PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI

Transcript

1 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Odjel za fiziku Odjel za kemiju Sveučilišni preddiplomski studij kemije, godina PRAKTIKUM FIZIKE SKRIPTA IZ LABORATORIJSKIH VJEŽBI Pripremili: izv. prof. dr. sc. Branko Vuković dr. sc. Maja Varga Igor Miklavčić, pred. Osijek, prosinac

2 PREDGOVOR Kemija i fizika dva su različita znanstvena polja prirodnih znanosti koje proučavaju tvari, ali im se razlikuju pristup i opseg istraživanja. U nekim područjima kemija i fizika toliko su isprepletene da je teško razdvojiti pojedine uloge (fizička kemija, kemijska fizika, spektroskopija, kristalografija, nanotehnologija, ). Često se stoga radi u timovima različitih stručnjaka kako bi jedni nadopunjavali druge. Iako se studenti kemije i fizike razlikuju u svom načinu provoñenja studija, razmišljanju i proučavanju prirode, nema dobrog kemičara bez poznavanja fizike kao ni dobrog fizičara bez poznavanja kemije. Često je potrebno razvijati i dodatne vještine (matematičke, informatičke, ). Praktikum fizike u potpunosti se izvodi na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Osijeku i namijenjen je studentima druge godine preddiplomskog studija kemije s Odjela za kemiju. Za razvijanje fizikalnog pogleda na svijet neophodan je i eksperimentalni rad. U praktikumu fizike studenti sami izvode 0 odabranih laboratorijskih vježbi, uz nadzor predavača. Vježbe su izabrane tako da pokrivaju sva četiri, uvriježena, područja iz osnova fizike: klasične mehanike, termodinamike, elektrodinamike te valova i optike, a čiju su teorijsku podlogu studenti slušali na prvoj i drugoj godini preddiplomskog studija kemije. Skripta je tijekom godina rada sa studentima više puta dorañivana i autori se zahvaljuju svima na ispravljanju pojedinih pogrešaka u tekstu. Skripta je prije svega namijenjena studentima kemije, ali može biti korisna i studentima ostalih srodnih studija. - -

3 PRAKTIKUM FIZIKE Popis laboratorijskih vježbi za studente s Odjela za kemiju Uvodni dio: SI sustav Zapis brojeva Grafički prikaz rezultata mjerenja Primjeri za vježbu Način pisanja izvještaja Vježba :...5. Osnovna mjerenja u fizici Vježba :.. Proučavanje helikoidalne zavojnice.. Odreñivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom.3. Odreñivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom Vježba 3: 3.. Matematičko njihalo 3.. Fizikalno njihalo Vježba 4: 4.. Odreñivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena 4.3. Odreñivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom Vježba 5: 5.. Širenje vala izmeñu dva nepomična kraja 5.. Odreñivanje brzine zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi Vježba 6: 6.. Ohmov zakon 6. Ovisnost električnog otpora o dimenzijama vodiča i materijalu od kojeg su načinjeni 6.3. Mjerenje otpora električnih žarulja u ovisnosti o jakosti struje Vježba 7: 7.. Odreñivanje specifičnog toplinskog kapaciteta petroleja 7.. Pravilo smjese 7.3. Odreñivanje latentne topline taljenja leda Vježba 8: 8.. Provjeravanje jednadžbe stanja idealnog plina 8.. Toplinsko širenje čvrstih tijela i tekućina Vježba 9: 9.. Odreñivanje specifičnog naboja elektrona 9.. Balmerova serija i odreñivanje Rydbergove konstante Vježba 0: 0.. Odreñivanje indeksa loma stakla i vode 0.. Odreñivanje žarišne daljine leće 0.3. Odreñivanje pomaka zraka svjetlosti na planparalelnoj ploči 0.3. Odreñivanje kuta devijacije na prizmi - -

4 Uvodni dio MEðUNARODNI SUSTAV MJERNIH JEDINICA Osnovne SI jedinice Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Duljina metar m Masa kilogram kg Vrijeme sekunda s Jakost električne struje amper (ampere) A Termodinamička temperatura kelvin K Količina tvari mol mol Svjetlosna jakost kandela (candela) cd Metar je duljina koja odgovara putu što ga prijeñe svjetlost u vakuumu za vrijeme od / s. Prototip kg je valjak visine 39 mm i promjera 39 mm, načinjen od legure platine (90 %) i iridija (0 %), a čuva se u Meñunarodnom uredu za težine i mjere (Bureau International des Poids et Mesures) u Sèvresu, Francuska. Jedna sekunda je trajanje perioda zračenja koje odgovara prijelazu izmeñu dvaju hiperfinih nivoa (F = 4, m F = 0 i F = 3, m F = 0) osnovnog stanja atoma cezija 33 ( 33 Cs). Period definiramo kao vrijeme potrebno da svjetlost prevali put koji odgovara jednoj valnoj duljini. Jedan amper je jakost stalne električne struje koja se održava u dvama paralelnim, ravnim, beskonačno dugačkim vodičima zanemarivo malog kružnog presjeka, koji se nalaze u vakuumu i meñusobno su razmaknuti za metar, i u tim uvjetima uzrokuju meñu vodičima silu od 0-7 njutna po metru duljine

5 Jedan kelvin je jedinica termodinamičke temperature koja je jednaka /73,6 dijelu termodinamičke temperature trojne točke vode. Trojna točka vode je ona vrijednost temperature i tlaka kod koje voda može postojati u sva tri agregatna stanja. Jedinica je dobila naziv po engleskom znanstveniku sir W. Thompsonu, Lord Kelvin ( ). Mol je količina tvari onog sustava koji sadrži toliko elementarnih jedinki tvari koliko ima atoma u 0,0 kg izotopa ugljika ( C). Elementarne jedinke uvijek moraju biti specificirane i mogu biti atomi, molekule, ioni, elektroni, neke druge čestice ili odreñene grupe čestica. U jednom molu (0,0 kg) izotopa ugljika ima 6, atoma (Avogadrov broj). Kandela je svjetlosna jakost, u danom smjeru, koju emitira izvor monokromatskog zračenja frekvencije Hz i čiji intenzitet zračenja u tom smjeru iznosi /683 vati po steradijanu. Dopunske SI jedinice Fizička veličina Naziv Oznaka Definicija Kut radijan rad m m - def? Prostorni kut steradijan sr m m

6 Izvedene SI jedinice s posebnim imenom Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Definicija Frekvencija herc (hertz) Hz s - Sila njutn (newton) N m kg s - Tlak paskal (pascal) Pa N m - Energija džul (joule) J N m Snaga vat (watt) W J s - Količina elektriciteta kulon (coulomb) C s A Električni napon volt V W A - Električni kapacitet farad F C V - Električni otpor om (ohm) Ω V A - Električna vodljivost simens (siemens) S A V - Magnetski tok veber (weber) Wb V s Magnetska indukcija tesla T Wb m - Induktivnost henri (henry) H Wb A - Celsiusova temperatura stupanj Celsiusov C K Svjetlosni tok lumen lm cd sr Osvijetljenost luks (lux) lx lm m - Aktivnost radionuklida bekerel (bequerel) Bq s - Apsorpcijska doza grej (gray) Gy J kg - Dozni ekvivalent sievert Sv J kg

7 Izvedene SI jedinice Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Površina kvadratni metar m Volumen kubični metar m 3 Brzina metar u sekundi m s - Ubrzanje metar u sekundi na kvadrat m s - Gustoća kilogram po kubičnom metru kg m -3 Specifični volumen kubični metar po kilogramu m 3 kg - Gustoća struje amper po kvadratnom metru A m - Jakost magnetskog polja amper po metru A m - Koncentracija mol po kubičnom metru mol m -3 Luminancija kandela po kvadratnom metru cd m - Dinamička viskoznost paskal sekunda Pa s Moment sile njutn metar N m Površinska napetost njutn po metru N m - Gustoća toplinskog toka vat po kvadratnom metru W m - Toplinski kapacitet džul po kelvinu J K - Specifčni toplinski kapacitet džul po kilogramu i kelvinu J kg - K - Jakost električnog polja volt po metru V m - Molarna energija džul po molu J mol - Molarni toplinski kapacitet džul po molu i kelvinu J mol - K - Apsorbirana doza zračenja grej po sekundi Gy s - Kutna brzina radijan po sekundi rad s - Kutna akceleracija radijan po sekundi na kvadrat rad s

8 Dopuštene jedinice izvan SI Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Definicija Duljina morska milja - 85 m Masa karat - 0,000 kg tona t 000 kg Volumen litra l, L,00008 dm 3 Vrijeme sat h s minuta min 60 s Brzina čvor - milja h - Tlak bar bar Pa Energija elektronvolt ev, J Prefiksi SI jedinica Faktor Prefiks Oznaka Faktor Prefiks Oznaka 0 8 eksa E 0 - deci d 0 5 peta P 0 - centi c 0 tera T 0-3 mili m 0 9 giga G 0-6 mikro µ 0 6 mega M 0-9 nano n 0 3 kilo k 0 - piko p 0 hekto h 0-5 femto f 0 deka da 0-8 ato a - 7 -

9 ZAPIS BROJEVA Ispis brojeva je obično jednostavan postupak, no u fizici nailazimo na brojeve koji su toliko mali ili pak toliko veliki da to često postaje nezgodno pisati. Npr. bilo bi potrebno zbrojiti mase oko bakterija da bismo dobili masu čovjeka. U vrijeme kad je fizičar Thomas Young otkrio da je svjetlost val, nije bilo znanstvene notacije, tako da je morao pisati da je vrijeme potrebno za jednu vibraciju vala /500 milijuntog dijela od milijuntog dijela sekunde. Znanstveni zapis brojeva je praktičan i uobičajen način zapisivanja vrlo velikih i vrlo malih brojeva. Znanstveni zapis podrazumijeva pisanje broja u obliku umnoška broja i neke potencije broja 0. npr. 3 = 3, = 3, = 3, 0 Broj zapisuje se kao 0 0, 0, kao 0 itd. Negativni eksponenti koriste se za male brojeve: 3, = 3, 0 0,3 = 3, 0 = 0 0,03 3, 0... Većina računala i kalkulatora ispisat će brojeve kako slijedi: 9,E 3 = 9, 0 3, E6 = 3, 0 Broj ispred E naziva se mantisa, a broj iza E potencija. 6 3 Pouzdane znamenke Teorija pouzdanih (sigurnih, signifikantnih) znamenki bavi se pouzdanošću znamenki brojeva koje bilježimo. Ako smo mjerenjem ustanovili da je visina neke osobe 75 cm, to znači da smo sigurni za i 7 te da 5 bolje odgovara nego 4 ili 6; dakle, sve tri su pouzdane znamenke. Pouzdana znamenka predstavlja broj čiji iznos je potvrñen pouzdanim mjerenjem

10 Broj pouzdanih znamenki zabilježen mjerenjem ovisi djelomice o mjernom ureñaju, a djelomice o tome što mjerimo. Ako objekt kojeg mjerimo nema dobro definirane krajeve, tada mjerenje može samo po sebi biti nepouzdanije od najmanjeg podjeljka mjernog instrumenta. Primjer za ovo je mjerenje duljine podlaktice. Sličan problem susrećemo npr. kad pomičnom mjerkom odreñujemo dimenzije predmeta čiji se rubovi pod pritiskom lako deformiraju, ili kad zadnja znamenka na nekom digitalnom mjernom instrumentu stalno oscilira. Sve su to slučajevi kad treba pažljivo ocijeniti pouzdanost mjerenja, te u skladu s time odrediti kako ćemo bilježiti očitanje. Ako mjerimo s pouzdanošću do na centimetar (metar koji ima najmanje podjeljke u centimetrima), ne smijemo zabilježiti mjerni rezultat kao 35, cm jer bi to značilo da je mjerenje pouzdano do na stotinku centimetra. Zato moramo rezultat zabilježiti kao 35, cm pri čemu smo 0, cm procijenili. Svako mjerenje koje obavljamo mora imati prikladan broj pouzdanih znamenki. Nema smisla bilježiti mnogo znamenki koje nisu pouzdane. Upute za računanje: Nakon izvršenog mjerenja moramo izračunati traženu veličinu. Numerički računamo ili pomoću logaritamskih tablica ili računalom (kalkulatorom). Pri obradi rezultata mjerenja uvijek se radi o brojevima ograničene točnosti. Ako je neki broj zadan, npr. na tri decimale, kažemo da je njegova netočnost 0 3, ako je to broj sa četiri decimale, netočnost je 0 4. U prvom slučaju uzima se kao netočnost 0 3 zbog toga što najveća pogreška koja se pri skraćenom pisanju brojeva može dogoditi iznosi pet jedinica sljedećeg mjesta. To znači da za broj sa 3 decimale najveća pogreška iznosi 5 0 4, odnosno 0 3. Uzmimo, na primjer, da treba pomnožiti broj 9,346 brojem 34,. Već sam način pisanja tih brojeva upućuje nas da je u prvom broju procijenjena peta znamenka (ali svih pet znamenki su pouzdane), a u drugom broju treća. Prema tome, nema nikakvog smisla izračunavati umnožak na više od tri pouzdane znamenke jer drugi broj ima tri pouzdane znamenke (u krajnjem rezultatu se uvijek uzima broj pouzdanih znamenaka koje ima broj s manjim brojem pouzdanih znamenaka). Već u toku računanja zanemarit ćemo četvrtu znamenku i rezultat izraziti ovako: 9,346 34, =

11 Ali ne ovako: 9,346 34, = 38,5866 Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili preveliku grešku zaokruživanja. Upamtimo, dakle, da je posljednja znamenka u brojevima koji su dobiveni mjerenjem uvijek procijenjena. Prema tome, pri izražavanju rezultata mjerenja potrebno je da pretposljednja znamenka bude očitana, a posljednja znamenka procijenjena. Tako, npr. pri očitavanju skale nekog instrumenta pretposljednja znamenka dana je crticom skale, a posljednja vrijednošću koju ocjenjujemo. Uzmimo, na primjer da je skala nekog termometra razdijeljena na 0, ºC, pa očitamo temperaturu,65 ºC; to znači da smo na skali očitali,6 crtica, a razmak izmeñu,6 ºC i,7 ºC procijenili na 0,05 ºC. Ako bi se stupac žive u termometru podudarao sa,6 crtica skale, ne bismo ga izrazili kao,6 ºC, nego kao,60 ºC, jer bi u prvom slučaju značilo da je skala podijeljena na cjelobrojne stupnjeve, a ne na 0, ºC. Analogno, nema smisla rezultat izraziti kao,600 ºC, jer bi to značilo da je skala podijeljena na 0,0 ºC. Pri računanju s brojevima različitih redova veličina izražavamo te brojeve pomoću potencija broja 0. Iskustvo, naime, pokazuje da su tada individualne pogreške pri računanju manje. Prema tome, piše se ovako: 3 0, ,7 3,85 0,37 0 = 75,,75 0. Da bismo izbjegli pogreške pri računanju, moramo usvojiti neke metode kontrole. Bitne su ovdje dvije metode:. u svakom računu treba provjeriti, računajući napamet, odgovara li red veličine rezultatu. račun provesti još jednom na drugi način. U navedenom primjeru takva su dva načina da se jednom pomnože oba faktora brojnika i produkt podijeli nazivnikom i kvocijent pomnoži drugim faktorom

12 GRAFIČKO PRIKAZIVANJE REZULTATA MJERENJA Grafičko prikazivanje vrlo je važan način prikazivanja rezultata mjerenja. Kako je cilj mnogih pokusa pronalaženje ovisnosti meñu mjerenim veličinama, iz grafa se to zorno može vidjeti. No može nam poslužiti i kao provjera uspješnosti mjerenja ako nam je odnos izmeñu veličina poznat. Pretpostavimo da smo u našem pokusu mijenjali neku fizikalnu veličinu x i time uzrokovali promjenu druge, o njoj zavisne, fizikalne veličine y, te time dobili niz parova točaka (x i, y i ). Te parove točaka zatim u pogodnom mjerilu ucrtavamo u koordinatni sustav, ali pri tome treba slijediti slijedeće upute:. Nacrtati graf na milimetarskom papiru dovoljne veličine, kako točke ne bi bile suviše sabijene jedna uz drugu. Naime, iz sabijenog grafa možda neće biti sasvim uočljiv karakter ovisnosti izmjerenih veličina.. Uz graf se treba nalaziti vrlo kratki opis (nekoliko riječi), u kojem će biti naznačeno o kojim se veličinama radi, te eventualno podaci o ostalim parametrima i uvjetima vezanim za ucrtanu seriju mjerenja. 3. Nezavisna varijabla (veličina koju vršitelj pokusa može neposredno podešavati po svojoj volji i koju preciznije mjerimo) ucrtava se duž osi apscise (x osi), a zavisna (ona koja se tijekom pokusa mijenja uslijed promjena nezavisne varijable) ucrtava se duž osi ordinate (y osi). 4. Uz krajeve svake osi označiti veličinu koja joj je pridružena, te jedinice u kojima je os baždarena u uglatim zagradama (na primjer t [s] je vrijeme u sekundama). Ako smo os baždarili u jedinicama koje su decimalni dijelovi ili dekadski višekratnici dotične veličine, to takoñer treba naznačiti (na primjer B [0-5 T]). Veličine moraju obavezno biti naznačene u jedinicama meñunarodnog sustava (SI), pri čemu je dovoljno koristiti prefikse (na primjer cm, hpa,...). 5. Svaku os baždariti tako da nakon ucrtavanja točaka ne ostane previše praznog prostora ni u jednom smjeru. Svaku os treba početi od 0 ukoliko je to moguće, to jest ukoliko najmanja vrijednost na nekoj osi nije puno veća od raspona izmeñu najmanje i najveće vrijednosti. 6. Ucrtati pravac (ili glatku krivulju) koja najbolje odgovara eksperimentalnim točkama, naznačivši parametre ovisnosti dobivene računom. Kada crtamo graf neće sve točke ležati na krivulji, i zbog toga krivulju povlačimo nizom točaka tako da podjednaki broj točaka bude ispod i iznad krivulje. Čak i kada graf treba biti pravac, sve točke neće ležati na njemu, zbog neizbježnih pogrešaka u eksperimentalnom mjerenju. - -

13 7. Dijelovi skale na obje osi ne moraju biti jednaki, ali dijelovi skale na jednoj osi moraju. Skala mora biti takva da na jediničnoj mjeri mjerene veličine odgovara višekratnik broja,,... milimetara na grafu. 8. Mjerene podatke unosimo tako da točkom označimo položaj u koordinatnom sustavu, te oko svake nacrtamo kružić. Kada krivulja prolazi kroz točke dobivene mjerenjem, oznake tih točaka moraju biti jasno vidljive jer se po njima eksperimentalna krivulja razlikuje od teorijske. 9. Eksperimentalne podatke upisujemo u tablicu. Prednost grafičkog prikazivanja očituje se i u tome što se interpolacijom ili ekstrapolacijom mogu dobiti vrijednosti veličine y i za one vrijednosti x koje nisu izmjerene. No, dok interpolacija (točka izmeñu dviju mjerenih točaka) u pravilu daje ispravne vrijednosti, kod ekstrapolacije (protezanje grafa izvan područja mjerenih točaka) treba biti oprezan, jer uvijek postoji mogućnost da promatrana fizikalna pojava počinje odstupati od uočenoga ponašanja. Analiza linearnog grafa: Ako je iz grafa očito da postoji linearna ovisnost y = ax + b, zanimaju nas tada parametri a (koeficijent smjera pravca) i b (odsječak na osi ordinate). Za odreñivanje tih parametara moguće je primijeniti grafički postupak ili metodu najmanjih kvadrata. Grafički postupak: Prozirnim ravnalom povučemo odoka pravac koji najbolje prolazi kroz mjerene točke. Odredimo nagib tog pravca a i odsječak na ordinati b. Zatim povučemo ispod i iznad još dva pravca koji su u razumnu slaganju s mjerenim točkama. Na taj način procijenimo pogrešku parametara a i b. Takav je postupak podložan subjektivnoj procjeni, pa je uvijek poželjno primijeniti strožu matematičku metodu. Napomenimo da kod nagiba pravca treba razlikovati geometrijski od fizikalnog. Geometrijski nagib jednak je tangensu kuta izmeñu tog pravca i osi x, i to je broj. Fizikalni nagib je omjer y i x, to jest omjer prirasta veličina nanesenih na osima, pri čemu se koristimo skalom i jedinicama kako su odabrane na osima. Veličina koju odreñujemo iz nagiba pravca ima jedinicu koja je jednaka omjeru jedinica veličina na osima. - -

14 Metoda najmanjih kvadrata: Metoda najmanjih kvadrata je matematička metoda pomoću koje možemo zadanu funkciju aproksimirati drugom funkcijom odreñenog tipa globalno, tako da u odreñenom smislu njihova meñusobna udaljenost bude što manja, bez obzira na to što se funkcije možda neće poklapati niti u jednoj točki. Pretpostavimo da u mjerenom postupku dobijemo parove izmjerenih veličina (x i, y i ) tako da samo mijenjamo i bilježimo x i čime neizravno mijenjamo i vrijednosti y i. Ako izmeñu veličina postoji linearna ovisnost y = ax + b, tada bi n parova vrijednosti (x i, y i ), koje se ucrtavaju u koordinatni sustav, približno trebale ležati na pravcu čiju smo jednadžbu naveli. Pretpostavimo da izmeñu promatranih veličina postoji linearna ovisnost i da su sva odstupanja od pravca slučajne prirode. Nepoznate parametre pravca, a i b, možemo izračunati zahtijevajući da donja suma ima minimum. n (, ) = ( + ) S k l yi kxi l i= To se dogaña ako su njezine parcijalne derivacije po oba parametra jednake 0 (nužan uvjet): (, ) S k l k = 0, (, ) S k l l = 0-3 -

15 Uz te uvjete dobivamo sustav od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice: n i= i= ( ) yi kxi + l xi = 0 n ( ) yi kxi + l = 0, n n n yi xi k xi l xi i= i= i= n i i= i= = 0 n y k x nl = 0 koje daju izraze za najvjerojatnije vrijednosti koeficijenata a i b: n n n n x y x y xy x y k = = i i i i i= i= i= n n _ n x x x i x i i= i= n n n n n n xi yi xi xi yi yi a xi i= i= i= i= i= i= n n n n xi xi i= i= i l = = = y ax Napomena: Prije računanja pravca treba u grafu provjeriti ima li smisla linearna regresija i jesu li su podaci podjednako raspršeni. Rezultate sumiranja ne smije se zaokružiti jer pogreške zaokruživanja bitno utječu na razliku velikih sličnih brojeva. Važno je napomenuti da su oznake k i l za koeficijent smjera pravca i odsječak na osi apscisi proizvoljno odabrane te da se u literaturi mogu naći i drugačije oznake (a i b ili a i a 0 itd.). Nelinearni zakoni: Nakon što se mjerene točke unesu u graf, lako se uočava linearna ovisnost ako ona postoji. No, ako opazimo da veličina y nema linearnu ovisnost o x, moramo pokušati odrediti u kojoj je nelinearnoj ovisnosti riječ. Ako na osnovu poznavanja sličnih fizikalnih zakona očekujemo neku odreñenu nelinearnu ovisnost, onda uvoñenjem pomoćnih varijabli pokušamo mjerenu fizikalnu veličinu prikazati u linearnom grafu. U slučaju kada ne želimo nasumce isprobavati razne supstitucijske varijable, možemo iskoristiti pravilo logaritmiranja: - 4 -

16 Logaritamsko logaritamski grafovi Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = kx l, logaritmiranjem dobivamo linearnu ovisnost izmeñu log x i log y: log y = log k + l log x. Prikazivanje u log log grafu posebno je korisno kada nepoznati eksponent b nije cijeli broj, pa ga supstitucijom nije lako pogoditi. U log log grafu, l jednostavno odreñujemo kao koeficijent nagiba pravca koristeći se prije opisanim metodama. Logaritamsko - linearni grafovi Uz navedene nelinearne zakone u kojima fizikalnu veličinu potenciramo nekim brojem, u fizici se javljaju i bitno drugačiji nelinearni zakoni. Ako u log log grafu ne dobijemo pravac, možemo provjeriti takoñer čestu nelinearnu ovisnost, u kojoj se veličina x javlja kao eksponent. Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = ke lx, logaritmiranjem dobivamo linearni odnos varijabli x i log y: log y = log k + xl log e. Ako sada na apscisi nanosimo varijablu x, a na ordinati varijablu log y, nagib pravca dat će nam vrijednost za l log k, a odsječak na ordinati daje log k. Eksperimentalni podaci upisuju se u tablicu: t [s] s [m],3 0,7,6,,3,,7,5 3,, 4,0,9 Pretpostavljena ovisnost puta (s; os y) o vremenu (t; os x) je s=v t. Linearnom regresijom iz navedenih se podataka dobiva v = 0,6 ± 0, ms. ( ) s [m] 3 s-t graf t [s] Slika : Prikaz zapisa mjerenih veličina, grafa i zapisa konačnog rezultata - 5 -

17 PRIMJER ZA VJEŽBU: Za kuglicu koja se giba niz kosinu treba naći akceleraciju iz odnosa izmeñu puta s i vremena t. Mjerni podaci dani su u tablici. Treba odrediti aritmetičku sredinu i procijeniti maksimalnu relativnu pogrešku uz pretpostavku da je put mjeren pomoću ravnala s milimetarskom skalom, a vrijeme je mjereno zapornim satom s točnošću od stotinke sekunde. Takoñer, treba odrediti akceleraciju pomoću metode najmanjih kvadrata. Tablica: mjerenje s t jedinica cm s.,00,00. 55,00, ,00 3, ,00 4, ,00 4, ,00 5,00 Rješenje: mjerenje s t a jedinica cm s cm s -.,00,00 4,0. 55,00,00 7,5 3. 0,00 3,00 6, ,00 4,00 5, ,00 4,50 3, ,00 5,00 4,0 Aritmetička sredina: Treći stupac u gornjoj tablici predstavlja izračunatu akceleraciju za svaki izmjereni par s put vrijeme, a izračunata je po formuli a =. Aritmetičku sredinu dobijemo tako da t zbrojimo sve dobivene vrijednosti i podijelimo s brojem mjerenja (u našem slučaju, broj mjerenja je 6)

18 6 ai i= 4,00 + 7,50 + 6,67 + 5,00 + 3,70 + 4,00 a = = cm s = 5,5cm s Maksimalna relativna pogreška: Pogrešku ćemo procijeniti na način koji je opisan u knjizi Vježbe iz fizike, str.. Kako smo put mjerili ravnalom s milimetarskom skalom, desetinku milimetra mogli smo samo procijeniti, što znači da je najveća moguća relativna pogreška za put 0,05 cm. Slično, najveća moguća pogreška u odreñivanju vremena je tada t = 0,0005 s. Maksimalnu relativnu pogrešku akceleracije sada računamo: Kako je ( t ) = t t, vrijedi ( t ) s r = ( + ) s t s t r = ( + ) s t Kako naša mjerenja nisu provedena svaki puta u istim uvjetima (tj. putovi koje je tijelo prelazilo promatrani su za različita vremena), ne možemo računati ukupnu pogrešku akceleracije, nego samo pogrešku akceleracije za svaki pojedini par podataka. Tako će za par podataka (s =,00 cm, t =,00 s) relativna maksimalna pogreška biti 0,005cm 0,0005s r = ( + ) = 0,0083. cm s Za sljedeći par podataka (s = 55,00 cm, t =,00 s) vrijedit će i tako dalje. 0,005cm 0,0005s r = ( + ) = 0,008 55cm s - 7 -

19 Metoda najmanjih kvadrata: Metodu najmanjih kvadrata primjenjujemo ukoliko je veza izmeñu zavisne i nezavisne varijable linearna. U našem slučaju vrijedi s = at. Ukoliko t shvatimo kao nezavisnu, a s kao zavisnu varijablu, njihova će veza biti linearna, a koeficijent smjera pravce (k) bit će dan s k = a. Koeficijent smjera pravca računamo po formuli: xy x y k = x x U našem slučaju, varijablu x predstavlja kvadrat vremena ( t ), a varijablu y put (s), pa vrijedi: Tablica: k = t s t s ( t ) ( t ) s t t s t ( t ) mjerenje jedinica cm s s cm s s 4.,00,00,00,00,00. 55,00,00 4,00 0,00 6, ,00 3,00 9,00 080,00 8, ,00 4,00 6,00 300,00 56, ,00 4,50 0,5 4860,00 40, ,00 5,00 5, ,00 65,00-8 -

20 t t,00 + 0, , , , ,00 s = cm s = 8,00cm s 6,00 + 4,00 + 9,00 + 6,00 + 0, 5 + 5,00 = s =,54s 6, ,00 + 0, , , ,00 s = cm = 54,50cm 6, , , , , , 00 ( t ) = s = 3,5s ( t ) =,54,54s = 57, 9s 8,00 (,54 54, 40) k = cm s =,78cm s 3,5 57, Kako je k = a, vrijedi da je a - - = k =, 78cm s = 3,56cm s. Možemo za vježbu izračunati i l (odsječak na osi apscisi): l = y k x tj., u našem slučaju: l s k t = = = 54,50cm, 78,54cm 6, 78cm Dakle, jednadžba pravca glasi: y,78cm s - = x + 6,78cm - 9 -

21 Pisanje izvještaja: Izvještaji laboratorijskih vježbi se pišu u radnu bilježnicu, a predaju se na ocjenjivanje prije izvoñenja naredne vježbe u dogovoreno vrijeme s odgovarajućom naslovnom stranicom