x(n) h(n) = h(n) x(n)

Transcript

1 ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισμός: H συνέλιξη δύο σημάτων x(n) και h(n) είναι ένα τρίτο σήμα y(n) που ορίζεται ως yn ( ) = x(n) h(n) = x(k)h( n k) k= M yn ( ) = x(n) h(n) = lim x(k)h(n k) M (M+ ) k= M Tο κάθε δείγμα του σήματος y(n) εξαρτάται από όλα τα δείγματα των σημάτων x(n) και h(n). ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ α)αντιμεταθετική ιδιότητα x(n) h(n) = h(n) x(n) β) Προσεταιριστική ιδιότητα x(n) [ hn ( ) gn ( )] = [x(n) h(n)] gn ( ) ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ya ( x + β x) = ay(x ) + βy(x ) ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ x( n k) yn ( k)

2 γ) Επιμεριστική ιδιότητα x(n) [ hn ( ) + gn ( )] = x( n) hn ( ) + x(n) g(n) Απόδειξη της αντιμεταθετικής ιδιότητας x(n) h(n) = x(k)h(n k) = x(n lhl ) () = hl ()x(n l) = h(n) x(n) k l l όπου l=n-k (αλλαγή μεταβλητής) Aπόδειξη της προσεταιριστικής ιδιότητας θέτουμε zn ( ) = hn ( ) gn ( ) Τότε : zn ( ) = hngn ( ) ( k) = hn ( lgl ) () k x(n) z(n) = x(k)z(n k) k l άρα: Αλλά zn ( k) = hn ( k lgl ) (), l x(n) z(n) =Σx(k) Σhn ( k l) gl () =ΣΣ x( kh )[( n l) kgl ] () k l lk θέτουμε : yn ( ) = x( n) hn ( ) =Σx(k)h(n k) Eπομένως : Σx(k)h[( n l) k] = ˆ yn ( l) k x(n) z(n) =Σyn ( lgl ) () = yn ( ) gn ( ) k

3 ΣΥΝΕΛΙΞΗ yn ( ) = x(n) h(n) = x(k)h( n k) k= Ν+Μ+ όροι. Εστω Ν=3 (x: 0, N-) και Μ=5 (h: 0, M-). ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ y(0) = h(0)x(0) + 0 x() + 0x() y() = h()x(0) + h(0)x() + 0 x() y() = h()x(0) + h()x() + h(0) x() y(3) = h(3)x(0) + h()x() + h() x() y(4) = h(4)x(0) + h(3)x() + h(0) x() y(5) = 0x(0) + h(4)x() + h(3) x() y(6) = 0x(0) + 0x() + h(4) x() To σύνολο των ανωτέρω σχέσεων εκφράζεται υπό μορφή πίνακα ως εξής: y(0) h(0) 0 0 y() h() h(0) 0 y() h() h() h(0) x(0) y(3) h(3) h() h() x() = y(4) h(4) h(3) h() x() y(5) 0 h(4) h(3) y(6) 0 0 h(4) 3

4 x(0) x() x(0) x() x() x(0) 0 0 T = 0 x() x() x(0) x() x() x(0) x() x() x() T h = [ h(0) h() h() h(3) h(4)] T y = [ y(0) y() y() y(3) y(4) y(5) y(6)] 4

5 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ H( z) = + z + z + z + z 3 4 X() z = + 3z + 4z + 5z + 6z + 7z + 0z + 8z + 6z Y( z) = + 5z + 9z + 4z + 0z + 5z + 3z + 36z + 37z + 3z + 4z + 4z + 6z Υπολογιστική Πολυπλοκοτητα Ν Μ πολ/μοι (Ν-)(Μ-) προσθέσεις 5

6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ Kυκλική Συνέλιξη: Για περιοδικά σήματα x(n) και h(n), δηλαδή για σήματα για τα οποία ισχύει: x(n+n)=x(n) h(n+n)=h(n) μπορεί να ορισθεί η κυκλική συνέλιξη από τη σχέση : N % yn ( ) = x(k)h(n k) = x( n) hn ( ) k= % y = Ch x C X x(0) x(3) x() x() x() x(0) x(3) x() = x() x() x(0) x(3) x(3) x() x() x(0) T h = [ h(0) h() h() h(3)] Οι πίνακες C h και C x είναι Τοeplitz και κυκλικοί. 6

7 r xy ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ () l = x(n)y(n l), < l< n= Ο συντελεστήs συσχέτισης p xy (l) είναι ανεξάρτητος από το πλάτος και ορίζεται από την σχέση: rxy () l pxy () l =, < l < E E x y όπου: E x = n= x( n) Ey = y n n= ( ) ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ r () l = x(n)x(n l), << l n= η ποσότητα p l r () l = < l < (), Ex είναι γνωστή σαν συντελεστής αυτοσυσχέτισης E = r (0) Δεδομένου ότι x r p () l = r () l (0) 7

8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ x( n) y( n) = x(m)y( m l) = r () l n= l m= Ας θεωρήσουμε στην συνέχεια σήματα πεπερασμένης διάρκειας όπως συμβαίνει στις πρακτικές εφαρμογές και έστω 0<n<N- το πεδίο ορισμού του x(n) και 0<n<Μ-, το πεδίο ορισμού του y(n), με Ν<Μ. Η συσχέτιση των δύο σημάτων θα είναι μη μηδενική στο διάστημα : xy -M+ l N- Ιδιότητες της ετεροσυσχέτισης a) r () l = r ( l) xy xy y x β) p () l γ) r () l r (0) r (0) xy yy r (0) + r (0) yy Ιδιότητες της αυτοσυσχέτισης a) r () l = r ( l) b) r () l r (0) 8

9 ΣΗΜΑΤΑ ΙΣΧΥΟΣ M rxy () l = lim Σ x(n)y(n l) M (M + ) n = M Μ r () l = lim Σ x( n)x( n l) M (M + ) n = M N p rxy () l = Σ x(n)y(n l) N n= o p ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΩΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ R z = X zy z ( ) ( ) ( ) xy R z X X ( ) = (z) (z ) 9

10 ΤΥΧΑΙΑ ΣΗΜΑΤΑ P x (x ;n )=Prob{x(n ) x } Κατανομή πρώτης τάξεως του x(n). H αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας θα ορίζεται από την σχέση p (x ; n ) = x dpx(x ; n) d x Η κατανομή δεύτερης τάξεως του σήματος x(n) ορίζεται από την P x (x, x, ; n, n )=Prob{x(n ) x, x(n ) x } Η αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητες ορίζεται από την σχέση: Px, nn, = px n n (x x; )/ x x (x,x;, ) 0

11 ΣΤΑΤΙΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Η μέση τιμή m x (n) ενός τυχαίου σήματος ορίζεται σαν η μαθηματική ελπίδα (η προσδοκητή τιμή) της τυχαίας μεταβλητής x(n) m ( n) E{ {x(n)} xp [(x; nd ) x x = = x H μεταβλητότητα (variance) του x(n) ορίζεται από την σχέση : σ ( n) = E {[x(n) m ( n)] } x x Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) ενός τυχαίου σήματος ορίζεται από την σχέση: r ( n, n ) = E{ {x( n )x( n )} Η αυτοσυμμεταβλητότητα (autocovariance) του x(n) ορίζεται από: V ( n, n ) = E {[x(n ) m ( n )][x(n ) m ( n )]} x x Mπορεί να αποδειχθεί ότι V ( n, n ) = r ( n, n ) m ( n ) m ( n ) x x Στην περίπτωση δύο σημάτων x(n) και y(n) ορίζουμε την ετεροσυσχέτιση (crosscorrelation) και την ετεροσυμμεταβλητότητα (crosscorariance) από τις σχέσεις: r ( n, n ) = E {x(n ) yn ( )} xy V ( n, n ) = E {[x(n ) m ( n )][ yn ( ) m ( n )]} xy x y

12 ΣΤΑΣΙΜΑ ΣΗΜΑΤΑ Ένα τυχαίο σήμα λέγεται στάσιμο ευρείας έννοιας όταν η μέση τιμή του E {x(n)} = m x είναι σταθερή, και η αυτοσυσχέτιση r (n,n) = E {x(n)x(n l} = r () l εξαρτάται μόνο από την διαφορά l=n -n. Στην περίπτωση αυτή και η αυτοσυμμεταβλητότητα V () l = r () l m x εξαρτάται μόνο από την χρονική διαφορά l. Δύο τυχαία σήματα x(n) και y(n) ονομάζονται από κοινού στάσιμα ευρείας έννοιας (jointly wide sense stationary) αν κάθε ένα από αυτό είναι στάσιμο ευρείας έννοιας και συγχρόνως η ετεροσυσχέτιση τους r ( n, n ) = r () l = E[ {x(n)y(n l)} xy xy εξαρτάται μόνο από το l=n -n Tότε μπορεί να αποδειχθεί ότι V () l = r () l mmy xy xy x

13 ΣΤΑΣΙΜΑ ΤΥΧΑΙΑ ΣΗΜΑΤΑ Ένα τυχαίο σήμα x(n) ονομάζεται στάσιμο τάξεως N αν ισχύει η επόμενη σχέση k: p x (x,, x N, n,,n N )=p x (x,,x N ;n +k,,n N +k) Αν η προηγούμενη σχέση ισχύει για όλες τις τάξεις Ν=,... τότε το σήμα λέγεται στάσιμο με αυστηρή έννοια (strict-sense) Για δύο σήματα x(n) και y(n) που είναι από κοινού στάσιμα ισχύουν οι εξής ιδιότητες: r () l r (0) r ( l) = r () l (0) = {x ( )} r E n r ( l) = r () l xy yx rxy() l r (0) ryy (0) r(0) + ryy (0) 3

14 ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΜΕΣΟΙ Μέση τιμή M < x(n) >= lim x(n) M (M + ) Τετραγωνικός μέσος Μ lim x( n) (M + ) Σ = M n M Αυτοσυσχέτιση n= M Μ lim x(n)x(n l) M (M + ) Σ n= M ΕΡΓΟΔΙΚΟΤΗΤΑ Ένα τυχαίο σήμα είναι εργοδικό κατά συσχέτιση / μέση τιμή < x(n)x( n l) >= E{ {x(n)x(n l) Στην πράξη < x(n) >= Μ (M + ) n Σ = M x(n) Μ < x( n)x(n l) >= x(n)x(n l) (M + ) n Σ = M 4

15 5