Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων"

Transcript

1 Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση με μετασχηματισμούς, επαναληπτικές διαδικασίες, παιχνίδια κτλ. Με τον όρο αναλλοίωτο στα μαθηματικά εννοούμε μια ποσότητα ή μια ιδιότητα που δεν μεταβάλλεται. Παράδειγμα: έστω το σύνολο Α = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,1} με άθροισμα στοιχείων S = 55, περιττό. Αν διαγράψουμε δυο άρτιους ή δυο περιττούς, τότε το S παραμένει περιττό. Εδώ, το αναλλοίωτο είναι η ιδιότητα του S να παραμένει περιττός. Ορισμένα χαρακτηριστικά αναλλοίωτα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού με τον ακέραιο αριθμό κ Z. (Ειδικότερα αν κ = 2, το αν ένας αριθμός είναι άρτιος ή περιττός.) Η τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης που περιέχει μεταβλητές. Αν ένα μέγεθος αυξάνεται ή μειώνεται. Γενικά, μια οδηγία που θα μπορούσε να σας δώσει κάποιος είναι: «Αν υπάρχει κάποια επαναληπτική διαδικασία, ψάξτε να βρείτε τι δεν αλλάζει» Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια μέθοδος που μαθαίνεται καλύτερα με την εμπειρία, λίγη από την οποία θα αποκτήσουμε λύνοντας ορισμένα όμορφα προβλήματα. Πριν πάμε όμως σε αυτά, να κάνουμε κάποιες υπενθυμίσεις από την Θεωρία Αριθμών. Άρτιοι-περιττοί Υπενθυμίσεις από την Θεωρία Αριθμών άρτιος ± άρτιος άρτιος περιττός ± περιττός άρτιος άρτιος ± περιττός περιττός Γενικότερα, αν ένα άθροισμα ακέραιων αριθμών αποτελείται από: περιττό πλήθος περριτών αριθμών, τότε είναι περιττό. άρτιο πλήθος περιττών αριθμών, τότε είναι άρτιο.

2 Ορισμός: η αρτιότητα (parity) ενός ακέραιο αριθμού μας λέει αν είναι άρτιος ή περιττός. Πρόταση 1: όταν ένας αριθμός μεταβάλλεται κατά άρτιο αριθμό, τότε διατηρεί την αρτιότητά του. Πρόταση 2: η αρτιότητα ενός αθροίσματος ακέραιων αριθμών εξαρτάται από το πλήθος των περιττών όρων του. Διαιρετότητα Αν σε μια σχέση α = β + γ, ο δ διαιρεί δυο από τους α, β, γ, τότε θα διαιρεί και τον τρίτο. ( α, β, γ, δ Z) Πρόβλημα 1 Εκφώνηση: έχουμε στον πίνακα γραμμένο τον αριθμό 194. Από τον αριθμό αυτό μπορούμε να πάρουμε νέους αριθμούς προσθέτοντας ή αφαιρώντας κάθε φορά στον προηγούμενο έναν από τους αριθμούς 8 ή 22. Μπορούμε με αυτόν τον τρόπο να πάρουμε τον αριθμό 213; Στρατηγική 1: «λερώστε τα χέρια σας» (get your hands dirty) Μην φοβάστε να δοκιμάστε. Πιάστε χαρτί και μολύβι και ξεκινήστε να κάνετε δοκιμές. Πειραματιστείτε με συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και αυτό μπορεί να σας οδηγήσει σε μια εικασία. Εξετάστε αν αυτή η εικασία σας βοηθάει στην λύση. Αν ναι, προσπαθείστε να αποδείξτε την εικασία που μόλις κάνατε Τα γαλάζια κουτάκια έχουν όλα άρτιο περιοχόμενο. Μας οδηγεί αυτό στην λύση; Μπορείτε να το αποδείξετε; Στρατηγική 2: «μπείτε στο μυαλό του κατασκευαστή» Πρέπει πάντα να αναρωτιέστε γιατί ο κατασκευαστής επέλεξε τον συγκεκριμένο αριθμό. Ποια ιδιότητα τον κάνει να ξεχωρίζει; Η αρτιότητά του; Μήπως είναι πρώτος, τέλειο τετράγωνο, της μορφής 8λ + 1, της μορφής ; Λύση: γνωρίζουμε ότι, όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε δυο αρτίους, τότε προκύπτει πάλι άρτιος αριθμός. Επομένως από τον άρτιο 194 δεν θα μπορέσουμε πότε να φτάσουμε στον περιττό 213, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους άρτιους 8,22. Σχόλιο: στο συγκεριμένο πρόβλημα η επαναληπτική διαδικασία ήταν οι διαδοχικές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Το αναλλοίωτο ήταν η αρτιότητα του αριθμού που προέκυπτε κάθε φορά (ήταν πάντα άρτιος).

3 Πρόβλημα 2 Εκφώνηση: πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν 7 ποτήρια σε θέση στραγγίσματος (κάτω). Με κάθε κίνηση επιτρέπεται να αντιστρέψουμε ακριβώς 4 ποτήρια. Είναι δυνατόν με αυτή τη διαδικασία να αντιστρέψουμε όλα τα ποτήρια, ώστε να είναι σε θέση σερβιρίσματος (πάνω); Πάνω(Π) Κάτω(Κ) Ας «λερώσουμε» τα χέρια μας K K K K K Κ K 7 4 K K K Π Π Π Π 3 1 Π Π Π Κ Π Π Π 4 K K K K K Π Π 2 2 Π Π K K K Κ K Παρατηρούμε ότι τα κόκκινα κουτάκια έχουν όλα άρτιο περιεχόμενο. Μας βοηθάει αυτό στην λύση ; Μπορούμε να το αποδείξουμε; Λύση 1η: έστω ότι επιλέγουμε να αντιστρέψουμε n ποτήρια που βρίσκονται σε θέση Κ, όπου n =,1,2,3,4. Τότε αναγκαστικά θα αντιστρέψουμε 4 n ποτήρια που βρίσκονται σε θέση Π. Σε αυτήν την περίπτωση το #Π μεταβάλλεται ως εξής: #Π #Π + n (4 n) = #Π + n 4 + n = #Π + 2n 4 ` Τα Κ που έγιναν Π Τα Π που έγιναν Κ άρτιος #Κ #Π

4 Άρα το #Π μεταβάλλεται κάθε φορά κατά άρτιο αριθμό. Αρχικά είναι ίσο με (άρτιος). Άρα το #Π θα είναι συνεχώς άρτιο και δεν θα μπορέσει να γίνει ίσο με 7. Επομένως δεν είναι δυνατό να συμβεί το ζητούμενο. Σχόλιο 1: στο πρόβλημα αυτό η επαναληπτική διαδικασία ήταν το γύρισμα των 4 ποτηριών. Το αναλλοίωτο ήταν ότι το πλήθος των ποτηριών που βρίσκονταν σε θέση σερβιρίσματος (Π) ήταν πάντα άρτιο, ανεξάρτητα από τις κινήσεις μας. Σχόλιο 2: σε ορισμένα προβλήματα ενδέχεται να υπάρχουν περισσότερα από ένα αναλλοίωτα χωρίς απαραίτητα να σημαίνει ότι όλα θα είναι χρήσιμα στην λύση. Για παράδειγμα, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, αναλλοίωτη παραμένει και η αρτιότητα του πλήθος των ποτηριών που βρίσκονται σε θέση στραγγίσματος(κ) (κάτι που θα μπορούσε να μας οδηγήσει επίσης στην λύση). Σχόλιο 3: αν είχαμε 213 ποτήρια σε θέση Κ και γυρίζαμε κάθε φορά 94 ακριβώς, θα μπορούσαμε να φέρουμε όλα τα ποτήρια σε θέση Π; Γενικεύστε και γράψτε την απόδειξη της γενίκευσης. Λύση 2η: «κοιτώντας το κάθε ποτήρι ξεχωριστά» Ενα ποτήρι βρίσκεται σε θέση Π, αν το έχουμε γυρίσει περιττό αριθμό φορών. Αν είναι δυνατόν να γυρίσουμε τα 7 ποτήρια σε θέση Π, τότε για το 1ο ποτήρι θα έχουνε χρειαστεί α 1 γυρίσματα, για το 2ο ποτήρι α 2,, για το 7ο ποτήρι α 7 γυρίσματα, όπου α 1, α 2,, α 7 περιττοί αριθμοί. Συνολικά θα έχουν γίνει α 1 + α α 7 γυρίσματα, περιττός αριθμός γυρισμάτων (ως άθροισμα 7 περιττών αριθμών). Όμως σε κάθε γύρο γυρίζουμε 4 ποτήρια ακριβώς. Άρα ο τελικός αριθμός γυρισμάτων θα πρέπει να είναι πολ4. Δηλαδή θα πρέπει ένας περιττός αριθμός να είναι ίσος με ένα πολ4, το οποίο είναι φανερά άτοπο. Άρα το ζητούμενο δεν γίνεται. Στα προηγούμενα παραδείγματα ήταν προφανές ποια ήταν η ποσότητα της οποίας κάποια ιδιότητα παραμένει αναλλοίωτη, μιας και σχετίζονταν άμεσα με το ζητούμενο. Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία θα πρέπει εμείς να ανακαλύψουμε ποια ποσότητα παραμένει αναλλοίωτη. Το βήμα αυτό όχι μόνο προφανές δεν είναι, αλλά πολλές φορές είναι και εξαιρετικά δύσκολο. Απαιτεί φαντασία, άλλα και αρκετή εμπειρία. Πρόβλημα 3 Εκφώνηση: στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί από τον 1 έως τον 5. Διαγράφουμε τυχαία δύο από αυτούς και γράφουμε στον πίνακα τη θετική διαφορά τους. (Για παράδειγμα, αν διαγράψουμε τους αριθμούς 21 και 3, γράφουμε τον 9.) Να εξετάστε αν μετά από διαδοχικές εφαρμογές της παραπάνω διαδικασίας μπορεί να προκύψει ο αριθμός (μηδέν). Βήματα για την λύση: Βήμα 1: θεωρούμε το άθροισμα S όλων των αριθμών που βρίσκονται στον πίνακα, ελπίζοντας ότι κάποια ιδιότητά του θα παραμένει αναλλοίωτη.

5 Βήμα 2: εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται το S. Έστω ότι διαγράφουμε τους a, b με a b. Τότε το S γίνεται S S a b + b a = S 2a Διαγράφηκαν Προστέθηκε η θετική διαφορά τους Άρα το S μεταβάλλεται κάθε φορά κατά άρτιο αριθμό, δηλαδή διατηρεί την αρτιότητά του. Βήμα 3: αναζητούμε την αρτιότητα του S αρχικά. 1 ος τρόπος: υπολογισμός του S (με τη συμμετρία των «άκρων») S = S = S = (1 + 5) + (2 + 49) + (3 + 48) + + ( ) S = όροι S = = 1275 (περιττός) 2 ος τρόπος: άμεσος προσδιορισμός της αρτιότητας του S Η αρτιότητα του S εξαρτάται από το πλήθος των περιττών όρων του. Άρα μας αρκεί να προσδιορίσουμε το πλήθος των 1,3,5,,49. Οι αριθμοί 1,2,3,4,,49,5 είναι 5 το πλήθος. Οι περιττοί είναι ακριβώς οι μισοί (25) από αυτούς, αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι μπορούμε να τους ομαδοποιήσουμε στα ζεύγη (1,2), (3,4), (5,6),, (49,5) καθένα από τα οποία περιέχει ακριβώς ένα περιττό. Άρα το S αποτελείται από περιττό (25) πλήθος περιττών όρων, άρα είναι και το ίδιο περιττό. Βήμα 4: συνδυασμός των μέχρι τώρα αποτελεσμάτων. Έχουμε δείξει ότι αρχικά το άθροισμα είναι περιττό και ότι, επειδή μειώνεται κάθε φορά κατά άρτιο αριθμό, θα παραμένει περιττό, ανεξάρτητα από τους ποιους αριθμούς θα επιλέξουμε να διαγράψουμε. Αυτό μας οδηγεί στην λύση... αν προκύψει ο αριθμός (μηδέν) θα πρέπει το S εκείνη τη στιγμή να είναι, δηλαδή άρτιο. Πράγμα που, όπως δείξαμε, δεν γίνεται. Σχόλιο: στο πρόβλημα αυτό η επαναληπτική διαδικασία ήταν η διαγραφή δυο αριθμών και η αντικατάστασή τους με την θετική διαφορά τους. Το αναλλοίωτο ήταν η αρτιότητα του αθροίσματος των αριθμών. Σημειώστε ότι το άθροισμα δεν αναφέρεται πουθενά στην εκφώνηση, αλλά το θεωρήσαμε μόνοι μας.

6 Πρόβλημα 4 Εκφώνηση: δίνονται 1 σημεία σε έναν κύκλο. Ένα από αυτά χαρακτηρίζουμε 1 και τα υπόλοιπα με. Κάθε φορά μπορούμε να κάνουμε την εξής ενέργεια: Επιλέγουμε ένα σημείο με χαρακτηρισμό 1 και μετατρέπουμε τα δυο γειτονικά του σημεία σε 1 α, 1 β, όπου α, β είναι οι προηγούμενοι χαρακτηρισμοί. Να εξετάσετε αν, μετά από διαδοχικές εφαρμογές της παραπάνω διαδικασίας, όλα τα σημεία μπορούν να χαρακτηριστούν με 1. Βήματα για την λύση: Βήμα 1: θεωρούμε το άθροισμα S όλων χαρακτηρισμών, ελπίζοντας ότι κάποια ιδιότητά του θα παραμένει αναλλοίωτη. Βήμα 2: εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται το S S S ± S S To S (σε κάθε δυνατή περίπτωση) μεταβάλλεται κατά άρτιο αριθμό, δηλαδή διατηρεί την αρτιότητά του. Βήμα 3: αναζητούμε την αρτιότητα του S αρχικά. Αρχικά S = 1, περιττός. Βήμα 4: συνδυασμός των μέχρι τώρα αποτελεσμάτων. Έχουμε δείξει ότι αρχικά το άθροισμα είναι περιττό και ότι η αρτιότητά του είναι αναλλοίωτη. Αν όλα τα σημεία γίνονταν ίσα με 1, θα είχαμε S = 1, δηλαδή άρτιο. Αυτό όμως δεν γίνεται Σχόλιο: πάλι θεωρήσαμε το άθροισμα S των χαρακτηρισμών, το οποίο δεν αναφέρεται πουθενά στην εκφώνηση. Πρόβλημα 5 Εκφώνηση: ένας κύκλος διαιρείται σε έξι τομείς. Γράφουμε τους αριθμούς 1,,1,,, μέσα στους τομείς (με φορά αντίθετη του ρολογιού). Μπορούμε να αυξήσουμε κάθε φορά δυο γειτονικούς αριθμούς κατά 1. Είναι δυνατόν να γίνουν ίσοι όλοι οι αριθμοί μετά από κάποια τέτοια «βήματα»;

7 Απόπειρα λύσης: 1. Θεωρούμε πάλι το άθροισμα S όλων των αριθμών. 2. Το S αυξάνεται κάθε φορά κατά Το S αρχικά είναι ίσο με Τελικά θέλουμε S = 6x, για κάποιο x N. 1 Καμία αντίφαση πρέπει να αναζητήσουμε άλλο αναλλοίωτο! 1 Το «κλασικό» άθροισμα δεν μας βοηθάει σε αυτό το πρόβλημα. α 1 α 6 Θεωρούμε το Ι = α 1 + α 3 + α 5 α 2 α 4 α 6 1 Το Ι παραμένει αναλλοίωτο σε κάθε κίνηση (τα γειτονικά έχουν διαφορετικό χρώμα). α 2 α 5 Αρχικά Ι = 2. Αν όλοι οι αριθμοί γίνουν ίσοι, τότε θα είναι Ι =. Αυτό όμως δεν γίνεται, αφού το Ι είναι αναλλοίωτο. 1 α 3 α 4 Σχόλιο 1: μέχρι στιγμής είχαμε δει προβλήματα όπου μια ιδιότητα (αρτιότητα) ενός αριθμού παρέμενε αναλλοίωτη. Εδώ ο ίδιος ο αριθμός (η τιμή του) παραμένει αναλλοίωτος! Σχόλιο 2: πάλι θεωρήσαμε ένα «άθροισμα» (Ι) το οποίο δεν είναι καθόλου προφανές. Πρόβλημα 6 Εκφώνηση: στις κορυφές ενός κύβου είναι τοποθετημένα επτά μηδενικά και μια μονάδα. Αν επιτρέπεται στους αριθμούς κάθε ακμής να προσθέσουμε τον αριθμό 1, να εξετάστε αν μπορούμε με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να δημιουργήσουμε σε κάθε κορυφή: a) τον ίδιο αριθμό b) αριθμούς που διαιρούνται με τον 3.

8 Λύση: a) Έστω S 1 το άθροισμα τεσσάρων κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή και S 2 το άθροισμα των υπόλοιπων κορυφών (που επίσης δεν συνδέονται με ακμή). Θεωρούμε το Ι = S 1 S 2. Βλέπουμε ότι παραμένει αναλλοίωτο. Αρχικά είναι Ι = 1, τελικά θέλουμε Ι =, πράγμα που δεν γίνεται. b) Αν σε κάθε κορυφή οι αριθμοί διαιρούνταν με το 3, τότε και τα S 1, S 2 θα διαιρούνταν με το 3. Άρα και το Ι θα διαιρούνταν με το 3 πράγμα αδύνατο. Πρόβλημα 7 Εκφώνηση: δίνονται οι αριθμοί 1,2,3,, ν με ν = 213 και α 1, α 2,, α ν οι ίδιο αριθμοί, αλλά με άλλη σειρά (δηλαδή είναι μια μετάθεση των 1,2,3,, ν). Να αποδείξτε ότι ο αριθμός Λύση: Α = (α 1 1)(α 2 2)(α 3 3) (α ν ν) είναι άρτιος. S = (α 1 1) + (α 2 2) + (α 3 3) + + (α ν ν) = = (α 1 + α 2 + α α ν ) ( ν) = Αν και οι ν όροι της μορφής α i i ήταν περιττοί, τότε το S θα ήταν άθροισμα περιττού πλήθους περιττών όρων, δηλαδή το S θα ήταν περιττός, άτοπο. Άρα τουλάχιστον ένας όρος της μορφής α i i είναι άρτιος και το γινόμενο επίσης. Σχόλιο 1: το άθροισμα S παραμένει αναλλοίωτο! Σχόλιο 2: εδώ δεν υπάρχει κάποια επαναληπτική διαδικασία. Αυτό που αλλάζει είναι η μετάθεση που θα «διαλέξουμε». Όποια και να είναι αυτή το άθροισμα είναι αναλλοίωτο ίσο με. Μέρος IΙ (Θεωρία Παιγνίων) Παιχνίδια δυο παικτών Παίζουν εναλλάξ βάσει κάποιων κανόνων Δεν υπάρχει ισοπαλία Στρατηγική νίκης (ποιος την έχει και ποια είναι)

9 Πρόβλημα 8 Εκφώνηση: στο τραπέζι υπάρχουν 22 σπίρτα. Δυο μαθητές (ο Α και ο Β) ο ένας μετά τον άλλον παίρνουν 1 ή 2 ή 3 σπίρτα. Όποιος πάρει τελευταίος σπίρτα κερδίζει. Πρώτος παίζει ο Α. Τι πρέπει να κάνει για να κερδίσει; Απάντηση: ο Α παίρνει αρχικά 2 σπίρτα. Στην συνέχεια, όταν ο Β πάρει 1,2 ή 3 σπίρτα, ο Α θα πρέπει να πάρει αντίστοιχα 3,2 ή 1. Με αυτόν τον τρόπο κερδίζει το παιχνίδι. Εξήγηση: με την παραπάνω στρατηγική ο Α καταφέρνει μετά από κάθε παίξιμό του να υπάρχουν πολ4 σπίρτα στο τραπέζι. Έτσι κάποια στιγμή ο Β θα αναγκαστεί να παίξει με 4 σπίρτα στο τραπέζι. Ότι και να κάνει το παιχνίδι είναι χαμένο Σχόλιο 1: παρατηρήστε ότι τα 1,2,3 μας θυμίζουν τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 4. Σχόλιο 2: αν είχαμε 23 σπίρτα ποιος έχεις στρατηγική νίκης και ποια είναι αυτή; Αν είχαμε 24; Αν είχαμε 22 σπίρτα και μπορούσαν να πάρουν 1,2,3,4 σπίρτα ποιος έχει στρατηγική νίκης και ποια είναι αυτή; Γενικεύστε Πρόβλημα 9 Εκφώνηση: στον πίνακα είναι γραμμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από τον 1 έως τον 5. Δυο μαθητές παίζουν το εξής παιχνίδι: Με τη σειρά ο ένας μετά τον άλλον διαγράφουν από έναν αριθμό. Το παιχνίδι τελειώνει όταν στον πίνακα απομείνουν δυο αριθμοί. Νικητής είναι ο Β, αν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν διαιρείται με το 3, διαφορετικά νικητής είναι ο Α. Αν ο Α αρχίζει πρώτος, έχει ο μαθητής Β στρατηγική νίκης? Λύση 1η: με τη συμμετρία των «άκρων» Χωρίζουμε τους αριθμούς 1,2,3,,5 στα 25 ζεύγη (1,5), (2,49),, (25,26). Όλα τους έχουν άθροισμα 51 = 3 17 = πολ3. Ο Β έχει την εξής στρατηγική νίκης: Όταν ο Α διαγράφει έναν αριθμό α, ο Β διαγράφει τον αριθμό 51 α, δηλαδή αυτόν που βρίσκεστε στο ίδιο ζεύγος με τον α. Οπότε στο τέλος θα μείνουν δυο αριθμοί που θα είναι στο ίδιο ζεύγος, με άθροισμα 51 που διαιρείται με το 3.

10 Λύση 2η: με βοηθό το άθροισμα S Εξετάζουμε τι υπόλοιπο αφήνει το αρχικό άθροισμα S, όταν διαιρείται με το 3: Όπως είδαμε πριν, S = = = = πολ3. Άρα στην αρχή το άθροισμα είναι πολ3. Στο τέλος ο Β θέλει επίσης το S να είναι πολ3. Πώς μπορεί να το καταφέρει; Επιλογές Α Επιλογές Β 3κ + 1 3λ + 2 3κ + 2 3λ + 1 3κ 3λ Αν ο Β κάνει τις επιλογές του σύμφωνα με το πινακάκι τότε θα κερδίσει. Σημείωση: για να λειτουργήσει η παραπάνω στρατηγική θα πρέπει το πλήθος των αριθμών της μορφής 3κ + 1 και 3κ + 2 να είναι ίσα, καθώς και το πλήθος των αριθμών της μορφής 3κ να είναι άρτιος. Αιτιολογίστε γιατί πρέπει να ισχύει το παραπάνω και αποδείξτε (*) τον ισχυρισμό αυτό. (*) Αντί για τους αριθμούς 1,2,,5 θα μπορούσαμε να έχουμε τους αριθμούς 1,2,,5. Επομένως η καταμέτρηση δεν είναι σοφός δρόμος. Βρείτε κάτι πιο γενικό. Πρόβλημα 1 Εκφώνηση: ο Α και ο Β έχουν μια σακούλα με 11 καραμέλες και παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο κάθε ένας παίρνει εναλλάξ από 1 έως 1 καραμέλες. Όταν αδειάσει η σακούλα μετρούν τις καραμέλες τους. Ο Α κερδίζει αν οι δυο αριθμοί που προκύπτουν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Διαφορετικά κερδίζει ο Β. Ποιος από τους δυο έχει εξασφαλισμένη την νίκη και με ποιον τρόπο? Πρώτα παίζει ο Α. Απάντηση: το παιχνίδι είναι στημμένο! Ο παίκτης Α έχει εξασφαλισμένη την νίκη ανεξάρτητα από τον τρόπο που θα παίξει!

11 Εξήγηση: ο Α κερδίζει όταν οι δυο αριθμοί α, β που θα προκύψουν στο τέλος του παιχνιδιού είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για τους α, β ισχύει α + β = 11. Πότε δυο φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την τελευταία είναι πρώτοι μεταξύ τους; Πάντοντε! Αν οι α, β είχαν κοινό διαιρέτη δ μεγαλύτερο της μονάδας, τότε το δ θα διαιρούσε και τον 11. Το δ είναι υποχρεωτικά μικρότερο από 11 και μεγαλύτερο από την μονάδα (από υπόθεση). Όμως ο 11 είναι πρώτος, δηλαδή διαιρείται μόνο από την μονάδα και τον εαυτό του.. Άρα τέτοιος κοινός διαιρέτης δεν υπάρχει άρα οι α, β είναι πάντα πρώτοι μεταξύ τους. Προβλήματα για λύση 1) Έχουμε τον αριθμό 2458 και μπορούμε να κάνουμε οποιεσδήποτε από τις παρακάτω ενέργειες, τη μία μετά την άλλη, με οποιαδήποτε σειρά επιθυμούμε. Ενέργεια 1: προσθέτουμε ψηφία του αριθμού, για παράδειγμα από το = 6, παίρνουμε τον αριθμό 658, ή από το = 29, παίρνουμε τον 298, ή από το = 82, παίρνουμε τον 82. Ενέργεια 2: αποσυνθέτουμε ψηφία, για παράδειγμα αφού 8 = 2 + 6, παίρνουμε 24526, ή από το 24 = , παίρνουμε 23158, ή από το 24 = , παίρνουμε Ενέργεια 3: μεταθέτουμε ψηφία, για παράδειγμα παίρνουμε τους 2854, 5428 κτλ. Μπορούμε τελικά να φτάσουμε στον 119; Εξετάστε επίσης αν από το 7 μπορούμε με τις παραπάνω ενέργειες να φτάσουμε στο 1. 2) Ένας δράκος έχει 1 κεφάλια. Ένας ιππότης μπορεί να του κόψει 15, 17, 2, ή 5 κεφάλια με ένα χτύπημα του σπαθιού του. Σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις, 24, 2, 14, ή 17 κεφάλια γεννιούνται, αντίστοιχα, στους ώμους του δράκου. Αν όλα τα κεφάλια κοπούν, ο δράκος πεθαίνει. Μπορεί να πεθάνει ο δράκος? 3) Σε ένα κουτί υπάρχουν 5 κόκκινες και 6 πράσινες μπάλες. Ο Πασκάλ παίζει ένα παράξενο παιχνίδι. Αφαιρεί κάθε φορά δυο μπάλες από το κουτί, με τους εξής κανόνες: i) Αν οι μπάλες είναι και οι δυο πράσινες, ξαναβάζει στο κουτί μια πράσινη. ii) Αν οι μπάλες έχουν διαφορετικό χρώμα, ξαναβάζει στο κουτί μια κόκκινη. iii) Αν οι μπάλες είναι και οι δυο κόκκινες, ξαναβάζει στο κουτί μια πράσινη. Στο τέλος, θα έχει απομείνει μια μπάλα στο κουτί. Ποιο θα είναι το χρώμα της;

12 4) (***) Οι φυσικοί 1,, ν τοποθέτουνται σε μια τυχαία σειρά. Σε κάθε βήμα, μπορούμε να αλλάξουμε τη θέση δυο γειτονικών αριθμών. Αποδείξτε ότι δεν μπορούμε ποτέ να φτάσουμε στην αρχική σειρά μετά από περιττό αριθμό βημάτων. 5) (**) Η Υπατία και ο Γκάους παίζουν ένα παιχνίδι με τους ακόλουθους κανόνες: i) Η Υπατία ξεκινάει τοποθετώντας έναν ίππο σε ένα τυχαίο τετράγωνο μιας 8x8 σκακιέρας. ii) Ο Γκάους μετακινεί πρώτος τον ίππο. iii) Η Υπατία και ο Γκάους μετακινούν εναλλάξ τον ίππο, αλλά μπορούν να τον τοποθετήσουν μόνο σε τετράγωνα στα οποία δεν έχει βρεθεί προηγουμένως. iv) Ο παίκτης που δεν μπορεί να μετακινήσει πια τον ίππο χάνει. Ένας ίππος μπορεί να μετακινηθεί είτε ένα τετράγωνο οριζόντια και δυο κάθετα είτε ένα τετράγωνο κάθετα και δυο οριζόντια. Η κίνηση του μοιάζει με ένα L σχήμα. Με σωστή στρατηγική και τέλειο παίξιμο, είτε η Υπατία είτε ο Γκάους μπορεί πάντα να κερδίζει. Ποιος έχει τη στρατηγική νίκης; Εξηγήστε Πηγές 1) Ολυμπιάδες Μαθηματικών Β - Γ Γυμνασίου/ Α Λυκείου - Μπάμπης Στεργίου 2) Problem Solving Strategies - Arthur Engel 3) The Art and Craft of Problem Solving - Paul Zeitz 4) Διάφορα άρθρα από το διαδίκτυο (Λήμμα: invariants) Επικοινωνία: Εύχομαι να συνεχίστε να ασχολείστε και να αγαπάτε τα διαγωνιστικά μαθηματικά, επειδή είναι όμορφα και σας διασκεδάζουν και όχι επειδή μπορεί να σας φέρουν επιτυχίες. Καλή συνέχεια σε ότι κάνετε, Α.Ν. Αθήνα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

6 ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» 14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» 14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΡΟΔΟΠΗΣ Φιλίππου 33 69 13 ΚΟΜΟΤΗΝΗ Τηλ. 5310805 Πρόεδρος εξεταστικού 697335814 e-mail: emerodopis@gmail.com ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Παρατήρηση: Μόνο σε αυτό το μάθημα όταν λέμε κομμάτι εννοούμε κομμάτι ή πιόνι και όταν λέμε κομμάτια εννοούμε κομμάτια

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ 4 ΠΑΙΚΤΕΣ: 1. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΗΣΙΩΝ

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ 4 ΠΑΙΚΤΕΣ: 1. ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΗΣΙΩΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ Προετοιμασία νησιών για 2 παίκτες: Προετοιμασία νησιών για 3 παίκτες: Η περιοχή των νησιών αποτελείται από 9 πλακίδια νησιών (επιλεγμένα τυχαία) και 4 κομμάτια πλαισίου. Η περιοχή των νησιών

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών»

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» μια Νίκος Δαπόντες Φυσικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Το περιβάλλον Microworlds

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:Ε Ονοματεπώνυμο:.. Σχολείο: Το ημερολόγιο Ο Πέτρος ζήτησε από το φίλο του Χρήστο να διαλέξει 4 αριθμούς από το διπλανό ημερολόγιο που να σχηματίζουν τετράγωνο (για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Ρίξτε τα ζάρια και κτίστε την πόλη σας

Ρίξτε τα ζάρια και κτίστε την πόλη σας Ρίξτε τα ζάρια και κτίστε την πόλη σας ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ Οι παίκτες σαν έξυπνοι ηγέτες, προσπαθούν να γεμίσουν τις αρχικά άδειες πόλεις του, κερδίζοντας όσο περισσότερους πόντους μπορούν. Αυτό το

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ

ΕΠΙΣΗΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΕΠΙΣΗΜΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ Το SLEUTH είναι ένα φανταστικό παιχνίδι έρευνας για 3 έως 7 παίκτες. Μέσα από έξυπνες ερωτήσεις προς τους αντιπάλους του, κάθε παίκτης συλλέγει στοιχεία και έπειτα, χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 6η Δραστηριότητα Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης Περίληψη Συχνά ζητάμε από τους υπολογιστές να ψάξουν πληροφορίες στο εσωτερικό μεγάλων αρχείων δεδομένων. Για να το καταφέρουν, απαιτούνται ταχείες και αποτελεσματικές

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι :

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 010 009 + 008 007 + 006 005 +...+ 4 3 + 1 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη Σκοπός του παιχνιδιού Είστε διαβολάκια στην Κόλαση, στο διαλλειμά σας από τα βασανιστήρια των χαμένων ψυχών. Ασφαλώς και έχει πάρα πολύ ζέστη, κι έτσι κάθεστε στο μπαρ του Πανδοχείου Τελική Κρίση.Αποφασίσατε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ Η ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΖΑΡΙΑ! Αυτή είναι μία επέκταση μόνο για το παιχνίδι της alea Las Vegas. Χρησιμοποιήστε τους κανόνες του βασικού παιχνιδιού με τις παρακάτω προσθήκες, επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ 10 ζάρια με 6 σύμβολα το κάθε ένα. 1 διπλής όψεως κεντρικό ταμπλό με 3 ή 4 φορτηγά. 1 μολύβι

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ 10 ζάρια με 6 σύμβολα το κάθε ένα. 1 διπλής όψεως κεντρικό ταμπλό με 3 ή 4 φορτηγά. 1 μολύβι Ένα παιχνίδι για 2-4 διευθυντές ζωολογικών κήπων, ηλικίας 13 και άνω. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ 10 ζάρια με 6 σύμβολα το κάθε ένα Κροκόδειλος Στρουθοκάμηλος Μαϊμού Ελέφαντας Λιοντάρι Νόμισμα 1 διπλής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία κάρτες ξεκινήματος μένουν κλειστές. Κανόνες παιξίματος.

Προετοιμασία κάρτες ξεκινήματος μένουν κλειστές. Κανόνες παιξίματος. Κάπου στο Λονδίνο κρύβεται ο αυτόνομος Χ. Η Σέκλαντ Γιάρντ έχει στη διαθεσή της δύο, τρεις ως πέντε σεκίτες για να τον εντοπίσουν. Κινούνται με ταξί, μετρό ή λεωφορείο κι έχουν στη διάθεση τους ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά Τσάπελη Φανή ΑΜ: 243113 Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots Τελική Αναφορά Περιγραφή του παιχνιδιού Το παιχνίδι dots παίζεται με δύο παίχτες. Έχουμε έναν πίνακα 4x4 με τελείες, και σκοπός του κάθε παίχτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα