Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Transcript

1 Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής µε την προυπόθεση ότι τόσο το άθροισµα όσο και το οοκήρωµα του δεξιού µέους συγκίνουν απόυτα, δηαδή x f (x )< ή x f (x)dx< Παρατήρηση (α) Η µέση τιµή είναι δηαδή µιά γενίκευση του µέσου όρου ενός (πεπερασµένου) συνόου αριθµών. Γιατί, εάν η τ.µ Χ ακοουθεί την οµοιόµορφη διακριτή κατανοµή, τότε η µέση της τιµή είναι ίση µε: x +x +...+x E x δηαδή η µέση τιµή είναι ο αριθµητικός µέσος των τιµών της. Στην πραγµατικότητα είναι ο σταθµησµένος µέσος όρος των σηµείων x,x,,x, µε βάρη f(x ),f(x ),,f(x ), αντίστοιχα. (β) Η µέση τιµή δεν συµπίπτει απαραίτητα µε µιά από τις τιµές της µεταβητής. x x,,...,n Αν f (x) N(N+) 0 αού είξτε ότι η f (x) είναι π.π. και υποογίστε την µέση τιµή της Χ. Λύση Έχουµε x N(N+) f (x) x N(N+) N(N+) N(N+) x x x δηαδή η f (x) είναι µιά π.π. Για την µέση τιµή έχουµε:

2 x N(N+)(N+) (N+) E xf (x) x N(N+) N(N+) N(N+) 6 3 x x x Αν Χ είναι µια τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας αx +βx x [0,] f (x) 0 αού και η ΕΧ. (α) Να υποογιστούν τα α και β. (β) Να υποογιστεί η Λύση (α) Η συνάρτηση f (x) είναι µιά πυκνότητα πιθανότητας, άρα 3 x x f (x) dx (αx +βx) dx (α +β ) α+3β6 (i) Ακόµα: <. P( ) 4 x x E x f (x) dx x (αx +βx) dx (α +β ) 4 3 3α+4β6 (ii) -6x +6 x [0,] Από τις (i), (ii) έχουµε ότι: α-6,β6 f (x) 0 αού (β) Έχουµε ότι: x x 5 P(< ) (-6x +6x) dx (-6 +6 ) Υπάρχουν περιπτώσεις που η µέση τιµή µιάς τ.µ.δεν υπάρχει. Εάν η τ.µ Χ παίρνει τις τιµές 3,,,... µε πιθανότητες P{3}, τότε η ΕΧ 3 δεν υπάρχει, γιατί το άθροισµα αποκίνει. Η µέση τιµή ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες. Πρόταση Αν Χ,Υ είναι τ.µ. µε πεπερασµένες µέσες τιµές, τοτε () Ε(Χ+Υ)Ε(Χ)+Ε(Υ) και Ε(cΧ)cΕ(Χ) όπου c σταθερά, δηαδή η µέση τιµή Ε(.) είναι µιά γραµµική συνάρτηση. () ΕΧ Ε Χ (3) Εάν Χ,Υ τ.µ. τ.ω. Y τότε E EY. Άρα, αν 0, τότε E 0.

3 Ροπές Εάν g είναι µιά πραγµατική (µετρήσιµη ) συνάρτηση και Υ µια τ.µ, τότε η συνάρτηση Yg() είναι µια τ.µ. Πρόταση Εάν g, Υ είναι όπως παραπάνω και η Υ είναι είτε διακριτή είτε συνεχής, τότε η µέση τιµή της Υ δίνεται από την σχέση: E(Y)E[g()] g(x )f (x ) g(x)f (x)dx διακριτή συνεχής µε την προυπόθεση ότι τόσο το άθροισµα όσο και το οοκήρωµα του δεξιού µέους συγκίνουν απόυτα, δηαδή g(x)f(x)< ή g(x) f (x) dx<. Εάν η τ.µ. N(0, σ ), θα υποογίσουµε την Λύση E. x - N(0,σ ) σ E0 πσ E( ) x f (x) dx x e dx σ () σ Ορισµός (α) Εάν g(x)x, τότε η µέση τιµή της Yg() καείται ροπή -τάξεως της τ.µ Χ., δηαδή: xf (x) διακριτή E( ) + x f (x)dx συνεχής (β) Εάν g(x)(x-ε(χ)), τότε η µέση τιµή της Yg() καείται κεντρική ροπή -τάξεως της τ.µ Χ., δηαδή: µe( -µ ) + (x -µ) f (x ) διακριτή (x-µ) f (x) dx συνεχής Είναι φανερό ότι η ροπή πρώτης τάξεως µιάς τ.µ είναι η µέση της τιµή, ενώ η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα µηδέν.

4 (γ) Εάν g (x)x(x-)(x-) (x-+), τότε η µέση τιµή της τ.µ. Yg() καείται παραγοντική ροπή -τάξεως της τ.µ Χ. δηαδή () ( ) µ E (-)...(-+ x (x -)...(x -+) f (x ) x(x-)...(x-+) f (x) dx διακριτή συνεχής Είναι φανερό ότι όοι οι παραπάνω ορισµοί έχουν νόηµα όταν τα αθροίσµατα ή τα οοκηρώµατα του δεξιού µέους συγκίνουν απόυτα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης µιάς τ.µ., η οποία καείται διασπορά της τ.µ. ηαδή η διασπορά µιάς τ.µ. Χ δίνεται από την σχέση: σ (Χ) V()E[(-(E)) ]E( )-(E) Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς, σ V(), καείται τυπική απόκιση της τ.µ. Παρατήρηση () Ποές φορές η διασπορά µιάς τ.µ. υποογίζεται από την σχέση: σ ()E[(-)]-E+(E) Ισχύει επίσης: σ (a+b)a σ (), όπου a,b σταθερές. () Τις περισσότερες φορές προτιµάµε την τυπική απόκιση από την διασπορά, γιατί οι µονάδες µέτρησης της είναι οι ίδιες µε αυτές των τιµών της τ.µ. Υποογίζουµε παρακάτω τις ροπές (µέση τιµή, διασπορά, παραγοντικές ροπές) µερικών βασικών τυχαίων µεταβητών (κατανοµών). (α) ιωνυµική κατανοµή Αν η τ.µ. Χ ακοουθεί την διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους και p, τότε: -! - E p (-p) p (-p)!(-)! 0 (-)! - (-)-(-) p p (-p) (-)![(-)-(-)}! (-)-(-) - m (-)-m - p p (-p) p p (-p) p(p+q) p - m0 m δηαδή: E p Ακόµα η παραγοντική ροπή ης τάξης:

5 -! - E[(-)] (-) p (-p) p (-p) 0!(-)! (-)(-)! - (-)-(-) p p (-p) (-)![(-)-(-)}! - - (-)-(-) (-) p p (-p) m (-)p p (-p) (-)p (p+q) (-)p m0 m Η διασπορά τότε είναι ίση µε: (-)-m - σ ()E[(-)]-E+(E) (-)p + p- p p (-p) Ανάογα υποογίζουµε ότι η παραγοντική ροπή -τάξης, είναι ίση µε: E[(-)...(-+)] (-)...(-+) p,,,..., (β) Κατανοµή Poisso Αν τ.µ. Χ ακοουθεί την κατανοµή Poisso µε παράµετρο, τότε η µέση της τιµή είναι ίση µε: E P{} e e e e e! (-)!! Η παραγοντική ροπή - τάξης : E[(-)...(-+)] (-)...(-+) P{} (-)...(-+)e 0 0 e e e e (-)! m! m m0 -! Η διασπορά οιπόν είναι ίση µε: σ ()E[(-)]+E-(E) +- Παρατήρηση (αντίστροφο) Εάν για µιά τ.µ. Χ έχουµε: µ (), 0,,,... & >0 τότε Χ P()

6 (γ) Κανονική κατανοµή Αν η τ.µ. Χ ακοουθεί την κανονική κατανοµή µε παραµέτρους µ και σ, τότε η µέση της τιµή είναι ίση µε: x-µ (x-µ) - σ - σ E x e dx (µ+σ ) e d πσ π dxσd - - µ e d + σ e d π π - - µ e d + σ e d µ+0µ π π ενώ η κεντρική ροπή - τάξης: x-µ (x-µ) σ - σ σ - E(-µ) (x-µ) e dx e d πσ π dx σd Αν ορίσουµε - I e d,έχουµε - I e d 0 για περιττό (οοκήρωµα περιττής συνάρτησης) ενώ γιά άρτιο µε παραγοντική οοκήρωση έχουµε: µε (-)(-3) I e d I... I I e d π. Συµπερασµατικά οιπόν έχουµε: (-)(-3)... π άρτιος I 0 περιττός οπότε E(-µ) σ...(-3)(-) άρτιος 0 περιττός Η διασπορά οιπόν µιάς κανονικής τ.µ. ισούται E(-µ) σ

7 (δ) Αρνητική εκθετική κατανοµή Αν η τ.µ. Χ ακοουθεί την αρνητική εκθετική µε παράµετρο, τότε η ροπή - τάξης της είναι ίση µε -x -x -x -x E I x e dx- x d( e )- x e + x e dx (-)! I - I -... I 0, 0,,,... γιατί: -x lim x e 0 +. Αά -x I 0 e dx 0 οπότε! E, 0,,,... Η µέση τιµή οιπόν της τ.µ. είναι ίση µε: E ενώ η ροπή δεύτερης τάξης E οπότε η διασπορά της τ.µ. είναι ίση µε: σ ()E -(E) -