Μοντέλα Αναµονής. Μία Ουρά Αναµονής FIFO

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μοντέλα Αναµονής. Μία Ουρά Αναµονής FIFO"

Transcript

1 Μοντέλα Αναµονής Ορισµένα απλοποιηµένα µοντέλα δικτύων µπορούν να αναλυθούν µε µαθηµατικές µεθόδους. Τα συµπεράσµατα που εξάγονται από τα αναλυτικά αποτελέσµατα µπορεί είναι πολύτιµα, ακόµη και αν οι µέθοδοι δεν επιτρέπουν την αξιολόγηση λεπτοµερών µοντέλων πραγµατικών συστηµάτων. Τα µοντέλα που χρησιµοποιούνται συνηθέστερα είναι συστήµατα ουρών αναµονής (queueing systems). Στην ενότητα αυτή γίνεται µία ανασκόπηση των πιο ευρέως χρησιµοποιούµενων αποτελεσµάτων. Μία Ουρά Αναµονής FIFO Θεωρούµε έναν καταχωρητή (buffer) εξοπλισµένο µε έναν ποµπό. Ο ποµπός λειτουργεί µε ρυθµό R bps. Εάν τα πακέτα φθάνουν στον καταχωρητή σε αρκετά µεγάλα διαστήµατα µεταξύ τους, τότε κάθε φορά που ένα νέο πακέτο φθάνει στον καταχωρητή, ο καταχωρητής είναι άδειος. Στην περίπτωση αυτή, η καθυστέρηση που υφίσταται ένα πακέτο στον καταχωρητή είναι ίση µε το χρόνο µετάδοσής του. Ο χρόνος µετάδοσης ενός πακέτου των L bits είναι ίσος µε L/R δευτερόλεπτα. Για παράδειγµα, εάν R Mbps και κάθε πακέτο αποτελείται από ακριβώς 000 bits, τότε ο χρόνος µετάδοσης ενός πακέτου είναι ίσος µε ms. Εάν υποθέσουµε ότι οι χρόνοι άφιξης των πακέτων απέχουν πάντοτε τουλάχιστον ms µεταξύ τους, τότε η καθυστέρηση κάθε πακέτου στον καταχωρητή είναι ίση µε ms. Αυτό σηµαίνει ότι εάν ένα πακέτο εισέλθει στον καταχωρητή τη χρονική στιγµή T, το τελευταίο του bit αποχωρεί από τον καταχωρητή τη στιγµή Τ + ms. Στο εξής θα θεωρούµε ότι ένα πακέτο φθάνει στιγµιαία στον καταχωρητή, παραδοχή που αποτελεί συνηθισµένη απλοποίηση. Θεωρούµε και πάλι το παράδειγµά µας αλλά αυτή τη φορά υποθέτουµε ότι ο χρόνος µεταξύ διαδοχικών αφίξεων πακέτων µπορεί να είναι µικρότερος από ms. Για παράδειγµα, υποθέτουµε ότι το πρώτο πακέτο φθάνει τη χρονική στιγµή 0 και το δεύτερο τη χρονική στιγµή 0,4 ms. Έστω ότι ο ποµπός µεταδίδει τα πακέτα σύµφωνα µε τη σειρά άφιξης. Στην περίπτωση αυτή, το τελευταίο bit του πρώτου πακέτου αποχωρεί από τον καταχωρητή τη χρονική στιγµή ms. Τη στιγµή εκείνη, το δεύτερο πακέτο βρίσκεται ήδη στον καταχωρητή και αρχίζει να µεταδίδεται. Το τελευταίο bit του δεύτερου πακέτου αποχωρεί από τον καταχωρητή τη στιγµή ms. Αφού το δεύτερο πακέτο έφθασε τη στιγµή 0,4 ms, ο χρόνος παραµονής του στον καταχωρητή είναι,6 ms. Κατά τη διάρκεια των πρώτων 0,6 ms, από τη στιγµή της άφιξής του (0,4 ms) µέχρι την αρχή της µετάδοσής του, το δεύτερο πακέτο περίµενε τη σειρά του για να µεταδοθεί. Η καθυστέρηση αυτή καλείται καθυστέρηση αναµονής στην ουρά (queueing delay). Η συνολική καθυστέρηση ενός πακέτου σε έναν καταχωρητή είναι ίση µε το άθροισµα της καθυστέρησης αναµονής στην ουρά και του χρόνου µετάδοσής του. Ενώ ο χρόνος µετάδοσης ενός πακέτου εξαρτάται µόνο από το µήκος του και από το ρυθµό µετάδοσης, η καθυστέρηση αναµονής του εξαρτάται από τους χρόνους άφιξης των πακέτων στον καταχωρητή. ηλαδή, η καθυστέρηση αναµονής στην

2 ουρά εξαρτάται από την κίνηση ή το φορτίο που αντιµετωπίζει ο καταχωρητής. Οι καθυστερήσεις αναµονής αυξάνουν µε το φορτίο επειδή προκαλείται συµφόρηση στον καταχωρητή: ο καταχωρητής γεµίζει όταν ο ποµπός δεν µπορεί να συµβαδίσει µε τα πακέτα που καταφθάνουν. Στις περισσότερες δικτυακές ζεύξεις, οι χρόνοι άφιξης των πακέτων είναι µάλλον απρόβλεπτοι. Ωστόσο, µε τη µέτρηση των χρόνων άφιξης σε πολλές ζεύξεις µπορούν να κατασκευαστούν µαθηµατικά µοντέλα που είναι αντιπροσωπευτικά τυπικών καταστάσεων. Τα µαθηµατικά αυτά µοντέλα λαµβάνουν υπόψη τους τις ακανόνιστες διακυµάνσεις των χρόνων µεταξύ διαδοχικών αφίξεων (interarrival times). Παρόµοια µοντέλα χρησιµοποιούνται και για τα µήκη των πακέτων. εδοµένων των µοντέλων για τους χρόνους άφιξης και τα µήκη των πακέτων, τα στατιστικά χαρακτηριστικά των καθυστερήσεων αναµονής στην ουρά και των συνολικών καθυστερήσεων στους καταχωρητές µπορούν να προβλεφθούν µε τεχνικές από τη θεωρία ουρών αναµονής. Ουρά Αναµονής M/M/ Θεωρούµε έναν καταχωρητή εξοπλισµένο µε έναν ποµπό. Υποθέτουµε ότι πακέτα φθάνουν στον καταχωρητή τις χρονικές στιγµές 0 < Τ < Τ < Τ 3 < και ότι οι χρόνοι µετάδοσης των διαδοχικών πακέτων, τα οποία µεταδίδονται µε βάση την αρχή ότι αυτό που φθάνει πρώτο εξυπηρετείται πρώτο (first come-first served), είναι S, S, S 3,. Το σύστηµα αυτό καλείται ουρά αναµονής M/M/ εάν: Οι χρόνοι µεταξύ αφίξεων (interarrival times) T, T T, T 3 T, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές που έχουν την ίδια κατανοµή µε P{ Tn + Tn t} exp{ λt}, t 0. () ηλαδή, οι χρόνοι µεταξύ αφίξεων είναι εκθετικά κατανεµηµένοι µε ρυθµό λ > 0. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι οι χρόνοι άφιξης {Τ n } αποτελούν µία διαδικασία Poisson µε ρυθµό λ. Οι χρόνοι µετάδοσης {S n } είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεµηµένοι µε ρυθµό µ. Ισοδύναµα, τα µήκη των πακέτων είναι ανεξάρτητα και εκθετικά κατανεµηµένα µε µέση τιµή Rµ (σε bits), όπου R είναι ο ρυθµός µετάδοσης (σε bits ανά δευτερόλεπτο). ηλαδή, P{ S n t} exp{ µt}, t 0. () Στο συµβολισµό M/M/, το πρώτο M υποδεικνύει ότι η διαδικασία αφίξεων είναι χωρίς µνήµη (memoryless) και το δεύτερο Μ ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι επίσης χωρίς µνήµη. Συµβαίνει η µόνη κατανοµή χωρίς µνήµη να είναι η εκθετική. Το στο Μ/Μ/ υποδεικνύει ότι η ουρά αναµονής έχει ένα µόνο εξυπηρετητή (server). Με τις υποθέσεις για την ουρά αναµονής Μ/Μ/, εάν συµβολίσουµε µε x t τον αριθµό των πακέτων που είτε βρίσκονται στον καταχωρητή είτε µεταδίδονται τη

3 χρονική στιγµή t > 0, αποδεικνύεται στο Παράρτηµα Β ότι, σε στατιστική ισορροπία (statistical equilibrium), n λ P{ xt n} ρ ( ρ), n 0, εάν ρ : <. (3) µ Με τον όρο στατιστική ισορροπία εννοούµε ότι το σύστηµ α έχει φθάσει σε µία σ ταθερή κατάσταση µε την έννοια ότι η πιθανότητα το µήκος της ουράς αναµονής να λάβει δεδοµένες τιµές δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο. Αυτό φυσικά δεν σηµαίνει ότι το µήκος της ουράς παύει να εξελίσσεται. Αυτή η έννοια της ισορροπίας είναι παρόµοια µε αυτό που συµβαίνει κατά την εισαγωγή ενός αερίου σε ένα άδειο µπουκάλι. Μετά από λίγο, η κατανοµή των µορίων του αερίου σταθεροποιείται παρόλο που τα µόρια εξακολουθούν να κινούνται. Η πιθανότητα να βρεθεί ένας δεδοµένος αριθµός µορίων σε κάποιο τµήµα του µπουκαλιού προσεγγίζει µία σταθερή τιµή. Εάν λ µ, τότε ο µέσος αριθµός των πακέτων στον καταχωρητή είναι άπειρος. ηλαδή, η ουρά αναµονής µεγαλώνει µε το χρόνο χωρίς όριο. Εάν λ < µ, τότε από τη σχέση (3) συµπεραίνουµε ότι το µέσο µήκος της ουράς αναµονής δίνεται από τη σχέση ρ λ L : E{ xt} np{ xt n}. (4) ρ µ λ n 0 Ως εφαρµογή της σχέσης (4), θεωρήστε την παρακάτω κατάσταση. Πακέτα φθάνουν σε έναν καταχωρητή µε ρυθµό µετάδοσης R Mbps. Τα πακέτα έχουν τυχαία µήκη L n, τα οποία είναι ανεξάρτητα και εκθετικά κατανεµηµένα µε µέσο µήκος ίσο µε α : 000 bits. Οι χρόνοι άφιξης των πακέτων αποτελούν µία διαδικασία Poisson µε ρυθµό λ 800 πακέτα/s. Θέλουµε να υπολογίσουµε το µέσο αριθµό πακέτων στον καταχωρητή, συµπεριλαµβανοµένου και του πακέτου που πιθανώς να βρίσκεται υπό µετάδοση. Η ουσιαστική παρατήρηση για την εφαρµογή της σχέσης (4) είναι ότι οι χρόνοι µετάδοσης των πακέτων δίνονται από τη σχέση Sn L n / R και εποµένως είναι και αυτοί ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεµηµένοι µε µέση τιµή µ ms/πακέτο. Πράγµατι, Ln P{ Sn t} P t P{ Ln Rt} exp{ αrt} exp{ µ t} R όπου µ αr Η τρίτη ισότητα στην παραπάνω σχέση κάνει χ ρήση της υπόθεσης ότι η µεταβλητή L n είναι εκθετικά κατανεµηµένη µ ε ρυθµό α. Χρησιµοποιώντας τη σχέση (4) συµπεραίνουµε ότι ο µέσος αριθµός πακέτων στον καταχωρητή είναι ίσος µε L λ / (µ λ) 800 / ( ) 4 πακέτα. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τη σχέση (4) για να υπολογίσουµε τη µέση καθυστέρηση (average delay) Τ ανά πακέτο στο σύστηµα. Η µέση καθυστέρηση T σχετίζεται µε το µέσο µήκος της ουράς µε το αποτέλεσµα του Little (Little s result) L λt. (5)

4 Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα αυτό συµπεραίνουµε ότι για την ουρά αναµονής Μ/Μ/. T µ λ Το αποτέλεσµα του Little (5) ισχύει για µία µεγάλη κατηγορία συστηµάτων ουρών αναµονής. Μία απλή ερµηνεία του αποτελέσµατος αυτού µπορεί να δοθεί για συστήµατα ουρών αναµονής στα οποία η σειρά εξυπηρέτησης των πελατών ακολουθεί την σειρά άφιξής τους (first come-first served). Εάν ένας τυπικός πελάτης δαπανά Τ µονάδες χρόνου, κατά µέσο όρο, στο σύστηµα, τότε ο αριθµός των πελατών που ο τυπικός αυτός πελάτης αφήνει πίσω του κατά την αναχώρησή του είναι ίσος, µε λτ, κατά µέσο όρο. Πράγµατι, οι πελάτες που αφήνει πίσω του είναι αυτοί που έφθασαν κατά τη διάρκεια των Τ µονάδων χρόνου που δαπάνησε ο τυπικός αυτός πελάτης στο σύστηµα. Συνεπώς, κατά την αναχώρησή του από το δίκτυο, ένας τυπικός πελάτης αφήνει πίσω του λτ πελάτες. Αυτός πρέπει να είναι ο µέσος αριθµός L πελατών στο σύστηµα. Έτσι, L λτ. Εφαρµόζουµε τη σχέση (5) στο προηγούµενο αριθµητικό παράδειγµα για λ 800 πακέτα/s και µ ms/πακέτο. Στην περίπτωση αυτή προκύπτει ότι T 5 µ λ ms/πακέτο. Η τιµή αυτή είναι συνεπής µε το προηγούµενο συµπέρασµα ότι κατά την άφιξη ενός νέου πακέτου υπάρχουν 4 πακέτα, κατά µέσο όρο, στον καταχωρητή και κάθε πακέτο χρειάζεται ms για να µεταδοθεί. Το αποτέλεσµα του Little ισχύει και για συστήµατα στα οποία η σειρά εξυπηρέτησης δεν είναι απαραίτητα η ίδια µε την σειρά άφιξης, όπως εξηγείται µε το παρακάτω επιχείρηµα. Έστω ότι κάθε πελάτης πληρώνει µία µονάδα κόστους για κάθε µονάδα χρόνου που δαπανά στο σύστηµα. Τότε το µέσο ποσό που δαπανάται ανά µονάδα χρόνου από όλους τους πελάτες είναι ίσο µε το µέσο αριθµό L των πελατών στο σύστηµα σε οποιαδήποτε δεδοµένη χρονική στιγµή. Από την άλλη πλευρά, κάθε πελάτης πληρώνει συνολικά Τ µονάδες κόστους, κατά µέσο όρο, αφού Τ είναι ο µέσος χρόνος που ένας πελάτης δαπανά στο σύστηµα. Εποµένως, αφού οι πελάτες φθάνουν µε ρυθµό λ, πληρώνουν λ Τ µονάδες κόστους ανά µονάδα χρόνου. Από τα παραπάνω έπεται η σχέση (5). Εφαρµογή στη Στατιστική Πολυπλεξία Τα παραπάνω αποτελέσµατα για την ουρά αναµονής Μ/Μ/ µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να εκτιµηθεί το κέρδος που επιτυγχάνεται µε τη στατιστική πολυπλεξία σε σύγκριση µε την πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου. Θεωρούµε µία γραµµή µετάδοσης µε ρυθµό µετάδοσης R. Ένας αριθµός N από ροές κίνησης πακέτων, καθεµία µε ρυθµό λ, πρέπει να µεταδοθούν µέσω της γραµµής αυτής. Υποθέτουµε ότι οι χρόνοι άφιξη ς των πακέτων αποτελούν ανεξάρτητες διαδικασίες (6)

5 Poisson (µε ρυθµό λ) και ότι τα µήκη των πακέτων είναι ανεξάρτητα και εκθετικά κατανεµηµένα µε µέση τιµή L. Η πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου συνίσταται στη διαίρεση της χωρητικότητας του ποµπού σε Ν κανάλια µε ρυθµό R/N. Κάθε ροή κίνησης µπορεί τότε να µοντελοποιηθεί ως µία ουρά αναµονής Μ/Μ/ µε ρυθµό άφιξης λ και ρυθµό µετάδοσης µ : R(LN) (σε πακέτα ανά δευτερόλεπτο). Η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο δίνεται από τη σχέση (6): T. µ λ (7) Η στατιστική πολυπλεξία συνίσταται στην αποθήκευση των πακέτων που προέρχονται από τις Ν ροές σε ένα µόνο καταχωρητή και τη µετάδοσή τους ανά έ να. Η διαδικασία αφίξεων στο µοναδικό καταχωρητή έχει τώρα ρυθµό Νλ. (Μπορεί να αποδειχθεί ότι η διαδικασία είναι Poisson.) Το σύστηµα αυτό µπορεί να µοντελοποιηθεί ως µία ουρά αναµονή ς Μ/Μ/ µε ρυθµό άφιξης Νλ και ρυθµό µετάδοσης RL Nµ πακέτα ανά δευτερόλεπτο. Η µέση καθυστέρηση δίνεται τώρα από τη σχέση Nµ Nλ Εποµένως, η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο για το σύστηµα στατιστικής πολυπλεξίας είναι ένα κλάσµα /Ν της καθυστέρησης για την πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου. Ως εφαρµογή του παραπάνω αποτελέσµατος, φαντασθείτε ότι σχεδιάζετε ένα ασύρµατο δίκτυο δεδοµένων. Οι ποµποί µπορούν να υλοποιήσουν ένα ασύρµατο κανάλι µε ρυθµό 8 kbps. Υπάρχουν 0 χρήστες οι οποίοι µεταδίδουν πακέτα που έχουν ανεξάρτητα και εκθετικά κατανεµηµένα µήκη µε µέση τιµή 000 bits. Κάθε χρήστης λαµβάνει πακέτα προς µετάδοση σύµφωνα µε µία διαδικασία Poisson µε ρυθµό 0 πακέτα ανά δευτερόλεπτο. Σύµφωνα µε µία σχεδίαση, το κανάλι των 8 kbps διαιρείται εξίσου µεταξύ των 0 χρηστών, ώστε κάθε χρήστης να έχει στην αποκλειστική διάθεσή του ένα κανάλι των,8 kbps. Σύµφωνα µε µία άλλη σχεδίαση, όλοι οι χρήστες µοιράζονται το κανάλι των 8 kbps. Χρησιµοποιώντας τη σχέση (7) προκύπτει ότι, στην περίπτωση της πρώτης σχεδίασης, η µέση καθυστέρηση Τ ανά πακέτο είναι Τ /(µ λ) µε µ (,8 kbps)/(000 bits/πακέτο),8 πακέτα/s και λ 0 πακέτα/s. ηλαδή, T N T 360 ms.,8 0 Χρησιµοποιώντας τη σχέση (8) προκύπτει ότι, στην περίπτωση της δεύτερης σχεδίασης, η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο είναι ίση µε Τ/0 36 ms.. (8)

6 ίκτυα Ουρών Αναµονής Μ/Μ/ Τα περισσότερα δίκτυα έχουν περισσότερους από έναν καταχωρητές. Στην ενότητα αυτή θα εξηγήσουµε µερικούς απλούς τύπους οι οποίοι χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση της µέσης καθυστέρησης ανά πακέτο σε ένα δίκτυο µε πολλαπλούς καταχωρητές. Θα αρχίσουµε εξετάζοντας το δίκτυο που φαίνεται στο Σχήµα. Από το δίκτυο αυτό διέρχονται τρεις ροές πακέτων. Υποθέτουµε ότι οι ροές των αφίξεων είναι διαδικασίες Poisson µε ρυθµούς αυτούς που αναγράφονται στο σχήµα. Υποθέτουµε επίσης ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης στους τρεις καταχωρητές είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεµηµένοι µε ρυθµούς αυτούς που υποδεικνύονται στο σχήµα. Σχήµα Ένα δίκτυο µε τρεις καταχωρητές. Είναι αξιοσηµείωτο ότι το δίκτυο αυτό µπορεί να αναλυθεί αναλύοντας κάθε ουρά αναµονής ξεχωριστά. ηλαδή, µπορεί να αποδειχθεί ότι ο µέσος αριθµός πακέτων σε κάθε καταχωρητή δίνεται από τη σχέση (5). Συγκεκριµένα, για i,, 3, ο µέσος αριθµός πακέτων στον καταχωρητή i, L i, είναι ίσος µε λi Li. (9) µ λ i Στον τύπο αυτό, λ i είναι ο µέσος ρυθµός των πακέτων που διέρχονται από τον καταχωρητή i. Όπως φαίνεται στο Σχήµα, λ γ + γ, λ γ + γ + γ 3 και λ 3 γ + γ 3. Το εύλογο επιχείρηµα που παρατέθηκε για το αποτέλεσµα του Little σε ουρές που δεν είναι FIFO (first in - first out) επεκτείνεται και στα δίκτυα ουρών αναµονής. Για την ακρίβεια, µπορεί να αποδειχθεί ότι η µέση καθυστέρηση Τ ανά πακέτο στο δίκτυο σχετίζεται µε το µέσο αριθµό L πακέτων στο δίκτυο µε τη σχέση L γτ, όπου γ είναι ο µέσος συνολικός ρυθµός άφιξης πακέτων στο δίκτυο. Για το δίκτυο του Σχήµατος προκύπτει ότι + L L3 i L L + και γ γ + γ +. (0) γ3 Ως αριθµητική εφαρµογή, θεωρούµε ότι µ µ µ πακέτα/s και ότι γ γ γ πακέτα/s. Χρησιµοποιώντας τη σχέση (9) βρίσκουµε ότι L λ µ λ,5 πακέτα.

7 Όµοια, βρίσκουµε ότι L 9 πακέτα και L 3,5 πακέτα. Κατά συνέπεια, από τη σχέση (0) προκύπτει L πακέτα και, αφού L γτ, η µέση καθυστέρηση Τ ανά πακέτο είναι ίση µε Τ L/γ /(900 πακέτα/s) 3,3 ms. Το αποτέλεσµα που εφαρµόσαµε στο παραπάνω παράδειγµα ισχύει για πιο γενικά δίκτυα. Αποδεικνύεται ότι η µέση καθυστέρηση Τ ανά πακέτο σε ένα δίκτυο (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: T γ J j j µ j όπου γ είναι ο µέσος ρυθµός της ροής που εισέρχεται στο δίκτυο, λ j είναι ο µέσος ρυθµός της ροής που διέρχεται από την ουρά j και µ j είναι ο µέσος ρυθµός µετάδοσης της ουράς j. Όλοι αυτοί οι ρυθµοί εκφράζονται σε πακέτα ανά δευτερόλεπτο και οι ρυθµοί λ j προκύπτουν µε επίλυση των εξισώσεων που εκφράζουν τη διατήρηση των ροών διαµέσου των κόµβων. Οι υποθέσεις που απαιτούνται ώστε να ισχύει ο τύπος () είναι: λ λ j (). Οι ροές αφίξεων που εισέρχονται στο δίκτυο αποτελούν ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson.. Οι χρόνοι µετάδοσης των πακέτων σε όλες τις ουρές είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεµηµένοι. Στην πράξη, η υπόθεση µπορεί να επιβεβαιωθεί, όχι όµως και η υπόθεση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι διαδοχικοί χρόνοι µετάδοσης ενός δεδοµένου πακέτου στους διάφορους κόµβους είναι όλοι ανάλογοι προς το µήκος του πακέτου και εποµένως δεν µπορούν να είναι ανεξάρτητοι. Παρόλα αυτά, πειράµατα προσοµοιώσεων δείχνουν ότι ο τύπος () παρέχει µία ικανοποιητική εκτίµηση της µέσης καθυστέρησης ανά πακέτο σε δίκτυα µεταγωγής πακέτων µε αποθήκευση και προώθηση. Ουρές Αναµονής M/G/ Έως τώρα έχουµε θεωρήσει ότι τα µήκη των πακέτων είναι εκθετικά κατανεµηµένα. Μετρήσεις δείχνουν ότι το µοντέλο αυτό δεν είναι απόλυτα ακριβές. Αντίθετα, τα πακέτα τείνουν να διαχωρίζονται σε µικρά πακέτα ελέγχου και ηλεκτρονικού ταχυδροµείου και σε µεγάλα αρχεία που προκύπτουν από µεταφορές αρχείων. Εξαιτίας του γεγονότος αυτού, χρειάζεται να εξετάσουµε την επίδραση της κατανοµής του µήκους των πακέτων στη συµπεριφορά των ουρών αναµονής. Θεωρούµε και πάλι την ουρά αναµονής Μ/Μ/ αλλά µε την υπόθεση ότι οι διαδοχικοί χρόνοι µετάδοσης πακέτων S n είναι ανεξάρτητοι και έχουν κάποια κοινή κατανοµή που δεν είναι απαραίτητα εκθετική. Το σύστηµα που προκύπτει καλείται ουρά αναµονής M/G/. Στο συµβολισµό M/G/, το Μ υποδεικνύει ότι η διαδικασία αφίξεων είναι χωρίς µνήµη, δηλαδή ότι έχει εκθετικά κατανεµηµένους χρόνους µεταξύ αφίξεων και, εποµένως, είναι Poisson. Το G υποδεικνύει ότι οι χρόνοι

8 εξυπηρέτησης έχουν µία γενική κατανοµή. Το υπενθυµίζει ότι υπάρχει ένας µοναδικός εξυπηρετητής. Αποδεικνύουµε στο Παράρτηµα Β ότι η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο που διέρχεται από το σύστηµα δίνεται από τη σχέση λe{ Sn } λ( σ T + + µ ( ρ) µ ( + µ ) ρ) όπου µ ο µέσος χρόνος µετάδοσης, ρ λ/µ και σ η µεταβλητότητα των χρόνων µετάδοσης. ηλαδή, σ Ε{(S n µ ) }. Η σχέση () δείχνει ότι η µέση καθυστέρηση αυξάνει µε τη µεταβλητότητα του µήκους των πακέτων. Για παράδειγµα, εάν οι χρόνοι µετάδοσης είναι εκθετικά κατανεµηµένοι µε µέση τιµή µ, τότε σ µ, οπότε η σχέση () καταλήγει στη σχέση (6). Ως άλλο παράδειγµα, εάν όλα τα πακέτα έχουν το ίδιο µήκος, τότε σ 0 και η µέση καθυστέρηση των πακέτων είναι ίση µε ( ρ/) φορές την καθυστέρηση σε µία ουρά αναµονής Μ/Μ/. Ως ένα επιπλέον παράδειγµα, υποθέτουµε ότι οι χρόνοι µετάδοσης των πακέτων S n είναι τέτοιοι ώστε P( S a) p P( S b) n n όπου p (0, ) και 0 < a < b είναι δύο δεδοµένες διάρκειες. ηλαδή, το µήκος των πακέτων έχει µόνο δύο δυνατές τιµές. Στην περίπτωση αυτή, µ pa + ( p)b και Ε{ } pa + ( p)b. Ανάλογα, βρίσκουµε ότι S n T λ( pa + ( p) b ) +. pa + ( p) b [ λ( pa + ( p) b)] Για παράδειγµα, εάν λ 300 πακέτα/s, p 0,8, a 0,8 ms και b 0 ms, τότε προκύπτει ότι Τ 7,4 ms. Προσοχή Tο αποτέλεσµα της σχέσης () δείχνει ότι πρέπει να είµαστε προσεκτικοί όταν κάνουµε υποθέσεις για την κατανοµή των µηκών των πακέτων. Το αποτέλεσµα αυτό δείχνει ότι οι µέσες τιµές των χρόνων εξυπηρέτησης και των χρόνων µεταξύ αφίξεων δεν επαρκούν για την πρόβλεψη των µέσων καθυστερήσεων. Η µεταβλητότητα των χρόνων εξυπηρέτησης έχει σηµαντική επίδραση στη µέση καθυστέρηση. Παρόµοια προσοχή πρέπει να επιδεικνύεται ως προς τη διαδικασία άφιξης των πακέτων. Για παράδειγµα, εάν υποθέσουµε ότι πακέτα φθάνουν σε µία ουρά αναµονής κάθε λ µονάδες χρόνου ακριβώς και ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησής τους είναι σταθεροί και ίσοι µε µ < λ, τότε κάθε πακέτο φθάνει αφού έχουν µεταδοθεί τα προηγούµενα πακέτα, οπότε δεν υπάρχει αναµονή στην ουρά. Κατά συνέπεια, η καθυστέρηση για κάθε πακέτο είναι ίση µε το χρόνο µετάδοσης, δηλαδή, ίση µε µ. Συγκρίνοντας το αποτέλεσµα αυτό µε τη σχέση (), ()

9 επιβεβαιώνουµε ότι οι κατανοµές των χρόνων µεταξύ αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτησης επηρεάζουν σηµαντικά τις καθυστερήσεις. Θα πρέπει λοιπόν να είµαστε προσεκτικοί όταν προβαίνουµε σε βιαστικές υποθέσεις, ακόµη και όταν αυτές µας διευκολύνουν. Μπορεί να είναι πολύ δελεαστικό να υποθέσουµε ότι κάποιες διαδικασίες είναι Poisson ώστε να είµαστε σε θέση να διεξάγουµε κάποια ανάλυση. Ωστόσο, οι µηχανικοί δικτύων δεν πρέπει να εµπιστεύονται τυφλά τα αποτελέσµατα µίας ανάλυσης βασισµένης σε τέτοιες αυθαίρετες υποθέσεις. Εάν µία πιο ακριβής ανάλυση δεν είναι εφικτή και εφόσον οι υποθέσεις δεν µπορούν να επικυρωθούν, τότε είναι λιγότερο παραπλανητικό να παραδεχθούµε το γεγονός αυτό και να καταφύγουµε σε µία προσεκτική προσοµοίωση από το να κάνουµε αυθαίρετες υποθέσεις χάριν ευκολίας. Προσεκτικές µετρήσεις σε ροές κίνησης δείχνουν ότι απλά µοντέλα µπορούν να περιγράψουν τη συµπεριφορά τους για χρονικές περιόδους µε ικανοποιητικά µεγάλη διάρκεια αν και είναι ανακριβή για µεγαλύτερες περιόδους παρατήρησης. Επιπρόσθετα, αναλυτικές µελέτες και προσοµοιώσεις δείχνουν ότι τα µοντέλα αυτά παρέχουν ικανοποιητικές προβλέψεις για τις καθυστερήσεις και τα αποθέµατα στους καταχωρητές. Ωστόσο, τα κατάλληλα µοντέλα είναι πιο πολύπλοκα από διαδικασίες Poisson και ανεξάρτητους χρόνους εξυπηρέτησης. Το συµπέρασµα των µελετών αυτών είναι ότι η ανάλυση παρέχει ισχυρά εργαλεία για την εξέταση της λειτουργίας των δικτύων. Τα εργαλεία αυτά µας επιτρέπουν να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο τα διάφορα χαρακτηριστικά των δικτύων επηρεάζουν την απόδοσή τους. Για παράδειγµα, από το απλό µοντέλο M/G/ κατανοούµε τη σπουδαιότητα της µεταβλητότητας του χρόνου εξυπηρέτησης. Πιο ολοκληρωµένες αναλυτικές µελέτες επαυξάνουν µία τέτοια ποιοτική κατανόηση και παρέχουν πληροφορίες χρήσιµες στην εφαρµογή των µεθοδολογιών µετρήσεων και προσοµοιώσεων καθώς και στη διεξαγωγή πειραµάτων. Ουρές Αναµονής µε ιακοπές Θεωρούµε την ακόλουθη παραλλαγή της ουράς αναµονής M/G/. Υποθέτουµε ότι αµέσως µόλις ο ποµπός αδειάσει την ουρά απενεργοποιείται για κάποιο τυχαίο χρονικό διάστηµα, το οποίο καλείται περίοδος διακοπών. Υποθέτουµε επίσης ότι οι διαδοχικές διακοπές έχουν διάρκειες που είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, ανεξάρτητες της προηγούµενης εξέλιξης του συστήµατος και έχουν κοινή κατανοµή. Με αυτές τις υποθέσεις µπορεί να αποδειχθεί ότι η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο δίνεται από τη σχέση v T T0 + E{ V } (3) όπου Τ 0 είναι η µέση καθυστέρηση σε µία ουρά αναµονής M/G/ χωρίς διακοπές, V συµβολίζει µία τυπική διάρκεια διακοπών και v είναι η µέση διάρκεια διακοπών.

10 Για παράδειγµα, εάν οι διακοπές έχουν σταθερή διάρκεια ίση µε Α, τότε από τη σχέση (3) προκύπτει ότι Τ Τ 0 + Α/. Αυτή η συγκεκριµένη περίπτωση δεν προκαλεί µεγάλη έκπληξη. Πράγµατι, ένα πακέτο που φθάνει στην ουρά ενδέχεται να βρεί άλλα πακέτα, των οποίων η µετάδοση έχει καθυστερήσει κατά το µισό του χρόνου διακοπών Α /, κατά µέσο όρο, ενώ περιµένουν να επανενεργοποιηθεί ο ποµπός. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η παρατήρηση ότι, εάν οι περίοδοι διακοπών δεν είναι όλες σταθερές, τότε από τη σχέση (3) διαπιστώνεται ότι η επίδραση τους στη µέση καθυστέρηση είναι µεγαλύτερη από τη µέση διάρκεια διακοπών. (Αναλυτικά, Ε{V } > (E{V}) ν, οπότε Τ > Τ 0 + ν /.) ιαισθητικά, είναι πιθανότερο τα πακέτα να καθυστερήσουν εξαιτίας των διακοπών µε µεγαλύτερη διάρκεια αφού αυτές επηρεάζουν περισσότερα πακέτα από ότι οι διακοπές µικρότερης διάρκειας. Η ουρά αναµονής µε διακοπές αποτελεί µία εισαγωγή στην ανάλυση ενός καταχωρητή ο οποίος µοιράζεται τον ποµπό µαζί µε άλλους καταχωρητές, που εξετάζεται παρακάτω στην Ενότητα Συστήµατα Κυκλικής Εξυπηρέτησης. Συστήµατα Προτεραιοτήτων Θεωρούµε συστήµατα µετάδοσης µε δύο είδη πακέτων: φωνής και δεδοµένων. Υποθέτουµε ότι οι αφίξεις ακολουθούν δύο ανεξάρτητες Poisson διαδικασίες µε ρυθµούς λ για τα πακέτα φωνής και λ για τα πακέτα δεδοµένων. Υποθέτουµε επίσης ότι οι χρόνοι µετάδοσης των πακέτων φωνής είναι όλοι ανεξάρτητοι και κατανεµηµένοι όπως η τυχαία µεταβλητή S και ότι οι χρόνοι µετάδοσης των πακέτων δεδοµένων είναι ανεξάρτητοι και κατανεµηµένοι όπως η τυχαία µεταβλητή S. Στα πακέτα φωνής δίνεται προτεραιότητα έναντι των πακέτων δεδοµένων. ηλαδή, όποτε ολοκληρώνεται η µετάδοση ενός πακέτου, ο ποµπός αρχίζει τη µετάδοση ενός πακέτου φωνής εφόσον υπάρχει ένα στον καταχωρητή, διαφορετικά, αρχίζει τη µετάδοση ενός πακέτου δεδοµένων, εάν υπάρχει. Στο Παράρτηµα Β αποδεικνύεται ότι η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο φωνής δίνεται από τη σχέση µ + και η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο δεδοµένων W από την µ +, όπου µ E{ } για i,, και W i S i i W i λi E{ S } και ( ρ ) W λi E{ Si } i ( ρ )( ρ ρ ) (4) όπου ρ : λ για i,. i i µ i Για παράδειγµα, έστω ότι λ 300, λ 0, S ms και S είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε µέση τιµή 0 ms. Βρίσκουµε ότι Ε{ S } s. Με αντικατάσταση στις σχέσεις (4) προκύπτει W,5 ms και W 57,5 ms. Εφαρµόζοντας τις σχέσεις (4) για άλλη µία φορά, µπορούµε να επαληθεύσουµε ότι η αντιστροφή των προτεραιοτήτων έχει ως αποτέλεσµα W 8,75 ms και W

11 5,75 ms. Από τη σύγκριση των δύο παραπάνω αποτελεσµάτων µε ανεστραµµένες προτεραιότητες φαίνεται καθαρά η επίδραση των προτεραιοτήτων στο µέσο χρόνο αναµονής στην ουρά. Συστήµατα Κυκλικής Εξυπηρέτησης Θεωρούµε το µοντέλο του δικτύου δακτυλίου µε κουπόνι που απεικονίζεται στο Σχήµα. Στο µοντέλο αυτό τα πακέτα φθάνουν σε κάθε σταθµό ως διαδικασίες αφίξεων Poisson µε τον ίδιο ρυθµό λ. Οι χρόνοι µετάδοσης των πακέτων είναι ανεξάρτητοι και κατανέµονται όπως η τυχαία µεταβλητή S. Το κουπόνι περιφέρεται στο δακτύλιο έως ότου περιέλθει στην κατοχή ενός σταθµού του οποίου η ουρά δεν είναι άδεια. Τη στιγµή εκείνη ο σταθµός µπορεί να µεταδώσει ένα πακέτο. Μετά τη µετάδοση απελευθερώνει το κουπόνι. Αυτό είναι το πρωτόκολλο που εξετάσαµε στην Ενότητα 4.3. Ο χρόνος περιφοράς του κουπονιού στο δακτύλιο, όταν αυτό δεν περιέρχεται στην κατοχή κανενός σταθµού, είναι ίσος µε R. Σχήµα ίκτυο δακτυλίου µε κουπόνι. Ο χρόνος περιφοράς του κουπονιού όταν οι ουρές είναι άδειες είναι R. Το πρόβληµα που τίθεται είναι ο υπολογισµός της µέσης καθυστέρησης ανά πακέτο. Έχει αποδειχθεί ότι η µέση καθυστέρηση είναι ίση µε E{S} + W µ + W, όπου NλE{ S } + R[ + ρn W [ ρ λr] Στην παραπάνω έκφραση, ρ : Nλµ. Η σχέση αυτή ισχύει µε την προυπόθεση ότι λr < ρ, διαφορετικά το σύστηµα είναι ασταθές. Ας σηµειωθεί ότι εάν ο χρόνος R (ο χρόνος περιφοράς του κουπονιού) είναι αµελητέος τότε από τη σχέση αυτή προκύπτει NλE{ S } W, ( ρ) ]. (5)

12 το οποίο είναι ίδιο µε το χρόνο αναµονής σε µία ουρά Μ/G/. Το γεγονός αυτό δεν πρέπει να µας εκπλήσσει αφού το σύστηµα συµπεριφέρεται ακριβώς όπως µία ουρά αναµονής M/G/ µε τη διαφορά ότι η σειρά εξυπηρέτησης δεν είναι απαραίτητα ίδια µε τη σειρά άφιξης. Η τροποποίηση αυτή δεν µπορεί να µεταβάλλει το µέσο αριθµό πακέτων στο σύστηµα και, εποµένως, σύµφωνα µε το αποτέλεσµα του Little, δεν µπορεί να επηρεάσει τη µέση καθυστέρηση. Η συνθήκη ευστάθειας λr < ρ µπορεί να γραφεί ως E{NS + R} < λ. Η συνθήκη αυτή µπορεί να ερµηνευτεί εάν παρατηρήσουµε ότι όταν όλες οι ουρές δεν είναι άδειες, ο µέσος χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών επισκέψεων του κουπονιού σε ένα σταθµό είναι E{NS + R}. Αυτός ο µέσος χρόνος θα πρέπει να είναι µικρότερος από το µέσο χρόνο µεταξύ αφίξεων λ σε ένα σταθµό.

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 1/3/2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (1/3) http://www.netmode.ntua.gr/main/index.php?option=com_content&task=view& id=130&itemid=48

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 26/4/2017 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα χρήσης ουρών Μ/Μ/c/K και αξιολόγησης συστημάτων αναμονής Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 5-6-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr Χρύσα Παπαγιάννη chrisap@noc.ntua.gr 24/2/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1 Εργαστηριακή Άσκηση 2011-2012 Το σύστημα αναμονής M/G/1 Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγητής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Υποψ. Διδάκτορας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση των βασικών ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών - Παραδείγματα Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 17-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΛΕΞΗ 6 Η. ίκτυα Υπολογιστών & Επικοινωνία. ιδάσκουσα: : ρ. Παντάνο Ρόκου Φράνκα. ίκτυα Υπολογιστών και Επικοινωνία. ιάλεξη 6: H Πολύπλεξη

ΙΑΛΕΞΗ 6 Η. ίκτυα Υπολογιστών & Επικοινωνία. ιδάσκουσα: : ρ. Παντάνο Ρόκου Φράνκα. ίκτυα Υπολογιστών και Επικοινωνία. ιάλεξη 6: H Πολύπλεξη ίκτυα Υπολογιστών & Επικοινωνία ΙΑΛΕΞΗ 6 Η ιδάσκουσα: : ρ. Παντάνο Ρόκου Φράνκα ρ. Παντάνο Ρόκου Φράνκα 1 Πολύπλεξη ΗΠολύπλεξηείναι η µετάδοση διαφορετικών ρευµάτων πληροφορίας µέσα από την ίδια φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 2/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 10-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το φυσικό στρώμα

ΔΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το φυσικό στρώμα ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το φυσικό στρώμα 1. Μήνυμα μήκους

Διαβάστε περισσότερα

H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου

H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου Ηεπίδραση των ριπών δεδοµένων Όταν οι αφίξεις γίνονται κανονικά ή γίνονται σε απόσταση η µία από την άλλη, τότε δεν υπάρχει καθυστέρηση Arrival s 1 2 3 4 1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Τέλεια δέσµη: όλες οι γραµµές της είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο. Ατελής δέσµη: όλες οι γραµµές της δεν είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο

Διαβάστε περισσότερα

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το φυσικό στρώμα. λ από τον ρυθμό μετάδοσής της. Υποθέτοντας ότι ο κόμβος A

ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το φυσικό στρώμα. λ από τον ρυθμό μετάδοσής της. Υποθέτοντας ότι ο κόμβος A ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το φυσικό στρώμα 1. Στο δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Διάλεξη 6: Εισαγωγή στην Ουρά M/G/1 Δρ Αθανάσιος Ν Νικολακόπουλος ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 18 Νοεμβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Λύση: Λύση: Λύση:

Λύση: Λύση: Λύση: Λύση: 1. Ένας δίαυλος έχει ρυθµό δεδοµένων 4 kbps και καθυστέρηση διάδοσης 20 msec. Για ποια περιοχή µηκών των πλαισίων µπορεί η µέθοδος παύσης και αναµονής να έχει απόδοση τουλάχιστον 50%; Η απόδοση θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυα Υπολογιστών Φεβρουάριος 2002

ίκτυα Υπολογιστών Φεβρουάριος 2002 ίκτυα Υπολογιστών Φεβρουάριος 00 Θέµα [0%]: Θεωρείστε 50 σταθµούς εργασίας που συνδέονται µέσω µεταγωγέα ή hub µε εξυπηρετητή. Όλοι οι υπολογιστές διαθέτουν κάρτα δικτύου Ethernet που µπορεί να λειτουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή βασικών μοντέλων τηλεπικοινωνιακής

Διαβάστε περισσότερα

Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)

Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B) ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο 60 5 55 65 5*maximin (A) Π 50 75 70 45 45 Ε 56 30 30 50 30 Υ 40 30 35 55 30 *60 75 70 65 minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων

Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων Συμβολισμός Kedel Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C Κατανομή αφίξεων Κατανομή εξυπηρετήσεων Αριθμός των εξυπηρετητών Όπου Α,Β μπορεί να είναι: M κατανομή Posso G κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 1: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 1: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 1: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Περιεχόμενα ενότητας Διατύπωση του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστηµάτων Πηροφορικής Εργαστήριο ιαχείρισης & Βετίστου Σχεδιασµού ικτύων - NETMODE Πουτεχνειούποη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Θεωρήματος Jackson: (i) Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου (ii) Υπολογιστικά Μοντέλα Πολυεπεξεργασίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 3/5/2017 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ

Διαβάστε περισσότερα

ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου

ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου Συγκέντρωση/Οµαδοποίηση Πόρων Τα συστήµατα απευθύνονται σε µεγάλο πλήθος χρηστών Η συγκέντρωση (trunking) ή αλλιώς οµαδοποίηση των διαθέσιµων καναλιών επιτρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Διαστασιοποίηση Ασύρματου Δικτύου Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τηλεπικοινωνιακή κίνηση στα κυψελωτά συστήματα Βασικός στόχος

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών. Ανάλυση Ουρών. Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Μοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών. Ανάλυση Ουρών. Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Ανάλυση Ουρών Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μενού 1. Εισαγωγή 2. Θεώρημα του Little 3. Σύστημα M/M/1 System 4. Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων ΠΣΕ, Τµήµα Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Η/Υ Εργαστήριο ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ( ηµιουργία συστήµατος µε ροint-tο-ροint σύνδεση) ρ Θεοδώρου Παύλος Χανιά 2003 Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 2 ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ PΟINT-TΟ-PΟINT...2

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Τοπικά ίκτυα

Κεφάλαιο 5: Τοπικά ίκτυα Κεφάλαιο 5: Τοπικά ίκτυα 5.1 ΤοΠρωτόκολλο ALOHA Αλγόριθµοι επίλυσης συγκρούσεων µε βάση το δυαδικό δένδρο 5.2 ίκτυα Ethernet Πρότυπο ΙΕΕΕ 802.3 5.3 ίκτυα Token Ring - Πρότυπο ΙΕΕΕ 802.5 Τοπικά ίκτυα 5-1

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Α Α Π Σ Δ 11: Ε Σ Α M/G/1 Καθ Γιάννης Γαροφαλάκης ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Το σύστημα αναμονής M/G/1 I Θεωρούμε ένα σύστημα στο οποίο οι πελάτες φθάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 8/3/2017 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/4) (Επανάληψη) Ένταση φορτίου (traffic intensity)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little. Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little. Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 8-5-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εγγυημένη ποιότητα υπηρεσίας

Εγγυημένη ποιότητα υπηρεσίας Εγγυημένη ποιότητα υπηρεσίας Απαιτήσεις ποιότητας υπηρεσίας Μηχανισμοί κατηγοριοποίησης Χρονοπρογραμματισμός Μηχανισμοί αστυνόμευσης Ενοποιημένες υπηρεσίες Διαφοροποιημένες υπηρεσίες Τεχνολογία Πολυμέσων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολυπλεξία

Κεφάλαιο 3 Πολυπλεξία Κεφάλαιο 3 Πολυπλεξία Μάθημα 3.1: Μάθημα 3.2: Μάθημα 3.3: Πολυπλεξία επιμερισμού συχνότητας χρόνου Συγκριτική αξιολόγηση τεχνικών πολυπλεξίας Στατιστική πολυπλεξία Μετάδοση Δεδομένων Δίκτυα Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Η Ουρά Μ/Μ/1/N Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 22/3/2017 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Birth Death Processes

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Δικτύων Επικοινωνιών. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 4 ο

Αρχές Δικτύων Επικοινωνιών. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 4 ο Αρχές Δικτύων Επικοινωνιών Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 4 ο Τα επικοινωνιακά δίκτυα και οι ανάγκες που εξυπηρετούν Για την επικοινωνία δύο συσκευών απαιτείται να υπάρχει μεταξύ τους σύνδεση από σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός: ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων 2. Εξισώσεις Ισορροπίας 3. Προσομοιώσεις Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 Απόδειξη Τύπου Little Ιδιότητα PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Έννοιες των Δικτύων Υπολογιστών...11. Κεφάλαιο 2 Αξιοπιστία...25. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθμοι Πολλαπλής Πρόσβασης...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Έννοιες των Δικτύων Υπολογιστών...11. Κεφάλαιο 2 Αξιοπιστία...25. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθμοι Πολλαπλής Πρόσβασης... Περιεχόμενα Εισαγωγή...7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Έννοιες των Δικτύων Υπολογιστών...11 Κεφάλαιο 2 Αξιοπιστία...25 Κεφάλαιο 3 Αλγόριθμοι Πολλαπλής Πρόσβασης...65 Κεφάλαιο 4 Μεταγωγή Δεδομένων και Δρομολόγηση...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Η τυποποιηµένη διαδικασία µοντελοποίησης της αξιοπιστίας συστηµάτων είναι η αποσύνθεση του σε υποσυστήµατα και εκτίµηση των δεικτών του συστήµατος σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βελτιστοποίηση Μέσου Μήκους

Διαβάστε περισσότερα

Χονδρική µελέτη επιδόσεων τοπικών δικτύων µε προσεγγιστικούς αναλυτικούς τύπους

Χονδρική µελέτη επιδόσεων τοπικών δικτύων µε προσεγγιστικούς αναλυτικούς τύπους ΑΣΚΗΣΗ 0 Χονδρική µελέτη επιδόσεων τοπικών δικτύων µε προσεγγιστικούς αναλυτικούς τύπους Θα δοθεί στην συνέχεια µία χονδρική ποσοτική ανάλυση των επιδόσεων των Τοπικών ικτύων που θα βοηθήσει στην εµπέδωση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ίκτυα Η/Υ ΙΙΙ

Εργαστήριο ίκτυα Η/Υ ΙΙΙ Εργαστήριο ίκτυα Η/Υ ΙΙΙ ρ. Κ. Σ. Χειλάς Στόχος του εργαστηρίου Στόχος του εργαστηρίου είναι : (α) η εµβάθυνση σε θέµατα λειτουργίας δικτύων καθώς και (β) η εξοικείωση των σπουδαστών µε ένα από τα συχνότερα

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ. Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών

Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ. Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Διδάσκων: Λάζαρος Μεράκος Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Δίκτυα Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Ουράς Αναμονής M/G/1 Αρχές Ανάλυσης Ουράς M/G/1 Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov (Embedded Markov Chain) Τύποι Pollaczeck - Khinchin (P-K) για Ουρές M/G/1 Μέσες Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 23/3/2016 Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών

Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Διδάσκων: Λάζαρος Μεράκος Δίκτυα Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

HY-335 : Δίκτυα Υπολογιστών

HY-335 : Δίκτυα Υπολογιστών W N net works R E O T HY-335 : Δίκτυα Υπολογιστών K Μαρία Παπαδοπούλη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χειμερινό εξάμηνο 20010-2011 Θέματα προς συζήτηση Είδη πολυπλεξίας Μεταγωγή Καθυστερήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1.

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστημάτων Πηροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ)

Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ) Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ) Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 21: Εγγυημένη ποιότητα υπηρεσίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 21: Εγγυημένη ποιότητα υπηρεσίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 21: Εγγυημένη ποιότητα υπηρεσίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

3.ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

3.ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ www.olieclaroom.gr.ουρεσ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ως ουρά αναμονής ή ισοδύναμα ένα σύστημα εξυπηρέτησης, ορίζεται το σύστημα το οποίο παρέχει εξυπηρέτηση σε πελάτες που προσέρχονται σε αυτό. Πρόκειται για τη μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΠΙΣΜΠΙΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης

Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης 2-1 hp://www.seas.upenn.edu/~com501/lecures/lecure3.pdf Καθυστερήσεις στα ίκτυα Πακέτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Ανασκόπηση Θεωρίας Πιθανοτήτων ιαδικασία Poisson Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Κλειστών Δικτύων Ουρών Markov: 1. Ανάλυση Window Flow Control σε Δίκτυα Υπολογιστών 2. Αξιολόγηση Συστημάτων Πολύ-προγραμματισμού (Multitasking) Γενίκευση Μοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένα Θέματα Προγραμματισμού Δικτύων Ενότητα 8: ΈλεγχοςΡοήςΑνοικτούΒρόχου Φώτης Βαρζιώτης

Προχωρημένα Θέματα Προγραμματισμού Δικτύων Ενότητα 8: ΈλεγχοςΡοήςΑνοικτούΒρόχου Φώτης Βαρζιώτης Ελληνική ημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Προχωρημένα Θέματα Προγραμματισμού Δικτύων Ενότητα 8: ΈλεγχοςΡοήςΑνοικτούΒρόχου Φώτης Βαρζιώτης Ανοιχτά Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Προχωρημένα

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Ψηφιακά Δίκτυα Ενότητα 2: Θεωρία Κίνησης. Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Τηλεπικοινωνιακά Ψηφιακά Δίκτυα Ενότητα 2: Θεωρία Κίνησης. Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Τηλεπικοινωνιακά Ψηφιακά Δίκτυα Ενότητα 2: Θεωρία Κίνησης Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Κλήσεις σε εξέλιξη 22/6/2013 ΘΕΩΡΙΑ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Θ. ΣΦΗΚΟΠΟΥΛΟΣ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΚΙΝΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Υπόστρωμα Ελέγχου Πρόσβασης Μέσου. Medium Access Control Sub-layer.

Υπόστρωμα Ελέγχου Πρόσβασης Μέσου. Medium Access Control Sub-layer. Υπόστρωμα Ελέγχου Πρόσβασης Μέσου Medium Access Control Sub-layer. Πρόβλημα Υπάρχει ένα κανάλι το οποίο «μοιράζονται» πολλοί κόμβοι. Πρόβλημα: Ποίος μεταδίδει και πότε; Περίληψη Κανάλια πολλαπλής πρόσβασης

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτόκολλο TCP Διάλεξη ΙΙI

Πρωτόκολλο TCP Διάλεξη ΙΙI Πρωτόκολλο TCP Διάλεξη ΙΙI Χρόνος επαναμετάδοσης Στην προηγούμενη διάλεξη είδαμε ότι: Η πρόβλεψη του χρόνου επαναμετάδοσης ενός πακέτου βάσει του εκθετικού μέσου παρατηρημένου χρόνου παράδοσης παλιότερων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η

Κεφάλαιο 1 Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Κεφάλαιο 1 Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Αρχές Δικτύων Επικοινωνιών Σελ. 9-50 Γεώργιος Γιαννόπουλος ΠΕ19, ggiannop (at) sch.gr http://diktya-epal-b.ggia.info/ Creative Commons License 3.0 Share-Alike Σύνδεση από σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών

Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών 4. Σχεδιασµός υναµικότητας Το πρόβληµα της δυναµικότητας ιαδικασία Σχεδιασµού Συστήµατα αναµονής Εισηγητής: Θοδωρής Βουτσινάς ρ Μηχ/γος

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα