Στοιχεία Θεωρίας Αναµονής (queueing theory) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωρίας Αναµονής -- N. Μήτρου

Transcript

1 Στοιχεία Θεωίας Αναµονής (queueig theory) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

2 Θεωία Αναµονής Βασικό µαθηµατικό εγαείο για την ανάυση της επίδοσης και το σχεδιασµό δικτύων, αφού η ζήτηση (κοινόχηστων) δικτυακών υπηεσιών και πόων είναι διαδικασία στοχαστική και δηµιουγεί ουές αναµονής Ηθεµείωση και ανάπτυξη της θεωίας αναµονής οφείεται εν ποοίς στις ανάγκες ανάυσης και σχεδιασµού τηεπικοινωνιακών δικτύων ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

3 Αναµονητικά συστήµατα εξυπηετητής Αφίξεις πεατών Αναχωήσεις πεατών Χώος αναµονής Πααδείγµατα. Γκισέ ταχυδοµείου 2. Κόµβος µεταγωγής τηεφωνικών κήσεων 3. Κόµβος µεταγωγής πακέτων στο ιαδίκτυο ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

4 Ένα από αναµονητικό σύστηµα: γαµµή αποστοής πακέτων Αφίξεις πακέτων Αναχωήσεις πακέτων υθµός αφίξεων, υθµός εξυπηέτησης, µ (arrival rate, acets/sec) (service rate, acets/sec) arrival rocess : t service-tie distributio ea iterarrival distace : ea service tie µ [ π.χ. πακέτα των 2 bits σε γαµµή 24 bs... > µ.2 acets/sec ] Χησιµοποίηση γαµµής: µ (li utilizatio or traffic itesity) Για ευσταθές σύστηµα πέπει: <, ή πεπεασµένος χώος αναµονής & φαγή ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

5 Παάµετοι απού αναµονητικού συστήµατος Παάµετοι διαδικασίας αφίξεων πεατών Κατανοµή ενδοδιαστηµάτων αφίξεων Συσχέτιση» Παάµετοι χόνου εξυπηέτησης πεατών Τόπος εξυπηέτησης (service discilie) FIFO (First I First Out) LIFO (Last I First Out) Ποτεαιότητες... ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

6 Συµβοισµοί τ χόνος άφιξης οστού πεάτη (C : πακέτο, κήση κπ) t τ τ ενδοδιάστηµα µεταξύ αφίξεων πεατών C και C - x χόνος εξυπηέτησης πεάτη C x ~ ενδοδιάστηµα µεταξύ αφίξεων (τ. µεταβητή) t t x~ χόνος εξυπηέτησης (τ. µεταβητή) ~ A( t) Pr{ t t} αθοιστική συνάτηση κατανοµής πιθ. ενδοδιαστηµάτων αφ. B( x) Pr{ ~ x x} αθοιστική συνάτηση κατανοµής πιθ. χόνου εξυπηέτησης a ( t) da( t) / dt συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας ενδοδιαστηµάτων αφ. b ( x) db( x) / dx συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας χόνου εξυπηέτησης E { ~ t } t / E{ ~ x } x / µ τ τ τ +... N(t) αιθµός πεατών στο σύστηµα τη χονική στιγµή t w χόνος αναµονής (στην ουά) του C s χόνος στο σύστηµα (αναµονής + εξυπηέτησης) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

7 Συµβοισµοί (II) Kedal s otatio: A / B / κατανοµήενδοδιαστηµάτων αιθµός εξυπηετητών κατανοµήχόνουεξυπη. όπου A,B ένα από: M exoetial (i.e. Marovia) E r r-stage Erlagia H r r-stage Hyerexoetial D Deteriistic G Geeral π.χ. M/M/: αφίξεις Poisso, εκθετικοί χόνοι εξυπ., εξυπηετητής ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

8 ιαδικασία αφίξεων Poisso Pr{oe arrival t} t + ( t) Pr{o arrivals t} t + ( t) Arrivals are eoryless t t t + t T ( T ) e Pr{ arrivals T}! 2 2 E{ } P T σ E{ E{ }} T a( t) E{ ~ t } t e ta( t) dt 2 2 σ ~ t E{ t E{ t }} ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου ~ (Poisso distributio) (exoetial iterarrival tie df ) ~ 2

9 ιαδικασία αφίξεων Poisso (II) ΗυπέθεσηοώνPoisso είναι επίσης Poisso µε υθµό ίσο µετοάθοισµατωνυθµών των επιµέους οών 2... i i ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

10 Γενικές σχέσεις (G/G/) x / µ χησιµοποίηση (utilizatio) < T x + N T W για ευσταθές σύστηµα µέσος χόνος πααµονής στο σύστηµα (average tie i the syste) µέσος αιθµός πεατών στο σύστηµα (average uber of custoers i the syste) (Little s forula) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

11 M/M/ queue Αφίξεις Poisso, εκθετική εξυπηέτηση, µ state diagra µ µ µ µ µ µ ( t + t) ( t)[( t)( µ t) + tµ t ( t)[ t( µ t) + ( t)] ( t)[ µ t( t) + ( t)] + ( t)] (equilibriu)* balace equatio ( + µ ) + µ +, (*) κατάσταση ισοοπίας: ( t t) ( t)]/ t [ + t ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

12 ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου M/M/ queue (II) Λύση (γεωµετική κατανοµή) /, o µ /, ) ( < µ µ µ µ + / / / W T W N

13 Παάδειγµα M/M/ ταχύτητα γαµµής 24 bs µέσο µήκος πακέτων bits µ 2.4 acets/sec a) acet/sec / , N /( ).72, T N /.72 sec b) 2 acets/sec 2 / , N /( ) 5, T N / 2.5 sec c) 2. 3 acets/sec 2.3/ , N /( ) 22.98, T N / sec ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

14 M/M//N queue (Μ/Μ/ queue with a fiite buffer sace N laces), / µ o N Πιθανότητα φαγής (blocig robability): ιέευση (throughut): P ( ), / µ < N + ( ) N B N ( N N + << γ ( P B ) µ ( ) ) N γ P ) γ µ ) ( B ( γ µ ( ) N ( o ) N + ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

15 State-deedet queues Birth-Death rocesses o 2 - State diagra µ µ 2 µ 3 µ µ + Balace equatio ( + µ ) + µ + +, µ + + Queue size N / i / µ i, i i N ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

16 ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου The M/M/ queueig syste Αφίξεις Poisso, εκθετικοί εξυπη., µ. buffer size ifiite (Erlag-C forula) )!( ) (! ) (,!,! ) ( + with < µ όπου:

17 ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου The M/M// queueig syste. αφίξεις Poisso, εκθετικοί εξυπη., µ (o buffer) i i i,! / ) / (! / ) / ( µ µ (Erlag-B or Erlag-loss forula) i i B i P! / ) / (! / ) / ( µ µ πιθανότητα φαγής:

18 Πααδείγµατα Παάδειγµα : πιθανότητα φαγής κήσης Τηεφωνικό κέντο διαθέτει 8 γαµµές εξόδου πος ένα συγκεκιµένο ποοισµό. Να βεθεί η πιθανότητα φαγής κήσης για υθµό αφίξεων κήση/επτό πος το συγκεκιµένο ποοισµό καιµέση διάκεια κήσης 3 επτά. ( / µ ) /! PB, / µ i ( / µ ) / i! i 3, 8 P B.8 ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

19 Πααδείγµατα (συνέχεια) Παάδειγµα 2: διαστασιοδότηση Σε τηεφωνικό κέντο να βεθεί ο αιθµός των γαµµών εξόδου έτσι ώστε η πιθανότητα φαγής κήσης να είναι µικότεη του -3 για υθµό αφίξεωνκήσεων2 κήσεις/επτό και µέση διάκεια κήσης 3 επτά. ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

20 Πααδείγµατα (συνέχεια) fuctio erlag_loss_lot(lada,u,) % is ow a vector of uber of servers % i the M/M// syste []; []; for i:5 [ i]; [ erlag_loss(2,/3,i)]; ed seilogy(,); title(['erlag-loss-robability curve -- lada',u2str(lada), ', u',u2str(u)]); xlabel('uber of servers, '); ylabel('p-loss'); ed P-loss Erlag-loss-robability curve -- lada2, u uber of servers, erlag_loss_lot(2,/3,[:5]) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

21 Το αναµονητικό σύστηµα M/G/ Pollacze-Khichie forulas: E{ } [ ( 2 µ 2 σ 2 )] µέσος αιθµός πεατών στο σύστηµα E { T} E{ } / µ [ ( 2 µ 2 σ 2 )] µέσος χόνος διέευσης : (µέσος) υθµός αφίξεων, µ: (µέσος) υθµός εξυπηέτησης /µ, σ : τυπική απόκιση χόνου εξυπηέτησης ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου

22 Το αναµονητικό σύστηµα M/G/ (συν.) V ( s) E{ e * sv v ~ xc µ ήκος πακέτου W c ( x) Pr{ µ ήκος _ ουάς > x} : η CPDF του µήκους ουάς } Τότε γe q o q x o o Wc ( x) e su{ q : q ( V ( q))} C q x ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου