, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π

Transcript

1 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις Εξετάσεις Σετεµβρίου 6. ΘΕΜΑ. µονάδα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική αόκριση co in5 h Να βρεθεί και να σχεδιασθεί η αόκριση συχνότητας, H, του συστήµατος. Η κρουστική αόκριση µορεί να γραφεί και ς in5 h co in W, < Εφαρµόζοντας το ζεύγος του µετασχηµατισµού Forir F W, αλλιώς έχουµε in 5, < 5 F, αλλιώς Στο Σχήµα α έχει γίνει η αντίστοιχη γραφική αράσταση. F 5 { } H in a β Σχήµα. Η αόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήµατος στο Θέµα. Στη συνέχεια λόγ της ιδιότητας της διαµόρφσης co F [ ] έχουµε in5, 5 < < 5 h co F H, αλλιώς Στο Σχήµαβ έχει γίνει η αντίστοιχη γραφική αράσταση της αόκρισης συχνότητας του φίλτρου. Παρατηρούµε ότι είναι ένα ζνοερατό ιδανικό φίλτρο µε αολαβή ίση µε, µε εύρος ζώνης διέλευσης και κεντρική συχνότητα. ΘΕΜΑ. µονάδες Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος µε κρουστική αόκριση h Εφαρµόζεται το σήµα Να βρεθεί το σήµα εξόδου, του συστήµατος α όταν το σύστηµα αρχικά ηρεµεί και β όταν.

2 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις α Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι } { > H h Ο µετασχηµατισµός aplac του σήµατος εισόδου είναι } { > Εφαρµόζοντας το θεώρηµα της συνέλιξης βρίσκεται ο Μετασχηµατισµός aplac του σήµατος εξόδου ο οοίος αναλύεται σε άθροισµα αλών κλασµάτν ς } { > H Το εδίο σύγκλισης της είναι η τοµή τν εδίν σύγκλισης του σήµατος εισόδου και της συνάρτησης µεταφοράς. Με αντίστοφο µετασχηµατισµό aplac ροσδιορίζεται το σήµα εξόδου του συστήµατος. { } β Εειδή το σύστηµα έχει αρχικές συνθήκες ρέει αρχικά να ροσδιορισθεί η διαφορική εξίσση η οοία συνδέει το σήµα εισόδου και εξόδου. Αό τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος έχουµε διαδοχικά d d H όου χρησιµοοιήθηκε η ιδιότητα M της αραγώγου: d d. Εφαρµόζοντας µονόλευρο µετασχηµατισµό aplac στη διαφορική εξίσση ενσµατώνουµε τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος και έχουµε όου χρησιµοοιήθηκε η αρχική συνθήκη και ο ΜM του σήµατος εισόδου /. Η ανάλυση σε αλά κλάσµατα δίνει Με αντίστοφο µετασχηµατισµό aplac ροσδιορίζεται το σήµα εξόδου του συστήµατος. { } ΘΕΜΑ.,5 µονάδες ίνεται το σήµα Να βρεθούν α η φασµατικη υκνότητα ενέργειας του σήµατος β η συνάρτηση αυτοσυσχέτισής του και γ η ενέργειά του. Ός το Παράδειγµα.7 βρίσκεται α ότι η φασµατικη υκνότητα ενέργειας του σήµατος είναι j β η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήµατος είναι

3 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις τ τ γ και η ενέργεια του.σήµατος είναι E µονάδες ενέργειας ΘΕΜΑ. µονάδα Ο µετασχηµατισµός Forir σήµατος,, είναι in Να βρεθεί η ενέργεια του σήµατος. Εφαρµόζοντας το ζεύγος του µετασχηµατισµού Forir, T in < F, αλλιώς Έχουµε ότι το σήµα του οοίου ο MF είναι in είναι T, < in F, αλλιώς Η ενέργεια του σήµατος είναι E d d 5 Σηµειώνεται ότι η ενέργεια είναι δυνατό να βρεθεί και αό την τρόος αυτός δεν ενδείκνυται λόγ της µαθηµατικής του ολυλοκότητας. E d αλλά ο Ένας άλλος τρόος είναι να ροσδιοριστεί η ενέργεια του σήµατος µε τη βοήθεια της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήµατος. Η φασµατική υκνότητα του σήµατος είναι in in Με αντίστροφο µετασχηµατισµό Forir βρίσκεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης { } Λ τ F και η ενέργεια του.σήµατος είναι E 5 µονάδες ενέργειας ΘΕΜΑ 5. µονάδες ίνεται το ευσταθές γραµµικά αναλλοίτο σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς H 5α Να βρεθεί η κρουστική αόκριση, h, του συστήµατος. 5β Με τη βοήθεια του µετασχηµατισµού aplac να βρεθεί η έξοδός του όταν το σήµα εισόδου είναι 5α Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος γράφεται ς

4 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις H Παρατηρούµε ότι το σύστηµα έχει ένα όλο στο σηµείο. Εειδή το σύστηµα είναι ευσταθές θα ρέει να εριέχεται ο φανταστικός άξονας στο εδίο σύγκλισης, εοµένς το εδίο σύγκλισης είναι { } <. Με αντίστροφο µετασχηµατισµό aplac βρίσκεται η κρουστική αόκριση του συστήµατος { h { H } } 5β Ο µετασχηµατισµός aplac του σήµατος εισόδου είναι { } > Εφαρµόζοντας το θεώρηµα της συνέλιξης βρίσκεται ο Μετασχηµατισµός aplac του σήµατος εξόδου H <{ } < Το εδίο σύγκλισης της είναι η τοµή τν εδίν σύγκλισης του σήµατος εισόδου και της συνάρτησης µεταφοράς. Η αναλύεται σε αλά κλάσµατα Με αντίστοφο µετασχηµατισµό aplac ροσδιορίζεται το σήµα εξόδου του συστήµατος. { } Σηµειώνεται ότι δεν µόρει να χρησιµοοιηθεί το ζευγάρι µετασχηµατισµού aplac [ in ] { } > δεδοµένου ότι το εδίο σύγκλισης είναι το < { } < και όχι { } >. ΘΕΜΑ 6.,5 µονάδες ίνεται γραµµικό χρονικά αναλλοίτο ΓΧΑ σύστηµα του οοίου το µέτρο και η φάση της αόκρισης συχνότητας, H, σε συνάρτηση µε τη συχνότητα δίνεται στο Σχήµα. H arg H Σχήµα. Το µέτρο και η φάση της αόκρισης συχνότητας, Η, του συστήµατος στο Θέµα 6. ίνεται είσης το σήµα του οοίου το µέτρο και η φάση του µετασχηµατισµού Forir σε συνάρτηση µε τη συχνότητα δίνονται στο Σχήµα arg 6 Σχήµα. Το µέτρο και η φάση του µετασχηµατισµού Forir του σήµατος,, στο Θέµα 6.

5 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις 5 6α Να γραφεί ο µαθηµατικός τύος ο οοίος εριγράφει το σήµα σε εκθετική και σε τριγνοµετρική µορφή. 6β Το σήµα εφαρµόζεται στην είσοδο του ΓΧΑ συστήµατος. Να βρεθεί ο µαθηµατικός τύος του σήµατος εξόδου του συστήµατος,. 6α Αό τη γραφική αράσταση του µέτρου και της φάσης του µετασχηµατισµού Forir του σήµατος σε συνάρτηση µε τη συχνότητα αρατηρούµε ότι j j j δ δ δ δ j δ 5 j F δ βρίσκεται ο Χρησιµοοιώντας το ζευγάρι µετασχηµατισµού Forir µαθηµατικός τύος ο οοίος εριγράφει το σήµα σε εκθετική µορφή j j j j j j j j ή j j j j 6 Το σήµα µορεί να γραφεί και ς j j j 5 j Εοµένς ο µαθηµατικός τύος ο οοίος εριγράφει το σήµα σε τριγνοµετρική µορφή είναι ο co co β Αό τη γραφική αράσταση του µέτρου και της φάσης της αόκρισης συχνότητας του συστήµατος σε συνάρτηση µε τη συχνότητα αρατηρούµε ότι: H εοµένς η συνεχής συνιστώσα του σήµατος διέρχεται χρίς µεταβολή. H εοµένς η συχνότητα τν rad/c διέρχεται χρίς µεταβολή λάτους και µε µεταβολή φάσης κατά /. H 5,5 εοµένς η συχνότητα τν 5 rad/c διέρχεται µε το µισό λάτος και µε µεταβολή φάσης κατά /. Έτσι το σήµα εξόδου είναι co co ή co 5 co 5 6 ΘΕΜΑ 7. µονάδα ίνεται το C σε σειρά κύκλµα του Σχήµατος. i υ MΩ υ εξόδου εισόδου Να υολογιστoύν C µ F Σχήµα. Το κύκλµα στο Θέµα 7.

6 6 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις 7α η συνάρτηση µεταφοράς, H, του κυκλώµατος, 7β η κρουστική αόκριση, h, του κυκλώµατος και 7γ η συχνότητα db. 7α Εφαρµόζοντας το δεύτερο κανόνα του Kirchhoff στο κύκλµα έχουµε υ υ υ in δεδοµένου ότι d dq d d υc Q υc υc c i υ υ C d C d d C d C έχουµε dυin dυc dυ dυin υ dυ υ in υc υ d d d d C d έτσι η διαφορική εξίσση του συστήµατος είναι dυ dυin υ d C d βλέε και Παρατήρηση. Λαµβάνοντας µετασχηµατισµό aplac έχουµε C U U U in U U U in U U in C Έτσι η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι U H H U in c Το σύστηµα έχει ένα όλο στο σηµείο. Εειδή το σύστηµα είναι αιτιατό το εδίο σύγκλισης είναι { } >. Παρατηρούµε ότι το σύστηµα είναι και ευσταθές αφού εριέχεται ο φανταστικός άξονας στο εδίο σύγκλισης. 7β Η ανάλυση σε αλά κλάσµατα δίνει H Με αντίστοφο µετασχηµατισµό aplac ροσδιορίζεται η κρουστική αόκριση του συστήµατος. h { H } δ βλέε και Παρατήρηση. 7γ Γνρίζουµε ότι η αόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι j H H j j δεδοµένου ότι ο φανταστικός άξονας εριέχεται στο εδίο σύγκλισης. Το µέτρο της είναι j j H j j Η συχνότητα db είναι η συχνότητα στην οοία το µέτρο της αόκρισης συχνότητας του συστήµατος αοκτά το της µέγιστης τιµής της. Η µέγιστη τιµή της είναι H και την ma αοκτά όταν. Εοµένς, db H db H ma db db Η συχνότητα db. βρίσκεται και µε τρόο ανάλογο του Παραδείγµατος., βλέε Παρατήρηση. Παρατηρήσεις: Η εξίσση ου συνδέει το σήµα εξόδου µε το σήµα εισόδου βρίσκεται και ς Εφαρµόζοντας το δεύτερο κανόνα του Kirchhoff στο κύκλµα έχουµε

7 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις 7 δεδοµένου ότι υ υ υ in c υ i υc Q i τ dτ υ τ dτ C C C έχουµε την εξίσση υ in d U in U U U U in C υ τ τ υ C όου χρησιµοοιήθηκε ο Μετασχηµατισµός aplac ολοκληρώµατος. Έτσι η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι U H H H U in Στο Σχήµα 5 έχει γίνει η γραφική αράσταση του µέτρου της αόκρισης συχνότητας αόκριση λάτους σε συνάρτηση µε τη συχνότητα. Παρατηρούµε ότι το σύστηµα αόκοτει τις χαµηλές συχνότητες ενώ ειτρέει να διέρχονται οι υψηλές συχνότητες. Στο σχήµα υάρχει και η συχνότητα db.. Η κρουστική αόκριση του συτήµατος βρίσκεται αν χρησιµοοιηθεί το ζευγάρι M και η ιδιότητα αραγώγου του M S εοµένς η κρουστική αόκριση είναι d δ d d d οότε d d δ, d d h δ δ d d. Το µέτρο της αόκρισης συχνότητας είναι και σε db H j j j j log log [ ] log H Στο Σχήµα 5β φαίνεται το διάγραµµα Bod του συστήµατος. H log H log db db α β log Σχήµα 5. Η αόκριση λάτους του κυκλώµατος στο Θέµα 7 Για χαµηλές συχνότητες, εοµένς είναι log H log log f log Παρατηρούµε ότι το µέτρο σε db, H, ροσεγγίζει τη γραµµική συνάρτηση

8 8 Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις του log, η οοία έχει κλίση βλέε Σχήµα 5β. Αντίθετα για υψηλές συχνότητες εοµένς ισχύει log H Συνεώς, στις υψηλές συχνότητες το µέτρο σε db, ροσεγγίζει τον άξονα τν συχνοτήτν βλέε Σχήµα 5β. Για το σηµείο τοµής τν ασύµττν ευθειών ισχύει log db db. Στη συχνότητα αυτή το µέτρο σε db είναι log H log log log [ ] db db db db