρήσει ενώ η διασπορά (το διάστημα που βρίσκονται οι τιμές) δίνει το πιο πιθανό διάστημα τιμών. Υποθέτουμε ότι η καλύτερη εκτίμηση των μετρήσεών μας δίνεται από την αριθμητική μέση τιμή των μετρήσεων αυτών x = x 1 + x 2 + x 3 +!+ x n n Πάντοτε ζητούμε και μια μέτρηση της διασποράς των τιμών Η διασπορά σχετίζεται με την αβεβαιότητα της υπολόγιζόμενης τιμής από την αληθινή τιμή του μεγέθους x. Ο καλύτερος υπολογισμός της διασποράς δίνεται από την τυπική απόκλιση, σ, του x και δίνεται από τη σχέση: = 1 n n! i=1 x i x i! = (x 1 " x)2 + (x 2 " x) 2 + (x 3 " x) 2 +!+ (x n " x) 2 n " 1 = n 1 #( x i " x ) 2 Για n>30! = 1 n " 1 n i=1 n # i=1 ( x i " x ) 2

16 ΦΥΣ Διαλ Τυπικό σφάλμα ή σφάλμα μέσης τιμής Η τυπική απόκλιση σχετίζεται με το σφάλμα κάθε ξεχωριστής μέτρησης x i Ωστόσο αυτό που συνήθως θέλουμε είναι το σφάλμα στη καλύτερη εκτίμηση της τιμής του x, που είναι η μέση τιμή x Το σφάλμα αυτό είναι μικρότερο από την τυπική απόκλιση, σ, γιατί διαφορετικά θα μπορούσαμε να υπολογήσουμε την αληθινή τιμή του x το ίδιο καλά με μια και μόνο μέτρηση όπως θα κάναμε με πολλές μετρήσεις. Το σφάλμα της μέσης τιμής ή τυπικό σφάλμα ορίζεται σαν η τυπική απόκλιση, σ, όλων των μετρήσεων διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεων:! x =! n n = 1 #( x i " x ) 2 n(n " 1) i=1 Επομένως η απάντησή μας στην ερώτηση ποια είναι η αληθινή μετρούμενη τιμή της φυσικής ποσότητας x? είναι: x = x ±! x = x ±! n Το σφάλμα έχει τις ίδιες διαστάσεις με τη μετρούμενη ποσότητα Θα πρέπει επομένως να πάρουμε αρκετές μετρήσεις ώστε να ελαττώσουμε το σφάλμα αλλά όχι περισσότερες από όσες οδηγούν σε σφάλμα μικρότερο από το σφάλμα ανάγνωσης του οργάνου.

17 ΦΥΣ Διαλ Μερικοί ακόμα ορισμοί Μέγιστο σφάλμα:!x max = x max " x min 2 Όπου x max και x min είναι οι ακρότατες τιμές που μετρήθηκαν και δεν μπορεί να βρεθεί τιμή έξω από το διάστημα x ±!x max Πιθανό σφάλμα: Το σφάλμα αυτό προσδιορίζει το διάστημα x ±!x "#$. που περικλύει το 50% των μετρούμενων τιμών Απόλυτο σφάλμα: Το τυπικό σφάλμα μιας μέτρησης ονομάζεται και απόλυτο Σχετικό σφάλμα:!x "#$%. = " x x & 100% Είναι αδιάστατος αριθμός

18 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία Κάθε πείραμα όπως είδαμε περιέχει ένα βαθμό αβεβαιότητας. Ας υποθέσουμε ότι τρεις παρατηρητές μετρούν το μήκος ενός φύλου χαρτιού με ένα χάρακα με μικρότερη υποδιαίρεση το mm και βρίσκουν 27.92cm, 27.96cm και 27.90cm Παρατηρήστε ότι όλοι συμφωνούν στα τρία πρώτα ψηφία. Προφανώς το 4 ο ψηφίο (το οποίο υπολογίστηκε από τον καθένα) είναι ένα αβέβαιο ψηφίο. (Ακόμα και το 3 ο ψηφίο μπορεί να είναι αβέβαιο ανάλογα με τις συνθήκες) Ορισμός Τα ψηφία που θεωρούνται σωστά και το πρώτο αβέβαιο ψηφίο ονομάζονται σημαντικά ψηφία Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων σε μια μέτρηση εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου της μέτρησης και σε ένα βαθμό από την ικανότητα του παρατηρητή και θα πρέπει να προσπαθούμε να πάρουμε τόσα ψηφία όσα μας επιτρέπει το όργανο μέτρησης. Ανάλογα θα πρέπει να καταγράφουμε μετρήσεις μόνο με τα σωστά σημαντικά ψηφία και όχι με περισσότερα ψηφία που υποδηλώνουν μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που καθορίζεται από το όργανο ή τη μέθοδο μέτρησης

19 Σημαντικά ψηφία ΦΥΣ Διαλ Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε τη μάζα ενός σώματος να είναι Kgr και προσδιορίσαμε την αβεβαιότητα της μέτρησης σαν ±0.3. Ο αριθμός αποτελείται από 8 σημαντικά ψηφία ενώ η αβεβαιότητα μας λέει ότι τα 5 τελευταία ψηφία (43509) δεν έχουν καμιά σημαντική βαρύτητα μια και αντιπροσωπεύουν ποσότητα μικρότερη από την αβεβαιότητα. Τα ψηφία αυτά ονομάζονται μή σημαντικά. Οι υπολογιστικές μηχανές δείχνουν μη σημαντικά ψηφία και μπορούμε να πάρουμε μη σημαντικά ψηφία απλά και μόνο από απλές υπολογιστικές πράξεις. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε το μήκος μιας ράβδου και το βρήκαμε 12 ίντσες. Μια ίντσα είναι 2.54cm και επομένως το μήκος της ράβδου θα είναι l = 12 x 2.54 = 30.48cm. Ξεκινώντας δηλαδή από μια μέτρηση με 2 σημαντικά ψηφία (12) καταλήξαμε στο προσδιορισμό του μήκους με 4 σημαντικά ψηφία (μεγαλύτερη ακρίβεια) που δεν μπορεί να ισχύει. Επομένως θα έπρεπε να γράψουμε ότι το ύψος είναι 30.cm και όχι 30.48cm

20 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία - Κανόνες γραφής - μέτρησης (1α) Γράφουμε τις τιμές των φυσικών μεγεθών ώστε το τελευταίο μετρούμενο ψηφίο πέφτει στα δεξιά της υποδιαστολής. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε είτε χρησιμοποιώντας επιστημονική σήμανση (π.χ = x 10 1 ) ή χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες μονάδες. (1β) Το ψηφίο που αντιπροσωπεύει την μικρότερη μετρούμενη υποδιαίρεση κλίμακος πρέπει να γραφεί ακριβώς ακόμα και αν είναι μηδέν (π.χ m με κλίμακα mm) (1γ) Στρογγυλοποίηση. Όταν διώχνουμε τα μη σημαντικά ψηφία συνήθως αν το πρώτο μη σημαντικό ψηφίο είναι 5 τότε το στρογγυλοποιούμε το τελευταίο σημαντικό ψηφίο προς τα πάνω ένω αν είναι το πρώτο σημαντικό ψηφίο < 5 η στρογγυλοποίηση γίνεται προς τα κάτω. (π.χ > 4.77 ενώ >4.76 (2) Αν το πρώτο μη σημαντικό ψηφίο είναι 5 τότε μπορείτε να το στρογγυλοποιήσετε όπως επιθυμήτε προς τα πάνω ή κάτω αλλά θα πρέπει να χρησιμοποείται πάντα το ίδιο τρόπο (3) Ακέραιοι αριθμοί (1 9) είναι πάντοτε σημαντικοί. Ψηφία που βρίσκονται στα δεξιά της υποδιαστολής είναι σημαντικά. π.χ έχει 5 σημαντικά ψηφία. Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία.

21 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία - κανόνες μέτρησης (4) Προσοχή χρειάζεται στα μηδενικά: (α) Μηδενικά αμέσως μετά την υποδιαστολή δεν υπολογίζονται στα σημαντικά ψηφία αν μετά ακολουθεί στα δεξιά τους κάποιος ακέραιος και δεν υπάρχει ακέραιος στα αριστερά της υποδιαστολή Ο αριθμός έχει 1 σημαντικό ψηφίο Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία (β) Μηδενικά που ακολουθούν την υποδιαστολή και δεν έχουν κάποιο ψηφίο στα δεξιά τους θεωρούνται σημαντικά ψηφία Ο αριθμός έχει 5 σημαντικά ψηφία (γ) Μηδενικά που ακολουθούν ακέραιους αριθμός και δεν έχουν υποδιαστολή στα δεξιά τους δεν θεωρούνται σημαντικά Ο αριθμός έχει 3 σημαντικά ψηφία

22 ΦΥΣ Διαλ Σημαντικά ψηφία - Πράξεις Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πειραματικών δεδομένων είναι ότι τα σφάλματα συνδυάζονται στους υπολογισμούς και παράγουν νέα σφάλματα στα υπολογιζόμενα αποτελέσματα Επομένως υπολογισμοί μεταξύ αριθμών με διαφορετικά σημαντικά ψηφία οδηγούν σε αποτελέσματα με διαφορετικά σημαντικά σημεία Οι κανόνες είναι: Για πολλαπλασιασμό και διαίρεση: Τα αποτελέσματα πολ/σμού και διαίρεσης στρογγυλοποιούνται στο ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων με αυτό του αριθμού με την χειρότερη ακρίβεια Για πρόσθεση και αφαίρεση: Βρίσκουμε τον αριθμό του οποίου το τελευταίο σημαντικό ψηφίο καταλαμβάνει τη θέση πιο κοντά στην υποδιαστολή. Αυτή είναι η θέση του τελευταίου σημαντικού ψηφίου του αποτελέσματος Πολ/σμός με το αβέβαιο ψηφίο δίνει Παράδειγμα πολ/σμου! 2.86 αβέβαιο αποτέλεσμα (το σύμβολο - πάνω Το τελικό αποτέλεσμα έχει 2 βέβαια από τον αριθμό δηλώνει Το τελευταίο σημαντικό ψηφία. Tο ψηφίο 3 είναι αβέβαιο και τα υπόλοιπα δεν έχουν σημασία ψηφίο) 7908 Το αποτέλεσμα θα είναι

23 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα πρόσθεσης Το αποτέλεσμα επομένως θα είναι 55.1

24 Σημαντικά ψηφία - Παραδείγματα ΦΥΣ Διαλ Είδαμε ότι για μια αριθμητική ποσότητα η οποία μετράται πειραματικά, τα σημαντικά ψηφία είναι τα ψηφία της ποσότητας τα οποία καθορίζονται από την πειραματική μέτρηση. Μερικά παραδείγματα/ερωτήσεις: Προσδιορίστε τον αριθμό σημαντικών ψηφίων για τα ακόλουθα (α) 5280 (β) 0.35 (γ).0037 (δ) (ε) ! 3 σημαντικά ψηφία! 2 σημαντικά ψηφία! 2 σημαντικά ψηφία! 4 σημαντικά ψηφία! 5 σημαντικά ψηφία Παραδείγματα στρογγυλοποίησης: Στρογγυλοποιήστε τα ακόλουθα, κρατώντας μόνο τον αριθμό σημαντικών ψηφίων που δείχνει η παρένθεση (α) (3)! 14.4 (β) (2) 7.5!! (γ) (3) 153 (δ) (5)! (ε) (3) 9830!

25 Σημαντικά ψηφία - παραδείγματα Πράξεις με σημαντικά ψηφία - ερωτήσεις Έστω ότι δίνονται τα ακόλουθα: A =38.275, B=0.134, C= και D=1/3. Υπολογήστε τα ακόλουθα απoτελέσματα:! (α) A x B 5.13 (β) A - B! (γ) (C - A)/C! ή 1.2x10-3 (δ) D x C - D x A (ε) 23 x D!! ή 1.6x ΦΥΣ Διαλ.02! ( " ) = ! ( " ) 3.0 = = 0.016! = 7.7

26 Ακρίβεια υπολογιζόμενης τιμής Έστω ότι μετρούμε τις πλευρές ενός ορθογωνίου παρ/μου και βρίσκουμε ότι είναι: 45.0±0.1cm και 544 ±1cm Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι: 45.0x544 = 24480cm 2 Πόσο ακριβές είναι όμως το εμβαδό που υπολογίζουμε? Για να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα μιας ποσότητας η οποία εξαρτάται από μετρούμενα μεγέθη τα οποία είναι γνωστά με συγκεκριμένη αβεβαιότητα ακολουθούμε μερικούς απλούς κανόνες: 1. Αν οι ποσότητες προστίθενται ή αφαιρούνται, προσθέτουμε τις επιμέρους αβεβαιότητες ώστε να πάρουμε την αβεβαιότητα του αποτελέματος a. ( 324 ± 1)cm + (670 ± 1)cm = 994 ± 2cm b. ( 764 ± 1)cm! ( 670 ± 1)cm = 94 ± 2cm 2. Αν οι ποσότητες πολ/ζονται ή διαιρούνται, προσθέτουμε τις επιμέρους σχετικές (επί τοις εκατό) αβεβαιότητες ώστε να πάρουμε τη σχετική αβεβαιότητα (επί τοις εκατό) του αποτελέματος. (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τις σχετικές αβεβαιότητες για αποφυγή πολλών εκατοντάδων στους υπολογισμούς). Για το παράδειγμα του εμβαδού θα έχουμε: ΦΥΣ Διαλ.02 ( 544 ± 1)cm + ( 45.0 ± 0.1)cm = ( 544 ± 0.2% )cm! ( 45.0 ± 0.2% )cm = ± 0.4%cm 2 ( = ± 97.92cm 2 ) Επομένως το αποτέλεσμα θα είναι A = ± 100cm 2 Ακρίβεια 1 σημαντικού ψηφίου

27 ΦΥΣ Διαλ.02 Ακρίβεια υπολογιζόμενης τιμής 3. Για τη διαίρεση θα είχαμε: ( 544 ± 1)cm ( 45.0 ± 0.1)cm = 544 ± 0.2% ( ) ( 45.0 ± 0.2% ) = ± 0.4%= ± = 12.1± Όταν βρίσκουμε τη τετραγωνική ρίζα μιας ποσότητας, διαιρούμε την αβεβαιότητα με 2, ενώ όταν υπολογίζουμε το τετράγωνο τότε πολ/ζουμε την αβεβαιότητα με 2. Ανάλογοι κανόνες ισχύουν και για άλλες δυνάμεις 45.0 ± 0.1 = 45.0 ± 0.2% = ± 0.1% = ± ( 45.0 ± 0.1) 2 = ( 45.0 ± 0.2% ) 2 = 2025 ± 0.4% = 2025 ± 8 Εξάσκηση: Έστω Α=37.82±0.03, B=33.46±0.05, C=2.1±0.4 και D=3.31±0.01. Να υπολογισθούν οι τιμές των ακόλουθων εξισώσεων και η ακρίβειά τους σύμφωνα με τους κανόνες που είδαμε. Κάνετε στρογγυλοποίηση της απάντησής σας στα κατάλληλα σημαντικά ψηφία (α) (Α - Β) x D! 14.4 ± 0.3! " ( ) # 3.31 = 4.36 # 3.31 = = 14.4 ( ) " ( 3.31± 0.01) = ( 4.36 ±1.83% ) " ( 3.31± 0.3% ) = 14.4 ± 2.137% = 14.4 ± ! 4.36 ± 0.08 (β) A/B - C (γ) B/C (δ) 2(π)Α (ε) (ΑxB)/D! -1 ± 0.4! 16 ± 3! ± 0.2! 382 ± 2! " 2.1 = " 2.1 = " = "1! = = 16

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΕ Τρικάλων. Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική. Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός. Τρίκαλα, Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2012

ΕΚΦΕ Τρικάλων. Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική. Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός. Τρίκαλα, Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2012 1 Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός 11η Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Επιστημών EUSO 2013 11Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2013 ΕΚΦΕ Τρικάλων Πειραματική Δοκιμασία στη Φυσική Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός Τρίκαλα,

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΕΚΦΕ Αν. Αττικής Υπεύθυνος: Κ. Παπαμιχάλης ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κεντρική επιδίωξη των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής στην Α Γυμνασίου, είναι οι μαθητές να οικοδομήσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή... 2 Έννοια του σφάλματος...3 Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 Εκτίμηση του σφάλματος κατά την ανάγνωση κλίμακας...8 Πολλαπλές μετρήσεις... 10 Περί του αριθμού των σημαντικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 4 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Φ. Πλέσσας

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή. Τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις του εργαστηρίου,

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3)

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Σχήμα 1 Εργαστηριακή Άσκηση: Μέτρηση της μάζας κινούμενου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΑΝΗ Γ. ΛΑΥΡΕΝΤΗ Ο ΗΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΤΗΡΙΩΝ Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού εκκρεμούς.

Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού εκκρεμούς. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 09104042 Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός είναι να κατανοηθεί η έννοια των σφαλμάτων, η σπουδαιότητά τους και η αναγκαιότητα υπολογισμού τους. Δίνονται επίσης οι βασικοί μαθηματικοί τύποι που επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός EUSO

Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός EUSO Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός EUSO 2014-2015 ΟΜΑΔΑ : 1] 2] 3] Γενικό Λύκειο Άργους Ορεστικού. 6 - Δεκ. - 1014 Φυσική Θέμα: Μέτρηση επιτάχυνσης. 1] Θεωρητική εισαγωγή Κίνηση είναι η αλλαγή της θέσης ενός

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009 2014 Σελίδα 1 από 24 Ταλαντώσεις 1. Το σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ των σημείων Α και Β. (α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να κινηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση τυπικής αβεβαιότητας τύπου B Η εκτίμηση βασίζεται στις διαθέσιμες πληροφορίες και την εμπειρία, χρησιμοποιώντας συνήθως: τα χαρακτηριστικά του κατασκευαστή

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Σύνοψη Πέραν από την ιδιαίτερη προσοχή που θα πρέπει να επιδείξουμε κατά τη λήψη μετρήσεων σε ένα πείραμα, μεγάλη σημασία έχει ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ Συνοπτική περιγραφή Μελετάμε την κίνηση μιας ράβδου που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα,

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 3: Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου

Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου Άσκηση 1 Μέτρηση του συντελεστή γραμμικής διαστολής του υλικού μιας μεταλλικής ράβδου Σύνοψη Αυτή είναι μια από τις πρώτες ασκήσεις που κάνεις στο εργαστήριο Φυσικής Ι, γι αυτό καλό είναι να μάθεις ότι

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΚΦΕ Ν.ΚΙΛΚΙΣ η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ : Κ. ΚΟΥΚΟΥΛΑΣ, ΦΥΣΙΚΟΣ - ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΣ [ Ε.Λ. ΠΟΛΥΚΑΣΤΡΟΥ ] ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ () ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

4ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ

4ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ 4ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ Μετρούμε με το μέτρο και με άλλα όργανα «ÔÏÏ ÊÔÚ Ï ˆ fiùè fiù Ó ÌappleÔÚÂ Ó ÌÂÙÚ ÛÂÈ ÂΠÓÔ ÁÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô ÌÈÏ Î È Ó ÙÔ ÂÎÊÚ ÛÂÈ Ì ÚÈıÌÔ, Í ÚÂÈ Î ÙÈ ÁÈ' Ùfi. ŸÙ Ó fiìˆ ÂÓ ÌappleÔÚÂ

Διαβάστε περισσότερα

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι:

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: Μετρήσεις-Αβεβαιότητα-Σφάλματα. Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Στην άμεση μέτρηση το μέγεθος μετράται με κάποιο όργανο. Στην έμμεση μέτρηση το μέγεθος υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΟΣ ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - EUSO 2017

ΤΟΠΙΚΟΣ ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - EUSO 2017 1ο και 2ο ΕΚΦΕ Ηρακλείου ΤΟΠΙΚΟΣ ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - EUSO 2017 Σάββατο 3 Δεκεμβρίου 2016 Διαγωνισμός στη Φυσική (Διάρκεια 1 ώρα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 2+ ( * ) Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια ( * ) + επιπλέον πληροφορίες, ιδέες και προτάσεις προαιρετικών πειραματικών δραστηριοτήτων, ερωτήσεις... Ένας σημαντικός χρόνος περιορισμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 3. Ελεύθερη πτώση Υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας -g-

ΠΕΙΡΑΜΑ 3. Ελεύθερη πτώση Υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας -g- ΠΕΙΡΑΜΑ 3 Ελεύθερη πτώση Υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας -g- Σκοπός του πειράματος Σκοπός του πειράματος είναι να μελετηθεί η ελεύθερη πτώση σφαίρας και από τις μετρήσεις απόστασης και χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ A A N A B P Y T A ΡΑΛΛΟΥ ΦΑΣΟΥΡΑΚΗ (Β4) ΜΑΡΤΙΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Γενίκευση της άσκησης (σελ 4) του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική 16-01-010 Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) ) 3) Σκοπός και κεντρική ιδέα της άσκησης Ο βασικός

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Συγγραφείς:. Τμήμα, Σχολή Εφαρμοσμένων Επιστημών, ΤΕΙ Κρήτης Περίληψη Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση μετρήσαμε τη διάμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου

Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β - Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Πείραμα και θεωρία Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου Η Φυσική είναι η επιστήμη που διαμόρφωσε και συνεχίζει

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα θέσης και διασποράς

Μέτρα θέσης και διασποράς Μέτρα θέσης και διασποράς Η επικρατούσα τιμή ως μέτρο κεντρικής τάσης Εύκολο στον υπολογισμό Επικρατούσα τιμή Η πιο συχνή ή η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο τιμών 11, 3, 8, 2, 1, 5, 3, 7 Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος

Πυκνότητα στερεών σωμάτων κυλινδρικού σχήματος Χρήση διαστημόμετρου για εύρεση πυκνότητας στερεών σωμάτων γεωμετρικού σχήματος Προκειμένου να υπολογιστεί η πυκνότητα σε στερεά σώματα γεωμετρικού σχήματος πραγματοποιούνται μετρήσεις α) της μάζας τους

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Τάξης Φ.Ε. 1: Μετρήσεις μήκους - Η μέση τιμή

Φυσική Α Τάξης Φ.Ε. 1: Μετρήσεις μήκους - Η μέση τιμή Φυσική Α Τάξης Φ.Ε. 1: Μετρήσεις μήκους - Η μέση τιμή Α. Ερωτήσεις θεωρίας με απαντήσεις 1. Τι είναι τα φυσικά μεγέθη; Τα φυσικά μεγέθη είναι μετρήσιμες ποσότητες που υπεισέρχονται στα διάφορα φυσικά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Α Λυκείου Σελ. 1 από 13 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ 1 Ο

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Α Λυκείου Σελ. 1 από 13 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ 1 Ο ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Οι απαντήσεις σε όλα τα ερωτήματα θα πρέπει να αναγραφούν στο Φύλλο Απαντήσεων που θα σας δοθεί χωριστά από τις εκφωνήσεις.. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε φύλλα Α4 ή σε τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

3 ος νόμος του Νεύτωνα Δυνάμεις επαφής δυνάμεις από απόσταση

3 ος νόμος του Νεύτωνα Δυνάμεις επαφής δυνάμεις από απόσταση 3 ος νόμος του Νεύτωνα Δυνάμεις επαφής δυνάμεις από απόσταση ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; Με βάση τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα, όταν δυο σώματα αλληλεπιδρούν και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #2: Αναπαράσταση δεδομένων Αβεβαιότητα και Ακρίβεια Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Αναπαράσταση δεδομένων (Data Representation), Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΙΝΟΠΕΤΡΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ - Ρ/Η ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ου ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΣΕΦΕ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΑΜΑΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Αγωγιμότητα στα μέταλλα

Αγωγιμότητα στα μέταλλα Η κίνηση των ατόμων σε κρυσταλλικό στερεό Θερμοκρασία 0 Θερμοκρασία 0 Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ. Όσο μικρότερο είναι το σφάλμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ. Όσο μικρότερο είναι το σφάλμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια. ΣΦΑΛΜΑΤΑ Αληθινήηπραγματικήτιμή(μ) είναι μια παραδεκτή τιμή προς την οποία μπορούν να συγκριθούν όλες οι πειραματικές τιμές. Μετά την εκτέλεση αριθμού (n) επαναλαμβανόμενων μετρήσεων και τη λήψη xi αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος)

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος) Άσκηση Μ1 Θεωρητικό μέρος Μήκος και μάζα (βάρος) Όργανα μέτρησης μήκους Διαστημόμετρο Με το διαστημόμετρο μετράμε μήκη μέχρι και μερικά μέτρα, σε χαμηλές απαιτήσεις ως προς την ακρίβεια. Το κύριο μέρος

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας 1 Μετρήσεις Μήκους Η Μέση Τιμή

Φύλλο Εργασίας 1 Μετρήσεις Μήκους Η Μέση Τιμή Φύλλο Εργασίας 1 Μετρήσεις Μήκους Η Μέση Τιμή α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Όπως θα μάθεις αναλυτικότερα στη Β και Γ γυμνασίου: Η μέτρηση είναι πρωταρχική και σημαντική διαδικασία για τη φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ. Περιεχόμενα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ. Περιεχόμενα ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Περιεχόμενα 1) Γενικές Πληροφορίες ) Ανάλυση σφαλμάτων 3) Γραφικές παραστάσεις 4) Υπόδειγμα Εργαστηριακής Άσκησης 5) Εργαστηριακές Ασκήσεις Άσκηση 1 Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική στατιστική

Περιγραφική στατιστική Περιγραφική στατιστική Ιστογράμματα Mέτρα θέσης και διασποράς Κατανομές δεδομένων Γεωργία Σαλαντή Επικ. Καθηγήτρια Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Στατιστική 1. Εκτιμήσεις Μεγέθη και διαστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δασική Βιομετρία ΙΙ. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Γεώργιος Σταματέλλος Τμήμα Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Δασική Βιομετρία ΙΙ. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Γεώργιος Σταματέλλος Τμήμα Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Γεώργιος Σταματέλλος Τμήμα Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήµονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή και Κεφάλαιο Μ1 Φυσική και µετρήσεις

Φυσική για Επιστήµονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή και Κεφάλαιο Μ1 Φυσική και µετρήσεις Φυσική για Επιστήµονες και Μηχανικούς Εισαγωγή και Κεφάλαιο Μ1 Φυσική και µετρήσεις Φυσική Θεµελιώδης επιστήµη Ασχολείται µε τις βασικές αρχές του σύµπαντος. Αποτελεί τη βάση γι άλλες επιστήµες. Οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα