Μήτρες Ειδικές μήτρες. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Transcript

1 Μήτρες Ειδικές μήτρες Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

2 Το διάνυσμα ως μήτρα Είδαμε ότι ένα διάνυσμα u = (u 1, u 2, u 3 ) μπορεί να γραφεί και ως μήτρα 3x1, δηλ. μήτρα με 3 γραμμές x 1 στήλη: 1 η γραμμή 2 η γραμμή 3 η γραμμή 1 η στήλη

3 Μήτρα γραμμή / Μήτρα στήλη Μία μήτρα Α 1xn λέγεται μήτρα γραμμή Όπως και σε ένα διάνυσμα, μία μήτρα στήλη, έχουμε όταν Α mx1

4 Μήτρα Μήτρα (ή πίνακας ή μητρώο) είναι ένα σύνολο στοιχείων/αριθμών που κατανέμονται σε μία διάταξη m-γραμμών x n-στηλών: Αν m=n τότε η Α λέγεται τετραγωνική μήτρα και συμβολίζεται Α m A a11 a1 n = am 1 a mn 1 η στήλη n στήλη 1 η γραμμή m γραμμή Η Α συμβολίζεται συχνά Α mxn ή Α = [α ij ] ή

5 Συμβολισμοί Ένα στοιχείο της μήτρας Α mxn προσδιορίζεται από την γραμμή του & την στήλη του, π.χ. α ij είναι το στοιχείο της i ης γραμμής / j ης στήλης Αν A = κ λ τότε: α 12 = -2 α 33 = λ α 32 = κ κ.ο.κ.

6 Ισότητα μητρών Δύο μήτρες Α=[α ij ] και Β=[β ij ] ίδιων διαστάσεων mxn είναι ίσες αν: α ij = β ij, για κάθε i=1,2, m & j=1,2, n Άρα Α = Β όταν: 1. είναι ίσων διαστάσεων & 2. έχουν τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα

7 Άσκηση Ποια τα κ & λ τέτοια ώστε Α = Β; 1. αν A = κ λ 3 κ λ 4 Β= αν A = κ + λ 4 Β= κ λ

8 Ειδικές μήτρες I Μηδενική μήτρα: λέγεται η Α=[α ij ] mxn όταν α ij =0 για κάθε i=1,2.. m & j=1,2.. n Παραδείγματα: Ανάστροφη μήτρα A T της Α=[α ij ] mxn λέγεται η Β=[β ji ] nxm έτσι ώστε β ji = α ij για κάθε i=1,2.. m & j=1,2.. n Παράδειγμα: a a A a a a = a21 a22 a T A = a12 a22 a a 13 23

9 Άσκηση Βρείτε την ανάστροφη μήτρα των επόμενων μητρών: Α= Β= C = ( ) 0 D= 4 6

10 Ειδικές μήτρες II Αντίθετη μήτρα Α της Α=[α ij ] mxn λέγεται η Β=[β ij ] mxn όταν β ij = - α ij για κάθε i=1,2.. m & j=1,2.. n Παράδειγμα: a11 a12 a13 a11 a12 a13 A= A= a a a a a a Μοναδιαία μήτρα Ι n λέγεται η τετραγωνική μήτρα nxn τέτοια ώστε α ij = 1 αν i=j και α ij = 0 για i j για κάθε i=1,2...n Παραδείγματα:

11 Ειδικές μήτρες IΙI Έστω Α=[α ij ] nxn τετραγωνική μήτρα Α άνω τριγωνική αν α ij = 0 για κάθε i > j a11 a12 a13 A= 0 a22 a a 33 Α κάτω τριγωνική αν α ij = 0 για κάθε i < j a A= a21 a22 0 a31 a32 a 33 Α διαγώνια αν α ij = 0 για κάθε i j a A= 0 a a 33

12 Πρόσθεση μητρών Έστω Α = [α ij ] και Β = [β ij ] ίδιων διαστάσεων mxn, τότε Α+Β = [α ij + β ij ], για κάθε i=1,2.. m & j=1,2.. n Παράδειγμα: A = 7 0 Β= 0 4 Α+Β= Όμοια ορίζεται και η αφαίρεση μητρών

13 Βαθμωτό γινόμενο μητρών Έστω Α = [α ij ] mxn και λ ένας αριθμός, τότε λ Α = [λ α ij ], για κάθε i=1,2.. m & j=1,2.. n Παράδειγμα: A = 7 0 λ = 2 λ Α=

14 Ασκήσεις 1) Αν A = 1 να υπολογίστε την ( ) Α ) Αν Β= 2 4 να υπολογίστε την C = B + ( ) Α

15 Παραδείγματα γινομένου μητρών a a b = a b + a b ( ) b21 b11 a a a b = a b + a b + a b b 31 ( ) a11 a12 b11 b12 a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 = a a b b a b + a b a b + a b

16 Παραδείγματα γινομένου μητρών a a b = a b + a b ( ) b21 b11 a a a b = a b + a b + a b b 31 ( ) a11 a12 b11 b12 a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 = a a b b a b + a b a b + a b

17 Γινόμενο μητρών Αν Α = [α ij ] mxr και Β = [β ij ] rxn τότε C = A B = [c ij ] mxn όπου c ij είναι το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της i a a a γραμμής με τα αντίστοιχα της j στήλης r β11 β12 β1 j β1 n c11 c1 n a21 a22 a2r β21 β22 β2 j β 2n = a a a i1 i2 ir cij βr1 βr 2 βrj β rn cm 1 c mn am 1 am2 a mr ή c ij = α i1 β 1j + α i2 β 2j α ir β rj = r k = 1 a ik β kj

18 Ασκήσεις 1) 3) ) ( )

19 Ασκήσεις =? =? Τι παρατηρείτε από το αποτέλεσμα στην 2 η άσκηση; Μπορείτε να εξάγετε ένα γενικό συμπέρασμα;

20 Ερωτήσεις κατανόησης Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα 1. για την πρόσθεση μητρών; 2. για το βαθμωτό γινόμενο μητρών; 3. για το γινόμενο μητρών; Μια είναι αντιμεταθετική αν: β = α

21 Ιδιότητες πρόσθεσης και βαθμωτού γινόμενου μητρών Πρόσθεση Α + Β = Β + Α Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ Α + Ο = Α Α + (-Α) = Ο Βαθμωτό γινόμενο (κ + λ) Α = κ Α + λ Α κ (Α + Β) = κ Α + κ Β κ (λ Α ) = (κ λ) Α 1 Α = Α (-1) Α = - Α όπου Ο η μηδενική μήτρα

22 Ιδιότητες πολλαπλασιασμού μητρών Αν Α = [α ij ] νxκ, Β = [β ij ] κxλ, Γ = [γ ij ] λxμ, S = [s ij ] κxλ & Τ = [τ ij ] κxλ και α, β αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες: 1. Ι ν Α = Α Ι κ 2. Α (Β Γ) = (Α Β) Γ 3. α (Α Β) = (α Α) Β 4. Α (Β + S) = Α Β + Α S 5. (B + T) Γ = B Γ + Τ Γ Προσεταιριστικές ιδιότητες ο πλ/σμός μητρών είναι αριστερά επιμεριστικός ο πλ/σμός μητρών είναι δεξιά επιμεριστικός 6. Ο λxν Α = Ο λxκ 7. Α Ο κxμ = Ο νxμ Όπου Ο λxκ είναι η μηδενική μήτρα διάστασης λxκ

23 Άσκηση Αν και C = O 2, τότε: O 2 : η μηδενική μήτρα 2x2 1. Να δείξετε ότι Α Β = O Τι συμπεραίνετε; (παρότι Β O 2 A) 2. Από το προηγούμενο έχουμε ότι Α Β = Α C Τι συμπεραίνετε και πάλι για τις ιδιότητες των μητρών; (παρότι Β C)

24 Συμπέρασμα Στους πραγματικούς αριθμούς ισχύουν τα επόμενα: 1.Αν α β = α γ => β = γ 2.Αν α δ = 0 => είτε α = 0 είτε δ = 0 Αυτές οι ιδιότητες ΔΕΝ ισχύουν στις μήτρες! (η απόδειξη ονομάζεται με αντιπαράδειγμα)