ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡΕΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ: ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΕΡΕΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ: ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΛΙΓΑ ΠΕΡΙ ΔΕΣΜΩΝ ΚΑΙ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Στα στερεά τα άτομα καταλαμβάνουν συγκεκριμένες θέσεις στο χώρο και εκτελούν μικρού πλάτους ταλαντώσεις γύρω από αυτές. Οι θέσεις αυτές είναι είτε περιοδικά τοποθετημένες στο χώρο (κρυσταλλικά στερεά, που διακρίνονται σε μονοκρυσταλλικά και πολυκρυσταλικά) είτε μη περιοδικά (άμορφα στερεά). Μερικές βασικές μονοκρυσταλλικές δομές είναι οι ακόλουθες: fcc, bcc, hcp και αδάμαντα. Τα είδη δεσμών παρουσιάζονται στη σύνοψη λίγο πιο κάτω. Αφού μελετήσετε τις σελίδες 68 και 69 του βιβλίου Από τα κουάρκ μέχρι το Σύμπαν (ΚΣ), ακούστε προσεκτικά το τμήμα του βιντεοσκοπημένου μαθήματος το περιεχόμενο του οποίου είναι το εξής: Κρυσταλλικά στερεά, πολυκρυσταλλικά και μονοκρυσταλλικά στερεά, κρυσταλλικά πλέγματα (bcc, fcc, hcp, στρώσεις που δίνουν είτε hcp ή fcc, δομή διαμαντιού) προσδιορισμός της κρυσταλλικής δομής από ακτίνες Χ. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 8λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (6 ο μαθημα 8//3, 54λ,39δ-ω,λ,44δ) Σύνοψη είδους δεσμών και κάποιων πλεγμάτων: Απλός μεταλλικός δεσμός Δεσμός μεταβατικών μετάλλων Ημιαγωγικός δεσμός Ιοντικός δεσμός

2 Δεσμός vn dr Wls Yδρογονικός δεσμός Κρυσταλλικά πλέγματα Χωροκεντρωμένο κυβικό bcc (φαίνεται και η θεμελιώδης κυψελίδα γύρω από το κεντρικό άτομο, το οποίο καλύπτεται) Εδροκεντρωμένο κυβικό fcc Η δεύτερη στρώση σφαιρών τοποθετείται πανω από τα σημεια Β. Η τρίτη στρώση πάνω από τα Α (hcp) ή πάνω από τα C (fcc) Δομή αδάμαντα που προκύπτει από την fcc, αν σε κάθε σημείο της μπουν δύο άτομα κατά τη διευθυνση () σε αποσταση 3 /4 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής:. Σε ένα εδροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα με το μήκος της ακμής της μοναδιαίας κυψελίδας, η απόσταση μεταξύ άμεσων γειτόνων είναι: (α) / 3 (β) / (γ) / (δ) /3. Το ίδιο με το αλλά για χωροκεντρωμένο πλέγμα:

3 (α) / (β) (γ) 3 / (δ) / 3 3. Στο πλέγμα του αδάμαντα με το μήκος της ακμής της μοναδιαίας κυβικής κυψελίδας η απόσταση μεταξύ άμεσων γειτόνων είναι: (α) 3 /4 (β) / 6 (γ) / 6 (δ) /4 4. O αριθμός των ατόμων που αντιστοιχούν στη μοναδιαία κυβική κυψελίδα του πλέγματος bcc είναι: (α) 9 (β) (γ) (δ) 5 5. O αριθμός των ατόμων που αντιστοιχούν στη μοναδιαία κυβική κυψελίδα του πλέγματος του αδάμαντα είναι: (α) 4 (β) 6 (γ) 8 (δ) 6. O αριθμός των ατόμων που είναι άμεσοι γείτονες ενός ατόμου στο πλέγμα fcc είναι: (α) 4 (β) 8 (γ) (δ)

4 ENOTHTA Η : ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΑ Οι ιδιότητες των στερεών θα εξαρτώνται απαραιτήτως από τις τρεις παγκόσμιες σταθερές,, m,, ή, ισοδύναμα,, m, και ίσως και άλλες. (Για το γιατί διαβάστε τη η παράγραφο των σελίδων 68 και 69 του βιβλίου Από τα κουάρκ μέχρι το Σύμπαν ή δείτε τη διαφάνεια no 5). Οι βασικές ποσότητες των στερεών είναι οι εξής: Η ακτίνα ανά άτομο r (διαφορετική από την ακτίνα του ατόμου r, r r διότι η r αντιστοιχεί όχι μόνο στον όγκο του ατόμου, όπως η r, αλλά στον όγκο ανά άτομο που περιλαμβάνει και τα διάκενα). r r/, r 5. Μέσος όρος στον ΠΠΣ: r 3. Έχοντας τον όγκο ανά άτομο (μέσω της r ) και τη μάζα του ατόμου βρίσκουμε την πυκνότητα. Στη συνέχεια προσδιορίζουμε διαστατικά την ενέργεια σύνδεσης ανά άτομο και το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας Β, αφού ξεκαθαρίσουμε ποιος είναι ο ορισμός του και ποιο το φυσικό του νόημα. Βρίσκουμε επίσης διαστατικά την ταχύτητα του ήχου σε ένα στερεό που προκύπτει να είναι. Η σχέση αυτή είναι ακριβής για υγρά, ενώ για στερεά δίνει μια ενδιάμεση τιμή μεταξύ της ταχύτητας εγκάρσιου και διαμήκους ηχητικού κύματος. Τέλος, και πάλι διαστατικά, εκτιμούμε τη μέγιστη συχνότητα ιοντικής ταλάντωσης και τη συνακόλουθη χαρακτηριστική θερμοκρασία Dby που καθορίζει τη συνεισφορά των ιόντων στις θερμοδυναμικές και άλλες ιδιότητες. Ορίζουμε επίσης το διατμητικό μέτρο ελαστικότητας μ με διαστάσεις πίεσης (που αναφέρεται συχνά στη βιβλιογραφία με το σύμβολο G) και την τάση αστοχίας τ πάλι με διαστάσεις πίεσης. Αφού μελετήσετε προσεκτικά τις σελίδες 69 έως 7 του βιβλίου ΚΣ και δείτε και τις διαφάνειες 6 και 4 έως 43, διαβάστε τα περιεχόμενα του βιντεοσκοπημένου τμήματος του μαθήματος που έχουν ως εξής: Διαστατική ανάλυση και εξάρτηση από παγκόσμιες σταθερές λόγω κινητικής ενέργειας ( / m ) και δύναμης Coulomb ( ) / m. Ορισμός της ακτίνας ανά άτομο και αδιάστατης ακτίνας ανά άτομο. Ενέργεια συνοχής ή σύνδεσης διαστατικά, (της τάξεως των 3V ανά άτομο). Υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας (αντίστροφο της συμπιεστότητας), ορισμός και μέγεθος του της τάξεως -εκ ατμόσφαιρες. Ιοντικές ταλαντώσεις 3Ν-6: μέγιστη τιμή του ωμέγα ( εκφράσεις λόγω εισαγωγής της ακτίνας ανά άτομο αντί της ακτίνας του ohr). Θερμοκρασία Dby και ο ρόλος της στις θερμοδυναμικές ιδιότητες λόγω ιοντικών δονήσεων. Ταχύτητα του / ήχου σε στερεά και υγρά ( (/ ) ). Σύγκριση ταχύτητας ήχου σε Pb και Al. Διαμήκης και εγκάρσια ταχύτητα ήχου σε στερεά. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 3λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (6 ο μαθημα, 8//3, ω,λ,46δ-μεχρι το τελος) Σύνοψη των κυριοτέρων τύπων Βλέπε διαφάνειες 4-4 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: 3. Σε ένα στερεό ορίζουμε το μήκος r από τη σχέση: (4 /3) r V / N. Μέσω του r η πυκνότητα του στερεού δίνεται από μια από τις ακόλουθες σχέσεις ( r r/ ): (α) (,675 A / r ) / cm (β) (,675 A / r ) /cm (γ) (,675 A / r )/cm (δ) (,675 A / r )/cm

5 3. Σε ένα στερεό ορίζουμε το μήκος r από τη σχέση: (4 /3) r V / N. Μέσω του r η ενέργεια σύνδεσης (cohsiv nry) ανά άτομο c του στερεού μπορεί να εκτιμηθεί από μια μόνο από τις ακόλουθες σχέσεις ( r r/ ): (α) c 7,/ r V (β) c 7,/ r V 3 5 (γ) 7,/ r V (δ) 7,/ r V c 3 3. Σε ένα στερεό ορίζουμε το μήκος r από τη σχέση: (4 /3) r V / N. Μέσω του r το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας του στερεού μπορεί να εκτιμηθεί από μια από τις ακόλουθες σχέσεις ( r r/ ): (α) 75 / r br (β) 75 / r br (γ) 75 / r br (δ) 75 / r br 4. Σε ένα υγρό η διαμήκης ταχύτητα του ήχου υ μπορεί να εκτιμηθεί από τον τύπο ( r r/ ): (α) / (β) / m r (γ) / mr p (δ) / mm r 5. Σε ένα υγρό η διαμήκης ταχύτητα του ήχου υ δίνεται από τον τύπο: / (α) / (β) ( / ) (γ) ( / ) (δ) ( / ) 6. Σε ένα στερεό ένα είδος μέσου όρου της διαμήκους και της εγκάρσιας ταχύτητας του ήχου / υ που δίνεται από τον τύπο ( / ) μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής: (α) 8/ r A km /s (β) 8/ r A km /s (γ) 8/ r A km/s (δ) 8/ ra km/s 7. Η θερμοκρασία Dby D που χαρακτηρίζει τις θερμοδυναμικές ιδιότητες των στερεών τις οφειλόμενες στις ταλαντώσεις του πλέγματος μπορεί να εκτιμηθεί από τον τύπο: 3 (α) D (739/ r A)K (β) D (739/ r A)K (γ) (739/ r A )K (δ) (739/ ra)k D 8. Όλες οι ποσότητες που αφορούν στις ιδιότητες ενός οποιουδήποτε στερεού σώματος ή ενός υγρού θα εξαρτώνται οπωσδήποτε και κυρίως από μια από τις ακόλουθες τριάδες θεμελιωδών σταθερών: (α), c, m (β), c, mp (γ),, mp (δ), m, ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ:. Πρόβλημα 5, σελ. 98 του βιβλίου ΚΣ. Πρόβλημα 7, σελ. 98 του βιβλίου ΚΣ c D /3

6 ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η : ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Τα περιεχόμενα αυτού του βιντεοσκοπημένου τμήματος έχουν ως εξής: Επανάληψη διαστατικής ανάλυσης και φυσική πραγματικότητα (διατμητικό μέτρο ελαστικότητας και σχετικά σχόλια, μ=ββ). Αστοχία υλικών είτε λόγω πλαστικής παραμόρφωσης είτε λόγω θραύσης. Τάση αστοχίας, τ. Στα μέταλλα πρώτα η πλαστική παραμόρφωση και μετά η θραύση (τα χαρακτηρίζουμε ελατά). Αντίθετα το γυαλί σε θερμοκρασία δωματίου σπάει πριν εμφανίσει πλαστική παραμόρφωση (μη ελατό). Σύνδεση της αστοχίας με ατέλειες στη κρυσταλλική δομή (εξαρμόσεις). Λυγισμός. Μικρορωγμές και αστοχία υλικού. Γιατί υπάρχει όριο στο βάθος μιας γεώτρησης. Στερεά υπό μεγάλες διατμητικές τάσεις αρχίζουν να συμπεριφέρονται ως παχύρρευστα υγρά ή θραύονται. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 48λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (7 ο μαθημα, 9//3, -47λ,58δ)

7 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η : ΜΟΝΤΕΛΟ JELLIUM To μοντέλο Jllium δέχεται ότι καθένα από τα άτομα του στερεού έχει χωρισθεί σε ένα κατιόν με θετικό φορτίο ζ και σε ζ ηλεκτρόνια. Τα τελευταία περιφέρονται σε όλο το στερεό, ελεύθερα γιατί τα κατιόντα θεωρούνται πολτοποιημένα (εξ ου και Jllium) ώστε το συνολικό φορτίο να είναι παντού μηδέν. Έτσι το στερεό ισορροπεί υπό τη διασταλτική πίεση της κινητικής ενέργειας των ελεύθερων ηλεκτρονίων (αυτή των ιόντων είναι της τάξεως του % αυτής των ηλεκτρονίων) και τη συνθλιπτική πίεση των δυνάμεων Coulomb. Ελαχιστοποιώντας το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας (βλ. βιβλίο ΚΣ, σελίδα 74) βρίσκουμε την ακτίνα ανά άτομο και το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας. Τα περιεχόμενα του αντίστοιχου βιντεοσκοπημένου τμήματος είναι: Ποιο είναι το μοντέλο; Κινητική ενέργεια ηλεκτρονίων, EK / N ( / m )r και συνολική ενέργεια Coulomb E / N ( / m ) r. Ελαχιστοποίηση ως προς το r δίνει r / 5 και 5,6 / r Mbr. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 5λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (7 ο μαθημα, 9//3, 48λ-ω,3λ,5δ) Σύνοψη των βασικών τύπων Οι βασικοί τύποι είναι αυτοί που αναφέρονται στα πιο πάνω περιεχόμενα Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής:. Στο μοντέλο Jllium η ενέργεια σύνδεσης U (cohsiv nry) ενός μετάλλου δίνεται από τον τύπο: 6 (α) U / N( / m) ( / r ) ( / r ) 6 (β) U / N( / m) ( / r ) ( / r), r r/ (γ) U / N( / m) ( / r ) ( / r) 4 (δ) U/ N( / m ) ( / r ) ( / r ). Στο μοντέλο Jllium το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας ενός μετάλλου δίνεται από τον τύπο (σε Mbr ): 3 (α) 5,6 / r (β) 5,6 / r 4 5 (γ) 5,6 / r (δ) 5,6 / r, r r/ 3. Κατά το μοντέλο Jllium για το αλουμίνιο οι τιμές των και είναι αντιστοίχως 3,6 και 9,3. Η προκύπτουσα τιμή για το r είναι: (α) r 3, (β) r, 5 (γ) r 6, (δ) r 9,3 4. Κατά το μοντέλο Jllium για το αλουμίνιο οι τιμές των και είναι αντιστοίχως 3,6 και 9,3. Η προκύπτουσα τιμή για το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας Β είναι σε Mbr : (α) 3,6 (β) 5,6 (γ) 9,3 (δ),86

8 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Η : ΗΛΕΚΤΡΙΚΉ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ Η ηλεκτρική αντίσταση R είναι το πηλίκο της ηλεκτρικής τάσης V δια του ηλεκτρικού ρεύματος Ι: R V / I, όπου V E / q και I q/. t Άρα R ( E t)/ q. Το μέγεθος στο ατομικό σύστημα μονάδων (α.σ.μ.) που έχει διαστάσεις ενέργεια επί χρόνο είναι το και επομένως η μονάδα ηλεκτρικής αντίστασης στο α.σ.μ. είναι R /. Θέτοντας, σε μονάδες SI 9 και,68 C βρίσκουμε R 48. Η κβαντική αντίσταση Hll R H είναι άμεσα συνδεδεμένη με το R: RH R h/ 58,8. Με το R συνδέεται επίσης άμεσα μια άλλη παγκόσμια αντίσταση, η εμπέδηση του κενού Z 4 R 376,73, όπου /37 είναι η σταθερά λεπτής υφής. Οι τύποι R /, RH R h/ και Z 4 R ισχύουν τόσο στο σύστημα SI όσο και στο G-CGS. Οι μονάδες τους όμως είναι τελείως διαφορετικές γιατί στο G-CGS το 6 / έχει διαστάσεις ταχύτητας και τιμή cc/37,88 m/s και επομένως όλες οι αντιστάσεις έχουν διαστάσεις ταχύτητα : R / c= 37 / c, RH / c 86/ c, Z 4 / c. Η ηλεκτρική αντίσταση ενός σύρματος μήκους l και διατομής S είναι ανάλογη του μήκους l και αντιστρόφως ανάλογη της διατομής S. Δηλαδή R l / S. Ο συντελεστής αναλογίας ρ, που προφανώς έχει διαστάσεις αντίσταση επί μήκος (βλ. διαφάνεια 48), ονομάζεται ειδική ηλεκτρική αντίσταση και εξαρτάται από το είδος του υλικού, από τη θερμοκρασία του, κλπ σύμφωνα με το γενικό τύπο (βλ. διαφάνεια 6) f( Z, m / m, T / T, P/ P, c/,...), όπου / m /,74cm είναι η μονάδα της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης στο α.σ.μ. και f είναι μια συνάρτηση (προς προσδιορισμό) των αδιάστατων μεγεθών εντός της παρένθεσης. Με την αντικατάσταση r η ειδική ηλεκτρική αντίσταση προκύπτει σύμφωνα με τη διαστατική ανάλυση στην περιοχή τιμών μεταξύ περίπου 3 και μωcm. Αυτές οι τιμές αντιστοιχούν σε ένα μήκος ελεύθερης διαδρομής των ηλεκτρονίων περίπου 5 με 5 A (βλ. διαφάνεια 5), εκτίμηση που φαίνεται πολύ λογική. Όμως η πραγματικότητα είναι πολύ διαφορετική (βλ. σελ. 73 του βιβλίου ΚΣ ή τη διαφάνεια 49). Η εξήγηση για την τεράστια διαφορά μεταξύ πραγματικότητας και εκτιμήσεων διαστατικής ανάλυσης βασίζεται στον κυματικό χαρακτήρα της κίνησης των ηλεκτρονίων σε συνδυασμό με την περιοδικότητα που παράγει εποικοδομητική συμβολή (η οποία εξουδετερώνει τη σκέδαση), αλλά και καταστρεπτική συμβολή (η οποία συμβάλει στη δημιουργία χασμάτων). Οι διαφάνειες 5 και 53 εικονίζουν το μοντέλο των συζευγμένων εκκρεμών. Βλέπε σχετικά το ακόλουθο βιντεοσκοπημένο τμήμα του μαθήματος τα περιεχόμενα του οποίου είναι: Σχέση μεταξύ ηλεκτρικής αντίστασης και ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης. Μέγεθος αντίστασης /, 5457 /.6 48 και ειδικής αντίστασης /,7μΩ.cm. RH / h/ 583 και (4 ) / R H /37 376,7. Σχόλια για τις διαστάσεις γιατί το ( / ) c /37 στο G-CGS. Παραδείγματα ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης που κυμαίνονται σε σχεδόν 3 τάξεις μεγέθους. Εξήγηση? Σύνδεση με μήκος ελεύθερης διαδρομής. Σχόλια για διάφορα τέτοια μήκη. Εξήγηση loch και το μοντέλο των εκκρεμών. Ιστορική διαδρομή από τον loch στο τρανζίστορ στα ολοκληρωμένα κυκλώματα. Περιοδικότητα και κυματική διάδοση: Η εποικοδομητική συμβολή εξουδετερώνει τη σκέδαση. Αποκλίσεις από την περιοδικότητα και μη μηδενική ειδική Ηλ. Αντ. Γιατί όμως και σχεδόν άπειρη? Γιατί υπάρχει και

9 καταστρεπτική συμβολή και εμφάνιση χασμάτων μεταξύ ενεργειακών ζωνών. Ενέργεια Frmi στο εσωτερικό ζώνης, οπότε μεταλλική συμπεριφορά. Ενέργεια Frmi σε χάσμ, οπότε μονωτική ή ημιαγωγική συμπεριφορά. E, V στο Si. Δυνατότητα δραστικής αλλαγής της αγωγιμότητας στους ημιαγωγούς (με στο εκατ. άτομα P η αγωγιμότητα του Si αλλάζει εκατ. φορές). Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 3λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (7 ο μαθημα, 9//3, ω,3λ.5δ-τελος) Σύνοψη των βασικών τύπων / m / n, Στα μέταλλα, l/ F / pf / nl * * Στους ημιαγωγούς ( n / m) ( n / m) h h h h Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής:. Στο σύστημα G-CGS η ποσότητα / είναι η ατομική μονάδα για το μέγεθος /(ταχύτητα) και ταυτόχρονα είναι η ατομική μονάδα για το μέγεθος ηλεκτρική αντίσταση. Με πόσα περίπου m/s ισούται η / ; (α) (β), (γ) 3 (δ),5. Στο σύστημα G-CGS η ποσότητα / είναι η ατομική μονάδα για το μέγεθος /(ταχύτητα) και ταυτόχρονα είναι η ατομική μονάδα για το μέγεθος ηλεκτρική αντίσταση. Με πόσα περίπου Ωμ ισούται η / ; (α) (β) 377 (γ) 583 (δ) Στο σύστημα G-CGS η ποσότητα / είναι η ατομική μονάδα για το μέγεθος /(ταχύτητα) και ταυτόχρονα είναι η ατομική μονάδα για το μέγεθος ηλεκτρική αντίσταση. 7 Σε πόσα περίπου Ωμ αντιστοιχεί η ταχύτητα c / 4,3857 m/s; 5 (α) 377 (β) 5,63 (γ) 3 (δ) Οι αντιστάσεις Z c και 4 ( / ) [(4 / ) ll in tomic units] = 376,73 H ( / ) / 58,8744 / 48,36 R h έχουν φυσικό αντίκρισμα (όπου είναι η ατομική μονάδα ηλεκτρικής αντίστασης και είναι η αδιάστατη σταθερά λεπτής υφής που εξ ορισμού είναι ο λόγος της ατομικής μονάδας ταχύτητας / m προς την ταχύτητα του φωτός στο κενό). Το Z είναι: (α) η λεγόμενη κβαντική αντίσταση Hll (β) η αντίσταση ενός πρότυπου μεταλλικού κράματος (γ) ο λόγος ( n E)/ H σε ένα επίπεδο ΗΜ κύμα στο κενό στο σύστημα SI, όπου n k/ k (δ) η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του καθαρού χαλκού σε θερμοκρασία 95 Κ 5. Οι αντιστάσεις H Z c και 4 ( / ) [(4 / ) ll in tomic units] = 376,73 ( / ) / 58,8744 R h έχουν φυσικό αντίκρισμα (όπου

10 / 48,36 είναι η ατομική μονάδα ηλεκτρικής αντίστασης και είναι η αδιάστατη σταθερά λεπτής υφής που εξ ορισμού είναι ο λόγος της ατομικής μονάδας ταχύτητας / m προς την ταχύτητα του φωτός στο κενό). Το R H είναι: (α) η λεγόμενη κβαντική αντίσταση Hll (β) η αντίσταση ενός πρότυπου μεταλλικού κράματος (γ) ο λόγος ( n E)/ H σε ένα επίπεδο ΗΜ κύμα στο κενό στο σύστημα SI, όπου n k/ k (δ) η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του καθαρού χαλκού σε θερμοκρασία 95 Κ 6. Η ατομική μονάδα ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης είναι η εξής: (α) / (β) h/ (γ) / (δ) / 7. Η ατομική μονάδα ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης έχει την εξής τιμή: (α) 48 Ω (β) 88,4 Ω (γ),586 μω cm (δ),74 μω cm 8. Η ειδική ηλεκτρική αντίσταση των στερεών βάσει μιας απλοϊκής διαστατικής ανάλυσης θα έπρεπε να έχει την εξής περίπου τιμή: (α) 6 Ω m (β) 6 Ω cm (γ) 6 mω cm (δ) 6 μω cm 9. Οι διαστάσεις της αγωγιμότητας στο G-CGS είναι: (α) χρόνος (β) /χρόνος (γ) ταχύτητα (δ) /ταχύτητα. Οι διαστάσεις της αγωγιμότητας στο SI είναι: (α) [ qt/ l ] (β) [ qt/ ml ] (γ) 3 [ qt/ ml ] (δ) [ qt / ml ]. Η ειδική ηλεκτρική αντίσταση, h,, ή το αντίστροφο της, η αγωγιμότητα h, / h,, πρέπει να εξαρτάται από τη συγκέντρωση των φορέων, n h,, (ηλεκτρονίων ή οπών) από το ηλεκτρικό τους φορτίο,, και από τις σκεδάσεις που μακροσκοπικά εκδηλώνονται ως δύναμη τριβής ανάλογη της μέσης ταχύτητας των φορέων επί ένα συντελεστή που συνήθως γράφεται ως mh, / h,, όπου το m h, είναι η ενεργός μάζα και h, είναι ο λεγόμενος χρόνος αποκαταστάσεως για ηλεκτρόνια ή οπές αντίστοιχα. Η διαστατική ανάλυση μας οδηγεί στον εξής τύπο για κάθε είδος φορέα στο σύστημα G-CGS. n /( m / ) (β) n /( m / ) (α) h, h, h, h, (γ) h, nh, mh, h, h, h, h, h, / ( / ) (δ) h, / nh, ( mh, / h, ). Η ειδική ηλεκτρική αντίσταση,, σε ένα μέταλλο ή το αντίστροφο της, η αγωγιμότητα /, πρέπει να εξαρτάται από τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων, n, από το ηλεκτρικό τους φορτίο,, και από τις σκεδάσεις που μακροσκοπικά εκδηλώνονται ως δύναμη τριβής ανάλογη της μέσης ταχύτητας των φορέων επί ένα συντελεστή που συνήθως γράφεται ως m /, όπου το m είναι η ενεργός μάζα και είναι ο λεγόμενος χρόνος αποκαταστάσεως για τα ηλεκτρόνια. Η διαστατική ανάλυση σε συνδυασμό με τον ορισμό του μήκους

11 ελεύθερης διαδρομής F μας οδηγεί στον εξής τύπο για το / στο σύστημα G- CGS: m (α) F p (β) F p (γ) F n (δ) n n n pf 3. Ο σωστός τύπος στις ερωτήσεις και που προέκυψε από διαστατική ανάλυση στο σύστημα G-CGS (α) ισχύει και στο σύστημα SI (β) Δεν ισχύει στο σύστημα SI 4. Από τον τύπο για την ηλεκτρική αγωγιμότητα μετάλλων n / pf εκτιμήστε ποια θα ήταν η μέση ελεύθερη διαδρομή των ηλεκτρονίων χρησιμοποιώντας το ατομικό σύστημα μονάδων σε συνδυασμό με την αντικατάσταση r (α) = cm (β) =, mm (γ) = m (δ) nm 5. Από τον τύπο h, nh, /( mh, / h, ) για την ηλεκτρική αγωγιμότητα των ηλεκτρονίων ή των οπών έχουμε ότι η γενική έκφραση της ηλεκτρικής αγωγιμότητας για ένα ημιαγωγό είναι ο εξής (Συνήθως ορίζουμε την ευκινησία h, από τη σχέση h, h, / mh, ): (α) ( n/ m ) ( nhh/ mh) (β) h ( n/ m ) ( nhh/ m h) (γ) ( n/ m ) ( nhh/ m h) (δ) ( n / m ) ( n / m ) h h h

12 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Η : LCAO I Με τη μέθοδο αυτή βρίσκουμε τις ιδιοκαταστάσεις ψ ενός ηλεκτρονίου στο στερεό ως γραμμικό συνδυασμό των εξωτερικών κατειλημμένων ατομικών τροχιακών (ίσως και των διπλανών τους ενεργειακά): N sj c j j c j j όπου η άθροιση ως προς j είναι για όλα τα άτομα που αποτελούν το στερεό, η άθροιση ως προς β είναι ως προς τα εξωτερικά κατειλημμένα ατομικά τροχιακά j του ατόμου j και οι άγνωστοι συντελεστές cj, cj είναι προς προσδιορισμό είτε αντικαθιστώντας την ψ στην εξίσωση του Schrodinr ειτε, ισοδύναμα, ακροτατοποιώντας την ενέργεια E Hˆ /. Χάριν απλότητας θα θεωρήσουμε μια ειδική περίπτωση όπου τα άτομα (όλα ίδια και με ένα μόνο τροχιακό ανά άτομο τύπου s) είναι τοποθετημένα σε ίσες αποστάσεις (( d ) κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής (μονοδιάστατο στερεό ). Στην περίπτωση αυτή η ακροτατοποίηση οδηγεί στις ακόλουθες σχέσεις (βλ. βιβλίο ΚΣ σελ και διαφάνεια 54) c V ( c c ) c, j,,3,..., N j j j j ˆ ˆ ˆ με όλα τα άλλα στοιχεία της όπου j H j, V j H j j H j χαμιλτονιανής μηδέν. Η ιδιοενέργεια ε θα ήταν ίση με την ενέργεια του ατομικού τροχιακού, εάν δεν υπήρχε το στοιχείο V που επιτρέπει τη μεταφορά του ηλεκτρονίου από το ένα άτομο στα διπλανά του κατ αναλογία με τη μεταφορά της ταλάντωσης από το ένα εκκρεμές στα διπλανά του στο μηχανικό μοντέλο της υποσημείωσης στις σελ. 77, 78 του βιβλίου ΚΣ ή στις διαφάνειες 5, 53. Με τη βοήθεια του θεωρήματος loch, c c xp( ) ik ή, ισοδύναμα, c c xp( ik x ), x j, η λύση για την ιδιοενέργεια ε είναι (βλ. διαφάνεια 55) j j j Vcos k, V Βρήκαμε μόνο μια ζώνη (που προκύπτει λόγω της μεταβολής του k από έως ) γιατί είχαμε ξεκινήσει με όλα τα άτομα ίδια σε ίσες αποστάσεις και με ένα μόνο τροχιακό ανά άτομο. Αν είχαμε ξεκινήσει με δύο τροχιακά ανά άτομο, ένα s και ένα p, θα είχαμε βρει δύο ζώνες με ένα χάσμα μεταξύ τους. Γενικότερα, επειδή τα άτομα έχουν πολλά τροχιακά, βρίσκουμε πολλές ζώνες (που μπορεί όμως να επικαλύπτονται). Αν η ανώτερη κατειλημμένη στάθμη πέφτει στο εσωτερικό κάποιας ζώνης έχουμε μεταλλική ηλεκτρική συμπεριφορά, ειδάλλως έχουμε ημιαγώγιμη ή μονωτική συμπεριφορά με την πλήρως κατειλημμένη ζώνη (για Τ=Κ) να ονομάζεται ζώνη σθένους (ΖΣ) και την αμέσως επόμενη εξ ολοκλήρου άδεια (για Τ=Κ) να ονομάζεται ζώνη αγωγιμότητας (ΖΑ). Τα περιεχόμενα της σχετικής βιντεοσκοπημένης διάλεξης είναι τα εξής: j j Εξίσωση Schrodinr σε μορφή Ν γραμμικών ομογενών εξισώσεων με Ν αγνώστους που είναι τα πλάτη πιθανότητας να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στα ατομικά τροχιακά. Μονοδιάστατο μοντέλο για απλότητα: cn V( cn cn) cnκαι η αντίστοιχη εξίσωση για τα εκκρεμή. Περιοδικότητα,

13 Θεώρημα loch: cn cxp( ikdn) cxp( ikxn) και σχετική συζήτηση. Προσδιορισμός της ιδιονέργειας: V cos kd. Γραφική παράσταση, περιορισμός του k σε μια περιοχή εύρους π/d, π.χ. από π/d έως π/d και του Ε σε μια περιοχή εύρους από V έως V, δηλ. μια ζώνη. Μόνο μία, γιατί ξεκινήσαμε από μόνο ένα τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα. Στην πραγματικότητα έχουμε διαδοχή πολλών ζωνών με παρεμβολή χασμάτων. Γεμίζοντας με ηλεκτρόνια τις καταστάσεις καταλήγουμε με την ενέργεια Frmi είτε στο εσωτερικό ζώνης (μεταλλική συμπεριφορά), είτε σε πλήρως γεμάτη ζώνη με την επόμενη ζώνη πλήρως άδεια. (ημιαγώγιμη ή μονωτική συμπεριφορά). Διάσπαση διηλεκτρικού. Γιατί η αγωγιμότητα σε ένα καθαρό ημιαγωγό είναι σχεδόν μηδέν έστω και αν λάβουμε υπόψη τη θερμική διέγερση των ηλεκτρονίων στη ΖΑ για θερμοκρασία δωματίου. Γενικεύσεις. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 39λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (8 ο μαθημα, 5//3, -39λ) Σύνοψη των βασικών τύπων Είναι οι τρεις σχέσεις στο κείμενο αυτής της ενότητας Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής:. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Η σχέση διασποράς μεταξύ της ιδιοενέργειας ε και του κυματάριθμου k είναι: (α) Vd k (β) Vd k (γ) Vcos( kd) (δ) Vdk. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Έστω ότι το κάθε άτομο φέρει ένα ηλεκτρόνιο. Η ενέργεια Frmi ισούται με (α) V (β) V (γ) (δ) ( V)/ 3. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Το πλάτος της προκύπτουσας ζώνης είναι (α) V (β) V (γ) 3 V (δ) 4 V

14 4. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Η προκύπτουσα ζώνη εκτείνεται από έως V, V (β) V, V (γ) 3 V, 3V (δ) V, V (α) 5. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Για k η σχέση f ( k) μπορεί να γραφεί: ( m V ) (α) m V k d (β) m V k d (γ) m V kd (δ) m V k d 6. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Ισχύουν τα εξής: M V, k ( / d) k), k. Για k / d ή k / d, η σχέση f ( k) μπορεί να γραφεί: (α) M V k d (β) M V k d (γ) M V k d (δ) M V k d

15 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Η : ΕΝΕΡΓΟΣ ΜΑΖΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Είδαμε στην ερώτηση 5 της 6 ης ενότητας ότι η ενέργεια ε του ηλεκτρονίου για k είναι ανάλογη του k, όπως στην περίπτωση του ελεύθερου ηλεκτρονίου, k /m. Κατ αναλογία, τον παράγοντα που πολλαπλασιάζει το k τον γράφουμε / m*: / m * V d ή m* /V d. Η σχέση αυτή γενικεύεται και για τρεις διαστάσεις και για οποιοδήποτε k ως εξής:, j xyz,, όπου x, y, z κύριοι άξονες m k j Σημειώστε ότι στο άνω πέρας μιας ζώνης η ποσότητα m *, που ονομάζεται ενεργός μάζα, είναι αρνητική. Η έννοια της ενεργού μάζας είναι πολύτιμη στην περίπτωση-που είναι πολύ συχνήόπου, επί πλέον από το περιοδικό δυναμικό, το ηλεκτρόνιο υφίσταται ένα πρόσθετο δυναμικό που αντιστοιχεί σε πρόσθετη δύναμη F. Μπορεί να δείξει κανείς ότι, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, η συνολική επιτάχυνση d / dt F / m*. Αυτό είναι μια τεράστια διευκόλυνση γιατί μας επιτρέπει να ξεχάσουμε το ρόλο του περιοδικού δυναμικού με το να αντικαταστήσουμε την πραγματική μάζα m του ηλεκτρονίου με την ενεργό μάζα m *: Hˆ pˆ m Hˆ pˆ m ( / ) ( / *) Με άλλα λόγια αυτό που κάνει το περιοδικό δυναμικό είναι να επιτρέπει ελεύθερη κίνηση του ηλεκτρονίου με μια αλλαγμένη μάζα. Το πρόσθετο δυναμικό μπορεί να οφείλεται σε ένα εξωτερικό ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο ή ξένα άτομα ή σε άτομα που έχουν θέσεις εκτός περιοδικότητας κλπ. Μια πολύ σημαντική περίπτωση είναι η αντικατάσταση ατόμων του υλικού (π.χ. Si) από ξένα άτομα με ένα παραπάνω ή ένα παρακάτω σθένος (π.χ. P ή G αντιστοίχως). Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως dopin. H αντικατάσταση αυτή δημιουργεί ένα πρόσθετο δυναμικό της μορφής / r, ή / r αντιστοίχως, όπου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά του μητρικού υλικού και r είναι η απόσταση του ηλεκτρονίου από το ξένο άτομο. Το δυναμικό / r δημιουργεί μια στάθμη στο χάσμα πολύ κοντά στη ΖΑ. Το πόσο κοντά υπολογίζεται όπως στο άτομο του υδρογόνου με τις αντικαταστάσεις /, m m*. Η στάθμη αυτή είναι δότης γιατί φέρει ένα ηλεκτρόνιο που διεγείρεται εύκολα θερμικά στη ΖΑ. Το δυναμικό / r, καίτοι απωστικό, δημιουργεί μια στάθμη στο χάσμα πολύ κοντά στη ΖΣ (λόγω της αρνητικής ενεργού μάζας στο άνω πέρας της ζώνης). Η στάθμη αυτή είναι αποδέκτης γιατί της λείπει ένα ηλεκτρόνιο που εύκολα το παίρνει από τη ΖΣ λόγω θερμικής διέγερσης. Μέσω των σταθμών δοτών και αποδεκτών ελέγχουμε σε τεράστιο βαθμό τη συγκέντρωση ηλεκτρονίων στη ΖΑ και τη συγκέντρωση οπών στη ΖΣ και επομένως την αγωγιμότητα των ημιαγωγών. Το αποτέλεσμα είναι η δραματική άνοδος του τεχνολογικού πολιτισμού (κινητά τηλέφωνα, διαδίκτυο, λέιζερ, τηλεκοντρόλ, μαγνητικές τομογραφίες κλπ, κλπ, κλπ, ) Η βιντεοσκοπημένη σχετική διάλεξη έχει το ακόλουθο περιεχόμενο: j

16 Ορισμός της ενεργού μάζας: / m E / k. Χρήση της ενεργού μάζας: Παρουσία πρόσθετης διαταραχής, π.χ. εξωτερικό πεδίο, ή ξένο άτομο, ξεχνάμε το περιοδικο δυναμικο αλλά αντί για m θέτουμε m. Άτομο P στη θέση άτομου Si. Στάθμη στο χάσμα που υπολογίζεται όπως το άτομο του υδρογόνου με τις αντικαταστάσεις m m, /. Εφαρμογή στο Si ( m / m,39,,, n 7 cm, n / n, 4 ) 6 3. Για d 5 cm η 9 3 συγκέντρωση των ηλεκτρονίων θα αυξηθεί από 7 cm 6 3 σε περίπου 5 cm δηλ. κατά 7, εκατ. φορές και η ίδια αύξηση θα συμβεί και στην αγωγιμότητα! Γιατί το Si ηλεκτρονικών χρήσεων πρέπει να είναι χημικά πολύ καθαρό και μονοκρυσταλλικό; (πράγμα που δεν είναι καθόλου εύκολο). Ολοκληρωμένα κυκλώματα πάνω σε μια κυκλική φέτα Si. Ακόρεστοι δεσμοί και αναδιάταξη επιφάνειας. Χρήση μασκών και πυκνότητα «τρανζίστορ»,x, μxμ που σημαίνει περίπου 5 δις «τρανζίστορ» ανά φέτα Si διαμέτρου 7ιντσων. Γιατί το Si από τα στοιχειά της 4 ης στήλης? Γιατί νιτρίδια και όχι διαμάντι? Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 46λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (8 ο μάθημα, 5//3, 39λ,3δ-ω,6λ, δηλαδή τέλος) Σύνοψη των βασικών τύπων Οι βασικοί τύποι είναι αυτοί που ήδη αναφέρθηκαν πιο πάνω Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής:. Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο περιοδικό μοντέλο LCAO με ένα ατομικό τροχιακό τύπου s ανά θεμελιώδη κυψελίδα μήκους d. Το διαγώνιο στοιχείο είναι και αυτό μεταξύ άμεσων γειτόνων V. Η ενεργός μάζα για k ισούται με: (α) (γ) m /V d (β) m * /V d (δ) * m m / V d * / V d *. Ο γενικός ορισμός της ενεργού μάζας για ένα σωμάτιο που κινείται σε ένα τριδιάστατο περιοδικό δυναμικό και επομένως η κάθε ιδιοενέργειά του n( k) εξαρτάται από το δείκτη ζώνης n και το κυματάνυσμα k έχει ως εξής: * * (α) / m ( k) (β) / m ( k) in, k n in, k n * (γ) / m ( ( k)) (δ) / m ( k)/( k ) in, k k n * in, n i 3. Η σχετική διηλεκτρική σταθερά του πυριτίου είναι, και η μέση ενεργός μάζα για τη * ζώνη αγωγιμότητας m,39m. Η αντικατάσταση πυριτίου από φώσφορο θα δημιουργήσει μια στάθμη στο χάσμα χαμηλότερη από το κάτω πέρας της ζώνης αγωγιμότητας κατά (α) V (β),36 V (γ),9 V (δ),3 V

17 4. Η σχετική διηλεκτρική σταθερά του GAs είναι,85 και η μέση ενεργός μάζα για τη ζώνη * σθένους είναι m,5m. Η αντικατάσταση ενός ατόμου Αs από άτομο G θα δημιουργήσει μια εντοπισμένη κατάσταση υδρογονοειδούς τύπου γύρω από το άτομο του G με χαρακτηριστική «ακτίνα» ίση περίπου με: * (α),59 Α (β) 6,8 Α (γ) 3,3 Α (δ) 7 A 5. Ένα άτομο φωσφόρου αντικαθιστά ένα άτομο πυριτίου στο καθαρό κρυσταλλικό πυρίτιο. Το πέμπτο ηλεκτρόνιο σθένους του Ρ (τα άλλα τέσσερα ηλεκτρόνια σθένους του Ρ χρησιμοποιούνται για τους τέσσερις δεσμούς με τα διπλανά άτομα Si) παγιδεύεται γύρω από το άτομο Ρ σε μια μέση απόσταση που δίνεται από τη σχέση: * (α) (γ) / m, (β) * ( / m )( m / m ), (δ) * * ( / m ), * / m * * 6. Ένα άτομο φωσφόρου αντικαθιστά ένα άτομο πυριτίου στο καθαρό κρυσταλλικό πυρίτιο. Το πέμπτο ηλεκτρόνιο σθένους του Ρ (τα άλλα τέσσερα ηλεκτρόνια σθένους του Ρ χρησιμοποιούνται για τους τέσσερις δεσμούς με τα διπλανά άτομα Si) παγιδεύεται γύρω από το άτομο Ρ δημιουργώντας μια στάθμη με ενέργεια E E E σχετικά με το άνω πέρας της ΖΣ, όπου το E είναι: (α) (γ) E, (β) / E m m (δ) * / E m /m * E / 7. Ένα άτομο πυριτίου αντικαθιστά ένα άτομο Αs στο καθαρό κρυσταλλικό GAs. Το ελλείπον πέμπτο ηλεκτρόνιο σθένους του πυριτίου (που μαζί με τα άλλα τέσσερα ηλεκτρόνια σθένους του Αs θα χρησιμοποιούνταν για τους τέσσερις δεσμούς με τα διπλανά άτομα G) θα παγιδευόταν όχι στο δεσμό (λόγω του ελλείποντος πρωτονίου), αλλά γύρω από το άτομο πυριτίου σε μια μέση απόσταση που δίνεται από τη σχέση: * (α) (γ) / m, (β) * ( / m )( m / m ), (δ) * * h ( / m ), * / m * * h 8. Ένα άτομο πυριτίου αντικαθιστά ένα άτομο Αs στο καθαρό κρυσταλλικό GAs. Το ελλείπον πέμπτο ηλεκτρόνιο σθένους του πυριτίου (που μαζί με τα άλλα τέσσερα ηλεκτρόνια σθένους του Αs θα χρησιμοποιούνταν για τους τέσσερις δεσμούς με τα διπλανά άτομα G) θα παγιδευόταν όχι στο δεσμό (λόγω του ελλείποντος πρωτονίου), αλλά γύρω

18 από το άτομο πυριτίου δημιουργώντας μια στάθμη με ενέργεια E σχετικά με το άνω πέρας της ΖΣ, όπου το E είναι: (α) (γ) E, (β) / E m /m (δ) * E m / m * h h E / 9. Θεωρήστε καθαρό κατά τα άλλα κρυσταλλικό πυρίτιο όπου ένα άτομό του από κάθε εκατομμύριο έχει αντικατασταθεί με άτομο φωσφόρου. Λόγω αυτής της αντικατάστασης η αγωγιμότητά του αυξήθηκε κατά x φορές, όπου: 6 (α) x =,, (β) x =3,9, (γ) x =5,4, (δ) x =. Ένα άτομο πυριτίου αντικαθιστά ένα άτομο G στο καθαρό κρυσταλλικό GAs. Το τέταρτο ηλεκτρόνιο σθένους του πυριτίου (τα άλλα τρία ηλεκτρόνια σθένους του Si υποκαθιστούν τα τρία του G) παγιδεύεται γύρω από το άτομο πυριτίου δημιουργώντας μια στάθμη με ενέργεια E κάτω από το κάτω πέρας της ΖΑ, όπου το E είναι: * * (α) E /, (β) E m /m (γ) E mh /mh (δ) E /. Ένα άτομο πυριτίου αντικαθιστά ένα άτομο G στο καθαρό κρυσταλλικό GAs. Το τέταρτο ηλεκτρόνιο σθένους του πυριτίου (τα άλλα τρία ηλεκτρόνια σθένους του Si υποκαθιστούν * τα τρία του G) παγιδεύεται γύρω από το άτομο πυριτίου σε μια μέση απόσταση που δίνεται από τη σχέση: (α) / m, (β) * ( / m ), * (γ) ( / m ), (δ) * * / m * * h

19 ENOTHTA 8 Η : IONTIKOI KAI MOΡΙΑΚΟΙ ΜΟΝΩΤΕΣ Στη διαφάνεια 5 εικονίζονται τρεις απλές αλλά πολύ σημαντικές γενικεύσεις του μονοδιάστατου μοντέλου. Στην περίπτωση (β), που αφορά ιοντικούς μονωτές, έχουμε δύο διαφορετικά άτομα, Α και Β τοποθετημένα εναλλάξ σε ίσες αποστάσεις d με ένα τροχιακό το καθένα, A ενέργειας A για το Α και ενέργειας για το Β. Τώρα το θεώρημα Βloch συνδέει όμοια τροχιακά cj cj, xp[ ik( d)], A, όπου d είναι η περίοδος της δομής. Προκύπτουν έτσι δύο γραμμικές ομογενείς εξισώσεις με δύο αγνώστους τα ca, c και επομένως δύο ζώνες με ένα χάσμα μεταξύ τους E A. (O ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει για την απόδειξη στο βιβλίο του Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, Τόμος Ι, ΠΕΚ 997, σελ. 98-3). Στην περίπτωση (γ) έχουμε δύο διαφορετικές αποστάσεις d, d αλλά ίδια άτομα με ένα τροχιακό ανά άτομο. Αυτή είναι η περίπτωση μοριακού μονωτή, όπως, π.χ. το μοριακό στερεό υδρογόνο. Και στην περίπτωση έχουμε δύο ζώνες με ένα χάσμα E V V. (O ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει για την απόδειξη στο βιβλίο του Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, Τόμος Ι, ΠΕΚ 997, σελ. 3). Η βιντεοσκοπημένη σχετική διάλεξη έχει το ακόλουθο περιεχόμενο: LCAO για διάφορες σημαντικές κατηγορίες στερεών. Δεδομένα για Si και σχόλια για ακριβή 3 υπολογισμό του χάσματος. V h υβριδισμού sp. Μονοδιάστατες γενικεύσεις του απλού μονοδιάστατου του 8 ου μαθήματος με επανάληψη των βασικών του σημείων και με έμφαση στην εύρεση της ενέργειας Frmi στο πλαίσιο LCAO. Μονοδιάστατο μοντέλο ΑΒΑΒ στο πλαίσιο LCAO για ιοντικό μονωτή και υπολογισμός του χάσματος και απόδειξη ότι είναι μονωτής. Μονοδιάστατο μοντέλο ΑΑ ΑΑ στο πλαίσιο LCAO για μοριακό μονωτή και υπολογισμός του χάσματος και απόδειξη ότι είναι μονωτής. Η περίπτωση του στερεού υδρογόνου. Προσπάθειες για μεταλλικό στερεό υδρογόνου. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (9 ο μάθημα, 6//3, -λ,δ) Σύνοψη των βασικών τύπων Το θεώρημα loch συνδέει με ένα παράγοντα φάσεως xp( ) ik ίδια τροχιακά ίδιων ατόμων, όπου είναι η χωρική περίοδος και k είναι η κρυσταλλική ορμή δια, η οποία χαρακτηρίζει τη λύση.

20 ΕΝΟΤΗΤΑ 9 Η : LCAO ΙΙ, ΥΒΡΙΔΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ Οι ημιαγωγοί, έστω και μονοδιάστατοι, απαιτούν για την περιγραφή τους ένα τροχιακό s και τουλάχιστον ένα τροχιακό p ανά άτομο (βλ. σχήμα (δ) σελ.98 του βιβλίου ΚΣ). Ένας τρόπος να αναλύσουμε το θέμα είναι να το ανάγουμε στα προηγούμενα μέσω της μεθόδου του υβριδισμού των ατομικών τροχιακών του ίδιου ατόμου. Αυτό σημαίνει ότι αντί να βρούμε τους συντελεστές c j (βλ. την η σχέση της 6 ης ενότητας) δοκιμάζουμε κάποιους προκατασκευασμένους συνδυασμούς των ατομικών τροχιακών του ίδιου ατόμου και κοιτάμε ποιος φαίνεται να δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα. Π.χ. για το σχήμα (δ) της σελ. 98 δοκιμάζουμε για κάθε άτομο το συνδυασμό ( / )( s p) και τον συνδυασμό (/ )( s p ). Αυτοί οι συνδυασμοί, που ονομάζονται sp (γιατί τα s και p μπαίνουν με το ίδιο βάρος), δίνουν δύο ορθογώνια μεταξύ τους υβριδικά ατομικά τροχιακά το ένα δεξιά του ατόμου και το άλλο αριστερά του με μέση ενέργεια h ( s p)/. Το δεξιό υβριδικό τροχιακό με το αριστερό του επόμενου ατόμου δημιουργούν ένα δεσμικό μοριακό τροχιακό με ενέργεια h V h, όπου V ˆ h, j H, j και ένα αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό με ενέργεια h Vh και τα δύο εντοπισμένα στο δεσμό μεταξύ των δύο διαδοχικών ατόμων. Στη συνέχεια ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται σε δεσμικό μοριακό τροχιακό προχωράει από δεσμικό σε διπλανό δεσμικό τροχιακό (κατά το πρότυπο της 6 ης ενότητας) δημιουργώντας έτσι μια δεσμική ζώνη, τη γνωστή μας ΖΣ, που το εύρος της είναι περίπου ( p s). Το ίδιο συμβαίνει και με τα αντιδεσμικά μοριακά τροχιακά που δημιουργούν μια αντιδεσμική ζώνη, τη γνωστή μας ΖΑ, με το ίδιο περίπου εύρος. Έτσι δημιουργείται ένα χάσμα εύρους E V m d h ( p s) 6,44( / ) ( p s) Ο τύπος ισχύει προσεγγιστικά και για τριδιάστατο ημιαγωγό. Αν τα άτομα είναι διαφορετικά, π.χ., GAs, τότε στον παραπάνω τύπο το V h αντικαθίσταται από το Vh V3h, όπου V3 h ( sc 3 pc s 3 p)/8 και τα p, s με τις μέσες τιμές τους. Ορίζουμε τον δείκτη μεταλλικότητας p s m Vh V3h έτσι ώστε για m να κλείνει το χάσμα και να έχουμε μεταλλική συμπεριφορά, αφού σύμφωνα με τα προηγούμενα το χάσμα στην πιο γενική περίπτωση είναι E Vh V3h( m). Ορίζουμε επίσης τον δείκτη ιοντικότητας ή πολικότητας V3 h p Vh V3h Τα τετρασθενή (κατά μέσο όρο) υλικά ανάλογα με τις τιμές των δεικτών p, m κατατάσσονται σε τρεις μείζονες κατηγορίες, όπως φαίνεται στο Σχ..9, σελ. 87 του βιβλίου ΚΣ: μέταλλα (που δημιουργούν χωροπληρούσες κρυσταλλικές δομές και είναι καλοί αγωγοί), ημιαγωγοί (που κρυσταλλώνονται σε ανοικτές τετραεδρικές δομές) και ιοντικά στερεά (που κρυσταλλώνονται σε χωροπληρούσες δομές και είναι μονωτές).

21 Η βιντεοσκοπημένη σχετική διάλεξη έχει το ακόλουθο περιεχόμενο: LCAO και μονοδιάστατο μοντέλο ημιαγωγού. Από ατομικά τροχιακά s και p σε υβριδικά ατομικά 3 τροχιακά ( sp, sp για μονοδιάστατα και τριδιάστατα μοντέλα αντιστοίχως). Από υβριδικά ατομικά τροχιακά σε δεσμικά και αντιδεσμικά μοριακά τροχιακά. Τα δεσμικά μοριακά τροχιακά δημιουργούν τη ζώνη σθένους, ενώ τα αντιδεσμικα τη ζώνη αγωγιμότητας. Αντίστοιχα διαγράμματα σταθμών και ζωνών. Επακόλουθος προσδιορισμός του χάσματος: 6,5( / md ) ( ). Ορισμός των δεικτών πολικότητας και μεταλλικότητας. Χάσμα p s για σύνθετους ημιαγωγούς Vh V3h ( m) και άλλα χαρακτηριστικά τους. Διάγραμμα «φάσεων» στο επίπεδο των δυο δεικτών πολικότητας μεταλλικότητας (περιοχές ημιαγωγών, μετάλλων και ιοντικών μονωτών και η δομή τους στο χώρο) Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 36λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (9 ο μαθημα, 6//3, λ,δ-56λ,4δ) Σύνοψη των βασικών τύπων Είναι οι τύποι που αναγράφονται στο παραπάνω κείμενο της 9 ης ενότητας συν τους τύπους για τα υβριδικά 3 : ( s p p p )/, ( s p p p )/, 3 ( s p p p )/ sp x y z x y z και 4 ( s p p p )/ και x y z,3 [s - (/ ) px 3 / py] / 3 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: x y z sp : (s p x ) / 3,. Εκτιμήστε το μέγεθος του χάσματος E σε V στο πυρίτιο. Δίδονται: 7,58V και d,357 A p (α),5 (β),66 (γ),7 (δ) 4, 4,79V, s. Στο παρακάτω διάγραμμα για τον σύνθετο ημιαγωγό ΙΙΙ/V, GAs, παρουσιάζονται οι ατομικές, ενεργειακές στάθμες, οι υβριδικές ατομικές στάθμες, οι μοριακές στάθμες και τέλος οι ενεργειακές ζώνες. Το μήκος του δεσμού στο GAs είναι,448 Α. Η στάθμη p για το G και το As είναι αντιστοίχως -5,67, -8,98 (σε (V). Η στάθμη s για το G και το As είναι αντιστοίχως -,55, -8,9 (σε (V). Σημειώστε στο σχήμα την τιμή όλων των εικονιζόμενων σταθμών. Ποιο είναι περίπου το μέγεθος του χάσματος E σε V για το GAs;

22 (α),7 (β), (γ),4 (δ), 9 3. Για ένα σύνθετο ημιαγωγό ορίζουμε το δείκτη πολικότητας δείκτη μεταλλικότητας m V / Vh V3h προσεγγιστικός τύπος για το χάσμα E είναι:, όπου p V V V / 3 h h 3h και το V ( pc sc p s )/8. Ο (α) E V h V V 3h (β) E V V V h 3h (γ) E V h V 3V 3h (δ) E V V 4 V h 3h 4. Το μέγεθος του χάσματος E σε V στο διαμάντι (Δίδονται: s 9,37V, p,7vv και d, 54 A ) προκύπτει από τον υπολογισμό με βάση τα ως άνω δεδομένα ίσο με (α),5 (β),66 (γ) 5,7 (δ),37

23 5. Το μέγεθος του χάσματος E σε V στο γερμάνιο (Δίδονται: s 5,5V, p 7,33V και d,45 A ) προκύπτει από τον υπολογισμό με βάση τα ως άνω δεδομένα ίσο με (α),35 (β),66 (γ),7 (δ) 4, 6. Το μέγεθος του χάσματος E σε V στον κασσίτερο (Δίδονται: s 3,4V, p 6,36V και d,8a ) προκύπτει από τον υπολογισμό με βάση τα ως άνω δεδομένα ίσο με (α) -,5 (β),66 (γ),7 (δ) 4, 7. Το μέγεθος του χάσματος E σε V στον μόλυβδο (Δίδονται: s,48v, p 6,53V και d 3, 5 A ) προκύπτει από τον υπολογισμό με βάση τα ως άνω δεδομένα ίσο με (α) 5 (β),95 (γ) 3,7 (δ) 4,9

24 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΦΟΡΕΩΝ Οι ιδιοκαταστάσεις ενός σωματίου που κινείται σε χωρικά σταθερό ή περιοδικό δυναμικό χαρακτηρίζονται από το κυματάνυσμα k (και από την προβολή του σπιν, που προς το παρόν αγνοούμε). Ο αριθμός των ιδιοκαταστάσεων με κυματάνυσμα που κείται στο εσωτερικό ενός όγκου V k στον τριδιάστατο χώρο των k ισούται με VV /( ) k όπου V είναι ο τριδιάστατος όγκος εντός του οποίου κινείται το σωμάτιο. Μας ενδιαφέρει ιδιαιτέρως να βρούμε τον όγκο V k στο χώρο των k όταν η επιφάνεια Sk που τον περιορίζει είναι επιφάνεια σταθερής ενέργειας Ε: Sk ( E) ( k ) E. Βρίσκουμε έτσι τον αριθμό RE ( ) ιδιοκαταστάσεων με ενέργεια μικρότερη του Ε (αν το Ε ανήκει στη ΖΣ, τότε βρίσκουμε τον αριθμό ιδιοκαταστάσεων ενός ηλεκτρονίου με ενέργεια μεγαλύτερη του Ε ή αριθμό ιδιοκαταστάσεων μιας οπής με ενέργεια μικρότερη του Ε). [Mε την ευκαιρία σημειώνουμε ότι τα χαρακτηριστικά μιας οπής συνδέονται με αυτά του αντίστοιχου ηλεκτρονίου με τις βασικές σχέσεις (.3α) έως (.3ε) της σελ. 9 του βιβλίου ΚΣ. Η απόδειξη των σχέσεων αυτών βασίζεται στο ότι μία πλήρως γεμάτη ζώνη είναι εξίσου αδρανής όσο και μία πλήρως άδεια ζώνη]. Από τον αριθμό ιδιοκαταστάσεων RE ( ) βρίσκουμε την πυκνότητα (ιδιο)καταστάσεων ( ): ( ) dr( E)/ de H πυκνότητα καταστάσεων ( ), είναι κεντρικής σημασίας για τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης (ΦΣΚ), γιατί σχεδόν όλες οι ιδιότητες των στερεών, όπως π.χ. η συγκέντρωση φορέων στη ΖΣ και στη ΖΑ, εξαρτώνται από την πυκνότητα καταστάσεων. Στην ειδική περίπτωση όπου η σχέση μεταξύ ιδιοενέργειας και κυματανύσματος είναι / k m, έχουμε 3 V 4 k V 3 V 3/ 3/ / 3 R( E) k ( m E/ ) ( E) ( V / )( m / ) E ( ) Συνήθως για ημιαγωγούς το μηδέν της ενέργειας επιλέγεται ώστε να συμπίπτει με το άνω πέρας της ΖΣ, οπότε το κάτω πέρας της ΖΑ έχει ενέργεια E. Έτσι η πυκνότητα καταστάσεων (ΠΚ) / / στη ΖΑ προκύπτει από τον παραπάνω τύπο αντικαθιστώντας το E με ( E E ). Για τη ΖΣ και προκειμένου για ηλεκτρόνια και το m και το Ε είναι αρνητικά. Για να βρούμε τη συγκέντρωση ηλεκτρονίων στις δύο ζώνες πολλαπλασιάζουμε την πυκνότητα καταστάσεων επί το θερμικό μέσο όρο ηλεκτρονίων f( E) {xp( ( E- )+ } σε κάθε κατάσταση: nza n de ( E) f( E), pz p de ( E)[ f( E)], V E V f( E) {xp(, / k T 3

25 όπου pz είναι η συγκέντρωση των οπών στη ΖΣ και το εμφανίζεται λόγω των δύο προσανατολισμών του σπιν. Στο πρώτο ολοκλήρωμα αλλάζουμε μεταβλητή από Ε σε E E E και στο δεύτερο ολοκλήρωμα αλλάζουμε μεταβλητή από Ε σε E Ε και ταυτόχρονα θέτουμε m mh. Οι ολοκληρώσεις δεν μπορούν να γίνουν αναλυτικά. Όμως σχεδόν πάντα ο μέσος όρος ηλεκτρονίων σε κάθε κατάσταση της ΖΑ και ο μέσος όρος οπών σε κάθε κατάσταση της ΖΣ είναι πολύ μικρότερος της μονάδας, πράγμα που μας επιτρέπει να παραλείψουμε το ένα στον παρονομαστή και του f ( E ) και του f ( E) και τότε τα ολοκληρώματα γίνονται αναλυτικά με τα εξής αποτελέσματα: n A ( k T) xp{ ( E )}, A ( m / ) 3/ 3/ c c p A ( k T) xp( ), A ( m / ) 3/ 3/ h h h Απομένει να προσδιορισθεί το χημικό δυναμικό μ. Παρατηρήστε ότι 3 np AcAh( kt) xp( E). Aν οι ξένες προσμίξεις είναι αμελητέες (ενδογενής (intrinsic) περίπτωση), τότε προφανώς n=p και επομένως βρίσκουμε τα n, p, που τους βάζουμε ένα δείκτη i που δηλώνει ότι αναφερόμαστε στην ενδογενή περίπτωση (βλ. σελ. 95 του βιβλίου ΚΣ). Στην ίδια και στην επόμενη σελίδα εξετάζεται η πολύ σημαντική εξωγενής (xtrinsic) περίπτωση, όπου η συγκέντρωση προσμίξεων (δοτών ή αποδεκτών) είναι πολύ μεγαλύτερη από την ενδογενή συγκέντρωση. Η βιντεοσκοπημένη σχετική διάλεξη έχει το ακόλουθο περιεχόμενο: 3 Αριθμός καταστάσεων V Vk /( ). Από k σε Ε μέσω της σχέσης k /m. Τρόπος υπολογισμού της πυκνότητας καταστάσεων. Διευκρίνηση της έννοιας της κρυσταλλικής ορμής. Εξειδίκευση για το άνω μέρος της ΖΣ και το κάτω μέρος της ΖΑ. Η έννοια της οπής. Συγκέντρωση φορέων στη ΖΑ και οπών στη ΖΣ. Προσδιορισμός του χημικού δυναμικού για την περίπτωση ενδογενούς και εξωγενούς ημιαγωγού ( n nd p p ( N Nd) ). H ενεργεια Frmi είναι το όριο του χημικού δυναμικού για. Η διάρκεια της παρακολούθησης είναι περίπου 3λ. Για να την ακούσετε και να τη δείτε πατήστε εδώ (9 ο μάθημα, 6//3, 56λ,4δ-τελος) Σύνοψη των βασικών τύπων Είναι οι 7 τύποι που εμφανίζονται στο κείμενο της παρούσας ης ενότητας. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής:. Τα παρακάτω σχήματα δίνουν την τυπική εξάρτηση της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης, από τη θερμοκρασία Τ στα μέταλλα και στους ημιαγωγούς αντιστοίχως. Ποια είναι η, εξήγηση γι αυτή την αντίθετη συμπεριφορά;

26 (α) Στους ημιαγωγούς υπάρχουν εν γένει ως φορείς και ηλεκτρόνια και οπές που το ρεύμα του ενός εξουδετερώνει εν μέρει το άλλο και αυτή η εξουδετέρωση γίνεται πιο πλήρης όσο μειώνεται η θερμοκρασία Τ. (β) Ο τύπος ρη m / n σημαίνει ότι μόνο το τ μπορεί να εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Άρα για μεν τα μέταλλα το τ μειώνεται με τη θερμοκρασία, ενώ για τους ημιαγωγούς αυξάνεται εκθετικά.. (γ) Στον παραπάνω τύπο το n είναι εκθετικά αύξουσαα συνάρτηση της θερμοκρασίας για τους ημιαγωγούς και φθίνουσα για τα μέταλλα. (δ) Και για τα μέταλλα και για τους ημιαγωγούς το τ μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Το n για μεν τα μέταλλα δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία Τ, ενώ για τους ημιαγωγούς το n (που περιλαμβάνει ηλεκτρόνια και οπές) αυξάνει εκθετικά με την αύξηση της θερμοκρασίας Τ *. Θεωρήστε ένα σωμάτιο ενεργού μάζας m που κινείται ελεύθερα σε ένα τριδιάστατο * χώρο όγκου V και επομένως η ενέργεια του είναι ( k) k / m. Ο αριθμός A( E ) των ιδιοκαταστάσεων του (χωρίς να λάβουμε υπόψη τις καταστάσεις του σπιν) με ενέργεια 3 μικρότερη του Ε είναι ίσος με VV /( ) όπο k ( E ) V είναι ο όγκος στο χώρο των k που ου k( E) ικανοποιεί τη σχέση ( k ) E, η οποία είναι ισοδύναμη με τη σχέση k me/. Άρα: * (α) A( E) ( /3 )(Vm E / ) *3/ 3/ 3 (β) A( E) ( *3/ 5/ /3 )(V m E / 3 ) (γ) A( E) ( /3 )(Vm E / ) *3/ 3 (δ) A( E) ( / ). *3/ 3 /3 )(V m E 3. Έστω ένα σωμάτιο που κινείται ελεύθερα σε ένα τριδιάστατο χώρο όγκου V και * επομενως ( k) k / m. Ο αριθμός A( E ) των ιδιοκαταστάσεων (χωρίς να λάβουμε υπόψη τις καταστάσεις του σπιν) αυτού του σωματίου με ενέργεια μικρότερη του Ε είναι *3/ 3/ 3 AE ( ) ( /3 )(V m E / ). Ο αριθμός των ιδιοκαταστάσεων σε μια περιοχή εύρους de μεταξύ E de και E διηρημένος με το de ισούται εξ ορισμού με την πυκνότητα

27 καταστάσεων ( E ). Επομένως η πυκνότητα καταστάσεων ( E ) ζώνης αλλά κοντά σε ένα πέρας της E δίνεται από τη σχέση: για E στο εσωτερικό μιας (α) (γ) * 3/ 3 ( E) ( Vm / )( EE ) (β) * 3/ 3 3/ ( E) ( V m / ) E E (δ) * 3/ 3 ( E) ( Vm / ) EE * 3/ 3 / ( E) ( V m / ) E E 4. H συγκέντρωση n N, / V ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας (ΖΑ) ενός ημιαγωγού ZA δίνεται από τη σχέση n (/ V) ( E) f( E) de. Λαμβάνουμε υπόψη ότι / / ZA c E ZA ( E) ( A / )( E E ) και προσεγγίζοντας την κατανομή Frmi με αυτήν του oltzmnn βρίσκουμε ότι: (α) na k T E k T (β) n A kt kt 3/ c( ) xp[ ( / )] 3/ c( ) xp[( / )] (γ) n A k T E k T (δ) 3/ c( ) xp[( / )] n A k T E k T 3/ c( ) xp[ ( )/ )] 5. H συγκέντρωση p N, / V οπών στη ζώνη σθένους (ΖΣ) ενός ημιαγωγού δίνεται από τη σχέση Z hz p (/ V) ( E)[ f( E)] de. Λαμβάνουμε υπόψη ότι Z( E) ( Ah / )( E) και προσεγγίζοντας την κατανομή Frmi με αυτήν του oltzmnn βρίσκουμε ότι: (α) p A k T k T (β) p A k T E k T 3/ h( ) xp[( / )] 3/ h( ) xp[( )/ )] / / (γ) p A k T k T (δ) 3/ h( ) xp[( / )] p A k T E k T 3/ h( ) xp[ ( )/ )] 6. Σε ένα ημιαγωγό που έχει συγκέντρωση αποδεκτών N και συγκέντρωση δοτών N d ( N Nd), ποια είναι η σχέση που συνδέει τις συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων n, n d στη ΖΑ και στους δότες αντιστοίχως με τις συγκεντρώσεις οπών p, p στη ΖΣ και στους αποδέκτες αντιστοίχως; (Υπόδειξη: Θεωρήστε πρώτα ποια είναι η σχέση για T Kπριν δώσετε τη απάντηση για T K) (α) nnd p p, (β) n nd p p N Nd, (γ) nnd p p N Nd (δ) n nd p p N Nd 7. Σε ένα ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων n και οπών p στη ΖΑ και στη ΖΣ αντιστοίχως δίνονται από τους τύπους n A k T E k T, 3/ c( ) xp[ ( )/ )] p A k T k T, 3/ h( ) xp[( / )] A m *, i c, h i i

28 Σε ένα ημιαγωγό που έχει αμελητέα συγκέντρωση αποδεκτών και δοτών το χημικό δυναμικό μ είναι: * * * * (α) ( E /) (3 kt/4)ln( m / m), (β) ( E /) (3 kt/4)ln( m / m) h c c h (γ) * * E kt m m (δ) E (3 kt/ 4)ln( m / m) * * (3 / 4)ln( h / c) h c 8. Σε ένα ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων n και οπών p στη ΖΑ και στη ΖΣ αντιστοίχως δίνονται από τους τύπους n A k T E k T, 3/ c( ) xp[ ( )/ )] p A k T k T, 3/ h( ) xp[( / )] A m *, i c, h Σε ένα ημιαγωγό που έχει αμελητέα συγκέντρωση αποδεκτών και δοτών, η συγκέντρωση των οπών στη ΖΣ είναι: (α) p A A k T E k T (β) p A A k T E k T / 3/ ( h) ( ) xp( / ) / / ( h) ( ) xp( / ) i i (γ) p A A k T E k T (δ) / 3/ ( h) ( ) xp( / ) p A A k T E k T / / ( h) ( ) xp( / ) 9. Σε ένα ημιαγωγό που έχει συγκέντρωση αποδεκτών N και συγκέντρωση δοτών N d με Nd N N n, όπου n είναι η συγκέντρωση ηλεκτρονίων στη ΖΑ στην ενδογενή περίπτωση, η σχέση για τη συγκέντρωση ηλεκτρονίων n στη ΖΑ είναι η εξής: (Δίνεται ότι nnd p p N Nd, όπου p, p είναι συγκεντρώσεις οπών στη ΖΣ και στους αποδέκτες αντιστοίχως και n d η συγκέντρωση ηλεκτρονίων στους δότες) (α) n N n N, (β) n N n N, ( 4 ) (γ) n N, (δ) n n ( 4 )