Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης

Transcript

1 Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης

2 Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης λόγω χρήση ακυ Στόχος είναι να πάρουμε τα μέτρα μας

3 Τι πρέπει να εξετάσουμε Επίδραση σφαλμάτων στις απαντήσεις Αν μπορούμε να μειώσουμε τα σφάλματα ώστε οι απαντήσεις να είναι χρήσιμες Πάντα για υπολογισμούς ακυ

4 Απόλυτο σφάλμα

5 Σχετικό σφάλμα Τι γίνεται όταν το σφάλμα είναι πολύ μεγάλο ή πολύ μικρό;

6 Πως γενικεύονται για διανύσματα και μητρώα Πρέπει η απόλυτη τιμή να αντικατασταθεί με κάποιο άλλο «μέτρο»

7 Όχι πάντα αποτελεσματικό Ισχύει Δεν απεικονίζεται το γεγονός ότι στο x1 τα στοιχεία 2:1000 έχουν σφάλμα 0!

8 Σχετικό σφάλμα ανά στοιχείο Στροφή της βιβλιογραφίας καθώς προσφέρει πλουσιότερη πληροφόρηση

9 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής ακυ I would be afraid to fly in an airplane that was designed with floating point arithmetic. Αποδίδεται στο Aston Householder 1960 Σκοπός να μπορούν να αναπαρασταθούν όσο γίνεται περισσότεροι αριθμοί σε περιορισμένο αριθμό bytes

10 Σύστημα ακυ ακέραιος β: βάση (συνήθως 2) e: εκθέτης t: πλήθος ψηφίων για την αναπαράσταση του m στην βάση β ουρά δεκαδικός

11 Δυνατότητες αναπαράστασης του συστήματος ακυ Πεπερασμένο σύνολο ρητών αριθμών Οι ακραίες τιμές είναι συγκεκριμένες για κάθε τέτοιο σύστημα Μη-ισαπέχοντες αριθμοί Παραμένουν όμως πρακτικά χρήσιμα πολλοί στο πλήθος με σημαντικό εύρος για τις πρακτικές εφαρμογές μας! (32 και 64 bits στους σύγχρονους Η/Υ)

12 Τάξη μεγέθους και διακριτικότητα Εύρος Ακραίων τιμών Διακριτικότητα ακρίβεια

13 Η απεικόνιση fl() Απεικονίζει το πραγματικό x στο πλησιέστερο στοιχείο του F Απεικονίζει ένα απειροσύνολο σε ένα πεπερασμένο σύνολο

14 Το σύνολο G μ, Μ οι ελάχιστοι, μέγιστοι μη μηδενικοί αριθμοί του συστήματος ακυ

15 Συμπεριφορά της απεικόνισης fl() Τέλεια απεικόνιση

16 Συμπεριφορά της απεικόνισης fl() (συνέχεια) Στρογγύλευση Προκαλείται Σφάλμα

17 Υπερχείλιση, Υποχείλιση Υπερχείλιση Υποχείλιση

18 Στρογγύλευση προς το πληρέστερο

19 Τι γίνεται όταν βρίσκεται στο κέντρο δύο γειτονικών σημείων Επιλέγουμε εκείνο από τα άκρα που το τελευταίο ψηφίο του είναι ζυγό

20 Παράδειγμα Έστω F(10,4,-9,9) και x1= , x2= Λύση: fl(x1) = και fl(x2) =

21 Κανονικοποίηση Μη μοναδικός τρόπος αναπαράστασης Πρόβλημα Λύση Υποχρεώνουμε το πρώτο στοιχείο του m να είναι μη μηδενικό.

22 Αφού είναι το d1=1 πάντα, γιατί να το καταχωρήσω; Το λαμβάνω υπόψη μου στους υπολογισμούς αλλά δεν το καταχωρώ! Κρυμμένο bit

23 Τα συστήματα ακυ σήμερα

24 Τα συστήματα ακυ σήμερα

25 Τα συστήματα ακυ σήμερα VLSI - FPGA

26 Τα συστήματα ακυ σήμερα FPGA

27 Ιδιότητες του συστήματος ακυ Εύρος αναπαράστασης

28 Ιδιότητες του συστήματος ακυ

29 Ιδιότητες του συστήματος ακυ

30 Ιδιότητες του συστήματος ακυ

31 Ιδιότητες του συστήματος ακυ Μη ισοκατανομή

32 Το έψιλον της Μηχανής Η απόσταση που χωρίζει το 1 από τον αμέσως μεγαλύτερο ακυ

33 Παλαιότερος ορισμός εψιλον μηχανής Ελάχιστος θετικός ακυ για τον οποίο ισχύει fl(1+ε)>1

34 Το έψιλον της Μηχανής (φυσική σημασία) Δηλώνει την μέγιστη διακριτικότητα του συστήματος Αν γνωρίζουμε ότι μετά την υποδιαστολή χρησιμοποιούνται t-1 δυαδικά ψηφία τότε ο αμέσως επόμενος αριθμός μετά το 1 είναι ο t.Οπότε ε m = 2 1-t

35 Φορητός Matlab κώδικας για τον υπολογισμό του εψιλον

36 Περιορισμοί συστήματος ακυ Μη κλειστότητα των πράξεων:

37 Πρέπει να ορίσουμε πράξεις ακυ που αντιστοιχούν σε πράξεις του R Θεμελιώδης προδιαγραφή: Exact rounding

38 Τι αλλάζει μεταξύ R, F (ακυ); Αξιώματα πρόσθεσης Αξιώματα πολλαπλασιασμού

39 Αξιώματα πρόσθεσης R

40 Αξίωμα Α0 Ισχύει αν επεκτείνουμε το F με κατάλληλα σύμβολα

41 Αξίωμα Α1 Ισχύει

42 Αξίωμα Α2 Δεν Ισχύει

43 Αξίωμα Α3, Α4 Ισχύουν

44 Αξιώματα πολλαπλασιασμού με προσθήκη συμβόλων x x

45 Αξίωμα Π4 Matlab κώδικας

46 Μετάδοση σφάλματος Υποθέτουμε: Κανονικοποίηση Στρογγύλευση προς το ζυγό

47 Μετάδοση σφάλματος Βάσει Θεμελιώδη προδιαγραφή: Επεκτείνουμε:

48 Μοντέλο διάδοσης σφάλματος

49 Γενικεύσεις

50 Παράδειγμα 1

51 Παράδειγμα 1(συνέχεια) Υπολογίζουμε τα επιμέρους τμήματα:

52 Παράδειγμα 1(συνέχεια) Κάνοντας αντικαταστάσεις:

53 Παράδειγμα 2ο

54 Παράδειγμα 2ο (συνέχεια) Κάνοντας αντικαταστάσεις:

55 Παράδειγμα 2ο (συνέχεια)

56 Παράδειγμα 2ο (συνέχεια)