Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων"

Transcript

1 Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση με μετασχηματισμούς, επαναληπτικές διαδικασίες, παιχνίδια κτλ. Με τον όρο αναλλοίωτο στα μαθηματικά εννοούμε μια ποσότητα ή μια ιδιότητα που δεν μεταβάλλεται. Παράδειγμα: έστω το σύνολο Α = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,1} με άθροισμα στοιχείων S = 55, περιττό. Αν διαγράψουμε δυο άρτιους ή δυο περιττούς, τότε το S παραμένει περιττό. Εδώ, το αναλλοίωτο είναι η ιδιότητα του S να παραμένει περιττός. Ορισμένα χαρακτηριστικά αναλλοίωτα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού με τον ακέραιο αριθμό κ Z. (Ειδικότερα αν κ = 2, το αν ένας αριθμός είναι άρτιος ή περιττός.) Η τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης που περιέχει μεταβλητές. Αν ένα μέγεθος αυξάνεται ή μειώνεται. Γενικά, μια οδηγία που θα μπορούσε να σας δώσει κάποιος είναι: «Αν υπάρχει κάποια επαναληπτική διαδικασία, ψάξτε να βρείτε τι δεν αλλάζει» Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια μέθοδος που μαθαίνεται καλύτερα με την εμπειρία, λίγη από την οποία θα αποκτήσουμε λύνοντας ορισμένα όμορφα προβλήματα. Πριν πάμε όμως σε αυτά, να κάνουμε κάποιες υπενθυμίσεις από την Θεωρία Αριθμών. Άρτιοι-περιττοί Υπενθυμίσεις από την Θεωρία Αριθμών άρτιος ± άρτιος άρτιος περιττός ± περιττός άρτιος άρτιος ± περιττός περιττός Γενικότερα, αν ένα άθροισμα ακέραιων αριθμών αποτελείται από: περιττό πλήθος περριτών αριθμών, τότε είναι περιττό. άρτιο πλήθος περιττών αριθμών, τότε είναι άρτιο.

2 Ορισμός: η αρτιότητα (parity) ενός ακέραιο αριθμού μας λέει αν είναι άρτιος ή περιττός. Πρόταση 1: όταν ένας αριθμός μεταβάλλεται κατά άρτιο αριθμό, τότε διατηρεί την αρτιότητά του. Πρόταση 2: η αρτιότητα ενός αθροίσματος ακέραιων αριθμών εξαρτάται από το πλήθος των περιττών όρων του. Διαιρετότητα Αν σε μια σχέση α = β + γ, ο δ διαιρεί δυο από τους α, β, γ, τότε θα διαιρεί και τον τρίτο. ( α, β, γ, δ Z) Πρόβλημα 1 Εκφώνηση: έχουμε στον πίνακα γραμμένο τον αριθμό 194. Από τον αριθμό αυτό μπορούμε να πάρουμε νέους αριθμούς προσθέτοντας ή αφαιρώντας κάθε φορά στον προηγούμενο έναν από τους αριθμούς 8 ή 22. Μπορούμε με αυτόν τον τρόπο να πάρουμε τον αριθμό 213; Στρατηγική 1: «λερώστε τα χέρια σας» (get your hands dirty) Μην φοβάστε να δοκιμάστε. Πιάστε χαρτί και μολύβι και ξεκινήστε να κάνετε δοκιμές. Πειραματιστείτε με συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και αυτό μπορεί να σας οδηγήσει σε μια εικασία. Εξετάστε αν αυτή η εικασία σας βοηθάει στην λύση. Αν ναι, προσπαθείστε να αποδείξτε την εικασία που μόλις κάνατε Τα γαλάζια κουτάκια έχουν όλα άρτιο περιοχόμενο. Μας οδηγεί αυτό στην λύση; Μπορείτε να το αποδείξετε; Στρατηγική 2: «μπείτε στο μυαλό του κατασκευαστή» Πρέπει πάντα να αναρωτιέστε γιατί ο κατασκευαστής επέλεξε τον συγκεκριμένο αριθμό. Ποια ιδιότητα τον κάνει να ξεχωρίζει; Η αρτιότητά του; Μήπως είναι πρώτος, τέλειο τετράγωνο, της μορφής 8λ + 1, της μορφής ; Λύση: γνωρίζουμε ότι, όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε δυο αρτίους, τότε προκύπτει πάλι άρτιος αριθμός. Επομένως από τον άρτιο 194 δεν θα μπορέσουμε πότε να φτάσουμε στον περιττό 213, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους άρτιους 8,22. Σχόλιο: στο συγκεριμένο πρόβλημα η επαναληπτική διαδικασία ήταν οι διαδοχικές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Το αναλλοίωτο ήταν η αρτιότητα του αριθμού που προέκυπτε κάθε φορά (ήταν πάντα άρτιος).

3 Πρόβλημα 2 Εκφώνηση: πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν 7 ποτήρια σε θέση στραγγίσματος (κάτω). Με κάθε κίνηση επιτρέπεται να αντιστρέψουμε ακριβώς 4 ποτήρια. Είναι δυνατόν με αυτή τη διαδικασία να αντιστρέψουμε όλα τα ποτήρια, ώστε να είναι σε θέση σερβιρίσματος (πάνω); Πάνω(Π) Κάτω(Κ) Ας «λερώσουμε» τα χέρια μας K K K K K Κ K 7 4 K K K Π Π Π Π 3 1 Π Π Π Κ Π Π Π 4 K K K K K Π Π 2 2 Π Π K K K Κ K Παρατηρούμε ότι τα κόκκινα κουτάκια έχουν όλα άρτιο περιεχόμενο. Μας βοηθάει αυτό στην λύση ; Μπορούμε να το αποδείξουμε; Λύση 1η: έστω ότι επιλέγουμε να αντιστρέψουμε n ποτήρια που βρίσκονται σε θέση Κ, όπου n =,1,2,3,4. Τότε αναγκαστικά θα αντιστρέψουμε 4 n ποτήρια που βρίσκονται σε θέση Π. Σε αυτήν την περίπτωση το #Π μεταβάλλεται ως εξής: #Π #Π + n (4 n) = #Π + n 4 + n = #Π + 2n 4 ` Τα Κ που έγιναν Π Τα Π που έγιναν Κ άρτιος #Κ #Π

4 Άρα το #Π μεταβάλλεται κάθε φορά κατά άρτιο αριθμό. Αρχικά είναι ίσο με (άρτιος). Άρα το #Π θα είναι συνεχώς άρτιο και δεν θα μπορέσει να γίνει ίσο με 7. Επομένως δεν είναι δυνατό να συμβεί το ζητούμενο. Σχόλιο 1: στο πρόβλημα αυτό η επαναληπτική διαδικασία ήταν το γύρισμα των 4 ποτηριών. Το αναλλοίωτο ήταν ότι το πλήθος των ποτηριών που βρίσκονταν σε θέση σερβιρίσματος (Π) ήταν πάντα άρτιο, ανεξάρτητα από τις κινήσεις μας. Σχόλιο 2: σε ορισμένα προβλήματα ενδέχεται να υπάρχουν περισσότερα από ένα αναλλοίωτα χωρίς απαραίτητα να σημαίνει ότι όλα θα είναι χρήσιμα στην λύση. Για παράδειγμα, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, αναλλοίωτη παραμένει και η αρτιότητα του πλήθος των ποτηριών που βρίσκονται σε θέση στραγγίσματος(κ) (κάτι που θα μπορούσε να μας οδηγήσει επίσης στην λύση). Σχόλιο 3: αν είχαμε 213 ποτήρια σε θέση Κ και γυρίζαμε κάθε φορά 94 ακριβώς, θα μπορούσαμε να φέρουμε όλα τα ποτήρια σε θέση Π; Γενικεύστε και γράψτε την απόδειξη της γενίκευσης. Λύση 2η: «κοιτώντας το κάθε ποτήρι ξεχωριστά» Ενα ποτήρι βρίσκεται σε θέση Π, αν το έχουμε γυρίσει περιττό αριθμό φορών. Αν είναι δυνατόν να γυρίσουμε τα 7 ποτήρια σε θέση Π, τότε για το 1ο ποτήρι θα έχουνε χρειαστεί α 1 γυρίσματα, για το 2ο ποτήρι α 2,, για το 7ο ποτήρι α 7 γυρίσματα, όπου α 1, α 2,, α 7 περιττοί αριθμοί. Συνολικά θα έχουν γίνει α 1 + α α 7 γυρίσματα, περιττός αριθμός γυρισμάτων (ως άθροισμα 7 περιττών αριθμών). Όμως σε κάθε γύρο γυρίζουμε 4 ποτήρια ακριβώς. Άρα ο τελικός αριθμός γυρισμάτων θα πρέπει να είναι πολ4. Δηλαδή θα πρέπει ένας περιττός αριθμός να είναι ίσος με ένα πολ4, το οποίο είναι φανερά άτοπο. Άρα το ζητούμενο δεν γίνεται. Στα προηγούμενα παραδείγματα ήταν προφανές ποια ήταν η ποσότητα της οποίας κάποια ιδιότητα παραμένει αναλλοίωτη, μιας και σχετίζονταν άμεσα με το ζητούμενο. Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία θα πρέπει εμείς να ανακαλύψουμε ποια ποσότητα παραμένει αναλλοίωτη. Το βήμα αυτό όχι μόνο προφανές δεν είναι, αλλά πολλές φορές είναι και εξαιρετικά δύσκολο. Απαιτεί φαντασία, άλλα και αρκετή εμπειρία. Πρόβλημα 3 Εκφώνηση: στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί από τον 1 έως τον 5. Διαγράφουμε τυχαία δύο από αυτούς και γράφουμε στον πίνακα τη θετική διαφορά τους. (Για παράδειγμα, αν διαγράψουμε τους αριθμούς 21 και 3, γράφουμε τον 9.) Να εξετάστε αν μετά από διαδοχικές εφαρμογές της παραπάνω διαδικασίας μπορεί να προκύψει ο αριθμός (μηδέν). Βήματα για την λύση: Βήμα 1: θεωρούμε το άθροισμα S όλων των αριθμών που βρίσκονται στον πίνακα, ελπίζοντας ότι κάποια ιδιότητά του θα παραμένει αναλλοίωτη.

5 Βήμα 2: εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται το S. Έστω ότι διαγράφουμε τους a, b με a b. Τότε το S γίνεται S S a b + b a = S 2a Διαγράφηκαν Προστέθηκε η θετική διαφορά τους Άρα το S μεταβάλλεται κάθε φορά κατά άρτιο αριθμό, δηλαδή διατηρεί την αρτιότητά του. Βήμα 3: αναζητούμε την αρτιότητα του S αρχικά. 1 ος τρόπος: υπολογισμός του S (με τη συμμετρία των «άκρων») S = S = S = (1 + 5) + (2 + 49) + (3 + 48) + + ( ) S = όροι S = = 1275 (περιττός) 2 ος τρόπος: άμεσος προσδιορισμός της αρτιότητας του S Η αρτιότητα του S εξαρτάται από το πλήθος των περιττών όρων του. Άρα μας αρκεί να προσδιορίσουμε το πλήθος των 1,3,5,,49. Οι αριθμοί 1,2,3,4,,49,5 είναι 5 το πλήθος. Οι περιττοί είναι ακριβώς οι μισοί (25) από αυτούς, αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι μπορούμε να τους ομαδοποιήσουμε στα ζεύγη (1,2), (3,4), (5,6),, (49,5) καθένα από τα οποία περιέχει ακριβώς ένα περιττό. Άρα το S αποτελείται από περιττό (25) πλήθος περιττών όρων, άρα είναι και το ίδιο περιττό. Βήμα 4: συνδυασμός των μέχρι τώρα αποτελεσμάτων. Έχουμε δείξει ότι αρχικά το άθροισμα είναι περιττό και ότι, επειδή μειώνεται κάθε φορά κατά άρτιο αριθμό, θα παραμένει περιττό, ανεξάρτητα από τους ποιους αριθμούς θα επιλέξουμε να διαγράψουμε. Αυτό μας οδηγεί στην λύση... αν προκύψει ο αριθμός (μηδέν) θα πρέπει το S εκείνη τη στιγμή να είναι, δηλαδή άρτιο. Πράγμα που, όπως δείξαμε, δεν γίνεται. Σχόλιο: στο πρόβλημα αυτό η επαναληπτική διαδικασία ήταν η διαγραφή δυο αριθμών και η αντικατάστασή τους με την θετική διαφορά τους. Το αναλλοίωτο ήταν η αρτιότητα του αθροίσματος των αριθμών. Σημειώστε ότι το άθροισμα δεν αναφέρεται πουθενά στην εκφώνηση, αλλά το θεωρήσαμε μόνοι μας.

6 Πρόβλημα 4 Εκφώνηση: δίνονται 1 σημεία σε έναν κύκλο. Ένα από αυτά χαρακτηρίζουμε 1 και τα υπόλοιπα με. Κάθε φορά μπορούμε να κάνουμε την εξής ενέργεια: Επιλέγουμε ένα σημείο με χαρακτηρισμό 1 και μετατρέπουμε τα δυο γειτονικά του σημεία σε 1 α, 1 β, όπου α, β είναι οι προηγούμενοι χαρακτηρισμοί. Να εξετάσετε αν, μετά από διαδοχικές εφαρμογές της παραπάνω διαδικασίας, όλα τα σημεία μπορούν να χαρακτηριστούν με 1. Βήματα για την λύση: Βήμα 1: θεωρούμε το άθροισμα S όλων χαρακτηρισμών, ελπίζοντας ότι κάποια ιδιότητά του θα παραμένει αναλλοίωτη. Βήμα 2: εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται το S S S ± S S To S (σε κάθε δυνατή περίπτωση) μεταβάλλεται κατά άρτιο αριθμό, δηλαδή διατηρεί την αρτιότητά του. Βήμα 3: αναζητούμε την αρτιότητα του S αρχικά. Αρχικά S = 1, περιττός. Βήμα 4: συνδυασμός των μέχρι τώρα αποτελεσμάτων. Έχουμε δείξει ότι αρχικά το άθροισμα είναι περιττό και ότι η αρτιότητά του είναι αναλλοίωτη. Αν όλα τα σημεία γίνονταν ίσα με 1, θα είχαμε S = 1, δηλαδή άρτιο. Αυτό όμως δεν γίνεται Σχόλιο: πάλι θεωρήσαμε το άθροισμα S των χαρακτηρισμών, το οποίο δεν αναφέρεται πουθενά στην εκφώνηση. Πρόβλημα 5 Εκφώνηση: ένας κύκλος διαιρείται σε έξι τομείς. Γράφουμε τους αριθμούς 1,,1,,, μέσα στους τομείς (με φορά αντίθετη του ρολογιού). Μπορούμε να αυξήσουμε κάθε φορά δυο γειτονικούς αριθμούς κατά 1. Είναι δυνατόν να γίνουν ίσοι όλοι οι αριθμοί μετά από κάποια τέτοια «βήματα»;

7 Απόπειρα λύσης: 1. Θεωρούμε πάλι το άθροισμα S όλων των αριθμών. 2. Το S αυξάνεται κάθε φορά κατά Το S αρχικά είναι ίσο με Τελικά θέλουμε S = 6x, για κάποιο x N. 1 Καμία αντίφαση πρέπει να αναζητήσουμε άλλο αναλλοίωτο! 1 Το «κλασικό» άθροισμα δεν μας βοηθάει σε αυτό το πρόβλημα. α 1 α 6 Θεωρούμε το Ι = α 1 + α 3 + α 5 α 2 α 4 α 6 1 Το Ι παραμένει αναλλοίωτο σε κάθε κίνηση (τα γειτονικά έχουν διαφορετικό χρώμα). α 2 α 5 Αρχικά Ι = 2. Αν όλοι οι αριθμοί γίνουν ίσοι, τότε θα είναι Ι =. Αυτό όμως δεν γίνεται, αφού το Ι είναι αναλλοίωτο. 1 α 3 α 4 Σχόλιο 1: μέχρι στιγμής είχαμε δει προβλήματα όπου μια ιδιότητα (αρτιότητα) ενός αριθμού παρέμενε αναλλοίωτη. Εδώ ο ίδιος ο αριθμός (η τιμή του) παραμένει αναλλοίωτος! Σχόλιο 2: πάλι θεωρήσαμε ένα «άθροισμα» (Ι) το οποίο δεν είναι καθόλου προφανές. Πρόβλημα 6 Εκφώνηση: στις κορυφές ενός κύβου είναι τοποθετημένα επτά μηδενικά και μια μονάδα. Αν επιτρέπεται στους αριθμούς κάθε ακμής να προσθέσουμε τον αριθμό 1, να εξετάστε αν μπορούμε με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να δημιουργήσουμε σε κάθε κορυφή: a) τον ίδιο αριθμό b) αριθμούς που διαιρούνται με τον 3.

8 Λύση: a) Έστω S 1 το άθροισμα τεσσάρων κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή και S 2 το άθροισμα των υπόλοιπων κορυφών (που επίσης δεν συνδέονται με ακμή). Θεωρούμε το Ι = S 1 S 2. Βλέπουμε ότι παραμένει αναλλοίωτο. Αρχικά είναι Ι = 1, τελικά θέλουμε Ι =, πράγμα που δεν γίνεται. b) Αν σε κάθε κορυφή οι αριθμοί διαιρούνταν με το 3, τότε και τα S 1, S 2 θα διαιρούνταν με το 3. Άρα και το Ι θα διαιρούνταν με το 3 πράγμα αδύνατο. Πρόβλημα 7 Εκφώνηση: δίνονται οι αριθμοί 1,2,3,, ν με ν = 213 και α 1, α 2,, α ν οι ίδιο αριθμοί, αλλά με άλλη σειρά (δηλαδή είναι μια μετάθεση των 1,2,3,, ν). Να αποδείξτε ότι ο αριθμός Λύση: Α = (α 1 1)(α 2 2)(α 3 3) (α ν ν) είναι άρτιος. S = (α 1 1) + (α 2 2) + (α 3 3) + + (α ν ν) = = (α 1 + α 2 + α α ν ) ( ν) = Αν και οι ν όροι της μορφής α i i ήταν περιττοί, τότε το S θα ήταν άθροισμα περιττού πλήθους περιττών όρων, δηλαδή το S θα ήταν περιττός, άτοπο. Άρα τουλάχιστον ένας όρος της μορφής α i i είναι άρτιος και το γινόμενο επίσης. Σχόλιο 1: το άθροισμα S παραμένει αναλλοίωτο! Σχόλιο 2: εδώ δεν υπάρχει κάποια επαναληπτική διαδικασία. Αυτό που αλλάζει είναι η μετάθεση που θα «διαλέξουμε». Όποια και να είναι αυτή το άθροισμα είναι αναλλοίωτο ίσο με. Μέρος IΙ (Θεωρία Παιγνίων) Παιχνίδια δυο παικτών Παίζουν εναλλάξ βάσει κάποιων κανόνων Δεν υπάρχει ισοπαλία Στρατηγική νίκης (ποιος την έχει και ποια είναι)

9 Πρόβλημα 8 Εκφώνηση: στο τραπέζι υπάρχουν 22 σπίρτα. Δυο μαθητές (ο Α και ο Β) ο ένας μετά τον άλλον παίρνουν 1 ή 2 ή 3 σπίρτα. Όποιος πάρει τελευταίος σπίρτα κερδίζει. Πρώτος παίζει ο Α. Τι πρέπει να κάνει για να κερδίσει; Απάντηση: ο Α παίρνει αρχικά 2 σπίρτα. Στην συνέχεια, όταν ο Β πάρει 1,2 ή 3 σπίρτα, ο Α θα πρέπει να πάρει αντίστοιχα 3,2 ή 1. Με αυτόν τον τρόπο κερδίζει το παιχνίδι. Εξήγηση: με την παραπάνω στρατηγική ο Α καταφέρνει μετά από κάθε παίξιμό του να υπάρχουν πολ4 σπίρτα στο τραπέζι. Έτσι κάποια στιγμή ο Β θα αναγκαστεί να παίξει με 4 σπίρτα στο τραπέζι. Ότι και να κάνει το παιχνίδι είναι χαμένο Σχόλιο 1: παρατηρήστε ότι τα 1,2,3 μας θυμίζουν τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 4. Σχόλιο 2: αν είχαμε 23 σπίρτα ποιος έχεις στρατηγική νίκης και ποια είναι αυτή; Αν είχαμε 24; Αν είχαμε 22 σπίρτα και μπορούσαν να πάρουν 1,2,3,4 σπίρτα ποιος έχει στρατηγική νίκης και ποια είναι αυτή; Γενικεύστε Πρόβλημα 9 Εκφώνηση: στον πίνακα είναι γραμμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από τον 1 έως τον 5. Δυο μαθητές παίζουν το εξής παιχνίδι: Με τη σειρά ο ένας μετά τον άλλον διαγράφουν από έναν αριθμό. Το παιχνίδι τελειώνει όταν στον πίνακα απομείνουν δυο αριθμοί. Νικητής είναι ο Β, αν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν διαιρείται με το 3, διαφορετικά νικητής είναι ο Α. Αν ο Α αρχίζει πρώτος, έχει ο μαθητής Β στρατηγική νίκης? Λύση 1η: με τη συμμετρία των «άκρων» Χωρίζουμε τους αριθμούς 1,2,3,,5 στα 25 ζεύγη (1,5), (2,49),, (25,26). Όλα τους έχουν άθροισμα 51 = 3 17 = πολ3. Ο Β έχει την εξής στρατηγική νίκης: Όταν ο Α διαγράφει έναν αριθμό α, ο Β διαγράφει τον αριθμό 51 α, δηλαδή αυτόν που βρίσκεστε στο ίδιο ζεύγος με τον α. Οπότε στο τέλος θα μείνουν δυο αριθμοί που θα είναι στο ίδιο ζεύγος, με άθροισμα 51 που διαιρείται με το 3.

10 Λύση 2η: με βοηθό το άθροισμα S Εξετάζουμε τι υπόλοιπο αφήνει το αρχικό άθροισμα S, όταν διαιρείται με το 3: Όπως είδαμε πριν, S = = = = πολ3. Άρα στην αρχή το άθροισμα είναι πολ3. Στο τέλος ο Β θέλει επίσης το S να είναι πολ3. Πώς μπορεί να το καταφέρει; Επιλογές Α Επιλογές Β 3κ + 1 3λ + 2 3κ + 2 3λ + 1 3κ 3λ Αν ο Β κάνει τις επιλογές του σύμφωνα με το πινακάκι τότε θα κερδίσει. Σημείωση: για να λειτουργήσει η παραπάνω στρατηγική θα πρέπει το πλήθος των αριθμών της μορφής 3κ + 1 και 3κ + 2 να είναι ίσα, καθώς και το πλήθος των αριθμών της μορφής 3κ να είναι άρτιος. Αιτιολογίστε γιατί πρέπει να ισχύει το παραπάνω και αποδείξτε (*) τον ισχυρισμό αυτό. (*) Αντί για τους αριθμούς 1,2,,5 θα μπορούσαμε να έχουμε τους αριθμούς 1,2,,5. Επομένως η καταμέτρηση δεν είναι σοφός δρόμος. Βρείτε κάτι πιο γενικό. Πρόβλημα 1 Εκφώνηση: ο Α και ο Β έχουν μια σακούλα με 11 καραμέλες και παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο κάθε ένας παίρνει εναλλάξ από 1 έως 1 καραμέλες. Όταν αδειάσει η σακούλα μετρούν τις καραμέλες τους. Ο Α κερδίζει αν οι δυο αριθμοί που προκύπτουν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Διαφορετικά κερδίζει ο Β. Ποιος από τους δυο έχει εξασφαλισμένη την νίκη και με ποιον τρόπο? Πρώτα παίζει ο Α. Απάντηση: το παιχνίδι είναι στημμένο! Ο παίκτης Α έχει εξασφαλισμένη την νίκη ανεξάρτητα από τον τρόπο που θα παίξει!

11 Εξήγηση: ο Α κερδίζει όταν οι δυο αριθμοί α, β που θα προκύψουν στο τέλος του παιχνιδιού είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για τους α, β ισχύει α + β = 11. Πότε δυο φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την τελευταία είναι πρώτοι μεταξύ τους; Πάντοντε! Αν οι α, β είχαν κοινό διαιρέτη δ μεγαλύτερο της μονάδας, τότε το δ θα διαιρούσε και τον 11. Το δ είναι υποχρεωτικά μικρότερο από 11 και μεγαλύτερο από την μονάδα (από υπόθεση). Όμως ο 11 είναι πρώτος, δηλαδή διαιρείται μόνο από την μονάδα και τον εαυτό του.. Άρα τέτοιος κοινός διαιρέτης δεν υπάρχει άρα οι α, β είναι πάντα πρώτοι μεταξύ τους. Προβλήματα για λύση 1) Έχουμε τον αριθμό 2458 και μπορούμε να κάνουμε οποιεσδήποτε από τις παρακάτω ενέργειες, τη μία μετά την άλλη, με οποιαδήποτε σειρά επιθυμούμε. Ενέργεια 1: προσθέτουμε ψηφία του αριθμού, για παράδειγμα από το = 6, παίρνουμε τον αριθμό 658, ή από το = 29, παίρνουμε τον 298, ή από το = 82, παίρνουμε τον 82. Ενέργεια 2: αποσυνθέτουμε ψηφία, για παράδειγμα αφού 8 = 2 + 6, παίρνουμε 24526, ή από το 24 = , παίρνουμε 23158, ή από το 24 = , παίρνουμε Ενέργεια 3: μεταθέτουμε ψηφία, για παράδειγμα παίρνουμε τους 2854, 5428 κτλ. Μπορούμε τελικά να φτάσουμε στον 119; Εξετάστε επίσης αν από το 7 μπορούμε με τις παραπάνω ενέργειες να φτάσουμε στο 1. 2) Ένας δράκος έχει 1 κεφάλια. Ένας ιππότης μπορεί να του κόψει 15, 17, 2, ή 5 κεφάλια με ένα χτύπημα του σπαθιού του. Σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις, 24, 2, 14, ή 17 κεφάλια γεννιούνται, αντίστοιχα, στους ώμους του δράκου. Αν όλα τα κεφάλια κοπούν, ο δράκος πεθαίνει. Μπορεί να πεθάνει ο δράκος? 3) Σε ένα κουτί υπάρχουν 5 κόκκινες και 6 πράσινες μπάλες. Ο Πασκάλ παίζει ένα παράξενο παιχνίδι. Αφαιρεί κάθε φορά δυο μπάλες από το κουτί, με τους εξής κανόνες: i) Αν οι μπάλες είναι και οι δυο πράσινες, ξαναβάζει στο κουτί μια πράσινη. ii) Αν οι μπάλες έχουν διαφορετικό χρώμα, ξαναβάζει στο κουτί μια κόκκινη. iii) Αν οι μπάλες είναι και οι δυο κόκκινες, ξαναβάζει στο κουτί μια πράσινη. Στο τέλος, θα έχει απομείνει μια μπάλα στο κουτί. Ποιο θα είναι το χρώμα της;

12 4) (***) Οι φυσικοί 1,, ν τοποθέτουνται σε μια τυχαία σειρά. Σε κάθε βήμα, μπορούμε να αλλάξουμε τη θέση δυο γειτονικών αριθμών. Αποδείξτε ότι δεν μπορούμε ποτέ να φτάσουμε στην αρχική σειρά μετά από περιττό αριθμό βημάτων. 5) (**) Η Υπατία και ο Γκάους παίζουν ένα παιχνίδι με τους ακόλουθους κανόνες: i) Η Υπατία ξεκινάει τοποθετώντας έναν ίππο σε ένα τυχαίο τετράγωνο μιας 8x8 σκακιέρας. ii) Ο Γκάους μετακινεί πρώτος τον ίππο. iii) Η Υπατία και ο Γκάους μετακινούν εναλλάξ τον ίππο, αλλά μπορούν να τον τοποθετήσουν μόνο σε τετράγωνα στα οποία δεν έχει βρεθεί προηγουμένως. iv) Ο παίκτης που δεν μπορεί να μετακινήσει πια τον ίππο χάνει. Ένας ίππος μπορεί να μετακινηθεί είτε ένα τετράγωνο οριζόντια και δυο κάθετα είτε ένα τετράγωνο κάθετα και δυο οριζόντια. Η κίνηση του μοιάζει με ένα L σχήμα. Με σωστή στρατηγική και τέλειο παίξιμο, είτε η Υπατία είτε ο Γκάους μπορεί πάντα να κερδίζει. Ποιος έχει τη στρατηγική νίκης; Εξηγήστε Πηγές 1) Ολυμπιάδες Μαθηματικών Β - Γ Γυμνασίου/ Α Λυκείου - Μπάμπης Στεργίου 2) Problem Solving Strategies - Arthur Engel 3) The Art and Craft of Problem Solving - Paul Zeitz 4) Διάφορα άρθρα από το διαδίκτυο (Λήμμα: invariants) Επικοινωνία: Εύχομαι να συνεχίστε να ασχολείστε και να αγαπάτε τα διαγωνιστικά μαθηματικά, επειδή είναι όμορφα και σας διασκεδάζουν και όχι επειδή μπορεί να σας φέρουν επιτυχίες. Καλή συνέχεια σε ότι κάνετε, Α.Ν. Αθήνα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:Ε Ονοματεπώνυμο:.. Σχολείο: Το ημερολόγιο Ο Πέτρος ζήτησε από το φίλο του Χρήστο να διαλέξει 4 αριθμούς από το διπλανό ημερολόγιο που να σχηματίζουν τετράγωνο (για

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία κάρτες ξεκινήματος μένουν κλειστές. Κανόνες παιξίματος.

Προετοιμασία κάρτες ξεκινήματος μένουν κλειστές. Κανόνες παιξίματος. Κάπου στο Λονδίνο κρύβεται ο αυτόνομος Χ. Η Σέκλαντ Γιάρντ έχει στη διαθεσή της δύο, τρεις ως πέντε σεκίτες για να τον εντοπίσουν. Κινούνται με ταξί, μετρό ή λεωφορείο κι έχουν στη διάθεση τους ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες

Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Γνωστικό Αντικείμενο: Εφαρμογές Πληροφορικής-Υπολογιστών Διδακτική Ενότητα: Διερευνώ - Δημιουργώ Ανακαλύπτω, Συνθετικές

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή - Διάμεσος

Μέση τιμή - Διάμεσος Μέσ τιμή - Διάμεσος Ονομάζεται μέσ τιμή μιας μεταβλτής x και συμβολίζεται x το πλίκο του αθροίσματος όλων των τιμών τς μεταβλτής δια του πλήθους τους. Δλαδή: Όταν έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν με τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!...

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!... Αριθμός Παικτών: 2-4 Χρόνος Παιχνιδιού: 45 λεπτά Ηλικίες: 12 και άνω Περιεχόμενα Εισαγωγή................................... 2 Στόχος..................................... 2 Μέσα στο Κουτί...............................

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ Δημοτικό σχολείο Σκύδρας ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά Το πρόβλημα στα Μαθηματικά από το ΣΔΕ Γιαννιτσών Δημήτρης Πολυτίδης (Μαθηματικός) Στα Μαθηματικά το πρόβλημα θα πρέπει να είναι μια κατάσταση η επίλυση της οποίας, από το μαθητή, δεν είναι αυτόματη και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα και προετοιμασία για τέσσερις παίκτες

Περιεχόμενα και προετοιμασία για τέσσερις παίκτες Ένα παιχνίδι του Peter Prinz για 2-4 παίκτες Σαν αρχαιολόγοι, οι παίκτες αποκτούν την γνώση που απαιτείται για να ξεκινήσουν αποστολές σε Αίγυπτο, Μεσοποταμία, Κρήτη και Ελλάδα. Ποιός έχει τη δύναμη να

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός των νέων δελτίων

Οδηγός των νέων δελτίων Οδηγός των νέων δελτίων 4-7 Νέα εποχή Η ΟΠΑΠ Α.Ε. στο πλαίσιο της δυναμικής της ανάπτυξης, προχωρά στην αναμόρφωση και ανανέωση των παιχνιδιών της. Με ακόμη πιο λειτουργικό σχεδιασμό, μοντέρνα εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Εάν όμως πείτε να κάνετε το πάρτι γενεθλίων στο σπίτι ή τον κήπο σας, τα πράγματα δυσκολέυουν. Πρέπει να οργανώσετε μόνοι σας ένα σωρό πράγματα.

Εάν όμως πείτε να κάνετε το πάρτι γενεθλίων στο σπίτι ή τον κήπο σας, τα πράγματα δυσκολέυουν. Πρέπει να οργανώσετε μόνοι σας ένα σωρό πράγματα. Ιδέες για Γενέθλια παιδιών Πόσες φορές σπάσατε το κεφάλι σας, που να κάνετε το πάρτι γενεθλίων των παιδιών σας; Στο σπίτι, στον κήπο ή τελικά σε κάποιον παιδότοπο; Εάν επιλέξετε έναν παιδότοπο, τα πράγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης 1. Σε ένα ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μετέχουν 16 ομάδες. Κάθε ομάδα παίζει με όλες τις υπόλοιπες ως γηπεδούχος και ως φιλοξενούμενη. Νίκη μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβλητές. Για περισσότερες λεπτομέρειες πάνω στις μεταβλητές θα ήταν χρήσιμο να διαβάσεις το

Μεταβλητές. Για περισσότερες λεπτομέρειες πάνω στις μεταβλητές θα ήταν χρήσιμο να διαβάσεις το Τάξη : Α Λυκείου Λογισμικό : Scratch Ενδεικτική Διάρκεια : 45 λεπτά Μεταβλητές Όλα όσα έμαθες στα προηγούμενα φυλλάδια είναι απαραίτητα για να υλοποιήσεις απλές εφαρμογές. Ωστόσο αν θέλεις να δημιουργήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα εργασίας. MicroWorlds Pro. Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο. Β. Χ. Χρυσοχοΐδης

Φύλλα εργασίας. MicroWorlds Pro. Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο. Β. Χ. Χρυσοχοΐδης Φύλλα εργασίας MicroWorlds Pro Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο Β. Χ. Χρυσοχοΐδης Πρόεδρος Συλλόγου Εκπαιδευτικών Πληροφορικής Φλώρινας 2 «Σχεδίαση και ανάπτυξη δραστηριοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα