Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Transcript

1 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά ανάλυση Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Παράγωγοι

2 Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός Έκδοση 6.08 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 06 Ιστοσελίδα:

3 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΟΡΙΣΜΟΣ.0 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() -5 6 δεν είναι παραγωγίσιμη στο.0 Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στο 0 η συνάρτηση f() αν 0 συν αν 0.09 Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο 0 και στο με f(0) f(). Να f() αν αποδείξετε ότι η g() είναι f(-) αν παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν f (0) f () α β αν.0 Αν f() αν βρείτε τα α,β R ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο f().04 Αν 7 και f συνεχής στο 0, δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο.05 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο 0. και ισχύει ότι ημ f() ημ, για 0. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο o 0.06 Αν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f() ( ) για κάθε R η f είναι παραγωγίσιμη στο o.07 Έστω f,g : R R συναρτήσεις, να δείξετε ότι παραγωγίσιμες στο α R με fα gα. Υπολογίσετε τα: f() f(α) Α) α α Γ) α f() f(α) α α Β) (f()) (f(α)) α α g(α)f() f(α)g() Δ) α α.08 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o με f( o ), f ( o ). Bρείτε το ο f()-6 - ο.0 Έστω f : R R παραγωγίσιμη στο o 0 f() f() και 0 f 0. Αποδείξτε ότι. Δίνεται η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο με ότι f (). Να αποδείξετε ότι ( ) f() f. Η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη στο o R. Δείξτε ότι η f() αν ο g είναι f ( ο )(- ο ) f( ο ) αν ο παραγωγίσιμη στο o. Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει f y f f y y για κάθε, y R, δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R..4 Αν για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει f τότε: 0 A) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγισιμη στο και ότι f () B) Να βρεθούν τα όρια: i) f () f() 4 ii) ημ f Σχ. Έτος 06-07

4 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.5 Δίνεται η συνάρτηση f : R R, παραγωγίσιμη στο 0. Να αποδείξετε ότι f () f () f(0)f (0) 0.6 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με f () α και ισχύει: f y f y yf για κάθε, y 0, δειχθεί ότι 0 f 0 α+ 0. Να f( ) για κάθε 0 0. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με P P για κάθε R.. Έστω συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο o f( ) f() f () f(). δείξτε ότι ημπh. Να υπολογίσετε το h0 h.7 ** Δίνεται η συνάρτηση f : R (0, ) τέτοια ώστε 4 f () f() 8, για κάθε R Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο 0 0 και ότι f (0) 0.8 Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R και παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι f( h) f( h) 5f h0 h ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.9 Βρείτε τις παράγώγους των συναρτήσεων Α) f() Γ) Β) ln g() ημ f 4 ln Δ) f ημ συν Ε). g() εφ Ζ) f ln Στ) g() ημ Η) f() ημ ln ημ Θ) h() Ι) f() συν.0 Να υπολογίσετε τα όρια 0, 0 h0, h h.4 Να αποδείξετε ότι A) 5 5 B) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, με g και g. Αν g να βρείτε τον f f ln.6 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει: y f y f y f y α για κάθε, y R Να αποδείξετε ότι: A) f 0 α B) η f0 0 Γ) Αν είναι παραγωγίσιμη στο R τότε ισχύει o o o f f f 0, o ότι o R. Δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει o f o f o f 0 o για κάθε o R.7 Αν μια συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 α,α 0, να αποδείξετε ότι: Α) Β) f()ln f(α)ln α f(α) f (α)ln α α α α αf() f(α) f(α) f (α) α α α

5 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.8 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f() ημ συν, f() εφ (4 ) f ln ln f συν ln f ημ ημt, t R 4 f 5 y, y R.9 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: Α) f συν ln, Β) f log 4 Γ) f 5.0 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: Α) f Β) Γ) f ημ αν 0 0 αν 0 f log, 0 Δ) f ημ Ε) f. Δίνεται η π, 0, f, R. Α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο D, να δείξετε ότι f.. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 0 και ισχύει: κάθε R να βρεθεί η f 0. f () f() ημ, για f. Α) Αν f() c( α)( β)( γ) με c,α,β, γ R και α,β, γ τότε να αποδείξετε ότι: f () f() α β γ 4 ( 5) ( ) Β) Να βρεθεί η f αν f().4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f 0 για κάθε R. Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση y f είναι παραγωγίσιμη στο R. Β) Αν ισχύει ότι f 5 και αποδείξετε ότι f 4 f 4 να.5 Η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο R και ισχύει f( ) f 5ln για κάθε 0. Να βρεθεί το f'()..6 Αν μια συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 α,α 0, να αποδείξετε ότι: Α) Β) f()ln f(α) ln α f(α) f (α)ln α α α α αf() f(α) f(α) f (α) α α α.7 Έστω η συνάρτηση f() συν, (0, π) Α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση Β) Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι f (), (, ) f είναι.8 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία είναι f( y) f()f(y) και f() 0 για κάθε,y R f(). Αν ισχύει ότι R να 0 αποδειχτεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R f Σχ. Έτος 06-07

6 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0 τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει f f() f.δείξτε ότι f0 ή f 0.40 Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες f( ) στο R και για κάθε R ισχύει ότι g, με f 0, να αποδειχτεί ότι g g()f.4 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P για τα οποία ισχύει ότι P P.4 Έστω η συνάρτηση ημ, 0 f 0, 0 Να εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο o 0.4 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι Α) Αν η f είναι άρτια τότε η f είναι περιττή Β) Αν η f είναι περιττή τότε η f είναι άρτια Γ) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή τότε: α) Η C f διέρχεται από το 0,0 β) f f γ) f0 0 Δ) Αν η f είναι άρτια και g() ( )f() τότε g (0).44 Έστω η συνάρτηση f : 0, R ώστε f ημ, 0. Αν f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε / να δείξετε ότι f () ημ συν και να υπολογίσετε το f() 0.45 Έστω ότι η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη στο R και αντιστράψιμη. Να αποδειχτεί ότι για κάθε σημείο με τετμημένη 0 R ισχύει ότι το γινόμενο των κλίσεων των εφαπτομένων της 0 f ισούται με ένα. C f στο 0 και της C στο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ.46 Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο συνεχή. Αν να δείξετε ότι f 5 f f (4 ) 5.47 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι: f ( h) f () Α) f (), R h 0 h f ( h) f () Β) f (), R h 0 h Γ) 4f ( h) 6f ( h) 0f () f () για h0 h κάθε R.48 Να αποδειχτεί ότι: A) Αν τότε y y y y ln B) Αν y ημln συν ln τότε y y y 0.49 Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει f f f 0., να αποδείξετε ότι.50 Να αποδείξετε ότι: Α) Αν f (ν) νπ συν, τότε f συν (ν) Β) Αν f τότε f ν

7 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 7 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ.5 Βρείτε την εφαπτομένης της C f στο 0 0 αν ημ αν 0 f() αν 0.5 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο o και ισχύει ότι η εφαπτομένη της f() 7. Να αποδείξετε C f στο σημείο είναι κάθετη στην ευθεία 9y 5 0 A,f f().5 Δίνεται η συνάρτηση. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της M(, 8) Cf που διέρχονται από το.58 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι f f, R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο,f() είναι κάθετη στην y..59 Αν f α α β α γ, να βρεθούν τα α,β, γ R ώστε η εφαπτομένη της C f στο A(, f()) να είναι παράλληλη προς την y 0.60 Αν f 4 και Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμένες των g 8 0. C f και C g..54 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: ln f για κάθε Δ. Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο o και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Μ,f()..55 Αν f : 0, R με f C f και α 0, να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ημιάξονες O,Oy και η εφαπτομένη της καμπύλης στο o ανεξάρτητο του α. α είναι.56 Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των C f, C g όταν f() και g() που 8 τέμνονται στον y y και είναι κάθετες μεταξύ τους..57 Αν f α ln β, να βρείτε τα α,β R ώστε η ευθεία ε: y 4 0 να είναι εφαπτόμενη της C f στο σημείο της A,f..6 Για ποια τιμή του α 0 η εφαπτόμενη της στο f α g, f() είναι εφαπτόμενη της.6 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f() και g( ) ημ έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο..6 Θεωρούμε την συνάρτηση f που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο R με f () 0 για f() κάθε R. Αν η C g της g με g() τέμνει f () τον άξονα, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο τομής, σχηματίζει με τον άξονα γωνία o ** Δίνεται η συνάρτηση 4 f 4. Να βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε δύο διαφορετικά σημεία της. (mathmatica) Σχ. Έτος 06-07

8 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.65 Μία συνάρτηση f : R R έχει την ιδιότητα: f f 4, R. Έστω μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το M,0 και τέμνει τη C f σε δύο διαφορετικά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον τύπο της f και να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β τέμνονται κάθετα..66 Δίνεται η συνάρτηση f α ln, 0, όπου α R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο της M, f και αποδείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Ρ για κάθε αr..67 Αν η ευθεία y 0 είναι η εφαπτομένη του διαγράμματος της y f(), στο σημείο της με o, να βρεθεί η εφαπτομένη.7 ** Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, και ισχύει f ln ln, 0. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C f στο σημείο της με o και τους άξονες και y y.7 ** Έστω η f ln (α) με α, 0 Α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο, f( ). f ο ο Β) Aποδείξτε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο, f( ), καθώς μεταβάλλεται το α, ο διέρχονται από το ίδιο σημείο. ο.74 Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, ) R, με f( ) f() ln 4 Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο, f() στη C g της g() f στο σημείο με Β) Υπολογίστε το όριο: f() * Αν ότι οι f() και g(), αποδείξετε Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη..69 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των g() και f(), έχουν κοινή εφαπτομένη.70 Να βρείτε τον α R ώστε η συνάρτηση f με f() α, να έχει εφαπτομένη την y..7 Έστω f δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: f f 4 5, R Α) Να βρεθεί ο τύπος της f. Β) Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες της C f που άγονται από το σημείο A,, είναι κάθετες. 4 α *.75 Έστω η συνάρτηση f, α R Α) Bρείτε το σηµείο M της C f στο οποίο η εφαπτόµενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του σηµείου M όταν το α διατρέχει το R.76 Θεωρούμε τις παραβολές f() λ - λ( - λ), λ R A) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω παραβολές έχουν μία κοινή εφαπτομένη. B) Να αποδείξετε ότι τα σημεία των C f για τα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα, βρίσκονται στην ευθεία y. Γ) Αν λ 0, να βρείτε το σύνολο των σημείων του επιπέδου από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες τη συνάρτηση f

9 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 9 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ.77 Ενα σημείο Μ, y κινείται στην C, με f() f. Να βρείτε τη θέση όπου ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του..78 Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Oy ένα κινητό κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, 0. Έστω M η θέση του κινητού στο επίπεδο κάθε στιγμή και έστω A, B οι προβολές του M στους άξονες O και Oy αντίστοιχα. Η τετμημένη του σημείου M μεταβάλεται με ρυθμό m /sc. Τη χρονική στιγμή o t που το κινητό βρίσκεται στο σημείο Α) του εμβαδού του τριγώνου OAM Β) της απόστασης AB,, βρείτε το ρυθμό μεταβολής: Γ) της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο σημείο M, με τον άξονα.79 Ένα αυτοκίνητο A απομακρύνεται από τη διασταύρωση δύο κάθετων δρόμων O και Oy, που κατευθύνονται προς τα ανατολικά και βόρεια αντίστοιχα. Η απόσταση του αυτοκινήτου από το δρόμο Oy ισούται με το τετράγωνο της απόστασής του από το δρόμο O Το αυτοκίνητο A απομακρύνεται προς τα ανατολικά με ρυθμό v 0 km/min. Α) Με ποια ταχύτητα απομακρύνεται το αυτοκίνητο προς τα Βόρεια; (συναρτήσει της θέσης του) Β) Να βρείτε την απόσταση του αυτοκινήτου A από το σημείο O0, 0 ως συνάρτηση της απόστασής του από τον δρόμο Oy. Γ) Πόσο γρήγορα απομακρύνεται το A από το σημείο O0, 0 τη χρονική στιγμή που έχει απομακρυνθεί km προς τα βόρεια;.80 Μια κολόνα ύψους 4m φωτίζει ένα στενό δρομάκι, το οποίο καταλήγει κάθετα σε έναν τοίχο. Η λάμπα βρίσκεται m κάτω από την κορυφή της κολόνας. Ένας παίχτης του μπάσκετ με ύψος m προχωράει προς τον τοίχο με ταχύτητα m /sc. Αν η κολόνα απέχει 6m από τον τοίχο, τότε: A) να αποδείξετε ότι το ύψος yt της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στον τοίχο ως συνάρτηση της απόστασης του από την κολόνα είναι 6 y t (t), t 6 B) να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνει το ύψος της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στον τοίχο όταν βρίσκεται σε απόσταση m από τον τοίχο..8 ***Το κινητό O κινείται με σταθερή ταχύτητα m /sc κατά μήκος της ευθείας (ε). Κυκλικό εμπόδιο έχει το κέντρο του στην μεσοπαράλληλη των ευθειών ( ),( ), έχει διάμετρο m ίση με το μισό της απόστασης των ( ),( ) και δημιουργεί την «σκιά» AB. Να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του μήκους AB την στιγμή κατά την οποία το τρίγωνο OAB γίνεται ορθογώνιο για πρώτη φορά (Άσκηση από Σχ. Έτος 06-07

10 40 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Roll Θ.Μ.Τ..8 Εφαρμόστε το θ. Roll για τη συνάρτηση f ημ στο διάστημα 0, α β 0.8 Αν f() να βρεθούν (γ α) 0 οι α,β, γ R ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll στο fξ 0., και να βρεθεί ξ, ώστε.84 θεωρούμε μια συνάρτηση f η οποία είναι π π συνεχής και μη μηδενική στο, και π π παραγωγίσιμη στο,. Αποδείξτε ότι π π υπάρχει 0, ώστε f ( o ) f( o )εφo..85 Δίνεται ότι η f συνεχής στο α,β, α > 0 και παραγωγίσιμη στο (α, β) με f β f α δείξτε ότι υπάρχει ξ α,β ώστε ξfξ f ξ.86 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο α,β και παραγωγίσιμη στο (α, β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α, β f α f β ξ f ξ β α α ώστε.87 Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο β. Να α,β παραγωγίσιμες στο α,β με f(α) f(β) g(α) g(β) και g()g 0 για κάθε (α,β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β ώστε να ισχύει f (ξ) f(ξ) g (ξ) g(ξ).88 Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f() 0 για κάθε R και f() f(). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,..89 Έστω η f : [α,β] R παραγωγίσιμη, ώστε: f (α) f (β) α β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β έτσι ώστε: f ξ f ξ ξ.90 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο,, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, 4 ώστε f ξ 5ξ f() f( ).,.9 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g που είναι συνεχείς στο [α,β] παραγωγίσιμες στο (α,β) με f 0 για κάθε [α,β] και ln f(α) ln f(β) g(β) g(α). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε f (ξ) f(ξ) g (ξ) 0.9 Έστω f : R R τρεις φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι f f 0 f 0 f 0 0. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει 0, ώστε f 0..9 Α) Δείξτε ότι η f λ για κάθε R με λ R δεν είναι. Β) Να δείξετε ότι εφαρμόζεται το θ. Roll για τη συνάρτηση f g λ.94 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() έχουν ένα μόνο κοινό σημείο που βρίσκεται στον y y

11 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.95 Nα λύσετε την εξίσωση 0.05 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο R.96 Να λύσετε την εξίσωση ln.06 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ δ 0 με β αγ, α 0 έχει.97 Να λύσετε την εξίσωση.98 Να λύσετε την εξίσωση μοναδική ρίζα στο R.07 Δείξτε ότι η εξίσωση δεν έχει περισσότερες από δύο διαφορετικές ρίζες στο R.99 Να λύσετε την εξίσωση ln 0.00 Να λύσετε την εξίσωση.08 Να δείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης ημ υπάρχει ρίζα της εξίσωσης.0 Να λύσετε την εξίσωση: ln συν.0 Λύστε την εξίσωση.0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 0 έχει μοναδική ρίζα στο R.04 Να δειχθεί ότι η εξίσωση λ λ 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0, για κάθε λ R.09 Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση α ln β ln γ ln δ 0, α,β,γ,δ R ώστε α γ δ 4β 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,.0 Αν η εξίσωση 4 α β γ δ 0 με α,β,γ,δ R έχει τέσσερις ρίζες πραγματικές και άνισες μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι α 8β Η απόσταση δύο πόλεων που συνδέονται με ευθεία σιδηροδρομική γραμμή είναι 5 km. Μια αμαξοστοιχία διανύει τη μεταξύ τους απόσταση σε 0,6 ώρες. Να αποδειχτεί ότι για κάποια χρονική στιγμή η αμαξοστοιχία έχει ταχύτητα 85 km /h.. Αν f συνεχής στο, 5 με f και f, (, 5) να δείξετε ότι 0 f(5) 6.4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, 4 και για κάθε R ισχύει f 4 4f 5 και f να αποδείξετε ότι υπάρχουν 00 ξ,ξ,ξ, 4 ώστε.5 Δίνεται η συνάρτηση f ότι υπάρχει ξ,0 ώστε f ξ f ξ f ξ log. Δείξτε 9log ξ. log. Έστω f παραγωγίσιμη στο 0,5 με f 5 f 0. Να δείξετε ότι υπάρχουν ώστε κ, λ 0,5 f κ f λ.6 Να βρείτε το 0 ημ ημ. Σχ. Έτος 06-07

12 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Nα αποδείξετε τις ανισότητες:.7 Αποδείξτε ότι ln, 0 Α) Β) ln( ) αν >0 αν, ( ).8 Αποδείξτε ότι α ln α β β, α,β R. Δείξτε ότι, 0.9 Δείξτε ότι ημβ ημα β α, α,β R.0 Δείξτε ότι, 0. Nα αποδείξετε τις ανισότητες:.4 Για κάθε π 0 α να αποδειχτεί ότι 4 π α α εφα 4 π συν (α ) 4 Α) Β) για κάθε 0. π ln π π.5 Έστω f παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Δείξτε ότι: f 999 f 00 f 000 f 00 ***************************************************************.6 Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της C, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R με f fξ 0..7 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, f( )= f()=. Αν f () με,, αποδειχθεί ότι f(),,.8 Έστω f : R R τρεις φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι να f f 0 f 0 f 0 0. Nα αποδείξετε ότι () υπάρχει 0, ώστε.9 Έστω α,β, γ,δ R με β * f f() α β γ δ, 5α. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία που να ανήκουν στη γραφική παράσταση της..0 Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(lnα) f(ln β). Αν ισχύει ln α ln γ lnβ, με α,β, γ 0 και γ β, να δειχτεί ότι υπάρχουν ξ,ξ R με α γ f (ξ ) f (ξ ) 0. Έστω συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο α,β με αποδειχτεί ότι υπάρχει α,β f f f. ο ο ο o f α f β 0. Να ώστε. Η συνεχής συνάρτηση f : α, β δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β, με f α f β 0. Να αποδείξετε ότι: Α) αν υπάρχει α,β με υπάρχει ξ α,β ώστε ο f ξ 0, Β) αν υπάρχει α,β με ο f ξ 0. υπάρχει ξ α,β ώστε o R, είναι f 0, τότε f 0, τότε o

13 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 0, για κάθε R..8 Η συνάρτηση f :, 4 R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f και f 4 8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη.4 Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R με f( ), f(). Δείξτε ότι υπάρχουν ώστε Α) Β) ώστε f f f'( ) f'(κ ).5 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,α με α > και ισχύει f(0) = 0 και f( ) f(), [0, α]. Να δείξετε ότι υπάρχουν f(α) ξ,ξ 0,α ώστε f (ξ ) f (ξ ). α -.6 Αν για τη συνάρτηση f στο διάστημα, 0 ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Roll, τότε να αποδείξετε ότι: Α) υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ, 0 ξ ξ και fξ fξ 0. με Β) υπάρχουν κ, κ (,0) με κ κ ώστε f (κ )+ f (κ ) = 0 Γ) ότι η εξίσωση f () f()- f(α) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 0. Δ) υπάρχουν κ, λ, μ με κ λ μ 0 ώστε f κ f λ 4f μ 0.7 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f 0. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ R, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Μξ, f(ξ), να τέμνει τον άξονα στο P ξ,0 της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων..9 Έστω συνάρτηση f : α,β παραγωγίσιμη στο α,β, με f α R β, f β Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β. Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β τέτοια ώστε 4 f ξ f ξ Αν 0, να δείξετε ότι η α συνάρτηση f μηδενίζεται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος 0,.4 Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση α ln β ln γ ln δ 0, α,β,γ,δ R ώστε α γ δ 4β 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,..4 Δίνεται η συνάρτηση f ln. Να αποδείξετε ότι: Α) Υπάρχει ξ, ώστε η εφαπτομένη της C στο ξ, f(ξ) να είναι παράλληλη στον f Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα στο,.4 Έστω f παραγωγίσιμη στο R. Αν f 0 f 0 f. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0,0 f 0 o o τέτοιο ώστε Σχ. Έτος 06-07

14 44 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.44 Δίνεται συνάρτηση f : R R, ώστε: f f f f, για κάθε R και f 0 f 0 f 0. Να αποδείξετε ότι : h f και Α) Οι συναρτήσεις g f f f f είναι σταθερές συναρτήσεις Β) Να βρεθεί ο τύπος της f..5 Να βρείτε την f, αν για κάθε R ισχύει f () f() ημ συν και f(0)..5 Αν η f : 0, π π παραγωγίσιμη με f 0 R είναι δύο φορές κάθε 0, π να αποδείξετε ότι f α R. και f f για αημ,.45 Θεωρούμε συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι: f f y συν y για κάθε,y R. Να δειχτεί ότι η f είναι σταθερή.5 Να βρεθεί η συνάρτηση f : R R αν ισχύει: f 7 f 5, R και.46 Να βρείτε την f αν f 7, R και f, R *.47 Να βρείτε την f αν f και f f.48 Να αποδειχτεί ότι: Α) αν f () f() για κάθε R και f(0) f (0) τότε f(), R, Β) αν δ () δ() 5 για κάθε R, δ(0) και δ (0) 4, τότε δ() 5, R.49 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R παραγωγίσιμη στο * R με f 0 0, της οποίας όλες οι εφαπτόμενες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Να βρείτε εκείνη τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία, και,.50 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R. Να δείξετε ότι ισχύει f f, R αν και μόνο αν υπάρχει c R ώστε f c.54 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, 0, αν ισχύει ότι f () f() ln f() για κάθε 0 και f () 0.55 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R * και για κάθε R * ισχύει f() f (), f() και f( )..56 Να βρείτε τη συνάρτησης f με f 0, αν ισχύει f() f () 0, R.57 Βρείτε την εξίσωση της καμπύλης που διέρχεται από το M(0, ) και σε κάθε σημείο της 4α με τετμημένη α έχει εφαπτομένη με λεφ 4α.58 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, 0,, αν ισχύει ότι f () 0 και f () f() ln f() για κάθε 0.59 Δίνεται η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει[f () f()] f() f () για κάθε R και f 0.Bρείτε τον τύπο της f

15 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Αν η f : 0, π π παραγωγίσιμη με f 0 κάθε 0, π, δείξτε ότι f R είναι δύο φορές και f f για αημ, α R..6 Να βρεθεί συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f 0, R, f 9 και της οποίας η γραφική παράσταση σε κάθε σημείο M, f() έχει εφαπτομένη με κλίση 4 f(), R.6 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, η C f διέρχεται από το O0, 0 η εφαπτόμενη της Cf στο σημείο O0, 0 είναι παράλληλη στην ευθεία - y 0 και ισχύει f () 4 f () f() 0, R.6 Έστω οι συναρτήσεις f και g δυο φορές παραγωγισιμες στο R με f 0 για κάθε R Αν δέχονται κοινή εφαπτόμενη σε κοινό σημείο τους και ισχύει fg f g R, να δείξετε ότι f g για κάθε.64 Α) Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f f 0, R και f 0 f 0 0. Να αποδείξετε ότι η f είναι η μηδενική συνάρτηση. Β) Έστω συνάρτηση g : R R με g g 0 για κάθε R και g0. Να αποδείξετε ότι η g g 0 0, ημ..65 * Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι f() f βρεθεί ο τύπος της f. για κάθε R. Να.66 Έστω συνάρτηση f : R R ν και ισχύει και ν N. Αν f f y y,,y R τότε ναδείξετε ότι η f είναι σταθερή..67 Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R, αν η εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση σε κάθε σημείο, f() να έχει κλίση και το f γραφική παράσταση της f A, να ανήκει στη.68 * Δίνεται η συνάρτηση f : 0, + f y f f y για κάθε, y 0, + f ν R με και. Η f είναι παραγωγίσιμη στο o. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, + και ότι f ln, για κάθε 0, Έστωι η συνάρτηση f : R R ισχύει ότι και f y y y f,y R, f, ώστε να για κάθε, f. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρεθεί ο τύπος της.70 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R με f0 και ισχύει f y f y f y κάθε,y R. Να αποδείξετε ότι:, για Α) f 0 για κάθε R και Β) η f είναι παραγωγίσιμη στο R Γ) ο τύπος της f είναι f.7 Έστω συνάρτηση f : 0, παραγωγίσιμη στο με ισχύει f y f y y f R, f 0 f για την οποία. για κάθε,y 0. Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε 0 f Β) Δείξτε ότι ln() για κάθε 0 Σχ. Έτος 06-07

16 46 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ- ΑΚΡΟΤΑΤΑ.7 Μελετήστε τη μονοτονία των συναρτήσεων Α) f ln Β) f συν, [0, π).7 Nα μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων Α) f 0 ln 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ -ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.79 Έστω η συνάρτηση f ln( ), ln Α) να μελετήσετε τη μονοτονία της f Β) να αποδείξετε ότι: π π α) ln ln π. β) ln ln ln, Β) f() ln( ).80 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της.74 Να μελετήσετε τη μονοτονία της εξίσωσης ln( ) 6 0 συνάρτησης f στο 0,.8 Λύστε την εξίσωση ln( ) 0.75 Nα βρεθεί ο α R, ώστε η συνάρτηση f α, να είναι γνησίως αύξουσα στο R..76 Αν η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη με f 0 0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() g, 0, είναι γνησίως φθίνουσα..77 Oι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R με f(0) g(0) και για κάθε R να ισχύουν f ()g() f()g () και g() 0. Να αποδείξετε ότι: f() g() για κάθε [0, ) και f() g() για κάθε (,0]..78 * Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f 5 στο [0, + ) ώστε f() f() f() ln. Να μελετηθεί η f 6 ως προς την μονοτονία της..8 Να λύσετε την εξίσωση.8 Για κάθε π π συν συν.84 Δείξτε ότι 0 να αποδείξετε ότι ln(ημ) ημ, 0, π.85 Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι f f για κάθε R. Αν ισχύει ότι εξίσωση f 0 f 0, R, να λύσετε την.86 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R για την οποία, ισχύουν f 0 και f f ln f() για κάθε R. Να λύσετε την εξίσωση f ln f.87 Αν g συν g για κάθε R, ημ να αποδείξετε ότι g() για κάθε 0.

17 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 47 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.88 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα: συν Α) f ln Β) f n, 0 π Γ) f Δ) f E) f 4.89 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα:, 0 f, 0 Α) B) f, ln(-),.90 Δείξτε ότι η συνάρτηση f έχει ακριβώς τρία τοπικά ακρότατα..9 Να βρεθούν οι τιμές των α,β R ώστε η συνάρτηση β f α ln α να έχει στη θέση ο τοπικό ακρότατο με τιμή ln..9 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με (f()) f(), R. Δείξτε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα..9 Έστω η συνάρτηση f βρείτε το σημείο της μικρότερη κλίση. ln. Να C f όπου η f έχει τη.94 Να βρείτε τις τιμές του λ R αν η συνάρτηση έχει ακρότατα. f λ λ 5 δεν.95 Έστω η συνάρτηση f : 0, R, η οποία είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f 0 για κάθε 0,. Αν υπάρχουν, 0, με τέτοια, ώστε f f 0 να.96 Να βρεθεί ο κ R ώστε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης κ f να είναι το..97 Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β]. Αν υπάρχουν, (α,β) τέτοιοι ώστε f(α),f(β) f( ), f( ), αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (ξ,ξ ) ώστε f (ξ) Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: f και g() Αν η f για κάθε R. C f διέρχεται από το σημείο A0,, να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των o 0 τέμνονται κάθετα C f και C g στο.99 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων ( 0,f( 0 )), όπου o η θέση του τοπικού ακροτάτου της f() ln λ, λ R όταν το λ διατρέχει το R.00 Εστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0, με f () 0 και f(), f(). Αν f() g(), 0, βρείτε τα διαστήματα f () μονοτονίας και το σύνολο τιμών της g.0 Μία συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν υπάρχει α R ώστε f(α) f (α) f (α) 0 και f () 0 για κάθε, τότε να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f () 0, f () 0 και f() 0 έχουν μοναδική ρίζα..0 **Αν 4 f f 0, 0, 4 να αποδείξετε ότι f 0 για κάθε 0, 4. αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0, με f ξ 0. Σχ. Έτος 06-07

18 48 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.0 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συν έχει στο 0,π ακριβώς μια λύση.04 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f f συν, 0,π. Να δείξετε ότι η εξίσωση f 0 έχει μοναδική ρίζα στο 0,π ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ. Έστω μια συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι f f και αποδείξετε ότι f για κάθε 0. f 0. Να.4 Αν η συνάρτηση f : R R είναι f f 0 για παραγωγίσιμη με f 0 0 και κάθε R, δείξτε ότι f 0 για κάθε 0.05 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln λ για κάθε λ 0.06 Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης α R 8 α 0 όταν το.07 Να αποδείξετε ότι για κάθε α R η εξίσωση α 4 α 0 έχει τρεις ρίζες.08 Αποδείξτε ότι για κάθε α 0 η εξίσωση α έχει μοναδική ρίζα στο R.09 ** Αν f ln(), να λύσετε τις εξισώσεις: Α) f ln( ) f 6 0 Β) f f 7 f f Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, που είναι συνεχής στο 0,, παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει f f f 0 0, για κάθε.6 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύουν: f 0 και f 0, για κάθε R.Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της.7 Αν ισχύει C f στο σημείο A(0,) κ για κάθε 0, κ R να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του κ R.8 Αν ισχύει ότι βρείτε το α α ln α, 0,να.0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει δύο ακριβώς ρίζες, οι οποίες είναι αντίστροφοι αριθμοί.. *Να βρείτε, για κάθε α 0, το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης α α. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f 0 για κάθε R. Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f f α.9 Αν α,β 0 και ισχύει ln κάθε 0, να αποδείξετε ότι α β. α β για α.0 Εστω η συνάρτηση f α, >0, λ>0 με f 0, 0. Να δείξετε ότι α και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,.. Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με f 0 f0 0 και Δείξτε ότι f f για κάθε R.

19 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 49. Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη με f f, δύο φορές, R που παρουσιάζει για o 0 τοπικό ακρότατο το f 0 0. Να δείξετε ότι: f f 0. Έστω η συνάρτηση f λ, λ R Α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει f 0 για κάθε R. Β) Αν λ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g λ είναι γνησίως φθίνουσα. λ.4 Έστω συνάρτηση f() ln, λ 0 Α) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει ότι λ ln για κάθε 0 Β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το ελάχιστο της f παίρνει τη μέγιστη τιμή του..5 Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με f 0, f 0 για κάθε R, δείξτε ότι f για κάθε R f 0 0, και.6 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει: f ( ) 4 4 f( ). Να αποδείξετε ότι: A Υπάρχει ξ (, 4) τέτοιο ώστε: f (ξ) 0 B Η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται Γ f () f (4) Δ Η εξίσωση f () 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.8 Δείξτε ότι εφ.9 Δείξτε ότι, π 0,. 6ημ 6 για κάθε 0.0 A) Μελετήστε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση B) Να δείξετε ότι. Α) να αποδείξετε ότι Β) Να δειχθεί ότι: v f(), ν N * v v, (0, ) π π 8 8 π. Α) Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση f ln, 0 Β) Αν α,β, γ 0, με α β γ, δείξτε ότι α β γ α β γ α β γ. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με f ln είναι γνησίως αυξουσα.4 ** Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() ln( ) είναι γνήσια αύξουσα f ln f στο R και λύστε την εξίσωση π π.5 Να αποδείξετε ότι από το σημείο A(,) άγονται ακριβώς δύο εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f().6 Για κάθε α 0, β 0 με α β α β α β ότι ln ln α lnβ α β α β να δείξετε.7.7 Δείξτε ότι,, Σχ. Έτος 06-07

20 50 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΥΡΤΕΣ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ.8 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Α) 8 h() Β) Γ). g() ln Δ) 5 g() 5 f().9 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ln, IR έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.40 Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ln ln είναι κυρτή.4 Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση 5 4 f 5α 0β, R, α,β R έχει τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι.4 Δίνεται η συνάρτηση f : 0, την οποία ισχύουν f για κάθε 0 κυρτή στο 0,. α β. R για και f f(). Nα αποδείξετε ότι η f είναι.4 Δίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α βln β με α,β R, έχει σημείο καμπής το A, Α) Να αποδείξετε ότι α 4 και β : Β) Βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της και να αποδείξετε ότι 4 ln,..44 Έστω η συνάρτηση f : R R με την f() ιδιότητα ( )f () 0 για κάθε R Να αποδειχθεί ότι η καμπής. C f έχει ακριβώς ένα σημείο.45 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν η f να έχει στο o τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής..46 Nα δείξετε ότι για κάθε α IR η γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 f 4α α 4α 5 α με R, δεν έχει σημεία καμπής..47 Έστω συνάρτηση f : 0, R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ότι για κάθε 0, f 4 f 0 αποδείξετε ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής.48 Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και f () ημ 0, R. Να δείξετε ότι το A(0,f(0)) δεν μπορεί να είναι σημείο καμπής της C f.49 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f στο R R, f 0 και η συνάρτηση. Να f 0, g f f, R. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g, τα διαστήματα που η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της C g.50 Έστω συνάρτηση f : [0, ) R η οποία είναι κυρτή με f(0) 0. Δείξτε ότι η συνάρτηση f() g() είναι γνήσια αύξουσα στο (0, )..5 Αν λ f(), λ 0. Να βρείτε λ τον γεωμετρικό τόπο των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της f, για κάθε λ (0, )

21 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 5.5 Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσμη στο R και ισχύει f() f() για κάθε R δείξετε ότι η γραφική της παράσταση Α) δεν έχει σημεία καμπής Β) έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο.. Να ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.5 Α) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε διάστημα Δ. Να δείξετε ότι για κάθε, f f f Δ ισχύει αβ (Jnsn) α β B) Να αποδείξετε ότι: α β R α β Γ) Δείξτε ότι ln ln α lnβ, α,β Α f.54 Αν 0, y 0, α και y, να αποδείξετε ότι ισχύει α y 5 y α α α.58 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο γνήσια αύξουσα και f Να αποδείξετε ότι f f 0 για κάθε,..59 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : R R R ώστε f 0 και f 0 για κάθε.60 Έστω η συνάρτηση f : R R με f() για R. Α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Β) Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει f(ln ) f ( ) f( ) f (ln ).6 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο γνήσια αύξουσα και f 0 Να αποδείξετε ότι f f κάθε,. για.55 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ότι f f και f 0 f 0 0. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R.56 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο R και η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι f 4f 4.57 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f γνήσια αύξουσα και f 0 Δείξτε ότι f f για κάθε,..6 Αν οι α,β, γ R με α β γ, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι β β α α γ γ.6 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο γνήσια αύξουσα και f Να αποδείξετε ότι f f 0 για κάθε,..64 Έστω η συνάρτηση f Α) Να αποδείξετε ότι η C f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε ένα μόνο σημείο της. Β) Να λύσετε την εξίσωση. Γ) Να αποδείξετε ότι, R Σχ. Έτος 06-07

22 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.65 Να βρεθούν τα παρακάτω όρια Α) ( ln ) Β) ln ln(ln).75 Αποδείξτε ότι sin Γ) Δ).76 Αν f να υπολογίσετε.66 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) ημ συν 0 ημ Β) ln Δ) 4.67 Αποδείξτε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση ln, 0 f και ότι -, = f 0, Nα υπολογιστεί τo ημ 0 ημ.69 Nα υπολογίσετε τα.70 Να υπολογίσετε το.7 Να βρεθεί το.7 Υπολογίστε το.7 Nα βρείτε τo 0 0 και 0 συν ln 6 4 ln 4.74 Να υπολογίσετε το ln ln ln ln ln ln ημ συν 0 f το 0 f.77 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R R ημ για την οποία ισχύει για κάθε R.78 Έστω f : R R f f ημ. Να βρείτε το f0., συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει συνf ln για κάθε. Να βρείτε το f0.η συνάρτηση f έχει συνεχή η παράγωγο στο R με f0 και f() f( ) f0 f0 0. Να δείξετε ότι: 0 συν.79 Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν για κάθε R ισχύει f( 4h) f( h) f() 4 8 h0 h και η εφαπτομένη της C M f στο σημείο, f() έχει εξίσωση y 5 8, να βρείτε τον τύπο της f.80 Αν ln α β, 0 f, =0 ln( ) α, 0 να βρείτε τα α,β R ώστε η f να είναι συνεχής στο o 0.8 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ ώστε 0 α β γ

23 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 5 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.8 Nα βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων h(), λ ln f() ln,.8 Έστω οι συναρτήσεις f,g : 0, g f ln ln k R με για κάθε 0. Αν η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της Cf στο, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο..84 Nα αποδείξετε ότι η y ln είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f ln ln.85 Έστω η συνάρτηση f : R R και η g με g f. Αν η ευθεία y εφάπτεται της C f στο 0, να βρείτε την ασύμπτωτη της στο..86 Έστω συνάρτηση f : R R f ημ και C g, τέτοια ώστε f. ln Αποδείξτε ότι η y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο.87 Να βρείτε τα α,β, γ R ώστε η γραφική (α ) β 5 παράσταση της f με f() να γ έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες και y..88 Δίνεται ότι η συνάρτηση f με τύπο f() έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες α β τις ευθείες και =5 A) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β. B) Να αποδειχτεί ότι η ευθεία y 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Έστω συνάρτηση f : 0, οποία ισχύει R για την f() για κάθε 0. Να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι ασύμπτωτη της C f..90 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() ημ ln, 0 δεν έχει ασύμπτωτες..9 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ασύμπτωτη στο την ευθεία y. Bρείτε το f() ημ. f() ln ημ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.9 Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις Α) Γ) f() ημ, [ π, π] ln Δ) f Ε) f ln,, f() Β) Στ) f f().9 Να κάνετε μελέτη της συνάρτησης f μ σ παράσταση (για λόγους απλότητας θεωρείστε σ και μ 0 ) και να σχεδιάσετε τη γραφική της σ π Σχ. Έτος 06-07

24 54 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.94 Αν Μ το σημείο του διαγράμματος της f με f ln λ που αντιστοιχεί στο τοπικό της ελάχιστο, να βρεθεί η απόσταση OM όταν ο ρυθμός μεταβολής του OM ως προς λ γίνει μηδέν..95 Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ο Α 90, για το οποίο ισχύουν τα εξής. Η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες 4,0, η κορυφή A είναι στο διάστημα [0, 4] του άξονα και η κορυφή B είναι σημείο της παραβολής B το εμβαδό του τριγώνου ABΓ γίνεται μέγιστο ; y 4. Για ποια τιμή των συντεταγμένων του.96 Μια εταιρεία αυτοκινήτων εκτιμά ότι μπορεί να πουλήσει 000 αυτοκίνητα τον μήνα, αν η τιμή πώληση του κάθε αυτοκινήτου είναι 'Εχει επίσης υπολογίσει ότι για κάθε μείωση της τιμής κατά 500 το ένα, οι πωλήσεις αυξάνονται κατά 000 αυτοκίνητα τον μήνα. Η αύξηση των πωλήσεων λόγω μείωσης της τιμής είναι ανάλογη της μείωσης αυτής. Αν η τιμή ενός αυτοκινήτου δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 000. Πόσα αυτοκίνητα πρέπει να πουλήσει η εταιρεία, ώστε να έχει τα μέγιστα έσοδα;.97 Ένα τουριστικό γραφείο οργανώνει εκδρομές με λεωφορεία. Κάθε λεωφορείο έχει 70 θέσεις. Ορίζεται οτι για να γίνει η εκδρομή χρειάζονται τουλάχιστον 0 συμμετοχές και τότε η τιμή ορίζεται στα 0 για κάθε άτομο. Για να αυξήσει τις συμμετοχές το γραφείο κάνει της εξής προσφορά. «Για κάθε επιβάτη επιπλέον των 0, θα μειώνει κατά 0 λεπτά την χρέωση κάθε επιβάτη». Α) Ποιο το πλήθος των επιπλέον επιβατών κάθε λεωφορείου που μεγιστοποιεί τα έσοδα; Β) Ποια το μέγιστα έσοδα του γραφείου απο κάθε λεωφορείο;.98 Ενα φορτηγό διανύει καθημερινά 00 km με σταθερή ταχύτητα km/h. Τα καύσιμα κοστίζουν 0,8 το λίτρο και καταναλώνονται με ρυθμό lt/h. Τα υπόλοιπα έξοδα του φορτηγού είναι 9 /ώρα 400 Α) να εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής ως συνάρτηση της ταχύτητας, Β) να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του να είναι τα ελάχιστα, Γ) πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδα;.99 Η συνάρτηση που μας δίνει το κέρδος μιας επιχείρησης είναι: n(t ) P(t) (t ), t 0. Να βρείτε: A) την χρονική στιγμή, κατά την οποία η επιχείρηση θα παρουσιάσει μέγιστο κέρδος. B) το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης..00 Δίνεται η ευθεία y. Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο A9,4 τη μικρότερη δυνατή απόσταση..0 Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 8. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό τους.

25 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 55 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.0 Δίνεται η συνάρτηση f α β στο o και η εφαπτόμενη της στο σημείο, όπου α,β R, η οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο A,f() διέρχεται από το, 5. A) Να βρείτε τις τιμές των α,β R και το σύνολο τιμών της f. Β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f 0. Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f 004 έχει μόνο μία λύση. Δ) Να βρεθούν τα f(), κ f(), κ Z κ.0 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν : f(-)=0 f =f Α Δείξτε ότι -+ για κάθε πραγματικό αριθμό + f = --5, R Β. Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την (f ) -. Γ. Να λυθεί η εξίσωση : f =f στο R Δ. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση - (f ) () + = n(α) έχει ακριβώς μια ρίζα;.04 Έστω η συνάρτηση α f() ln α με 0. Αν για κάθε 0 είναι f() 0 τότε Α) να αποδείξετε ότι α=, Β) να λύσετε την εξίσωση Γ) να λύσετε την ανίσωση ln ln, 0 f() ln f().05 Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f για κάθε 0, f 0 0. Να αποδείξετε ότι: Α) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος 0,. Β) Το θεώρημα του Roll δεν εφαρμόζεται σε κανένα διάστημα της μορφής 0, o. Γ) Ο τύπος της συνάρτησης f είναι f ln για κάθε 0, Δ) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. και Ε) Η ευθεία (ε) : y είναι κάθετη στην εφαπτομένη της C f στο o Σχ. Έτος 06-07

26 56 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.06 Δίνεται η συνάρτηση f() λ ln, λ R Α) Να βρείτε τα ακρότατα της f Β) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε 0 Γ) Να αποδείξετε ότι f() 0 και f() Δ) Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ R το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ.07 Δίνεται η συνάρτηση f() ln α α με α>0 Α) Να βρείτε το πρόσημο της f. Β) Να λύσετε την εξίσωση α για κάθε α>0 α β Γ) Αν ισχύει ότι ln β α α για κάθε 0, να αποδείξετε ότι β=. f.08 *Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R, που ικανοποιεί τις σχέσεις και f 0 0 f, R Α. Να εκφράσετε την f συναρτήσει της f και να δείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R Β. Να αποδείξετε ότι f() f (), για κάθε 0. Γ. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο..09 * Έστω συνάρτηση g : 0, R παραγωγίσιμη στο 0, με, g λ, και g λ 4 Α) Να βρείτε τον αριθμό λ g 4 6 για κάθε 0 4 Β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C g στο και να υπολογίσετε το g 8, g ημ 4 g 6 ln.0 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, 4 για την οποία ισχύουν: f f ' f για κάθε 4, f' 0 για κάθε 4 f και f 0, Α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, 4, να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε ότι η C f τέμνει τον ' σε ένα μόνο σημείο. Β) Να δείξετε ότι f '' f ' και ότι η C f στρέφει τα κοίλα άνω στο Γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0, ώστε f f ' Δ) Να βρείτε τον τύπο της f για 4 Ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f Στ) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. Ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. o () 0 0 0, 4 κ έχει μοναδική λύση στο, 4 για κάθε κ R

27 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 57. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f 0 για κάθε R. Α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g f Β) Αν επιπλέον είναι 0 f για κάθε R και f α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g ln f(), f τότε: Β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g ln f() στο σημείο της με τετμημένη 0. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο IR. f( h) 5f() f( h) 60 Αν ισχύει ότι h0 h Α) 4 f () και Β) η ευθεία y 004 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο Γ) f 004 για κάθε 0, f , να δείξετε ότι. ** Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία γνωρίζουμε ότι: f(0) 0 και f () f () για κάθε R. Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο 0, h() f () f(), IR είναι σταθερή. Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο o 0 Δ) Να αποδείξετε ότι f() 0.4 **H συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει ότι κάθε 0. Να αποδείξετε ότι: Α) η f είναι Β) f f () για κάθε 0 Γ) αν f τότε f f f () f 0 για ln..5 Έστω f συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο Α) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε fξ Β) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β με ξ ξ α,β ) με f α Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει α,β τέτοιο ώστε f o α, f β β τέτοια ώστε o α β. Δ) Αν f 0 για κάθε α,β τότε υπάρχουν, α,β f'( ) f '( ) f ξ f ξ με τέτοια ώστε Σχ. Έτος 06-07

28 58 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.6 * Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο,,. Αν f f Α) υπάρχει, 0 να αποδείξετε ότι: f( ) f( ) τέτοιο ώστε: f( 0 ). παραγωγίσιμη στο, και κυρτή στο Β) υπάρχουν, και, με τέτοια ώστε: f f f( ) f( ) Γ) το o του (Α) ερωτήματος βρίσκεται πλησιέστερα στο απ ότι στο..7 Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με τιμών το,4. Να αποδείξετε ότι : Αα) Υπάρχουν,, με f 0 β) Υπάρχει, ώστε γ) Υπάρχει, ώστε ώστε 4 f f 0 f f ( ) 4f ( ) o o o o f, f και σύνολο Βα) Η ευθεία y τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο, β) Υπάρχουν,, με ώστε να ισχύει ότι f f.8 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει: f ( ) 4 4 f( ). Να αποδείξετε τα εξής: A Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,4) τέτοιο ώστε: f ( ) 0 B Η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται Γ f () f (4) Δ Η εξίσωση f () 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R.9 Ένα σώμα κινείται στον άξονα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t t 6t 9t 4 όπου t είναι ο χρόνος σε sc. Να βρείτε: A) που βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση κινείται το σώμα τη χρονική στιγμή to 0 Γ) ποιες χρονικές στιγμές το σώμα αλλάζει κατεύθυνση, Δ) πόσες φορές αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης Ε) ποια χρονική στιγμή δεν επιταχύνεται το σώμα..0 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,, για την οποία ισχύουν : Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, f h0 f 06h f 05h 0 h

29 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 59. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μίας παραγώγου f της συνάρτησης f η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο [0,]. Ισχύουν ακόμα: f 0 0, E Α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f και τα ακρότατα Β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Γ. Να υπολογίσετε το 0 f B4. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο,f από την αρχή των αξόνων. της f C με, στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται Τα επόμενα θέματα είναι από ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (Οι πηγές αναφέρονται, όπου υπάρχουν). Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f Α. Να αποδείξετε ότι 0 Β. i) Να βρείτε την παράγωγο της f. ii) ln, 0, 0 Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να εξετάσετε αν παρουσιάζει καμπή. Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : f( ) f() ln. Ε. Να υπολογίσετε το όριο : f( ) f() ( ) Στ. Να αποδείξετε ότι f( h) f( h), όπου h 0. Νικολόπουλος. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: για κάθε και f 0 f 6 f f Α. Να αποδείξετε ότι, Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση Γ. Να αποδείξετε ότι: α) η εφαπτομένη της f C στο σημείο,f β) η κλίση της Cf στο σημείο Ν είναι τετραπλάσια της κλίσης της με 0 έχει με τη Cf και άλλο κοινό σημείο, το Ν. f C f στο Μ Δ. Ένα σημείο, y με 0 κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και έστω Α η προβολή του Σ στον άξονα. Το σημείο A απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) με ρυθμό cm s. Τη χρονική στιγμή t 0 που η τετμημένη του Σ είναι να βρείτε το ρυθμό μεταβολής. α) της απόστασης ΑΣ β) της γωνίας ΣΟΑ Λεόντιος Σχ. Έτος 06-07

30 60 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f Α. Να αποδείξετε ότι α =0 Β. Να βρείτε την παράγωγο της f ln, > 0, =0 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : f f ln Ε. Να υπολογίσετε το όριο f f Κολλέγιο Αθηνών.5 Θεωρούμε επίσης της συνάρτηση G :, που είναι μία παράγουσα της συνάρτησης f g, > Να αποδείξετε ότι : Α. f 0 καθώς επίσης ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 Β. Η συνάρτηση G είναι γνησίως αύξουσα στο, Γ. Να λύσετε την εξίσωση G G G G 06 Δ. Η συνάρτηση G είναι κυρτή Ε. Υπάρχει,4 τέτοιο ώστε 4G 7 f Κολλέγιο Αθηνών.6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f, για κάθε Α. Να δείξετε ότι f B. Να υπολογίσετε το f, αν 0, αν =0. f Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα. Αρσάκειο.7 Δίνεται η συνάρτηση f, Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από το σημείο,0 Β. Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει : g f για κάθε α. Aποδείξτε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο β. Να υπολογίσετε τα όρια : g g 5 g g g 4 g Αρσάκειο

31 Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 6.8 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(). Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία,f( ),,f( ) με, στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλες στον. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο,f( ) στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη στον άξονα. f() Δ. Να βρείτε τα όρια : L, L f () ln Νικολόπουλος.9 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR για την οποία ισχύει : IR και έχει σύνολο τιμών το R. Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να ορίσετε την f f f για κάθε Β. Να δείξετε ότι f 0 0 και να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M0,f(0) Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και να δείξετε ότι f Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός 0, Ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία των f και f, ώστε f διεύθυνσης των εφαπτομένων στις γραφικές παραστάσεις των f και και f αντίστοιχα, ισούται με ένα, για κάθε IR και να αποδείξετε ότι το γινόμενο των συντελεστών f στα σημεία τους με τετμημένες Νικολόπουλος.0 Δίνονται οι συναρτήσεις f α β, 4, - και g ln κ, όπου η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και πραγματικός αριθμός Α. Να αποδείξετε ότι α και β 8 Β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο,f να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της g Γ Nα βρείτε εφόσον υπάρχει - την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από το σημείο 0,7 και έχει αρνητική κλίση. Σχ. Έτος 06-07

32 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : 0, R των οποίων οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία y στο κοινό τους σημείο με τετμημένο 0 0 ότι: Για κάθε 0, είναι g 0, g 0 και Η g είναι συνεχής στο 0, Α Να αποδείξετε ότι f 0 g 0 f 0 g 0 f g Β Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, ισχύει ότι g 0 και Γ Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, ισχύει ότι Δ Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο g f και 0, και ισχύει f. Δίνεται επιπλέον για κάθε 0, Ε Να υπολογίσετε το f 0. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : t0 f t και για την οποία ισχύει f t f 4 t0 t Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f ε : y Β. Έστω d MΣ όπου Μ σημείο που κινείται στην εφαπτομένη ε και Σ(0,). έχει εξίσωση Να αποδείξετε ότι καθώς το Μ διέρχεται από το σημείο Α, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ ως προς t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της απόστασης d. Γ. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g f g 5 ln 6 για κάθε 0 Γα) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο με τους άξονες και y y ισοσκελές τρίγωνο Γβ) f g 7 Να βρείτε το B,g σχηματίζει. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο A 0,, για την οποία ισχύει ότι f κάθε 0,, Α) Αν η f είναι συνεχής στο Α, να υπολογίσετε το f 0 Β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f Γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln, R είναι ισοδύναμη με την f για κάθε 0,, και να βρείτε την τιμή του για την οποία η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις. Δ) Να αποδείξετε ότι 7f 5 6f 7 98f 64 για ln