OSNOVE RADA U MS EXCELU

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OSNOVE RADA U MS EXCELU"

Transcript

1 mr.sc. Bojan Kovačić OSNOVE RADA U MS EXCELU interna skripta 1 1 Ova interna skripta korištena je na laboratorijskim vježbama iz Poslovne informatike koje je autor držao studentima 1. godine stručnoga studija računovodstva i financija na Visokoj školi za financijski menadžment u akademskoj godini 2006/2007. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 1

2 Sadržaj PREDGOVOR ORGANIZACIJA PODATAKA Ćelije Aktiviranje i označavanje ćelije Unos podataka u ćeliju Blok ćelija Označavanje bloka ćelija i skupine ćelija Premještanje ćelije Kopiranje ćelije Brisanje sadržaja ćelije, bloka ćelija i skupine ćelija Brisanje ćelije, bloka ćelija i skupine ćelija Stupci i retci Promjena širine stupca i visine retka Označavanje (niza) redaka i stupaca Umetanje novih redaka i stupaca Sakrivanje i otkrivanje (nizova) stupaca i redaka Premještanje redaka i stupaca unutar radnoga lista i radne knjige Kopiranje redaka i stupaca unutar radnoga lista i radne knjige Brisanje redaka i stupaca Listovi radne knjige Pomicanje po radnom listu Dijeljenje prozora Povećalo (Zoom) Označavanje lista Odabir radnoga lista Umetanje radnih listova u trenutno aktivnu radnu knjigu Kidanje listova iz knjige Preimenovanje listova Premještanje radnih listova unutar jedne knjige ili u drugu knjigu Kopiranje listova unutar iste knjige ili iz knjige u knjigu Grupiranje i razgrupiranje listova Podatci Unos podataka Unos podataka u nizu Unos podataka u nizu pomoću miša OBLIKOVANJE PODATAKA Oblikovanje ispisa brojeva Poravnanja Odabir i oblikovanje fonta mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 2

3 2.4. Oblikovanje granica ćelije, bloka ćelija i tablice Odabir boje pozadine ćelije, bloka ćelija i tablice Sortiranje podataka RAD S DATOTEKAMA FUNKCIJE I FORMULE Funkcije Primjeri matematičkih funkcija Primjeri logičkih funkcija Primjeri statističkih funkcija Primjeri financijskih funkcija Formule Vrste adresa ćelija Uporaba funkcija prigodom pisanja formula Primjeri formula Naredba Traženje cilja (Goal Seek) Primjeri primjene formula i funkcija LITERATURA BILJEŠKA O AUTORU mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 3

4 PREDGOVOR U današnje je vrijeme praktički nezamislivo ne poznavati osnove rada na računalu. Pritom se pod osnovama rada na računalu obično podrazumijeva osnovno korištenje računalnih programa Microsoft Office (poglavito Microsoft Word, Microsoft Excel i Microsoft PowerPoint), Internet Explorer i Outlook Express. I dok se potonja dva koriste uglavnom za surfanje po Internetu i slanje, odnosno primanje elektroničkih poruka, alati programa Microsoft Office koriste se za izradbu različitih vrsta tekstualnih dokumenata, tablica, prezentacija i sl. Interna skripta koja su pred vama zapravo je priručnik namijenjen upoznavanju i učenju osnovnih elemenata rada s programom Microsoft Excel. Iako ga je moguće koristiti radeći s bilo kojom verzijom Microsoft Excela, ipak se preporučuje koristiti Microsoft Excel 2003 ili neku od kasnijih verzija. Pritom se ne pretpostavlja da bilo tko od korisnika već ima nekakvo elementarno predznanje potrebno za rad s MS Excelom, ali se na pojedinim mjestima pretpostavlja poznavanje osnovnih pojmova gospodarske matematike 2. Preporučuje se koristiti priručnik u neposrednom radu s računalom, a ne pasivno ga čitajući. Tako se praktično najučinkovitije mogu naučiti sve osnove, ali i trikovi koji se opisuju u tekstu koji slijedi. Priručnik je tematski strukturiran tako da izborom i sadržajem tema potpuno prati program laboratorijskih vježbi iz kolegija Poslovna informatika 3. Tako se najprije obrañuju osnove organizacije podataka u MS Excelu, te oblikovanje podataka, a tek potom rad s datotekama, funkcije i formule. Kako i priliči ovakvoj vrsti stručnoga djela, osnovni je tekst popraćen većim brojem različitih primjera, kao i nekolicinom zadataka za vježbu namijenjenima studentima za samostalno rješavanje. Ugodna mi je dužnost zahvaliti na suradnji i pomoći dr.sc. Kseniji Klasić, prof. visoke škole, bez čijega poticaja ovaj priručnik ne bi niti bio napisan. Zahvaljujem i studentima koji su svojim pitanjima, primjedbama i dobronamjernim komentarima pomogli da cijela interna skripta budu još svrsishodnija, ali i kvalitetnija. U Zagrebu, lipnja Bojan Kovačić 2 Osnovni razlog za takvu pretpostavku je što su ova interna skripta ponajprije bila namijenjena studentima stručnoga studija računovodstva i financija koji usporedno s kolegijem Poslovna informatika slušaju i kolegij Gospodarska matematika (vidjeti bilješku 1.). 3 Vidjeti bilješku 1. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 4

5 1. ORGANIZACIJA PODATAKA Podaci koje obrañujemo programom MS Excel smješteni su u tzv. ćelijama (engl. cells) koje svojom zadanom duljinom i širinom predstavljaju noćnu moru svakoga osuñenika na izdržavanje zatvorske kazne. (Kako pojedinu ćeliju ipak možemo učiniti ugodnijom za njezine stanovnike, naučit ćemo kasnije.) Skup od ,00 ćelija naziva se tabela (engl. table), a ne zatvor, kako bi se prvotno moglo pomisliti. Svaka tablica zasebno tvori jedan list (engl. sheet), a skup listova tvori radnu knjigu (engl. book). Drugim riječima, radna knjiga je zapravo datoteka kreirana u MS Excelu, a ukupan broj njezinih listova odreñujemo sami (može ih biti najviše 255, a nama će i biti sasvim dovoljno bude li ih 5-6). Trenutno aktivni list radne knjige naziva se radni list (engl. worksheet). Važna leksička napomena: Slabiji poznavatelji engleskoga jezika vrlo često riječ sheet čitaju s kratkim i umjesto s dugim i (ispravno je: i: t možete razvući i koliko vas volja, ali ne pretjerujte), pa jadan, sasvim čist i uredan list pretvore u fekaliju. Stoga oprez s čitanjem! 1.1. Ćelije Svaka je ćelija presjek točno jednoga retka i točno jednoga stupca. Stoga ima smisla definirati adresu ćelije (nešto kao JMBG ćelije ili, u duhu najnovijih briljantnih umotvorina, njezinu jedinstvenu poreznu oznaku) kao zajedničku oznaku retka i stupca čiji je ona presjek. Budući da su stupci označeni slovima, a retci brojevima, u definiranju adrese ćelije najprije pišemo ime stupca, a potom ime retka: A1, B2, C4, D6, IV65536 i sl Aktiviranje i označavanje ćelije Pojedinu ćeliju aktiviramo (tj. omogućujemo da nešto radimo s njom upisujemo podatke, kopiramo je i sl.) tako da na nju jednom kliknemo lijevom tipkom miša. Tada se ta ćelija uokviri tamnim pravokutnikom. Takva ćelija ujedno je i označena, što znači da je možemo npr. premjestiti, kopirati itd Unos podataka u ćeliju Unos podataka u ćeliju radimo na sljedeći način: 1.) Postavimo pokazivač miša na ćeliju u koju želimo unijeti podatke; 2.) U vrlo kratkom razmaku (približno jednakim 1 desetinki sekunde) dva puta uzastopno kliknemo lijevom tipkom miša. Ako smo dobro radili, željena ćelija bit će označena tamnim pravokutnikom, a unutar nje bit će smješten trepćući pokazivač (kursor). 3.) Unesemo željeni podatak (tekst, broj itd.). mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 5

6 4.) Pritisnemo tipku Enter kako bismo potvrdili da unijeti podatak uistinu treba biti u navedenoj ćeliji (otprilike kao kad stražari dovedu zatvorenika u njegovu zatvorsku ćeliju, zatvore vrata ćelije i zaključaju ih). Nakon pritiskanja tipke Enter dobiveni podaci bit će u željenoj ćeliji, a ćelija neposredno ispod željene bit će označena tamnim pravokutnikom. Važna napomena: Umjesto tipke Enter moguće je i pritisnuti jednu iz skupine četiriju strelica na tipkovnici pomoću kojih se u radnom listu krećemo u četiri različita smjera. Ukoliko, pak, želimo odustati od unosa podataka, trebamo pod hitno nestati iz ćelije (tj. hrabro zbrisati s mjesta zločina) pritisnemo tipku Escape (Esc) Blok ćelija Skupinu ćelija koja tvori pravokutnik nazivamo blokom ćelija. Blok ćelija jednoznačno je odreñen zadavanjem adresa prve i posljednje ćelije koje ga tvore. To radimo tako da najprije napišemo adresu prve ćelije, potom stavimo znak dvotočke :, a potom napišemo adresu posljednje ćelije. Npr. blok kojega tvore ćelije A1, B1, A2 i B2 zadajemo ovako: A1:B2, a blok kojega tvore ćelije A1, B1, C1 i D1 ovako: A1:D Označavanje bloka ćelija i skupine ćelija Blok ćelija označavamo na sljedeći način: 1.) postavimo pokazivač miša na prvu ćeliju bloka; 2.) pritisnemo lijevu tipku miša i držimo je pritisnutu; 3.) pokazivač miša postavimo na posljednju ćeliju bloka; 4.) otpustimo pritisnutu lijevu tipku miša. Skupinu ćelija koje ne tvore blok označavamo na sljedeći način: 1.) pritisnemo tipku Control (Ctrl) na tipkovnici; 2.) pokazivač miša postavimo na prvu ćeliju koju želimo označiti; 3.) pritisnemo lijevu tipku miša; 4.) pokazivač miša postavimo na sljedeću ćeliju koju želimo označiti i ponovimo korak 3; 5.) kad smo ponovili korak 3 za zadnju ćeliju skupine, otpustimo pritisnutu tipku Control Premještanje ćelije Ćelije i blokove ćelija (ali ne i bilo kakve skupine ćelija!) u jednom radnom listu moguće je premještati unutar istoga radnoga lista ili na novi radni list. Premještanje obavljamo na sljedeći način: 1.) označimo ćeliju (ili blok ćelija) koju želimo premjestiti i postavimo pokazivač na nju; mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 6

7 2.) pritisnemo desnu tipku miša i u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Izreži (engl. Cut) ako smo dobro radili, oko željene ćelije (ili bloka ćelija) počet će ubrzano marširati 1. udarna mravlja brigada; 3.) pustimo mrave da nam čuvaju označenu ćeliju, odvučemo pokazivač miša na ćeliju u koju želimo premjestiti označenu ćeliju i jednom kliknemo lijevom tipkom miša (isto radimo ako je u pitanju blok ćelija) ako smo dobro radili, 1. udarna mravlja brigada i dalje čuva polaznu ćeliju, a nova ćelija označena je uobičajenim tamnim pravokutnikom; 4.) postavimo pokazivač miša na ćeliju koju smo označili u koraku 3., pritisnemo desnu tipku miša i u dobivenom izborniku odaberemo opciju Zalijepi (engl. Paste) ako smo dobro radili, 1. udarna mravlja brigada se povlači u svoju vojarnu, a početna ćelija premještena je na željeno mjesto. Važna napomena: Premještanje ćelije zapravo je premještanje njezina sadržaja. Učinak gornjega postupka je da polazna ćelija postaje potpuno prazna, a željena ćelija ispunjena podacima (otprilike kao kad iz svoje stare garsonjere u III. odvojku Kozari puteva preselimo sve svoje stvari u garsonjeru na Pantovčaku koju smo naslijedili od nedavno preminule bogate tetke). Vježba 1. Otvorite novu radnu knjigu. Na radnom listu List1 (Sheet1) riješite sljedeće zadatke: a) U svaku ćeliju bloka A1:C3 upišite broj retka u kojemu se nalazi dotična ćelija. Potom premjestite blok tako da ćelija A1 bude na mjestu ćelije D1. b) Istovremeno označite ćelije D1, E3 i F2. Možete li premjestiti tu skupinu ćelija tako da ćelija D1 bude na mjestu ćelije A1? c) U ćeliju A3 upišite riječ DARKOM, u ćeliju B3 riječi u RH, a u ćeliju C3 riječi najbolja tvrtka. Isključivo premještanjem ćelija u bloku ćelija ispišite tekst DARKOM najbolja tvrtka u RH u blokovima ćelija B1:B3 i A4:C Kopiranje ćelije Kopiranje sadržaja neke ćelije (ili bloka ćelija) radi se analogno premještanju ćelija, samo što se u koraku 2. odabere opcija Kopiraj (Copy). Ova operaciju treba zamišljati kao da imamo garsonjeru u Kozari putevima, pa novu garsonjeru na Pantovčaku (koju nam je ostavila nedavno preminula najdraža tetka na svijetu) želimo opremiti potpuno isto kao i onu u Kozari putevima. Drugim riječima, kopiranjem ćelije ne nestaje sadržaj polazne ćelije kao što je to bio slučaj prigodom premještanja ćelija. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 7

8 Vježba 2. Na već otvorenom radnom listu List1 (Sheet1) riješite sljedeće zadatke: a) U ćeliju A5 upišite riječ Turbolimač pa kopirajte sadržaj ćelije A5 u ćeliju B5. Uočite što se dogodilo. b) Kopirajte blok ćelija D1:F3 tako da ćelija D1 bude kopirana u ćeliju B1. Uočite što se dogodilo sa sadržajem ćelija u bloku A3:C Brisanje sadržaja ćelije, bloka ćelija i skupine ćelija Brisanje sadržaja ćelije, bloka ćelija i skupine ćelija radimo na sljedeći način: 1.) Označimo sve ćelije čiji sadržaj želimo izbrisati. 2.) Pritisnemo tipku Delete na tipkovnici. Ako vam je ta operacija prekomplicirana, možete postupiti jednostavnije: kliknite jednom desnom tipkom miša i u dobivenom izborniku odaberite opciju Očisti sadržaj (Clear) Brisanje ćelije, bloka ćelija i skupine ćelija Brisanje ćelija, bloka ćelija i skupine ćelija provodimo na sljedeći način: 1.) Označimo sve ćelije koje želimo izbrisati; 2.) Pritisnemo desnu tipku miša i meñu ponuñenim opcijama odaberemo opciju Izbriši (Delete ). 3.) U dobivenom dijaloškom okviru odaberemo želimo li preostale ćelije (onih 16 milijuna i nešto sitno) pomaknuti prema gore ili prema lijevo. (Postupak funkcionira čak i u ćeliji IV65536 premda ne znamo što se to miče prema lijevo i dolazi u ćeliju IV65536 dokaz da i izvan radnog lista ima nevidljivih ćelija). Opcije Brisanje cijeloga retka i Brisanje cijeloga stupca nisu baš preporučljive (bilo bi vrlo neljudski od nas da zbog jedne ćelije ni kriv ni dužan nestane cijeli siroti redak ili stupac. Vježba 3. a) Izbrišite sadržaj ćelije A5, a potom i ćeliju A5 pomicanjem preostalih ćelija ulijevo. Uočite što se dogodilo s ćelijom B5. b) Izbrišite blok ćelija B1:C2 pomicanjem preostalih ćelija prema gore. Uočite što se dogodilo s blokom ćelija B3:C3. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 8

9 1.2. Stupci i retci Naglasimo još jednom: Stupci unutar jednoga radnoga lista označeni su slovima A, B, C,, AA (ne čitajte ga kao da vam je neki stokilaš stao na nogu, nego s dva odvojena glasa ''a''), AB, AC,, ET (čitajte ga ''e te'', a ne ''i ti'' iako vam ovo može izgledati kao krunski dokaz da u Gatesovoj tvrtki rade izvanzemaljci),, IT, IU, IV, a ima ih ukupno 256. Retci unutar radnoga lista označeni su brojevima 1, 2, 3,, 65535, 65536, a ima ih tko bi rekao! ukupno ,00. Stoga jedan radni list ima ukupno 256, ,00 = ,00 ćelija (ovo navodimo tek toliko da s čežnjom ne ustvrdite kako u Poslovnoj informatici nema ama baš nikakvih dokaza nalik nadaleko poznatim i od širokih studentskih masa obljubljenim dokazima iz Gospodarske matematike) Promjena širine stupca i visine retka Širinu pojedinoga stupca mijenjamo na sljedeći način: 1.) Pokazivač miša dovedemo na desnu granicu stupca kojemu mijenjamo izgled. Ako smo dobro radili, pokazivač miša poprimit će izgled križića (kao da se miš priprema za odlazak u 5. križarski rat). 2.) Ako želimo podesiti širinu stupca prema najdužem tekstu smještenom u tom stupcu (točnije, u nekoj njegovoj ćeliji), dvostruko kliknemo lijevom tipkom miša (vidite korak 2. u odjeljku Unos podataka u ćeliju). 3.) Ukoliko želimo suziti ili raširiti stupac na širinu prema vlastitom izboru, pritisnemo lijevu tipku miša i držimo je pritisnutu. Potom pomičemo pokazivač miša ulijevo ili udesno ovisno o tome želimo li suziti ili raširiti stupac. Iznos trenutne širine stupca pokazuje se neposredno iznad pokazivača miša. Važna napomena: Ukoliko pokazivač miša pomaknemo preko lijeve granice stupca, dotični stupac će biti prekriven. Daljnjim pomicanjem možemo prekriti i sve ostale stupce lijevo od polaznoga. Preporučujemo ne koristiti ovu opciju jer umjesto prekrivanja stupaca postoji pametnija mogućnost sakrivanja (i otkrivanja) stupaca o kojoj ćemo govoriti malo kasnije. Visinu pojedinoga retka mijenjamo na analogan način, samo što u koraku 1. pokazivač miša postavimo na donju granicu retka čiju visinu želimo promijeniti, a potom pomičemo miš prema gore (sužavajući redak) ili prema dolje (raširujući redak). Budući da svi znakovi u jednom retku imaju jednaku visinu (svi su bliski roñaci Lilliputanaca), opcija prilagodbe visine retka visini najvećega znaka u tom retku nije predviñena. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 9

10 Otvorite radni list List2 (Sheet2). Vježba 4. a) Promijenite visinu retka 5 tako da se ona utrostruči. Nakon toga je smanjite na 2 piksela. b) Promijenite širinu stupca D tako da se ona udvostruči. Nakon toga je smanjite na 3 piksela. c) U ćeliju A1 upišite tekst Grad Daruvar najljepši mali grad u Hrvatskoj. Nakon toga promijenite širinu stupca A tako da cijeli upisani tekst bude u jednoj ćeliji Označavanje (niza) redaka i stupaca Pojedini redak označavamo tako da lijevom tipkom miša kliknemo na njegovu oznaku (tj. broj). Ukoliko želimo označiti niz uzastopnih redaka čije oznake tvore aritmetički niz s razlikom 1 (zatomite nostalgične uzdahe za dobrom, starom Gospodarskom matematikom), trebamo pritisnuti tipku Shift i, držeći je pritisnutu, uzeti miš u drugu ruku, te označiti prvi i posljednji član u navedenom nizu. Ako je niz ''kraći'' (tj. sastoji se od relativno malo redaka), njegove članove možemo označiti tako da miša izvedemo u šetnju: postavimo pokazivač miša na prvi član niza, pritisnemo lijevu tipku miša i, držeći je pritisnutu, prošećemo miš od prvoga člana niza do zadnjega (pritom ne trebamo pritisnuti tipku Shift). Kad stignemo do zadnjega člana niza, otpustimo lijevu tipku miša i gotovo. Označavanje (niza) stupaca radimo na potpuno analogan način kao i za retke Umetanje novih redaka i stupaca Izrañujući praktične zadatke nerijetko ćemo biti u situaciji da izmeñu dvaju postojećih redaka (stupaca) trebamo umetnuti novi redak (stupac). Umetanje redaka radimo na sljedeći način: 1.) desnom tipkom miša jednom kliknemo na oznaku retka iznad kojega želimo umetnuti novi redak; 2.) u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Umetni (Insert). Ako smo dobro radili, umetnuti redak dobio je oznaku retka kojega smo označili u koraku 1., a svim retcima ispod njega oznaka je povećana za 1. Iako nam intuicija možebitno govori drugačije, umetanje stupaca radimo na sljedeći način: 1.) desnom tipkom miša jednom kliknemo na oznaku stupac ispred kojega želimo umetnuti novi stupac; 2.) u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Umetni (Insert). mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 10

11 Ako smo dobro radili, umetnuti stupac dobio je oznaku stupca kojega smo označili u koraku 1., a svim stupcima desno od njega oznaka je ''povećana'' za 1 (nismo baš definirali što bi to bilo npr. EG + 1, ali intuitivno nam je jasno). Važna napomena: U jednom koraku možemo umetnuti točno jedan redak (stupac) Sakrivanje i otkrivanje (nizova) stupaca i redaka Stupce i retke možemo sakrivati i otkrivati tako da njihov sadržaj ostane nepromijenjen (vrlo prikladno u slučajevima kad npr. ćelije sadrže podatke o našoj plaći u proteklih 6 mjeseci, a ona zločesta namiguša za susjednim stolom uporno izvija svoje fitnessom umjetno oblikovano tijelo ne bi li ih doznala). Sakrivanje retka (stupca) radimo na sljedeći način: 1.) postavimo pokazivač miša na redak (stupac) koji želimo sakriti; 2.) desnom tipkom miša jednom kliknemo na oznaku retka (stupca); 3.) u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Sakrij (Hide). Ako smo dobro radili, izmeñu dvaju redaka (stupaca) koji omeñuju skriveni redak (stupac) pojavit će se (izdajnički) podebljani pravac. Pravac će nestati kliknemo li na bilo koju od preostalih ćelija. Otkrivanje retka (stupca) radimo na sljedeći način: 1.) označimo retke (stupce) koji omeñuju skriveni redak (stupac); 2.) postavimo pokazivač miša na označene retke (stupce); 3.) jednom kliknemo desnom tipkom miša; 4.) u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Otkrij (Unhide) (i, nakon što je namiguša otišla šefu radi svakodnevnog rješavanja vrućih problema, podaci o našoj plaći ponovno su pred nama). Na potpuno analogan način sakrivamo i otkrivamo blokove uzastopnih redaka (stupaca). Vježba 5. Na radnom listu List2 (Sheet2) riješite sljedeće zadatke: a) Ispred retka 9 umetnite novi redak, pa ga sakrijte. b) Iza stupca G umetnite novi stupac, pa sakrijte niz stupaca E, F, G, H. c) Provedite otkrivanje redaka i stupaca skrivenih u prethodnim zadacima Premještanje redaka i stupaca unutar radnoga lista i radne knjige mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 11

12 Retke i stupce možemo premještati unutar radnoga lista i unutar radne knjige (dakle, s jednoga lista na drugi). To radimo na sljedeći način: 1.) Postavimo pokazivač miša na oznaku retka (stupca) kojega želimo premjestiti. 2.) Jedanput kliknemo desnom tipkom miša i u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Izreži (Cut). Ako smo dobro radili, svih 50 udarnih mravljih brigada maršira oko označenoga retka (stupca). 3.) Ukoliko je potrebno, otvorimo novu radnu knjigu i lijevom tipkom miša jednom kliknemo na list na koji želimo smjestiti označeni redak (stupac). 4.) Postavimo pokazivač miša na redak (stupac) u koji želimo premjestiti označeni redak (stupac). 5.) Jedanput kliknemo desnom tipkom miša i u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Zalijepi (Paste). Ako smo dobro radili, sve udarne mravlje brigade vratile su se u svoje vojarne, a označeni redak (stupac) premješten je na željeno mjesto. Na opisani način možemo premještati i blokove redaka (stupaca). Jedina razlika je u tome što u koraku 1. moramo označiti cijeli blok redaka (stupaca) kojega želimo premjestiti. Vježba 6. Na radnom listu List2 (Sheet2) riješite sljedeće zadatke: a) U ćeliju C1 upišite riječ Grad, a u ćeliju F6 riječi Daruvar Ždralovgrad (ukoliko je potrebno, raširite stupac F tako da obje riječi budu u istoj ćeliji). Označite redak 1 i premjestite ga neposredno iza retka 5. Potom označite stupac F i premjestite ga na mjesto stupca C. Uočite što se dogodilo sa oznakama redaka i stupaca, te sa sadržajima ćelija C1 i F6. b) U ćeliju A1 upišite riječ Poslovna, u ćeliju B2 riječ informatika, a u ćeliju C1 riječ vježbe. Označite redak 1 i premjestite ga neposredno ispred retka 8 na radnom listu List1 (Sheet1) knjige Knjiga2 (Book2). Potom označite stupac C i premjestite ga na mjesto stupca A na istom radnom listu na kojemu se nalazi premješteni redak 1. Uočite što se dogodilo s oznakama redaka i stupaca listova List2 (Sheet2) u Knjizi1 (Book1) i List1 (Sheet1) u Knjizi2 (Book2) Kopiranje redaka i stupaca unutar radnoga lista i radne knjige Kao što ih možemo premještati, retke (stupce) možemo i kopirati unutar radnih listova i radnih knjiga. To radimo na sljedeći način: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 12

13 1.) Postavimo pokazivač miša na oznaku retka (stupca) kojega želimo kopirati. 2.) Jedanput kliknemo desnom tipkom miša i u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Kopiraj (Copy). Ako smo dobro radili, svih 50 udarnih mravljih brigada opet maršira oko označenoga retka (stupca). 3.) Ukoliko je potrebno, otvorimo novu radnu knjigu i lijevom tipkom miša jednom kliknemo na list na koji želimo kopirati označeni redak (stupac). 4.) Postavimo pokazivač miša na redak (stupac) u koji želimo kopirati označeni redak (stupac). 5.) Jedanput kliknemo desnom tipkom miša i u ponuñenom izborniku odaberemo opciju Zalijepi (Paste). Ako smo dobro radili, sve udarne mravlje brigade opet su se vratile u svoje vojarne, a označeni redak (stupac) kopiran je na željeno mjesto. Na opisani način možemo kopirati i blokove redaka (stupaca). Jedina razlika je u tome što u koraku 1. moramo označiti cijeli blok redaka (stupaca) kojega želimo premjestiti. Važna napomena: Operacijom kopiranja brišu se ranije upisani podaci iz retka (stupca) u koji kopiramo označeni redak (stupac) Brisanje redaka i stupaca Retke i stupce (i cjelokupni sadržaj svih njihovih ćelija) možemo obrisati na sljedeći način: 1.) Postavimo pokazivač miša na oznaku retka (stupca) kojega želimo obrisati. 2.) Jedanput kliknemo desnom tipkom miša i meñu ponuñenim opcijama odaberemo opciju Izbriši (Delete). Posljedica ove operacije jest redefiniranje oznaka redaka (stupaca) ispod (desno od) izbrisanoga retka (stupca). Njihove oznake smanjuju se za 1 (OK, valjda znamo što je npr. 10 1, ali formalno ne znamo što bi to bilo npr. (ET 1) inuitivno nam je valjda jasno o čemu se radi). Operacija brisanja cjelokupnih redaka i stupaca prilično je ''radikalna'', a nerijetko i nepotrebna (naročito ako je ona opaka namiguša premještena u drugi ured). Vrlo korisna alternativna operacija je brisanje sadržaja redaka i stupaca. Sadržaj redaka (stupaca) brišemo postupkom analognim postupku brisanja cijelih redaka (stupaca), samo što u koraku 2. odaberemo opciju Očisti sadržaj (Clear All). Vježba 7. U radnoj knjizi Knjiga1 izbrišite sav sadržaj lista List1 (Sheet1). Potom riješite sljedeće zadatke: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 13

14 a) U ćeliju B1 upisati riječ štrudla. Potom stupac B kopirajte na mjesto stupca D. Uočite što se dogodilo s ćelijom B1. b) Redak 1 kopirajte na mjesto retka 6. Uočite što se dogaña s ćelijama B6 i D6. c) Označite stupac B, pa najprije izbrišite sav njegov sadržaj, a potom i sâm stupac. Uočite razliku izmeñu provedenih operacija Listovi radne knjige Gospodin Gates i njegovi suradnici su, prigodom stvaranja programa MS Excel, definirali da svaka nova radna knjiga sadrži točno 3 radna lista. Ukoliko se ne slažemo s takvim izborom gospodina Gatesa, možemo postupiti na sljedeći način: 1.) Na vrpci izbornika (to vam je prvi redak ispod naslova Microsoft Excel Knjiga1 na kojemu piše Datoteka (File), Ureñivanje (Edit) itd.) odaberemo opciju Alati (Tools) tako da postavimo pokazivač miša na natpis Alati (Tools) i jednom kliknemo lijevom tipkom miša. 2.) U dobivenom izborniku odaberemo podopciju Mogućnosti (Options). Opet ista priča: prošećemo miša do natpisa Mogućnosti (Options) i jednom kliknemo lijevom tipkom miša. Ako smo dobro radili, pojavit će se dijaloški okvir s toliko mogućnosti da nam je prvi poriv hitno nazvati 988 i pitati za supertajni broj mobitela gospodina Gatesa kojega ne zna čak ni njegova ljubavnica. Bez panike! Idemo na korak 3. 3.) Prošećemo miša do natpisa Općenito (General) i jednom kliknemo lijevom tipkom miša na taj natpis. 4.) Negdje na sredini dobivenoga okvira nalazi se natpis Listovi u novoj radnoj knjizi (Sheets in new workbook). Kraj toga natpisa nalazi se bijeli pravokutnik (na kraju kojega su neke čudne male strelice), pa prošećimo miša do toga pravokutnika i jednom kliknimo lijevom tipkom miša. Ako smo dobro radili, bijeli pravokutnik naglo je postao crni (kao da smo ga zapalili). Opet nema razloga za paniku, sve je u najboljem redu. 5.) Upišimo broj listova za koji želimo da nam se pojavi u svakoj novoj radnoj knjizi. Taj broj nužno mora biti izmeñu 1 i 255 (dakle, ne pretjerujte s brojkama tipa ,00). Ako vam je 255 listova premalo, bolje je da podatke smjestite u više radnih knjiga nego da zovete 988 i tražite onaj supertajni broj gospodina Gatesa. 6.) Nakon što smo upisali željeni broj, prošećimo miša do natpisa OK i lijevom tipkom miša jednom kliknimo na taj natpis. Nakon niza opasnosti i gotovo pogibeljnih situacija (Lara Croft nam nije ni do koljena), opet smo na sigurnom onaj strašni dijaloški okvir je nestao. 7.) Da bi MS Excel prihvatio unijete promjene, potrebno ga je zatvoriti i ponovno pokrenuti. To valjda već znate sami: Datoteka (File) Izlaz (Exit) itd. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 14

15 Pomicanje po radnom listu Po radnom listu se možemo kretati na nekoliko načina, a ovdje ćemo opisati tri najčešće korištena. Pomicanje uz pomoć tipki na tipkovnici radimo pritiskom na jednu tipku tipkovnice ili kombinaciju tipaka. Npr. pritiskom na strelice,,, krećemo se redom lijevo, desno, gore i dolje; pritiskom na tipku Home dolazimo na početak tekućega reda; pritiskom na tipku Page Up i Page Down prelazimo za 34 retka prema gore ili dolje (npr. ako prvi redak na vidljivom dijelu radnoga lista ima oznaku 1, onda će pritiskom na tipku Page Up prvi redak na vidljivom dijelu radnoga lista imati oznaku 35 itd.) Pomicanje uz pomoć miša moguće je unutar vidljivoga dijela radnoga lista, a izvodimo ga tako da prošećemo miša do željene ćelije i jednom kliknemo lijevom tipkom miša. Pomicanje pomoću klizača (to su oni sivi pravokutnici omeñeni dvjema strelicama u donjem desnom kutu i na desnom kraju radnoga lista, a za koje ste mislili da su rezultat hirova gospodina Gatesa) radimo tako da jednom kliknemo lijevom tipkom miša ili na neku od strelica koje omeñuju klizače (tako se mičemo korak po korak) ili na neki od klizača (za brzo pomicanje) ili na vodilicu klizača (to je onaj svijetlosivi pravokutnik omeñen klizačem s jedne strane i jednom od strelica s druge strane, a klikom na njega pomičemo se za jedan ekran gore, dolje, lijevo ili desno) Dijeljenje prozora Ukoliko na radnim listovima imamo pohranjen velik broj podataka (recimo, sve svoje dozvoljene i nedozvoljene financijske transakcije), radi bolje preglednosti podataka u udaljenijim ćelijama možemo podijeliti prozor s radnim listom. To radimo tako da na vrpci izbornika (objašnjenje što je vrpca izbornika vidite u koraku 1. opisa postupka promjene postavljenoga broja radnih listova u jednoj radnoj knjizi) lijevom tipkom miša kliknemo na natpis Prozor (Windows), a potom meñu ponuñenim opcijama odaberemo opciju Podijeli (Split nema veze sa središtem Splitsko-dalmatinske županije). Pritom se mogu pojaviti sljedeći slučajevi: a) Ako je trenutno aktivna ćelija A1, prozor će biti podijeljen na četiri meñusobno jednaka (ili, kako bi matematičari rekli, sukladna) dijela. b) Ako je trenutno aktivna bilo koja druga ćelija, prozor će biti podijeljen na četiri nesukladna dijela tako da granice dijelova prolaze lijevim i gornjim bridom aktivne ćelije. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 15

16 c) Ako je trenutno označen jedan stupac, prozor će biti podijeljen vertikalno u dva nesukladna dijela i označeni stupac bit će prvi u desnom od njih. d) Ako je trenutno označen jedan redak, prozor će biti podijeljen horizontalno u dva nesukladna dijela i označeni redak bit će prvi u donjem od njih. U takvim slučajevima retke i stupce možemo pregledavati isključivo u točno jednom dijelu prozora. Retci i stupci u ostalim dijelovima prozora pritom miruju. Želimo li aktivirati dio datoteke u nekom od drugih dijelova prozora, moramo jednom kliknuti lijevom tipkom miša unutar željenoga dijela. Ukoliko nam je, pak, dosta podjela kojima smo svakodnevno izloženi (navodno je muškarcima već dosta da moraju glačati svoje košulje i prati suñe, dok njihove supruge uz flašu piva napeto prate najnovije nastavke superuzbudljivih latinoameričkih sapunica), razdiobu prozora na dijelove možemo ukloniti tako da lijevom tipkom miša kliknemo na natpis Prozor (Window) na vrpci za izbornike, a potom odaberemo opciju Ukloni podjele (Remove Split ne morate se bojati da ćete klikom na ovu opciju izbrisati s lica zemlje središte Splitsko-dalmatinske županije i zato je hrvatska verzija MS Excela bolja od engleske) Povećalo (Zoom) Ovisno o korištenim formatima stranice i fonta (svi znakovi ne moraju baš uvijek biti bliski roñaci Liliputanaca), veličini monitora i korisnikovim potrebama, veličinu teksta možemo odabrati povećalom. Normalna (liliputanska ili, možda, gatesovska) veličina znakova je pri vrijednosti 100% (ta vrijednost piše odmah ispod natpisa Podaci (Data) na vrpci izbornika). Možemo je promijeniti tako da prošećemo miša do natpisa 100%, jednom kliknemo lijevom tipkom miša unutar odgovarajućega pravokutnika i upišemo željeno povećanje ili smanjenje veličine znakova. Ne znamo li što bismo upisali, jednom kliknimo lijevom tipkom miša na strelicu na kraju navedenoga pravokutnika i odaberimo neku od ponuñenih vrijednosti (opcija Označeno(Selection) prikazat će nam označeni dio lista preko cijeloga ekrana) Označavanje lista Ukoliko želimo istovremeno označiti sve retke i stupcce istoga radnoga lista, prošećimo miša do gotovo nezamjetnoga sivoga pravokutnika desno od stupca A i iznad retka 1, te jednom kliknimo lijevom tipkom miša na taj pravokutnik. Ako smo dobro radili, cijeli radni list trebao bi izgledati kao da ga je onaj zločesti sin našega prvoga susjeda prelio tintom Odabir radnoga lista mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 16

17 Trenutno aktivni radni list odabiremo tako da prošećemo miša do birača listova (to je niz onih kvazitrapeza u dnu radnoga lista) i jednom kliknemo lijevom tipkom miša na list koji želimo aktivirati. Taj postupak provodimo uvijek kad želimo mijenjati sadržaj, izgled ili obilježja radnoga lista Umetanje radnih listova u trenutno aktivnu radnu knjigu Želimo li unutar neke radne knjige umetnuti novi list izmeñu postojećih listova, prošećemo miša do birača lista ispred kojega želimo umetnuti novi list. Potom jednom kliknemo desnom tipkom miša i meñu ponuñenim opcijama odaberemo Umetni (Insert ). Opa! Dobili smo mogućnost da umetnemo radni list, grafikon, makronaredbu MS Excela (tko zna što je to bolje da se držimo podalje od toga!) itd. Prošećimo miša do slike ispod koje piše Radni list (Worksheet) i jednom kliknimo lijevom tipkom miša na tu sliku. Potom prošećimo miša do natpisa U redu (OK) i opet jednom kliknimo lijevom tipkom miša na taj natpis. Gotovo! Pojavio se novi radni list označen novim brojem (npr. List4 (Sheet4)) Kidanje listova iz knjige Operacija suprotna (odnosno, kako bi matematičari rekli, inverzna) umetanju listova jest kidanje listova. Ono se provodi ukoliko želimo maknuti cijeli radni list (sa svim njegovim retcima i stupcima, te sadržajem) iz radne knjige. Kao i obično, izvedemo miša u šetnju (ali najprije utješimo našega dobroga staroga Žućka - koji već odavno tužno cvili u svojoj kućici i pita se zar je ugristi našu lijevu papuču baš tako veliki grijeh - da ga nitko ne zanemaruje, da nam je on još uvijek jedini i najdraži kućni ljubimac itd.) i prošećimo ga do birača lista kojega želimo iskidati. Potom jednom kliknemo desnom tipkom miša i meñu ponuñenim opcijama odaberemo opciju Izbriši (Delete). Ako smo dobro radili, pojavljuje nam se upozorenje da će označeni list(ovi) biti trajno izbrisani, pa nas se ljubazno umoljava da jednom kliknemo lijevom tipkom miša na natpis U redu (OK) ako smo suglasni s tim, odnosno na natpis Odustani (Cancel) ako smo se u meñuvremenu ipak predomislili. Nakon što kliknemo na U redu (OK), označeni list bit će iskidan Preimenovanje listova Vrlo često nam maštoviti izbor nazivlja listova gospodina Gatesa (taj gospodin navodno i svoju djecu naziva Dijete1, Dijete2, ) ne mora biti prikladan, nego listovima želimo dati vlastita imena. Kad već nismo mogli utjecati na to da nas mama i tata nazovu od širokih narodnih masa obljubljenim imenima Beyonce, Rihanna ili Emminem, onda barem svoje radne listove možemo nazvati kako hoćemo. To radimo tako da opet prošećemo miša do birača radnoga lista kojemu želimo promijeniti ime, jednom kliknemo desnom tipkom miša i meñu ponuñenim opcijama odaberemo opciju mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 17

18 Preimenuj (Rename). Ako smo dobro radili, Gatesovo ime radnoga lista bit će zatamnjeno, što je znak da možemo početi upisivati novo ime. Kad završimo unos, jednom kliknemo lijevom tipkom miša na bilo koju ćeliju toga radnoga lista i gotovo, naziv lista je promijenjen. Vježba 8. Otvorite novu radnu knjigu i riješite sljedeće zadatke: a) Ispred svakoga od postojećih radnih listova umetnite po jedan list. Potom iskidajte posljednje umetnuti list. b) Promijenite ime List1 (Sheet1) u Ferdo. Potom promijenite ime List2 (Sheet2) u Maksimilijan. Uočite proširenje mjesta naziva lista prema dužini naziva Premještanje radnih listova unutar jedne knjige ili u drugu knjigu Ukoliko nam se ne sviña trenutni poredak radnih listova, radne listove možemo premještati na sljedeći način: 1.) Pokazivač miša postavimo na birač lista kojega želimo premjestiti. 2.) Jednom pritisnemo desnu tipku miša i meñu ponuñenim opcijama odaberemo opciju Premjesti ili kopiraj (Move or Copy ). 3.) U dobivenom dijaloškom okviru možemo izabrati radnu knjigu u koju želimo premjestiti označeni list. Ukoliko je to nova radna knjiga, lijevom tipkom miša jednom kliknemo na strelicu prikazanu u pravokutniku ispod natpisa U knjigu (To book) i odaberemo opciju (nova knjiga) (new workbook). 4.) Dobro, sad smo odabrali radnu knjigu. Preostalo nam je još odabrati radni list ispred kojega želimo premjestiti označeni radni list. Pogledamo popis naveden ispod naslova Prije lista: (Before sheet: ) i meñu ponuñenim radnim listovima odaberemo jedan list. Prošećemo miša do njegova naslova i jednom kliknemo lijevom tipkom miša. 5.) Prošećemo miša do natpisa U redu (OK) i kliknemo na taj natpis lijevom tipkom miša. Ovime postupak završava. Napomenimo i da označeni list možemo premjestiti na kraj radne knjige odabirom opcije (premjesti na kraj) (move to end) u koraku Kopiranje listova unutar iste knjige ili iz knjige u knjigu Kopiranje listova unutar iste knjige ili iz knjige u knjigu provodi se doslovno istim postupkom kao i premještanje listova. Razlika je jedino u koraku 5.: Umjesto šetnje miša izravno do natpisa U redu (OK), šetnja će biti malo dulja. Najprije prošećemo miša do praznoga kvadratića pokraj natpisa Napravi kopiju (Create a copy) i lijevom tipkom miša kliknemo na taj kvadratić. Ukoliko smo dobro radili, u kvadratiću se pojavila kvačica nalik onima kojima obiluju ispravljeni pismeni ispiti iz Gospodarske matematike. E, tako, sad možemo prošetati mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 18

19 miša do natpisa U redu (OK) i jednom kliknuti lijevom tipkom miša na taj natpis. Gotovo označeni radni list je kopiran upravo tamo gdje smo željeli. Vježba 9. Koristeći radnu knjigu iz Vježbe 8., riješite sljedeće zadatke: a) Odaberite list s nazivom Maksimilijan i premjestite ga ispred lista s nazivom Ferdo. b) Odaberite list s nazivom Ferdo i premjestite ga u novu radnu knjigu. Primijetite da će nova radna knjiga (Knjiga2 (Book2)) sadržavati samo radni list Ferdo, a da u radnoj knjizi Knjiga1 (Book1) toga lista više nema. c) U radnoj knjizi Knjiga2 (Book2) odaberite netom premješteni list Ferdo i kopirajte ga u radnu knjigu Knjiga1 (Book1) ispred lista s nazivom Maksimilijan. Provjerite je li list s nazivom Ferdo ostao u radnoj knjizi Knjiga2 (Book2). d) Odaberite list Maksimilijan u radnoj knjizi Knjiga1 (Book1) i kopirajte ga iza radnoga lista List2 (Sheet2). Navedite naziv dobivenoga radnoga lista. Potom dobiveni radni list preimenujte u Kalasancije Grupiranje i razgrupiranje listova Grupiranje listova koji tvore niz (opet uzdišete za dobrom starom Gospodarskom matematikom) radimo tako da izaberemo nekoliko listova na sljedeći način: 1.) Prošećemo miša (uz glasne Žućkove prosvjede i prijetnju tužbom zbog zanemarivanja i nanošenja duševnih boli) do birača prvoga od listova koji će tvoriti grupu. 2.) Jednom kliknemo lijevom tipkom miša na naziv prvoga od niza listova koji će tvoriti grupu. 3.) Pritisnemo tipku Shift i držimo je pritisnutu. 4.) Prošećemo miša do posljednjega od listova koji će tvoriti grupu. 5.) Jednom kliknemo lijevom tipkom miša na naziv posljednjega od niza listova koji će tvoriti grupu. 6.) Pustimo tipku Shift. Ako smo dobro radili, svi birači listova koji se nalaze izmeñu listova odabranih u koracima 1. i 4. pobijelili su poput kreča (ili poput nas kad nam naš vjerni životni partner sa smješkom i ushićenjem priopći da njegova/njezina majka stiže u unaprijed nenajavljenu posjetu i ostaje tjedan dana), a na vrpci naslova (na samom vrhu radnoga lista na njoj piše Microsoft Excel Knjiga1 (Book1)) pojavi se riječ (Grupa) (Group). To znači da su svi odabrani listovi ujedno i mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 19

20 grupirani. Ovako grupirane listove možemo premještati, kopirati, brisati itd. na potpuno isti način kao što to činimo s jednim radnim listom. Ukoliko, pak, želimo grupirati listove koji ne tvore niz, u koraku 3. trebamo pritisnuti tipku Control (Ctrl), a u koraku 6, naravno, pustiti tu tipku. Jednom grupirane listove razgrupiramo tako da prošećemo miša do grupe birača listova i jednom kliknemo na njih desnom tipkom miša. U dobivenom izborniku odaberemo opciju Razgrupiraj listove (Ungroup Sheets) i listovi će biti razgrupirani. Vježba 10. a) Odaberite sve listove radne knjige Knjiga1 (Book1) tako da tvore grupu. Potom kopirajte tu grupu listova na kraj radne knjige Knjiga2 (Book2). Odredite naziv kopiranoga lista Ferdo i provjerite piše li na vrpci naziva knjige Knjiga1 (Book1) i dalje riječ (Grupa) (Group). Naposljetku, razgrupirajte grupirane listove. b) Odaberite sve listove radne knjige Knjiga1 tako da tvore grupu. Potom premjestite grupirane listove na početak radne knjige Knjiga2 (Book2). Odredite naziv premještenoga lista Ferdo i provjerite nalazi li se na vrpci naziva knjige Knjiga1 (Book1) i dalje riječ (Grupa) (Group). c) Odaberite svaki drugi radni list radne knjige Knjiga1 (Book1) tako da tvore grupu. Nakon toga ih razgrupirajte Podatci Podatak u MS Excelu može biti numerički (broj), tekstualni, logički i datumski. Kao što smo već vidjeli, podatke unosimo u ćelije ili blokove ćelija. Jedan način unosa podataka u ćeliju već smo vidjeli, a sad ćemo opisati još jedan Unos podataka Podatke u trenutno aktivnu ćeliju možemo unijeti i koristeći liniju za unos podataka na vrpci formula (to vam je onaj duuugački bijeli pravokutnik iznad natpisa oznaka stupaca). Da bismo to mogli učiniti, označimo aktivnu ćeliju i prošećimo miša do spomenute linije za unos podataka. Jednom kliknimo lijevom tipkom miša i pokazivač miša postat će trepćući pokazivač unosa (kursor), što znači da možemo početi unositi podatke. Postupak unosa završavamo na točno jedan od triju načina: pritiskom na tipku Enter (najbrži način), klikom na zelenu kvačicu za potvrñivanje (nalazi se lijevo od vrpce u koju smo upisivali podatke) ili aktiviranjem nove ćelije. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 20

21 Ako je unijeti tekstualni podatak preširok, pa ne može stati u ćeliju, bit će ispisan u ćeliji neposredno desno od trenutno aktivne. Taj ispis će biti vidljiv sve dok ne aktiviramo dotičnu ćeliju. Ukoliko želimo vidjeti ili promijeniti sadržaj neke ćelije, najprije je moramo aktivirati, a onda ili na liniji za unos podataka ili unutar same ćelije promijeniti sve što želimo. Ukoliko jedan te isti podatak želimo unijeti u blok ćelija, moramo označiti taj blok, upisati podatak u liniju za unos podataka, pa istovremeno pritisnuti tipke Control (Ctrl) i Enter Unos podataka u nizu Vašim jedva zatomljenim uzdasima za Gospodarskom matematikom napokon je došao kraj! Sada ćemo opisati kako u ćelije možemo upisati podatke koji se nalaze u aritmetičkom, geometrijskom ili datumskom nizu. U tu svrhu postupamo ovako: 1.) U neku od ćelija upišemo prvi član niza i pritisnemo Enter. 2.) Označimo ćeliju u koju smo upravo upisali podatak. 3.) Prošećemo miša do vrpce izbornika, pa jednom kliknemo lijevom tipkom miša na natpis Uredi (Edit). 4.) U dobivenom izborniku prošećemo miša do natpisa Ispune (Fill ) i jednom kliknemo na njega lijevom tipkom miša. 5.) U novom izborniku odaberemo opciju Slijed (Series ). Na ovaj način dobivamo dijaloški okvir pod nazivom Skup (Series). Tu nam se nudi nekoliko mogućnosti, pa ih nakratko pogledajmo. Dakle, najprije moramo odlučiti hoćemo li niz podataka stvoriti u retcima ili stupcima. Ova odluka može ovisiti i o odabiru početne ćelije. Gospodin Gates je mišljenja da je nizove bolje stvarati u retcima, ali ako nam se to ne sviña, prošećimo miša do praznoga kružića pokraj natpisa Stupcima (Columns) ispod naslova Skupovi u (Series in) i jednom kliknimo lijevom tipkom miša u prazni kružić. Na taj će način naš niz podataka biti ispisan u stupcima. Potom odabiremo vrstu niza. Kako znamo, niz može biti aritmetički (opcija Linearni (Linear)), geometrijski (opcija Rast (Growth) prevoditelji gospodina Gatesa očito nisu slušali Gospodarsku matematiku!) i datumski (opcija Datum (Date)). Opciju samoispune (AutoFill) trenutno zanemarujemo. Sad odaberemo tip niza koji trebamo tako da prošećemo miša do praznoga kružića pokraj odgovarajućega natpisa i jednom kliknemo lijevom tipkom miša. Kako znamo, konačan aritmetički (geometrijski) niz odreñen je svojim početnim članom, razlikom (količnikom) i posljednjim članom. Razliku (količnik) upisujemo u prazan pravokutnik pokraj natpisa Vrijednost koraka (Step value), a posljednji član niza u prazan mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 21

22 pravokutnik pokraj natpisa Završna vrijednost (Stop value). Naravno, u svakom od tih slučajeva pokazivač miša najprije moramo postaviti na dotični pravokutnik, jednom kliknuti lijevom tipkom miša, pa tek onda upisivati vrijednosti. Kad smo sve to napravili, prošećemo miša do natpisa U redu (OK) i jednom kliknemo na taj natpis lijevom tipkom miša. Gotovo na radnom listu dobili smo ispisani niz Unos podataka u nizu pomoću miša Upravo opisani postupak može se skratiti u slučajevima kad je niz aritmetički ili datumski. Tada je postupak sljedeći: 1.) U dvije neposredno susjedne ćelije upišemo prva dva člana aritmetičkoga ili datumskoga niza. 2.) Označimo ćelije navedene u koraku 1 (zapravo, označimo blok koji tvore te dvije ćelije). 3.) Postavimo pokazivač miša u donji desni kut označenoga bloka. Oho, miš se opet sprema u 5. križarski rat pokazivač miša promijenio je oblik u ''križić''. 4.) Pritisnemo lijevu tipku miša i držimo je pritisnutu. 5.) Povučemo miša po retku ili stupcu (ovisno o izgledu bloka označenoga u koraku 2.) dokle god želimo. Posljednje dodani član aritmetičkoga niza ispisan je u svjetložutom pravokutniku smještenom ispod pokazivača miša. 6.) Kad vidimo da smo došli do željenoga posljednjega člana aritmetičkoga niza, pustimo lijevu tipku miša čime nestaje žuti pravokutnik, a u ćelijama preko kojih smo prešli mišem nalaze se vrijednosti niza. Vježba 11. a) U retku 4 radnoga lista List1 (Sheet1) kreirajte geometrijski niz 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 tako da prvi član niza bude zapisan u ćeliji C4. Premjestite dobivene rezultate na radni list List3 tako da u ćeliji G2 toga radnoga lista bude zapisan broj 16. b) U stupcu C radnoga lista List1 (Sheet1) kreirajte aritmetički niz 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Kopirajte dobivene rezultate na radni list List3 tako da u ćeliji B16 toga radnoga lista bude zapisan broj 9. c) U retku 1 radnoga lista List1 (Sheet1) kreirajte datumski niz svih dana mjeseca ožujka ove godine. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 22

23 d) U retku 1 radnoga lista List2 (Sheet2) kreirajte prvih šest članova niza zadanoga općim članom a n = 4n 7 tako da prvi član niza bude zapisan u ćeliji A1. e) U stupcu A radnoga lista List2 (Sheet2) kreirajte prvih pet članova niza zadanoga općim n 1 1 članom a n = tako da prvi član niza bude zapisan u ćeliji A2. 2 f) U retku 2 radnoga lista List2 (Sheet2) kreirajte datumski niz svih dana izmeñu Božića i Nove godine ( ). 2. OBLIKOVANJE PODATAKA Do mogućnosti oblikovanja podataka u ćeliji ili bloku ćelija, retcima, stupcima ili radnom listu možemo doći na nekoliko načina. Najbrži i najjednostavniji je označiti ćelije koje sadrže podatke koje želimo oblikovati, pa istovremeno pritisnuti tipke Control (Ctrl) i 1 (tipka na kojoj je napisan broj 1). Alternativno, nakon označavanja ćelija jednom kliknemo desnom tipkom miša i u dobivenom izborniku odaberemo opciju Oblikuj ćelije (Format cells ). Na oba opisana načina dobivamo dijaloški okvir Oblikovanje ćelija (Format cells) čije ćemo osnovne mogućnosti (prikazane unutar pojedinih kartica) ukratko opisati u nastavku Oblikovanje ispisa brojeva Kliknemo li jednom lijevom tipkom miša na karticu Broj (Number), dobit ćemo mogućnost oblikovanja ispisa brojeva. Mogući oblici ispisa su: općeniti (General) oblik u kojemu nema konkretnih oblika zapisa brojeva; brojčani (Number) u ovom se obliku bilo koji realan broj može zapisati s najviše 99 decimalnih znamenki iza decimalne točke, te s razdjelnikom tisućica; valutni (Currency) u ovom obliku brojeve shvaćamo kao novčane iznose i možemo im dodijeliti odgovarajuću novčanu jedinicu (kn, itd.) koju odabiremo iz popisa navedenoga ispod natpisa Simbol (Symbol); računovodstveni (Accounting) u ovom se obliku u istom stupcu poravnavaju oznake valuta, te decimalne točke; datumski (Date) u ovom se obliku brojevi datuma i vremena koriste kao datumske vrijednosti; vremenski (Time); postotni (Percentage) u ovom se obliku decimalni brojevi mogu prikazati u obliku postotaka (zatomite uzdahe za dobrom starom Gospodarskom matematikom); razlomački (Fraction) u ovom se obliku mogu zapisivati razlomci (u obliku a b/c, što znači: a + b/c); mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 23

24 znanstveni (Scientific) budući da se svaki realan broj može zapisati u obliku a.bc 10 d, taj se zapis u znanstvenoj notaciji bilježi kao a.bce + d; tekstualni (Text) u ovom se obliku broj shvaća kao tekst i prikazuje se točno u obliku u kojemu je upisan u ćeliju; poseban (Special) u ovom se obliku omogućuje unos poštanskih brojeva, JMBG-a, OIB-a, brojeva telefona (i mobitela) i brojeva osiguranja; korisnički (Custom) u ovom obliku dodatno moramo odabrati jedan kod za oblik broja koristeći popis raspoloživih kodova Poravnanja Načine vertikalnih i horizontalnih poravnanja dobivamo jednim klikom lijeve tipke miša na karticu Poravnanja (Alignment). Tekst u jednoj ćeliji može biti poravnat vodoravno i okomito, te zakrenut za odreñeni broj stupnjeva. Tekst u ćeliji može biti i ''omotan'' (tj. prelomljen ovisno o širini same ćelije opcija Omotaj tekst (Wrap text)) i podešen tako da bude njegova ukupna duljina odgovara duljini ćelije (opcija Stisni da stane (Shrink to fit)). Opcija Spoji ćelije (Merge cells) preporučuje se isključivo u slučajevima kad ''spajamo'' nekoliko praznih ćelija ili kad spajamo uzastopne ćelije takve da samo prva ćelija sadrži neki podatak. Naime, gospodin Gates je predvidio da se spajanjem niza susjednih ćelija zadrži jedino podatak naveden u početnoj ćeliji niza, a svi ostali podaci izbrišu. Zato: oprez sa spajanjem ćelija! Napomenimo da tekst unutar jedne ćelije možemo prelomiti i kad mi to poželimo: postavimo pokazivač unosa na mjesto na kojem želimo prelomiti tekst, pa istodobno pritisnemo tipke Alt i Enter. Na ovaj način tekst (poput ljudskog srca, rekli bi nepopravljivi romantici meñu nama) možemo lomiti proizvoljno mnogo puta. Vježba 12. Otvorite novu radnu knjigu, pa riješite sljedeće zadatke na radnom listu List1 (Sheet1): a) U ćeliju A1 radnoga lista List1 (Sheet1) upišite broj Dodajte mu dvije decimale, razdjelnik tisućica i valutu (kn). b) U ćeliju B1 upišite broj Dodajte mu 4 decimalna mjesta, razdjelnik tisućica i valutu ( ). Smanjite širinu stupca B i promatrajte što se dogaña. c) U ćeliju C1 upišite tekst Servus, dragi Zagreb moj. Koristeći opciju prijeloma teksta smjestite cijeli tekst unutar ćelije. Potom prelomite tekst u četiri retka: Servus, dragi, Zagreb, moj i centrirajte ga. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 24

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Izračun srednje vrijednosti Brojenje ćelija Uvjetno brojenje ćelija Funkcija IF Grafikoni Sažetak Pitanja za provjeru znanja 2 Izračun srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

Proračunske tablice napredna razina Excel 2010 E414

Proračunske tablice napredna razina Excel 2010 E414 Proračunske tablice napredna razina Excel 2010 E414 priručnik za polaznike 2014 Srce Priručnik za a 2013 Srce Ovu inačicu priručnika izradio je autorski tim Srca u sastavu: Autorica: Biserka Bulić Urednica:

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Binarno stablo (BinaryTree)

Binarno stablo (BinaryTree) Binarno stablo (BinaryTree) Binarno stablo T je konačan skup podataka istog tipa (čvorova) koji je ili prazan ili ima istaknuti čvor (korijen), a ostali čvorovi su podijeljeni u dva podskupa T L i T R

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα