PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA"

Transcript

1 OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička temperatura T mol mol množina (količina tvari) n kandela cd svjetlosna jakost I PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA Predmetak Znak Vrijednost Predmetak Znak Vrijednost eksa E 0 8 deci d 0 peta P 0 5 centi c 0 tera T 0 mili m 0 3 giga G 0 9 mikro µ 0 6 mega M 0 6 nano n 0 9 kilo k 0 3 piko p 0 hekto h 0 femto f 0 5 deka da 0 ato a 0 8 IZVEDENE S. I. JEDINICE S POSEBNIM NAZIVIMA I ZNAKOVIMA Naziv Znak Veza Fizikalna veličina i znak bekerel Bq s aktivnost A Celzijusov stupanj C K Celzijusova temperatura džul J Nm rad W, energija E, toplina Q farad F C/V električni kapacitet C grej Gy J/kg apsorbirana doza D henri H Wb/A induktivnost L herc Hz s frekvencija f kulon C As količina elektriciteta q, Q luks lu lm/m osvjetljenje E lumen lm cd sr svjetlosni tok Φ njutn N kg m/s sila F om Ω V/A = S električni otpor R paskal Pa N/m tlak p simens S A/V = Ω električna vodljivost G sivert Sv J/kg ekvivalentna doza H tesla T N/(A m) magnetna indukcija B vat W J/s snaga P veber Wb Tm magnetni tok Φ volt V Ω/A električni potencijal ϕ, napon U radijan rad kut α, Θ, θ, β,. steradijan sr ugao (prostorni kut) Ω PRIBLIŽNA VRIJEDNOST OSNOVNIH KONSTANTI I VELIČINA Brzina svjetlosti u vakuumu c m/s Unificirana masa u =, kg u = 93,5 MeV/c Elementarni naboj e =,6 0 9 C Gravitacijska konstanta G = 6,67 0 m 3 /s kg Masa elektrona m e = 9, 0 3 kg m e = 0,5 MeV/c Plinska konstanta R = 8,34 J/mol K Avogadrova konstanta N A = 6,0 0 3 mol Masa protona m p =, kg m p = 938,7 MeV/c Boltzmanova konstanta Stefan-Boltzmanova konst. k B =, J/K σ = 5, W/m K 4 Masa neutrona m n =, kg m n = 939,57 MeV/c Molni volumen idealnog plina S.U. V m =,4 0 m 3 /mol Rydbergova konst. R =, 0 7 m Permitivnost vakuuma ε 0 = 8,85 0 F/m Comptonova duljina λ C =,43 0 m Permeabilnost vakuuma µ 0 = 4 π 0 7 H/m Bohrov polumjer r = 5,9 0 m Planckova konstanta h = 6, J s Akceleracija težne sile g = 9,8 m/s 0 m/s

2 DEFINICIJE OSNOVNIH JEDINICA (SI) Metar je duljina puta kojega svjetlost prijeđe u vakuumu za vrijeme od / sekunde. Kilogram je masa međunarodne pramjere kilograma. Sekunda je trajanje perioda zračenja koje odgovara prijelazu izmedu dviju hiperfinih razina osnovnog stanja cezija 33. Amper je jakost stalne električne struje koja, prolazeći dvama usporednim ravnim vodičima neograničene duljine i zanemarivo malog kružnog presjeka, razmaknutim jedan metar u vakuumu, uzrokuje među njima silu od 0 7 njutna po metru duljine. Kelvin je termodinamička temperatura koja je jednaka /73,6 termodinamičke temperature trojne točke kemijski čiste vode u prirodnoj izotopnoj mješavini. Kandela je jakost izvora monokromatskog zračenja frekvencije herca koji u danom smjeru zrači /683 vati po steradijanu. Mol je količina tvari sustava koji sadržava toliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0,0 kilograma izotopa ugljika. NAZIVI DECIMALNIH BROJEVA VEĆIH OD MILIJUNA Broj Naziv Naziv u SAD-u (engl.) 0 6 milijun million 0 9 milijarda billion 0 bilijun trillion 0 5 bilijarda quadrillion 0 8 trilijun quintillion 0 - setillion 0 4 kvadrilijun septillion octillion 0 30 kvintilijun nonillion

3 OBRADA REZULTATA MJERENJA Tijekom izvođenja mjerenja, vrijednosti izmjerenih veličina valja bilježiti u pregledno organizirane tablice. Pritom je važno u vrhu svakog stupca tablice staviti oznaku fizikalne veličine i uz nju mjernu jedinicu u uglatim zagradama ili odvojeno kosom crtom. Primjerice, t[s] predstavlja vrijeme u sekundama ili odvojeno kosom crtom t/s. Veličina je svojstvo pojave, stanja, tvari i tijela, koje se može kvalitativno razlikovati i kvalitativno odrediti. Mjerna jedinica je dogovorena, poznata i obnovljiva vrijednost veličine. Mjernim su jedinicama dogovorno dodijeljena imena i znakovi. Za kompjutorski zapis: fizikalne veličine se pišu kosim (italic), a mjerne jedinice okomitim slovima (normal). Primjerice, brzina v = 5 m/s.. PISANJE LABORATORIJSKIH IZVJEŠĆA (REFERATA) Izvješća mogu biti pisana na kompjutoru (preporučljivo) ili čitljivim rukopisom na papiru formata A4 ili u posebnoj bilježnici, a svako izvješće obvezno mora sadržavati:. Ime i prezime učenika.. Naslov vježbe. 3. Cilj vježbe u nekoliko rečenica. 4. Skica mjernog uređaja s označenim dijelovima. 5. Sažeti opis mjernog postupka (koje se veličine mjere i kako) te kako se dobije konačni rezultet primjerice izvod formule za određivanje rezultata iz mjerenih veličina. 6. Zapis rezultata mjerenja (u tabeli) iz kojeg je vidljivo što je mjereno i u kojim jedinicama. 7. Neodređenost odnosno pogrešku rezultata mjerenja. 8. Posebno istaknute izmjerene konačne veličine u pravilnom obliku ispisa. 9. Grafički prikaz rezultata (izrađen ručno na milimetarskom papiru, ili kompjutorski ispis). 0. Osobni komentar vježbe (kvaliteta rezultata, eventualni nedostaci aparature, prijedlozi za poboljšanja). 3

4 . PRAVILA ZA ZNANSTVENI ZAPIS BROJEVA Teorija sigurnih znamenki bavi se pouzdanošću znamenki brojeva koje bilježimo. Kad smo mjerenjem ustanovili da je visina neke osobe 75 cm, to znači da smo sigurni za i 7, te da 5 bolje odgovara nego 4 ili 6; dakle, sve tri su sigurne znamenke. Sigurna znamenka predstavlja broj čiji iznos je potvrđen pouzdanim mjerenjem. Broj sigurnih znamenki zabilježen mjerenjem ovisi djelomice o mjernom uređaju, a djelomice o tome što mjerimo. Kada objekt kojeg mjerimo nema dobro definirane krajeve, tada mjerenje može samo po sebi biti nepouzdanije od najmanjeg podjeljka mjernog instrumenta. Primjer za ovo je mjerenje duljine podlaktice. Sličan problem susrećemo npr. kad pomičnom mjerkom određujemo dimenzije predmeta čiji se rubovi pod pritiskom lako deformiraju, ili kad zadnja znamenka na nekom digitalnom mjernom instrumentu stalno oscilira. Sve su to slučajevi kad treba pažljivo ocijeniti pouzdanost mjerenja, te u skladu s time odrediti kako ćemo bilježiti očitanje. Kada mjerimo s pouzdanošću do na centimetar, ne smijemo zabilježiti mjerni rezultat kao 35. cm jer bi to značilo da je mjerenje pouzdano do na desetinku centimetra. Zato moramo rezultat zabilježiti kao 35 cm. Svako mjerenje koje obavljamo mora imati prikladan broj sigurnih znamenki. Nema smisla bilježiti mnogo znamenki koje nisu sigurne. Ispis brojeva Ispis brojeva je obično jednostavan postupak, no u fizici nailazimo na brojeve koji su toliko mali ili pak toliko veliki da to često postaje nezgodno. Udaljenost (u metrima) do zvijezde najbliže našem Sunčevu sustavu je: m iza kojeg je 5 nula. Budući da 0 predstavlja s dvije nule, prethodni broj, tj. udaljenost se može pisati kao: m odnosno m. Kažemo da je red veličine te udaljenosti 0 6. Primjerice, masa elektrona (u kilogramima) je 0.9 s još 30 nula između decimalne točke i 9. Primjenom istih pravila za eksponent masa elektrona može se napisati kao Ova pravila znače da kad god pomaknemo decimalnu točku za jedno mjesto ulijevo, eksponentu od 0 dodaje se, a kad je pomaknemo udesno, dodaje mu se +. (Primjerice, prelaskom od 3 na 3 broj se smanjuje za faktor 0.) Mnogi kalkulatori automatski daju rezultat u ovom obliku (ako odaberete tzv. znanstveni zapis što je na kalkulatoru često označeno znakom "sci"). Obično se decimalna točka postavlja nakon prve znamenke različite od 0 (znanstveni zapis). Primjerice: Znamo da je masa elektrona m e = 9, 0 3 kg i Avogadrova konstanta N A = 6,0 0 3 mol. Kako izgleda mogući ispisi brojeva na kompjuteru i kalkulatoru? FIZIKALNA VELIČINA MOGUĆI ISPISI NA EKRANU m e = kg E-3 N A = mol E 3 Broj ispred E naziva se mantisa, a broj iza E potencija. 4

5 Pravila za standardni zapis brojeva Sve znamenke nekog broja, različite od 0, su sigurne. Primjerice, 35. cm ima tri sigurne znamenke. Nule koje leže između dvije znamenke različite od 0 su sigurne. Primjerice, nula u 03 je sigurna. Nule koje slijede nakon posljednje znamenke različite od 0 (npr. u broju 3000) najčešće predstavljaju samo red veličine, osim ako je drukčije naznačeno, npr. povlakom iznad nula. U tom slučaju i naznačene nule su sigurne. Ako broj sadrži decimalnu točku: Nule koje leže između decimalne točke i prve znamenke različite od 0 predstavljaju samo red veličine. Takav broj ima onoliko sigurnih znamenki koliko ih se nalazi od prve znamenke različite od 0 pa dalje udesno. Primjerice, ima tri sigurne znamenke, ih ima pet,.0003 ih ima šest. Nule koje slijede znamenke različite od 0 sigurne su u svakom broju s decimalnom točkom. Primjerice, ima šest sigurnih znamenki. Napomena : umjesto decimalnog zareza sve češće se piše točka-iako još u Hrvatskoj to nije zakonski regulirano. U znanstvenom zapisu, sve znamenke u broju su sigurne. Ovaj zapis uvodi brojeve napisane kao umnožak decimalnog broja (s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od decimalne točke) i neke potencije broja 0. Primjerice: = 3000 (3 sigurne znamenke) = 3000 (5 sigurnih znamenki) = (3 sigurne znamenke) = (5 sigurnih znamenki) Pravila za određivanje broja sigurnih znamenki u konačnom rezultatu Kad zbrajamo ili oduzimamo brojeve, rezultat smije imati najviše onoliko sigurnih decimalnih odnosno dekadskih jedinica koliko ih je u pribrojniku koji ih ima najmanje. Primjerice: = 58 (ne 58.3) = (ne ili ). Razlog za ovo je jasniji primijetimo li da je = , dakle on ima jednu sigurnu dekadu (u ovom zapisu decimalu) više nego drugi pribrojnik. Kod množenja ili dijeljenja, rezultat treba imati isti broj dekadskih ili decimalnih jedinica kao onaj od uključenih brojeva koji ih ima manje. Primjerice: = (a ne ili ) Zaokruživanje Valja uočiti da u rezultatu decimale ne smiju biti samo odrezane, već broj mora biti pravilno zaokružen na sljedeći način: ako se prva odrezana znamenka nalazi u intervalu 0-4, znamenka ispred nje zaokruživanjem ostaje ista. ako se prva odrezana znamenka nalazi u intervalu 5-9, znamenka ispred nje zaokruživanjem se povećava za. 5

6 Kako računati? Ukoliko se račun, putem kojega iz mjerenih vrijednosti dobijamo konačni rezultat, sastoji iz više koraka (što je najčešće slučaj), pri čemu nastaje više međurezultata, tada u međurezultatima valja uvijek zadržati sve decimale koje nam daje računski instrument, a rezanje decimala i zaokruživanje obaviti tek kod konačnog rezultata, i to na osnovi broja sigurnih znamenaka u ulaznim veličinama. Na taj se način izbjegava povećanje nepouzdanosti konačnog rezultata uslijed višestrukog zaokruživanja tijekom računskog postupka. U konačnom rezultatu, dobijenom računskom obradom izmjerenih vrijednosti, uobičajeno se navode sve sigurne znamenke i još jedna koja je nesigurna. (Navođenje svake sljedeće nesigurne znamenke nema nikakvog smisla ako je već znamenka ispred nje nesigurna.) Taj rezultat najbolje je pisati u znanstvenom obliku, pri čemu srednja vrijednost i pripadna pogreška obvezno trebaju imati jednak broj znamenki nakon decimalnog zareza. Iznimka: ako je zadnja znamenka pogreške koju želimo ostaviti jednaka, a sljedeća bi trebala nestati zaokruživanjem. Tada ostavljamo i tu sljedeću znamenku, jer bi se zaokruživanjm napravila relativno velika razlika. Srednju vrijednost i pogrešku stavljamo u oble zagrade, a iza njih potenciju (red veličine) i mjernu jedinicu. Primjer zapisa obujama nekog tijela: V = (3. ± 0.) 0 3 m 3 6

7 3. RAČUN POGREŠAKA Nema savršenog mjerenja, pa je svaki mjerni rezultat više ili manje netočan, tj. više ili manje odstupa od (prave) vrijednosti mjerne veličine (ili je slučajno jednak pravoj vrijednosti, ali mi to ne možemo saznati). Pri mjerenju neke fizikalne veličine javljaju se neizbježno pogreške. Pogrešaka imamo tri vrste; Sistematske pogreške, Slučajne pogreške, Grube pogreške. Sistematske pogreške Sistematske pogreške prouzročene su poznatim uzrocima i u načelu mogu biti uklonjene. Pogreške ovog tipa rezultiraju izmjerenim vrijednostima koje su konzistentno previsoke ili pak preniske. Dijelimo ih u 4 vrste prema uzroku. Instrument: Loše baždaren instrument, npr. termometar koji pokazuje 0 C u kipućoj, a C u zaleđenoj vodi pri normiranom atmosferskom tlaku. Takav instrument pokazivat će izmjerene vrijednosti koje su konzistentno previsoke. Opažač: Primjerice očitavanje skale metra pod nekim kutom. Okolina: Primjerice pad napona u gradskoj mreži uslijed kojeg će izmjerene struje biti stalno preniske. Teorija: Uslijed pojednostavljenja modela ili aproksimacija u jednadžbama koje ga opisuju. Primjerice, ako prema teoriji temperatura okoline ne utječe na očitanja, a u stvarnosti utječe, taj će faktor predstavljati izvor pogreške. Slučajne pogreške Slučajne pogreške su pozitivne i negativne fluktuacije koje čine otprilike polovinu mjerenih vrijednosti preniskim, a polovinu previsokim. Uzroci slučajnih pogreški ne mogu uvijek biti identificirani. Mogući uzroci su sljedeći: Opažač: Primjerice, greška u prosudbi opažača kad očitava vrijednosti na najmanjem podjeljku skale. Okolina: Primjerice, nepredvidivo kolebanje mrežnog napona, temperature ili mehaničkih vibracija uređaja. Za razliku od sistematskih, slučajne pogreške mogu biti obrađene statističkom analizom te na taj način obično može odrediti koliki je utjecaj ovih pogreški na fizikalnu veličinu. Kao primjer za razliku između sistematskih i slučajnih pogrešaka možemo uzeti uporabu zapornog sata za mjerenje trajanja 0 titraja nekog njihala. Jedan od uzroka pogreške bit će vrijeme reagiranja opažača. Kod jednog mjerenja možemo slučajno početi prerano a stati prekasno, kod drugog obrnuto. To su slučajne pogreške ako su obje situacije jednako vjerojatne. Ponovljena mjerenja daju seriju rezultata koji se malo međusobno razlikuju. Oni na slučajan način odstupaju od srednje vrijednosti. Ako je nazočna i sistematska pogreška, npr. ako zaporni sat ne počinje od nule, rezultati će na slučajan način odstupati ne od srednje, već od neke pomaknute vrijednosti. Grube pogreške Gruba pogreška nema veze ni s jednim od gore navedenih čimbenika, već je rezultat grubog, subjektivno uvjetovanog propusta u mjernom postupku. Opažač može zabilježiti krivu vrijednost, krivo očitati sa skale, zaboraviti znamenku prilikom očitavanja sa skale ili učiniti drugi sličan propust. Rezultati s ovakvim pogreškama trebali bi vidljivo odskakati od ostalih, ako je učinjeno više mjerenja ili ako jedna osoba provjerava rad druge. Oni se ne bi smjeli uključiti u analizu podataka. 7

8 Srednja vrijednost je broj koji će predstavljati rezultat našeg mjerenja u slučajevima kad smo izvršili više uzastopnih, nezavisnih mjerenja iste veličine. Označimo tu veličinu sa, broj mjerenja sa n. Tako se dobija distribucija mjerenja (,, 3,..., n ). Ovo razmatranje ima smisla uz pretpostavku da su pogreške nastale u mjernom postupku isključivo slučajne prirode. Računanje srednje vrijednosti provodi se po formuli: = n i= Taj broj ne možemo smatrati pravim iznosom tražene veličine.to je samo najbolja aproksimacija tog iznosa koja se može dobiti iz određene serije mjerenja, uz pretpostavku da su pogreške nastale u mjernom postupku isključivo slučajne prirode. Mjera za disperziju rezultata oko srednje vrijednosti dana je iznosom standardne devijacije: n i σ = n i= ( ) i n Ova formula rezultat je teorijskih razmatranja. Za veliki n (>5) obično se umjesto n u nazivniku stavlja n. Standardna devijacija predstavlja točnost s kojom je izvršeno pojedino mjerenje. Što je ona manja, za niz mjerenja kažemo da je točniji. Prema teoriji vjerojatnosti, za veliki broj mjerenja čije vrijednosti variraju prema načelu slučajnosti, približno 68% rezultata bit će unutar intervala polumjera σ oko srednje vrijednosti, 95% rezultata nalazit će se unutar polumjera σ, a 99% unutar polumjera 3σ. Dakle, unutar intervala ± 3σ nalaze se praktički sve pogreške mjerenja. Konačni rezultat bilježimo u obliku: = ± σ pri čemu je σ standardno odstupanje ili standardna devijacija aritmetičke sredine: σ = n i= ( ) i n ( n ) Ova se formula dobija primjenom formule za pogreške izvedenih veličina ako shvatimo aritmetičku sredinu kao funkciju od n pojedinačnih mjerenja (,, 3,..., n ) od kojih je svako određeno s vlastitom pogreškom jednakoj standardnoj devijaciji σ. 8

9 Neka su podaci mjerenja: MJERENJE I NEODREĐENOST a, a, a 3,...a n Tu slovo n znači koliki broj mjerenja smo obavili. Srednja vrijednost (aritmetička sredina) Srednju vrijednost dobijemo tako da zbrojimo sva mjerenja i podijelimo s brojem mjerenja: a + a + a an a = n Maksimalna apsolutna pogreška Odstupanje (po apsolutnoj vrijednosti) pojedinog mjernja od srednje vrijednosti a nazivamo apsolutnom pogreškom i bilježimo kao: a a n = a n Apsolutna vrijednost najvećeg odstupanja od srednje vrijednosti naziva se maksimalna apsolutna pogreška i bilježi kao a m. Rezultat mjerenja tada zapisujemo kao: a = a ± a m To znači da se prava vrijednost a nalazi između vrijednosti: a + a m i a a m. Rezultat mjerenja zapisujemo tako da, uz sigurne znamenke, zadržavamo samo jednu nesigurnu znamenku. Maksimalna relativna pogreška Kad bismo htjeli procijeniti koliko je neki rezultat mjerenja točan tada nam je potrebno usporediti apsolutnu maksimalnu pogrešku sa srednjom vrijednosti. To se postiže uvođenjem relativne pogreške. Ona se definira kao omjer apsolutne maksimalne i srednje vrijednosti pomnoženom sa 00 i iskazuje se postotkom: r a a m m = 00% U konačnom rezultatu, dobijenom računskom obradom izmjerenih vrijednosti, uobičajeno se navode sve sigurne znamenke i još jedna koja je nesigurna. Navođenje svake sljedeće nesigurne znamenke nema nikakvog smisla ako je već znamenka ispred nje nesigurna. Taj rezultat najbolje je pisati u znanstvenom obliku, pri čemu srednja vrijednost i pripadna pogreška obvezno trebaju imati jednak broj znamenki nakon decimalnog zareza. Srednju vrijednost i pogrešku stavljamo u oble zagrade, a iza njih potenciju (red veličine) i mjernu jedinicu. Primjer: V = (3. ± 0.3) 0 3 m V rel. maks. = 00% = 9.4% 3. To znači da se izmjereni obujam može nalaziti u danom intervalu vrjednosti od m 3 do m 3. Maksimalna relativna pogreška nam govori o točnosti mjerenja. Iznimka: ako je zadnja znamenka pogreške koju želimo ostaviti jednaka, a sljedeća bi trebala nestati zaokruživanjem. Tada ostavljamo i tu sljedeću znamenku, jer bi se zaokruživanjm napravila relativno velika razlika. Primjerice: I = (.6 ± 0.4) 0 A 9 a a m. a + a m. a

10 POGREŠKE IZVEDENIH VELIČINA Pretpostavimo da nas zanima neka fizikalna veličina y koju ne možemo izmjeriti izravno, ali možemo nezavisno izmjeriti veličine,, 3,..., n koje su s njom funkcijski povezane na nama poznat način, te je iz njih izračunati. Zato takvu veličinu nazivamo izvedena veličina. Primjerice računanje površine pravokutnika A iz mjerenja duljine njegovih stranica a i b. Svaku od mjerenih veličina dobijamo kao srednju vrijednost s pripadnom pogreškom, te iz toga računamo srednju vrijednost i pogrešku izvedene veličine. Primjer: Izračunajte površinu stola A = a b, ako mjerite stranicu a i b. b A ± A = ( a ± a m ) ( b ± b m ) I. način: Apsolutna pogreška je: A A = ( A ) ma Amin : A = a b : Arel. = 00% A II. način: Radi jednostavnijeg zapisa kod računa ispuštamo povlaku nad a i b i indeks m. A ± A = (a ± a) (b ± b) = a b ± a b ± b a ± a b Produkt a b možemo zanemariti prema ostalim članovima, jer su to male vrijednosti te je i njihov produkt još manji, pa neznatno utječe na rezultat. A ± A = a b ± (a b + b a) Pritom je maksimalna apsolutna pogreška za površinu: A = a b + b a Srednja vrijednost površine je: A = a b Relativna pogreška iznosi: a A rel. A = 00% A Kod množenja i dijeljenja relativne se pogreške zbrajaju!!!!! 0

11 UTJECAJ POGREŠAKA IZMJERENIH VELIČINA NA IZVEDENE VELIČINE Pri mnogim mjerenjima neće nam biti dovoljno da neposredno izmjerimo jednu ili više veličina. Često ćemo rezultat y izračunati tek pomoću izmjerenih veličina primjerice i. Neka su i veličine koje se mogu mjeriti, a veličina y se pomoću njih izračunava. Veličine se mogu zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti itd. Kako se iz pojedinih pogrešaka dobiva rezultantna pogreška predočeno je u tabeli: FIZIKALNA VELIČINA y = y ( i ) MAKSIMALNA APSOLUTNA POGREŠKA y = + y = + y rel = y = y = + y rel = y = n y = n y rel = y = y = + y rel = y = 3 y = y rel = y = + y = MAKSIMALNA RELATIVNA POGREŠKA + y rel = y = n y = n n- y rel = n y = y = y rel = y = /n ( n) / n y = y rel = n n y = ln y = y rel = ln 3 + y = log y = M y rel = M log gdje je M = 0,4349 y = sin y = cos y rel = ctg y = cos y = sin y rel = tg y = tg y = y = ctg y = cos sin y rel = y rel = sin sin Kada je računska operacija iz koje moramo odrediti pogrešku kombinacija operacija navedenih u tabeli, pogrešku izračunavamo njihovom postupnom primjenom! 3

12 Primjer Odredite pogrešku za put kod jednoliko ubrzanog gibanja s početnom brzinom ako smo izmjerili v 0, t i a. Put je dan jednadžbom: Prema retku. iz tabele: s = v 0 t + a t s = (v 0 t) + ( a t ) gdje su članovi: Prema retcima 3. 4: (v 0 t) = t v 0 + v 0 t ( a t ) = t a + a t tj. ( a t ) = t a + a t t Prema tomu za apsolutnu pogrešku puta dobijemo: s = t v 0 + v 0 t + t a + a t t GRAFIČKO PRIKAZIVANJE EKSPERIMENTALNIH PODATAKA Cilj mnogih pokusa je pronalaženje ovisnosti među izmjerenim veličinama. To se može postići grafičkim prikazivanjem dobijenih rezultata. Pretpostavimo da smo u našem pokusu mijenjali neku fizikalnu veličinu i time uzrokovali promjenu neke druge, o njoj zavisne, fizikalne veličine y. Na taj način dobijaju se parovi mjerenih vrijednosti ( i, y i ) koje onda kao točke u pogodnom mjerilu ucrtavamo u koordinatni sustav. Pritom valja slijediti ove upute: Nacrtati graf na papiru dovoljne veličine, kako točke ne bi bile suviše sabijene jedna uz drugu. Naime, iz sabijenog grafa možda neće biti sasvim uočljiv karakter ovisnosti među izmjerenim veličinama, npr. možemo segment parabole proglasiti pravcem ili obratno. Uz graf se treba nalaziti vrlo kratki opis (nekoliko riječi), u kojem će biti naznačeno o kojim se veličinama radi, te eventualno podaci o ostalim parametrima i uvjetima vezanim uz nacrtanu seriju mjerenja. Nezavisna varijabla (veličina koju vršitelj pokusa može neposredno podešavati po svojoj volji) ucrtava se duž apscisne osi (-os), a zavisna (ona koja se tijekom pokusa mijenja uslijed promjena nezavisne varijable) ucrtava se duž ordinatne osi (y-os). Uz krajeve svake osi označiti veličinu koja joj je pridružena, te jedinice u kojima je os baždarena (npr. t/s je vrijeme u sekundama). Ako smo os baždarili u jedinicama koje su decimalni dijelovi ili pak dekadski višekratnici dotične veličine, to također valja naznačiti (npr. B/0 5 T znači da podjeljak skale duljine na osi predstavlja promjenu magnetnog polja B za 0 5 T). Veličine moraju moraju obvezno biti izražene u jedinicama međunarodnog sustava (SI), pri čemu je dozvoljeno koristiti predmetke (npr. mm, hpa itd.) Svaku os izbaždariti tako da nakon ucrtavanja točaka ne ostane previše praznog prostora ni u jednom smjeru. Primjerice, ako nam se vrijednosti veličine prikazane na osi nalaze u rasponu od 0. do 0.8, tada je zgodno odabrati skalu koja ide od 0 do.0; ako

13 bi stavili primjerice od 0 do.0, ostalo bi nam previše praznog prostora. Svaku os valja početi od 0 ukoliko je to moguće, tj. ukoliko najmanja vrijednost na nekoj osi nije puno veća od raspona između najmanje i najveće vrijednosti. Ucrtati pravac (ili glatku krivulju) koja najbolje odgovara eksperimentalnim točkama, naznačivši parametre ovisnosti dobijene računom (kompjutorski ili "pješice"). 3

14 Grafički prikaz omogučava nam uočavanje međusobne ovisnosti mjerenih veličina. Primjer Tijelo pustimo kliziti niz kosinu. Hoćemo naći odnos prijeđenog puta s i vremena t. Mjerenja su prikazana tabelom: s / cm t / s 0,,0,,5 40,6,0 6,5,5 88,8 3,0 3,7 3,5 60,0 4,0 Unesimo podatke mjerenja u graf. Na os apscisa nanosimo vrijeme - nezavisno promjenjljivu veličinu, a na oordinatnu os put - zavisno promjenjljivu veličinu. Veličina djelova skale na jednoj i drugoj osi ne mora biti jednaka, ali brojčane vrijednosti moraju biti tako odabrane da se svi podaci mogu prikazati. Osi moraju biti obilježene simbolom pripadne veličine i mjernom jedinicom koja se piše iza kose crte; Primjerice put iskazan u centimetrima s/cm. Podatke na grafu prikazujemo točkama koje tada okružimo primjerice kružićima. Kod crtanja ne spajamo točke ravnom crtom već nastojimo pogoditi matematičku ovisnost, te krivulju (ili pravac) povlačimo tako da je podjednaki broj točaka (kružića) iznad i ispod krivulje. Zbog toga neće sve točke ležati na krivulji! Pogledajte crtže dolje! 60 put s /cm vrijeme t /s put s /cm a s = t vrijeme t /s

15 Ispitujući eksperimentalnu krivulju teško je sa sigurnošću uočiti identitet te krivulje (parabola, hiperbola itd) osim kada je grafički prikaz pravac. Pravac je jedini pouzdan ključ u analizi grafičkog prikaza jer se on jedini može sa sigurnošću prepoznati. Zbog toga, u analizi grafa treba eksperimentalne podatke unositi u takav graf da se dobije pravac. Unesimo naše podatke u graf koji na osima ima odabrano put s i kvadrat vremena t. Dobili smo pravac pa sa sigurnošću možemo reći da je put proporcionalan kvadratu vremena: s t To je dakle jednoliko ubrzano gibanje za koje vrijedi: a s = t gdje je a akceleracija. s / cm t / s t /s 0,,0,00,,5,5 40,6,0 4,00 6,5, ,8 3, ,7 3,5,5 60,0 4,0 6,00 60 put s /cm t = 4 = s = 40 0 = vrijeme t /s Iz nagiba grafa možemo odrediti akceleraciju kojom se tijelo gibalo. Kako to učiniti? Jednadžba pravca je y = k, gdje je k nagib pravca prema apscisnoj osi. Usporedimo li izraze: i s = a t y = k Vidimo da je nagib pravca k = a a = k. Da nađemo nagib našeg pravca odaberimo na grafu dvije udaljene točke A i B koje možemo lako očitati i na apscisi i na oordinati. Primjerice : točka A (, 0) i B (4, 40). Iz navedenog proizlazi: s 0 cm k = = = 0 cm/s t s pa je a = k = 0 = 0 cm/s. Tako smo došli do podatka za akceleraciju tijela tj. veličinu koju nismo mogli izravno mjeriti. 5

16 Nadopunite tabelu! Na preciznoj vagi važete tijelo i zapisujete njegovu masu u tabelu: masa m /kg srednja vrijednost m srednja /kg apsolutna pogreška m / kg zapis rezultata: m = (m sr. ± m maks. ) relativna pogreška masa m /kg srednja vrijednost m srednja /kg 0,658 apsolutna pogreška m / kg m m sr zapis rezultata: m = (m sr. ± m maks. ) m = (0.658 ± 0.008) kg relativna pogreška 4.06 % Koliko sigurnih znamenaka imaju brojevi: a) 5 b) 8.50 c) 5.05 d) 0.05 e) f) 34 g) 6500 R: Koliko sigurnih znamenaka imaju brojevi: a) 3 b) 4 c) 3 d) e) f) 4 g) 6

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

pomoću tih sedam osnovnih veličina. Izvedene veličine imaju izvedene jedinice. Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak

pomoću tih sedam osnovnih veličina. Izvedene veličine imaju izvedene jedinice. Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak 1. Mjerne jedinice 1. lekcija Fizika je prirodna znanost koja opisuje tvari, energiju, prostor, vrijeme i interakcije na sasvim fundamentalnom nivou. Fizičari proučavaju pojave, stanja i zbivanja, te traže

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI

PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Odjel za fiziku Odjel za kemiju Sveučilišni preddiplomski studij kemije, godina PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI Pripremili: izv. prof. dr. sc. Branko

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα