MAKRO-, MIKRO- I POLUMIKROMETODE
|
|
- Χαρικλώ Δασκαλοπούλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analiza namirnica 6 MAKRO-, MIKRO- I POLUMIKROMETODE Atributi makro, mikro- i polumikro- doslovce proističu iz veličine probe koja se uzima za analizu. Iako u analitičkoj hemiji postoji gruba podela na makrometode (proba od nekoliko grama) i mikrometode (proba od nekoliko miligrama), stvarna razlika između ovih metoda je rastegljiva i jasnija je tek kada se primeni na određivanje iste supstance na primer, da li će se za određivanje proteina u mesu uzeti proba od 5 g ili od 50 mg. Ukoliko se odvaga nalazi negde između dve gornje vrednosti, metoda obično ima atribut "polumikro". Iz onoga što je dosada izneto proizlazi da veličina probe koja se uzima za analizu zavisi od: - homogenosti uzorka, - učešća tražene komponente u uzorku. Ako uzorak i posle primene svih raspoloživih mehaničkih postupaka ostane i dalje vidljivo nehomogen (npr. u njemu se i dalje uočavaju pojedinačna zrnca začina, grudvice vezivnog tkiva i sl.), onda je besmisleno insistirati na mikroanalizi jer će se doduše njome uštedeti hemikalije, ali će dobijeni rezultat biti nepouzdan. Stoga se mora upotrebiti veći uzorak. Isto tako, ako je sadržaj tražene supstance u uzorku veoma nizak (<1%), takođe se mora na početku uzeti veća proba, kako bi se na kraju odvajanja dobila dovoljna količina tražene supstance za tačno merenje. Pošto je primena mikrometoda poželjna sa stanovišta uštede hemikalija i posledično manjeg zagađenja okoline, makro- i mikropostupak se mogu kombinovati, najčešće tako što se makroproba vidljivo nehomogenog uzorka (veličine nekoliko grama) rastvaranjem ili razaranjem prevede u odgovarajući rastvor čija se zapremina, primenom preciznih volumetrijskih postupaka, dovede na tačnu vrednost. Dalje se ne mora raditi sa celokupnom količinom rastvora (sa celom probom), već s njegovim alikvotnim delom, npr. petinom ili desetinom njegove zapremine i u toj istoj meri uštedeti hemikalije. Ovde smo masu nehomogene probe raspodelili po velikoj zapremini koja se može tačno meriti i pri tome je dodatno homogenizovali. I ovakav postupak često nosi atribut "polumikro". Kao što se vidi, primena makro-, mikro-, odnosno polumikrometoda zavisi od toga šta se i u čemu određuje, a koji će se postupak u konkretnom slučaju upotrebiti, u velikoj meri određuje iskustvo analitičara, pa ipak, postoji stalna težnja ka favorizovanju mikropostupaka.
2 Analiza namirnica 7 KVALITATIVNA I KVANTITATIVNA ANALIZA Pod kvalitativnom hemijskom analizom podrazumevamo skup hemijskih, fizičkih i fizičkohemijskih postupaka pomoću kojih nedvosmisleno utvrđujemo prisustvo određene (tražene) komponente u uzorku. Pošto unapred često imamo samo nejasnu predstavu o sastavu uzorka, u neorganskoj analitičkoj hemiji je razvijen čitav sistem postupaka čijim sprovođenjem, uz poštovanje propisanog redosleda, možemo da utvrdimo prisustvo ili odsustvo većine katjona (Na +, K +, Ca +,...) i anjona (NO 3 -, HOSO 3 -,...). U analizi namirnica, koje su u načelu smeša organskih i neorganskih jedinjenja, primenjuje se najčešće samo nekoliko takvih postupaka, odnosno karakterističnih reakcija za dokazivanje određenih supstanci. Za njih se koriste gotovi rastvori hemikalija koje veterinarski inspektor može da primeni na terenu da bi utvrdio neku nepravilnost u vezi s namirnicom zbog koje će njen uzorak eventualno poslati u laboratoriju za detaljnije analiziranje. Takav je, na primer, Lugolov rastvor (vodeni rastvor 5%I i 10% KI), pomoću koga se utvrđuje prisustvo skroba u uzorku (plava boja), što je čest slučaj pri falsifikovanju, ali i običan lakmus-papir, pomoću koga se utvrđuje da li je namirnica kisela ili nije (boje: crvena ili plava), što može ukazati na njenu higijensku neispravnost. Ponekada se primenom kvalitativnog postupka može suditi o tome da li određene komponente ima malo ili mnogo u uzorku. Na primer, ako ekstrakt neke namirnice pri dodatku rastvora AgNO 3 daje obilan talog AgCl, to znači da u njoj ima mnogo soli (NaCl). Isto tako, u upotrebi su i indikatorski papiri koji prilikom promene kiselosti sredine više puta menjaju boju u zavisnosti od njenog trenutnog ph, tako da se pomoću njih može utvrditi ne samo da li je neka namirnica kisela ili nije, već i približno koliko je njeno ph. Opisanu primenu kvalitativnih postupaka bismo mogli nazvati polukvantitativnim metodama. Kvantitativna analiza, nasuprot kvalitativnoj, obuhvata hemijske, fizičke i fizičkohemijske postupke pomoću kojih je moguće, s proizvoljnim stepenom tačnosti, utvrditi sadržaj tražene komponente u ispitivanom uzorku. Sama tačnost ispitivanja zavisi od potrebe i može se regulisati veličinom probe uzete za analizu i osetljivošću primenjenih metoda merenja. Za razliku od kvalitatativne analize, gde unapred često ne znamo šta ćemo sve u uzorku naći, u kvantitativnoj analizi moramo unapred znati šta merimo da bismo primenili odgovarajući postupak izdvajanja te komponente i njenog merenja. Na taj način se kvalitativna i kvantitativna analiza međusobno dopunjuju prva pronalazi komponente uzorka, a druga ih tačno meri. Kvantitativnom hemijskom analizom se može utvrditi: 1) Grupni sastav uzorka, što je u analizi namirnica i najčešći slučaj. Tzv. osnovni hemijski sastav namirnice obuhvata: % vode, % belančevina, % masti, % ugljenih hidrata i % pepela. Iako u grupi belančevina postoje mnogi različiti proteini, mi ih svrstavamo zajedno jer iz njihovog ukupnog učešća možemo suditi o hranljivoj vrednosti namirnice, dok su razlike između pojedinih proteina koji čine grupu u ovom smislu u drugom planu. Slično važi i za ostale navedene komponente.
3 Analiza namirnica 8 Budući da je glavni sastojak mesa, mleka i njihovih proizvoda voda, čija se količina u namirnici može menjati tokom prerade (mleka u sir, mesa u kobasice) ili zbog falsifikovanja, često se grupni sastav namirnica ne obračunava na čitav uzorak, već samo na njegov deo koji predstavlja suvu supstancu. ) Sadržaj pojedinačnih komponenata ili jedinjenja u uzorku. Primer: iako svaka namirnica sadrži više minerala, o čijem učešću svedoči % pepela, među njima s gledišta ishrane kalcijum zauzima posebno mesto, pa se on specifično i određuje upravo iz pepela dobijenog posle spaljivanja namirnice. Njegov sadržaj se može izraziti kao procentualno učešće u pepelu ili kao procentualno učešće u čitavom uzorku. 3) Elementarni sastav čistog jedinjenja u cilju utvrđivanja njegove bruto formule. Ova primena predstavlja posebnu granu organske analitičke hemije. Standardizovanim postupcima se utvrđuje %C, %H, %O, %N,... u tačnoj odvagi čistog jedinjenja, a zatim se primenom poznatih relativnih atomskih masa pojedinačnih elemenata utvrđuju stehiometrijski odnosi između njih. Na kraju, ako je potrebna stvarna formula jedinjenja, određuje se i njegova ukupna relativna molekulska masa fizičkohemijskim metodama Da bi neki hemijski postupak mogao da se upotrebi u kvantitativnoj hemijskoj analizi, on mora da se odvija kvantitativno, tj. moramo obezbediti da se polazne materije iz jednog stanja u potpunosti prevedu u drugo. U tom smislu se treba setiti da su sve hemijske reakcije u stvari povratne. Kada, na primer, napišemo: CH + 3COOH + NaHCO3 = CH 3COONa + H O CO mi zapravo samo tvrdimo da postoji tačan kvantitativan odnos između učesnika reakcije levo i desno od znaka jednakosti, što nam omogućava da na osnovu stehiometrijskih odnosa izračunamo, na primer, koliko bi se natrijum-acetata dobilo od 100 g sirćetne kiseline, ako bismo svu sirćetnu kiselinu preveli u njega. Istina je, međutim, da u reakcionoj smeši istovremeno postoje svi učesnici navedene reakcije. Budući da je brzina svake hemijske reakcije u rastvoru proporcionalna koncentracijama reaktanata, gornja reakcija se odvija sleva udesno, ali i zdesna ulevo, sve do dostizanja ravnotežnog stanja u kome se dve brzine međusobno suprotnih reakcija izjednačavaju. Zato bi gornju reakciju pravilnije trebalo pisati ovako: CH + 3COOH + NaHCO3 CH 3COONa + H O CO Ako bismo želeli da reakciju sleva udesno izvedemo kvantitativno (do kraja), tj. da svu sirćetnu kiselinu pretvorimo u natrijum-acetat, morali bismo da na neki način stalno uklanjamo produkte reakcije s desne strane i time smanjujemo brzinu reakcije zdesna ulevo. U konkretnom slučaju bismo to postigli ako bismo rastvor zagrevali i tako iz njega stalno udaljavali stvoreni ugljen-dioksid. Kod reakcije u čvrstom stanju CaCO CaO + 3 CO
4 Analiza namirnica 9 takođe postoji ravnoteža, ali se žarenjem kalcijum-karbonata uz odvođenje ugljendioksida on može kvantitativno prevesti u kalcijum-oksid (živi kreč), što bismo mogli napisati i ovako: CaCO Δ 3 CaO + CO Ovde strelica usmerena udesno označava da reakcija u tom smeru ide do kraja, ako se primene povišena temperatura (Δ) i odvođenje ugljen-dioksida u vidu gasa ( ). Navedeni primeri ilustruju jedan od glavnih načina izvođenja reakcija do kraja u kvantitativnoj analizi. Drugi, veoma čest postupak je izdvajanje produkta reakcije iz rastvora u vidu taloga, npr: AgNO3 + NaCl NaNO3 + AgCl pri čemu strelica usmerena naniže ( ) znači da se odgovarajuća komponenta izdvaja iz reakcione smeše (rastvora) kao nerastvoran talog. Uklanjanje reaktanata iz reakcione smeše u cilju pomeranja ravnoteže povratnih reakcija, naročito ako su u pitanju joni, može se izvesti i drugim manipuilacijama npr. kompleksiranjem s pogodnim supstancama ili suzbijanjem disocijacije osnovnog jedinjenja dodatkom komponente sa istim jonom., odnosno promenom ph, što se u kvantitativnoj analizi često koristi.
5 Analiza namirnica 10 GRAVIMETRIJA Kao što sledi iz imena ove grupe metoda, one se zasnivaju na merenju mase uzorka i(ili) neke od njegovih komponenata. Gravimetrijske metode su direktne, ako iz mase uzorka kvantitativno izdvojimo traženu komponentu i izmerimo njenu masu. Metode su, pak, indirektne, ako masu tražene komponente dobijamo kao razliku u masi uzorka pre i posle nekog postupka pomoću koga se iz njega uklanja tražena komponenta. Traženu komponentu iz uzorka obično izdvajamo primenom taloženja, otparavanja ili ekstrakcije. 1) Taloženje. Primer izdvajanja komponente taloženjem smo već imali kod reakcije između srebro-nitrata i natrijum-hlorida, pri čemu se obrazovao nerastvoran talog srebro-hlorida. Ova reakcija se može iskoristiti za određivanje sadržaja soli (tačnije, hloridnih soli) u uzorku, ako se so iz njega prethodno ekstrahuje destilovanom vodom. Drugi primer predstavlja određivanje kalcijuma iz pepela spaljene probe namirnice taloženjem u obliku oksalata. Na rastvor pepela u hlorovodoničnoj kiselini se deluje amonijum-oksalatom, pri čemu se kalcijum, sadržan u rastvoru kao kalcijum-hlorid, taloži u obliku nerastvornog kalcijum-oksalata: CaCl HCl, Δ ( NH ) C O CaC O + NH Cl Talog kalcijum-oksalata, posle filtriranja i sušenja, sadrži jedan molekul kristalne vode (CaC O 4 H O), tako da se njegovim merenjem i preračunavanjem na kalcijum može dobiti tačna masa kalcijuma u potrebljenoj probi uzorka ili pepela. Kada se setimo da hemijska formula jedinjenja istovremeno predstavlja i relativnu masu njegovog molekula, onda uz primenu stehiometrije, iz mase kalcijum-oksalatmonohidrata (a) možemo dobiti masu kalcijuma sadržanu u njemu (b): Ca b = 40,08 a = F a = = 0, a CaC O H O (40,08 + 1, , , ,999) pri čemu se F naziva gravimetrijski faktor, koji u ovom slučaju iznosi 0,743 i predstavlja odnos mase čiste tražene supstance i mase oblika (jedinjenja) u kome se ta supstanca meri. Ako je za određivanje uzeta proba veličine m, koja je spaljivanjem dala pepeo mase p, onda je procenat kalcijuma u pepelu, odnosno u probi: b % Ca u pepelu) = 100 %Ca( u probi) p b m ( = Napomena: Kalcijum se obično ne određuje u ovoj fazi gravimetrijski, već se izdvojeni kalcijum-oksalat ponovo rastvara i određuje volumetrijski
6 Analiza namirnica 11 Kao što je već rečeno, svi procesi, kako hemijski, tako i fizički, kod kvantitativne analize moraju da se izvode kvantitativno, tj. do kraja.to, naravno, važi i za operaciju taloženja, pa u tom slučaju važe neka opšta pravila. Prilikom taloženja treba imati u vidu da je stvoreni talog potrebno odvojiti od matičnog rastvora, što se radi filtriranjem, a ono će teći utoliko brže i potpunije, ukoliko su čestice taloga krupnije. Pri stvaranju taloga se razlikuju dve faze: stvaranje centara kristalizacije i rast kristala. Ako se na početku, usled velikog presićenja, odmah stvori mnogo centara kristalizacije, obrazovaće se talog sitnog zrna koji je težak za odvajanje. U suprotnom slučaju (malo presićenje), inicijalno će nastati mali broj centara kristalizacije u kojima će stvoreni sitni kristali dalje samo rasti stvarajući talog krupnog zrna koji se lako cedi. Zbog toga u načelu taloženje treba vršiti postupno dodavanjem taložnog sredstva u više malih uzastopnih porcija tako da presićenje rastvora nikada ne bude preveliko. Stvoreni sitnozrnasti talog se često i naknadno može pretvoriti u talog krupnog zrna rekristalizacijom stajanjem taloga s rastvorom pri povišenoj temperaturi. Tada se najsitniji kristali ponovo rastvaraju i pri laganom hlađenju rastvora talože na površini već postojećih većih kristala. Za kvantitativno odvajanje taloga od matičnog rastvora se uglavnom koristi celulozni filtar-papir različite gustine (poroznosti) koji je, u zavisnosti od proizvođača, različito obeležen. Najčešće se najgušći, tzv. analitički filtar-papir, označava "plavom trakom", onaj srednjegust "crvenom", a onaj najporozniji "crnom". Postoji i tzv. "organski" filtar-papir, s krupnim porama, podesan za filtriranje organskih, voluminoznih taloga koji bi inače brzo začepili fine pore nekog gušćeg papira. Osim toga što treba da u potpunosti zadrži čestice taloga, filtar-papir koji se koristi u gravimetrijske svrhe mora da bude od čiste celuloze, tj. da pri žarenju taloga s filtrom potpuno sagori ne dajući merljiv čvrst ostatak. Talog na filtru se posle ceđenja mora dodatno ispirati kako u njemu ne bi zaostao matični rastvor, a zatim se filtar sa uzorkom mora sušititi pri odgovarajućoj temperaturi, žariti i meriti. Talog sakupljen na filtar-papiru se obično žari, pri čemu sam filtar-papir sagori. Ako je talog potrebno samo sušiti (do C) i onda meriti (pri čemu filtar-papir ne bi sagoreo), onda se on skuplja u specijalnom staklenom lončiću s dnom od poroznog stakla definisane veličine pora guču. (Guč se pre ceđenja taloga tačno izmeri, pa se masa taloga dobija merenjem nakon njegovog sušenja zajedno s gučem.) Ako je guč načinjen od vatrostalnog materijala porcelana, talog se zajedno s njim može i žariti (preko C). ) Otparavanje (volatilizacija). Najčešća primena ove metode je indirektna: meri se masa probe pre i posle otparavanja tražene komponente. To je istovremeno i najčešća standardizovana metoda za određivanje sadržaja vode u namirnicama. Potencijalni izvor greške kod ove (i drugih indirektnih) metoda je mogućnost da pri otparavanuju tražene komponente (npr. vode) iz probe ispari i neka druga isparljiva komponenta (npr. neka laka komponenta masti). Zbog toga se pri sušenju strugo treba pridržavati propisanih uslova (temperatura, eventualni vakuum, trajanje). Takođe, što je sadržaj isparljive komponente u uzorku niži, sve više raste relativna greška određivanja jer se njena masa dobija kao sve manja razlika dve sve bliskije mase (mase uzorka pre i posle sušenja).
7 Analiza namirnica 1 Kada je reč o vodi u namirnicama, treba istaći da se ona, zahvaljujući polarnosti svog molekula, delom čvrsto vezuje za polarne grupe drugih komponenata, pa se poslednje količine vode veoma teško i sporo udaljuju. Kada je reč o uzorku animalnog porekla, tu često i prisutno masno tkivo mehanički ometa isparavanje vode iz unutrašnjosti probe, pa se preporučuje prethodno rastrljavanje probe sa etilalkoholom (rastvaračem masti), čime se čestice masnog tkiva dezintegrišu. (Dodati alkohol tokom sušenja potpuno ispari.) 3) Ekstrakcija. Uzorak se meša s rastvaračem koji selektivno rastvara traženu komponentu, posle čega se faze razdvajaju, rastvarač uparava i ekstrahovana komponenta meri. Baš na ovaj način se određuje sadržaj masti u uzorku namirnice iz koga je prethodno udaljena voda (sušenjem). Očigledno je suštinski bitno da primenjeni rastvarač selektivno rastvara traženu komponentu. U tom smislu treba primetiti da je mast složena smeša jedinjenja različite polarnosti (mono-, di- i trigliceridi, slobodne masne kiseline, voskovi, viši alkoholi, steroli, ugljovodonici), čija rastvorljivost u konkretno primenjenom ekstrakcionom sredstvu (organskom rastvaraču) ne mora da bude jednaka. Tako, na primer, ako isti uzorak ekstrahujemo petroletrom, benzenom i hloroformom, verovatno ćemo za ekstrahovanu mast dobiti bliske, ali statistički značajno različite rezultate. Zbog toga je važno da se ekstrakciono sredstvo standardizuje kako bi svi analitičari dobijali vrednosti koje se međusobno mogu porediti.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOsnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραKiselo bazni indikatori
Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik
Διαβάστε περισσότεραUKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA
ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραANALITIČKA HEMIJA. Kvalitativna analiza Kvantitativna analiza
ANALITIČKA HEMIJA Kvalitativna analiza Kvantitativna analiza RAZLIKE Kvalitativnom hemijskom analizom dolazi se do saznanja o sastavu uzorka, tj. dobija se odgovor na pitanje od kojih komponenti se uzorak
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραRastvori rastvaračem rastvorenom supstancom
Rastvori Rastvor je homogen sistem sastavljen od najmanje dvije supstance-jedne koja je po pravilu u velikom višku i naziva se rastvaračem i one druge, koja se naziva rastvorenom supstancom. Rastvorene
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότερα3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα