ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξημένη διαφημιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιμής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Επιχείρηση Α Επιχείρηση B Β3 Β4 Α Α Α Α Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιμή του παιγνίου. ΑΣΚΗΣΗ 2 Μία Επιτροπή εργαζομένων (παίκτης Α) βρίσκεται σε διαπραγματεύσεις με τη Διοίκηση της εργοδότριας εταιρείας (παίκτης Β) για την κατάρτιση της νέας σύμβασης εργασίας. Κάθε ένας από τους δύο παίκτες, δύναται να ακολουθήσει μία, από τέσσερις διαθέσιμες στρατηγικές, ώστε να αποσπάσει μεγαλύτερο όφελος. Στην προκειμένη περίπτωση, η Επιτροπή προσπαθεί να εξασφαλίσει μεγαλύτερο ποσοστό αύξησης του βασικού μισθού, ενώ η Διοίκηση προσπαθεί, από τη δική της πλευρά, να παραχωρήσει μικρότερο ποσοστό. Στον πίνακα πληρωμών που ακολουθεί, βλέπετε για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς στρατηγικών των δύο παικτών, το όφελος για την Επιτροπή ως ποσοστιαία αύξηση του βασικού μισθού. Επιτροπή (Α) Διοίκηση (Β) Β3 Β4 Α Α Α Α Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. 2. Διαγράψτε όλες τις υποδεέστερες στρατηγικές, ώστε να μειώσετε όσο περισσότερο μπορείτε τις διαστάσεις του πίνακα πληρωμών. 3. Συνεχίζοντας από το προηγούμενο ερώτημα, προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε παίκτη και την τιμή του παιγνιδιού. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δύο εταιρείες πληροφορικής, έστω Α και Β, ανταγωνίζονται στον τομέα της μηχανοργάνωσης μεγάλων έργων και ειδικότερα στον τομέα της υγείας. Καθεμία έχει καταθέσει τις προτάσεις της σχετικά με την υλοποίηση ενός πληροφοριακού συστήματος ενός μεγάλου ιδιωτικού νοσοκομείου και το συνολικό κόστος που προτείνουν είναι περίπου το ίδιο. Η κατακύρωση του έργου από την πλευρά του πελάτη μπορεί να γίνει τμηματικά και στις δύο εταιρείες. Κάθε εταιρεία, στην προσπάθειά της να αποσπάσει μεγαλύτερο τμήμα του έργου, μέχρι την ανακοίνωση της τελικής απόφασης εφαρμόζει κάποια στρατηγική δίνοντας επιπλέον παροχές προς τον πελάτη, π.χ. δωρεάν 1

2 ετήσια εκπαίδευση, συμβόλαια συντήρησης χαμηλότερου κόστους, νέες εκδόσεις σε ανταγωνιστικές τιμές, προσωπικό υποστήριξης με δικά τους έξοδα κλπ. Η εταιρεία Α μπορεί να εφαρμόσει τρεις στρατηγικές ενώ η Β τέσσερις. Αν θεωρήσουμε όλο το έργο ως 100%, τότε το ποσοστό του έργου που κατακυρώνεται στην επιχείρηση Α για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β Β3 Β4 Α Α Α Εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, χωρίς να διαγράψετε καμία υποδεέστερη στρατηγική, για να ελέγξετε αν υπάρχει σημείο ισορροπίας. 2. Διαγράψτε τις υποδεέστερες στρατηγικές και εφαρμόστε την κατάλληλη μεθοδολογία ώστε να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση και το ποσοστό του έργου που θα αναλάβει κάθε εταιρεία. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσματος συμμετέχουν δύο παίκτες, έστω Α, Β. Ο κάθε παίκτης έχει στη διάθεση του 2 ευρώ και από αυτά μπορεί να ποντάρει 0, 1 ή και τα 2 ευρώ. Το κέρδος του κάθε παίκτη προκύπτει από το αποτέλεσμα της ρίψης ενός νομίσματος και από το ποσό που πόνταρε αυτός καθώς και ο αντίπαλος του. Συγκεκριμένα, αν το αποτέλεσμα της ρίψης του νομίσματος είναι «ΚΕΦΑΛΗ» τότε τα κέρδη/ζημιές του παίκτη Α προσδιορίζονται από τον Πίνακα 1, ενώ αν είναι «ΓΡΑΜΜΑΤΑ» από τον Πίνακα 2. Και στους δύο πίνακες οι στρατηγικές των παικτών Α και Β, όταν ποντάρουν 0, 1, 2 ευρώ συμβολίζονται με Α0, Α1, Α2, και Β0,, αντίστοιχα. Πίνακας 1:Κέρδος/ζημία του Α για «ΚΕΦΑΛΗ» (σε ευρώ) Β0 Α Α Α Πίνακας 2: Κέρδος/ζημία του Α για «ΓΡΑΜΜΑΤΑ» (σε ευρώ) Β0 Α Α Α Να κατασκευάσετε τον πίνακα πληρωμών (αποτελεσμάτων) για τον παίκτη Α, θεωρώντας ότι τα αποτελέσματα της ρίψης του νομίσματος είναι ισοπίθανα. 2. Με βάση τον πίνακα πληρωμών (αποτελεσμάτων) για τον παίκτη Α που κατασκευάσατε στο ερώτημα 1, να εφαρμόσετε αρχικά το κριτήριο minimax (χωρίς διαγραφή υποδεέστερων στρατηγικών) για να ελέγξετε αν υπάρχει ισορροπία. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την κατάλληλη μεθοδολογία να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική κάθε παίκτη, καθώς και την τιμή του παιγνίου. 3. Ο παίκτης Α «νοθεύει» το παίγνιο αλλάζοντας το νόμισμα με ένα κάλπικο που έχει «ΚΕΦΑΛΗ» και στις δύο όψεις. Ευνοεί το νοθευμένο παίγνιο τον παίκτη Α; ΑΣΚΗΣΗ 5 Η κεντρική ταχυδρομική υπηρεσία συνεργάζεται με δύο εταιρείες ταχυμεταφορών για τις ειδικές μεταφορές μεταξύ των κυριοτέρων πόλεων της χώρας. Ας ονομάσουμε τις δύο αυτές εταιρείες Α και Β. Επί του παρόντος, 2

3 η εταιρεία Α κατέχει ένα μερίδιο 30% στη συνεργασία αυτή και η Β το υπόλοιπο 70%. Η ταχυδρομική υπηρεσία έχει προκηρύξει διαγωνισμό, από τα αποτελέσματα του οποίου θα προκύψει η συνεργασία για το επόμενο έτος. Οι εταιρεία Α θα κάνει μία προσφορά εκ τριών που συζητιούνται στο διοικητικό της συμβούλιο, ας τις ονομάσουμε τις προσφορές αυτές Α1, Α2 και Α3. Αντίστοιχα η εταιρεία Β έχει τρεις άλλες στρατηγικές στη διάθεσή της, τις, και Β3. Ανάλογα με την προσφορά που θα κάνουν οι δύο εταιρείες (πράγμα το οποίο γίνεται ταυτόχρονα με την κατάθεση κλειστών φακέλων χωρίς να γνωρίζουν οι αντίπαλοι την προσφορά που τελικά επέλεξε ο αντίπαλός τους πριν να ανοιχτούν οι φάκελοι) υπάρχουν τέσσερα πιθανά ενδεχόμενα: (α) Η εταιρεία Α κερδίζει το διαγωνισμό και την αποκλειστικότητα, οπότε ανεβάζει το ποσοστό της από 30% που κατέχει τώρα στο 100%. Το ποσοστό της εταιρείας Β εκμηδενίζεται. (β) Η εταιρεία Β κερδίζει το διαγωνισμό και ανεβάζει αυτή το ποσοστό της από 70% που έχει τώρα στο αποκλειστικό 100%. Το ποσοστό της εταιρείας Α εκμηδενίζεται. (γ) Ο διαγωνισμός κατακυρώνεται και στις δύο κατά το ήμισυ (ισοπαλία) οπότε ουσιαστικά η Α ανεβάζει το ποσοστό της στο 50% (από το 30% που είχε μέχρι τώρα) και η Β χάνει ένα τμήμα της αγοράς αφού πέφτει στο 50% (από το 70% που κατείχε. μέχρι τώρα). (δ) Τα ποσοστά για την επόμενη χρονιά αντιστρέφονται (δηλαδή η Α θα αναλαμβάνει το 70% των εργασιών και η Β το 30%). Στον επόμενο πίνακα βλέπετε το πιθανό αποτέλεσμα του διαγωνισμού ανάλογα με το συνδυασμό στρατηγικών που εφαρμόζει κάθε εταιρεία. Εταιρεία Β Προσφορά Προσφορά Προσφορά Β3 Εταιρεία Α Προσφορά Α1 ισοπαλία κερδίζει η Β κερδίζει η Α Προσφορά Α2 αντιστροφή ποσοστών κερδίζει η Α κερδίζει η Β Προσφορά Α3 ισοπαλία κερδίζει η Β κερδίζει η Β 1. Διαμορφώστε το παραπάνω πρόβλημα ως παίγνιο δύο παικτών, θεωρώντας κάθε μία εταιρεία ως παίκτη (εταιρεία Α = παίκτης Α και εταιρεία Β = παίκτης Β), κατασκευάζοντας τον πίνακα πληρωμών για τον παίκτη Α. 2. Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιμή του παιγνιδιού. Ποιο είναι το φυσικό νόημα της άριστης στρατηγικής για κάθε παίκτη και της τιμής του παιγνίου; 3

4 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την μη ύπαρξη ισορροπίας. Πράγματι, το maximin σημείο των σειρών του παραπάνω πίνακα είναι η τιμή 2 στην τομή των στρατηγικών Α1 και, ενώ το minimax σημείο των στηλών είναι η τιμή 3 στην τομή των στρατηγικών Α1 και. Επομένως δεν υπάρχει ισορροπία (δεν υπάρχουν αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) οπότε θα καταφύγουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Έτσι, συνεχίζουμε την επίλυση με διαγραφή κατ αρχήν όσων περισσοτέρων υποδεέστερων στρατηγικών. Οι στρατηγικές Α2 και Α4 διαγράφονται επειδή είναι υποδεέστερες της Α1 (στην προκειμένη περίπτωση είναι υποδεέστερες και της Α3) και δεν εφαρμόζονται ποτέ από έναν ορθολογιστή παίκτη Α (δηλαδή έχουν μηδενική πιθανότητα εφαρμογής). Στη συνέχεια, μπορούν να διαγραφούν και οι στρατηγικές Β3 και Β4 διότι είναι τώρα υποδεέστερες της (αφού τα εναπομένοντα στοιχεία των στηλών τους είναι όλα μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα της ) και ο ορθολογιστής παίκτης Β δεν θα τις εφάρμοζε. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 2 και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. y 1-y Α1 x 2 3 Α3 1-x 4 1 Αν τώρα, ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, τότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Ομοίως, έστω y η πιθανότητα ο Β να ακολουθήσει τη στρατηγική του, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι V(A, B1) = 2x + 4(1-x) = -2x + 4 και V(A, B2) = 3x + 1(1-x) = 2x + 1. Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B2) έχουμε ότι: -2x + 4 = 2x + 1 δηλαδή 4x = 3 που δίνει x=0.75 άρα 1-x = Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B2) δηλαδή είναι V = = 2.5. Για τον παίκτη B, με όμοιο τρόπο, έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A3) απ όπου προκύπτει μετά τις πράξεις ότι y + 3 = 3y + 1 που δίνει y = 0.5 οπότε 1-y = 0.5. Ανακεφαλαιώνοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0.75, 0, 0.25, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0.5, 0.5, 0, 0 Τιμή του παιγνίου V = 2.5 (αναμενόμενο κέρδος στον παίκτη Α, ζημιά του παίκτη Β) 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 2 Έχουμε ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στον πίνακα παρακάτω, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, το maximin σημείο του παίκτη Α των σειρών (της Επιτροπής) του παραπάνω πίνακα, είναι η τιμή 1 στην τομή των στρατηγικών Α1 - και Α1 - Β4 αλλά και στην τομή των στρατηγικών Α3 - Β3. Από την άλλη πλευρά, το minimax σημείο του παίκτη Β των στηλών (της Διοίκησης) είναι η τιμή 2 στην τομή δύο ζευγών, δηλαδή των στρατηγικών Α1 - Β3 και των στρατηγικών Α3 - Β4. Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Β3 Β4 row min Α Α Α Α column max Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Α2 διαγράφεται ως υποδεέστερη της Α3. Η στρατηγική Α4 διαγράφεται επειδή είναι υποδεέστερη και της Α1 και της Α3. Στη συνέχεια, μπορεί να διαγραφεί η στρατηγική επειδή είναι υποδεέστερη όλων των υπολοίπων στρατηγικών του παίκτη Β. Τέλος, διαγράφεται η επειδή είναι υποδεέστερη της Β4. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β3 y Β4 1-y Α1 x 2 1 Α3 1-x 1 2 Ας ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, τότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Ομοίως, έστω y η πιθανότητα ο Β να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β3, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Β4. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι η προσδοκώμενη τιμή, όταν ο Β εφαρμόζει την Β3, είναι V(A, B3) = 2x +1 (1-x) = x + 1 και όταν ο Β εφαρμόζει τη Β4 είναι V(A, B4) = 1 x + 2(1-x) = -x + 2. Επειδή πρέπει να ισχύει V(A, B3) = V(A, B4) είναι: x + 1 = -x + 2, δηλαδή 2x = 1 που δίνει x = 0,5 άρα 1-x = 0,5. Η τιμή του παιγνίου (το κέρδος του Α) βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων x και 1-x σε οποιοδήποτε από τα V(A, B3) ή V(A, B4) δηλαδή V = = = 1.5 είναι το προσδοκώμενο κέρδος του παίκτη Α. Για τον παίκτη B, με όμοιο τρόπο, έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A3), απ όπου προκύπτει μετά τις πράξεις ότι y + 1 = -y + 2, που δίνει y = 0.5 οπότε 1-y = 0.5. Άλλωστε, παρατηρήστε ότι ο παραπάνω πίνακας είναι συμμετρικός και όπως ήταν αναμενόμενο οι τιμές των πιθανοτήτων y και 1-y θα ήταν αντίστοιχες με αυτές των τιμών x και 1-x. Με αντικατάσταση των τιμών των πιθανοτήτων y και 1-y σε οποιαδήποτε από τις σχέσεις V(B, A1) ή V(B, A3), επαληθεύουμε ότι πράγματι η τιμή του παιγνίου (η ζημιά του Β) είναι V = 1.5, όσο δηλαδή το κέρδος του Α, κάτι που πρέπει να συμβαίνει αφού έχουμε παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Ανακεφαλαιώνοντας, το τελικό αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0.5, 0, 0.5, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0, 0, 0.5, 0.5) Τιμή του παιγνίου V = 1.5 (αναμενόμενο κέρδος για τον παίκτη Α, ζημιά του παίκτη Β) 5

6 ΑΣΚΗΣΗ 3 Έχουμε ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος όπου το άθροισμα είναι το ποσοστό 100% το οποίο οι παίκτες μοιράζονται. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα χωρίς διαγραφή υποδεέστερων στρατηγικών δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα: Β3 Β4 row min Α Α Α column max Συνεπώς το maximin σημείο των σειρών του παραπάνω πίνακα (το 20) είναι διαφορετικό από το minimax σημείο των στηλών (το 40) και δεν υπάρχει ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές. Άρα θα πρέπει να προχωρήσουμε στον εντοπισμό των μεικτών στρατηγικών. Οι στρατηγικές και Β3 είναι υποδεέστερες της Β4 και διαγράφονται. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3 2 και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β y Β4 1-y Α Α Α Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική επίλυση ονομάζοντας y την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β4. Για τον παίκτη Β με τις δύο στρατηγικές έχουμε ότι: V(B, A1) = 50y + 15(1-y) = 35y + 15 V(B, A2) = 40y + 20(1-y) = 20y +20 V(B, A3) = 20y + 40(1-y) = -20y + 40 Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο A και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη B είτε της B1 είτε της B4. 6

7 Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με πιο έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, η στρατηγική A2 από την πλευρά του παίκτη A απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minimax σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών: Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β y Β4 1-y Α1 x Α3 1-x Ας ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι V(A, B1) = 50x + 20(1-x) = 30x + 20 και V(A, B4) = 15x + 40(1-x) = -25x Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B4) έχουμε ότι: 30x + 20 = -25x + 40 που δίνει 55x = 20 δηλαδή x=4/11 άρα 1-x = 7/11. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B4) δηλαδή είναι V = 30 4/ = 340/11 ( ) Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1)=V(B, A3) απ όπου προκύπτει ότι 35y + 15 = -20y + 40 που μετά τις πράξεις δίνει y = 5/11 οπότε 1-y = 6/11. Ανακεφαλαιώνοντας, το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (4/11, 0, 7/11, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (5/11, 0, 0, 6/11) Τιμή του παιγνίου V = 340/11, δηλαδή περίπου που παριστάνει το αναμενόμενο ποσοστό του έργου που θα αναλάβει η εταιρεία Α ενώ η εταιρεία Β θα αναλάβει ποσοστό περίπου 69.09% του έργου. Όλα αυτά εφόσον οι δύο εταιρείες εφαρμόζουν τις μεικτές στρατηγικές που βρέθηκαν. 7

8 ΑΣΚΗΣΗ 4 Επειδή τα αποτελέσματα της ρίψης του νομίσματος είναι ισοπίθανα και δεδομένου ότι δεν υπάρχει κάποιο τρίτο ενδεχόμενο, η πιθανότητα εμφάνισης του κάθε ενός ισούται με p = 0.5. Συνεπώς το αναμενόμενο κέρδος/ζημία του παίκτη Α για ένα συνδυασμό στρατηγικών (Α, Β) δίνεται από το σταθμισμένο μέσο των τιμών των κελιών των Πινάκων 1 και 2 που αντιστοιχούν στο συνδυασμό (Α, Β). Η στάθμιση γίνεται με την πιθανότητα p = 0.5. Παράδειγμα, το αναμενόμενο κέρδος/ζημία του παίκτη Α για το συνδυασμό (Α1, Β0) είναι ίσο με 0.5 (1) (-1) = 0, όπου 1 είναι η τιμή του κελιού (Α1, Β0) στον Πίνακα 1 και -1 η τιμή του κελιού (Α1, Β0) στον Πίνακα 2 αντίστοιχα. Άρα ο πίνακας πληρωμών (αποτελεσμάτων) για τον παίκτη Α είναι: Αναμενόμενο κέρδος/ζημία για τον παίκτη Α Β0 Α Α1 0 0,5-1 Α ,5 Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η maximin τιμή του παίκτη Α είναι ίση με 0 (τομή των στρατηγικών Α2 ) και η minimax τιμή του παίκτη Β είναι ίση με 0.5 (τομή των στρατηγικών Α1 ). Β0 Ελάχιστο Γραμμής Α Α Α ,5 0 Μέγιστο Στήλης Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. H στρατηγική Β0 είναι υποδεέστερη της και συνεπώς διαγράφεται. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Α0-1 1 Α1 0,5-1 Α2 0 0,5 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Για τον προσδιορισμό των άριστων μεικτών στρατηγικών θεωρούμε ότι ο παίκτης Β εφαρμόζει την στρατηγική με πιθανότητα y, οπότε 1-y είναι η πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική. Η γραφική επίλυση του παιγνίου ακολουθεί. 8

9 K Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, η στρατηγική A0 από την πλευρά του παίκτη A απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minimax σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών: y 1 - y x Α1 0, x Α2 0 0,5 Από αυτό το σημείο και μετά επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2 κάτι που ως γνωστό γίνεται ως εξής: ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Έτσι, για τον παίκτη Β έχουμε ότι V(B, A1) = 0.5y - 1(1 y) V(B, A1) = 0y + 0.5(1 y) Θέτοντας V(B, A1)= V(B, A1) και αντικαθιστώντας έχουμε y = 0.75, οπότε 1- y = 0.25 Η τιμή του παιγνίου για τον παίκτη Β προκύπτει με αντικατάσταση του y στην V(B,A 1) ή στην V(B, A2) και είναι ίση με ευρώ. Για τον παίκτη Α ισχύει: V(Α, )= 0.5x + 0(1 x) και V(Α, ) = -x + 0.5(1 x) Θέτοντας V(Α, )= V(Α, ) και αντικαθιστώντας βρίσκουμε x = 0.25 και 1 x = 0.75 Η τιμή του παιγνίου για τον παίκτη Α προκύπτει από την αντικατάσταση του x είτε στην V(Α, ) ή στην V(Α, ) και είναι ίση με ευρώ. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0, 0.25, 0.75) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0, 0.75, 0.25) Τιμή του παιγνίου V = ευρώ Για το ερώτημα 3, Πρέπει να λυθεί το παίγνιο με πίνακα κέρδους/ζημίας του παίκτη Α τον Πίνακα 1. Εύκολα βλέπουμε ότι η στρατηγική Β0 είναι υποδεέστερη της οπότε απορρίπτεται, και ο Πίνακας 1 γίνεται: 9

10 Α0-1 2 Α1 0-1 Α2 1 2 Στον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι η στρατηγική Α2 κυριαρχεί τόσο επί της στρατηγικής Α0 όσο και επί της Α1. Άρα οι δύο αυτές στρατηγικές απορρίπτονται και ο πίνακας γίνεται: Α2 1 2 Τώρα μπορούμε να απαλείψουμε τη στρατηγική αφού είναι υποδεέστερη της και επομένως προκύπτει το σημείο ισορροπίας (Α2, ) στο οποίο το κέρδος για τον παίκτη Α είναι 1 ευρώ. Άρα το νοθευμένο παίγνιο ευνοεί τον παίκτη Α. 10

11 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο πίνακας πληρωμών προκύπτει ως εξής: Όταν το αποτέλεσμα του διαγωνισμού είναι ισοπαλία τότε οι δύο εταιρείες παίρνουν ποσοστό από 50% της αγοράς. Αυτό σημαίνει ότι η Α κερδίζει 20 ποσοστιαίες μονάδες (από το 30% πάει στο 50%) και η Β χάνει 20 μονάδες (από το 70% πάει στο 50%), Όταν κερδίζει το διαγωνισμό η εταιρεία Α τότε ανεβάζει το ποσοστό της στο 100% επομένως κερδίζει 70 ποσοστιαίες μονάδες τις οποίες χάνει η Β της οποίας το ποσοστό εκμηδενίζεται. Όταν κερδίζει το διαγωνισμό η Β τότε ανεβάζει αυτή το ποσοστό της στο 100% δηλαδή κερδίζει 30 ποσοστιαίες μονάδες τις οποίες χάνει η Α της οποίας το ποσοστό εκμηδενίζεται. Τέλος, όταν αντιστρέφονται τα ποσοστά η Α κερδίζει 40 ποσοστιαίες μονάδες ανεβάζοντας το ποσοστό της στο 70%, μονάδες τις οποίες χάνει η Β η οποία πέφτει στο 30%. Έτσι ο πίνακας πληρωμών για τον παίκτη Α διαμορφώνεται ως εξής: Εταιρεία Α Προσφορά Α1 Προσφορά Α2 Προσφορά Α3 Προσφορά Εταιρεία Β Προσφορά Προσφορά Β Αν εφαρμόσουμε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών τότε έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα. Προσφορά Προσφορά Προσφορά Β3 row min Προσφορά Α Προσφορά Α Προσφορά Α column max Παρατηρούμε ότι η maximin τιμή είναι ίση με 30 (μάλιστα από τρία διαφορετικά στοιχεία του πίνακα) και η minimax είναι ίση με 40 (οπότε ) συνεπώς δεν υπάρχουν αμιγείς στρατηγικές και δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας. Επομένως θα πρέπει να εντοπιστούν μεικτές στρατηγικές. Πρώτα ελέγχουμε αν μπορούν να διαγραφούν υποδεέστερες στρατηγικές. Πράγματι η στρατηγική Α3 είναι υποδεέστερη της Α1 (και της Α2) και διαγράφεται. Ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 3 και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. y1 y2 Β3 y3 Α1 x Α2 1-x Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Για τον παίκτη Β ονομάζουμε y1 την πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του, y2 να εφαρμόσει την και y3 να εφαρμόσει την Β3. Προφανώς y1+y2+y3 =1. Για τον παίκτη με δύο στρατηγικές (δηλαδή τον Α) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(A, B1) = 20x +40(1-x) = -20x + 40, V(A, B2) = -30x+70(1-x) = -100x + 70 και V(A, B3) = 70x - 30(1-x) = 100x

12 Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις στρατηγικές του παίκτη Α. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1, 2, 3) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο Β και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη Α είτε της Α1 είτε της Α2. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(A, B1) συνδέουμε το 20 με το 40, για το V(A, B2) συνδέουμε το -30 με το 70 και για την ευθεία V(A, B3) συνδέουμε το 70 με το -30. Επειδή ο παίκτης Α επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό συνεπάγεται ότι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Δηλαδή θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με πιο έντονες γραμμές και επάνω σε αυτήν θα επιλέξει το υψηλότερο σημείο δηλαδή το σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Β απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του maximin σημείου Κ και πρακτικά το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2 2 με πίνακα πληρωμών τον ακόλουθο: y2 Β3 y3 Α1 x Α2 1-x Από αυτό το σημείο και μετά επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2. Για να βρούμε αλγεβρικά τις τιμές των μεικτών στρατηγικών και την τιμή του παιγνίου εξισώνουμε τις V(A, B2) και V(A, B3) και έχουμε -100x + 70 = 100x - 30 που δίνει 200x = 100 άρα x = 1/2 και 1 - x = 1/2 (στο σχήμα πράγματι φαίνεται ότι η τιμή της πιθανότητας x είναι στο 1/2). Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B2) ή V(A, B3) δηλαδή είναι V = 100 1/2-30 = 20 (πράγματι στο σχήμα καταδεικνύεται η τιμή του παιγνίου η οποία είναι στο 20). Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A2) δηλαδή -30y2 +70y3 = 70y2-30y3 που δίνει y2 = y3. Επίσης, y2 + y3 = 1 οπότε προφανώς y2 = y3 = 1/2. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B, A1) είτε στο V(B, A2) θα πρέπει να πάρουμε τιμή του παιγνίου ίση με V = 20 που βρήκαμε πριν και πράγματι έτσι είναι. Συνοψίζοντας το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (1/2, 1/2, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0, 1/2, 1/2) Τιμή του παιγνίου V = 20 12

13 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές το παιγνίδι με τους ίδιους όρους (δηλαδή σε πολλές επαναλήψεις του διαγωνισμού), το μέσο (αναμενόμενο) κέρδος του Α σε βάρος του Β ως προς το μερίδιο αγοράς είναι 20 ποσοστιαίες μονάδες που πρακτικά σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα η εταιρεία Α κερδίζει κατά μέσο όρο 20 μονάδες και η εταιρεία Β τις χάνει. Σε κάθε επανάληψη του διαγωνισμού φυσικά πότε κερδίζει ποσοστά η Α, πότε κερδίζει ποσοστά η Β σύμφωνα με τον πίνακα πληρωμών. Το αποτέλεσμα που δίνει η τιμή του παιγνίου είναι η μέση τιμή. 13

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τα παίγνια αποτελούν τη δεύτερη μορφή επιχειρησιακής έρευνας που θα εξετάζουμε. Πρόκειται για μία μέθοδο ανάλυσης προβλημάτων που έχουν σχέση με τον τρόπο λήψης αποφάσεων σε καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 213 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Μια κατασκευαστική εταιρεία ετοιμάζει την ενεργειακή μελέτη ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Από ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Η UCC είναι μια μικρή εταιρεία παραγωγής εντομοκτόνων. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-7 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (8,33% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ A.1 Αν η συνάρτηση του οριακού κόστους μιας επιχείρησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Άσκηση 1 η 4 η Εργασία ΔEO13 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση:

Θέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Θέμα (.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Να βρεθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής και στη συνέχεια να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος παραγωγής. (0%) Κριτήριο

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot -To υπόδειγμα Cournot έχει υποστεί τρία είδη κριτικής: () Το υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Συνέχεια από πριν.. Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι μπορούμε να επιλύσουμε παίγνια με την μέθοδο της απαλοιφής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Σημειώσεις μαθημάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Σημειώσεις μαθημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Σημειώσεις μαθημάτων Περιεχόμενα ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ... 2 Σκοπός... 2 Μαθησιακοί στόχοι... 2 1. Παίγνια και λήψη αποφάσεων... 2 2. Μαθηματική διατύπωση παιγνίων... 6 3. Παίγνια μηδενικού αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος ΛΥΣΕΙΣ ΑΟΘ 1 ΓΙΑ ΑΡΙΣΤΑ ΔΙΑΒΑΣΜΕΝΟΥΣ ΟΜΑΔΑ Α Α1 γ Α2 β Α3 δ Α4 Σ Α5 Σ Α6 Σ Α7 Σ Α8 Λ ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ. 57-59 ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. ΟΜΑΔΑ Γ Γ1. Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση 0/3/7 HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 8 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα