Βέλτιστα γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Συστήµατα που ελαχιστοποιούν το µέσο-τετραγωνικό σφάλµα

Transcript

1 Σεραφείµ Καραµπογιάς Βέλτιστα γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Ο Wiener εέτασε το προβληµα της εκτίµησης µίας επιθυµητής κυµατοµορφής σήµατος s παρουσία προσθετικού θορύβου n, βάση του λαµβανόµενου σήµατος r s + n. Ο Wiener προσδιόρισετογραµµικόφίλτροτουοποίουηέοδοςείναιηβέλτιστη, κατά µέση-τετραγωνική τιµή, προσέγγιση στο επιθυµητό σήµα s. Το φίλτρο που προκύπτει καλείται βέλτιστο γραµµικό φίλτρο ή φίλτρο Wiener.

2 Σεραφείµ Καραµπογιάς Εκπεµπόµενο σήµα s Κανάλι Λαµβανόµενο σήµα r s + n Σύστηµα ΓΧΑ Hω y s n o + o Θόρυβος n ε s y s Καθυστέριση s Μοντέλο για τη λήψη σήµατος µέσα από AWGN κανάλι Φίλτρο Wiener. Επιλέγουµετοφίλτρο Hω έτσιώστεηέοδόςτου y ναείναιηκαλύτερηδυνατή εκτίµησητουσήµατοςεισόδουτηχρονικήστιγµή, δηλαδή,τουσήµατος s. Επειδή το σήµα s αποτελεί δείγµα συνάρτησης τυχαίας διαδικασίας, είναι αδύνατοναυπολογίσουµετηντιµήτουσήµατος sσεκάποιαχρονικήστιγµή µε απόλυτη ακρίβεια. Το µόνο που θα προσπαθούµε να κάνουµε είναι να προσδιορίζουµε το φίλτρο Hω το οποίο ελαχιστοποιεί µία κατάλληλα ορισµένη µέση τιµή του σφάλµατος ε. 6-

3 Σεραφείµ Καραµπογιάς Εκπεµπόµενο σήµα s Κανάλι Λαµβανόµενο σήµα r s + n Σύστηµα ΓΧΑ Hω y s n o + o Θόρυβος n ε s y s Καθυστέριση s Μοντέλο για τη λήψη σήµατος µέσα από AWGN κανάλι Φίλτρο Wiener. Ο Wiener προσδιόρισε το γραµµικό φίλτρο Hω του οποίου ελαχιστοποιεί τη µέση τιµήτουτετραγωνικούσφάλµατοςε[ε ]. [ ] ε { Y } [ ] [ Y Y ] + Y + YY 6-3

4 Σεραφείµ Καραµπογιάς Περιγραφή του λαµβανόµενου σήµατος στο πεδίο του χρόνου και συχνότητας Εκπεµπόµενο σήµα s Κανάλι Λαµβανόµενο σήµα r s + n Θόρυβος n Επίσης το σήµα r αποτελεί δείγµα συνάρτησης τυχαίας διαδικασίας, της οποίας η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι τ τ + τ + τ + τ και η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητας ισχύος είναι NN N N [ ] ω ω + ω + e τ NN N 6-4

5 Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος του Αθροίσµατος ιαδικασιών ίνονται οι W τυχαίες διαδικασίες X και Y και ορίζεται η τυχαία διαδικασία Ανοιδύοδιαδικασίεςείναιασυσχέτιστεςτότε XY τ m X m Y καιανµία τουλάχιστον από τις διαδικασίες έχει µέση τιµή ίση µε το µηδέν τότε Z X + Y Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Z είναι τ τ + τ + τ + τ ZZ και η φασµατική πυκνότητα ισχύος της Z είναι Z XX YY f f f Z X + Y XY YX f f + f + e[ f ] X Y XY Σεραφείµ Καραµπογιάς 6-5

6 Σεραφείµ Καραµπογιάς Μελέτη του συστήµατος στο πεδίο του χρόνου και συχνότητας r s + n ΓΧΑ σύστηµα y so + no, Hω y r Για τη συνάρτηση διασυσχέτισης µεταύ των διαδικασιών Y και έχουµε Y [ Y + ] + [ + ] + + ω e ω π ω e e ω π j ω ω ω H e ω π 6-6

7 Τυχαίες ιαδικασίες και Γραµµικά Συστήµατα Σεραφείµ Καραµπογιάς X Y X τ τ τ Για τη συνάρτηση διασυσχέτισης εισόδου-εόδου έχουµε XY, [ X Y ] X X s s XY u s [ X X s ] s XX XX s s XX u u τ u u τ τ τ XX u s s s u Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση διασυσχέτισης εαρτάται µόνο από το τ. 6-7

8 Η συνάρτηση διασυσχέτισης µεταύ των διαδικασιών και Y είναι [ ], Y Y { } + N + N [ ] [ ] + N + N + N τ τ τ τ τ Y N + + u u u u u u N u τ τ Σεραφείµ Καραµπογιάς 6-8

9 Σεραφείµ Καραµπογιάς Y τ τ τ + τ τ N και συνάρτηση διαφασµατικής πυκνότητας ισχύος είναι Y ω ω H ω + ω H ω N 6-9

10 r s + n ΓΧΑ σύστηµα y so + no, Hω y r Για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήµατος εισόδου s έχουµε j e ω ω [ ] ω π τ F ω Ητιµήτης τ γιατ,δηλαδή, ηισχύςτουσήµατος s έχουµε ω ω π Για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήµατος εόδου y έχουµε j j ω H ω e ω τ ω ω ω F YY YY e ω ω π π [ ] YY Ητιµήτης YY τ γιατ,δηλαδή, ηισχύςτουσήµατος y έχουµε Σεραφείµ Καραµπογιάς YY ω H ω ω π 6-

11 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο Wiener προσδιόρισε το γραµµικό φίλτρο Hω του οποίου ελαχιστοποιεί τη µέση τιµήτουτετραγωνικούσφάλµατοςε[ε ]. [ ] [ ] ε { Y } Y + YY όπου ω ω π YY Y ω H ω ω π j ω ω ω H e ω π Η µέση τιµή του τετραγωνικού σφάλµατος γράφεται [ ] { } ε ω ω H ω e + ω H ω ω π 6-

12 [ ] { } ε ω ω H ω e + ω H ω Σεραφείµ Καραµπογιάς ω π Το ακρότατο της [ε ] προσδιορίζεται αν η παράγωγός ως προς τη απόκριση συχνότητας τεθεί ίση µε µηδέν, δηλαδή, ε H ω Αν χρησιµοποιηθεί ο κανόνας του Leibniz x y f x, y y y y y ϑ ϑx f x, y y αποδεικνύεται ότι το βέλτιστο φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας H βελτ. ω ω ω e 6-

13 Για την περίπτωση όπου το σήµα και ο θόρυβος είναι ασυσχέτιστες τυχαίες διαδικασίες έχουµε δείει ισχύει επίσης ισχύει πράγµατι ω ω + ω NN ω ω, + τ [ + τ ] [ + N + τ ] [ + τ ] + [ N + τ ] τ + [ N ] [ + τ ] Σεραφείµ Καραµπογιάς καιεπειδή [N] έχουµε τ τ Εποµένως το βέλτιστο φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας H βελτ. ω ω ω e H βελτ. ω ω ω + NN e ω 6-3

14 Έχουµε δείει ότι το µέσο τετραγωνικό σφάλµα είναι [ ] { } ε ω ω H ω e + ω H ω Για την περίπτωση όπου το σήµα και ο θόρυβος είναι ασυσχέτιστες τυχαίες διαδικασίες έχουµε ω π και ότι η απόκριση συχνότητας του βέλτιστου φίλτρου είναι H βελτ. ω [ ε ] min π ω NN ω ω ω + ω ω e ω Τοελάχιστοµέσοτετραγωνικόσφάλµατοοποίοεπιτυγχάνεταιµετο H βελτ. ω είναι τελικά [ ε ] min π ω ω ω * ω ω ω e e + ω ω [ ε ] min π ω ω ω ω ω NN Σεραφείµ Καραµπογιάς 6-4