Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστηάτων Πηροφορικής Εραστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασού Δικτύων - NETMODE Ηρώων Πουτεχνείου 9, Ζωράφου, , Τη: , Fax: URL Γραπτή Εξέταση στο Μάθηα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάηνο Ηεκτροόων Μηχ. & Μηχ. Υποοιστών Θέα 1 ο Θέατα και Λύσεις Θεωρείστε από τηεφωνικό κέντρο το οποίο αποτεείται από τις δυο τηεφωνικές ραές 1 και χωρίς δυνατότητα αναονής κήσεων. Όταν και οι δύο ραές είναι διαθέσιες, ια κήση δροοοείται πάντα στην ραή 1. Σε περίπτωση που η 1 είναι κατειηένη, επιέεται η. Σε περίπτωση που είναι και οι δυο κατειηένες, ια νέα κήση απορρίπτεται. Οι κήσεις έχουν εκθετική χρονική διάρκεια ε έση διάρκεια 3min. Οι εισερχόενες στο σύστηα τηεφωνικές κήσεις ακοουθούν κατανοή Poisson ε έσο ρυθό1/ κήσεις/min. Α) Σχεδιάστε το διάραα καταστάσεων του συστήατος Ισχύει: 1 = = = 1 κήσεις/ min 1 = = = 1 κήσεις/ min 3 Ακοουθεί το διάραα καταστάσεων: 1a 0 1b

2 Όπου ως 1a συβοίζεται η κατάσταση στην οποία ένας πεάτης βρίσκεται στο σύστηα και εξυπηρετείται από την τηεφωνική ραή 1, ενώ ως 1b συβοίζεται η κατάσταση στην οποία ένας πεάτης βρίσκεται στο σύστηα και εξυπηρετείται από την τηεφωνική ραή. Β) Βρείτε τις εροδικές πιθανότητες καταστάσεων Οι εξισώσεις ισορροπίας εταβάσεων στο διάραα δίνουν: H συνθήκη κανονικοποίησης: Επιύοντας το σύστηα: P 0 = P 1a + P 1b P 1a + P 1a = P 0 + P P + P = P 1a + P 1b P 0 + P 1a + P 1b + P = 1 P 0 = 8 9 = P 1a = = P 1b = = P = 9 9 = Γ) Βρείτε το έσο τηεπικοινωνιακό φορτίο (σε Erlangs) που διεκπεραιώνεται από κάθε ραή και την πιθανότητα απόρριψης κήσης H πιθανότητα απόρριψης κήσης: P blocking = P = Το έσο τηεπικοινωνιακό φορτίο σε Erlangs που διεκπεραιώνεται από τις ραές 1 και αντίστοιχα είναι: ρ 1 = U 1 = 1 P 0 P 1b = 0.6 Erlangs ρ = U = 1 P 0 P 1a = Erlangs

3 Θέα ο Θεωρείστε υποοιστική ονάδα η οποία εξυπηρετεί εντοές που υποβάονται ε κατανοή Poisson έσου ρυθού εντοές/ και εξυπηρετούνται σε κύκους εξυπηρέτησης. Η υποοιστική ονάδα αναπαρίσταται από την ουρά αναονής του σχήατος. Μετά από κάθε κύκο εξυπηρέτησης ια εντοή επιστρέφει στην ονάδα επεξερασίας ε πιθανότητα ¼ ή οοκηρώνει την επεξερασία ε πιθανότητα ¾. Κάθε κύκος εξυπηρέτησης εντοής στην ονάδα έχει εκθετική διάρκεια ε έση τιή = m -1. p 1 - p Α) Ορίστε την κατάσταση του συστήατος (Markov) και σχεδιάστε το διάραα καταστάσεων στην σταθερή κατάσταση. 0 3 (1-p ) (1-p ) (1-p ) (1-p ) Β) Να βρεθούν οι εροδικές πιθανότητες καταστάσεων του συστήατος. Οι εξισώσεις ισορροπίας εταβάσεων στο διάραα δίνουν: P(0) = (1 p)ρ(1) P(1) = (1 p)ρ() P(n) = (1 p)ρ(n + 1), n =, 3, Ισχύει ότι: P(0) + P(1) + P() + = 1 n P(0) ( ( (1 p) ) ) = 1 P(0) = n=

4 P(n) = ( n 1500 ) 1500 ( 1500 ) Γ) Να βρεθεί το max ια το οποίο το σύστηα έρχεται σε κορεσό Θα πρέπει (1 p) < 1, άρα το max = 1500 εντοές/ Δ) Για = max να βρεθεί: ο έσος χρόνος παραονής στο σύστηα και το έσο επεξερασένο φορτίο. Ε(n) = 0P(0) + 1P(1) + P() + = 1 Ε(Τ) = E(n) = m 750 και το φορτίο θα είναι ρ = (1 p) = 0.5 Erlangs

5 Θέα 3 ο Στο δίκτυο εταωής πακέτου του σχήατος οι ρυθοί πακέτων από άκρο σε άκρο είναι ίσοι ε r πακέτα/ ια όα τα ζεύη των κόβων. Το έσο ήκος πακέτου είναι 1000 bits. Οι ραές του δικτύου (full duplex) έχουν ταχύτητες όπως στο σχήα. Η δροοόηση πακέτων ακοουθεί τον συντοότερο δρόο από πευράς αριθού ενδιαέσων κόβων. Σε περιπτώσεις δύο εναακτικών δρόων ίσου αριθού κόβων, τα πακέτα ακοουθούν τον ταχύτερο δρόο (από πευράς ταχυτήτων ραών). Αν οι εναακτικοί δρόοι είναι ισοδύναοι, το φορτίο διαερίζεται ισόποσα ε τυχαία (random) απόφαση ανά πακέτο. A C 10 Mbits/ 10 Mbits/ E B D Α) Αναφέρατε τις παραδοχές που χρειάζονται ια να θεωρηθούν οι ραές του δικτύου ανεξάρτητες ουρές Μ/Μ/1 Τυχαίες εξωτερικές αφίξεις Poisson Τυχαία δροοόηση πακέτων βάσει των πιθανοτήτων διαοιρασού σε ισοδύναους δρόους. Ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις πακέτων, παραδοχή Kleinrock ανεξαρτησίας εξυπηρετήσεων Άπειρες ουρές FIFO, χωρίς απώειες Β) Βρείτε τη ραή συφόρησης του δικτύου και το έιστο δυνατό ρυθό r = r max packets/ που πορεί να προωθηθεί στο δίκτυο Έστω Q i,j η ουρά Μ/Μ/1 ανάεσα στους κόβους i, j i j και i,j, i,j οι ρυθοί άφιξης και εξυπηρέτησης πακέτου αντίστοιχα. A,C = r A C + r A E + 0.5r B C + 0.5r A D = 3r C,A = r C A + r E A + 0.5r C B + 0.5r D A = 3r B,D = r B D + r B E + 0.5r B C + 0.5r A D = 3r D,B = r D B + r E B + 0.5r C B + 0.5r D A = 3r

6 A,B = r A B + 0.5r C B + 0.5r A D = r B,A = r B A + 0.5r B C + 0.5r D A = r C,D = r C D + 0.5r C B + 0.5r A D = r D,C = r D C + 0.5r B C + 0.5r D A = r C,E = r A E + r C E = r, D,E = r B E + r D E = r, E,C = r E A + r E C = r E,D = r E B + r E D = r C A,B = C B,A = C C,D = C D,C = 10 Mbits C A,C = C C,A = C C,E = C E,C = C D,E = C E,D = C B,D = C D,B = 5 Mbits i,j = C i,j E(L) A,B = B,A = C,D = D,C = 104 πακέτα A,C = C,A = C,E = E,C = D,E = E,D = B,D = D,B = πακέτα ρ i,j = i,j ρ A,C = ρ C,A = ρ B,D = ρ D,B = 3r i,j = 6r 10 4, ρ A,B = ρ B,A = ρ C,D = ρ D,C = r 10 4, ρ C,E = ρ E,C = ρ D,E = ρ E,D = r = 4r 10 4, Η ραή συφόρησης είναι ανάεσα στους κόβους A-C, B-D. 6 r max 10 4 = 1 r max = 104 πακέτα 6 Γ) Για ρυθούς r = r max υποοίστε τη έση καθυστέρηση από τον κόβο Α στον κόβο D καθώς και τη έση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο. Υποθέστε ανεξάρτητες ουρές Μ/Μ/1 Μέση καθυστέρηση από το A D ια r = r max = πακέτα 1 1 Ε(Τ A D ) = Ε(Τ A C ) + Ε(Τ C D ) = + A,C A,C C,D C,D = = 0.5 m :

7 Καθυστέρηση τυχαίου πακέτου E(T) E(T) = Ε(n), Ε(n) = E(n A,C ) + E(n C,A ) + E(n C,E ) + E(n E,C ) + E(n C,D ) + E(n D,C ) + E(n D,E ) + E(n E,D ) + E(n B,D ) + E(n D,B ) + E(n A,B ) + E(n B,A ) E(n i,j ) = ρ i,j 1 ρ i,j Ε(n) = 6.8 = 5 4 r E(T) = m