Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές"

Transcript

1 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x) 0 ή Px 0 ή Px 0 ή P x 0 ), παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο P(x) του πρώτου μέλους. Για την παραγοντοποίηση του πολυωνύμου πρέπει να γνωρίζουμε τα εξής:. Σε πολυωνυμικές εξισώσεις με ακέραιουςσυντελεστές πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου α Ένας αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης P(x) = 0 P(ρ) 0 (x ρ). Το x είναι παράγοντας του P(x). 3. Σχήμα Horner - Διαίρεση πολυωνύμων Σχόλιο Οι γνωστές μέθοδοι παραγοντοποίησης, ( κοινός παράγοντας, ομαδοποίηση, συμπλήρωση τετραγώνου, διαφορά τετραγώνων, κ.τ.λ.) δεν μπορούν να εφαρμοστούν πάντοτε, όμως όταν είναι δυνατή η χρήση τους, προτιμώνται διότι διευκολύνουν πολύ τη διαδικασία. Έτσι αν μετά την παραγοντοποίηση, το πολυώνυμο P(x) γράφεται : P(x) P (x) P (x)... P κ (x) έχουμε :. Για τις πολυωνυμικές εξισώσεις: P(x) 0 P (x) P (x)... P κ (x) 0 P (x) 0 ηp (x) 0 ή... ή P κ (x) 0 Δηλαδή η λύση της πολυωνυμικής εξίσωσης P(x) 0, ανάγεται στη λύση των εξισώσεων P i (x) 0, όπου i=,,..., κ.. Για τις πολυωνυμικές ανισώσεις: P(x) 0 P (x) P (x)... P κ (x) 0 Δηλαδή η λύση της πολυωνυμικής ανίσωσης P(x) 0 ανάγεται στην εύρεση του προσήμου του γινομένου των παραγόντων P i(x), όπου i=,,..., κ.

2 9. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος Επίλυση πολυωνυμικής εξίσωσης: Βήμα : Αν η εξίσωση P(x) 0, έχει ρητούς συντελεστές, κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και καταλήγουμε σε εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Βήμα : Βρίσκουμε τις πιθανές ακέραιες ρίζες ρ i,που είναι οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου. Βήμα 3: Βρίσκουμε ποια απο τις πιθανές ακέραιες ρίζες μηδενίζει το πολυώνυμο P(x). Βήμα 4: Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner, για τη ρίζα ρ που βρήκαμε και γράφουμε το πολυώνυμο στη μορφή: P(x) (x ρ ) Π (x), όπως προκύπτει απ το σχήμα Horner. Βήμα 5: Κάνουμε την εργασία απο το βήμα εώς το βήμα 4 για το πολυώνυμο Π (x) και συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία έως ότου το αρχικό πολυώνυμο P(x) να γίνει γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνύμων. Βήμα 6: Βρίσκουμε τις ρίζες του δευτεροβάθμιου Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση Π i (x), αν υπάρχουν, με τη μέθοδο της διακρίνουσας. Γράφουμε το P(x) σε μορφή γινομένου παραγόντων, οπότε έχουμε μία προς μία τις ρίζες. 4 x x 4x 4 0. Η εξίσωση έχει ακέραιους συντελεστές με σταθερό όρο α 4. Έτσι οι πιθανές ακέραιες ρίζες 0 είναι :,, 4 4 Διαπιστώνουμε: P() (άρα ο αριθμός δεν είναι ρίζα του P(x) ) 4 P( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 0 (άρα ο αριθμός - είναι ρίζα του P(x) ) Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner για ρ Οπότε 3 P(x) (x )(x x 4) 3 Για το Π (x) x x 4, έχουμε: Πιθανές ακέραιες ρίζες:,, 4 και Π () 4 0 (Σχόλιο: Εφ όσον ο αριθμός δεν είναι ρίζα του P(x), δεν μπορεί να είναι ρίζα ούτε του Π (x), και επομένως δεν ήταν απαραίτητη η δοκιμή.) Π ( ) 6 0,(άρα ο αριθμός - δεν είναι ρίζα του Π (x) ) (άρα ο αριθμός είναι ρίζα του Π (x) ) 3 Π ()

3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 93. Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner για ρ Έτσι έχουμε : P(x) (x )(x )(x x ) Για το Π (x) x x, επειδή το Π (x) δεν έχει ρίζες στο R. Δ Έτσι οι ρίζες της εξίσωσης είναι : ρ και ρ. Παρατήρηση Η προηγούμενη απόδειξη έγινε για να φανούν τα βήματα που αναφέρουμε στη μέθοδο. Μια σύντομη λύση είναι: 4 4 x x 4x 4 0 x x 0 x x x x 0 x, x 4 Κατηγορία Μέθοδος πολυωνυμικής ανισότητας Βήμα : Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο P(x) του πρώτου μέλους με τον τρόπο που αναφέρεται στη μέθοδο λύσης πολυωνυμικής εξίσωσης. Βήμα : Απο την παραγοντοποιημένη τελική μορφή του P(x) προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο του P(x) για τις διάφορες τιμές του x. Έτσι βάζουμε τις ρίζες σ ένα πίνακα προσήμων και γράφουμε αναλυτικά το πρόσημο του κάθε παράγοντα. Βήμα 3: Συμπεραίνουμε τελικά το πρόσημο του γινομένου των παραγόντων P(x) και παίρνουμε ως λύσεις τα διαστήματα τα οποία μας υποδεικνύει η φορά της ανίσωσης. Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση : 4 3 x 4x 4x 3x Ονομάζουμε P(x) x 4x 4x 3x το πολυώνυμο του πρώτου μέλους το οποίο θα παραγοντοποιήσουμε. Το P(x) έχει προφανώς παράγοντα τον x. ( ρ = 0 ) 3 Έτσι P(x) x ( x 4x 4x 3) Π ( x) 3 Πιθανές ακέραιες ρίζες για το Π x x 4x 4x 3 :, 3. Π () 0, Π ( ) 0, Π (3) 0, άρα ο ρ = 3 είναι ρίζα. Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στο Π (x) για ρ =

4 94. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Έτσι P(x) x (x 3) ( x x ) Για το Π (x) x x είναι Δ 4( ) ( ) 3 0 άρα δεν έχει ρίζες. Κάνουμε πίνακα προσήμων για τους παράγοντες του γινομένου : P(x) x (x 3) ( x x ) x 0 3 x x x x P x Επειδή ζητείται P(x) 0 ως σύνολο λύσεων παίρνουμε τα διαστήματα όπου το P(x) δεν είναι θετικό. Επομένως x,0 3,. Κατηγορία Μέθοδος 3 προβλημάτων με πολυώνυμα: Διαβάζουμε προσεκτικά τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος Προσπαθούμε να ξεκαθαρίσουμε τα εξής: Ποια είναι η μεταβλητή (συνήθως x ή t) της οποίας ζητείται η τιμή. Ποιο είναι το μέγεθος στο οποίο αναφέρεται η συνθήκη του προβλήματος και ποιό πολυώνυμο P(x) εκφράζει το μέγεθος αυτό συναρτήσει της μεταβλητής που διακρίναμε πρίν. Εφαρμόζοντας την απαίτηση-συνθήκη του ερωτήματος (ή γενικότερα του προβλήματος), ανάγουμε την λύση του προβλήματος στη λύση πολυωνυμικής εξίσωσης ή ανίσωσης, είτε στην εύρεση αγνώστων συντελεστών (παραμέτρων) του πολυωνύμου. Παράδειγμα 3 Ο διαστημικός σταθμός S.I.S. έχει αποθηκευμένα αποθέματα οξυγόνου α = 7 τόνους, αλλά και συσκευές παραγωγής οξυγόνου που δίνουν σύμφωνα με τον κατασκευαστή Π(x) 4x 5x τόνους οξυγόνου συνολικά μέχρι το x έτος λειτουργίας τους. Η κατανάλωση οξυγόνου στο σταθμό έχει εκτιμηθεί απο το κέντρο διαστημικών ερευνών, να είναι συνολικά 3 σε x χρόνια K(x) x 7x 5x τόνοι. α. Για πόσα χρόνια ο σταθμός θα έχει επάρκεια οξυγόνου ; β. Πόσους επιπλέον τόνους οξυγόνου θα έπρεπε να έχει αποθηκευμένους αρχικά, ώστε να έχει επάρκεια για ένα χρόνο παραπάνω ;

5 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 95. Ονομάζουμε P(x) το πολυώνυμο που εκφράζει την περίσσεια οξυγόνου τη x χρονιά. 3 α. Έτσι P(x) Π(x) α K(x) 4x 5x 7 x 7x 5x 3 P(x) x x 0x 5 Αρκεί να βρούμε λοιπόν, ποια χρονιά ( x ) θα μηδενιστεί η περίσσεια οξυγόνου δηλάδή για 3 ποιο x ισχύει: Px 0 x x 0x 5 0. Πιθανές ακέραιες ρίζες :, 5, 5 P() 4 0, P( ) 48 0, P(5) 0, άρα ρ 5 είναι ρίζα του P(x). Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner Έτσι P(x) (x 5) ( x x 5) Για το Π (x) x x 5 έχουμε : Δ 4( )( 5) 39 0, άρα το Π (x) δεν έχει ρίζες. Άρα ο σταθμός θα έχει επάρκεια για 5 χρόνια β. Είδαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι η περίσσεια οξυγόνου τη x χρονιά είναι Px x3 x 0x 5. Έστω β το επιπλέον οξυγόνο που πρέπει να έχει ο σταθμός τότε η ποσότητα γίνεται 3 P x x x 0x 5 β. Απαιτείται ο σταθμός να έχει επάρκεια οξυγόνου για 6 χρόνια, που σημαίνει ότι : την x 6 χρονιά το οξυγόνο θα τελειώσει άρα : P(6) β 0 β 7 Άρα ο σταθμός θα έπρεπε να είχε αποθηκευμένους αρχικά 7 τόνους οξυγόνου επιπλέον. Κατηγορία Μέθοδος 4 λέγονται διτετράγω- Οι εξισώσεις της μορφής 4 αx βx γ 0 με α,β, γ R και α 0 νες και επιλύονται ως εξής: ο : Θέτουμε x y, y 0 () οπότε προκύπτει η εξίωση αy βy γ 0 (επιλύουσα). ο : Βρίσκουμε τις ρίζες της επιλύουσας. 3 ο : Από την () βρίσκουμε τις ρίζες της διτετράγωνης (αν υπάρχουν). Παράδειγμα 4 Να λύσετε την εξίσωση 4 x 5x 4 0. Αν θέσουμε x y, y 0 () η δοθείσα γράφεται: y 5y 4 0 y ή y 4. Οπότε από την () έχουμε:

6 96. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές x x x 4 x Άρα οι ρίζες της είναι: x ή x Κατηγορία Μέθοδος 5 Όταν ζητείται να λυθεί μια ρητή εξίσωση, τότε : Θέτουμε περιορισμούς, για τις παραστάσεις που βρίσκονται στους παρονομαστές. (Να είναι διάφορες του μηδενός ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και λύνουμε την αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση. Ελέγχουμε αν οι λύσεις ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς. Παράδειγμα 5 Να λυθεί η εξίσωση : x 7 6 x x x x Περιορισμοί : x 0 x και Το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών είναι x x. x 0 x x 0 x (x ) 0 και x x 7 6 Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών : x (x ) x x (x ) x (x ) x x x Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση () : Πιθανές ακέραιες ρίζες :,, 3, x x x (x 7) 6 x 7x 6 0 () 3 P(x) x 7x P( ) ( ) 7 ( ) 6 0 άρα ρ είναι ρίζα. Σχήμα Horner Άρα P(x) (x ) (x x 6). Με τη μέθοδο της διακρίνουσας βρίσκουμε ότι οι ρίζες του Π(x) x x 6 είναι : ρ και ρ3 3. Όμως η ρίζα ρ απορρίπτεται,διότι δεν ικανοποιεί τους αρχικούς περιορισμούς Έτσι οι λύσεις είναι : x ή x 3.

7 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 97. Κατηγορία Μέθοδος 6 Όταν δίνεται άρρητη εξίσωση, τότε : Θέτουμε περιορισμούς για τις υπόριζες παραστάσεις. (Να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός) Προσαρμόζουμε κατάλληλα τα δύο μέλη, (έτσι ώστε υψώνοντας σε κατάλληλη δύναμη, να απαλοίψουμε όσο το δυνατόν με λιγότερα βήματα τις ρίζες) και υψώνουμε σε κατάλληλη δύναμη. Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει, και ελέγχουμε αν οι ρίζες ικανοποιούν τους περιορισμούς, αλλα και την αρχική εξίσωση. Παράδειγμα 6 Να λυθεί η εξίσωση : 5 x x (Προσαρμογή) 5 x x 5 x x () Περιορισμοί : 5 x 0 x 5 και x 0 x Έτσι τελικά πρέπει : x,5 Υψώνοντας τα μέλη της () στο τετράγωνο, έχουμε : 5 x (x ) 5 x x x x 3x 4 0 x ή x 4. Η λύση x 4, απορρίπτεται λόγω περιορισμών, ενώ η λύση x επαληθεύει την αρχική εξίσωση, άρα είναι η μοναδική λύση. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να λυθεί η εξίσωση : Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών: Ονομάζουμε : 3 x x x 0 3 P(x) x 3x x x x x 0 x 3x x 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες : και P() 3 0. Άρα ρ είναι ρίζα του P(x). Σχήμα Horner :

8 98. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Έτσι: P(x) (x ) (x x ) Για το Π(x) x x έχουμε : Δ 7 0, άρα δεν έχει ρίζες. Έτσι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η x =. Άσκηση 3 Να λυθεί η εξίσωση : x αx x α 0, για κάθε τιμή του πραγματικού α. Σχόλιο Επειδή δεν γνωρίζουμε αν ο α είναι ακέραιος, δέν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των ακεραίων ριζών. Έτσι θα προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο του πρώτου μέλους με άλλες μεθόδους. Ονομάζουμε 3 P(x) x αx x α έτσι έχουμε : 3 P(x) x αx x α x (x α) (x α) (x α) (x ) (x α) (x ) (x ) Έτσι, για κάθε α πραγματικό οι λύσεις της εξίσωσης P(x) 0 είναι: x α ή x ή x. Άσκηση 3 Να λυθεί η ανίσωση : x x Περιορισμοί: x 0 και x 0 x άρα x, Επειδή τα μέλη της ανίσωσης είναι θετικά, υψώνουμε στο τετράγωνο: x x x x x x x (x ) x x (x ) x () Αν x 0 x x η ανίσωση () είναι αδύνατη Αν x 0 x x όπότε λόγω των αρχικών περιορισμών πρέπει : x Για x η αρχική ανίσωση επαληθεύεται. Άρα η μοναδική λύση της αρχικής ανίσωσης είναι ο αριθμός : x Άσκηση 4 Να λύσετε την εξίσωση: 4 3 6x 5x 38x 5x 6 0 Παρατηρούμε ότι η x 0 δεν είναι ρίζα της. Έτσι για x 0 διαιρούμε με x και η δοθείσα 5 6 γράφεται: 6x 5x x 5 x 38 0 () x x x x Αν θέσουμε x y () τότε x x y x y x y x x x

9 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Οπότε η () γίνεται: 6y 5y y 5y 50 0 y ή y 3 Άρα από την () έχουμε: x 5 x 5x x 5x 0 x ή x x 0 x 3x 3 0x 3x 0x 3 0 x 3 ή x x 3 3 Άρα οι ρίζες της είναι: x ή x ή x 3 ή x. 3 Σχόλιο Οι εξισώσεις των οποίων οι συντελεστές των όρων που ισαπέχουν από τα άκρα είναι ίσοι ανήκουν σε μια ευρύτερη κατηγορία εξισώσεων που λέγονται αντίστροφες. Για την επίλυσή τους: Αν είναι άρτιου βαθμού τότε:. Διαιρούμε με v / x όπου ν ο βαθμός της (για x 0 ). Θέτουμε x y κ.λ.π. x Αν είναι περιττού βαθμού με σχήμα Horner (ή παραγοντοποίηση) αναγόμαστε σε αντίστροφη άρτιου βαθμού. Μια πολυωνυμική εξίσωση λέγεται αντίστροφη όταν για κάθε ρίζα της ρ 0 είναι και ο ρ ρίζα της. Άσκηση 5 3 Να λύσετε την εξίσωση: ημ x 5ημ x 4ημx 0 3 Αν θέσουμε ημx y, y () η δοθείσα γράφεται: y 5y 4y 0 (). Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της () είναι:. Κάνουμε σχήμα Horner: Έτσι η () γράφεται: y y 3y 0 άρα y 0 ή y 3y 0 y ή ( y ή Άρα y ή y Οπότε από την () έχουμε: π π ημx ημx ημ x κπ, κ Ζ y )

10 00. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές π x κπ 6 π ημx ημx ημ ή, κ Ζ 6 π x κπ π 6 π x κπ 6 ή, κ Ζ 5π x κπ 6 π π 5π Άρα οι ρίζες της είναι: x κπ ή x κπ ή x κπ 6 6 Άσκηση 6 4 Να λύσετε την ανίσωση: x 7x 0 4 Η παράσταση x 7x, αν θέσουμε x y, με y 0 () γράφεται: y 7y y 3 y 4 Οπότε λόγω της () έχουμε: 4 x 7x 0 x 3 x 4 0 x 3 x 3 x x 0 Για να βρούμε το πρόσημο του ου μέλους σχηματίζουμε τον πίνακα: Άρα η ανίσωση αληθεύει για τα x R με : x 3 ή 3 x. Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να λύσετε την εξίσωση: x 8 x x x 5x 6. Να λύσετε την εξίσωση: x3 x x 4x 6 x x 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 x x x 3x 3 0 δεν έχει ακέραιες λύσεις. 4. Να βρείτε τις τιμές του α Ζ για τις οποίες η εξίσωση 3 x αx 3x 0 έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις : α. γ. 3 x x 5x 0 β. 3 x 3x 8x 3 0 δ. 3 x 3x x 4x 3x 4x 4 0

11 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Να βρείτε για ποιες τιμές των α,β R το πολυώνυμο 4 3 P x x αx 7x x β έχει παράγοντες τους x και x και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Px Να λυθούν οι ανισώσεις : α x x x 0 β. x x x γ. x x x 0 δ. x 4x x 8x Μια εταιρία κατασκευής ηλεκτρικών συσκευών έχει υπολογίσει οτι το κόστος κατασκευής x χιλιάδων συσκευών δίνεται απο τον τύπο : 4 K(x) x x 6 σε χιλιάδες, ενώ τα έσοδα 3 απο την πώληση τους, αναμένονται να είναι : E(x) 4x x x χιλιάδες. α. Πόσες χιλιάδες συσκευές πρέπει να παραχθούν τουλάχιστον ώστε η εταιρία να έχει κέρδος; β. Απο πόσες χιλιάδες συσκευές και πάνω η εταιρία θα έχει ξανά ζημία ; 9. Να λυθούν οι εξισώσεις : α. x 6 4 (x ) x 4 x β. 3 x x 4 x x γ. 3x x δ. x 3 x 0. Να λύσετε την εξίσωση: 6 3 x 9x 8 0. Να λύσετε την εξίσωση: x x x x 9 E. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ. Να λυθεί η εξίσωση : 4x x 7x x 0 (Υπ.: Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα διαφορά τετραγώνων ) Να δειχθεί οτι η εξίσωση : x x x x x 0 δέν έχει ακέραιες ρίζες και να βρεθεί μια ρίζα της. 3. Να λυθεί η ανίσωση : 3 3 x 3 x 0

12 0. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση v x 4αx 0 με * v N, * α Ζ δεν έχει ακέραιες ρίζες. 5. Να βρείτε τις τιμές του * α Ζ ώστε η εξίσωση x3 α x α 0 να έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση για την μεγαλύτερη τιμή του α που βρήκατε. 6. Αν η εξίσωση 3 αx βx γx δ 0 έχει ρίζα τον ρ και ισχύει αρ + γ = 0 (), να βρείτε τις άλλες ρίζες της εξίσωσης. 7. Να προσδιοριστούν οι τιμές του θ R ώστε το πολυώνυμο Px x3συν3θ 5xσυνθ 5xσυνθ να έχει παράγοντα το x Δίνεται το πολυώνυμο 3 P x x x αx β. Να βρείτε α,β R ώστε το P x να έχει παράγοντα το x και διαιρούμενο με το x να δίνει υπόλοιπο 3. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Px 0.

13 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 03. Θεωρία. α) Πώς βρίσκουμε το πρόσημο ενός γινομένου της μορφής P(x) = Α(x) B(x)... Φ(x) όπου οι παράγοντες Α(x), B(x),... Φ(x), είναι πρωτοβάθμια πολυώνυμα αx + β ή τριώνυμα αx + βx + γ; β) Πως λύνουμε ανισώσεις γινομένου, της παραπάνω μορφής, P(x) > 0, P(x) 0, P(x) < 0, P(x) 0. Απάντηση: α) Βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα ξεχωριστά και κατόπιν το πρόσημο όλου του γινομένου P(x). β) Βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου P(x) και κατόπιν εκείνα τα x για τα οποία αληθεύει η κάθε μια από τις ανισώσεις Ρ(x) 0, P(x) 0, P(x) 0, P(x) 0 Θεωρία. Πώς λύνουμε ανισώσεις της μορφής A(x) A(x) A(x) A(x) α) 0 β) 0 γ) 0 δ) 0, Β(x) 0 B(x) B(x) B(x) B(x) Απάντηση: A(x) α) Επειδή 0 Α(x) και B(x) ομόσημα Α(x) B(x) 0. Δηλαδή η επίλυση του B(x) A(x) πηλίκου 0 ανάγεται στην επίλυση της ανίσωσης του γινομένου Α(x) B(x) > 0 B(x) A(x) β) Επειδή 0 Α(x),B(x) ομόσημα Α(x) B(x) 0 με B(x) 0. B(x) Άρα η επίλυση του πηλίκου A(x) 0 ανάγεται στην επίλυση του γινομένου Α(x) B(x) 0 B(x) με B(x) 0 γ) όμοια με α) δ) όμοια με β)

14 04. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Ερωτήσεις κατανόησης - Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα Να βρείτε το πρόσημο του f(x) ( 3x)(x 4)(4 x)(x 6)(7 x) : Μέθοδος Όταν έχουμε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων μπορούμε να βρούμε τα πρόσημο ως εξής: Βήμα ο Φέρνουμε το f(x) στην μορφή f(x) (αx β ) (αx β )...(α νx ν β ν) με α, α,..., α ν > 0. Συγκεκριμένα για το παράδειγμά μας έχουμε: f(x) (3x-)(x 4)(x 4)(x 6)(x 7) Βήμα ο Βρίσκουμε τις ρίζες των πρωτοβάθμιων παραγόντων Δηλαδή: 3x -0 x = x 4 0 x = x 4 0 x = 4 3 x 6 0 x = 6 x 7 0 x = 7 Βήμα 3ο Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμων βάζοντας στο πρώτο από δεξιά διάστημα το πρό σημο + ή που βρίσκεται μπροστά από τις παρενθέσεις του f(x) και στα επόμενα διαστήματα βάζοντας το πρόσημο εναλλάξ. Στο παράδειγμά μας έχουμε: Παράδειγμα Να βρεθεί το πρόσημο του f(x) = ( - x) (x - 4) (3 - x) (5 - x) : f(x) (x - ) (x - 4) (x 3) (x 5) Οι ρίζες των παραγόντων είναι: x 0 x = x 4 0 x = 4 x 3 0 x = 3 x 5 0 x = 5 Έτσι έχουμε: Σχόλιο Τις δυνάμεις με περιττούς εκθέτες τις θεωρούμε σαν δύναμη με εκθέτη το. Στις δυνάμεις με άρτιους εκθέτες, όταν θα τοποθετήσουμε στον πίνακα προσήμων τις ρίζες, δεξιά και αριστερά από τις ρίζες θα βάζουμε το ίδιο πρόσημο.

15 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 05. Παράδειγμα x 3x Να λυθεί η ανίσωση x 3x : x- (3x ) E.K.Π. Περιορισμοί: Πρέπει το Ε.Κ.Π. 0 (x -)(3x ) 0 x - 0 και 3x 0 x και x 3 H ανίσωση γίνεται: x 3x x 3x 0 0 x 3x x 3x (3x )x (x )(3x ) (x )(3x ) 0 (x )(3x ) 6x x 3x x 3x (3x x 3x ) (x )(3x ) 0 Σχόλιο Σε κλασματικές ανισώσεις (δηλαδή σε ανισώσεις που ο άγνωστος βρίσκεται στον παρονομαστή) ΠΟΤΕ ΔΕΝ ΚΑΝΟΥΜΕ απαλοιφή παρονομαστών,( εκτός αν ξέρουμε το πρόσημό του Ε.Κ.Π τους). Μεταφέρουμε τις παραστάσεις του δευτέρου μέλους στο πρώτο μέλος, κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και το ένα κλάσμα που δημιουργείται το κάνουμε γινόμενο Γ(x) < 0 ή Γ(x) > 0. 9x x 6x x 6x 3x x (3x + x + 3)(x -)(3x +) < 0 (x )(3x ) 0 (x )(3x ) Βρίσκουμε τις ρίζες των παραγόντων: 3x + x + 3 = 0, αδύνατη (διότι Δ = - 3 < 0). x 0 x = 3x 0 x = - Κάνουμε τον πίνακα προσήμων: 3 Άρα x, 3.

16 06. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις- Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση (3 x)(x 4x 4) 0 ( x 5x 6)(x ) : Περιορισμοί: Πρέπει x 5x 6 0 x και x 3 ( x 5x 6)(x ) 0 και και x - 0 x Για την επίλυση της ανίσωσης κάνουμε το κλάσμα γινόμενο και έχουμε: (3 - x)(x + 4x + 4)(-x + 5x - 6)(x - ) 0 Βρίσκουμε τις ρίζες των παραγόντων: 3 x 0 x 3 x 4x 4 0 x = x 5x 6 0 x = η x = 3 x 0 x = Έχουμε τον πίνακα προσήμων: Άρα Γ(x) 0 x -,,3 3,.

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0 4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x 1

Α) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x 1 αν είναι θ < 0, τότε έχουμε πάλι ότι x!. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση x 3 4 έχουμε x 3 4 x 3 4 ή x 3 4 x 7 ή x 1 x (, 1] [7,+ ). Παράδειγμα. Για την ανίσωση x +1 3 έχουμε x +1 3 η x +1 3 x η x 1 η x (,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;

3.Πώςθαλύσωμιαεξίσωσηδευτέρουβαθμού; 3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη 2 εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση δευτέρου βαθμού! Αυτό θα προκύψει μετά την εκτέλεση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές και πρόσημο τριωνύμου

Μορφές και πρόσημο τριωνύμου 16 Φεβρουαρίου 214 Μορφές τριωνύμου Μορφές τριωνύμου Ανάπτυγμα: P(x) = αx 2 + βx + γ Μορφές τριωνύμου Μορφές τριωνύμου Ανάπτυγμα: Παραγοντοποιημένη: P(x) = αx 2 + βx + γ P(x) = k(x λ)(x μ) Μορφές τριωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ 1 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 14 A Οµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 + = 1 Είναι = ( 1) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και 1 0 0 και 1 (περιορισµοί)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα